苏教版(文科)高中数学高考总复习巩固练习抛物线及其性质(提高)

【巩固练习】一、选择题：1.若1,0a b ><，且b b a a-+=b b a a --的值等于（ ） A.6 B.2± C.2- D.22.函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A.1>aB.2<aC.a <1a <<3.已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3)b a 11<；(4)1133a b >；(5)1133a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4.函数2121x x y -=+是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数5.(2015 泉州模拟)函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图像如图所示，则函数()x g x a b =+的大致图像是（）6.已知01,1a b <<<-，则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 7.2()1()(0)21x F x f x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( ) A.是奇函数 B.可能是奇函数，也可能是偶函数C.是偶函数D.不是奇函数，也不是偶函数8.(2015 河南二模)已知(),,xf x e x R a b =∈<，记()()A f b f a =-，()()()()12B b a f a f b =-+，则,A B 的大小关系是（ ） .A A B > .B A B≥ .C A B < .D A B ≤ 二、填空题：9.设函数[)22,(,1)(),,1,x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩若()4f x >，则x 的取值范围是_________. 10.函数22811(31)3x x y x --+⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的值域是_______________. 11.函数2233x y -=的单调递减区间是_______________.12.(2015 福建高考)若函数()2()x a f x a R -=∈满足()()11f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 .三、解答题：13.已知[]3,2x ∈-，求11()142x xf x =-+的最小值与最大值. 14.设a R ∈，22()()21x x a a f x x R ⋅+-=∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函数. 15.已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域. 16.若函数4323x x y =-⋅+的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围.17.已知函数1()(1)1x x a f x a a -=>+， (1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明()f x 是R 上的增函数.【参考答案与解析】5.A【解析】由()f x 的图像可知01a <<，1b <-，则函数()g x 为减函数，且()010g b =+<，故答案为A .8.C【解析】考查选项，不妨令1,0b a ==，则1A e =-，12e B +=显然A B <，排除,A B 选项. 若A B =则()()12b a a b e e b a e e -=-+ 整理得()()22b a b a e b a e -+=-+观察可得a b =，与a b <矛盾，排除D .故选C .12.【答案】1【解析】()()11f x f x +=-，()f x ∴关于1x =对称，函数()()2x a f x a R -=∈，x a =为对称轴，1a ∴=()f x ∴在[1,)+∞上单调递增,()f x 在[,)m +∞上单调递增,m ∴的最小值为1.二、填空题9.(),2(2,)-∞-+∞，()4,f x >当1x <时，由24x ->可知，2x <-； 当1x ≥时，由24x >可知，2x >，∴ 2x >或 2x <-. 10.991,33⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令222812(2)9U x x x =--+=-++， ∵ 31,99x U -≤≤∴-≤≤， 又∵13U y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数， ∴99133y ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭. 11.()0,+∞，令23,23U y U x ==-， ∵3U y =为增函数，∴2233x y -=的单调递减区间为()0,+∞.12. 0，3221(125)(5)(5)220f f f ⨯-===-=三、解答题： 13.221113()142122124224x x x x x x x f x -----⎛⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∵[]3,2x ∈-， ∴1284x -≤≤. 则当122x -=，即1x =时，()f x 有最小值43；当28x -=，即3x =-时，()f x 有最大值57.14.要使()f x 为奇函数，∵ x R ∈，∴需()()0f x f x +-=， ∴1222(),()212121x x x x f x a f x a a +-=--=-=-+++， 由12202121x x x a a +-+-=++，得2(21)2021x x a +-=+，1a ∴=. 15.令13U y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，225U x x =++，则y 是关于U 的减函数， 而U 是(),1-∞-上的减函数，()1,-+∞上的增函数， ∴22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函数， 又∵2225(1)44U x x x =++=++≥， ∴22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为410,3⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦. 16.243232323x x x x y =-⋅+=-⋅+，依题意有22(2)3237(2)3231x x x x ⎧-⋅+≤⎪⎨-⋅+≥⎪⎩即1242221x x x ⎧-≤≤⎪⎨≥≤⎪⎩或，∴ 224021,x x ≤≤<≤或 由函数2xy =的单调性可得(,0][1,2]x ∈-∞. 17.（1）∵定义域为x R ∈，且11()(),()11x xx xa a f x f x f x a a -----===-∴++是奇函数； （2）1222()1,11,02,111x x x x x a f x a a a a +-==-+>∴<<+++∵ 即()f x 的值域为()1,1-；（3）设12,x x R ∈，且12x x <，12121212121122()()011(1)(1)x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ----=-=<++++(∵分母大于零，且12x x a a <) ∴()f x 是R 上的增函数.。

一、单选题1. 已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段的长度为（）A．4 B．C．2 D．2. 以下几个命题中，其中真命题的序号为（）①过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有两条；②双曲线的渐近线方程为；③在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；④双曲线与椭圆有相同的焦点．A．①③B．①④C．③④D．②④3. 已知抛物线的焦点为F，抛物线C上一点到焦点F的距离为.则实数p值为（）A．2 B．1C．D．4. 已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（）A．B．C．D．5. 给出下列说法：①方程表示一个圆；②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；③已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，则的面积为（）A．B．C．D．二、多选题7. 已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为2，则（）A．焦点F的坐标为B．过点恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点C．直线与抛物线C相交所得弦长为4D．抛物线C与圆交于M，N两点，则8. 抛物线的准线为，焦点为，且经过点，点关于直线的对称点为点，设抛物线上一动点到直线的距离为，则（）A．B．的最小值为C．直线与抛物线相交所得弦的长度为4D．过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有两条三、填空题9. 已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______．10. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，连接并延长，交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时，______．11. 过抛物线的焦点的直线与交于、两点，且，为坐标原点，则的面积为________.12. 已知抛物线上三点，若直线AB，AC的斜率互为相反数，则直线BC的斜率为_________四、解答题13. 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，当直线过点时，点到的准线的距离之和为，线段的中点到轴的距离是4.(1)求抛物线的方程；(2)当时，设抛物线在点处的切线交于点，求证：.14. 已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为.（1）求；（2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由15. 已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，焦点F在y轴正半轴，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，且．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l经过焦点F，求直线l的方程16. 已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积.。

抛物线专题复习直线S，抛物线f !_■,y =4 + 3<y = 2px消y得.+(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当k工0时，△>0,直线I与抛物线相交，两个不同交点；△=0，直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。

(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定) 二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线i: y联立方程法：kx b 抛物线「' -1，(p 0)y kx b y22px k2x2 2(kb p)x b20设交点坐标为A(x i , y i ) , B(X 2,y 2),则有 0 ,以及X i X 2,X i X 2 ,还可进一步求出在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如相交弦AB 的弦长抛物线练习1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q (2，- 1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值 时，点P 的坐标为 _______________________2&在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1)，若线段0A 的垂直平分线过抛物线 y 2px(p 0)则该抛物 线的方程是 。

9、 在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线关于 x 轴对称，顶点在原点 O ,且过点P(2，4)，则该抛物线的方程 是 __________ 10、 抛物线yx 2上的点到直线4x 3y 8 0距离的最小值是 ___________________11、 已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，贝U y 12+y 22的最小值是 ________212、 已知点A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) (x 1x 2 0)是抛物线y 2 px( p 0)上的两个动点，O 是坐标原点，向量y iy 2kX-! b kX 2b k (X i X 2) 2b , y 』22 2(kX 1 b)(kx 2 b) k X j X 2 kb(X j X 2) bAB v1 k 2 X -I X 21 k2 Jx i X 2)2 4x 1X 21 k 2^(yi y2)2 4yiy222、已知点P 是抛物线y2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ___________则梯形APQB 的面积为 ___________2uur4、 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2px(p 0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为uuu 60°，则 OA 为 ___________5、 抛物线y 2 4x 的焦点为F ,准线为I ，经过F 且斜率为.3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ，AK 丄l ，垂足为K ，则△ AKF 的面积是 ______________6、 已知抛物线C: y 2 8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK | J 5|AF |，贝U AFK 的面积为 ___________2 27、 已知双曲线 —1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_______4 53、直线y x 3与抛物线y 2 4x 交于A,B 两点，过 代B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q ，(1)证明线段AB 是圆C 的直径;uuu 2 uu uu uuu 2 uuu 2 uuu uuuuu 2 OA 2O A OB OB OA2O A O BOB ，整理得uuu :OA uu uOB 0， X 1 X 2 y 1 y 2 0 (1)以线段AB 为直径的圆的方程为x 1 x 2 2y 1 y 2 2122(x - 2)(y 12)-[(x 1 X 2) (y 1 y 2)]，224展开并将(1)代入得：x 2 y 2 (x-i x 2)x (y 1 y 2) y 0，故线段AB 是圆C 的直径C 为圆心)XX2y 1 y22x⑵解:设圆C 的圆心为C(x,y),则yuu uuu uuu uuu OA ,OB 满足 OA OB uu u OAuuu 2 OB .设圆C 的方程为x 2y(x i X 2)x (y i y 2)y 0。

【巩固练习】1.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ）A.y =11y x =- C.32y x =- D.221y x x =-++ 2．关于x 的方程9(4)340x xa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（-∞，-8]∪[0，+∞）B 、（-∞，-4） C.[-8，4） D 、（-∞，-8] 3．已知不等式222(cos 5)4sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.04m ≤≤ B. 14m ≤≤C ．4m ≤或0m ≤ D. 1m ≤或0m ≤ 4．设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c5．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，2()f x x =。

若对任意的x ∈[t ，t+2]，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．[2，+∞）C ．（0，2]D ．[1][2,3]- 6．函数22xy x =-的图象大致是7.已知()f x 是奇函数，当(0,1)x ∈时1()lg 1f x x=+，那么当(1,0)x ∈-时()f x 的表达式是_____．8.实数,x y 满足xx y y=-,则x 的取值范围是__________. 9.设不等式221(1)x m x ->-对满足22m -≤≤的一切实数m 的值都成立，则实数x 的取值范围 。

10.已知()(1).1xf x x x =≠-+ （1）求()f x 的单调区间；（2）若10,()a b c a b b >>=-，求证：3()()4f a f c +>.11．对于函数2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数x 0，使00()f x x =成立，则称x 0为()f x 的不动点。

9.8 抛物线一、填空题1．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________. 解析 抛物线y2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4,0)，故p2＝4，即p ＝8. 答案 82．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a ＝________.解析 抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，由条件得2＝－14a ，a ＝－18.答案 －183．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p ＝________. 解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切， 所以3＋p2＝4，解得p ＝2.答案 24．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 必与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题是________(填序号)． 解析 因为PF ＝MF ＝NF ，故∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而可知∠MPN ＝90°，故①正确，②错误：令直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入抛物线方程可得y 2－2py＋p 2＝0，Δ＝0，所以直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误． 答案 ①③5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 由于抛物线y ＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)， 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )． 则FA →＝(x A －1，y A )，FB →＝(x B －1，y B )，FC →＝(x C －1，y C )，由FA →＋FB →＋FC →＝0，所以x A ＋x B ＋x C ＝3， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝3＋3＝6. 答案 66．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________.解析 ∵y 2＝4x ，∴p ＝2，F (1,0)，又∵AF ＝2，∴x A ＋p2＝2，∴x A ＋1＝2，∴x A ＝1.即AB ⊥x 轴，F 为AB 的中点．∴BF ＝AF ＝2. 答案 27．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．解析 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由PM ＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4， 故S △MPF ＝12×5×4＝10.答案 108.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p= .解析 由题意可知过焦点的直线方程为2py x =-,与抛物线方程联立得 222y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 22304p x px ⇒-+=,由|AB|82p ==⇒=.答案 2 9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB ＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝AB 2＝122＝6.又P 到AB 的距离始终为p ，∴S △ABP ＝12×12×6＝36.答案 3610．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 解析 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为 4x ＋3y ＋b ＝0，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0.即3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，求得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y－43＝0，则切点到直线4x ＋3y －8＝0的距离也就是所求的最小值，此最小值也即为两直线间的距离，为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝43.答案4311．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为________．解析 如图，过点A 作AB ⊥l 于点B (l 为准线)，则由抛物线的定义，得AB ＝AF .因为AK ＝2AF ，所以AK ＝2AB ，所以∠AKF ＝∠AKB ＝45°，设A (2t 2,4t )，由K (－2,0)，得4t 2t 2＋2＝1，得t ＝1，所以S △AKF ＝12×4×4＝8.答案 812．点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使PF ＋PA 最小，则相应P 的坐标为________．解析 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时PF ＋PA最小． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，1413．探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 cm ，灯深40 cm ，则光源放置位置为灯轴上距顶点________处．解析 将抛物线放到直角坐标系中，使顶点与原点重合，焦点在x 轴正半轴上，则由题意可知点(40,30)在抛物线上，代入y2＝2px 中，解得p ＝454，而光源放在焦点位置，距离顶点12p ＝458＝5.625 cm 处．答案 5.625 cm 二、解答题14．抛物线的顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，而焦点是该双曲线的左顶点，求此抛物线的方程．解析 双曲线方程化为x 29－y 216＝1，∴双曲线中心为O ，左顶点为(－3,0)，由题意抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)且－p2＝－3，∴p ＝6，方程为y 2＝－12x .15．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程．解析 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p ＝2c ，所以抛物线方程为y 2＝4cx .因为抛物线过点⎝⎛⎭⎪⎫32，6，所以6＝4c ·32，所以c ＝1. 故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝⎛⎭⎪⎫32，6，所以94a 2－6b 2＝1. 又a 2＋b 2＝c 2＝1，所以代入得94a 2－61－a 2＝1，所以a 2＝14或a 2＝9(舍)，所以b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1.16.已知抛物线C:22(y px =p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C 的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA(O 为坐标原点)的直线l,使得直线l 与抛物线C 有公共点,且直线OA 与l 5若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.解析 (1)将(1,-2)代入22y px =,得2(2)21p -=⋅, 所以p=2.故所求的抛物线C 的方程为24y x =,其准线方程为x=-1. (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由 224y x t y x =-+,⎧⎨=,⎩ 得2220y y t +-=.因为直线l 与抛物线C 有公共点, 所以480t ∆=+≥, 解得12t ≥-.另一方面,由直线OA 与l 的距离55d =可得155=,解得1t =±.因为111[)1[)22-∉-,+∞,∈-,+∞,所以t=-1舍去.所以,符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1=0.17．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，Q 是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO 交准线于P 点，过Q 且平行于抛物线 对称轴的直线交准线于R 点，求证：PF →·RF →＝0.证明 y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.设Q (x 0，y 0)(x 0≠0)，则R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 0，直线OQ 的方程为y ＝y 0x 0x ，此直线交准线x ＝－p2于P 点， 易求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－py 02x 0.∴y 20＝2px 0， ∴PF →·RF →＝⎝⎛⎭⎪⎫p ，py 02x 0·(p ，－y 0)＝p 2－py 202x 0＝p 2－p 2＝0.18．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解析 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA＝－k PB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21＝4x1 ①y22＝4x2 ②∴y1－21 4y21－1＝－y2－214y22－1，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)，∴k AB＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝－1(x1≠x2)．。

抛物线分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a ＝________.解析 抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，由条件得2＝－14a ，a ＝－18.答案 －182．(2012·惠州调研)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝________.解析 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4. 答案 43．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p ＝________.解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p2＝4，解得p ＝2.答案 24．(2013·广州调研)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．解析 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由PM ＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝12×5×4＝10.答案 105．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________. 解析 ∵y 2＝4x ，∴p ＝2，F (1,0)，又∵AF ＝2，∴x A ＋p2＝2，∴x A ＋1＝2，∴x A ＝1.即AB⊥x 轴，F 为AB 的中点．∴BF ＝AF ＝2. 答案 26．(2012·福州质检)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 由于抛物线y ＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )．则FA →＝(x A －1，y A )，FB →＝(x B －1，y B )，FC →＝(x C －1，y C )，由FA →＋FB →＋FC →＝0，所以x A ＋x B ＋x C ＝3，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝3＋3＝6. 答案 6二、解答题(每小题15分，共30分)7．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程． 解 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p ＝2c ，所以抛物线方程为y 2＝4cx .因为抛物线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，所以6＝4c ·32，所以c ＝1.故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，所以94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，所以代入得94a 2－61－a 2＝1，所以a 2＝14或a 2＝9(舍)，所以b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y23＝1.8．(2010·湖北)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足x －12＋y 2－x ＝1(x >0)，化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m . ①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0. ②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1<0⇔ y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0， ③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线， 都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·徐州一中检测)点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使PF ＋PA 最小，则相应P 的坐标为________．解析 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时PF ＋PA 最小． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，142. (2012·郑州一测改编)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________． 解析 作AM ，BN 垂直于准线，准线与x 轴交点为E ，设|BF |＝t ，则|BC |＝2t . 则可得BC BC ＋BF ＋AF ＝BN AM ，即2t 2t ＋t ＋3＝t3，解得t ＝1.又BC BC ＋BF ＝BN FE ，即22＋1＝1P， ∴P ＝32.∴抛物线方程为y 2＝3x .答案 y 2＝3x3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 必与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题是________(填序号)．解析 因为PF ＝MF ＝NF ，故∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而可知∠MPN ＝90°，故①正确，②错误：令直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入抛物线方程可得y 2－2py ＋p 2＝0，Δ＝0，所以直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误． 答案 ①③4．(2012·南京29中模拟)已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为________． 解析 如图，过点A 作AB ⊥l 于点B (l 为准线)，则由抛物线的定义，得AB ＝AF .因为AK ＝2AF ，所以AK ＝2AB ，所以∠AKF ＝∠AKB ＝45°，设A (2t 2,4t )，由K (－2,0)，得4t 2t 2＋2＝1，得t ＝1，所以S △AKF ＝12×4×4＝8. 答案 85．(2012·江苏百校联考)如图，已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆T 过点M (2,1)，离心率为32；抛物线C 顶点在原点，对称轴为x 轴且过点M .(1)当直线l 0经过椭圆T 的左焦点且平行于OM 时，求直线l 0的方程；(2)若斜率为－14的直线l 不过点M ，与抛物线C 交于A 、B 两个不同的点，求证：直线MA ，MB 与x 轴总围成等腰三角形．解 (1)由e ＝c a ＝32，可设椭圆T 方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，将M (2,1)代入可得b 2＝2，∴椭圆T 的方程为x 28＋y 22＝1.因此左焦点为(－6，0)，斜率kl 0＝k OM ＝12，∴直线l 0的方程为y ＝12(x ＋6)，即y ＝12x ＋62.(2)抛物线C 的方程为y 2＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2， k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝12y 2＋y 1＝－14，∴y 1＋y 2＝－2.k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝12y 1＋1＋12y 2＋1＝y 1＋y 2＋22y 1＋1y 2＋1＝0，∴直线MA ，MB 与x 轴总围成等腰三角形．6. (2012·苏中三市调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F (1,0)，过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与BC 交于点N .(1)求抛物线的标准方程； (2)求证：MN ⊥x 轴；(3)若直线MN 与x 轴的交点恰为F (1,0)，求证：直线AB 过定点． 解 (1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由题意，得p2＝1，即p ＝2.∴抛物线的标准方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且y 1>0，y 2>0. 由y 2＝4x (y >0)，得y ＝2x ，∴y ′＝1x.∴切线AC 的方程为y －y 1＝1x 1(x －x 1)，即y －y 1＝2y 1(x －x 1)．整理，得yy 1＝2(x ＋x 1)， ①且C 点坐标为(－x 1,0)．同理得切线BD 的方程为yy 2＝2(x ＋x 2)， ②且D 点坐标为(－x 2,0)．由①②消去y ，得x M ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2.又直线AD 的方程为y ＝y 1x 1＋x 2(x ＋x 2)，③ 直线BC 的方程为y ＝y 2x 1＋x 2(x ＋x 1)．④由③④消去y ，得x N ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2.∴x M ＝x N ，即MN ⊥x 轴．(3)由题意，设M (1，y 0)，代入(2)中的①②， 得y 0y 1＝2(1＋x 1)，y 0y 2＝2(1＋x 2)，∴A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程y 0y ＝2(1＋x )． ∴直线AB 的方程为y 0y ＝2(1＋x )． 故直线AB 过定点(－1,0).。

能力提升练习一、填空题1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是x －2＝0，则a 的值是________．解析：抛物线方程可化为x 2＝1ay ，∴准线方程为x ＝－14a ＝2，得a ＝－18. 答案：－182．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆的右焦点是(2,0)，∴p2＝2，p ＝4.答案：43．若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．解析：设点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t 22，t ，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t 222＋t 2＝3，即t 4＋4t 2－12＝0，解得t 2＝2或t 2＝－6(舍)，故M (1，±2)．又抛物线的准线方程为x ＝－12，故点M 到准线距离为32，即M 到其焦点距离为32.答案：324．若抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点F 倾斜角为60°的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝4.则此抛物线的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (p2，0)，∴得直线l 的方程为：y ＝3(x －p2)，将其与y 2＝2px (p >0)联立消去y 得：3x 2－5xp ＋34p 2＝0，∴x 1＋x 2＝53p ，又|AB |＝x 1＋x 2＋p . ∴有5p 3＋p ＝4，解得：p ＝32.∴抛物线方程为：y 2＝3x .答案：y 2＝3x5．如果直线l 过定点M (1,2)，且与抛物线y ＝2x 2有且仅有一个公共点，那么直线l 的方程为________．解析：点M 在抛物线上，由题意知直线l 与抛物线相切于点M (1,2)，∴y ′|x ＝1＝4，∴直线l 的方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.当l 与抛物线相交时，l 的方程为x ＝1.答案：4x －y －2＝0，x ＝16．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是________．解析：抛物线焦点是(32，0)，设直线方程为y ＝k (x －32)，代入抛物线方程，得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝3k 2＋6k 2， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3k 2＋6k 2＋3＝12，解得k ＝±1，∴直线的倾斜角为π4或3π4.答案：π4或3π47．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l ，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|AB |等于________．解析：结合抛物线的定义可知|AB |＝(y 1＋p 2)＋(y 2＋p2)＝y 1＋y 2＋p＝6＋2＝8. 答案：88．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________.解析：由题知，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝42， ∴圆心坐标为(3,0)，半径r ＝4.∴与圆相切且垂直于x 轴的两条切线是x ＝－1，x ＝7. 而y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，∴由－p2＝－1得p ＝2，由－p2＝7得p ＝－14与题设矛盾(舍去)．∴p＝2.答案：29．连结抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1,0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则△OAM 的面积为________．解析：线段FM 所在直线方程x ＋y ＝1与抛物线交于A (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x 2＝4y ⇒y 0＝3－22或y 0＝3＋22(舍去)． ∴S △OAM ＝12×1×(3－22)＝32－2.答案：32－2二、解答题10．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)；(3)抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 解析：(1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p 2＝－3，∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny .代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.(3)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝|m＋p 2 |.又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1,0)．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设M，N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点．解析：(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝1，所以p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.(2)证明：证法一抛物线C的准线方程为x＝－1，设M(－1，y1)，N(－1，y2)，其中y1y2＝－4.则直线MO的方程为：y＝－y1x，将y＝－y1x与y2＝4x联立方程组，解得A点坐标为(4y21，－4y1)，同理可得B点坐标为(4y22，－4y2)，则直线AB 方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21，整理得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－4x ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，故动直线AB 恒过一个定点(1,0)．证法二 抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，其中y 1y 2＝－4.取y 1＝2，则y 2＝－2，可得M (－1,2)，N (－1，－2)． 此时直线MO 的方程为y ＝－2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－2x ，解得A (1，－2)．同理，可得B (1,2)，则直线AB 的方程为l 1：x ＝1， 再取y 1＝1，则y 2＝－4，同理可得A (4，－4)，B (14，1)，此时直线AB 方程为l 2：4x ＋3y －4＝0，于是可得l 1与l 2的交点为(1,0)．故动直线AB 恒过一个定点(1,0)．12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证：(1)x 1x 2为定值； (2)1|FA |＋1|FB |为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px的焦点为F (p2，0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －p 2 ，y 2＝2px ，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24也成立．(2)由抛物线的定义知， |FA |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p2.1|FA |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p p 2x 1＋x 2 ＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2x 1＋x 2 ＋p 22＝x 1＋x 2＋p p2x 1＋x 2＋p＝2p(定值)．当AB⊥x轴时，|FA|＝|FB|＝p，上式也成立．。

【巩固练习】1．若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；2．若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ）A ．23B ．32C ．3D ．31 3. （2015 天津模拟）已知定义在R 上的函数y =f （x ）对任意的x 都满足f （x +1）=﹣f （x ），当﹣1＜x ＜1时，f （x ）=x 3，若函数g （x ）=f （x ）﹣log a |x |至少6个零点，则a 取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定5．直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．若方程0x a x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(0,)+∞7．函数f(x)＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)8．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( )A ．a<－1B ．a>1C ．－1<a<1D ．0≤a<19.若函数2()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.1a <B.1a >C.1a ≤D.1a ≥10.设函数()3f x x bx c =++是[-1，1]上的增函数，且11022f f ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则方程()0f x =在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根11.若已知()()0,0f a f b <>，则下列说法中正确的是( )A.()f x 在(),a b 上必有且只有一个零点B.()f x 在(),a b 上必有正奇数个零点C.()f x 在(),a b 上必有正偶数个零点D.()f x 在(),a b 上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点12.函数()232f x x x =-+在区间()1,2内的函数值( ) A.大于等于0 B.小于等于0 C.大于0 D.小于013.如图，下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )14.三次方程32210x x x +--=在下列连续整数____________之间有根.①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与315.（2014 吴中区校级模拟）已知实数a ，b 分别满足a 3﹣3a 2+5a =1，b 3﹣3b 2+5b =5，则a +b 的值为 ．16.（2014 秋•潍坊期末）已知函数()121x a f x =-+在R 上是奇函数． （1）求a ；（2）对x ∈（0，1]，不等式s •f （x ）≥2x ﹣1恒成立，求实数s 的取值范围；（3）令()()11g x f x =-，若关于x 的方程()()210g x mg x -+=有唯一实数解，求实数m 的取值范围．17．已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ）．（1）当函数()f x 的图像过点(1, 0)-，且方程()0f x =有且只有一个根，求()f x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]2, 2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）若() 0,()() 0,f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 当0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数时，试判断()()F m F n +能否大于0？【参考答案与解析】1.C 对于A 选项：可能存在；对于B 选项：必存在但不一定唯一2.C 作出123lg ,3,10x y x y x y ==-=的图象，23,y x y x =-=交点横坐标为32，而123232x x +=⨯= 3.【答案】A【解析】函数g （x ）=f （x ）﹣log a |x|的零点个数，即函数y =f （x ）与y =log a |x |的交点的个数； 由f （x +1）=﹣f （x ），可得f （x +2）=f （x +1+1）=﹣f （x +1）=f （x ），故函数f （x ）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x ＜1时，f （x ）=x 3，据此可以做出f （x ）的图象，y =loga |x |是偶函数，当x ＞0时，y =log a x ，则当x ＜0时，y =log a （﹣x ），做出y =log a |x |的图象， 结合图象分析可得：要使函数y=f （x ）与y =log a |x |至少有6个交点，则 log a 5＜1 或 log a 5≥﹣1，解得 a ＞5，或105a <≤， 故选A ．4.B ()()1.5 1.250f f ⋅<5.A 作出图象，发现有4个交点6．A 作出图象，发现当1a >时，函数xy a =与函数y x a =+有2个交点7.C 解法一：本题考查了函数的零点定理和导数．∵f′(x)＝e x ＋1>0，∴函数f(x)＝e x ＋x －2在R 上单调递增，又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，即f(0)f(1)<0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．解法二：∵f(0)＝e 0－2＝－1<0，f(1)＝e 1＋1－2＝e 1－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故f(x)＝ex ＋x8.B f(x)＝2ax 2－x －1∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a －2∴由f(1)>0得a>1，又当f(1)＝0，即a ＝1时，2x 2－x －1＝0的两根为x1＝1，x 2＝－12不适合题意．故选B. 9.B 由方程220x x a ++=的判别式小于0，可得1a >，故选B.10.C ()f x 在[-1，1]上是增函数且11022f f ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0f x ∴=在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一实根 ()0f x ∴=在[-1，1] 上有唯一实根.故选C.11.D 若()f x 不连续则可能没有零点，若()f x 在该区间有二重零点则可能有正偶数个零点.故选D.12.D ()232f x x x =-+的两个零点是1和2，()f x 在1和2之间函数值同号.又31024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故选D. 13.B 用二分法只能求变号零点，选项B 中的零点为不变号零点，不宜用二分法求解.故选B.14.①②④解析：令()3221f x x x x =+--()()()()()()210,100,120f f f f f f -⋅-<-⋅<⋅< ()0f x ∴=在()()()2,1,1,0,1,2---内均有根.15. 2【解析】由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．将已知等式变形为（a ﹣1）3+2（a ﹣1）=﹣2，（b ﹣1）3+2（b ﹣1）=2，构造函数f （x ）=x 3+2x ，∵f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数∵f′（x ）=3x 2+2＞0∴f （x ）单调递增∴f （x ）是一个单调递增的奇函数，因为f （a ﹣1）=﹣2，f （b ﹣1）=2所以f （a ﹣1）=﹣f （b ﹣1）=f （1﹣b ），从而有a ﹣1=1﹣b ，a +b =2故答案为216.【解析】（1）由题意知()00f =．即01021a -=+， 所以a =2．此时()22112121x x x f x -=-=++ ， 而()()21122112x xx xf x f x -----===-++， 所以()f x 为奇函数，故a =2为所求．（2）由（1）知 ()2121x x f x -=+， 因为(]0,1x ∈，所以210x ->，210x+>， 故s •f （x ）≥2x ﹣1恒成立等价于s ≥2x +1恒成立，因为2x +1∈（2，3]，所以只需s ≥3即可使原不等式恒成立．故s 的取值范围是[3，+∞）．（3）因为()()12112x g x f x +==--． 所以()()21212121022x x g x mg x m +++-+=-+⋅=． 整理得222210x x m m -⋅-+=．令t =2x ＞0，则问题化为2210t mt m --+=有一个正根或两个相等正根．令()()2210h t t mt m t =--+>，则函数()()2210h t t mt m t =--+>在（0，+∞）上有唯一零点．所以()00h ≤或()()220212410m m m -⎧->⎪⨯⎨⎪--⨯-=⎩，由()00h ≤得m ≥1，易知m=1时， ()22h t t t =-符合题意；由()()220212410m m m -⎧->⎪⨯⎨⎪--⨯-=⎩解得012m m >⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，所以m =． 综上m的取值范围是|1m m m ⎧⎪≥=⎨⎪⎪⎩⎭或． 17．解：（1）因为(1)0f -=，所以10a b -+=. 因为方程()0f x =有且只有一个根，所以240b a ∆=-=.所以24(1)0b b --=. 即2b =，1a =.所以2()(1)f x x =+. （2）因为22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=--+=222(2)()124k k x ---+-． 所以当222k -≥或222k --≤时，即6k ≥或2k -≤时，()g x 是单调函数． （3）()f x 为偶函数，所以0b =. 所以2()1f x ax =+. 所以221 0,() 1 0.ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩ 因为0mn <，不妨设0m >，则0n <.又因为0m n +>，所以0m n >->. 所以m n >-. 此时22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->.所以()()0F m F n +>．。

第7讲 抛物线基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2015·合肥质量检测)抛物线x 2＝12y 的焦点坐标为________．解析 抛物线x 2＝12y 的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，182．(2015·南通调研)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则MF ＝________.解析 由抛物线的定义可知MF ＝x M ＋p2＝2＋1＝3.答案 33．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________．解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2.答案 y ＝112x 2或y ＝－136x 24．(2014·镇江调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为________．解析 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.答案 25．(2014·北京海淀区模拟)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，则p ＝________.解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的左顶点为(－1,0)，所以－p2＝－1，p ＝2.答案 26．(2015·南通调研)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，一条渐近线为l ，抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线C 2异于原点的交点，则PF ＝________.解析 依题意，不妨设直线l ：y ＝x ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，此时点P (4,4)，PF ＝4＋1＝5.答案 57．(2015·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为________．解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1，双曲线的渐近线y ＝±b ax 与x ＝－1的交点坐标分别是A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－b a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，b a .又△AOB 的面积为2，所以12×2b a ×1＝2，即b ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝4a 2，c ＝5a ，所以离心率e ＝ca＝ 5. 答案58．(2014·银川质量检测)已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 答案 x －y －1＝0 二、解答题9. 如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0， 则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2pk2.∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )， 由OA ＝1，OB ＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋1＝64， ②②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k2k 2＋1＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为1，求AB ； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点F 为(1,0)，准线方程为x ＝－1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，由直线l 过焦点，则AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋2＝8. (2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ky －4＝0.解上述方程根后得，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．能力提升题组 (建议用时：25分钟)1．(2015·太原模拟)已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．解析 因为点P 在抛物线上，所以d 1＝PF －12(其中点F 为抛物线的焦点)，则d 1＋d 2＝PF＋PA －12≥AF －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72－122＋42－12＝5－12＝92，当且仅当点P 是线段AF 与抛物线的交点时取等号． 答案 922．(2014·四川卷改编)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________． 解析 如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m ＞0，n ＜0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0)．S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m，即m ＝43时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3. 答案 33．(2014·湖南卷)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k ＜0，化简得k 2－1＞0，解得k ＞1或k ＜－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)4. 已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求MN 的最小值．解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，利用求根公式可求两根，并计算得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以MN ＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4x 1＋x 2＋16＝82k 2＋1|4k －3|， 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，MN ＝2225t2＋6t＋1>2 2.当t <0时，MN ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，MN 的最小值是852.。