沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第13讲 解直角三角形的应用(解析版)

．
3、如图，沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2米，坡度由原来的1:2改为1:2.5，已知坝
高6米，坝长50米．
(1)求加宽部分横断面AFEB 的面积； (2)完成这一工程需要多少方土？
巩固练习：
1．有一个坡角，坡度3:1=i ，则坡角=α
2．如图，∆ABC 中，∠ACB =90︒，CD 是斜边上的高，若AC =8，AB =10，tan ∠BCD =___________. 3．如图，若人在离塔BC 塔底B 的200米远的A 地测得塔顶B 的仰角是30︒，则塔高BC =___ ___（米精确到1.0,732.13≈）
C
A
B
D
A
B
C
D
E
F
G H
2米
6米
1:21
:2.5_
2题图
_ C
_ A
3题图
B
4题图
((图
九)
自我测试
1、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的
P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图九）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结
果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，
2、2010年5月，第42届世博会将在上海隆重开幕，为了体现“城市让生活更美好”的理
念，市政府对许多基础设施进行修缮。

如图，某地下车库的入口处有斜坡BC 长为55米，其坡度为1:2i =，为增加行车安全，现将斜坡的坡角改造为15．
CD；
地面
C。

教学内容------解直角三角形 ★知识要点1、解直角三角形的依据在直角三角形ABC 中，如果∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么 （1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为：2、其他有关公式直角三角形面积公式： （hc 为c 边上的高）3、解直角三角形的条件在除直角C 外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。

4、直角三角形的关键是正确选择关系式 在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 （2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。

（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。

5、直角三角形时需要注意的几个问题（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。

（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。

（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算★新课学习引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为222410 ＝26 ， 26＋10＝36所以， 大树在折断之前的高为36米.解：120119sin ,cos 169169A A ==，120tan 119A =，119cot 120A =3. 已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角∠B=30︒；4. 如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC 的面积(结果可保留根号).解：48163ABC S ∆=-例3、 已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm ，另一条直角边为8cm ，求它的面积.解：224S cm =例4、 在△ABC 中，90C ︒∠=，60B ︒∠=，33a b +=+，求：a 、b 、c 的值及∠A.解：3a =，3b =，23c =，30A ︒∠=例5、 已知△ABC 中，∠C=90°，若△ABC 的周长为30，它的面积等于30，求三边长. 解：5,12,13a b c ===或12,5,13a b c ===例6、 如图：△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 点，若∠A=60°，AB-CD=13，求BC 及ABC S ∆ . 解：683BC =+，48383ABC S ∆=+例7、 已知△ABC 中，∠BAC=60°，AB ∶AC=5∶2且103ABC S ∆= ，求三边的长. 解：10AB =，4AC =，219BC =例8、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BD 是中线，已知AB ＝10，3tan 2α=，求∠A 和BC.解：30A ︒∠=，5BC =例9、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，AC ＝5，BC ＝12，（1）求AB 的值；（2）求∠BCD 的值。

ABCDE F12 3【例1】 如图，90C DEB ∠=∠=︒，FB // AC ，从A 看D 的仰角是______；从B 看D 的俯角是______；从A 看B 的______角是______；从D 看B 的______角是______．【难度】★【答案】2∠；3∠；仰；1∠；仰；3∠． 【解析】考查仰角、俯角的基本定义．【例2】 升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该 同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示）【难度】★ 【答案】2338+． 【解析解：如图所示，AB 为旗杆，CD 为某同学． 则24==CA DE ，5.1==AE CD ，30BDE ∠=︒，在BDE Rt △中，DE BEBDE =∠tan ，∴2433BE=， ∴38=BE ，∴2338+=+=EB AE AB ． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．例题解析ABC D 【例3】 如图，两建筑物水平距离为a 米，从点A 测得点C 的俯角为α，测得点D 的俯角 为β，则较低建筑物CD 的高为（ ）A ．a 米B ．（tan a αg ）米C ．tan a α米D ．(tan tan )a αβ-米【难度】★ 【答案】D【解析】过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ． 由题意有：a BD CE ==，α=∠ACE ，β=∠ADB 在ACE Rt △中，CE AE ACE =∠tan ， ∴αtan a AE =在ABD Rt △中，BDABADB =∠tan ， ∴βtan a AB =∴()βαβαtan tan tan tan -=-=-==a a a AE AB BE DC【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解．【例4】 如图，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D 处分别用测角仪器测得顶部A 的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号）【难度】★★ 【答案】15315+．【解析】解：由题意可得：︒=∠30ACB ，︒=∠45ADB ． 设x AB =，则x BD =，在ABC Rt △中，BC AB ACB =∠tan ，∴3330=+x x ，解得：15315-=x ． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．AB CDEABCDAB CDE【例5】 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼 底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m ，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ）【难度】★★ 【答案】277.1米．【解析】解：由题意可得：︒=∠60BAD ，︒=∠30CAD ，120=AD在ABD Rt △中，AD BDBAD =∠tan ，∴1203BD=，∴3120=BD ． 在ACD Rt △中，AD CDCAD =∠tan ，∴12033CD=，∴340=CD ． ∴1.27731603403120≈=+=+=CD BD BC【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．【例6】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距8米的A 、B 两处 测得点D 和点C 的仰角为45°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE = 15米，3 1.73≈，计算结果保留整数）【难度】★★ 【答案】3【解析】解：由题意可得：︒=∠60CBE ，︒=∠45ADE ，在CBE Rt △中，BE CECBE =∠tan ，∴153CE=，∴315=CE 在AED Rt △中，AEDEDAE =∠tan ，∴1581+=DE，∴23=DE ． ∴323315≈-=-=ED EC CD ．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解和运用．【例7】 某高层建筑物图中AB 所示，小明家住在高层建筑物附近的“祥和”大厦（图中 CD 所示），小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB 的高度．他先在自己家 的阳台（图中的Q 点）测得AB 的顶端（点A ）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附 近建筑物影响测量，小明向AB 方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P 处），测得点A 的仰角为45°．已知点C 、P 、B 在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB 的高度．（参考数据：sin370.6︒=，cos370.8︒=，tan370.75︒=） 【难度】★★★ 【答案】492米．【解析】过Q 作AE ⊥AB ，垂足为E ． 解：由题意可得：︒=∠37AQE ，︒=∠45APB ， 60=CQ ，84=PC ．设x BA =，则x PB = 在AQE Rt △中，QEAEAQE =∠tan ， ∴xx+-=846075.0，∴492=x ．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．ABC D P QE【例8】 如图，为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第 10层，每层的高度为3米，两楼间的距离AC = 30米．现需了解在某一时间段内，甲 楼对乙楼采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B 落在乙楼的影子长EC = h ，太阳光线与水平线的夹角为α．（1）用含α的式子表示h ；（2）当α= 30°时，甲楼楼顶B 的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若α每小时增加10°，约几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．（结果精确到0.01）【难度】★★★【答案】(1)αtan 3030-=h ；（2）第4层，6小时．【解析】解：(1)由题意可得：30103=⨯=AB ． 过E 作FE ⊥AB ，垂足为F ．在BEF Rt △中，EFFBBEF =∠tan ，∴tan 30FBα=，∴αtan 30=BF ．∴αtan 3030-=-==AF AB AF EC ． （2）如图2，30==AC AB ， ∴︒=∠45BCA∵若α每小时增加10°， ∴()5.1103045=÷-．∴需要1.5小时才能从30°到90°．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．BD甲 楼乙 楼太阳光EF北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°1、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．【例9】 如果由点A 测得点B 在北偏东15°的方向，则由B 测点A 的方向为（ ）A ．北偏东15°B ．北偏西75°C ．南偏西15°D ．南偏东75°【难度】★ 【答案】B【解析】考查方向角的定义．【例10】 如图，小明从A 地沿北偏东30°方向走1003米到B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地，此时小明离A 地_____米．【难度】★ 【答案】100．【解析】解：由题意可知：︒=∠30ABD在ADB Rt △中，AB ADABD =∠cos ，∴310033BD =，∴150=BD ，35022=-=DB AB AD ． 知识精讲例题解析A BC东南西D∴50150200=-=-=BD BC CD ．∴10022=+=CD AD AC ．【总结】本题主要考查对方位角的准确理解和运用．【例11】 如图，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ） A ．30海里 B ．40海里C ．50海里D ．60海里【难度】★ 【答案】B【解析】解：∵AB BC =，︒=∠60ABC ∴ABC △为等边三角形．∴40=AC ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例12】 在位于O 处某海防哨所的北偏东60°相距6海里的A 处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B 处，则A 、B 间的距离是______海里．（精确到0.1海里，2 1.414≈，3 1.732≈）【难度】★★ 【答案】5.5．【解析】解：由题意可知：6=OA ，︒=∠30AOC ，︒=∠45BOC在AOC Rt △中，AO ACAOC =∠sin ，∴216=AC ，∴3CA =，3322=-=AC AO OC ． ∴33==CO BC ．∴5.5333≈+=+=BC AC AB ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．北 北 ABC【例13】 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，请问，此时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？（精确到0.01海里，cos250.91︒≈，sin340.559︒≈）【难度】★★ 【答案】130.23．【解析】解：在APC Rt △中，APPCAPC =∠cos ， ∴8091.0PC=，∴8.72=PC 在BPC Rt △中，BPPCCBP =∠sin ，∴BP8.72559.0=，∴23.130=PB ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例14】 如图，A 、B 为湖滨的两个景点，C 为湖心一个景点．景点B 在景点C 的正东方向，从景点A 看，景点B 在北偏东75°方向，景点C 在北偏东30°方向．一游客自景 点A 驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C ，之后又以同样的速度驶向景点B ，该游客从景点C 到景点B 需用多长时间？（tan75 3.732︒≈，精确到1分）【难度】★★ 【答案】27分．【解析】过A 作AD ⊥BC 的延长线于D ． 由题意可得：︒=∠75BAD ，︒=∠30DAC ，2002010=⨯=AC ．在ADC Rt △中，ACDCCAD =∠cos ， ∴20023AD=，∴3100=AD ，100=DC 在ABD Rt △中，DABDBAD =∠tan ，∴3100732.3BD=，∴32.373=DB∴3824.64610032.373≈-=-=CD BD BC东南西北ABPCABC东北D∴2731.27203824.646≈==t ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例15】 如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B 是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． 【难度】★★【答案】（1）B 在暗礁区外；（2）有危险． 【解析】解：（1）由题意可得：︒=∠30CAB ，︒=∠60CBD ，182136=⨯=AB ．∴︒=︒-︒=∠-∠=∠303060CAB CBD ACB ， ∴ACB CAB ∠=∠ ∴1618>==BC AB∴B 在暗礁区外．（2）在BDC Rt △中，BCDCBCD =∠cos ， ∴1823CD=，∴16188.1539<≈=CD∴若继续向东航行有触礁危险．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，注意在触礁问题中的最小距离指的是垂直距离．东A B CD【例16】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE 、BF 、CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A 、B 、C ．经测量，花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上，AB = 2千米，15DAC ∠=︒．（1）求B 、D 之间的距离； （2）求C 、D 之间的距离． 【难度】★★【答案】（1）2；（2）332． 【解析】解：(1)由题意得：︒=∠45EAD ， ︒=∠30DBF ．∵FB AE ∥∴︒=∠=∠60EAB FBC ∴︒=∠30DBC ∵15DAC ∠=︒ ∴︒=∠15ADB ∴DAB ADB ∠=∠∴2==AB BD(2)∵CD AE ∥ ∴︒=∠=∠45ADC EAD ∴︒=∠30BDC过C 作CG ⊥BD ，垂足为G 在GDC Rt △中，DCDGBDC =∠cos ， ∴CD123=，∴332=CD ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．ABCDE F和平路 文化路中山路G11 / 32【例17】 如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2 小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇．（1） 甲船从C 处追赶上乙船用了多少时间？（2） 求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度？（结果保留根号） 【难度】★★★【答案】（1）4小时；（2）231515+． 【解析】解：由题意可得：︒=∠45BCA ， ︒=∠105BAC ，︒=∠30B ， 2302215=⨯=AC ．在ACD Rt △中，AC ADBCA =∠sin ，∴23022AD =， ∴30=AD ， ∴30==AD CD ，602==AD AB ，330=BD ． ∴（1）41560=÷=t ；（2）()231515433030+=÷+=v ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．东东北 ABCD12 / 32【例18】 如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2千米，点B 位于点A 北偏东60°方向且与点A 相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B 南偏 西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A 正北方向的点D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度．（结果精确到0.1千米/时）（参考数据：3 1.73≈，sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈）【难度】★★★【答案】（1）3；（2）40.4．【解析】解：（1）由题意有：2=AD ，︒=∠30BAH ．在BAH Rt △中，521==AB BH ，3522=-=BH AB AH ，∴325=-=-=-=AD BH FH BH BF ．(2)在BCF Rt △中，BF CFCBF =∠tan ，∴301.4CF=，∴03.12=CF ． ∴3503.12-=-=-=AH CF DF CF CD ．∴()()112.03535min 12.035340.4/12v km km h km h =-÷=-÷≈． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题目中给出的条件．ABC D E l东北F H13 / 32ABCDABC【例19】 某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高______米．【难度】★ 【答案】6．【解析】考查坡度的定义．【例20】 某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______．【难度】★ 【答案】32．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例21】 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2米，则两树间的坡面距离AB 为（ ）A ．4米B 3C 43D ．43米【难度】★ 【答案】C【解析】考查坡角的定义．【例22】 如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，B 的正切值为43，则它的里口宽BC = ______．【难度】★★14 / 32【答案】33毫米．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例23】 河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD 的坡度为1 : 3，斜坡CB 的坡角为45°，则河堤横断面的面积为______平方米．【难度】★★ 【答案】96．【解析】考查坡角的基本定义．【例24】 如图，一个大坝的横断面是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB = 3米，经测量背水坡AD = 20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i = 1 : 0.6，求迎水坡BC 的坡角C ∠的余切值和坝底宽CD ．【难度】★★【答案】53；3109+．【解析】过A 、B 作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ．由题意可得：356.01tan ==C ，10==BF AE ，∴5316.0cot ==C ． 在BCF Rt △中，CFBFC =∠tan ， ∴CF1035=，∴6=CF ．在ADE Rt △中，31022=-=AE AD DE ，ABCDE F15 / 32ABCD∴931063310+=++=++=FC EF DE CD ．【总结】本题主要考查坡脚和坡比的概念．【例25】 如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？【难度】★★ 【答案】2560． 【解析】()6.18.02.18.221=⨯+⨯=ABCD S 梯形，256016006.1=⨯=V ．【总结】考查等腰梯形双高辅助线的做法和坡度的基本定义．【例26】 如图，小杰发现垂直地面的旗杆AB 的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC 和CD ，经测量得BC =10米，CD =10米，斜坡CD 的坡度为1:3i =，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米，求旗杆AB 的长度．（答案保留整数，其中10 3.2≈） 【难度】★★ 【答案】13．【解析】解：延长AD 和BC 交于点E ，过D 作DF ⊥BE ．由题意可知：31tan =∠DCF ，21tan =E ．在DCF Rt △中，CF DF DCF =∠tan ，∴CF DF=31．设x DF =，x CF 3=，则()101032222==+=+=x x x FC FD DC ，∴10=x ．∴10=DF ，103=CF ．AB CDEF16 / 32在DEF Rt △中，EFDFE =∠tan ， ∴EF1021=，∴102=EF 在ABC Rt △中，EBABE =∠tan ，∴1021031021++=AB ，∴1351025≈+=AB ． 【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例27】 如图，斜坡AP 的坡度为1:2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度．（结果精确到1米）（参考数据：sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈）【难度】★★【答案】（1）10；（2）19．【解析】解：延长BC 交PQ 于点E ，过A 作AD ⊥PQ由题意可知：︒=∠76BAC ，︒=∠45BPE1254.2:1tan ==∠APD ．在APD Rt △中，PD DA APD =∠tan ，∴PD DA=125．设x DA 5=，x PD 12=， 则()()26131252222==+=+=x x x PD AD PA ，∴2=x ．∴10=DA ，24=PD ． 在BAC Rt △中，AC BC BAC =∠tan ，∴ACBC=01.4 设x CA =，x BC 01.4=，ABCPQD E17 / 32ABCDE F G H 在PBE Rt △中，EPEBBPE =∠tan ， ∴241001.41++=x x ，∴65.4=x ．∴1901.4≈=x BC ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例28】 如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD ，背水坡AD 的坡度i 为1 : 1.2，坝高为5米．现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽1米，形成新的背水坡EF ，其坡度为1 : 1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少立方米的土？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级 通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队 工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少立方米？【难度】★★★【答案】（1）30000；（2）甲：1000；乙：500．【解析】由题意可知：652.1:1tan ==∠DAG ，754.1:1tan ==∠EFG ．在AGD Rt △中，AGDG DAG =∠tan ，∴AG565=，∴6=AG ． ∴516=-=-=GH AG AH ． 在EFH Rt △中，FHEHEFG =∠tan ， ∴FH575=，∴7=FH ． ∴257=-=-=AH FH AF ． ∴()()2155212121=⋅+=⋅+=EH AF ED S EDAF 梯形．∴300004000215=⨯=V ． （2）设原计划甲工程队每天完成x 立方米，乙工程队每天完成y 立方米，18 / 32则根据题意可得：()()()()⎩⎨⎧=+++-=+30000]401301[5203000020y x y x ％％，解得：⎩⎨⎧==5001000y x ．∴原计划甲工程队每天完成1000立方米，乙工程队每天完成500立方米．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题． 【例29】 如图所示，在风景区观测塔高时，塔的底部不能直接到达．测绘员从观景台（横截面为梯形ABCD ）的底部A 沿坡面AB 方向走30米到达顶部B 处，用测角仪（测角 仪的高度忽略不计）在点B 处测得塔顶E 的仰角是45°，沿BC 方向走20米到达点C 处 测得塔顶E 的仰角是60°．已知坡面AB 的坡度是1:3，根据上述测量数据能否求出塔高？若能，请求出塔高（精确到1米）；若不能，说明还需测出哪些量才能求出塔高．【难度】★★★ 【答案】能，62米．【解析】由题意可知：︒=∠45EBC ，︒=∠60ECG ．333:1tan ==∠BAD ． 过B 作BH ⊥AD ． 在ECG Rt △中，CGEG ECG =∠tan ，∴31EGCG =．设x CG =，x EG 3=， 在EBG Rt △中，BGEGEBG =∠tan ， ∴BGEG=1． ∴2031+=x x，∴31010+=x ． ∵333:1tan ==∠BAD ， ∴︒=∠30BAC ．∴1521==AB BH ．∴6231045153≈+=+=+=x GF EG EF ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注AB C DEFGH19 / 32意认真分析题目中的条件，分析清楚仰角分别指的是哪个角．【例30】 如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF 上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE 的大树HD ．小智想要测量这棵大树HD 的高度．在下午的某个 时刻，他观察到这棵大树树梢H 的影子落在楼房的外墙面上的点G 处．同时，他又观 察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE 的木柱AB ，它在水平地面BE 上的影 子BC 也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB = 1.6米，BC = 3.2米，DE =7.2米，EF = 2.6米，斜坡EF 的坡度i =1 : 2.4，FG = 1.6米．试求大树HD 的高．【难度】★★★ 【答案】7.4米．【解析】解：由题意可得：12:54.2:1tan ==∠FEN ，212.36.1tan tan ===∠=∠BC AB ACB HGM过F 作FM ⊥HD ，过F 作FN ⊥DN在EFN Rt △中，EN FN FEN =∠tan ，∴EN FN=125．设x FN 5=，x EN 12=， ∴则()()6.2131252222==+=+=x x x EN FN EF ，∴2.0=x ．∴1=FN ，4.2=EN ．∴6.94.22.7=+=+==EN DE DN MG ．在HGM Rt △中，MG HMHGM =∠tan ，∴6.921HM =，∴8.4=HM ．∴4.716.18.4=++=++=+=FN GF HM MD HM HD ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件．A B CDEF GHM N随堂检测【习题1】某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米．【难度】★800．【答案】3【解析】考查俯角的定义．【习题2】一船在海上点B处沿南偏东10°方向航行到点C处，这时在小岛A测得点C 在南偏西80°方向，则=______．ACB【难度】★【答案】90°【解析】考查方向角的定义．【习题3】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度为______．【难度】★【答案】1:2【解析】考查坡度的定义．20/ 32AB CDE【习题4】 如图，已知楼房AB 高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD = 50米， 塔高DC 150503+ ） A ．由楼顶望塔顶仰角为60° B ．由楼顶望塔基俯角为60° C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°【难度】★★ 【答案】C ．【解析】解：由图可知：50====AE DE DB AB ， ∴3350503350150=-+=-=ED CD EC ． 在ACE Rt △中，33503350tan ===∠AE CE CAE ，∴︒=∠30CAE ．∴由楼顶望塔顶仰角为30°．【总结】本题主要考查利用已知条件解直角三角形，再利用锐角三角比的值求出角的度数．【习题5】 A 港在B 地的正南103A 港开出向西航行，某人第一次 在B 处望见该船在南偏西30°，半小时后，有望见该船在南偏西60°，则该船速度为______．【难度】★★ 【答案】40h km /．【解析】解：在ACB Rt △中，ABAC CBA =∠tan ，∴33310=CA ，解得：10=CA ． 在ADB Rt △中，ABAD DBA =∠tan ，∴3310=DA ，解得：30=DA ．∴201030=-=-=AC AD CD ，∴402120=÷=v ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．DABCNM 【习题6】 如图，一架飞机在高度为5千米的点A 时，测得前方的山顶D 的俯角为30°， 水平向前飞行2千米到达点B 时，又测得山顶D 的俯角为45°，求这座山的高度DN ．（结果可保留根号）【难度】★★ 【答案】43-米．【解析】解：由题意可得：5==CN AM ， 2=AB ，︒=∠30CAD ，︒=∠45CBD ．设x CD =，则x BC =．在ACD Rt △中，tan DC CAD AC ∠=，∴233+=x x，解得：13+=x ， ∴()34135-=+-=-=CD CN DN ．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的有关概念解决实际问题．【习题7】 小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正 东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东15°方向，求小岛B 离深水港口A 的距离．(精确到0.1千米)（参考数据：2 1.41≈，6 2.45≈，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈） 【难度】★★ 【答案】38.6千米．【解析】解：由题意可得：203230=⨯=AC ， ︒=∠45CAB ，︒=∠30B ．过C 点作CD ⊥AB ．在ACD Rt △中，ACDC CAD =∠sin ，∴2022CD=，解得：210=CD ，∴210==CD AD ．在BCD Rt △中，BDDCB =tan ，∴BD 21033=，解得：610=BD ． ∴6.38610210≈+=+=BD AD AB ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．ABC北 北 D【习题8】 如图，以水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB的坡度1:3AB i =，斜坡CD 的坡度1:2.5CD i =．（1）求斜坡AB 和坝底AD 的长度；（2）若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB 的坡度AB i 由原来的1 : 3变为1 : 5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米．【难度】★★【答案】（1）1023，132.5；（2）598． 【解析】解：由题意可得： 6=BC ，23==CF BE ，31tan =A ，525.21tan ==D ．在ABE Rt △中，AEBE A =tan ，∴AE2331=，解得：69=AE ． ∴102369232222=+=+=AE BE AB ． 在CDF Rt △中，DFCF D =tan ，∴DF 2352=，解得：2115=DF ．∴5.1322115669=++=++=FD EF AE AD ． （2）由（1）可得：66369=-=-=ME AE AM ．在HGM Rt △中，HM GM H =tan ， ∴HM2351=，∴115=HM ． ∴4966115=-=-=AM HM AH ．∴()()598234932121=⋅+=⋅+=GM AH GB S GHAB 梯形．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．ABCDEFCD F G H【习题9】 某城市规划期间，欲拆除河岸边的一根电线杆AB （如图），已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD = 14米，该河岸的坡面CD 的坡比为1 : 2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，请你通 过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否需要将此人行道封上？（在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域）【难度】★★★【答案】不需要将此人行道封上． 【解析】解：由题意可知：︒=∠30ACG ，21tan =D ．在Rt CDF △中，DF CF D =tan ，∴DF221=，解得：4=DF ， ∴52422222=+=+=DF CF CD ． ∴18414=+=+=DF BD BF ．在AGC Rt △中，GC AG ACG =∠tan ，∴1833AG=，解得：36=AG ， ∴392.12236≈+=+=GB AG AB ． ∴BD AB <．∴不需要将此人行道封上．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题10】 如图，小唐同学在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，一会儿便飞抵C 处，此 时，在AQ 延长线B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；（2）此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°．若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 约为多长？（结果保留根号）【难度】★★★ 【答案】65215+．【解析】解：（1）由题意可知：︒=∠30B ， ︒=∠45PAQ ，10=PQ ．在PBQ Rt △中，BQPQB =tan ，∴BQ1033=，解得：310=BQ ， ∵10==PQ AQ ，∴10310+=+=QA BQ AB ． （2）由题意有：︒=∠75CAD ∴︒=︒-︒=∠453075C ． 过A 作AE ⊥BC ，在ABE Rt △中，ABAE B =sin ，∴3101023+=AE ，解得：1535+=AE ，在ACE Rt △中，ACEA C =sin ，∴AC351522+=，解得：65215+=AC ． 【总结】本题综合性较强，主要是利用已知条件，结合仰角和俯角的运用解直角三角形．BCDPE【作业1】 身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300米，250 米，200米，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则 三人所放的风筝（ ）A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高【难度】★ 【答案】D ．【解析】由仰角的定义和解直角三角形可得：甲的风筝离地面150米，乙的风筝离地面 2125米，丙的风筝离地面3100米．∵150********>>∴乙的风筝最高．【总结】本题主要考查方位角的概念以及特殊角的锐角三角比的值．【作业2】 小明在东西方向是沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为______米．【难度】★ 【答案】3200．【解析】解：由题意可知：︒=∠30PAB ，︒=∠120PBA ． ∴︒=∠30APB ∴APB PAB ∠=∠ ∴400==PB AB过P 作PC ⊥AB ，垂足为C 在PBC Rt △中，PBPCPBC =∠sin ， ∴40023PC=∴3200=PC ．【总结】本题主要考查方位角的概念及运用．课后作业【作业3】 某人从地面沿着坡度1:3i =的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．【难度】★ 【答案】50【解析】考查坡度的定义和解直角三角形．【作业4】 如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°的方向，这艘渔船以 28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°的方 向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ）A ．14海里B ．142海里C ．7海里D ．72海里【难度】★★ 【答案】D【解析】解：由题意有：︒=∠30MAB ，︒=∠105ABM ，142128=⨯=AB ．∴︒=∠45M ．过B 作BC ⊥AM ，垂足为C在ABC Rt △中，721==AB BC ；在MBC Rt △中，MBBCM =sin ， ∴722MB=．∴27=MB ．【总结】本题主要考查利用方位角结合锐角三角比解决实际问题．A BM北东C【作业5】 如图，在同一地面上有甲、乙两幢楼AB 、CD ，甲楼AB 高10米，从甲楼AB 的楼顶测得乙楼CD 的楼顶C 的仰角为30°，从乙楼CD 的楼顶C 拉下的节日庆典条幅 CE 与地面所成的角为60°，这时条幅与地面的固定点E 到甲楼B 的距离为24米，求条幅CE 的长度．【难度】★★【答案】24310+米．【解析】解：由题意可知：︒=∠30CAF ，︒=∠60CED 设x CE 2=，则x ED =，x CD 3=在ACF Rt △中，AF CF CAF =∠tan ，∴xx +-=2410333， ∴1235+=x ．∴243102+==x CE ．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．AB CDEF【作业6】 如图，水坝的横截面是梯形ABCD ，上底AD = 4米，坝高3AM DN ==米，斜坡AB 的坡比11:3i =，斜坡DC 的坡比21:1i =．（1）求坝底BC 的长；（结果保留根号）（2）为了增加水坝的抗洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底2EF =米，求水坝增加的高度．（精确到0.1米，参考数据3 1.73≈）【难度】★★【答案】（1）733+；（2）0.7米．【解析】解：（1）在MBA Rt △中，MBAMB =tan ， ∴BM331=，∴33=MB ． 在DNC Rt △中，NCDNC =tan ， ∴NC31=，∴3=NC ．∴7333433+=++=++=NC MN BM BC ．(2)在EGB Rt △中，BG EGB =tan ，∴BG EG =31， 在FCH Rt △中，HC FH C =tan ，∴HCFH=1， 设x FH EG ==，则x BG 3=，x CH =，∴73323+=++=++=++=x x HC EF BG HC GH BG BC ． ∴32+=x ．∴7.013332≈-=-+=∆h ．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．ABCDNMABCDNMEF GH【作业7】 如图，某人在建筑物AB 的顶部测得一烟囱CD 的顶端C 的仰角为45°，测得点C 在湖中的倒影C 1的俯角为60°，已知AB = 20米，求烟囱CD 的高．【难度】★★【答案】40320+米．【解析】解：由题意可得：︒=∠45CAE ，︒=∠601EBC ．过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ． 设x CE =，则x AE =． ∵C 和C 1关于BD 对称， ∴201+==x D C CD ． 在1AEC Rt △中，AEEC EAC 11tan =∠， ∴xx 403+=，∴20320+=x ．∴4032020+=+=x CD ．【总结】本题主要考查利用俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题，注意认真分析．【作业8】 如图，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD 和BC 的坡度为1： 0.6，现在测得放水前的水面宽EF 为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米，求放水后水面上升的高度．【难度】★★【答案】放水后水面上升的高度为0.75米．【解析】解：由题意可知：四边形GEFH 为等腰梯形． 356.0:1tan ==∠MGE ．过E 作EM ⊥GH ，过F 作FN ⊥GH 由等腰梯形的性质可得：45.0==NH GM ．在GME Rt △中，GM EMMGE =∠tan ，∴45.035EM=，∴75.0=EM ．∴放水后水面上升的高度为0.75米．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．ABC DC 1E AC D EF GHMN31 / 32 【作业9】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋 风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在以每小时15千米的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不 变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？（3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【难度】★★★【答案】（1）受影响；（2）h 154；（3）6.5级．【解析】解：（1）会受到台风影响．过A 作AD ⊥BC ．台风在移动时，距离A 最近D 处时， 在ABD Rt △中，1102202121=⨯==AB AD 110÷20=5.5；12-5.5=6.5；6.5超过4级，受台风影响． （2）当台风在移动，其与A 距离是()km 16041220=-⨯时开始受影响或结束影响．持续时间为h h t 15415110160222=-⨯=． （3）由（1）可得：该城市受台风影响的最大风力是6.5级．【总结】本题主要考查对方位角的理解以及是否受影响的理解，解题时要认真分析题意．A B C D32 / 32 【作业10】 如图，小明发现在小丘上种植着一棵香樟树AB ，它的影子恰好落在丘顶平地BC 和斜坡的坡面CD 上．小明测得BC = 4米，斜坡的坡面CD 的坡度为41:3，CD =2.5米．如果小明同时还测得附近的一根垂直于地面的2米高的木柱MN 的影长NP = 1.5 米，求这棵香樟树AB 的高度．【难度】★★★ 【答案】6.5米．【解析】解：由题意可得：4:334:1tan ==∠CDE 345.12tan tan ==∠=ADE P ． 4==EF BC ， 设x FC 3=，x DF 4=， ∴()()5.25432222==+=+=x x x DF CF CD ． ∴5.0=x ，∴5.1=CF ，2=DF ，∴5.1==CF BE ．在AED Rt △中，ED AE ADE =∠tan ， ∴245.134++=AB ， ∴5.6=AB ．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，要认真分析题意，并且熟练使用相似的性质以及通过锐角三角比解直角三角形的方法．A B CD 光线P N M E F。

解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形．难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．1、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系： sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 解直角三角形内容分析知识结构知识精讲模块一：解直角三角形的基本类型步同级年九2 / 20【例1】 在ABC ∆中，已知90C ∠=︒，37B ∠=︒，c = 8，求这个直角三角形的其他边和角（sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，cot370.25︒≈）． 【答案】53A ∠=︒， 4.8b =， 6.4a =．【解析】解：90903753A B ∠=︒-∠=︒-︒=︒；在Rt ABC △中，sin b B c =，则0.68b=，解得： 4.8b =；在Rt ABC △中，cos a B c =，则0.88a=，解得： 6.4a =． 【总结】已知斜边和一锐角度数时，求直角边时，用锐角的正弦或余弦．【例2】 在ABC ∆中，90C ∠=︒，43A ∠=︒，b = 9，解这个直角三角形（sin430.68︒≈，cos430.73︒≈，tan430.93︒≈，cot 43 1.07︒≈）．【答案】47B ∠=︒，8.37a =，12.33c =．【解析】解：90904347B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒； 在Rt ABC △中，tan a A b =，则0.939a=，解得：8.37a =；在Rt ABC △中，9cos A c=，则0.88a=，解得：12.33c =．【总结】已知直角边和一锐角度数时，求直角边时用锐角的正切或余切，求斜边时用锐角的正弦或余弦．【例3】 在ABC ∆中，已知90C ∠=︒，c = 8，a = 6，求这个直角三角形的其他边和角（利用计算器计算）．【答案】27b =，48A ∠=︒，42B ∠=︒．【解析】解：22228627b c a =-=-=．在Rt ABC △中，sin a A c =，则3sin 4A =．利用计算器解得：48A ∠=︒，90904842B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒．【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．【例4】 在ABC ∆中，已知90C ∠=︒，a = 7，b = 9，解这个直角三角形（利用计算器计算）．【答案】130c =，38A ∠=︒，52B ∠=︒．例题解析【解析】解：222279130c a b =+=+=， 在Rt ABC △中，tan a A b =，则7tan 9A =，利用计算器可得：38A ∠=︒，∴90903852B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒．【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．【例5】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 4，AC = 22，BC = ______，A ∠= ______． 【答案】22BC =，45A ∠=︒．【解析】解：()222242222BC AB AC =-=-=．在Rt ABC △中，cos AC A AB =，则2cos 2A =，∴45A ∠=︒． 【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．【例6】 在ABC ∆中，::1:3:2AC BC AB =，则A ∠= ______． 【答案】60°．【解析】解：设AC x =，3BC x =，2AB x =，∵222AC BC AB +=，∴ABC ∆为直角三角形． 师生总结解直角三角形的基本类型有哪些？并简述解法．步同级年九4 / 20在Rt ABC △中，cos AC A AB =，则1cos 2A =，∴60A ∠=︒． 【总结】当已知直角三角形的三边比为32时，则这个直角三角形中的最小角为30°．【例7】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，AC + BC = 2，则AB 的长是______． 【答案】32．【解析】解：在Rt ABC △中，cos BC B AB =，又60B ∠=︒，则1cos 2B =． 设BC x =，则2AB x =，223AC AB BC x =-．∵AC + BC = 2， 32x x +=．解得：31x =， ∴2232AB x ==．【总结】当直角三角形中含有30°的锐角时，则三边比为32．【例8】 在直角三角形中，90C ∠=︒，30A B ∠-∠=︒，a –b =2，a 、b 、c 是A ∠、B ∠、C ∠所对的边，解这个直角三角形．【答案】60A ∠=︒，30B ∠=︒，33a =+31b =，232c =． 【解析】∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒， ∴+90A B ∠∠=︒； 又∵30A B ∠-∠=︒， ∴60A ∠=︒，30B ∠=︒； 在Rt ABC △中，tan b B a =3ba=，即3a b =； ∵a –b =2， 32b b -=， ∴31b =．∴333a b ==2232c b ==．【总结】当直角三角形中含有30°的锐角时，则三边比为32．【例9】 如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，AC = 4，以B 为圆心，4为半径作圆弧交AC 边于点F ，交AB 于点E ，连接CE ，求ACE ∠的正切值．【答案】316．【解析】解：过点E 作EG ⊥AC ，交AC 于点G ．∵GE BC ∥，∴AE AG GEAB AC BC ==，∴1543AG GE==，∴45AG =，35GE =，A BCDE∴416455CG AC AG =-=-=．在Rt CEG △中，335tan 16165GE ACE CG ∠===． 【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角 形求锐角三角比．【例10】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，tan B =12，AE = 7，求DE 的长． 【答案】73． 【解析】解：在Rt BED ∆中，1tan 2ED B BE ==， 设DE x =，则2BE x =，()222225BD DE BE x x x =+=+=． ∵D 是BC 中点，∴5DC x =． 在Rt ABC ∆中，1tan 2AC B BC ==， 则1225AC x=，解得：5AC x =． 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， 则()()()22227525x x x +=+，解得：73x =．即DE 的长为73．【总结】当同一个锐角在不同的直角三角形中时，可多次运用此锐角的三角比，得到不同的线段的比值．【例11】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，解下列直角三角形：（1）60B ∠=︒，232AC BC -=-； 模块二：解直角三角形的运用例题解析（2）10BC =，ABC S ∆=【答案】（1）30A ∠=︒，2BC =，AC =4AB =；（2）60A ∠=︒，30B ∠=︒，ACAB = 【解析】解：（1）9030A B ∠=︒-∠=︒．在Rt ABC ∆中，tan ACB BC ==BC x =，则AC ；∵2AC BC -=2x -=，∴2x =． ∴2BC =，AC ==24AB x ==． （2）∵ABC S ∆=12BC AC ⋅⋅，∴1102AC ⋅⋅=AC =在Rt ABC ∆中，3cot 10AC A AB ===，则60A ∠=︒． ∴906030B ∠=︒-︒=︒，2AB AC = 【总结】利用特殊角30°以及60°的特殊角的锐角三角比的值解直角三角形．【例12】 如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，EC = 1，cos B =513，则这个菱形的面积是______．【答案】3916． 【解析】解：在Rt ABE ∆中，cos B =513BE AB =，设5BE x =，则13AB x =． AB CDEABCD'D ∴()()222213512AE AB EB x x x =-=-，∴1358EC x x x =-=．∵EC = 1，∴81x =，解得：18x =．∴39121316ABCD S AE BC x x =⋅=⋅=四边形． 【总结】本题主要考查锐角三角比的直接运用．【例13】 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D落在CB 的延长线上的'D 处，则tan 'BAD ∠等于（）A ．1B 2C 2D ．22【答案】B【解析】解：∵线段BD 绕着点B 旋转后， 点D 落在CB 的延长线上的'D 处． ∴'22BD BD ==在'Rt ABD △中，'22tan '=2D B BAD AB ∠==． 【总结】本题一方面考查锐角三角比的意义，另一方面考查图形旋转的性质．【例14】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是BC 边上的中线．（1）求证：tan =2tan ADC ABC ∠∠； （2）若2BD =30B ∠=︒，求AD 的长．【答案】（1）证明略；（2）423． 【解析】（1）证明：在Rt ABC ∆中，tan CAABC BC∠=； 在Rt ADC ∆中，tan CAADC DC∠=． ∵AD 是BC 边上的中线，∴2BC CD =， ∴2CA CABC CD⨯=． ∴tan =2tan ADC ABC ∠∠．（2）∵2BD =，AD 是BC 边上的中线， ∴222BC BD ==步同级年九8 / 20ABCD在Rt ABC ∆中，tan30AC BC ︒=322=，解得：263AC =在Rt ADC ∆中，()2222242263AD CD CA ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 【总结】本题一方面考查锐角三角比的意义，一方面考查特殊角的锐角三角比的值．【例15】 ABC ∆中，=90C ∠︒，85AC =角平分线16153AD =解这个直角三角形． 【答案】30B ∠=︒，60CAB ∠=︒，165AB =815BC = 【解析】解：在Rt ADC ∆中，853cos 16153AC CAD AD ∠===，∴30CAD ∠=︒，∵AD 平分CAB ∠， ∴60CAB ∠=︒．∴9030B CAB ∠=︒-∠=︒，2165AB AC == 在Rt ABC ∆中，tan AC B BC =385=，∴815BC =【总结】通过直角三角形中边之间的关系得到角度．【例16】 如图，四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90C ∠=︒，75ABD ∠=︒，30DBC ∠=︒，AB = 2a ，求BC 的长． 2a ．【解析】解：过B 作BE AD ⊥，垂足为E ． ∵45A ∠=︒，∴45ABE ∠=︒．∵75ABD ∠=︒，∴30EBD ∠=︒． 在Rt ABE ∆中，sin EB A AB =22EBa=，∴2EB a ；在Rt DBE ∆中，cos EB DBE DB ∠=32a=，∴263DB a =．在Rt DCB ∆中，cos CB DBC DB∠=3263CB a =，∴2CB a =． 【总结】将题目中的特殊角构造到直角三角形中．【例17】 如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AC = 2，AB = 4，ACD B ∠=∠，求cos DCB ∠． 【答案】45．【解析】解：过点D 作DE BC ⊥，交BC 边于点E ． 在Rt ABC ∆中，22222425BC AC AB =++ ∵ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ACD ABC △∽△．∴AC AD DCAB AC BC ==，即24225AD ==∴1AD =，5CD =．∵B B ∠=∠，BED BAC ∠=∠，∴BED BAC △∽△． ∴BE BD AB BC =，即425BE ，∴655BE =．∴64255555EC BC BE =-=在Rt DCE △中，4545cos 55CE DCB CD ∠===．【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角 形求锐角三角比．【例18】 如图，在ABC ∆中，AB = AC ，BD ⊥AC ，D 为垂足，且2sin 7DBC ∠=，求BC AC的值．【答案】47．【解析】解：过点A 作AE BC ⊥，交BC 边于点E ． ∵90C DBC ∠+∠=︒，90C EAC ∠+∠=︒， ∴DBC EAC ∠=∠．∴2sin sin 7DBC EAC ∠=∠=， 在Rt ACE △中，sin EC EAC AC ∠=，∴27EC AC =．∵AB AC =，AE BC ⊥， ∴2BC EC =．∴224277BC CE AC AC ==⨯=． 【总结】善于发现题目中的条件得到相等的角，然后运用角度相等的锐角三角比值也相等的思路去解题．【例19】 在ABC ∆中，已知D 为AB 中点，135ACB ∠=︒，AC ⊥CD ，求sin A 的值．步同级年九10 / 205． 【解析】解：过点D 作DE CD ⊥，交BC 边于点E ． ∵135ACB ∠=︒，∴45DCE ∠=︒． ∵DE CD ⊥，AC ⊥CD ， ∴AC DE ∥， ∴DB EDAB AC=． ∵D 为AB 中点，∴12ED AC =． 设ED x =，则CD x =，2AC x =．在Rt ACD △中，225AD AC CD x =+，∴5sin 5CD A AD x=== 【总结】1、本题还有一种辅助线的方法，如图．2、添辅助线的原则是：①将特殊角构造到直角三角形中； ②添加辅助线之后要能包含基本图形．【例20】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = BC ，AD 是BC 上的中线，求cos BAD ∠与sin BAD ∠的值．3101010． 【解析】解：过点D 作DE AB ⊥，交AB 于点E ． 设2DB x =，则2CD x =，4AC x =． 在Rt ABC △中，2242AB AC BC x =+=， 在Rt ADC △中，2225AD AC DC x =+，在Rt BDE △中，sin DE B BD =22DEx =，∴2DE x =， 在Rt BDE △中，cos BE B BD =22BEx=，∴2BE x =，∴42222AE AB BE x x x =-==在Rt ADE △中，323cos 101025AE x BAD AD x ∠==，210sin 25DE x BAD AD x ∠=== 【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角形求锐角三角比．【例21】 若等腰三角形两腰上的高的和等于底边上的高，求底角的余切值． 15． 【解析】已知：如图，等腰ABC △中，AB AC =，CD AB ⊥，BE AC ⊥，AF BC ⊥．且满足CD BE AF +=，求cot ABC ∠的值．解：∵A A ∠=∠，AB AC =，ADC AEB ∠=∠，∴ADC AEB △≌△． ∴DC BE =． ∵CD BE AF +=， ∴2CD AF =． ∵1122BC AF AB CD ⋅⋅=⋅⋅， ∴2BA BC =． 设2BC x =，则4AB x =，BF x =在Rt ABF △中，()2222415AF AB BF x x x -=-，15cot 15BF ABC AF x ∠== 【总结】本题是一道文字题，要根据题意先画出图形，然后再根据条件进行求解． 【例22】 在ABC ∆中，BC = 6，63AC =30A ∠=︒，求AB 的长．【答案】6或12．【解析】解：过点C 作CD AB ⊥，交AB 于点D ．在Rt ACD △中，sin CDA AC =，∴1263=，∴33CD =cos ADA AC=363=，∴6AD =． 在Rt BCD △中，()22226333BD CB CD =--，∴11936AB AD B D =-=-=，229312AB AD B D =+=+=．【总结】本题主要考查对题意的理解，要注意两种情况的讨论．【例23】 在四边形ABCD 中，AB = 8，BC = 1，30BAD ∠=︒，60ABC ∠=︒，四边形ABCD 的面积为53AD 的长． 【答案】3【解析】解：延长AD 和BC 相交于点E ．步同级年九12 / 20∵30BAD ∠=︒，60ABC ∠=︒，∴90E ∠=︒．在Rt AEB △中，sin BE A AB =，∴128BE=，∴4BE =，3EC BE BC =-=；∵cos AE A AB =，∴328AE=，∴43AE =． ∵四边形ABCD 的面积为53，∴1144335322AEB EDC ABCD S S S DE =-=⋅⋅-⋅⋅=△△四边形，∴23DE =．∴432323AD AE DE =-=-=．【总结】当看到30°和60°这些特殊角时，要想办法把它们构造到一个直角三角形中．【例24】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒，AD = 2，13AB =+，求CD 的长度．【答案】2．【解析】解：延长AD 和BC 交于点E ． ∵120BCD ∠=︒，∴60DCE ∠=．∵90ADC ∠=︒，∴30E ∠=， ∴60BAE ∠=． 在Rt ABE △中，cos AB A AE =，∴1132AE +=．∴223AE =+． ∴223223DE AE AD =-=+-=．在Rt CDE △中，tan DE DCE CD ∠=，∴233CD=，∴2CD =． 【总结】若题目中含有120°或者150°这些角时，要想到它们的邻补角也是特殊角．【习题1】在t R ABC ∆中，90C ∠=︒，下列条件中不能解直角三角形的是（ ）随堂检测AB CDCBAA ．已知c 和bB ．已知a 和A ∠C ．已知A ∠和B ∠D ．已知a 和b【答案】C【解析】两角只能确定三角形的形状，不能确定三角形的大小．【习题2】等腰三角形底边长为10厘米，周长为36厘米，则底角的余弦等于（ ）A ．513B ．1213C ．1013D ．512【答案】A【解析】等腰△ABC 中，AB AC =，10BC =，△ABC 的周长为36，求cos B ． ∵AB AC =，10BC =，△ABC 的周长为36， ∴13AB AC ==．过A 作AD BC ⊥，则5BD =，在Rt ABD △中，5cos 12BE B AB ==． 【总结】本题主要考查等腰三角形的性质和锐角三角比的意义．【习题3】如图，在ABC ∆中，高CH 是边AB 的一半，且=75B ∠︒，求A ∠的度数（tan 75︒）．【答案】30°．【解析】在Rt BCH △中，tan 2CHB HB== 设HB x =，则(2CH x =+．∵高CH 是边AB 的一半，∴(4AB x =+．∴((43AH AB HB x x x =-=+-=+，在Rt ACH △中，2tan x CH A HA ===30A ∠=︒． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值． 【习题4】等腰三角形ABC 的周长为4+AB = AC ，30B ∠=︒，求三角形的三边长．【答案】2AB AC ==，BC =【解析】过点A 作AD BC ⊥，交BC 边于点D ．设AD x =，则2AB x =，BD =．步同级年九14 / 20ABCD FG∵等腰三角形ABC 的周长为423+ ∴2223423x x x ++=+，解得：1x =．∴2AB AC ==，23BC =【总结】本题主要考查等腰三角形的性质和特殊角的锐角三角比的值．【习题5】如图，90C ∠=︒，30A ∠=︒，AC = 6，点G 是的重心，GF // BC ，求GF的长． 233【解析】在Rt ABC △中， ∵30A ∠=︒， ∴3tan CB A AC ==∵AC = 6，∴33CB =∵点G 是的重心，GF // BC ， ∴13GF DG BC DB ==，∴12333GF BC = 【总结】本题一方面考查了重心定理，一方面考查了特殊角的锐角三角比的值．【习题6】如图，在ABC ∆中，6AB =45B ∠=︒，60C ∠=︒，求AC 、BC 的长．【答案】2，13【解析】解：过点A 作AD BC ⊥，交BC 边于点D ．在Rt ABD △中，sin ADB AB =26=，∴3AD =， ∴3BD AD == 在Rt ACD △中，sin AD C AC =33=2AC =．∴()2222231CD AC AD =-=-， ∴13BC CD BD =+=A CD EDCBA【总结】本题主要是考查通过做高，将特殊角放到直角三角形中，再利用特殊角的锐角 三角比进行求值．【习题7】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =12，DE 是AB 的垂直平分线， BC = 2，求： （1）sin AED ∠的值；（2）CE 的长．【答案】（1；（2）32．【解析】（1）在Rt ABC ∆中，tan BC A AC =，∴122AC=， ∴4AC =，∴AB =∴sin AC B AB === ∵90A AED ∠+∠=︒，90A B ∠+∠=︒，∴B AED ∠=∠．∴sin sin AED B ∠=（2）∵D 为AB 的中点，∴AD = 在Rt AED ∆中，tan EDA AD=，∴12=∴DE =，∴52AE ==， ∴53422AC AB AE =-=-=． 【总结】当两个锐角相等时，它们的锐角三角比的值也相等．【习题8】 在ABC ∆中，BC = 15，AB : AC =7 : 8，1cos2C =，求BC 边上的高．【答案】．【解析】过点A 作AD BC ⊥，交BC 边于点D ． 设7AB x =，则8AC x =．在Rt ACD △中，cos CD C AC =， ∴128CDx =．∴4CD x =，∴154BD x =-．∵2222AB DB AC DC -=-，∴()()()()2222715484x x x x --=-．解得：13x =，25x =（舍去）．步同级年九16 / 20∴()()228443123AD x x x =-==．【总结】本题通过添高将已知的锐角放入直角三角形中，利用锐角三角比的值求解．【作业1】 已知等边三角形一边上的中线长为a ，则此三角形的边长为______．【答案】233a ．【解析】解：△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，AD =a ，求AB 的长． ∵AB =AC ， ∴AD ⊥BC ，在Rt ABD △中，sin AD B AB =， ∴32aAB=，∴233AB a =． 【总结】本题是一道基础题，主要考查60°角的正弦．【作业2】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，解下列直角三角形： （1）23BC =，3sin 2A =； （2）a = 5，53b =；（3）斜边上中线23CD =，AC = 6．【答案】（1）60A ∠=︒，30B ∠=︒，4AB =，2AC =； （2）30A ∠=︒，60B ∠=︒，10AB =；（3）30A ∠=︒，60B ∠=︒，43AB =，23BC =．【解析】解：（1）∵3sin 2A =，∴60A ∠=︒，∴906030B ∠=︒-︒=︒． 在Rt ABC △中，cot ACA BC=， ∴3323AC = ． ∴2AC =． ∴24AB AC ==．（2）在Rt ABC △中，53cot 35b A a ===， ∴30A ∠=︒，课后作业∴903060B ∠=︒-︒=︒， ∴210c a ==．（3）∵斜边上中线CD =∴2AB CD ==在Rt ABC △中，cos AC A AB === ∴30A ∠=︒．∴903060B ∠=︒-︒=︒，12BC AB == 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及运用．【作业3】 在ABC ∆中，AB = AC ，BC 边上的高为8，三角形的周长为32，则sin C的值是______． 【答案】45．【解析】过A 作AD ⊥BC ，则AD =8． ∵AB = AC ，三角形的周长为32， ∴232AB BC +=．∵AB = AC ，AD ⊥BC ， ∴2BC BD =，∴16AB BD +=，∴16DB BA =-．∵在Rt ABD △中，222AB AD DB =+， ∴()222816AB AB =+-． ∴10AB =，6BD =． ∴在Rt ABD △中，84sin 105AD B AB ===，∴4sin sin 5C B ==． 【总结】本题比较基础，解题时注意运用等腰三角形的性质．【作业4】 在ABC ∆中，=30A ∠︒，60C B ∠-∠=︒，若BC = a ，求AB 的长．． 【解析】过点C 作CD ⊥AB ． ∵180A B C ∠+∠+∠=︒，=30A ∠︒，∴150B C ∠+∠=︒， ∵60C B ∠-∠=︒， ∴105C ∠=︒，45B ∠=︒．在Rt CBD △中，sin CD B CB =CD a =，∴CD =，∴BD CD ==．在Rt CAD △中，tan CD A AD =，2AD=，∴AD =，∴AB AD BD =+． 【总结】当已知的特殊角不在直角三角形中时，要构造包含该特殊角的直角三角形．步同级年九18 / 20【作业5】已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = 15，CD = 13，AD = 8，B ∠是锐角，4sin 5B =，求BC 的长．【答案】12或22．【解析】过点A 、点D 分别作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ， 垂足分别为E 、F ． 在Rt ABE △中，sin AEB AB=， ∴4515AE =，∴12AE =， ∴222215129BE AB AE =-=-． ∵四边形ADFE 是矩形，∴12DF AE ==．∴在Rt DCF △中，222213125CF CD DF -=-，∴117512BC BF CF =-=-=或217522BC BF CF =+=+=．【总结】本题有两种情况，要注意分类讨论．【作业6】已知在ABC ∆中，AB =23，AC = 2，BC 3BC 的长．【答案】4或2．【解析】解：如图，过A 作AD ⊥BC ，则3AD 在Rt ABD △中， ()()22222333BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，()2222231CD AC AD =-=-，∴1312BC BD CD =-=-=或314BC BD CD =+=+=．【总结】当已知三角形两条边的长和第三边的高时，通常都有两种情况，锐角三角形和钝角三角形．【作业7】如图，在ABC ∆中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD = DC = 4，tan B =43．求： （1）ABC ∆的面积；（2）sin BAC ∠的值．【答案】(1)14；（27210【解析】解：（1）在Rt ABD △中，tan ADB DB=，∴443BD=，∴3BD =， ∴11741422ABC S BC AD =⋅⋅=⨯⨯=△． （2）过点C 作CE ⊥AB ，垂足为点E ． 在Rt ABD △中，2222435AB AD BD =++． ∵12ABC AB CE S ⋅⋅=△， ∴15142CE ⨯⨯=， ∴285CE =．在Rt ACD △中， 22224442AC AD CD =+=+=在Rt AEC △中， 2875sin 21042EC BAC AC ∠==．【总结】本题主要考查锐角三角比的意义．【作业8】如图，在四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，6AB =53BC =，CD = 6，求AD ．【答案】219【解析】解：过点A 作AH ∥BC 交CD 于H ，过点B 、C 分别作BE ⊥AH ，CF ⊥AH ，垂足分别为点E 、F ，过点A 作AG ⊥DC ，交DC 延长线交于点G ． ∵135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AH ∥BC ， ∴45BAE ∠=︒，60CHF ∠=︒．在Rt ABE △中，2sin 2BE BAE AB ∠==，又6AB = ∴3BE =，∴3AE BE =．∵四边形BEFC 为矩形， ∴3CF BE ==．在Rt CFH △中，tan 3CHF ∠，∴1FH =，∴22CH FH ==， ∴35316AH AE EF FH =++==，在Rt AGH △中，3sin AG AHG AH ∠=∴33AG =132GH AH ==．∴321CG GH CH =-=-=，∴7DG CG CD =+=．在Rt AGD △中，AD =．【总结】本题的综合性比较强，做题时注意辅助线的添加，依据还是构造包含特殊角的直角三角形．。