置信区间(详细定义及计算)-置信区间公式42页PPT

2
(n 1)
2 1(nຫໍສະໝຸດ S2 1)}1
2
2
则得到σ2随机区间
(n 1)S 2 (n 1)S 2
[
,
]
2
(n
1)
2 1
(n
1)
2
以 1 的概率包含未知方差σ2，
这就2是σ2的置信度为
1－α的置信区间。
24
例1 某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（毫米）
12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01
这种形式的估计称为区间估计. 也就是说，我们希望确定一个区间，
使我们能以比
较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 的正数，称为显著水平。
1
，这里 是一个很小
2
定义7.6
两个统计量
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的
6
一、数学期望的置信区间
1、已知σ2时，μ的置信区间
设
X ~ N(, 2)
X ~ N(, 2 )
EX DX 2
n
n
则随机变量
X
Z
~ N (0,1)
2
n
令
X
P{
2
z } 1
2
n
2
z
2
2
z
2 7
令
X
P{
2
z } 1
2
n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n

23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基谢谢！置信区间 详细定义及计算
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈

1)sn2
mn
mn(m
n
2)
例1.有两台车床A和B同生产一种型号的 零件，为了比较这两台车床所生产的零件 的直径的均值，随机地抽取A车床生产的 零 差件s8A个 0，.3测1(。m得m随平) 机均地直x抽A 取15.B20车(m，m床)标生准产离的零 件 差9个，测得sB。平根0均.2据8直(m以m往) 经验y，B可标以14准.认82离(为mm，) 这两台车床所生产的零件的直径都服从正 态 值分差布，且的它95们%的置方A信差区相B间等。，求二总体均
2
P{| U | z } 1 1 2
即
P
x
/
n
z1 2
1
P
x
z1 2
n
x
z1 2
1
n
区间
[x z12
,
n
x z12
]
n
即为的置信区间。称z1-/2为在置信 度1-下的临界值，或称为标准正态分布
的双侧分位点。
当＝0.05时,查标准正态分布表
得临界值
z12 z0.975 1.96
样本均值和样本方差分别记为 和 .
我们的x 任, s务m 2 是求y
,
s
பைடு நூலகம்
2 n
1 2
的置信区间.下面按总体方差的不同情况
分别进行讨论。
1. 方差 和12 都 22已知
由第七章第三节中的结论可知
x
~
N
1,
12
m
,
y
~
N
2
,
2 2
n
x
y
~
N (1
2
,
2 1
m
2 2

例如，通常可取显著水平 0.025, 0.等05., 0.1, 即取置信水平 1 0或.9705.95，0.9 等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间 ，使 [1,2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的 指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 ˆ2 ˆ1
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的
条件下尽可能提高精度. 15
例2 已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）
服从正态分布 X ~ N(,1), 其中μ未知,现在抽取
25个样品做试验， 得数据后计算得
40名旅游者。得平均消费额为 x 105 元，样本方差
s2 282 设 X ~ N(, 2)求该地旅游者的平均消费额
μ的置信区间。 0.05
解 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
置信区间。选取统计量为 T X ~ t(n 1)
S2
n
由公式知μ的置信区间为 [ X
查表 t0.05 (39) t0.025 (39) 2.0227
9
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
2
[ X n z 2, X n z 2 ]
115 1.96 7 / 9 ,115 1.96 7 / 9 110 .43 ,119 .57
17
2、未知σ2时，μ的置信区间
当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。
已知 T X ~ t(n 1)
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：

9
单样本区间应用－1
• 注塑模压机生产的产品外壳形状直接影响产 品外壳组装。
• 对于上壳的直径目标值为10.88cm，判断其 中设备A所加工的上壳直径平均高度与目标值 是否相同。也就是说，在置信度α=0.05的条件 下，A所模压出产品直径的总体平均值的置信 区间是否包含目标值。
• 抽取模压机A加工的10个外壳并测得直径为： 10.88 10.89 10.87 10.89 10.89 10.86 10.88 10.87 10.86 10.88
10
单样本区间应用－1
• 计算样本数据的均值与标准差
n10 x10.8σ ˆ70 7.0116
• 样本计算的平均值与目标值存在差异， 进一步分析其差异是偶然因素还是特殊 因素造成的。
10.89 10.88
10.87
10.86
设备A
11
单样本区间应用－1
• 计算置信区间
由于σ未知，套用前单元的公式：
置信区间计算公式
备注
（ x y
2
2 1
n1
2 2
n2
，x y
2
2 1
2 2
）
n1 n2
（ x y t SW
2
11 n1 n2
，x y t SW
2
11 ） n1 n2
其中： SW
( n1
1) s12
(n2
1)
s
2 2
n1 n2 2
σ1， σ2 为 总 标 准 差
n1， n2 为 样 本 容 量
置信区间为：
(x snt2 , x snt2)
(10.8770.01162.262, 10.8770.01126.26)2

3 0.765 1.638 2.353
.05
t值
0 2.920
t
s已知的区间估计例
一个随机样本 n = 25 有 X = 50 和 s = 8. m 的95% 的置信区间估计.
S X ta/2,n1 n
8 50 2 .0639 25
S X ta/2,n1 n
50 2 .0639 8 25
第3讲-置信区间估计
本讲内容
s 已知的均值的区间估计 s 未知的均值的区间估计 比例的区间估计 有限总体的情形 样本大小估计
一个引例
董事长：刘经理，下月我们的销售额估计会有多少？ 刘经理：2400万元左右。 董事长(很疑惑的表情）：左右？左右多少啊？ 刘经理：大概2000万元到2800万元之间。 董事长：你有多大的把握？ 刘经理：90%。 董事长满意的笑了。
区间估计的整体思路
总体
均值, m, 未知 样本
随机样本
均值 X = 50 我有 95% 的置 信度认为 m 在 40和60之间.
总体参数估计
估计总体 参数... 均值 比例 方差 总体均值差 样本 统计
m p s2
m1 - m 2
_
X
p
_ _ x - x
1
s
2 2
区间估计

提供参数值的变化范围 以一个样本的观察为基础 给出对总体参数的接近程度的信息 用概率形式来表示的 不是 100% 确定
2 2
2
2
置信区间估计
置信区间
均值
比例
s 已知
s 未知
比例的置信区间估计
假设 两类结果 总体服从二项分布 可以使用正态近似 置信区间估计

这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1 ，这里 是一个很小 2 的正数，称为显著水平。
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的 两个统计量
1 1 ( X 1 , X 2 , , X n ),
2 2 ( X 1 , X 2 , , X n )
T X S
2
~ t (n 1)
由公式知μ的置信区间为 [ X S t ( n 1)] 2 n 查表 t 0.05 (39) t0.025 (39) 2.0227 则所求μ的置信区间为 即 [103 .45 , 106 .55]
2
n
若σ2＝25 μ的置信区间为
5 1.96] [X z 2 ] [105 40 n 20
[96.05 , 113.95]
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得 1250 0 12650 1245 0 1260 0 12750 求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。
解
设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个 正态随机变量 EX .
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。 由公式 1 x 1250 [0 15 5 10 25] 1259 5 1 570 2 2 2 s [(1250 1259) (1275 1259) ] 5 1 4 2 s n 1 4 0.01 28.5 5.339 5 S [X t 2 ( n 1)] t ( 4 ) t ( 4 ) 4 . 6041 查表 0.01 0.005 n 则所求μ的置信区间为 [1259 24 .58 , 1259 24 .58]
2
n

σ2差多少？容易看出把 S 2 看成随机变量，又能找到
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
则所求μ的置信区间为
2
[6720
28
2.306]
即 [6650.9 , 6889.1]
3
则钢索所能承受的平均张力为 6650.9 kg/cm2
三、方差σ2的置信区间
已知总体 X ~ N (, 2)
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间， 这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与
2
x
即 py
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
p(y)d y
2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)}
2
1
(n 1)S 2
P{
2
(n
1)
2
(n 1)S
2 1
(n
2
} 1)
1
2
2
则得到σ2随机区间

n 1S
n 1S
(
,
)
χ
2 α
2
(n
1)
χ2 1α
2(n
1)
第8页/共45页
例2 有一大批糖果.现从中随机地取 16 袋 , 称得重量(以克计)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496 σ 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总 体标准解差这里的α 置2 信0水.02平5,01.95α为2的 置0.9信75区, n间.1 15,
另可算得样本标准差 :
s
在置信度为90%时:
1 35
36
( xi
i 1
39.5)2
7.77
2 0.05 n 1 35
第12页/共45页
查表得t (n 1) t0.05(35) 1.6896
2
t (n 1)
2
s ＝1.6896 7.77 2.188
n
36
所以在90%的置信度下，总体年龄均值的置信区 间为，
个总体的样本 ,这两个样本相互独立 .且设X ,Y 分
为别第一、二个总体的样本均值 ,
S12 , S22
为第一、二
个总体的样本方差 .
1. 两个总体均值差 μ1 μ2 的置信区间 1 σ12 ,σ22 为已知
第16页/共45页
X
N
(
μ1
,
σ12 n1
)
,
Y
N
(
μ2
,
σ
2 2
n2
)
因为 X ,Y 相互独立 ,所以 X ,Y 相互独立 .
故两总体均值差 μ1 μ2 的置信水平为0.95 的置信 区间为