抛物线练习题

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。

专专9.5抛物线专A专一、单选题1. 顶点在坐标原点，焦点是双曲线22145x y -=的左焦点的抛物线标准方程是( ) A. 212x y =B. 212y x =-C. 24y x =-D. 212y x =2. 设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A. 1B. 2C. 3D. 43. 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为.l P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP4. 已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =( )A. 2B. 3C. 6D. 95. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( )A.B.C. (1,0)D. (2,0)6. 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00()2pM x x >是抛物线C上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是( )A. 2y x =B. 22y x =C. 24y x =D. 28y x =7. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点 F 的直线l 交抛物线于A ， B 两点，延长 FB交准线于点C ，若||2||BC BF =，则||||BF AF 的值是( ) A.B.C.D.238. 已知点F 是抛物线24y x =焦点，M ，N 是该抛物线上两点，||||6MF NF +=，则MN 中点到准线距离为( )A.52B. 2C. 3D. 49. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 作倾斜角为锐角的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的方程为 ( )A. 30y --=B. 330x --=C. 10x y --=D. 10x --=10. 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00()2pM x x >是抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =截得的弦长为||MA ，若||3||MA AF =，则实数p 为( )A. 3B.C. 2D. 111. 如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(3,6)，圆2C ：22+6+8=0x y x -，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |3|QM |+的最小值为( )A. B. C. D. 12. 已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，且倾斜角为θ，则cos 2(sin 1)(sin 1)θθθ-+等于( )A. 1+B. 1C.D. 3二、多选题13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线22x y =的焦点的直线l 与该抛物线的两个交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则( )A. 1214y y =B. 以AB 为直径的圆与直线12y =-相切C. ||||OA OB +的最小值D. 经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点一定在定直线上14. 过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是( )A. 以线段AB 为直径的圆与直线12x =-相交B. 以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C. 当2AF FB =时，9||2AB = D. ||AB 的最小值为4三、填空题15. 已知抛物线C ：24y x =，焦点为F ，点 M 为抛物线C 上的点，且||6FM =，则M 的横坐标是__________，作MN x ⊥轴于点N ，则FMNS=__________.16. 已知抛物线22(0)y px p =>，若第一象限的,A B 在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，求直线AB 的斜率为__________.17. 在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线212y p x =与222x p y =在第一象限的交点为A ，若OA 的斜率为2，则21p p =__________. 18. 已知F 是抛物线216y x =-的焦点，O 为坐标原点，点P 是抛物线准线上的一动点，点A 在抛物线上，且||8AF =，则||||PA PO +的最小值为__________.四、解答题19. 如图，过抛物线24y x=的焦点F任作直线l，与抛物线交于A，B两点，AB与x 轴不垂直，且点A位于x轴上方，AB的垂直平分线与x轴交于D点.(1)若2,AF FB=求AB所在的直线方程；(2)求证：||||ABDF为定值.20. 在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：22(2)1x y-+=外切，且圆P与直线1x=-相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线.C(1)求曲线C的轨迹方程；(2)设过定点(2,0)S-的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点(M与A，B两点相异)，当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B解：因为2459c =+=，3c ∴=，∴抛物线的焦点(3,0)F -，32p-=-，6p ∴=，212.y x ∴=- 故选.B2.【答案】C解：由于抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，故点P 的横坐标为2.再由抛物线24y x =的准线为1x =-，以及抛物线的定义可得点P 到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离，故点P 到该抛物线焦点的距离是2(1)3--=， 故选：.C3.【答案】B解：根据抛物线的定义可得||||PF PQ =，故线段FQ 的垂直平分线必过点.P 故选.B4.【答案】C解：设点A 的坐标为(,)x y ， 由点A 到y 轴的距离为9，可得9,x = 由点A 到抛物线C 的焦点的距离为12，可得122px += 解得 6.p = 故选.C5.【答案】B解：将2x =代入抛物线22y px =，可得y =±OD OE ⊥，可得1OD OE k k ⋅=-，即1=-，解得1p =，所以抛物线方程为：22y x =，它的焦点坐标1(,0).2故选：.B6.【答案】C解：画出图形如图所示，作MD EG ⊥，垂足为D ，由题意得点0(,22)M x ，0()2px >在抛物线上，则082px =，① 由抛物线的性质，可知0||2p DM x =-， 因为1sin 3MFG ∠=， 所以011||||()332pDM MF x ==+，所以001()232p px x -=+，解得0x p =，② 由①②解得02(x p ==-舍去)或0 2.x p ==故抛物线C 的方程为24.y x =故选：.C解：由题意可知，2p =，则(1,0)F ，准线为直线1x =-， 过A ，B 分别作AM ，BN 垂直准线于M ，N ， 则有||||BF BN =，||||AF AM =， 因为||2||BC BF =，所以||2||BC BN =， 所以||2||3BC CF =， 所以||23BN p =， 所以4||||3BN BF ==，8||3BC =， 所以||4CF =， 因为||||||p CF AM CA =，所以2||44||||||4||4||CF AM CF AF AF AM ===+++，解得||4AM =， 所以||4AF =，所以4||13||43BF AF ==， 故选：.B解：F 是抛物线24y x =的焦点，(1,0)F ∴，准线方程1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 12||||116MF NF x x ∴+=+++=，解得124x x +=，∴线段MN 的中点横坐标为2，∴线段MN 的中点到该抛物线准线的距离为21 3.+=故选.C9.【答案】A解：抛物线C ：24y x =的焦点为(1,0)F ，设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k >，点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ， 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=， 所以0∆>，212224k x x k ++=，又因为弦AB 的中点M 到抛物线的准线的距离为5，所以12152x x ++=， 则然22224283k k k +=⇒=，又0k >，所以3k =30.y --= 故选：.A10.【答案】A解：将点M 的点坐标代入抛物线方程得0152px =， 解得0152x p=，即15(,15)2M p ，设圆M 的半径为R ，则过点M 作直线2px =的垂线，垂足为B ，所以||3RMB ==， 又因为||3||MA AF =， 所以4||3RMF =， 所以224()()1533R R -=， 解得3R =， 又因为115322p R p =-，解得3p =或5(p =-舍去). 故选.A11.【答案】C解：设抛物线的方程：22(0)y px p =>，焦点为F ，则3623p =⨯，则212p =，∴抛物线的标准方程：212y x =，焦点坐标(3,0)F ，准线方程为3x =-， 圆2C ：22680x y x +-+=的圆心为(3,0)，半径为1，由直线PQ 过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l 的方程为：3my x =-，设P 、Q 坐标分别为，由联立，得 212360y my --=，21441440m ∆=+>恒成立，由韦达定理得：1212y y m +=，1236y y ⋅=-，，22121291212y y x x ⋅==⨯， 121111||||33PF QF x x ∴+=+++ ，则||3||||13(||1)PN QM PF QF +=+++||3||4PF QF =++当且仅当时等号成立，故选.C12.【答案】A解：将x c =代入双曲线22221x y a b -=中，解得2b y a=±，则，所以24222,4b c b a c a==， 即，所以，令tan baθ=， 即42tan 4tan 4θθ-=，解得2tan 222θ=+，故2222cos 2cos sin tan 112 2.(sin 1)(sin 1)cos θθθθθθθ-==-=+-+- 故选.A13.【答案】ABD解：由抛物线的方程可得焦点1(0,)2F ，显然过焦点F 的直线的斜率存在，设直线l 的方程为：12y kx =+， 联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2210x kx --=，可得0∆>，122x x k +=，121x x =-，所以21212()121y y k x x k +=++=+，221212144x x y y ==； 所以A 正确；以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1212(,)22x x y y ++，即21(,)2k k +， 根据抛物线的定义，可知半径12211||22122y y AB k +++==+， 所以圆心到直线12y =-的距离为：2211122k k ++=+等于半径，所以圆与直线相切，所以B 正确； 当直线AB 与x轴平行时，||||OA OB ==，||||OA OB += 所以||||OA OB +的最小值不是C 不正确；直线OA 的方程为：1112y x y x x x ==，与2x x =的交点坐标为：122(,)2x x x ， 因为12122x x =-，所以经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点在定直线12y =-上，故D 正确；故选：.ABD14.【答案】ACD解：24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设A ，B ，M 在准线上的射影为A '，B '，M '，由||||AF AA ='，||||BF BB ='，111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB '='+'=+=，可得线段AB 为直径的圆与准线1x =-相切， 所以与直线12x =-相交， 故选项A 正确；当直线AB 的斜率不存在时，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相切；当直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为y kx k =-，联立24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 可得12242x x k +=+，121x x =，设13x =+，23x =-，可得M 的横坐标为221k +， MB 的中点的横坐标为2212(1)2x k++，222||1|BM x k=--，当1k =时，MB 的中点的横坐标为52，1||22MB =， 显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相交，故选项B 错；2AF FB =时，122y y =-，1212244()222y y k x x k k k y k k +=+-=+-==-， 故24y k=-， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22224(121)42k y k =--+=-=-， 将24y k =-代入得2162k=， 则28k =，则1249||22282AB x x =++=++=， 故选项C 正确； 显然当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 取得最小值4，故选项D 正确．故选：.ACD15.【答案】5解：抛物线C ：24y x =，则焦点(1,0)F ，准线方程l 为1x =-，过点M 作ME l ⊥，垂足为E ，设00(,)M x y ，则||||6MF ME ==，所以016x +=，则05x =，所以点M 的横坐标为5；因为点M 在抛物线上，故204520y =⨯=， 所以0||25y =，即||25MN =，所以11||||(51)254 5.22FMN S FN MN =⨯⨯=⨯-⨯= 故答案为：5；4 5.16.【答案】2解：如图所示，设抛物线的准线为l ，作AC l ⊥于点C ，BD l ⊥于点D ，AE BD ⊥于点E ，由抛物线的定义，可得2AC AF ==，4BD BF ==， 22422,945BE AE AB BE ∴=-==-=-=，∴直线AB 的斜率5tan .2AB AE k ABE BE =∠== 故答案为：5.217.【答案】18解：由题意，设点A 的坐标(,)m n ，OA 的斜率为2，2n m ∴=，又A 是抛物线212y p x =与222x p y =在第一象限的交点，212n p m ∴=与222m p n =，将2n m =代入得2142m p m =与224m p m =，12p m ∴=，24m p =， 故2118p p =， 故答案为1.818.【答案】 解：点P 是抛物线216y x =-的准线上的一动点，P ∴点的横坐标为4，，由抛物线的定义得，A ∴到准线的距离为8，即A 点的横坐标为4-，又点A 在抛物线上，∴从而点A 的坐标为或，∴坐标原点关于准线的对称点的坐标为， 则当A ，P ，B 共线时， 取得最小值，最小值为：， 故答案为413. 19.【答案】解：(1)直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，A 点在x 轴上方，10y ∴>，20y <，由，可得2440y ty --=，0>，124y y t ∴+=，124y y =-，11222(1,)2(1,)AF FB x y x y =⇒--=-，122y y ∴-=，由，代入124y y =-，因为10y >，所以0t >，解得122t =，AB ∴所在直线方程为22220.x y --=(2)证明：设AB 中点为(,)N N N x y ，1222N y y y t +∴==，221N x t =+，2(21,2)N t t ∴+， 所以AB 中垂线2:2(21)l y t t x t '-=---，2(23,0)D t ∴+，22|||231|22DF t t ∴=+-=+，||(AB=244t ==+，则22||442(||22AB t DF t +==+定值).20. 【答案】解：(1)设动圆圆心为(,)P x y ，动圆圆心P 到点(2,0)Q 的距离与到直线1x =-距离差为定圆半径1，即动点P 到顶点(2,0)的距离等于到定直线2x =-的距离，根据圆抛物线的定义，动点P 的轨迹是以定点(2,0)为焦点，直线2x =-为准线的抛物线，圆心P 的轨迹为曲线C 的方程为：28y x =；(2))假设在曲线C 上存在点M 满足题设条件，不妨设00(,)M x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ； 1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+； 120210*********(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，① 显然动直线l 的斜率非零，故可设其方程为2x ty =-，()t R ∈，联立28y x =，整理得28160y ty -+=，128y y t ∴+=，1216y y =，且12y y ≠，代入①式得020********MA MB t y k k y ty ++=++， 显然00y ≠，于是2000[8()64]()(16)160MA MB MB MA y k k t k k y y +-+++-=，②，欲使②式对任意t R ∈成立，必有，020016816MA MB y k k y y ∴+==+，即2016y =，04y =±， 将此代入抛物线C 的方程可求得满足条件的M 点坐标为(2,4)，(2,4)-，综上所述，存在点(M 与A ，B 两点相异)，其坐标为为(2,4)，(2,4)-，直线MA 、MB 的斜率之和为定值．。

初三抛物线练习题及答案抛物线是数学中的基本图形之一，也是初中数学中重要的内容之一。

掌握抛物线的性质和解题方法，不仅能提高数学水平，还有助于培养逻辑思维和分析问题的能力。

下面是一些初三抛物线练习题及答案，希望能对同学们的学习有所帮助。

1. 已知抛物线的顶点为(-1, 4)，经过点(2, 1)，求抛物线的解析式。

解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。

由已知顶点坐标(-1, 4)，可得：4 = a(-1)^2 + b(-1) + c化简得：a - b + c = 4 （式1）由已知经过点(2, 1)，可得：1 = a(2)^2 + b(2) + c化简得：4a + 2b + c = 1 （式2）解方程组（式1）和（式2），得到a、b、c的值，即可得到抛物线的解析式。

2. 抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴是什么？解析：对称轴是指抛物线上各点关于该轴对称。

对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，其对称轴的公式为x = -b/2a。

对于给定的抛物线y = 2x^2 + 3x + 1，将其转化为一般形式，即a = 2，b = 3，c = 1。

代入公式x = -b/2a，可得对称轴的方程：x = -3/(2*2)化简得：x = -3/4所以，抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴方程为x = -3/4。

3. 已知抛物线经过点(1, 5)和(-2, 1)，求抛物线的解析式。

解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。

由已知点(1, 5)，可得：5 = a(1)^2 + b(1) + c化简得：a + b + c = 5 （式3）由已知点(-2, 1)，可得：1 = a(-2)^2 + b(-2) + c化简得：4a - 2b + c = 1 （式4）解方程组（式3）和（式4），即可得到a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式。

4. 已知抛物线过点(3, 4)，顶点坐标为(-1, -2)，求抛物线的解析式。

抛物线专题练习1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.163．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．85．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．56．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )7．A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.538．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．489．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l的斜率为( )A ．3B ．1C ．2D.1210．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝163，则k＝.15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A(2，y0)，且点A到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l：y＝x＋m与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OP⊥OQ，求实数m的值．16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为⊥AGB的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标．1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y【答案】D【解析】将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，⊥a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，⊥a ＝－136. ⊥抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.16【答案】D【解析】由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.]3．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y 【答案】C【解析】设所求抛物线方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k ＝16或4m ＝16，解得k ＝－4或m ＝4，所求抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.]4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]5．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.]6．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3 7．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.53【答案】A【解析】因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p 2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px ，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x Ax D ＝2pp 8＝16.故选A 8．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．48【答案】B【解析】由准线方程为x ＝－2，可知p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x .由抛物线的定义可知，|MN |＝|MF |＋|NF |＝x 1＋x 2＋4＝8，则x 1＋x 2＝4，即y 218＋y 228＝4，故y 21＋y 22＝32.故选B.] 9．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A ．3B ．1C ．2 D.12【答案】B【解析】由于R (2,1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．根据抛物线的定义|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝2×2＋p ＝5，解得p ＝1，抛物线方程为y 2＝2x .y 2A ＝2x A ，y 2B ＝2x B，两式相减并化简得y B－y A x B －x A ＝2y A ＋y B ＝22×1＝1，即直线l 的斜率为1.故选B.]10．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x 1＋x 2＝8k 2－4.⊥ x 1x 2＝4.⊥ 根据抛物线的定义及|F A |＝2|FB |，得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，⊥且x 1＞0，x 2＞0，由⊥⊥解得x 1＝4，x 2＝1，代入⊥得k 2＝89，k ＞0，⊥k ＝223.故选D.11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．【答案】－22【解析】⊥双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，⊥抛物线方程为y 2＝8x .⊥|AF |＝3，⊥x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.⊥点A 在第一象限，⊥A (1,22)，⊥直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.]12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．【答案】9【解析】根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．【答案】63【解析】如图，设⊥AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，⊥点A 在抛物线y 2＝3x 上，⊥14a 2＝3×32a ，⊥a ＝6 3.] 14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝ .【答案】±3【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝± 3.]15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 【解析】(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ⊥2＋p2＝4，⊥p ＝4，⊥抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m . ⊥OP ⊥OQ ，⊥x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ⊥m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意． 当m ＝－8时，Δ＝(－24)2－4×64＞0，符合题意． 综上，实数m 的值为－8.16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为⊥AGB 的平分线． 【解析】(1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.⊥抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：⊥点A (2，m )在抛物线E 上，⊥m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ⊥直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，⊥B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，⊥k GA ＝223，k GB ＝－223，⊥k GA ＋k GB ＝0， ⊥⊥AGF ＝⊥BGF .⊥GF 为⊥AGB 的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，⊥p ＝2. ⊥抛物线方程为y 2＝4x .(2)⊥点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又⊥F (1,0)，⊥k F A ＝43， ⊥MN ⊥F A ，⊥k MN ＝－34. ⊥F A 的方程为y ＝43(x －1)， ⊥ MN 的方程为y －2＝－34x ， ⊥联立⊥⊥，解得x ＝85，y ＝45， ⊥点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。

抛物线一、单选题1．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））准线方程为1y =的抛物线的标准方程是( ) A ．22x y = B ．22y x =C ．24x y =- D ．24y x =-【答案】C 【解析】根据题意，抛物线的准线方程为1y =，即其焦点在y 轴负半轴上，且12p=，得2p =， 故其标准方程为24x y =-.故选：C2．（2019·乐清市知临中学高二期末）抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．1(0,)2B ．1(0,)8C ．1(,0)2D ．(1,0)【答案】B 【解析】整理抛物线方程得212x y =， ∴焦点在y 轴，14P =，∴焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故选B.3．（2020·北京高三月考）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A ．1(0,)2- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(0,4)-【答案】B-，故选B.准线方程为：，与y轴的交点为(0,1)4．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线24=上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的x y距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】y=-，因为点A的纵坐标抛物线24x y=焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所为4，所以点A到抛物线准线的距离为415以点A与抛物线焦点的距离为5.5．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选6．（2020·江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线2C y px p=>的焦点为F,准线为l,且l过点:2(0)()N,则MN MF+的最小值为1,22,3,M-在抛物线C上,若点()A．2 B．3C．4 D．5【答案】B由题可得,:2l x =-.由抛物线的定义可知,2M MF x =+,所以MN MF +=2123M MN x ++≥+=.故选B ．7．（2020·湖北省高三月考（理））已知抛物线C ：22(0)x py p =>的准线l 与圆M ：22(1)(2)16x y -+-=相切，则p =（ ） A ．6 B ．8 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】因为抛物线2:2C x py =的准线为2py =-， 又准线l 与圆()()22:1216M x y -+-=相切， 所以242p+= ，则4p =. 故选D8．（2020·天津高三一模）已知抛物线24y x =与()220x py p =>的焦点间的距离为2，则p 的值为（ ）A ．B ．4C ．6D ．12【答案】A 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，抛物线()220x py p =>的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2=，0p >，解得p =故选：A.9．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C 【解析】抛物线2:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C .10．（2020·山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ） A ．16 B ．10 C ．12 D ．8【答案】C 【解析】因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．二、多选题11．（2019·辽宁省高二期末）已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则p 的值可取（ ）A ．1B ．2C ．9D ．18【答案】BD 【解析】设00(,)M x y ，所以有2002y px =，由点M 到其准线及对称轴的距离分别为10和6，所以有0102px +=，06y =，所以有20020021020360226y px p x p p p y ⎧=⎪⎪+=⇒-+=⇒=⎨⎪=⎪⎩或18p =.故选：BD12．（2020·山东省高三开学考试）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2py =-，点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确； 由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，， 221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+， 在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++， 当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确，故选：BC.13．（2019·山东省高二期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A 在第一象限）、与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．2p = B ．F 为AD 中点C ．2BD BF =D ．2BF =【答案】ABC如图所示：作AC ⊥准线于C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线于E . 直线的斜率为3，故tan 3AFM ∠=，3AFM π∠=，4AF =，故2MF =，3AM =.2,232p A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线得到2p =； 2NF FM ==，故AMF DNF ∆≅∆，故F 为AD 中点；6BDE π∠=，故22DB BE BF ==；2BD BF =，4BD BF DF AF +===，故43BF =； 故选：ABC .三、填空题14．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线22y x =-上一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是______. 【答案】338【解析】抛物线方程的标准形式为：22y x =-，准线方程为18y =，由抛物线的定义得：点P 到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线18y =的距离d ，因为点P 到x 轴的距离是4，所以133488d =+=，故填：338.15．（2019·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a ＝________. 【答案】18- 【解析】抛物线2y ax =的标准方程为21x y a=, 则a ＜0且2＝－14a， 得a ＝－18. 16．（2020·北京高三其他）如果抛物线22y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m =______. 【答案】42± 【解析】抛物线22y px =的准线方程为2px =-， 由题意得462p+=，解得4p =. ∵点()4,A m 在抛物线22y px =上， ∴2244m =⨯⨯，∴42m =± 故答案为：42±.17．（2019·浙江省诸暨中学高三一模）抛物线24y x =的焦点F 坐标为_____，过F 的直线交抛物线24y x =于A 、B 两点，若2AF FB =，则A 点坐标为_____. 【答案】()1,0 (2,22± 【解析】抛物线24y x =的焦点F 的坐标为()1,0；设点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x my =+，()111,AF x y =--，()221,FB x y =-，由2AF FB =得122y y -=，122y y ∴=-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=，124y y ∴=-， 所以121242y y y y =-⎧⎨=-⎩，解得1y =±，21124y x ∴==，因此，点A的坐标为(2,±. 故答案为：()1,0；(2,±. 四、解答题18．（2020·四川省阆中中学高二月考（文））已知抛物线212y x =，双曲线221y x m-=，它们有一个共同的焦点.求：（1）m 的值及双曲线的离心率；（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.【答案】（1）8m =，3e =；（2）准线方程为3x =-，渐近线方程为y =± 【解析】（1）抛物线212y x =的焦点为(3,0)，由双曲线221(0)y x m m-=>，可得19m +=，解得8m =，双曲线的1a =，3c =，则3ce a==； （2）抛物线212y x =的准线方程为3x =-，双曲线2218y x -=的渐近线方程为y =±.19．（2019·凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），焦点为F ．（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；（2）P 是抛物线上一动点，M 是PF 的中点，求M 的轨迹方程．【答案】（1）抛物线标准方程为：y 2=4x ，焦点坐标为F （1，0）；（2）M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1． 【解析】（1）抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），设抛物线解析式为y 2=2px ，把（4，4）代入，得，16=2×4p ，∴p=2 ∴抛物线标准方程为：y 2=4x ，焦点坐标为F （1，0）（2）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），F （1，0），M 是PF 的中点，则x 0+1=2x ，0+y 0="2y" ∴x 0=2x ﹣1，y 0=2y∵P 是抛物线上一动点，∴y 02=4x 0∴（2y ）2=4（2x ﹣1），化简得，y 2=2x ﹣1． ∴M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1．20．（2020·安徽省高二期末（文））已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()5,M m 到焦点F 的距离为6.（1）求,p m 的值；（2）过点()2,1P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 方程. 【答案】（1）2p =，m =±（2）230x y --=. 【解析】（1）由抛物线焦半径公式知：562pMF =+=，解得：2p =， 2:4C y x ∴=，25420m ∴=⨯=，解得：m =±（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得：()()()1212124y y y y x x +-=-，1212124l y y k x x y y -∴==-+， ()2,1P 为AB 的中点，122y y ∴+=，2l k ∴=，∴直线l 的方程为：()122y x -=-，即230x y --=.21．（2020·河南省实验中学高三二模（文））过点P(-4,0)的动直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>相交于D 、E 两点，已知当l 的斜率为12时，4PE PD =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设DE 的中垂线在y 轴上的截距为b ,求b 的取值范围.【答案】()124x y =；()22b > 【解析】()1由题意可知,直线l 的方程为()142y x =+,与抛物线方程2:2(0)C x py p =>方程联立可得, ()22880y p y -++=,设()()1122,,,D x y E x y ,由韦达定理可得,12128,42p y y y y ++==, 因为4PE PD =,()()22114,,4,PE x y PD x y =+=+,所以214y y =,解得121,4,2y y p ===,所以抛物线C 的方程为24x y =; ()2设():4l y k x =+,DE 的中点为()00,x y ,由()244x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,消去y 可得24160x kx k --=, 所以判别式216640k k ∆=+>,解得4k <-或0k >,由韦达定理可得,()20002,4242D E x x x k y k x k k +===+=+,所以DE 的中垂线方程为()21242y k k x k k--=--, 令0x =则b =()2224221y k k k =++=+, 因为4k <-或0k >,所以2b >即为所求.22．（2020·广东省高二期末）已知直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，且OAB是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？【答案】（1）24y x =（2）0k =或1k =-或12k = 【解析】（1）直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，可设A ，(4,B -，又OAB 是等腰直角三角形，可得OA OB ⊥，1=-，解得2p =， 即有抛物线的方程为24y x =；（2）直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，当直线l 平行于抛物线的对称轴x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k =； 当直线l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由2124y kx k y x=++⎧⎨=⎩可得222[2(12)4](12)0k x k k x k ++-++=，0k ≠， 由2[2(12)4]k k ∆=+--()2224(12)16120k k k k +=--=，解得1k =-或12k =， 综上可得0k =或1k =-或12k =，直线l 与抛物线C 只有一个公共点． 23．（2019·安徽省阜阳第一中学高二期中（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，过点P 作PE 垂直于l ，交l 于E ，PEF 是边长为8的正三角形.（1）求C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线m 与C 交于A ，B 两点，若3MA MB =，求直线m 的方程.【答案】（1）28y x =（2）66y x =-或66y x =-+ 【解析】（1） 由PEF ∆是边长为8的等边三角形，（2） 得||||||8PE PF EF ===，又由抛物线的定义可得PE l ⊥．设准线l 与x 轴交于D ，则//PE DF ，从而60PEF EFD ∠=∠=︒，在Rt EDF ∆中，1||||cos 842DF EF EFD =∠=⨯=，即4p =． 所以抛物线C 的方程为28y x =；（2）设直线m ：1x ty =+，代入28y x =得2880y ty --=，设11(,)A x y ，22()B x y ，则128y y t +=，128y y =-， 因为3MA MB =， 所以123y y =，设123y y =-，则112y t =，24y t =-，()1248t t ⨯-=- 解得6t =±， 所以直线方程为616x y =±+， 即66y x =-或66y x =-+。

高中数学抛物线知识点归纳1、定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F 称为抛物线的焦点,定直线l 称为抛物线的准线.23、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ,称为抛物线的“通径”,即2p AB =.4、焦半径公式: 若点(00,x y P 在抛物线(220y px p =>上,焦点为F ,则02p F x P =+; 若点(00,x y P 在抛物线(220x py p =>上,焦点为F ,则02p F y P =+; 5、焦点弦公式:焦点在X 轴_______________________________________焦点在Y 轴 _______________________________________达标练习一、选择题1.如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1,那么它的焦点坐标为(A .(1, 0B .(2, 0C .(3, 0D .(-1, 02.圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( A .x 2+ y 2-x -2 y -41=0 B .x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C .x 2+ y 2-x -2 y +1=0 D .x 2+ y 2-x -2 y +41=0 3.抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 (A .(1,1B .(41,21 C .49,23( D .(2,4 4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶2m 时,水面宽4m ,若水面下降1m ,则水面宽为(A .6mB . 26mC .4.5mD .9m5.平面内过点A (-2,0,且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 (A . y 2=-2xB . y 2=-4xC .y 2=-8xD .y 2=-16x 6.抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上点(-5,m 到焦点距离是6,则抛物线的方程是( A . y 2=-2xB . y 2=-4xC . y 2=2xD . y 2=-4x 或y 2=-36x 7.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于A(x 1, y1 ,B(x 2, y 2两点,如果x 1+ x 2=6,那么|AB|=( A .8 B .10 C .6D .4 8.把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 3,2(-=平移,所得的曲线的方程是(A .2(43(2--=-x yB .2(43(2+-=-x yC .2(43(2--=+x yD . 2(43(2+-=+x y9.过点M (2,4作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有(A .0条B .1条C .2条D .3条10.过抛物线y =ax 2(a >0的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则q p 11+等于 (A .2aB .a 21 C .4a D . a4二、填空题 11.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴,若AB 的长为43,则焦点到AB 的距离为 . 12.抛物线y =2x 2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 .13.P 是抛物线y 2=4x 上一动点,以P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个定点Q ,点Q 的坐标是 . 14.抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 .三、解答题15.已知动圆M 与直线y =2相切,且与定圆C :13(22=++y x 外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点M (-3,m 到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m 的值.17.动直线y =a ,与抛物线x y 212相交于A 点,动点B 的坐标是3,0(a ,求线段AB 中点M 的轨迹的方程.18.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面上的部分高0.75米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?19.如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C 上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.(14分20．已知抛物线．过动点 M（ a ，0）且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B，．（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅱ）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求面积的最大值．(14 分一题号答案二． 11．2 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 C 10 C 12．13．（1，0） 14．三、15．（12 分）[解析]：设动圆圆心为 M （x，y），半径为 r，则由题意可得 M 到 C（0，-3）的距离与到直线 y=3 的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以 C（0， -3）为焦点，以 y=3 为准线的一条抛物线，其方程为． 16． (12 分[解析]：设抛物线方程为，则焦点 F（得，解之得或，），由题意可 2 故所求的抛物线方程为， m的值为．（12 分）[解析]：设 M 的坐标为（x，y），A（ 2 a ， a ），又 B (0,3a 得消去 a ，得轨迹方程为，即．（12 分）[解析]：如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为，由题意可知， B（4，-5）在抛物线上，所以，得，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则 A（ 2, y A ），由得，又知船面露出水面上部分高为 0 ． 75 米，所以米 19．(14 分 [解析]：如图建立坐标系，以 l1 为 x 轴，MN 的垂直平分线为 y 轴，点 O 为坐标原点．由题意可知：曲线 C 是以点 N 为焦点，以l2 为准线的抛物线的一段，其中 A、 B 分别为 C 的端点．设曲线段 C 的方程为 y， 2其中 xA , xB 分别为 A、B 的横坐标，． p p ,0, N ( ,0 ．由17 ，得① 2 2 所以，联立①②解得②．将其代入①式并由 p>0 解得，或．，故舍去．∴p=4，．因为△AMN 为锐角三角形，所以由点 B 在曲线段 C 上，得．综上得曲线段 C 的方程为． 20．(14 分得 [解析]：（Ⅰ）直线 l 的方程为，将代入，设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为 A( x1 , y1 、． B( x2 , y2 ， 0, 则又，∴．∵，∴．解得．， 2 （Ⅱ）设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q，令坐标为 ( x3 , y3 ，则由中点坐标公式，得∴∴． 2 2 |．又为等腰直角三角形， | QN ，∴ 2 p2 T e s o o n . c 即面积最大值为 2 p 2 天星教育网( 版权 es 天 ·星 o 天 ·星 o m 权天 T m 权。

抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，±62B.⎝⎛⎭⎫74，±72C.⎝⎛⎭⎫94，±32D.⎝⎛⎭⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．125．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1= 。

初三上册数学抛物线练习题抛物线是数学中的重要概念之一，研究抛物线可以帮助我们更好地理解数学中的曲线和函数。

在初三上册数学课程中，抛物线的相关知识有一定的难度，需要同学们进行充分的练习。

下面将为大家提供一些抛物线的练习题，希望能够对大家的学习有所帮助。

题目一：抛物线的基本形式1. 将抛物线的标准形式 y = ax^2 + bx + c 转化成顶点形式 y = a(x -h)^2 + k。

2. 已知抛物线的顶点为 V(3, -2)，求抛物线的标准形式方程。

3. 抛物线的顶点为 V(4, -3)，经过点 P(2, 5)，求抛物线的方程。

题目二：抛物线的性质及应用1. 抛物线的对称轴是 x = h，如何通过方程的形式确定抛物线的对称轴？2. 已知抛物线的焦点为 F(1, 2)，直径所在直线方程为 2x + y - 7 = 0，求抛物线的方程。

3. 一架火箭垂直发射，其运动轨迹形如抛物线。

已知火箭从地面起飞经过点 A(0, 0)，最高点为 B(2, 3)，点 P 在抛物线上且 x 坐标为 4，求点 P 的纵坐标。

题目三：抛物线的图像与变化1. 已知抛物线的焦点为 F(2, -1)，直径所在直线为 x + y - 4 = 0，求抛物线的方程。

2. 如果抛物线的开口向上，顶点在 x 轴上，且焦点为 (0, 4)，求抛物线的方程。

3. 抛物线 y = k(x - a)(x - b) 所表示的图像开口向上还是向下？这里 a、b 和 k 均为常数。

题目四：抛物线的解析式1. 已知抛物线的顶点为 V(h, k)，过点 P(x1, y1)，求抛物线的解析式。

2. 已知抛物线经过两点 A(1, 2) 和 B(3, 4)，求抛物线的解析式。

3. 抛物线的顶点为 V(0, 0)，过点 P(-3, 4)，求抛物线的解析式。

以上就是一些初三上册数学抛物线练习题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握抛物线的相关知识。

通过反复练习和解答这些题目，相信大家能够在数学学习中取得更好的成绩。

1练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① y =()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x =+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = 3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m =时，函数()2221mm y m m x --=+是关于x 的二次函数5、当____m =时，函数()2564mm y m x-+=-+3x 是关于x 的二次函数6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图象与性质21、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 . 3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知函数24mm y mx--=的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.7、二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值.8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系. 9、已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 10、如果抛物线2y ax =与直线1y x =-交于点(),2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y随x 的增大而增tttt3大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 .2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. （1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位. 3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到. 5、 已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<1 7、已知函数()9232+--=x y .（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？ 8、已知函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5 5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________； 7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ） A 、22 B 、23 C 、32 D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标 13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点 1） 求一次函数的关系式；2） 判断点()2,5-是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为 2、二次函数2224y mx x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是 3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么acb= 4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积6 为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限. 7、已知二次函数2y ax bx c =++（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x =和3x =时，函数值相同；3）40a b +=；4）当2y =-时，x 的值只能为0；其中正确的是 （第5题）（第6题） （第7题） （第10题） 8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m= 9、二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ）A ()1,1--B ()1,1-C ()1,1D ()1,1-10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示，则下列选项中正确的是（ ） A 、0,0>>c ab B 、0,0><c ab C 、0,0<>c ab D 、0,0<<c ab 11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论： ①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c =++的最大值是3a -，且它的图象经过()1,2--，()1,6两点， 求a 、b 、c 的值。

抛物线根底训练题1. 抛物线y 2=8x 的准线方程是〔 A 〕。

〔A 〕x =－2 〔B 〕x =2 〔C 〕x =－4 〔D 〕y =－22. 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，作倾斜角为60°的直线，那么直线的方程是〔 B 〕。

〔A 〕y =33(x －1) 〔B 〕y =3 (x －1) 〔C 〕y =33(x －2) 〔D 〕y =3 (x －2)3．抛物线的焦点是F (0，4)，那么此抛物线的标准方程是( A )〔A 〕x 2＝16y 〔B 〕x 2＝8y 〔C 〕y 2＝16x 〔D 〕y 2＝8x4. 假设抛物线y =x 2与x =－y 2的图象关于直线l 对称，那么l 的方程是〔B 〕。

〔A 〕x －y =0 〔B 〕x ＋y =0 〔C 〕x =0 〔D 〕y =05．AB 是过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，A ，B 两点的横坐标分别是x 1与x 2，且x 1＋x 2＝6那么|AB |等于〔 B 〕〔A 〕10 〔B 〕8 〔C 〕7 〔D 〕66．经过〔1，2〕点的抛物线的标准方程是〔C 〕〔A 〕y 2＝4x 〔B 〕x 2＝21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝21y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两点，如果AB 与x 轴成45°角，那么|AB |等于〔 B 〕。

〔A 〕10 〔B 〕8 〔C 〕6 〔D 〕48．抛物线的焦点在y 轴上，准线与椭圆4x 2＋3y 2＝1的左准线重合，并且经过椭圆的右焦点，那么它的对称轴方程是C〔A 〕y ＝24 〔B 〕y ＝26 或 y ＝－26〔C 〕y ＝26 〔D 〕y ＝22或y ＝－229. 顶点在原点，焦点是F (6, 0)的抛物线的方程是2y 24x =。

10．抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 是抛物线上一点，|AF |＝4＋22，那么AF 所在直线方程是111-122y x y x =+=+或。