高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布108离散型随机变量的均值与方差课件理新人教A版

2021届高考数学（理）考点复习

离散型随机变量的分布列、均值与方差

1．离散型随机变量的分布列

(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：

①pi≥0，i＝1,2，…，n；

②i＝1npi＝1.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．两点分布

如果随机变量X的分布列为

X 0 1

P 1－p p

其中0

其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

3．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2

… pi … pn

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量

取值的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝i＝1n (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根DX为随机变量X的标准差．

4．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)

5．超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN (k＝0,1,2，…，m)，即

X 0 1 … m

P C0MCn－0N－MCnN C1MCn－1N－MCnN … CmMCn－mN－MCnN

其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

学必求其心得，业必贵于专精

第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布

板块一 知识梳理·自主学习

［必备知识]

考点1 离散型随机变量的均值与方差

1．若离散型随机变量X的分布列为

Xx1 x2 …xi …xn

Pp1 p2 …pi

…pn

(1)均值

称E(X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2）方差

称D(X)＝错误!xi－E（X）]2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根错误!为随机变量X的标准差．

2．均值与方差的性质

(1）E(aX＋b）＝aE(X)＋b.

（2)D(aX＋b）＝a2D(X）．（a,b为常数）

(3）两点分布与二项分布的均值、方差 学必求其心得，业必贵于专精

考点2 正态分布

1．正态曲线的性质

（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

（2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

(3）曲线在x＝μ处达到峰值错误!；

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

（6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高"，表示总体的分布越集中；σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散，如图乙所示．

2．正态分布的三个常用数据

(1)P(μ－σ〈X≤μ＋σ)＝0.6826; 学必求其心得，业必贵于专精

（2）P（μ－2σ〈X≤μ＋2σ)＝0.9544；

（3)P（μ－3σ

[必会结论]

均值与方差的作用

均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计,方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．

［考点自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量,它不确定．（ )

※ 精 品 试 卷 ※

※ 推 荐 ※ 下 载 ※ 第六节 离散型随机变量及其分布列

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 命题角度

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；

2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 2016，天津卷，16,13分(古典概型、分布列、数学期望)

2015，重庆卷，18,13分(古典概型、分布列、数学期望)

2015，山东卷，18,12分(古典概型、分布列、数学期望)

2013，全国卷Ⅰ，19,12分(相互独立事件概率、分布列) 1.以考查离散型随机变量的分布列及分布列性质的应用为主，常与期望、方差一起考查，另外超几何分布也是考查的热点；

2.题型主要是解答题，解题时要求有较强的分析问题、解决问题的能力，要求会依据题设确定离散型随机变量的值及其相应概率。

微知识 小题练

自|主|排|查

1．随机变量的有关概念

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；若变量的所有值可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

2．离散型随机变量的分布列

(1)概念

若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2,3，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列。

(2)性质

①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；

②i＝1npi＝1。

3．常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布 ※ 精 品 试 卷 ※

※ 推 荐 ※ 下 载 ※ X 0 1

P

1－p p

若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率。

专题6.3 离散型随机变量的均值与方差

【基础知识梳理】 ...................................................................................................................................................... 1

【考点1：求离散型随机变量的均值】 ................................................................................................................... 1

【考点2：均值的性质】 ........................................................................................................................................... 7

【考点3：求离散型随机变量的方差】 ................................................................................................................. 11

【考点4：方差的性质】 ......................................................................................................................................... 16

【基础知识梳理】

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn