湖北省沙市中学2016届高三下学期第三次半月考数学(文)试题

2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合，则A∩（∁R B）等于（）A．B．C．D．（0，2）2．（5分）新定义运算：=ad﹣bc，则满足=2的复数z是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）4．（5分）下列判断错误的是（）A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”C．若∥且∥，则∥是真命题D．若am2＜bm2，则a＜b否命题是假命题5．（5分）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4 C．D．36．（5分）函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3）B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在7．（5分）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．08．（5分）在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π），若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）10．（5分）已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．π B．4πC．π D．16π11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+4）=16，当x∈（0，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[﹣4，2016]上的零点个数是（）A．504 B．505 C．1008 D．1009二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为．14．（5分）若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为．15．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（）=sinC．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且3bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{b n}中，b1=3，且{b n}的前n 项和为S n，a3+S3=27，q=．（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．18．（12分）某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩（单位：秒）如下：（Ⅰ）请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）．（Ⅱ）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率．（Ⅲ）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5，14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．20．（12分）已知抛物线x2=2py上点P处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1）和B（x2，y2）为抛物线上的两个动点，其中y1≠y2且y1+y2=4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．（1）证明：PA=PD；（2）求证：PA•AC=AD•OC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2cosθ，θ∈[0，]．（1）在直角坐标系下求曲线C的方程；（2）设点D在曲线C上，曲线C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的曲线C 的方程，在直角坐标系下求D的坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2016春•荆州校级月考）设集合，则A∩（∁R B）等于（）A．B．C．D．（0，2）【分析】由题意，可先解分式不等式和指数不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交集的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项．【解答】解：由＞1即为﹣1＞0，即＞0，即为x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，∴A=（0，2），由0＜2x﹣1＜3，即B=（0，），∴∁R B=（﹣∞，0]∪[，+∞）∴A∩（∁R B）=[，2）故选：B．【点评】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键．2．（5分）（2016春•丰城市校级期末）新定义运算：=ad﹣bc，则满足=2的复数z是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】直接利用新定义，化简求解即可．【解答】解：由=ad﹣bc，则满足=2，可得：iz+z=2，所以z===1﹣i．故选：A．【点评】本题考查新定义的应用，复数的除法运算法则的应用，考查计算能力．3．（5分）（2016•白银模拟）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题4．（5分）（2016春•丰城市校级期末）下列判断错误的是（）A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”C．若∥且∥，则∥是真命题D．若am2＜bm2，则a＜b否命题是假命题【分析】A．利用复合命题的真假判定方法即可得出；B．利用命题的否定定义即可判断出；C．不一定正确，例如当时；D．其否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，是假命题，m=0时，a，b大小关系是任意的．【解答】解：A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题，正确；B．“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”，正确；C．∥且∥，则∥是真命题不一定正确，例如当时；D．若am2＜bm2，则a＜b否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，是假命题，m=0时，a，b大小关系是任意的．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、向量与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2016•衡阳三模）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4 C．D．3【分析】由三视图知几何体是正方体的一半，已知正方体的棱长为2，由此可得几何体的体积．【解答】解：由三视图知：余下的几何体如图示：∵E、F都是侧棱的中点，∴上、下两部分的体积相等，∴几何体的体积V=×23=4．故选B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状是解答此类问题的关键．6．（5分）（2016春•唐山校级期末）函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3）B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得解之即可求出a和b的值．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴，解得或，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故选B．【点评】掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题．7．（5分）（2016•河南模拟）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0【分析】由于直线y=kx+2在y轴上的截距为2，即可作出不等式组表示的平面区域三角形；再由三角形面积公式解之即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图，解得点B的坐标为（2，2k+2），所以S△ABC=（2k+2）×2=4，解得k=1．故选A．【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法．8．（5分）（2016•安徽一模）在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论．【解答】解：类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：B．【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．9．（5分）（2016春•荆州校级月考）已知函数f（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π），若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【分析】由若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，再根据余弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．【解答】解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值，即2×+φ=kπ，k∈Z，则φ=kπ﹣，k∈Z，又0＜φ＜π，所以φ=，所以f（x）=cos（2x+）；令2x+∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，解得x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；则f（x）的单调递减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦型函数的图象与性质的应用问题，其中解题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值，是基础题目．10．（5分）（2016•冀州市校级模拟）已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．π B．4πC．π D．16π【分析】根据正弦定理得出截面圆的半径为1，利用球的几何性质把空间转化为平面为梯形PANO，利用平图形的几何性质求解．【解答】解：根据题意得出图形如下；O为球心，N为底面△ABC截面圆的圆心，ON⊥面ABC∵，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，∴根据正弦定理得出：=2r，即r=1，∵PA⊥面ABC，∴PA∥ON，∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，∴根据等腰三角形得出：PAO中PA=2d=2，d=∵R2=12+（）=4，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=16π故选：D【点评】本题综合考查了空间几何的性质，球的几何意义，学生的空间想象能力，解决三角形的问题，属于综合性较强的题目．11．（5分）（2016•辽宁校级四模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得•2b•2c=a•4，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），F2（c，0），且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，运用面积相等，可得•2b•2c=a•4，即为b2c2=a2（b2+c2），即有c4+a4﹣3a2c2=0，由e=，可得e4﹣3e2+1=0，解得e2=，可得e=，（舍去）．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）（2016•蔡甸区校级一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+4）=16，当x∈（0，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[﹣4，2016]上的零点个数是（）A．504 B．505 C．1008 D．1009【分析】由f（x）+f（x+4）=16可判断出f（x）=f（x+8），从而可得函数f（x）是R上周期为8的函数；而当x∈（﹣4，4]时，f（2）=f（4）=0；从而解得．【解答】解：当x∈（﹣4，0]时，x+4∈（0，4]，f（x）=16﹣f（x+4）=16﹣（（x+4）2﹣2x+4），∵f（x）+f（x+4）=16，∴f（x+4）+f（x+8）=16，∴f（x）=f（x+8），∴函数f（x）是R上周期为8的函数；当x∈（﹣4，4]时，f（2）=f（4）=0；而2020=8×252+4，f（2）=f（10）=f（18）=…=f（8×251+2），f（﹣4）=f（4）=f（8×251+4），故函数f（x）在[﹣4，2016]上的零点个数是251+1+251+2=505，故选B．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了归纳思想的应用．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2016•杨浦区一模）若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为36．【分析】根据方差是标准差的平方，数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，可得答案．【解答】解：数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数a1，a2，a3，a4，a5的方差为4，∴数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为4×32=36，故答案为：36【点评】本题考查的知识点是极差、方差与标准差，熟练掌握方差与标准差之间的关系，及数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，是解答的关键．14．（5分）（2016•黄浦区一模）若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为．【分析】由+2+3=，把用含有的式子表示，结合•=•=•，可得，．然后代入数量积求夹角公式求解．【解答】解：由+2+3=，得，代入•=•，得，即．再代入•=•，得，即．∴cos===﹣．∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．15．（5分）（2016•辽宁校级模拟）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（|sinA﹣sinB| ）=sinC．【分析】设△ABC中角A，角B，角C所对的边长分别为a，b，c．m＞0＞n时，曲线是双曲线，离心率e=，由双曲线定义知e|b﹣a|=c，由正弦定理，得e|sinA﹣sinB|=sinC．【解答】解：设△ABC中角A，角B，角C所对的边长分别为a，b，c．∵△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上，∴m＞0＞n时，曲线是双曲线，离心率e=，由双曲线定义|b﹣a|=2，∴e|b﹣a|=c，由正弦定理，得e|sinA﹣sinB|=sinC．故答案为：|sinA﹣sinB|．【点评】本题考查双曲线的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16．（5分）（2016春•汕头校级期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且3bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为．【分析】使用正弦定理将边化角，化简得出tanB和tanC的关系，代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值．【解答】解：∵3bcosC﹣3ccosB=a，∴3sinBcosC﹣3sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴sinBcosC=2cosBsinC，∴tanB=2tanC．∴tan（B﹣C）===≤．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，属于中档题，三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016春•长春校级期中）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{b n}中，b1=3，且{b n}的前n项和为S n，a3+S3=27，q=．（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）根据题意，设出等差数列{b n}的公差d，列出方程组求出公差与公比，即可写出{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）由题意得出数列{c n}的通项公式，用裂项法即可求出{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{b n}的公差为d，∵，∴，解得；…（4分）∴{a n}的通项公式为a n=3n﹣1，{b n}的通项公式为b n=3n…（6分）（Ⅱ）由题意得：S n=，…（8分）∴数列{c n}的通项公式为c n==••=3（﹣），…（10分）∴{c n}的前n项和为T n=3[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=…（12分）【点评】本题考查了等差与等比数列的定义、通项公式与前n项和公式的应用问题，也考查了裂项求和的应用问题，是综合性题目．18．（12分）（2013•历下区模拟）某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩（单位：秒）如下：（Ⅰ）请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）．（Ⅱ）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率．（Ⅲ）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5，14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．【分析】（I）根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据．（II）设事件A为：甲的成绩低于12.8，事件B为：乙的成绩低于12.8，我们先计算出从甲、乙成绩都低于12.8的概率，再利用对立事件概率公式即可求出答案．（III）设中设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x﹣y|＜0.8，如图阴影部分面积我们可以求出它所表示的平面区域的面积，再求出甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8分对应的平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；…（4分）（Ⅱ）设事件A为：甲的成绩低于12.8，事件B为：乙的成绩低于12.8，则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为：P==；…（8分）（此部分，可根据解法给步骤分：2分）（Ⅲ）设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x﹣y|＜0.8，…（10分）得﹣0.8+x＜y＜0.8+x，如图阴影部分面积即为3×3﹣2.2×2.2=4.16，则．…（12分）【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，几何概型及其概率计算公式，茎叶图，是统计和概率知识的综合考查，熟练掌握古典概型及几何概型求解概率的方法和步骤是解答本题的关键．19．（12分）（2016•安徽一模）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．【分析】（I）由正方形的性质得AC⊥BD，由面面垂直的性质即可得到AC⊥平面EFBD；（II）求出等腰梯形的上下底，利用勾股定理求出梯形的高，将多面体分解成四棱锥A﹣BDEF和四棱锥C﹣BDEF计算体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．又平面EFBD⊥平面ABCD，平面EFBD∩平面ABCD=BD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面EFBD．（Ⅱ）∵正方形ABCD的边长为2，∴BD=AC=2，∴EF=，过F作FM⊥BD于M，∵四边形EFBD为等腰梯形，∴MB=（BD﹣EF）=．∴FM==．设AC∩BD=O，则AO=．∴V C﹣BDEF=V A﹣BDEF=S梯形BDEF•AO==．∴多面体ABCDEF的体积V=2V A﹣BDEF=2．【点评】本题考查了面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）（2016春•荆州校级月考）已知抛物线x2=2py上点P处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1）和B（x2，y2）为抛物线上的两个动点，其中y1≠y2且y1+y2=4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意，抛物线x2=2py上点P处的切线方程为x﹣y﹣1=0，设P的坐标，求函数的导函数在P点斜率为1，求解P的坐标值．（Ⅱ）由题意，采用设而不求的思想，设A（x1，y1）和B（x2，y2）为抛物线上的两个动点，已知y1+y2=4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，可以利用中点坐标公式．求解出直线方程，与抛物线组成方程组，求其中点坐标范围．利用弦长公式求|AB|的长度，再求C点到直线AB的距离最大值，从而求解△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点，由x2=2py得，求导，抛物线x2=2py上点P处的切线方程为x﹣y﹣1=0，∴直线PQ的斜率为1，所以且，解得p=2，所以：抛物线的方程为x2=4y．（Ⅱ）设线段AB中点M（x0，y0），则，，∴直线l的方程为，即2x+x0（﹣4+y）=0，∴l过定点（0，4）．即C的坐标为（0，4）．联立得，|AB|==，设C（0，4）到AB的距离，∴=．当且仅当，即x0=±2时取等号，∴S△ABC的最大值为8．【点评】本题考查了导数的几何意义，直线与抛物线相交问题，弦长问题、“点差法”、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2014•新课标I）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）对a分类讨论：当a时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，∴=．①当a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，解得；②当a＜1时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去．③若a＞1时，f（1）=，成立．综上可得：a的取值范围是．【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2014•焦作一模）如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO 于点D．（1）证明：PA=PD；（2）求证：PA•AC=AD•OC．【分析】（1）连结OA，由已知条件推导出∠PAD=∠PDA，即可证明PA=PD．（2）连结OA，由已知条件推导出△PAD∽△OCA，由此能证明PA•AC=AD•OC．【解答】（1）证明：连结AC，∵直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D，BC是直径，∴∠C+∠B=90°，∠ODB+∠B=90°，∴∠C=∠ODB，∵直线PA为圆O的切线，切点为A，∴∠C=∠BAP，∵∠ADP=∠ODB，∴∠BAP=∠ADP，∴PA=PD．（2）连结OA，由（1）得∠PAD=∠PDA=∠ACO，∵∠OAC=∠ACO，∴△PAD∽△OCA，∴，∴PA•AC=AD•OC．【点评】本题考查线段相等的证明，考查线段乘积相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2015春•吉林校级期中）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2cosθ，θ∈[0，]．（1）在直角坐标系下求曲线C的方程；（2）设点D在曲线C上，曲线C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的曲线C 的方程，在直角坐标系下求D的坐标．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]．可得ρ2=2ρcosθ，利用即可化为直角坐标方程；（2）利用圆的方程：（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．令，即可得出直角坐标．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]．可得ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为：（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．（2）利用圆的方程：（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．令，可得D的直角坐标系为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•河南模拟）已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R （1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．【分析】（1）若不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，故3x2﹣6x﹣9=0时，x2+mx+n=0，进而由韦达定理得到答案；（2）运用重要不等式a+b≥2，结合累加法和三个数的完全平方公式，即可得证．【解答】（1）解：∵不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，令3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，或x=3，故x=﹣1，或x=3时，x2+mx+n=0，则x=﹣1和x=3为方程x2+mx+n=0的两根，故﹣1+3=2=﹣m，﹣1×3=﹣3=n，解得：m=﹣2，n=﹣3，当m=﹣2，n=﹣3时，不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|即为|x2﹣2x﹣3|≤3|x2﹣2x﹣3|，即有|x2﹣2x﹣3|≥0，则解集为R，故m=﹣2，n=﹣3；（2）证明：若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n=1，由a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2．累加得，2a+2b+2c≥2+2+2，两边同时加a+b+c，可得3（a+b+c）≥a+b+c+2+2+2，即有3（a+b+c）≥（++）2，即++≤=．（当且仅当a=b=c时取得等号）则++≤成立．【点评】本题考查不等式的解法和运用，主要考查不等式的恒成立转化为求函数的最值，同时考查二次方程的韦达定理的运用，运用均值不等式和累加法是证明不等式的关键．。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．集合{}{}3,2,,aA B a b ==，若{}2AB =，则A B =（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3,4C ．{}2,3D ．{}2,3,5 2．已知z 满足2zi z +=-，则z 在复平面内对应的点为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,1) C ．(1,1)-D ．(1,1)--3．向量,AB AC uu u r uuu r 在正方形网格中的位置如图所示.设向量23AC AB λ-u u u r u u u r m =，若AB ⊥uu u rm ，则1，则（ ）） A ．[0,]3πB ．2[,]63ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()1,1--,则双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -= B ．2214x y -= C ．22199x y -= D ．22133x y -= 7．如图给出的是计算1111352015++++的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是（ ）A ．1,1009n n i =+>B ．2,1009n n i =+>C ．1,1008n n i =+>D ．2,1008n n i =+>8．函数2()(1)sin f x x x =-的图象大致是（ ）9．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点P 为矩形ABCD 内一点，则使得1≥⋅→→AC AP 的概率为（ ） A ．81B ．41C ．43D ．87 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．48C ．40D ．5611．已知双曲线2222=1x y a b-的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点,B C ，且2BC CF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =±C ．1)y x =±D ．1)y x =±12．已知函数241,1()610,1x x f x x x x -+>-⎧=⎨++≤-⎩，关于t 的不等式()220f t mt m ---<的解集是123(,)(,)t t t +∞U ，若1230t t t >, 则实数m 的取值范围是（ ） A ．(4,3)-B ．1(4,)2-- C ．1(,1)2- D ．1(,)2-∞-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．设,x y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若4M x y =+，1()2x N =，则M N -的最小值为 ．14．函数12,0,()1ln ,0x x x f x x x -⎧+=⎨-+>⎩…的零点个数为 .15．如图ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，S- ABCD 是高为l 的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C l ，D 1在同一个球面上，则该球的表面积为.16．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，且t a n 2t a n B C =．若2c =，则ABC ∆的面积最大 值为________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分12分)已知公差为正数的等差数列{}n a 满足11a =，12a ，33a -，45a +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图1的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在5.0以下的人数，并估计这100名学生视力的中位数（精确到0.1）；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查，得到如表1中数据，根据表1及临界值表2中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?附：临界值表2（参考公式： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ， 其中)n a b c d =+++19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中， 底面ABCD 是直角梯形，90,o ABC ∠=AB ∥CD ，2AB AD ==，1CD =，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆是以AD 为底的等腰三角形．（1）证明：AD ⊥PB ； （2）若三棱锥C PBD -的体积等于12，问：是否存 在过点C 的平面CMN ，分别交PB 、AB 于点,M N ，使得平面CMN ∥平面PAD ？若存在，求出CMN ∆的面积；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知椭圆错误！未找到引用源。

2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={y|y=2x﹣5，x∈A}，则A∩B等于（）A．∅B．（0，3）C．（﹣5，4）D．（0，4）2．若复数z满足（1+2i）2z=1﹣2i，则共轭复数为（）A． +iB．﹣﹣i C．﹣+i D．﹣i3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），3+x0=2016，命题q：∃a∈（0，+∞），f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）4．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则下列关于f（x）的表达式中正确的是（）A．f（x）= B．f（x）=（lnx）cos2x C．f（x）=（ln|x|）sin2x D．f（x）=（ln|x|）cosx5．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．906．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为（）A．B．C．D．7．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|=（）A．3 B． C． D．8．在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，asinB+bcos（B+C）=0，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（）A．2 B．C．D．9．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上，则f（x）=（）A．B．C．D．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+16πB．24+8πC．16+8πD．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣3），则a=．14．（1﹣x2）4（）5的展开式中的系数为．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是．16．已知数列{a n}满足a1=﹣1，|a n﹣a n﹣1|=2n﹣1（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则a2016=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350，450），[550，650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE成锐角二面角为θ，试求θ的最小值．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 分别是椭圆C 1： +=1（a ＞b ＞0）和C 2：+=1（m ＞n ＞0）上的动点，已知C 1的焦距为2，点T 在直线AB 上，且•=•=0，又当动点A 在x 轴上的射影为C 1的焦点时，点A 恰在双曲线2y 2﹣x 2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；（Ⅱ）若C 1与C 2共焦点，且C 1的长轴与C 2的短轴长度相等，求|AB |2的取值范围；（皿）若m ，n 是常数，且﹣=﹣．证明|OT |为定值．21．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣b ，其中a ，b ∈R ，e=2.71828…为自然对数的底数． （I ）当b=﹣a 时，求f （x ）的极小值；（Ⅱ）当f （x +1）+a ≥0时，对x ∈R 恒成立，求ab 的最大值；（Ⅲ）当a ＞0，b=﹣a 时，设f'（x ）为f （x ）的导函数，若函数f （x ）有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：f （3lna ）＞f ′（）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC ，圆O 是△ABC 的外接圆，CD ⊥AB ，CE 是圆O 的直径．过点B 作圆O 的切线交AC 的延长线于点F ．（Ⅰ）求证：AB •CB=CD •CE ；（Ⅱ）若，，求△ABC 的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C 的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 的极坐标分别为A （2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x2﹣x|+|x2+|（x≠0）．（1）求证：f（x）≥2；（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）≥成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={y|y=2x﹣5，x∈A}，则A∩B等于（）A．∅B．（0，3）C．（﹣5，4）D．（0，4）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，进而求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣4）＜0，解得：0＜x＜4，即A=（0，4），由y=2x﹣5，得到x=，代入得：0＜＜4，即﹣5＜y＜3，∴B=（﹣5，3），则A∩B=（0，3），故选：B．2．若复数z满足（1+2i）2z=1﹣2i，则共轭复数为（）A． +iB．﹣﹣i C．﹣+i D．﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z满足（1+2i）2z=1﹣2i，可得z====+i．共轭复数为﹣﹣i．故选：B．3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），3+x0=2016，命题q：∃a∈（0，+∞），f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】函数y=3x与函数y=2016﹣x的图象在第一象限有一个交点，即可判断出命题p的真假．若f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），解解得a=0，即可判断出命题q的真假，进而得出答案．【解答】解：∵函数y=3x与函数y=2016﹣x的图象在第一象限有一个交点，∴∃x0∈（0，+∞），3+x0=2016，因此命题p是真命题．若f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），解得a=0，∴命题q是假命题．因此只有p∧（￢q）是真命题．故选：C．4．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则下列关于f（x）的表达式中正确的是（）A．f（x）= B．f（x）=（lnx）cos2x C．f（x）=（ln|x|）sin2x D．f（x）=（ln|x|）cosx【考点】函数的图象．【分析】由图象可知函数f（x）为偶函数，从而判断函数的奇偶性即可．【解答】解：由图象可知，函数f（x）为偶函数，故f（x）=为奇函数，故A不成立；f（x）=（lnx）cos2x为非奇非偶函数，故B不成立；f（x）=（ln|x|）sin2x为奇函数，故C不成立；故选：D．5．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C6．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解．【解答】解：∵3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，∴第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：p==．故选：B．7．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|=（）A．3 B． C． D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），从而得到m=﹣1．圆C半径r=2，当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1，把x=﹣1代入圆C，得P （﹣1，2）；当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）﹣1，由圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）﹣1的距离d=r，求出切线方程，与圆联立，得Q（，），由此能求出|PQ|．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，∴直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），∴1+2m+1=0．解得m=﹣1．圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0的圆心（1，2），半径r==2，当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1，圆心C（1，2）到x=﹣1的距离为2，成立，把x=﹣1代入圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，得y=2，∴P（﹣1，2），当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）﹣1，圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）﹣1的距离d==，解得k=，∴切线方程为y=（x+1）﹣1，即5x﹣12y﹣7=0，联立，得169x2﹣598x+529=0，解得x=，y=，∴Q（，），∴|PQ|==．故选：D．8．在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，asinB+bcos（B+C）=0，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（）A．2 B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由asinB+bcos（B+C）=0，利用正弦定理可得sinAsinB﹣sinBcosA=0，由sinB≠0，化为sinA=cosA，A∈（0，π），可得A=．由sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，利用和差公式、倍角公式展开可得sinB=2sinC，利用正弦定理可得b=2c．再利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：在斜△ABC中，∵asinB+bcos（B+C）=0，∴sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴sinA=cosA，A∈（0，π），∴tanA=1，解得A=．∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，∴sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC﹣cosBsinC=2sin2C，∴2sinBcosC=4sinCcosC∵cosC≠0，∴sinB=2sinC，∴b=2c．由余弦定理可得：a2=﹣2×c2cos=5c2．∵△ABC的面积为1，∴=1，∴=1，解得c2=1．则a=．故选：B．9．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上，则f（x）=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，令y=0，求出点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f（x）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得﹣x2+x+1=0，解得x=﹣或x=1；∴点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，∴﹣ω+φ=0，即φ=ω①；又令ωx+φ=，得ωx=﹣φ②；把①代入②得，x=﹣③；令y=1，得﹣x2+x+1=1，解得x=0或x=；即﹣=，解得ω=π，∴φ=ω=，∴f（x）=sin（x+）．故选：C．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+16πB．24+8πC．16+8πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体下部分为半圆柱，上部分为长方体和四棱锥的组合体，代入体积公式计算．【解答】解：几何体为的下部分为半圆柱，底面半径为2，高为4，几何体的上部分为长方体ABCD﹣A1B1C1D1和四棱锥E﹣BB1A1A的组合体，长方体的棱长分别为4，2，2四棱锥的底面BB1A1A为矩形，边长为4，2棱锥的高为2，∴几何体的体积V=+4×2×2+×4×2×2=8π+．故选：D．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得•2b•2c=a•4，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），F2（c，0），且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，运用面积相等，可得•2b•2c=a•4，即为b2c2=a2（b2+c2），即有c4+a4﹣3a2c2=0，由e=，可得e4﹣3e2+1=0，解得e2=，可得e=，（舍去）．故选：A．12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的值．【分析】根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣3），则a=3．【考点】函数的值．【分析】根据已知中函数f（x）=，f（1）=f（﹣3），构造关于a的方程，解得答案．【解答】解：∵函数f（x），∴f（1）=1+a﹣3=a﹣2，f（﹣3）=lg10=1，∵f（1）=f（﹣3），∴a﹣2=1，解得：a=3，故答案为：314．（1﹣x2）4（）5的展开式中的系数为﹣29．【考点】二项式系数的性质．【分析】化简（1﹣x2）4（）5=（1﹣x）4•（1+x）9•，求出（1﹣x）4（1+x）9展开式中含x4项，即可求出展开式中的系数．【解答】解：∵（1﹣x2）4（）5=（1﹣x）4•（1+x）9•，且（1﹣x）4（1+x）9展开式中x4项为：C40•C94x4+C41（﹣x）•C93x3+C42（﹣x）2•C92x2+C43（﹣x）3•C91x+C44（﹣x）4•C90；∴所求展开式中的系数为C40C94﹣C41C93+C42﹣C43C91+C44C90=﹣29．故答案为：﹣29．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．已知数列{a n }满足a 1=﹣1，|a n ﹣a n ﹣1|=2n ﹣1（n ∈N ，n ≥2），且{a 2n ﹣1}是递减数列，{a 2n }是递增数列，则a 2016=．【考点】数列递推式．【分析】由|a n ﹣a n ﹣1|=2n ﹣1，（n ∈N ，n ≥2），可得：|a 2n ﹣a 2n ﹣1|=22n ﹣1，|a 2n +2﹣a 2n +1|=22n +1，根据：数列{a 2n ﹣1}是递减数列，且{a 2n }是递增数列，可得a 2n ﹣a 2n ﹣1＜a 2n +2﹣a 2n +1，可得：a 2n ﹣a 2n ﹣1=22n ﹣1，同理可得：a 2n +1﹣a 2n =﹣22n ，再利用“累加求和”即可得出． 【解答】解：由|a n ﹣a n ﹣1|=2n ﹣1，（n ∈N ，n ≥2）， 则|a 2n ﹣a 2n ﹣1|=22n ﹣1，|a 2n +2﹣a 2n +1|=22n +1， ∵数列{a 2n ﹣1}是递减数列，且{a 2n }是递增数列， ∴a 2n ﹣a 2n ﹣1＜a 2n +2﹣a 2n +1，又∵|a 2n ﹣a 2n ﹣1|=22n ﹣1＜|a 2n +2﹣a 2n +1|=22n +1， ∴a 2n ﹣a 2n ﹣1＞0，即a 2n ﹣a 2n ﹣1=22n ﹣1， 同理可得：a 2n +3﹣a 2n +2＜a 2n +1﹣a 2n ， 又|a 2n +3﹣a 2n +2|＞|a 2n +1﹣a 2n |， 则a 2n +1﹣a 2n =﹣22n ，当数列{a n }的项数为偶数时，令n=2k （k ∈N *），∴a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=﹣22，a 4﹣a 3=23，a 5﹣a 4=﹣24，…，a 2015﹣a 2014=﹣22014，a 2016﹣a 2015=22015． ∴a 2016﹣a 1=2﹣22+23﹣24+…﹣22014+22015==．∴a 2016=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）假设AD=x，分别在△ACD和△ABC中使用余弦定理计算cosA，列方程解出x；（2）根据（1）的结论计算sinA，代入面积公式计算．【解答】解：（1）设AD=x，则BD=2x，∴BC==．在△ACD中，由余弦定理得cosA==，在△ABC中，由余弦定理得cosA==．∴=，解得x=5．∴AD=5．（2）由（1）知AB=3AD=15，cosA==，∴sinA=．===．∴S△ABC18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350，450），[550，650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，由此能求出m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数．（Ⅱ）由题意从[350，450）中抽取7人，从[550，650）中抽取3人，随机变量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及随机变量X的数学期望E（X）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，故m=0.0025，n=0.0035．…所求平均数为：（元）…（Ⅱ）由题意从[350，450）中抽取7人，从[550，650）中抽取3人…随机变量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，…X随机变量X的数学期望E（X）=…19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE成锐角二面角为θ，试求θ的最小值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，DE⊥DB，从而DE⊥平面ABCD，进而DE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BFED．（Ⅱ）分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出θ的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴AB=2．∴BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°=3．…∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD．∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，DE⊂平面BEFD，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，…∴DE⊥AD，又DE∩BD=D，∴AD⊥平面BFED．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可建立分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的，如图所示的空间直角坐标系，令EP=λ（0≤λ≤），则D（0，0，0），A（1，0，0），，P（0，λ，1），∴，，…设为平面PAB的一个法向量，由，得，取y=1，则，…∵是平面ADE的一个法向量，∴．∵0≤λ≤，∴当λ=时，cosθ有最大值．∴θ的最小值为．…20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和C2： +=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，点T在直线AB上，且•=•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围；（皿）若m，n是常数，且﹣=﹣．证明|OT|为定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（Ⅰ）求得双曲线的渐近线方程，结合条件可得A的坐标，再由椭圆的a，b，c的关系，可得椭圆方程；（Ⅱ）结合条件，可得椭圆C2方程，设出OA，OB的方程，求得A，B的坐标，由=0，运用勾股定理，可得AB的平方，结合基本不等式可得范围；（Ⅲ）由T，A，B三点共线，•=•=0，可得=+，将y=﹣x代入椭圆+=1，求得B的坐标，化简整理可得|OT|定值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线2y2﹣x2=1的渐近线方程为y=±x，由题意可得椭圆C1的焦距2c=2，c=1，A（﹣1，﹣），即有=，a2﹣b2=1，解得a=，b=1，即有椭圆C1的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）C1的长轴与C2的短轴等长，即n=a=，又C1，C2共焦点，可得m==，即有椭圆C2： +=1，①当OA的斜率存在且不为0，将y=kx代入椭圆x2+2y2=2，可得x2=，则|OA|2==1+，将y=﹣x代入椭圆2x2+3y2=6，可得x2=，则|OB|2==3﹣，由=0，可得|AB|2=|OA|2+|OB|2，则|AB|2=4+﹣=4﹣=4﹣＜4，又4k2+≥4，当且仅当k2=时取得等号，则有|AB|2≥4﹣=2+，即|AB|2∈[2+，4），②当OA的斜率不存在或为0，有|AB|2=4，综上可得，|AB|2的取值范围是[2+，4]；（Ⅲ）证明：由T，A，B三点共线，•=•=0，可得|OT|2==，即有=+，将y=﹣x代入椭圆+=1，得x2=，则|OB|2==，则=，又=，则有=+=+，由于﹣=﹣，则==1+，即|OT|=，容易验证当OA斜率不存在或为0，上述结论仍然成立，综上可得|OT|为定值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（I）当b=﹣a时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）当f（x+1）+a≥0时，对x∈R恒成立，求ab的最大值；（Ⅲ）当a＞0，b=﹣a时，设f'（x）为f（x）的导函数，若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（3lna）＞f′（）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）显然f'（x）=e x﹣a，分a≤0、a＞0两种情况讨论即可；（Ⅱ）原不等式等价于e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，分a≥0、a=0、a＞0三种情况讨论即可；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=e x﹣ax+a，从而f（3lna）=a（a2﹣3lna+1）=，a＞e2，令t=a2，，t＞e4，易得p（t）在（e4，+∞）上单调递增，从而，所以f（3lna）＞0，a＞e2；而=﹣a＜﹣a，令T=﹣a，则可证明T＜0恒成立，从而＜0．所以有f（3lna）＞f′（）．【解答】解：（I）当b=﹣a时，由函数f（x）=e x﹣ax﹣b，知f（x）=e x﹣ax+a，所以f'（x）=e x﹣a，当a≤0时，f'（x）=e x﹣a＞0，此时函数f（x）无极值；当a＞0时，令f'（x）=e x﹣a=0，得x=lna．所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而f（x）min=f（lna）=2a﹣alna．（Ⅱ）f（x+1）+a≥0⇔e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，显然a≥0，所以原不等式等价于b≤e x+1﹣ax对x∈R恒成立．若a=0，则ab=0；若a＞0，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数h（x）=ae x+1﹣a2x，则h′（x）=ae x+1﹣a2=a（e x+1﹣a）．由h′（x）＜0，解得x＜lna﹣1；由h′（x）＞0，解得x＞lna﹣1．所以函数h（x）在（﹣∞，lna﹣1）上单调递减，在（lna﹣1，+∞）上单调递增，故．设g（a）=（a＞0），则g′（a）=a（3﹣2lna），令g′（a）=0，解得a=，由g′（a）＜0，解得a＞，由g′（a）＜0，解得0＜a＜，故g（a）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．所以，即ab，综上，ab的最大值为．（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=e x﹣ax+a，a＞0，且f'（x）=e x﹣a，且函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，=f（lna）=2a﹣alna＜0，此时f（x）极小值解得a＞e2．∵f（0）=a+1＞0，∴x2＞x1＞0，从而f（3lna）=a（a2﹣3lna+1）=，a＞e2，令t=a2，则t＞e4，所以，t＞e4，∵0，∴p（t）在（e4，+∞）上单调递增，从而，故p（t）＞0，所以f（3lna）＞0，a＞e2，而=﹣a＜﹣a，令T=﹣a，由可得，所以T=﹣a=﹣=﹣•，令，则λ＞0，所以T=（1﹣）=•，令φ（λ）=2λ﹣eλ+e﹣λ（λ＞0），则φ′（λ）=2﹣（eλ+e﹣λ）＜2﹣2=0，故φ（λ）在（0，+∞）上单调递减，所以φ（λ）＜φ（0）=0，则T＜0恒成立，从而=﹣a＜﹣a＜0，综上，有f（3lna）＞f′（）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B 作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AE，证明Rt△CBD∽Rt△CEA，结合AB=AC，即可证明：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FA•FC=FB2，求出AC，即可求△ABC的面积．【解答】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…∴，∴AC•CB=CD•CE又AB=AC，∴AB•CB=CD•CE．…（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF，∴，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…设AC=x，则根据切割线定理有FA•FC=FB2∴x•2x=8，∴x=2，∴．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）将A、B化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ）、，即A、B的直角坐标分别为A（﹣2，0）、，即有，可得直线AB的方程为，即为．（Ⅱ）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离=，（其中）当sin（θ+φ）=1时，d取得最大值，可得．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x2﹣x|+|x2+|（x≠0）．（1）求证：f（x）≥2；（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）≥成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据绝对值的性质证明即可；（2）问题等价于2x2﹣x≥a，求出2x2﹣x的范围，从而求出a的范围即可．【解答】证明：（1）f（x）=|x2﹣x|+|x2+|≥|x2﹣x﹣（x2+）|=|x+|=|x|+||≥2，当且仅当x=±1时取“=”，∴f（x）≥2；解：（2）当x∈[1，3]时，x2﹣x≥0，x2+＞0，∴f（x）=2x2﹣x+，∴f（x）≥等价于2x2﹣x≥a，当x∈[1，3]时，2x2﹣x∈[1，15]，若∃x∈[1，3]，使f（x）≥成立，则a≤15，故实数a的范围是（﹣∞，15]．2016年10月25日。

2016届湖北省沙市中学、沙市五中高考仿真模拟联考数学文试题考试时间：2016年5月21日下午15：00—17：00 试卷满分：150分考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） i ．已知{}(){}21,0,1,2,3,log 11A B x x =-=-≤，则A B 的元素个数为 A ．0B ．2C ．3D ．5ii ．已知复数()z x yi x y R =+∈、，且有11xyi i=+-，则z = A.5 B. 3C. 5D. 3iii ．根据如下的样本数据:x1 2 3 4 5 6 7 y7.35.14.83.12.00.3－ 1.7得到的回归方程为a bx y +=，则A ． 0,0a b >>B ．0,0a b ><C ．0,0a b <>D ．0,0a b <<iv ．已知向量,a b 的夹角为60︒，且1a = ，221a b -= ，则b =A ．2B ．32 C ．52D ．22 v ．已知命题:2p x y +≠-，命题:,1q x y -不都是，则p q 是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 vi ．执行如图所示的程序框图,如果输入的3,3==t x ,则输出的M 等于A ．3B ．113 C ．196 D ．376vii ．直线y kx b =+与曲线31y x ax =++相切于点(2,3) ，则b 的值为 ( ) A ．－15B ．－7C ．－3D ． 9viii ．函数2sin 12xy π=+的部分图象如下图所示，则 ()2OA OB AB +⋅= （ ） A ．10- B ．5- C ．5 D ．10（第6题图）ix ．已知()7cos ,,025θθπ=-∈-，则sin cos 22θθ+=（ ） A ．125 B ．15 C ．15- D ．15±x ．设函数22,0()log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则满足不等式1()2f a <的实数a 的取值范围为A ．(,1)-∞-B ．2(1,)(2,)2-+∞ C ．(1,)-+∞ D ．2(,1)(,2)2-∞- xi ．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2,正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（ ） A. 224π+ B. 220π+ C.24π+ D. 20π+xii ．焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，△1APF 的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．14 B ．12 C ．74 D ．134第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） xiii ．如图，圆中有一内接等腰三角形，且三角形底边经过圆心，假设在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________.xiv ．已知定义在R 上的函数满足为0)()2(=-+x f x f ，当(]2,0∈x 时xx f 2)(=，则=)2016(f .xv ．设,x y 满足约束条件36020,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若(,0)ax by a b +>的最大值是12，则22a b +的最小值是 .xvi ．ABC ∆的三边c a 、b 、和面积S 满足: ()22S a b c =--,且ABC ∆的外接圆的周长为17π,则S 的最大值等于 .三、解答题（本大题共8小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） xvii ．（本小题满分12分）已知公差为正数的等差数列{}n a 满足11341,2,1,1a a a a =-+且成等比数列．（第11题图）（第8题图）（第13题图）（1）求{}n a 的通项公式；（2）若a 2，a 5分别是等比数列{}n b 的第1项和第2 项，求使数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和99200n T <的最大正整数n ．xviii ．（本小题满分12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[]90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50,60)，[]90,100的数据）．成绩（分）频率组距y0.0100.040x 0.0161009080706050O（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（2）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率．xix ． （本小题满分12分）如图，正三棱柱111C B AABC-中，E 是AC 中点．（1）求证：平面111A ACC BEC ⊥；（2）若21=AA ，2AB =，求点A 到平面1BEC 的距离．xx ．（本题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，且过点)23,1(，其长轴的左右两个端点分别为A ，B ，直线3:2l y x m =+交椭圆于两点C ，D. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AD ，CB 的斜率分别为21,k k ，若1:2:21=k k ，求m 的值.xxi ．（本小题满分12分）已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++（a R ∈）.（1）若()f x 在区间[]2,1上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）函数()(1)g x a x =-，若0[1,]x e ∃∈使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.选做题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。

2015—2016学年下学期高一年级第三次半月考数学试卷考试时间：2016年3月31日一．选择题（每小题5分，共12小题）1．已知21,e e 是平面内的两个单位向量，且21,e e 的夹角为︒60，若2123e e +=， 则=||OP ( )A. 10B. 13C. 19D. 72．若,是非零向量，且,⊥≠，则函数)()()(x x x f -⋅+=是（ ） A. 一次函数且是奇函数 B. 一次函数但不是奇函数 C. 二次函数且是偶函数 D. 二次函数但不是偶函数3．ABC ∆中，已知ac b C A B =+=2,2，则ABC ∆为（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C. 直角三角形D.等腰直角三角形 4．已知ABC ∆的面积为1，32=⋅,则角B 的大小为（ ）A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 5．在Rt ABC ∆中， 4,90==∠AC C，则AB AC ⋅uu u r uu u r 等于( )A. -16B. -8C. 8D. 16 6．∆ABC 中，4,2==b a , 则∠A 的取值范围是（ ）A. ⎥⎦⎤⎝⎛6,0π B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ D . ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,6ππ 7．,E F 是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=( )A ．1627 B ．23 C D ．34 8．设0<m 错误！未找到引用源。

，点),3(m m M -为角α的终边上一点，则错误！未找到引用源。

的值为( ) A ．710B ．-2C ．32 D ．310 9．函数x x x f 2log 2)(+=π的零点所在区间为( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 B ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C ．⎪⎭⎫⎝⎛43,21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,43 10．直角梯形ABCD 中，M CD AB B AB AD CD AB ,22,45,,//===∠⊥为腰BC 的中点，则=⋅( )A 1B 2C 3D 411．若满足条件60,2=∠=B AB 的三角形ABC 有两个，则AC 长的取值范围是（ ）A )2,1(B )3,2(C )2,3(D )2,2( 12．已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心,且,A θ∠=若cos cos 2,sin sin B CAB AC mAO C B+=则m =（ ） A ．sin θ B ．cos θC ．tan θD ．不能确定二．填空题（每小题5分，共4小题）13．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩则294146f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=14．已知函数)0)(6sin(3)(>-=ωπωx x f 和1)2cos(2)(++=ϕx x g 的图象的对称轴完全相同。

2C. 2D. 3A . 1B.-注意事项:1•本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考号 填写在答题卡上。

2•回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第n 卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷选择题（共12小题，计60 分）一、选择题：（共12小题，计60分） 1、已知全集 U R ，集合 A {x || x |1, x R ，集合 B {x | 2 x 1, x d B =（F},则集合A CA. [ 1,1]B.[0,1]C. (0,1]D.[ 1,0)22、复数i为虚数单位）的实部为（)A. 1B. 1C. 2D.23、设m n 是不同的直线,是不同的平面，则下列命题中真命题的是 （A.若，m 〃m，则C.若 //,// ，则//2 xy3,x2 4、满足线性约束条件y3, 的目标函数x 0,yB.若m ,n ，且mn ，则D.若 m 〃,n // ，则 m 〃 nz xy的取大值疋 ( )A. x yz B. z x y C. z yxD. y z x6、已知某几何体的三视图（单位:该几何体体积是（A.92C. 607、函数f （x） 2 sin（3 x cm ）如右图所示，贝U）cmB.100D.80）的图像向右平移动—12个单位，得到的图像关于y轴对称，则|A.—B.-1248、已知| a |2,| b |3，且它们的夹角为120 °1 2 1-A. B. - v333A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.—D. 5312当 1 a b | (R）取最小值时，)1 2 ；-C. -D. _-.;333B ”是“ a cos A b cos B ”的( )C.充要条件D.非充分非必要条件A. a3<b3 B.a3>b3 C. a6<b6 D.a6>b64x,x11、函数f ( x)0，且a0, b c 0, c a f(a) f (b) f (c)的值xx20，则() 4 x, x 0A.恒为负B.恒为正C.恒为0D.无法确定12、已知函数f x x x a e , g x ln x 2.a4 ex,其中e为自然对数的底数，若存在实数x°，使f x°g x°3成立，则实数a的值为A. InB. l n 2C. ln2 D. l n 2211h*~T4■_2T—的最小值为（）9、ABC内角A B所对边的边长分别为a, b，则“ A)10、设等差数列｛an｝与等比数列｛bn｝满足：0< a1= b1< a5= b5,则下述结论一定成立的是第n卷非选择题（共两大题，计90分）5、已知x In,y log 11；，则,厶( )ee、填空题：(共4小题，计20 分)13、已知向量a • ( 3,1), - b ( 1,2)，如果向量a -b与b垂直，则实数1 an1PA132PDEFa44)B an3xf(6x 6(n 2(1)若命题p 中a 1 ,且p q 为真，求实数x 的取值范围;(2 )若 p 是q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围。

2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若集合A={x|x2-4x＜0}，B={y|y=2x-5，x∈A}，则A∩B等于（）A.∅B.（0，3）C.（-5，4）D.（0，4）【答案】B【解析】解：由A中不等式变形得：x（x-4）＜0，解得：0＜x＜4，即A=（0，4），由y=2x-5，得到x=，代入得：0＜＜4，即-5＜y＜3，∴B=（-5，3），则A∩B=（0，3），故选：B．求出A中不等式的解集确定出A，进而求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数z满足（1+2i）2z=1-2i，则共轭复数为（）A.+iB.--iC.-+iD.-i【答案】B【解析】解：复数z满足（1+2i）2z=1-2i，可得z====+i．共轭复数为--i．故选：B．直接利用复数的代数形式混合运算化简求解即可．本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3.设命题p：∃x0∈（0，+∞），3+x0=2016，命题q：∃a∈（0，+∞），f（x）=|x|-ax （x∈R）为偶函数，那么，下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.（￢p）∧qC.p∧（￢q）D.（￢p）∧（￢q）【答案】C【解析】解：∵函数y=3x与函数y=2016-x的图象在第一象限有一个交点，∴∃x0∈（0，+∞），3+x0=2016，因此命题p是真命题．若f（x）=|x|-ax（x∈R）为偶函数，则f（-x）=f（x），解得a=0，∴命题q是假命题．因此只有p∧（￢q）是真命题．故选：C．函数y=3x与函数y=2016-x的图象在第一象限有一个交点，即可判断出命题p的真假．若f（x）=|x|-ax（x∈R）为偶函数，则f（-x）=f（x），解解得a=0，即可判断出命题q 的真假，进而得出答案．本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）的部分图象如图所示，则下列关于f（x）的表达式中正确的是（）A.f（x）=B.f（x）=（lnx）cos2xC.f（x）=（ln|x|）sin2xD.f（x）=（ln|x|）cosx【答案】D【解析】解：由图象可知，函数f（x）为偶函数，故f（x）=为奇函数，故A不成立；f（x）=（lnx）cos2x为非奇非偶函数，故B不成立；f（x）=（ln|x|）sin2x为奇函数，故C不成立；故选：D．由图象可知函数f（x）为偶函数，从而判断函数的奇偶性即可．本题考查了函数的图象的应用及函数的性质的判断，属于基础题．5.如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A.0B.5C.45D.90【答案】C【解析】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，∴第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：p=．故选：B．利用相互独立事件概率乘法公式求解．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．7.已知圆C：x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|=（）A.3B.C.D.【答案】D【解析】解：∵圆C：x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，∴直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），∴1+2m+1=0．解得m=-1．圆C：x2+y2-2x-4y+1=0的圆心（1，2），半径r==2，当过点M（-1，-1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=-1，圆心C（1，2）到x=-1的距离为2，成立，把x=-1代入圆C：x2+y2-2x-4y+1=0，得y=2，∴P（-1，2），当过点M（-1，-1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）-1，圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）-1的距离d==，解得k=，∴切线方程为y=（x+1）-1，即5x-12y-7=0，联立，得169x2-598x+529=0，解得x=，y=，∴Q（，），∴|PQ|==．故选：D．由题意直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），从而得到m=-1．圆C半径r=2，当过点M（-1，-1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=-1，把x=-1代入圆C，得P（-1，2）；当过点M（-1，-1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）-1，由圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）-1的距离d=r，求出切线方程，与圆联立，得Q（，），由此能求出|PQ|．本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．8.在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，asin B+bcos（B+C）=0，sin A+sin（B-C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】解：在斜△ABC中，∵asin B+bcos（B+C）=0，∴sin A sin B-sin B cos A=0，∵sin B≠0，∴sin A=cos A，A∈（0，π），∴tan A=1，解得A=．∵sin A+sin（B-C）=2sin2C，∴sin B cos C+cos B sin C+sin B cos C-cos B sin C=2sin2C，∴2sin B cos C=4sin C cos C∵cos C≠0，∴sin B=2sin C，∴b=2c．由余弦定理可得：a2=-2×c2cos=5c2．∵△ABC的面积为1，∴=1，∴=1，解得c2=1．则a=．故选：B．由asin B+bcos（B+C）=0，利用正弦定理可得sin A sin B-sin B cos A=0，由sin B≠0，化为sin A=cos A，A∈（0，π），可得A=．由sin A+sin（B-C）=2sin2C，利用和差公式、倍角公式展开可得sin B=2sin C，利用正弦定理可得b=2c．再利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=-x2+x+1上，则f（x）=（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得-x2+x+1=0，解得x=-或x=1；∴点（-，0）在函数f（x）的图象上，∴-ω+φ=0，即φ=ω①；又令ωx+φ=，得ωx=-φ②；把①代入②得，x=-③；令y=1，得-x2+x+1=1，解得x=0或x=；即-=，解得ω=π，∴φ=ω=，∴f（x）=sin（x+）．故选：C．根据题意，令y=0，求出点（-，0）在函数f（x）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f（x）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f（x）的解析式．本题考查了解函数y=sin（ωx+φ）以及二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8+16πB.24+8πC.16+8πD.【答案】D【解析】解：几何体为的下部分为半圆柱，底面半径为2，高为4，几何体的上部分为长方体ABCD-A1B1C1D1和四棱锥E-BB1A1A的组合体，长方体的棱长分别为4，2，2四棱锥的底面BB1A1A为矩形，边长为4，2棱锥的高为2，∴几何体的体积V=+4×2×2+×4×2×2=8π+．故选：D．几何体下部分为半圆柱，上部分为长方体和四棱锥的组合体，代入体积公式计算．本题考查了空间几何体的三视图及体积计算，根据三视图做出几何体的直观图是关键，属于中档题．11.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可得A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，-b），F1（-c，0），F2（c，0），且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，运用面积相等，可得•2b•2c=a•4，即为b2c2=a2（b2+c2），即有c4+a4-3a2c2=0，由e=，可得e4-3e2+1=0，解得e2=，可得e=，（舍去）．故选：A．由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得•2b•2c=a•4，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x-2-lnx，y′=1-＞0在x＞1成立，∴即3-2-ln3＜0，4-2-ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x-2-lnx，y′=1-＞0在x＞1成立，y=x-2-lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知函数f（x）=，，＜，若f（1）=f（-3），则a= ______ ．【答案】3【解析】解：∵函数f（x），∴f（1）=1+a-3=a-2，f（-3）=lg10=1，∵f（1）=f（-3），∴a-2=1，解得：a=3，故答案为：3根据已知中函数f（x）=，，＜，f（1）=f（-3），构造关于a的方程，解得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度中档．14.（1-x2）4（）5的展开式中的系数为______ ．【答案】-29【解析】解：∵（1-x2）4（）5=（1-x）4•（1+x）9•，且（1-x）4（1+x）9展开式中x4项为：C40•C94x4+C41（-x）•C93x3+C42（-x）2•C92x2+C43（-x）3•C91x+C44（-x）4•C90；∴所求展开式中的系数为C40C94-C41C93+C42-C43C91+C44C90=-29．故答案为：-29．化简（1-x2）4（）5=（1-x）4•（1+x）9•，求出（1-x）4（1+x）9展开式中含x4项，即可求出展开式中的系数．本题考查了二项展开式中特定项的系数问题，解题的关键是看出所要求的项是由什么组成的，组成的各个项的系数是什么，是易错题目．15.已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|-|=2，则的取值范围是______ ．【答案】（0，12）【解析】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|-|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2-x=（x-）2-，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围；属于中档题．16.已知数列{a n}满足a1=-1，|a n-a n-1|=2n-1（n∈N，n≥2），且{a2n-1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则a2016= ______ ．【答案】【解析】解：由|a n-a n-1|=2n-1，（n∈N，n≥2），则|a2n-a2n-1|=22n-1，|a2n+2-a2n+1|=22n+1，∵数列{a2n-1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，∴a2n-a2n-1＜a2n+2-a2n+1，又∵|a2n-a2n-1|=22n-1＜|a2n+2-a2n+1|=22n+1，∴a2n-a2n-1＞0，即a2n-a2n-1=22n-1，同理可得：a2n+3-a2n+2＜a2n+1-a2n，又|a2n+3-a2n+2|＞|a2n+1-a2n|，则a2n+1-a2n=-22n，当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2k（k∈N*），∴a2-a1=2，a3-a2=-22，a4-a3=23，a5-a4=-24，…，a2015-a2014=-22014，a2016-a2015=22015．∴a2016-a1=2-22+23-24+…-22014+22015==．∴a2016=．故答案为：．由|a n-a n-1|=2n-1，（n∈N，n≥2），可得：|a2n-a2n-1|=22n-1，|a2n+2-a2n+1|=22n+1，根据：数列{a2n-1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，可得a2n-a2n-1＜a2n+2-a2n+1，可得：a2n-a2n-1=22n-1，同理可得：a2n+1-a2n=-22n，再利用“累加求和”即可得出．本题考查了等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【答案】解：（1）设AD=x，则BD=2x，∴BC==．在△ACD中，由余弦定理得cos A==，在△ABC中，由余弦定理得cos A==．∴=，解得x=5．∴AD=5．（2）由（1）知AB=3AD=15，cos A==，∴sin A=．∴S△ABC===．【解析】（1）假设AD=x，分别在△ACD和△ABC中使用余弦定理计算cos A，列方程解出x；（2）根据（1）的结论计算sin A，代入面积公式计算．本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．18.某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350，450），[550，650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【答案】解：（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，故m=0.0025，n=0.0035．…（3分）所求平均数为：（元）…（5分）（Ⅱ）由题意从[350，450）中抽取7人，从[550，650）中抽取3人…（7分）随机变量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，，，，…（9分）所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E（X）=…（12分）【解析】（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，由此能求出m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数．（Ⅱ）由题意从[350，450）中抽取7人，从[550，650）中抽取3人，随机变量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及随机变量X的数学期望E（X）．本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE成锐角二面角为θ，试求θ的最小值．【答案】证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴AB=2．∴BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos60°=3．…（2分）∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD．∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，DE⊂平面BEFD，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，…（4分）∴DE⊥AD，又DE∩BD=D，∴AD⊥平面BFED．…（6分）间直角坐标系，令EP=λ（0≤λ≤），则D（0，0，0），A（1，0，0），，，，P（0，λ，1），∴，，，，，，…（8分）设，，为平面PAB 的一个法向量，由，得，取y=1，则，，，…（10分）∵，，是平面ADE的一个法向量，∴．∵0≤λ≤，∴当λ=时，cosθ有最大值．∴θ的最小值为．…（12分）【解析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，DE⊥DB，从而DE⊥平面ABCD，进而DE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BFED．（Ⅱ）分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出θ的最小值．本题考查线面垂直的证明，考查角的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.如图，在平面直角坐标系x O y中，A和B分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和C2：+=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，点T在直线AB上，且•=•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2-x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围；（皿）若m，n是常数，且-=-．证明|OT|为定值．【答案】解：（Ⅰ）双曲线2y2-x2=1的渐近线方程为y=±x，由题意可得椭圆C1的焦距2c=2，c=1，A（-1，-），即有椭圆C1的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）C1的长轴与C2的短轴等长，即n=a=，又C1，C2共焦点，可得m==，即有椭圆C2：+=1，①当OA的斜率存在且不为0，将y=kx代入椭圆x2+2y2=2，可得x2=，则|OA|2==1+，将y=-x代入椭圆2x2+3y2=6，可得x2=，则|OB|2==3-，由=0，可得|AB|2=|OA|2+|OB|2，则|AB|2=4+-=4-=4-＜4，又4k2+≥4，当且仅当k2=时取得等号，则有|AB|2≥4-=2+，即|AB|2∈[2+，4），②当OA的斜率不存在或为0，有|AB|2=4，综上可得，|AB|2的取值范围是[2+，4]；（Ⅲ）证明：由T，A，B三点共线，•=•=0，可得|OT|2==，即有=+，将y=-x代入椭圆+=1，得x2=，则|OB|2==，则=，又=，则有=+=+，由于-=-，则==1+，即|OT|=，容易验证当OA斜率不存在或为0，上述结论仍然成立，综上可得|OT|为定值．【解析】（Ⅰ）求得双曲线的渐近线方程，结合条件可得A的坐标，再由椭圆的a，b，c的关系，可得椭圆方程；（Ⅱ）结合条件，可得椭圆C2方程，设出OA，OB的方程，求得A，B的坐标，由=0，（Ⅲ）由T，A，B三点共线，•=•=0，可得=+，将y=-x代入椭圆+=1，求得B的坐标，化简整理可得|OT|定值．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，解方程，求交点，同时考查双曲线的渐近线方程和向量垂直的条件，以及基本不等式的运用，考查运算化简能力，属于难题．21.已知函数f（x）=e x-ax-b，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（I）当b=-a时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）当f（x+1）+a≥0时，对x∈R恒成立，求ab的最大值；（Ⅲ）当a＞0，b=-a时，设f'（x）为f（x）的导函数，若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（3lna）＞f′（）．【答案】解：（I）当b=-a时，由函数f（x）=e x-ax-b，知f（x）=e x-ax+a，所以f'（x）=e x-a，当a≤0时，f'（x）=e x-a＞0，此时函数f（x）无极值；当a＞0时，令f'（x）=e x-a=0，得x=lna．所以函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而f（x）min=f（lna）=2a-alna．（Ⅱ）f（x+1）+a≥0⇔e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，显然a≥0，所以原不等式等价于b≤e x+1-ax对x∈R恒成立．若a=0，则ab=0；若a＞0，则ab≤ae x+1-a2x．设函数h（x）=ae x+1-a2x，则h′（x）=ae x+1-a2=a（e x+1-a）．由h′（x）＜0，解得x＜lna-1；由h′（x）＞0，解得x＞lna-1．所以函数h（x）在（-∞，lna-1）上单调递减，在（lna-1，+∞）上单调递增，故．设g（a）=（a＞0），则g′（a）=a（3-2lna），令g′（a）=0，解得a=，由g′（a）＜0，解得a＞，由g′（a）＜0，解得0＜a＜，故g（a）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．即ab，综上，ab的最大值为．（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=e x-ax+a，a＞0，且f'（x）=e x-a，且函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，此时f（x）极小值=f（lna）=2a-alna＜0，解得a＞e2．∵f（0）=a+1＞0，∴x2＞x1＞0，从而f（3lna）=a（a2-3lna+1）=，a＞e2，令t=a2，则t＞e4，所以，t＞e4，∵′＞0，∴p（t）在（e4，+∞）上单调递增，从而＞，故p（t）＞0，所以f（3lna）＞0，a＞e2，而′=-a＜-a，令T=-a，由可得，所以T=-a=-=-•，令，则λ＞0，所以T=（1-）=•，令φ（λ）=2λ-eλ+e-λ（λ＞0），则φ′（λ）=2-（eλ+e-λ）＜2-2=0，故φ（λ）在（0，+∞）上单调递减，所以φ（λ）＜φ（0）=0，则T＜0恒成立，从而′=-a＜-a＜0，【解析】（I）显然f'（x）=e x-a，分a≤0、a＞0两种情况讨论即可；（Ⅱ）原不等式等价于e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，分a≥0、a=0、a＞0三种情况讨论即可；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=e x-ax+a，从而f（3lna）=a（a2-3lna+1）=，a＞e2，令t=a2，，t＞e4，易得p（t）在（e4，+∞）上单调递增，从而＞，所以f（3lna）＞0，a＞e2；而′=-a＜-a，令T=-a，则可证明T＜0恒成立，从而′＜0．所以有f（3lna）＞f′（）．本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性及极值，其中解答的关键是等量代换，属难题．22.如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【答案】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠CBD=∠CEA，故R t△CBD∽R t△CEA，…（2分）∴，∴AC•CB=CD•CE又AB=AC，∴AB•CB=CD•CE．…（5分）（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，∠∠∠∠，∴△ABF～△BCF，∴，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…（7分）设AC=x，则根据切割线定理有FA•FC=FB2∴x•2x=8，∴x=2，∴．…（10分）【解析】（Ⅰ）连接AE，证明R t△CBD∽R t△CEA，结合AB=AC，即可证明：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FA•FC=FB2，求出AC，即可求△ABC的面积．识点，属于中档题．23.已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），，．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．【答案】解：（Ⅰ）将A、B化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ）、，，即A、B的直角坐标分别为A（-2，0）、，，即有，可得直线AB的方程为，即为．（Ⅱ）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离=，（其中）当sin（θ+φ）=1时，d取得最大值，可得．【解析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值．本题考查直角坐标和极坐标的互化，直线方程的求法和运用，同时考查三角函数的辅助角公式和正弦函数的值域的运用，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x2-x|+|x2+|（x≠0）．（1）求证：f（x）≥2；（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）≥成立，求实数a的取值范围．【答案】证明：（1）f（x）=|x2-x|+|x2+|≥|x2-x-（x2+）|=|x+|=|x|+||≥2，当且仅当x=±1时取“=”，∴f（x）≥2；解：（2）当x∈[1，3]时，x2-x≥0，x2+＞0，∴f（x）=2x2-x+，∴f（x）≥等价于2x2-x≥a，当x∈[1，3]时，2x2-x∈[1，15]，若∃x∈[1，3]，使f（x）≥成立，则a≤15，故实数a的范围是（-∞，15]．【解析】（1）根据绝对值的性质证明即可；（2）问题等价于2x2-x≥a，求出2x2-x的范围，从而求出a的范围即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查转化思想，是一道中档题．。

⎨ x ≥ 0, ⎪ 沙市中学2016 级高三第三次考试数学试题（文科）注意事项：⒈本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考号 填写在答题卡上。

⒉回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

⒊回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷 选择题（共 12 小题，计 60分）一、选择题：（共 12 小题，计 60 分）1、已知全集U = R ，集合 A = {x || x |≤ 1, x ∈ R } ，集合 B = {x | 2 x ≤ 1, x ∈ R } ，则集合 A CB =（ ）A.[-1,1]2、复数i B.[0,1]2(i 为虚数单位)的实部为（ ） C. (0,1] D.[-1,0)A ． -1B.1 C ． - 2D ． 23、设m , n 是不同的直线，α , β ,γ 是不同的平面，则下列命题中真命题的是( )A.若α ⊥ β , m // α ，则 m ⊥ βB.若 m ⊂ α , n ⊂ β ，且 m ⊥ n ，则α ⊥ βC.若α // β , β // γ ，则α // γD.若 m // α , n // α ，则 m // n⎧2 x + y ≤ 3, ⎪ x + 2 y ≤ 3, 4、满足线性约束条件 ⎪ ⎪⎩ y ≥ 0A ．1B. 3 2的目标函数 z = x + y 的最大值是 （ ）C ．2D ．3⎨ -15、已知x=lnπ，y= log1π，z=ee，则（）A．x<y <z B．z<x <y C．z<y <x D．y<z <x 6、已知某几何体的三视图（单位：c m ）如右图所示，则该几何体体．积．是（）c m3A.92B.100C. 60D.807、函数f (x) =2 sin(3x +ϕ) 的图像向右平移动π个单位，得到的图像关于y轴对称，则| ϕ|12的最小值为（）A．πB．πC．πD．5π 12 4 3 128、已知| a |= 2,| b |=3，且它们的夹角为120°,当| a +λb | (λ∈R) 取最小值时，λ=( )A. -13B. -233C.1D.233 39、∆ABC 内角A, B 所对边的边长分别为a, b，则“A=B ”是“a cos A =b c os B”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件10、设等差数列{a n}与等比数列{b n}满足：0< a1= b1< a5= b5，则下述结论一定成立的是（）A.a3<b3B.a3>b3C.a6<b6D.a6>b611、函数f ( x) =⎪⎧x+ 4x, x ≥ 0，且a+b >0,b+c >0,c +a > 0 ，则 f (a) +f (b) +f (c) 的值( )⎪⎩-x2 + 4x, x < 0A. 恒为负B.恒为正C.恒为0D.无法确定12、已知函数f (x)=x +e x-a ，g(x )= ln (x+ 2)- 4e a-x ，其中e为自然对数的底数，若存在实数x，使f (x0 )-g (x0 )= 3 成立，则实数a的值为A. - ln 2B. ln 2 -1C. -ln 2 -1D. ln 2第Ⅱ卷非选择题（共两大题，计90分）二、填空题：（共4小题，计20 分）13、已知向量a=(-3,1),b=(-1,2)，如果向量a+λb与b垂直，则实数λ=14、已知锐角α 的终边经过点(2,1),则 c os(α + π) =4a n 1 *15、在数列{a n } 中， a 1 = 1 ， a n +1 = （n ∈ N ），设 S n 为数列{a n } 的前 n 项和， 2则 S 2016 - 2S 2017 + S 2018 =22018P16、如右图，三棱锥 P - ABC ，已知 P A ⊥ 面 A BC ， A D ⊥ BC 于 D ，BC = CD = 1 ，设 P D = x ， ∠BPC = θ ，记函数 f (x ) = tan θ ，BA则 f ( x ) 的最大值是CD三、解答题：（共 7 小题，计 70 分。

2016年湖北省荆州市沙市中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•荆州校级一模）命题“自然数的平方大于零”的否定是（）A．∃x∈Z，x2≤0 B．∀x∈N，x2≤0 C．∃x∈N，x2≤0 D．∃x∈N*，x2≤02．（5分）（2016•荆州校级一模）设集合A={x|2x﹣1≥3}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A．（2，5）B．[2，5]C．（2，5]D．[2，5）3．（5分）（2014•湖南）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．（5分）（2016•荆州校级一模）已知cos（+α）=，且﹣π＜α＜﹣，则sin（2α+）=（）A．B．C．D．5．（5分）（2016•荆州校级一模）在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，D为BC边上的点且2BD=DC，则|AD|=（）A．2 B．C．D．6．（5分）（2016•荆州校级一模）运行如图所示的语句，则输出的结果T=（）A．25 B．125 C．625 D．13507．（5分）（2016•荆州校级一模）设i为虚数单位，则（1+i）r=（）A．﹣2+64i B．﹣2﹣64i C．2+64i D．2﹣64i8．（5分）（2014•福建模拟）将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2014•宜昌三模）在三棱椎P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）A．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为B．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为C．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为D．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为10．（5分）（2013•杭州二模）若函数f（x）=（x+1）e x，则下列命题正确的是（）A．对任意，都存在x∈R，使得f（x）＜mB．对任意，都存在x∈R，使得f（x）＜mC．对任意x∈R，都存在，使得f（x）＜mD．对任意x∈R，都存在，使得f（x）＜m11．（5分）（2014•嘉兴一模）离心率为的椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．12．（5分）（2016•衡水校级二模）若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），，若a3=4，则m的所有可能取值为（）A．{6，}B．{6，，}C．{6，，}D．{6，}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2016•衡水校级四模）已知圆C：（x﹣m+1）2+（y﹣m）2=1与两坐标轴都有公共点，则实数m的取值范围．14．（5分）（2016•荆州校级一模）已知函数f（x）=，则f（x）+2≤0的解集为．15．（5分）（2014•石家庄二模）若向量，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量方向上的投影为．16．（5分）（2016•荆州校级一模）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，给出下列说法：①bc（b+c）＞8②ab（a+b）＞16③6≤abc≤12④12≤abc≤24其中不正确的是（填出所有符合要求的序号）．三、解答题：本题共5小题，共70分．解答时应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（12分）（2016•荆州校级一模）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设b n=（1﹣a n）（1﹣a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）（2016•荆州校级一模）为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名学生每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），得到的频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5．（Ⅰ）求n的值并补全频率分布直方图，通过频率分布直方图求出学习时间的平均值；（Ⅱ）如果把“学生晚上学习时间是否达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表；并根据此列联表，判断是否有95%的把握认为学生“是否K2=，n=a+b+c+d．19．（12分）（2011•惠州模拟）如图，己知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）（1）求证：不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC：（2）若λ=，求三棱锥A﹣BEF的体积．20．（12分）（2016•荆州校级一模）已知实数m＞1，定点A（﹣m，0），B（m，0），S为一动点，点S与A，B两点连线的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；（Ⅱ）当m=时，问t取何值时，直线l：2x﹣y+t=0（t＞0）与曲线C有且仅有一个交点？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点（1，0）的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率．21．（12分）（2016•荆州校级一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=e x，e=2.718…．（Ⅰ）确定方程f（x）=的实根个数；（Ⅱ）我们把与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线．问：曲线f（x）与g（x）是否存在公切线？若存在，确定公切线的条数；若不存在，说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•商丘二模）如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2012•大连二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程从极点O作射线，交直线ρcosθ=3于点M，P为射线OM上的点，且|OM|•|OP|=12，若有且只有一个点P在直线ρsinθ﹣ρcosθ=m，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•荆州校级一模）已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．2016年湖北省荆州市沙市中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•荆州校级一模）命题“自然数的平方大于零”的否定是（）A．∃x∈Z，x2≤0 B．∀x∈N，x2≤0 C．∃x∈N，x2≤0 D．∃x∈N*，x2≤0 【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“自然数的平方大于零”的否定是：∃x∈N，x2≤0．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全程命题的否定关系，是基础题．2．（5分）（2016•荆州校级一模）设集合A={x|2x﹣1≥3}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A．（2，5）B．[2，5]C．（2，5]D．[2，5）【分析】先求出集合A与B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：集合A={x|2x﹣1≥3}={x|x≥2}，B={x|y=}={x|5﹣x＞0}={x|x＜5}，∴A∩B={x|2≤x＜5}=[2，5）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质及交集定义的合理运用．3．（5分）（2014•湖南）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g （x），再令x=1即可．【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．【点评】本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于﹣1也可以得到计算结果．4．（5分）（2016•荆州校级一模）已知cos（+α）=，且﹣π＜α＜﹣，则sin（2α+）=（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin（2α+）的值．【解答】解：∵cos（+α）=，且﹣π＜α＜﹣，∴+α∈（﹣，﹣），∴sin（+α）=﹣=﹣，则sin（2α+）=2 sin（+α）cos （+α）=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．5．（5分）（2016•荆州校级一模）在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，D为BC边上的点且2BD=DC，则|AD|=（）A．2 B．C．D．【分析】在△ABC中，由余弦定理求出BC和cos∠ABC，由2BD=DC求出BD，在△ABD 中由余弦定理求出AD．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，∴由余弦定理得，BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC=4+9﹣2×=7，则BC=，由余弦定理得，cos∠ABC===，由2BD=DC得，BD==，在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠DBA=4+﹣=，∴AD=，故选：C．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查化简、计算能力，是中档题．6．（5分）（2016•荆州校级一模）运行如图所示的语句，则输出的结果T=（）A．25 B．125 C．625 D．1350【分析】本题所给的是一个循环结构的算法语句，由图可以看出，此是一个求等差数列和的算法语句，由公式计算出T的值，即可得到答案．【解答】解：T=1，I=3，第1次循环，T=1+3，I=5＜50，符合循环条件，第2次循环，T=1+3+5，I=7＜50，符合循环条件，…，第23次循环，T=1+3+…+47，I=49＜50，符合循环条件，第24次循环，T=1+3+…+49，I=51＞50，不符合循环条件，输出T，∴T=1+3+…+49==625，∴输出的结果T=625．故选：C．【点评】本题考查了伪代码，即循环结构的算法语句，解题的关键是理解题设中语句的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果，属于基础题．7．（5分）（2016•荆州校级一模）设i为虚数单位，则（1+i）r=（）A．﹣2+64i B．﹣2﹣64i C．2+64i D．2﹣64i【分析】由等比数列的求和公式，和复数代数形式的混合运算化简可得．【解答】解：∵（1+i）2=1+2i+i2=2i∴（1+i）r=（1+i）2+（1+i）3+…+（1+i）11=====﹣2+64i，故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，涉及等比数列的求和公式，属基础题．8．（5分）（2014•福建模拟）将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．B．C．D．【分析】画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率．【解答】解：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图．△ABC的面积为S1=×3×4=6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=π所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查几何概型概率公式、简单线性规划的应用、扇形的面积公式，属于基础题．9．（5分）（2014•宜昌三模）在三棱椎P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）A．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为B．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为C．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为D．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为【分析】通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可证明直线与平面垂直，求出几何体的体积即可．【解答】解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AD，又由三视图可得在△PAC中，PA=AC=4，D为PC的中点，∴AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC．又BC=4，∠ADC=90°，BC⊥平面PAC．故．故选：C．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的体积的求法，考查命题的真假的判断与应用．10．（5分）（2013•杭州二模）若函数f（x）=（x+1）e x，则下列命题正确的是（）A．对任意，都存在x∈R，使得f（x）＜mB．对任意，都存在x∈R，使得f（x）＜mC．对任意x∈R，都存在，使得f（x）＜mD．对任意x∈R，都存在，使得f（x）＜m【分析】对函数f（x）=（x+1）e x，求导数f′（x），令f′（x）=0，求得x值，然后列表，根据导数符号即可判断极值点求得极值，即可得出正确答案．【解答】解：令f′（x）=（x+2）e x=0，得x=﹣2，所以，当x=﹣2时，函数有极小值，且f（﹣2）=，如图．故对任意，都存在x∈R，使得f（x）＜m．故选B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用、利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属中档题．11．（5分）（2014•嘉兴一模）离心率为的椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】求出椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离，利用等差数列的性质，即可得出结论．【解答】解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），双曲线方程为（m＞0，n＞0）它们一个公共的焦点为F（c，0）∵椭圆长轴端点A到双曲线的渐近线nx﹣my=0的距离|AC|===2n，椭圆短轴端点B到双曲线的渐近线nx﹣my=0的距离|BD|=椭圆焦点F到双曲线的渐近线nx﹣my=0的距离|FG|==n，∴2•=2n+n，∵，∴a=2c，∴=c，∴2m=3n，∴m=，∴c==，∴e==．故选：C．【点评】本题给出共焦点的椭圆与双曲线，在已知点到直线的距离成等差数列情况下，求离心率的分式的值，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．12．（5分）（2016•衡水校级二模）若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），，若a3=4，则m的所有可能取值为（）A．{6，}B．{6，，}C．{6，，}D．{6，}【分析】对m分类讨论，利用递推关系即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=m（m＞0），，a3=4，①若m＞2，则a2=m﹣1＞1，∴a3=m﹣2=4，解得m=6．②若m=2，则a2=m﹣1=1，∴a3==1≠4，舍去．③若1＜m＜2，则a2=m﹣1∈（0，1），∴a3==4，解得m=．④若m=1，则a2==1，∴a3=≠4，舍去．⑤若0＜m＜1，则a2==＞1，∴a3=a2﹣1=﹣1=4，解得m=．综上可得：m∈．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2016•衡水校级四模）已知圆C：（x﹣m+1）2+（y﹣m）2=1与两坐标轴都有公共点，则实数m的取值范围[0，1]．【分析】求出圆心坐标，根据圆心坐标，得到圆心到x，y轴的距离与半径的关系进行求解即可．【解答】解：由圆的标准方程得圆心坐标C（m﹣1，m），半径R=1，若圆C：（x﹣m+1）2+（y﹣m）2=1与两坐标轴都有公共点，则，即，即，则0≤m≤1，即实数m的取值范围是[0，1]，故答案为：[0，1]【点评】本题主要考查圆的标准方程的应用，根据圆心坐标，得到圆心到x，y轴的距离与半径的关系是解决本题的关键．14．（5分）（2016•荆州校级一模）已知函数f（x）=，则f（x）+2≤0的解集为[﹣，0）∪[4，+∞）．【分析】根据分段函数的表达式，结合分式不等式以及对数不等式的解法进行求解即可．【解答】解：若x＜0，则由f（x）+2≤0得+2≤0即2+x+2x≥0，得﹣≤x＜0，若x＞0，则由f（x）+2≤0得log2+2≤0即﹣log2x≤﹣2，则log2x≥2，得x≥4，综上不等式的解为﹣≤x＜0或x≥4，故答案为：[﹣，0）∪[4，+∞）．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式利用分类讨论的思想进行求解即可．15．（5分）（2014•石家庄二模）若向量，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量方向上的投影为﹣．【分析】先求得||的值，数形结合可得向量和向量的夹角为150°，根据在向量方向上的投影为||•cos150°，计算求得结果．【解答】解：∵向量，是两个互相垂直的单位向量，∴=0，∴||===2．如图所示：设=，=，=，显然，向量和向量的夹角为150°，故在向量方向上的投影为2•cos150°=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查向量的投影，转化为向量的数量积和模长来运算是解决问题的关键，属于中档题．16．（5分）（2016•荆州校级一模）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，给出下列说法：①bc（b+c）＞8②ab（a+b）＞16③6≤abc≤12④12≤abc≤24其中不正确的是②③④（填出所有符合要求的序号）．【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，∴sin2A+sin2B+sin2C=，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，∴sinAsinBsinC=．设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得，故③④错误，bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，故①正确，ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，故②错误故答案为：②③④．【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．三、解答题：本题共5小题，共70分．解答时应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（12分）（2016•荆州校级一模）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设b n=（1﹣a n）（1﹣a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由已知，令n=1可求T1，然后利用已知变形可得：T n•T n=2T n﹣1﹣2T n（n≥2），变形即可证明﹣1（Ⅱ）由等差数列，可求，进而可求a n，代入即可求解b n，结合数列的特点考虑利用裂项求和【解答】解：（Ⅰ）∵T n=2﹣2a n∴T1=2﹣2T1∴∴（1分）由题意可得：T n•T n﹣1=2T n﹣1﹣2T n（n≥2），所以（6分）∴数列是以为公差，以为首项的等差数列（Ⅱ）∵数列为等差数列，∴，∴，（8分）∴（10分），∴==（12分）【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的裂项求和方法的应用．18．（12分）（2016•荆州校级一模）为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名学生每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），得到的频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5．（Ⅰ）求n的值并补全频率分布直方图，通过频率分布直方图求出学习时间的平均值；（Ⅱ）如果把“学生晚上学习时间是否达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表；并根据此列联表，判断是否有95%的把握认为学生“是否K2=，n=a+b+c+d．【分析】（Ⅰ）根据频率直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出样本容量n，以及第④组的频率和，补全频率分布直方图即可；（2）由频率分布直方图，计算抽取的“走读生”以及利用时间不充分的人数，利用2×2列联表，计算K2的值，即可得出正确的判断．【解答】解：（Ⅰ）设第i组的频率为P i（i=1，2，…，8），由图可知：P1=×30=，P2=×30=；∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=；由题意：n×=5，∴n=100；…（2分）又P3=×30=，P5=×30=，P6=×30=，P7=×30=，P8=×30=；∴P4=1﹣（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=；∴第④组的高度为：h=×==；补全频率分布直方图如图所示：（注：未标明高度1/250扣1分）…（4分）（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，从而2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得；…（6分）K2==≈3.030；因为3.030＜3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关．…（8分）【点评】题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了2×2列联表的应用问题，是基础题目．19．（12分）（2011•惠州模拟）如图，己知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）（1）求证：不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC：（2）若λ=，求三棱锥A﹣BEF的体积．【分析】（1）要证不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC，只需证CD⊥平面ABC，在△BCD 中，根据∠BCD=90°得证．（2）根据V三棱锥A﹣BEF=V三棱锥F﹣ABE，得出体积即可．【解答】（1）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又在△BCD中，∠BCD=90°，所以，BC⊥CD，又AB∩BC=B，所以，CD⊥平面ABC，又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）所以，不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC：（2）解：在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，所以，BD=，又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BC，AB⊥BD，又在Rt△ABC中，∠ADB=60°∴AB=BDtan60°=由（1）知EF⊥平面ABE，∴V三棱锥A﹣BEF=V三棱锥F﹣ABE=所以，三棱锥A﹣BCD的体积是：【点评】本题考查考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．属于中档题．20．（12分）（2016•荆州校级一模）已知实数m＞1，定点A（﹣m，0），B（m，0），S为一动点，点S与A，B两点连线的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；（Ⅱ）当m=时，问t取何值时，直线l：2x﹣y+t=0（t＞0）与曲线C有且仅有一个交点？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点（1，0）的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率．【分析】（Ⅰ）设S（x，y），利用定点A（﹣m，0），B（m，0），S为一动点，点S与A，B两点连线的斜率之积为﹣，建立方程，化简求动点S的轨迹C的方程，结合实数m＞1，可得曲线类型；（Ⅱ）当m=时，求出椭圆C的方程．由直线l：2x﹣y+t=0（t＞0）与曲线C联立得9x2+8tx+2t2﹣2=0，当△=64t2﹣36×2（t2﹣1）=0时，得t=3．此时直线l与曲线C有且只有一个交点；当△=64t2﹣36×2（t2﹣1）＞0，且直线2x﹣y+t=0恰好过点（﹣，0）时，t=2，此时直线l与曲线C有且只有一个交点．（Ⅲ）直线l方程为2x﹣y+3=0．设点P（a，2a+3），a＜2，d1表示P到点（1，0）的距离，d2表示P到直线x=2的距离，则=，由此能证明的最小值等于椭圆的离心率．【解答】（Ⅰ）解：设S（x，y），则∵定点A（﹣m，0），B（m，0），S为一动点，点S与A，B两点连线的斜率之积为﹣，∴=﹣，∴+y2=1，∵m＞1，∴动点S的轨迹C表示椭圆；（Ⅱ）解当m=时，椭圆方程为+y2=1．由直线l：2x﹣y+t=0（t＞0）与曲线C联立得9x2+8tx+2t2﹣2=0，当△=64t2﹣36×2（t2﹣1）=0时，t=±3，∵t＞0，∴t=3．此时直线l与曲线C有且只有一个交点；当△=64t2﹣36×2（t2﹣1）＞0，且直线2x﹣y+t=0恰好过点（﹣，0）时，t=2，此时直线l与曲线C有且只有一个交点．综上，当t=3或t=2时，直线l与曲线C有且只有一个交点．（Ⅲ）证明：直线l方程为2x﹣y+3=0．设点P（a，2a+3），a＜2，d1表示P到点（1，0）的距离，d2表示P到直线x=2的距离，则d1==，d2=2﹣a，∴=，令f（a）=，则f′（a）=﹣，令f′（a）=0，得a=﹣，∵当a＜﹣时，f′（a）＜0；当﹣＜a＜2时，f′（a）＞0，∴f（a）在a=﹣时，取得最小值，即取得最小值=，又椭圆C有离心率为，∴的最小值等于椭圆的离心率．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆C有且只有一个交点时实数值的求法，考查直线上横坐标小于2的点P到点（1，0）的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于椭圆的离心率的证明，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．21．（12分）（2016•荆州校级一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=e x，e=2.718…．（Ⅰ）确定方程f（x）=的实根个数；（Ⅱ）我们把与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线．问：曲线f（x）与g（x）是否存在公切线？若存在，确定公切线的条数；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）先化简方程得：lnx﹣1=．分别作出y=lnx﹣1和y=的函数图象，通过图象的交点个数来判断方程的解的个数；（Ⅱ）先确定曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数，设出切点坐标并求出两个函数导数，根据导数的几何意义列出方程组，化简后利用（Ⅰ）的结论即可证明．【解答】解：（Ⅰ）由题意得lnx==1+，即lnx﹣1=．分别作出y=lnx﹣1和y=的函数图象，由图象可知：y=lnx﹣1和y=的函数图象有两个交点，∴方程f（x）=有两个实根；（Ⅱ）解：曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与f（x）=lnx，g（x）=e x的切点分别为（m，lnm），（n，e n），m≠n，∵f′（x）=，g′（x）=e x，∴，化简得（m﹣1）lnm=m+1，当m=1时，（m﹣1）lnm=m+1不成立；当m≠1时，（m﹣1）lnm=m+1化为lnm=，由（1）可知，方程lnm=有两个实根，∴曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2条．【点评】本题考查导数的几何意义，求导公式和法则，考查方程思想、数形结合思想，方程根的个数判断，作出函数图象是解题关键．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•商丘二模）如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．【分析】（I）根据AC为圆O的切线，结合弦切角定理，我们易得∠B=∠EAC，结合DC 是∠ACB的平分线，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，我们易得∠ADF=∠AFD，进而结合直径所对的圆周角为直角，求出∠ADF的度数；（II）若AB=AC，结合（1）的结论，我们易得∠ACB=30°，根据顶角为120°的等腰三角形三边之比为：1：1：，易得答案．【解答】解：（I）∵AC为圆O的切线，∴∠B=∠EAC又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD又因为BE为圆O的直径，∴∠DAE=90°∴（4分）（II）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC∴（6分）又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，（8分）∴在RT△ABE中，（10分）【点评】本题考查的知识点是圆周角定理，三角形外角定理，弦切角定理，相似三角形的证明及性质等，本题中未给出任何角的度数，故建立∠ADF必为特殊角，从而根据图形分析角∠ADF的大小，进而寻出解答思路是解题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2012•大连二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程从极点O作射线，交直线ρcosθ=3于点M，P为射线OM上的点，且|OM|•|OP|=12，若有且只有一个点P在直线ρsinθ﹣ρcosθ=m，求实数m的值．【分析】设P（ρ，θ），由条件|OM|•|OP|=12，可求出点M的坐标，由于点M在直线ρ′cosθ=3上，可将点M的坐标代入得出点P的极坐标方程，进而化为直角坐标系的方程，知道点P 的轨迹是一个圆且去掉x轴上的两点．因为有且只有一个点P在直线ρsinθ﹣ρcosθ=m上，故直线与圆相切，或直线经过原点，据此可求实数m的值．【解答】解：设P（ρ，θ），则由|OM||OP|=12得|OM|=，∴，由于点M 在直线ρ′cosθ=3上，∴．即ρ=4cosθ（ρ≠0）．∴ρ2=4ρcosθ，化为平面直角坐标系的方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．直线ρsinθ﹣ρcosθ=m化为平面直角坐标系的方程为y﹣x﹣m=0，因为有且只有一个点P在直线y﹣x﹣m=0上，所以y﹣x﹣m=0和（x﹣2）2+y2=4（x≠0）相切，∴=2，解得m=﹣2±．或直线l过原点时也满足条件，此时m=0．总上可知：m的取值是﹣2±，或0．【点评】本题考查了极坐标系下直线与圆的交点问题，将极坐标化为直角坐标系的方程是解决此问题常用的方法．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•荆州校级一模）已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（Ⅱ）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（Ⅱ）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．。

湖北省沙市中学2016届高三下学期第三次半月考文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合},12|{},12|{A x y y B xx A x ∈-==>=，则()R A C B ⋂等于（ ） A.)2,3( B. )2,3[C. )3,0(D. )2,0(2．新定义运算：c ad b =bc ad -，则满足 1 i zz-=2-的复数z 是（ ） A.i -1 B. i +1 C.i +-1 D. i --1 3．已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．()-10-61-3B ．()-1011-39C ．()-1031-3D ．()-1031+34．下列判断错误的是（ ）A ．若q p ∧为假命题，则q p ,至少之一为假命题B. 命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ” C ．“若//且//，则//”是真命题 D ．“若22bm am <，则b a <”的否命题是假命题5．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积 是（ ） A.314 B.4 C.310D.36．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 坐标为（ ）A.)3,3(-B.(4,11)-C.)3,3(-或)11,4(-D.不存在7．已知不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为（ ）A ．1B ．﹣3C ．1或﹣3D ．08．在平面直角坐标系xOy 中，满足221,0,0x y x y +≤≥≥的点(,)P x y 的集合对应的平面图形的面积为4π；类似的，在空间直角坐标系O xyz -中，满足2221x y z ++≤，0,0,0x y z ≥≥≥的点(,,)P x y z 的 集合对应的空间几何体的体积为（ ） A ．8πB ．6πC ．4πD ．3π9．已知函数()()cos 2f x x φ=+ (0φπ<<)，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()f x 的单调递减区间是（ ）A. ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B. ,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 10．已知三棱锥ABC P -，在底面ABC ∆中，060A ∠=，BC =，ABC PA 面⊥，PA =此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．163πB. C.323πD. 16π 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2. 若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率为（ ） ABCD12．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)16f x f x ++=，当(]0,4x ∈时， 2()2xf x x =-，则函数()f x 在 []4,2016-上的零点个数是（ ） A ．504B ．505C ．1008D ．1009第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．若数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的标准差为2，则数3a 1﹣2，3a 2﹣2，3a 3﹣2，3a 4﹣2，3a 5﹣2的方差为 ．14．若非零向量， ，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为 ． 15．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 分别是离心率为e 的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m ＞n ＞0时，有e •（sinA+sinB ）=sinC ．类似地，当m ＞0、n ＜0 时，有e •（ ）=sinC ．16．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且3cos 3cos b C c B a -=，则tan()B C -的 最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，11a =，公比为q ；等差数列{}n b 中，13b =，且{}n b 的前n 项和 为n S ，233227,S a S q a +==. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足92n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）某班甲、乙两名学同参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：（1 性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率． （3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比 赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．19.（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，//EF BD ，12EF BD =，平面⊥EFBD 平面ABCD . （1）证明：AC ⊥平面EFBD ； （2）若210=BF ，求多面体ABCDEF 的体积.20.（本题满分12分）已知抛物线22x py =上点P 处的切线方程为10x y --=． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设11(,)A x y 和22(,)B x y 为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠且124y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．21.（本小题满分12分）设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.（1）求b ；（2）若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1 几何证明选讲如图所示,直线PA 为圆O 的切线，切点为A ，直径OP BC ⊥，连结AB 交PO 于点D . （1）证明：PD PA =；（2）证明：OC AD AC PA ⋅=⋅．23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，半圆C 的极坐标方程为CAPρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数m ，n 满足：关于x 的不等式|x 2＋mx ＋n |≤|3x 2－6x －9|的解集为R . （1）求m 、n 的值；（2）若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝m －n ，求证：a ＋b ＋c ≤ 3.。

2015—2016学年下学期高一年级第三次半月考数学试卷考试时间：2016年3月31日一．选择题（每小题5分，共12小题）1．已知21,e e 是平面内的两个单位向量，且21,e e 的夹角为︒60，若2123e e +=， 则=||OP ( )A. 10B. 13C. 19D. 72．若,是非零向量，且,⊥≠，则函数)()()(x x x f -⋅+=是（ ） A. 一次函数且是奇函数 B. 一次函数但不是奇函数 C. 二次函数且是偶函数 D. 二次函数但不是偶函数3．ABC ∆中，已知ac b C A B =+=2,2，则ABC ∆为（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C. 直角三角形D.等腰直角三角形 4．已知ABC ∆的面积为1，32=⋅,则角B 的大小为（ ）A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 5．在Rt ABC ∆中， 4,90==∠AC C ο，则AB AC ⋅uu u r uuu r等于( )A. -16B. -8C. 8D. 166．∆ABC 中，4,2==b a , 则∠A 的取值范围是（ ）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0π B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ D . ⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ 7．,E F 是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=( )A ．1627B ．23CD ．348．设0<m 错误!未找到引用源。

，点),3(m m M -为角α的终边上一点，则错误!未找到引用源。

的值为( ) A ．710B ．-2C ．32 D ．310 9．函数x x x f 2log 2)(+=π的零点所在区间为( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 B ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,21 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,4310．直角梯形ABCD 中，M CD AB B AB AD CD AB ,22,45,,//===∠⊥ο为腰BC 的中点，则=⋅( )A 1B 2C 3D 411．若满足条件ο60,2=∠=B AB 的三角形ABC 有两个，则AC 长的取值范围是（ ）A )2,1(B )3,2(C )2,3(D )2,2(12．已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心,且,A θ∠=若cos cos 2,sin sin B C AB AC mAO C B+=u u ur u u u r u u u r 则m =（ ） A ．sin θ B ．cos θ C ．tan θ D ．不能确定二．填空题（每小题5分，共4小题）13．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩则294146f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=14．已知函数)0)(6sin(3)(>-=ωπωx x f 和1)2cos(2)(++=ϕx x g 的图象的对称轴完全相同。

2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合，则A∩（∁R B）等于（）A．B．C．D．（0，2）2．（5分）新定义运算：＝ad﹣bc，则满足＝2的复数z是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）4．（5分）下列判断错误的是（）A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”C．若∥且∥，则∥是真命题D．若am2＜bm2，则a＜b否命题是假命题5．（5分）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4C．D．36．（5分）函数f（x）＝x3﹣ax2﹣bx+a2在x＝1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3）B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在7．（5分）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（）A．1B．﹣3C．1或﹣3D．08．（5分）在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π），若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）10．（5分）已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A＝60°，BC＝，P A⊥面ABC，P A＝2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．4πC．πD．16π11．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+4）＝16，当x∈（0，4]时，f（x）＝x2﹣2x，则函数f（x）在[﹣4，2016]上的零点个数是（）A．504B．505C．1008D．1009二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为．14．（5分）若非零向量，，满足+2+3＝，且•＝•＝•，则与的夹角为．15．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sin A+sin B）＝sin C．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（）＝sin C．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且3b cos C﹣3c cos B＝a，则tan（B﹣C）的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{b n}中，b1＝3，且{b n}的前n项和为S n，a3+S3＝27，q＝．（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝，求{c n}的前n项和T n．18．（12分）某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩（单位：秒）如下：（Ⅰ）请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）．（Ⅱ）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率．（Ⅲ）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5，14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，EF∥BD，EF＝BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF＝，求多面体ABCDEF的体积．20．（12分）已知抛物线x2＝2py上点P处的切线方程为x﹣y﹣1＝0．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1）和B（x2，y2）为抛物线上的两个动点，其中y1≠y2且y1+y2＝4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．21．（12分）设函数f（x）＝alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，直线P A为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．（1）证明：P A＝PD；（2）求证：P A•AC＝AD•OC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p＝2cosθ，θ∈[0，]．（1）在直角坐标系下求曲线C的方程；（2）设点D在曲线C上，曲线C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，根据（1）中你得到的曲线C的方程，在直角坐标系下求D的坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c＝m﹣n，求证：++．2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合，则A∩（∁R B）等于（）A．B．C．D．（0，2）【解答】解：由＞1即为﹣1＞0，即＞0，即为x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，∴A＝（0，2），由0＜2x﹣1＜3，即B＝（0，），∴∁R B＝（﹣∞，0]∪[，+∞）∴A∩（∁R B）＝[，2）故选：B．2．（5分）新定义运算：＝ad﹣bc，则满足＝2的复数z是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：由＝ad﹣bc，则满足＝2，可得：iz+z＝2，所以z＝＝＝1﹣i．故选：A．3．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【解答】解：∵3a n+1+a n＝0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1＝4由等比数列的求和公式可得，S10＝＝3（1﹣3﹣10）故选：C．4．（5分）下列判断错误的是（）A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”C．若∥且∥，则∥是真命题D．若am2＜bm2，则a＜b否命题是假命题【解答】解：A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题，正确；B．“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”，正确；C．∥且∥，则∥是真命题不一定正确，例如当时；D．若am2＜bm2，则a＜b否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，是假命题，m＝0时，a，b 大小关系是任意的．故选：C．5．（5分）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4C．D．3【解答】解：由三视图知：余下的几何体如图示：∵E、F都是侧棱的中点，∴上、下两部分的体积相等，∴几何体的体积V＝×23＝4．故选：B．6．（5分）函数f（x）＝x3﹣ax2﹣bx+a2在x＝1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3）B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）＝3x2﹣2ax﹣b，又∵在x＝1时f（x）有极值10，∴，解得或，验证知，当a＝3，b＝﹣3时，在x＝1无极值，故选：B．7．（5分）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（）A．1B．﹣3C．1或﹣3D．0【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图，解得点B的坐标为（2，2k+2），所以S△ABC＝（2k+2）×2＝4，解得k＝1．故选：A．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即＝，故选：B．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π），若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值，即2×+φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ﹣，k∈Z，又0＜φ＜π，所以φ＝，所以f（x）＝cos（2x+）；令2x+∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，解得x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；则f（x）的单调递减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．故选：D．10．（5分）已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A＝60°，BC＝，P A⊥面ABC，P A＝2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．4πC．πD．16π【解答】解：根据题意得出图形如下；O为球心，N为底面△ABC截面圆的圆心，ON⊥面ABC∵，在底面△ABC中，∠A＝60°，BC＝，∴根据正弦定理得出：＝2r，即r＝1，∵P A⊥面ABC，∴P A∥ON，∵P A＝2，AN＝1，ON＝d，∴OA＝OP＝R，∴根据等腰三角形得出：P AO中P A＝2d＝2，d＝∵R2＝12+（）＝4，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝16π故选：D11．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），F2（c，0），且a2+b2＝c2，菱形F1B1F2B2的边长为，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，运用面积相等，可得•2b•2c＝a•4，即为b2c2＝a2（b2+c2），即有c4+a4﹣3a2c2＝0，由e＝，可得e4﹣3e2+1＝0，解得e2＝，可得e＝，（舍去）．故选：A．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+4）＝16，当x∈（0，4]时，f（x）＝x2﹣2x，则函数f（x）在[﹣4，2016]上的零点个数是（）A．504B．505C．1008D．1009【解答】解：当x∈（﹣4，0]时，x+4∈（0，4]，f（x）＝16﹣f（x+4）＝16﹣（（x+4）2﹣2x+4），∵f（x）+f（x+4）＝16，∴f（x+4）+f（x+8）＝16，∴f（x）＝f（x+8），∴函数f（x）是R上周期为8的函数；当x∈（﹣4，4]时，f（2）＝f（4）＝0；而2020＝8×252+4，f（2）＝f（10）＝f（18）＝…＝f（8×251+2），f（﹣4）＝f（4）＝f（8×251+4），故函数f（x）在[﹣4，2016]上的零点个数是251+1+251+2＝505，故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为36．【解答】解：数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数a1，a2，a3，a4，a5的方差为4，∴数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为4×32＝36，故答案为：3614．（5分）若非零向量，，满足+2+3＝，且•＝•＝•，则与的夹角为．【解答】解：由+2+3＝，得，代入•＝•，得，即．再代入•＝•，得，即．∴cos＝＝＝﹣．∴与的夹角为．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sin A+sin B）＝sin C．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（|sin A﹣sin B|）＝sin C．【解答】解：设△ABC中角A，角B，角C所对的边长分别为a，b，c．∵△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上，∴m＞0＞n时，曲线是双曲线，离心率e＝，由双曲线定义|b﹣a|＝2，∴e|b﹣a|＝c，由正弦定理，得e|sin A﹣sin B|＝sin C．故答案为：|sin A﹣sin B|．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且3b cos C﹣3c cos B＝a，则tan（B﹣C）的最大值为．【解答】解：∵3b cos C﹣3c cos B＝a，∴3sin B cos C﹣3sin C cos B＝sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，∴sin B cos C＝2cos B sin C，∴tan B＝2tan C．∴tan（B﹣C）＝＝＝≤．故答案为：．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{b n}中，b1＝3，且{b n}的前n项和为S n，a3+S3＝27，q＝．（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝，求{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{b n}的公差为d，∵，∴，解得；…（4分）∴{a n}的通项公式为a n＝3n﹣1，{b n}的通项公式为b n＝3n…（6分）（Ⅱ）由题意得：S n＝，…（8分）∴数列{c n}的通项公式为c n＝＝••＝3（﹣），…（10分）∴{c n}的前n项和为T n＝3[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝…（12分）18．（12分）某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人l0次训练的成绩（单位：秒）如下：（Ⅰ）请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）．（Ⅱ）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率．（Ⅲ）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5，14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；…（4分）（Ⅱ）设事件A为：甲的成绩低于12.8，事件B为：乙的成绩低于12.8，则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为：P＝＝；…（8分）（此部分，可根据解法给步骤分：2分）（Ⅲ）设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y则|x﹣y|＜0.8，…（10分）得﹣0.8+x＜y＜0.8+x，如图阴影部分面积即为3×3﹣ 2.2× 2.2＝ 4.16，则．…（12分）19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，EF∥BD，EF＝BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF＝，求多面体ABCDEF的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．又平面EFBD⊥平面ABCD，平面EFBD∩平面ABCD＝BD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面EFBD．（Ⅱ）∵正方形ABCD的边长为2，∴BD＝AC＝2，∴EF＝，过F作FM⊥BD于M，∵四边形EFBD为等腰梯形，∴MB＝（BD﹣EF）＝．∴FM＝＝．设AC∩BD＝O，则AO＝．∴V C﹣BDEF＝V A﹣BDEF＝S梯形BDEF•AO＝＝．∴多面体ABCDEF的体积V＝2V A﹣BDEF＝2．20．（12分）已知抛物线x2＝2py上点P处的切线方程为x﹣y﹣1＝0．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1）和B（x2，y2）为抛物线上的两个动点，其中y1≠y2且y1+y2＝4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点，由x2＝2py得，求导，抛物线x2＝2py上点P处的切线方程为x﹣y﹣1＝0，∴直线PQ的斜率为1，所以且，解得p＝2，所以：抛物线的方程为x2＝4y．（Ⅱ）设线段AB中点M（x0，y0），则，，∴直线l的方程为，即2x+x0（﹣4+y）＝0，∴l过定点（0，4）．即C的坐标为（0，4）．联立得，|AB|＝＝，设C（0，4）到AB的距离，∴＝．当且仅当，即x0＝±2时取等号，∴S△ABC的最大值为8．21．（12分）设函数f（x）＝alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝（x＞0），∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，∴f′（1）＝a+（1﹣a）×1﹣b＝0，解得b＝1．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）＝alnx+，∴＝．①当a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，解得；②当a＜1时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，而＝+，不符合题意，应舍去．③若a＞1时，f（1）＝，成立．综上可得：a的取值范围是．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，直线P A为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．（1）证明：P A＝PD；（2）求证：P A•AC＝AD•OC．【解答】（1）证明：连结AC，∵直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D，BC是直径，∴∠C+∠B＝90°，∠ODB+∠B＝90°，∴∠C＝∠ODB，∵直线P A为圆O的切线，切点为A，∴∠C＝∠BAP，∵∠ADP＝∠ODB，∴∠BAP＝∠ADP，∴P A＝PD．（2）连结OA，由（1）得∠P AD＝∠PDA＝∠ACO，∵∠OAC＝∠ACO，∴△P AD∽△OCA，∴，∴P A•AC＝AD•OC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p＝2cosθ，θ∈[0，]．（1）在直角坐标系下求曲线C的方程；（2）设点D在曲线C上，曲线C在D处的切线与直线l：y＝x+2垂直，根据（1）中你得到的曲线C的方程，在直角坐标系下求D的坐标．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]．可得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2＝2x，配方为：（x﹣1）2+y2＝1（0≤y≤1）．（2）利用圆的方程：（x﹣1）2+y2＝1（0≤y≤1）．令，可得D的直角坐标系为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c＝m﹣n，求证：++．【解答】（1）解：∵不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，令3x2﹣6x﹣9＝0，得x＝﹣1，或x＝3，故x＝﹣1，或x＝3时，x2+mx+n＝0，则x＝﹣1和x＝3为方程x2+mx+n＝0的两根，故﹣1+3＝2＝﹣m，﹣1×3＝﹣3＝n，解得：m＝﹣2，n＝﹣3，当m＝﹣2，n＝﹣3时，不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|即为|x2﹣2x﹣3|≤3|x2﹣2x﹣3|，即有|x2﹣2x﹣3|≥0，则解集为R，故m＝﹣2，n＝﹣3；（2）证明：若a，b，c∈R+，且a+b+c＝m﹣n＝1，由a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2．累加得，2a+2b+2c≥2+2+2，两边同时加a+b+c，可得3（a+b+c）≥a+b+c+2+2+2，即有3（a+b+c）≥（++）2，即++≤＝．（当且仅当a＝b＝c时取得等号）则++≤成立．。

2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={y|y=2x﹣5，x∈A}，则A∩B等于（）A．∅B．（0，3）C．（﹣5，4）D．（0，4）2．若复数z满足（1+2i）2z=1﹣2i，则共轭复数为（）A． +i B．﹣﹣i C．﹣+i D．﹣i3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），3+x0=2016，命题q：∃a∈（0，+∞），f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）4．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则下列关于f（x）的表达式中正确的是（）A．f（x）= B．f（x）=（lnx）cos2x C．f（x）=（ln|x|）sin2x D．f（x）=（ln|x|）cosx5．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．906．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为（）A．B．C．D．7．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|=（）A．3 B． C． D．8．在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，asinB+bcos（B+C）=0，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（）A．2 B．C．D．9．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上，则f（x）=（）A．B．C．D．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+16πB．24+8πC．16+8πD．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣3），则a=．14．（1﹣x2）4（）5的展开式中的系数为．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是．16．已知数列{a n}满足a1=﹣1，|a n﹣a n﹣1|=2n﹣1（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则a2016=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350，450），[550，650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE成锐角二面角为θ，试求θ的最小值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和C2： +=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，点T在直线AB上，且•=•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围；（皿）若m，n是常数，且﹣=﹣．证明|OT|为定值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（I）当b=﹣a时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）当f（x+1）+a≥0时，对x∈R恒成立，求ab的最大值；（Ⅲ）当a＞0，b=﹣a时，设f'（x）为f（x）的导函数，若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（3lna）＞f′（）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B 作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x2﹣x|+|x2+|（x≠0）．（1）求证：f（x）≥2；（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）≥成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={y|y=2x﹣5，x∈A}，则A∩B等于（）A．∅B．（0，3）C．（﹣5，4）D．（0，4）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，进而求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣4）＜0，解得：0＜x＜4，即A=（0，4），由y=2x﹣5，得到x=，代入得：0＜＜4，即﹣5＜y＜3，∴B=（﹣5，3），则A∩B=（0，3），故选：B．2．若复数z满足（1+2i）2z=1﹣2i，则共轭复数为（）A． +i B．﹣﹣i C．﹣+i D．﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z满足（1+2i）2z=1﹣2i，可得z====+i．共轭复数为﹣﹣i．故选：B．3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），3+x0=2016，命题q：∃a∈（0，+∞），f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】函数y=3x与函数y=2016﹣x的图象在第一象限有一个交点，即可判断出命题p的真假．若f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），解解得a=0，即可判断出命题q的真假，进而得出答案．【解答】解：∵函数y=3x与函数y=2016﹣x的图象在第一象限有一个交点，∴∃x0∈（0，+∞），3+x0=2016，因此命题p是真命题．若f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），解得a=0，∴命题q是假命题．因此只有p∧（￢q）是真命题．故选：C．4．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则下列关于f（x）的表达式中正确的是（）A．f（x）= B．f（x）=（lnx）cos2x C．f（x）=（ln|x|）sin2x D．f（x）=（ln|x|）cosx【考点】函数的图象．【分析】由图象可知函数f（x）为偶函数，从而判断函数的奇偶性即可．【解答】解：由图象可知，函数f（x）为偶函数，故f（x）=为奇函数，故A不成立；f（x）=（lnx）cos2x为非奇非偶函数，故B不成立；f（x）=（ln|x|）sin2x为奇函数，故C不成立；故选：D．5．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C6．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解．【解答】解：∵3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，∴第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：p==．故选：B．7．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|=（）A．3 B． C． D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），从而得到m=﹣1．圆C半径r=2，当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1，把x=﹣1代入圆C，得P （﹣1，2）；当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）﹣1，由圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）﹣1的距离d=r，求出切线方程，与圆联立，得Q（，），由此能求出|PQ|．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，∴直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），∴1+2m+1=0．解得m=﹣1．圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0的圆心（1，2），半径r==2，当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1，圆心C（1，2）到x=﹣1的距离为2，成立，把x=﹣1代入圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，得y=2，∴P（﹣1，2），当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）﹣1，圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）﹣1的距离d==，解得k=，∴切线方程为y=（x+1）﹣1，即5x﹣12y﹣7=0，联立，得169x2﹣598x+529=0，解得x=，y=，∴Q（，），∴|PQ|==．故选：D．8．在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，asinB+bcos（B+C）=0，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（）A．2 B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由asinB+bcos（B+C）=0，利用正弦定理可得sinAsinB﹣sinBcosA=0，由sinB≠0，化为sinA=cosA，A∈（0，π），可得A=．由sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，利用和差公式、倍角公式展开可得sinB=2sinC，利用正弦定理可得b=2c．再利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：在斜△ABC中，∵asinB+bcos（B+C）=0，∴sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴sinA=cosA，A∈（0，π），∴tanA=1，解得A=．∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，∴sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC﹣cosBsinC=2sin2C，∴2sinBcosC=4sinCcosC∵cosC≠0，∴sinB=2sinC，∴b=2c．由余弦定理可得：a2=﹣2×c2cos=5c2．∵△ABC的面积为1，∴=1，∴=1，解得c2=1．则a=．故选：B．9．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上，则f（x）=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，令y=0，求出点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f（x）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得﹣x 2+x +1=0，解得x=﹣或x=1；∴点（﹣，0）在函数f （x ）的图象上，∴﹣ω+φ=0，即φ=ω①；又令ωx +φ=，得ωx=﹣φ②；把①代入②得，x=﹣③；令y=1，得﹣x 2+x +1=1，解得x=0或x=；即﹣=，解得ω=π，∴φ=ω=，∴f （x ）=sin （x +）．故选：C ．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．8+16πB．24+8πC．16+8πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体下部分为半圆柱，上部分为长方体和四棱锥的组合体，代入体积公式计算．【解答】解：几何体为的下部分为半圆柱，底面半径为2，高为4，几何体的上部分为长方体ABCD﹣A1B1C1D1和四棱锥E﹣BB1A1A的组合体，长方体的棱长分别为4，2，2四棱锥的底面BB1A1A为矩形，边长为4，2棱锥的高为2，∴几何体的体积V=+4×2×2+×4×2×2=8π+．故选：D．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得•2b•2c=a•4，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），F2（c，0），且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，运用面积相等，可得•2b•2c=a•4，即为b2c2=a2（b2+c2），即有c4+a4﹣3a2c2=0，由e=，可得e4﹣3e2+1=0，解得e2=，可得e=，（舍去）．故选：A．12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的值．【分析】根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣3），则a=3．【考点】函数的值．【分析】根据已知中函数f（x）=，f（1）=f（﹣3），构造关于a的方程，解得答案．【解答】解：∵函数f（x），∴f（1）=1+a﹣3=a﹣2，f（﹣3）=lg10=1，∵f（1）=f（﹣3），∴a﹣2=1，解得：a=3，故答案为：314．（1﹣x2）4（）5的展开式中的系数为﹣29．【考点】二项式系数的性质．【分析】化简（1﹣x2）4（）5=（1﹣x）4•（1+x）9•，求出（1﹣x）4（1+x）9展开式中含x4项，即可求出展开式中的系数．【解答】解：∵（1﹣x2）4（）5=（1﹣x）4•（1+x）9•，且（1﹣x）4（1+x）9展开式中x4项为：C40•C94x4+C41（﹣x）•C93x3+C42（﹣x）2•C92x2+C43（﹣x）3•C91x+C44（﹣x）4•C90；∴所求展开式中的系数为C40C94﹣C41C93+C42﹣C43C91+C44C90=﹣29．故答案为：﹣29．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．已知数列{a n }满足a 1=﹣1，|a n ﹣a n ﹣1|=2n ﹣1（n ∈N ，n ≥2），且{a 2n ﹣1}是递减数列，{a 2n }是递增数列，则a 2016=．【考点】数列递推式．【分析】由|a n ﹣a n ﹣1|=2n ﹣1，（n ∈N ，n ≥2），可得：|a 2n ﹣a 2n ﹣1|=22n ﹣1，|a 2n +2﹣a 2n +1|=22n +1，根据：数列{a 2n ﹣1}是递减数列，且{a 2n }是递增数列，可得a 2n ﹣a 2n ﹣1＜a 2n +2﹣a 2n +1，可得：a 2n ﹣a 2n ﹣1=22n ﹣1，同理可得：a 2n +1﹣a 2n =﹣22n ，再利用“累加求和”即可得出． 【解答】解：由|a n ﹣a n ﹣1|=2n ﹣1，（n ∈N ，n ≥2）， 则|a 2n ﹣a 2n ﹣1|=22n ﹣1，|a 2n +2﹣a 2n +1|=22n +1， ∵数列{a 2n ﹣1}是递减数列，且{a 2n }是递增数列， ∴a 2n ﹣a 2n ﹣1＜a 2n +2﹣a 2n +1，又∵|a 2n ﹣a 2n ﹣1|=22n ﹣1＜|a 2n +2﹣a 2n +1|=22n +1， ∴a 2n ﹣a 2n ﹣1＞0，即a 2n ﹣a 2n ﹣1=22n ﹣1， 同理可得：a 2n +3﹣a 2n +2＜a 2n +1﹣a 2n ， 又|a 2n +3﹣a 2n +2|＞|a 2n +1﹣a 2n |， 则a 2n +1﹣a 2n =﹣22n ，当数列{a n }的项数为偶数时，令n=2k （k ∈N *），∴a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=﹣22，a 4﹣a 3=23，a 5﹣a 4=﹣24，…，a 2015﹣a 2014=﹣22014，a 2016﹣a 2015=22015． ∴a 2016﹣a 1=2﹣22+23﹣24+…﹣22014+22015==．∴a 2016=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）假设AD=x，分别在△ACD和△ABC中使用余弦定理计算cosA，列方程解出x；（2）根据（1）的结论计算sinA，代入面积公式计算．【解答】解：（1）设AD=x，则BD=2x，∴BC==．在△ACD中，由余弦定理得cosA==，在△ABC中，由余弦定理得cosA==．∴=，解得x=5．∴AD=5．（2）由（1）知AB=3AD=15，cosA==，∴sinA=．===．∴S△ABC18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350，450），[550，650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，由此能求出m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数．（Ⅱ）由题意从[350，450）中抽取7人，从[550，650）中抽取3人，随机变量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及随机变量X的数学期望E（X）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，故m=0.0025，n=0.0035．…所求平均数为：（元）…（Ⅱ）由题意从[350，450）中抽取7人，从[550，650）中抽取3人…随机变量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，…所以，随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P随机变量X的数学期望E（X）=…19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE成锐角二面角为θ，试求θ的最小值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，DE⊥DB，从而DE⊥平面ABCD，进而DE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BFED．（Ⅱ）分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出θ的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴AB=2．∴BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°=3．…∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD．∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，DE⊂平面BEFD，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，…∴DE⊥AD，又DE∩BD=D，∴AD⊥平面BFED．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可建立分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的，如图所示的空间直角坐标系，令EP=λ（0≤λ≤），则D（0，0，0），A（1，0，0），，P（0，λ，1），∴，，…设为平面PAB的一个法向量，由，得，取y=1，则，…∵是平面ADE的一个法向量，∴．∵0≤λ≤，∴当λ=时，cosθ有最大值．∴θ的最小值为．…20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和C2： +=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，点T在直线AB上，且•=•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围；（皿）若m，n是常数，且﹣=﹣．证明|OT|为定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（Ⅰ）求得双曲线的渐近线方程，结合条件可得A的坐标，再由椭圆的a，b，c的关系，可得椭圆方程；（Ⅱ）结合条件，可得椭圆C2方程，设出OA，OB的方程，求得A，B的坐标，由=0，运用勾股定理，可得AB的平方，结合基本不等式可得范围；（Ⅲ）由T，A，B三点共线，•=•=0，可得=+，将y=﹣x代入椭圆+=1，求得B的坐标，化简整理可得|OT|定值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线2y2﹣x2=1的渐近线方程为y=±x，由题意可得椭圆C1的焦距2c=2，c=1，A（﹣1，﹣），即有=，a2﹣b2=1，解得a=，b=1，即有椭圆C1的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）C1的长轴与C2的短轴等长，即n=a=，又C1，C2共焦点，可得m==，即有椭圆C2： +=1，①当OA的斜率存在且不为0，将y=kx代入椭圆x2+2y2=2，可得x2=，则|OA|2==1+，将y=﹣x代入椭圆2x2+3y2=6，可得x2=，则|OB|2==3﹣，由=0，可得|AB|2=|OA|2+|OB|2，则|AB|2=4+﹣=4﹣=4﹣＜4，又4k2+≥4，当且仅当k2=时取得等号，则有|AB|2≥4﹣=2+，即|AB|2∈[2+，4），②当OA的斜率不存在或为0，有|AB|2=4，综上可得，|AB|2的取值范围是[2+，4]；（Ⅲ）证明：由T，A，B三点共线，•=•=0，可得|OT|2==，即有=+，将y=﹣x代入椭圆+=1，得x2=，则|OB|2==，则=，又=，则有=+=+，由于﹣=﹣，则==1+，即|OT|=，容易验证当OA斜率不存在或为0，上述结论仍然成立，综上可得|OT|为定值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（I）当b=﹣a时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）当f（x+1）+a≥0时，对x∈R恒成立，求ab的最大值；（Ⅲ）当a＞0，b=﹣a时，设f'（x）为f（x）的导函数，若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（3lna）＞f′（）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）显然f'（x）=e x﹣a，分a≤0、a＞0两种情况讨论即可；（Ⅱ）原不等式等价于e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，分a≥0、a=0、a＞0三种情况讨论即可；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=e x﹣ax+a，从而f（3lna）=a（a2﹣3lna+1）=，a＞e2，令t=a2，，t＞e4，易得p（t）在（e4，+∞）上单调递增，从而，所以f（3lna）＞0，a＞e2；而=﹣a＜﹣a，令T=﹣a，则可证明T＜0恒成立，从而＜0．所以有f（3lna）＞f′（）．【解答】解：（I）当b=﹣a时，由函数f（x）=e x﹣ax﹣b，知f（x）=e x﹣ax+a，所以f'（x）=e x﹣a，当a≤0时，f'（x）=e x﹣a＞0，此时函数f（x）无极值；当a＞0时，令f'（x）=e x﹣a=0，得x=lna．所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而f（x）min=f（lna）=2a﹣alna．（Ⅱ）f（x+1）+a≥0⇔e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，显然a≥0，所以原不等式等价于b≤e x+1﹣ax对x∈R恒成立．若a=0，则ab=0；若a＞0，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数h（x）=ae x+1﹣a2x，则h′（x）=ae x+1﹣a2=a（e x+1﹣a）．由h′（x）＜0，解得x＜lna﹣1；由h′（x）＞0，解得x＞lna﹣1．所以函数h（x）在（﹣∞，lna﹣1）上单调递减，在（lna﹣1，+∞）上单调递增，故．设g（a）=（a＞0），则g′（a）=a（3﹣2lna），令g′（a）=0，解得a=，由g′（a）＜0，解得a＞，由g′（a）＜0，解得0＜a＜，故g（a）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．所以，即ab，综上，ab的最大值为．（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=e x﹣ax+a，a＞0，且f'（x）=e x﹣a，且函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，=f（lna）=2a﹣alna＜0，此时f（x）极小值解得a＞e2．∵f（0）=a+1＞0，∴x2＞x1＞0，从而f（3lna）=a（a2﹣3lna+1）=，a＞e2，令t=a2，则t＞e4，所以，t＞e4，∵0，∴p（t）在（e4，+∞）上单调递增，从而，故p（t）＞0，所以f（3lna）＞0，a＞e2，而=﹣a＜﹣a，令T=﹣a，由可得，所以T=﹣a=﹣=﹣•，令，则λ＞0，所以T=（1﹣）=•，令φ（λ）=2λ﹣eλ+e﹣λ（λ＞0），则φ′（λ）=2﹣（eλ+e﹣λ）＜2﹣2=0，故φ（λ）在（0，+∞）上单调递减，所以φ（λ）＜φ（0）=0，则T＜0恒成立，从而=﹣a＜﹣a＜0，综上，有f（3lna）＞f′（）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B 作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AE，证明Rt△CBD∽Rt△CEA，结合AB=AC，即可证明：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FA•FC=FB2，求出AC，即可求△ABC的面积．【解答】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…∴，∴AC•CB=CD•CE又AB=AC，∴AB•CB=CD•CE．…（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF，∴，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…设AC=x，则根据切割线定理有FA•FC=FB2∴x•2x=8，∴x=2，∴．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）将A、B化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ）、，即A、B的直角坐标分别为A（﹣2，0）、，即有，可得直线AB的方程为，即为．（Ⅱ）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离=，（其中）当sin（θ+φ）=1时，d取得最大值，可得．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x2﹣x|+|x2+|（x≠0）．（1）求证：f（x）≥2；（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）≥成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据绝对值的性质证明即可；（2）问题等价于2x2﹣x≥a，求出2x2﹣x的范围，从而求出a的范围即可．【解答】证明：（1）f（x）=|x2﹣x|+|x2+|≥|x2﹣x﹣（x2+）|=|x+|=|x|+||≥2，当且仅当x=±1时取“=”，∴f（x）≥2；解：（2）当x∈[1，3]时，x2﹣x≥0，x2+＞0，∴f（x）=2x2﹣x+，∴f（x）≥等价于2x2﹣x≥a，当x∈[1，3]时，2x2﹣x∈[1，15]，若∃x∈[1，3]，使f（x）≥成立，则a≤15，故实数a的范围是（﹣∞，15]．2016年10月25日。

2015—2016学年下学期高二年级第三次半月考文数试卷考试时间：2016年4月1日一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．命题“2,320x R x x ∃∈-+=”的否定是（ ）A ．2,320x R x x ∀∈-+=B ．2,320x R x x ∃∈-+≠C ．2,320x R x x ∀∈-+≠D ．2,320x R x x ∃∈-+>2．“a b >”是“22a b >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 3．下列命题的说法错误的是（ ）A ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题．B ．命题“2,10x R x x ∀∈++>”为真命题．C ．“1-=x ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件．D ．命题“若2320x x -+= ，则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ， 则2320x x -+≠”4．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m =（ ）AB ．32C ．83D ．235．已知椭圆221416x y +=与221(0)416x y n n n +=>++，则下述结论中正确的是（ ） A ．有相等的长轴长B ．有相等的焦距C ．有相等的离心率D ．有相同的顶点6．曲线x x y +=ln 在点（1,)1(f ）处的切线方程为（ ） A ．12-=x y B ．1y x =-+ C ．1y x =- D ．22y x =-+7． 椭圆1203622=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，弦AB 经过2F ，则1ABF ∆的周长为（ ） A ．22 B ．23 C ．24 D ．258．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．已知函数f (x )=ln x-x ,则函数f (x )的单调递减区间是( ) A ．(-∞,1) B ．(0,1) C ．(-∞,0),(1,+∞) D ．(1,+∞)10．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±2xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x11．设点P 是曲线3y x b =+（b 为实常数）上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭12．设F 为双曲线191622=-y x 的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则FAFMFN -的值为（ ）A ．53 B ．35C ．54 D ．45二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．已知()()221f x x xf '=+，则()0f '=______．14．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋3，对任意的x ∈[－2,2]都有f (x )≤a ，则a 的取值范围为________． 15．已知1)(--=ax e x f x 为增函数，则a 的取值范围为 ________。

⎩ 沙市中学2016 级高三第三次考试数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟.2.请将各题答案填在答题卡上，答在试卷或草稿纸上无效.3.本试卷主要考试内容：人教 A 版集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、平面 向量、解三角形、数列、不等式，选修内容坐标系与参数方程和不等式选讲.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合 A = {0,1, 2} , B = {1, 2} , C = {x | x = ab , a ∈ A , b ∈ B } ,则集合 C 中元素的个数 为（）A.3B.4C.5D.62.已知命题 p ： ∀x ∈ R ， cos x ≤ 1,则 ⌝p 为（）A. ∃x 0 ∈ R ， cos x 0 ≤ 1B. ∃x 0 ∈ R ， cos x 0 > 1C. ∀x ∈ R ， cos x ≥ 1D. ∀x ∈ R ， cos x > 13.设数列{a n } 是公差为 1 的等差数列，S n 为 {a n } 的前 n 项和，若 S 10 = 4S 5 ，则 S 20 =（ ）A.50B.100C.150D.2004.计算： (1+ tan18︒)(1+ tan 28︒)(1+ tan197︒)(1+ tan 387︒) 的值为（ ）A.2B.4C.8D.16⎧ ⎛ π π ⎫ ⎪sin x - ⎪ , x ≤ 05.已知函数 f ( x ) = ⎨ ⎝ 2 3 ⎭ ，则 f ( f (2019)) 的值为（）A. - 1⎪ f ( x - 4)B. -, x > 0C. -D. -2244⎨⎩6.已知x ，y ，z 是正实数，则“ln x ，ln y ，ln z 成等差数列”是“x ，y ，z 成等比数列”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件⎛π⎫ ⎛ π⎫7.已知曲线C1: y = sin 2x - ⎪，C2 ：y = cos 2x +4 ⎪，则下面的结论正确的是（）⎝ 3 ⎭ ⎝ ⎭5πA.把曲线C1向右平移127πB.把曲线C1向右平移12个单位长度，得到曲线C2个单位长度，得到曲线C2C.把曲线C1 向右平移D.把曲线C1 向右平移11π247π24个单位长度，得到曲线C2个单位长度，得到曲线C2⎧3x +y -10 ≥ 08.已知实数x ，y满足⎪4x -y ≤ 4⎪x +y ≤ 8影的最大值为（），则向量a =(x, y )在向量b =(3,-4)方向上的投A. -12B. -10C. -2D. 29.设数列{a n }是递减等比数列，且a4 a5a6 = 512 ，a4 +a5 +a6 = 28 ，则数列{log2 a n }的前n 项和S n 取得最大值时的n 的值为（）A.7 或8B.8 或9C.7D.2810.已知∆ABC 的内角A 、B、C 成等差数列，且sin A 、sin B 、sin C 也成等差数列，AB ⋅BC +BC ⋅C A +CA⋅AB =-54 ,则AC =（）A.9B.8C.7D.611.定义新运算a ⊗b=2a(a +b)-3 ，若方程(解为x1 ，x2 ，则cos (x1 -x2 )的值为（）x)⊗(cos x)=2在x ∈(0,π)上的C.2D.1⎦⎭ ⎦⎭ 12.已知函数 f ( x ) = ( x - a ) e x - a ln x ，若恰有三个正整数 x ，使得 f ( x ) < 0 ，则实数a 的取值范围是（ ）⎛ 3e 3 4e 4 ⎤⎡ 1 ln 2 1 ln 3 ⎫ A. 3 , ⎝ e + ln 3 e 4+ 2 ln 2 B. ⎢⎣ + 4 2e 4, 3 + 3e 3 ⎪⎛ 2e 2 4e 4 ⎤ ⎡ 1 ln 3 1ln 2 ⎫ C. 2 , ⎝ e + ln 2e 4+ 2 l n 2 ⎥ D. ⎢⎣ + 3 3e 3, 2 + 2e 2 ⎪第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知 a = (3sin x ,1) ，b = (cos x ,1) ，若 a ∥ b ，则 tan ⎛x +2019 π ⎫=▲.⎪14.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = 2- x + x ，则当 x < 0 时， f ( x ) =▲.⎡π 11π ⎤ 215.若“ ∃x 0 ∈ ⎢⎣ 6 , 12 ⎥⎦，使得 2 c os 值为 ▲ .x 0 + m s in x 0 - 3 > 0 ”是假命题，则实数 m 的最大16. 已知函数 f ( x ) = log 2 x ，若 0 < a < 1 < b ，且 f (a ) + f (b ) = 1 ，则 6a 2 - 4ln a -b 的取值范围是▲.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必 考题，每个试题考试都必须作答.第 22,23 题为选考题，考试根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.（本小题满分 12 分）+c .（1）求角 A 的大小；（2）若 ∠BAC 的平分线交边 BC 于点 D ，且 AD ，求 ∆ABC 的面积 S 的最小值.π已知数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 = 1， a n +1 = λS n + 3λ 2- 2λ ， n ∈ N * .2n（2）是否存在实数 λ ，使得数列{a n } 是递增的等比数列，若存在，求出实数 λ 的取值 范围，若不存在，请说明理由.19.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = A sin (ωx + ϕ ) （其中 A > 0 ， ω > 0 ， 0 < ϕ<π）的图像如图所示，2点 B 、 D 是其图像与 x 轴的交点， C 、 E 分别是函数 f ( x ) 图像的最高点与最低点，且点 B 的坐标是 ( x 0 ,0) ， x 0 > 0 ， OC ⋅ BE = 8 ， ∠CBE = ， CE = 8 .2（1）求函数 f ( x ) 的解析式；（2）若函数 g ( x ) 的图像与函数 f ( x ) 的图像关于点 (2,1) 对称，求当 4 ≤ x ≤ 6 时，函 数g ( x ) 的值域.( ) a + ln x - ln2 x已知函数f x = 在x =1处的切线方程为4x +y +b = 0 .x（1）求实数a ，b 的值；（2）设f '(x)是f (x)的导函数，若f (x)+xf '(x)>mx ，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12 分）已知函数f (x)= ln x + a +x 的最小值为2.x2（1）求证：当x > 0 时，e x f (x)>x2 + 3x +a ；（2）函数g (x)=e x f (x)-mx 恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.⎨y = -4 - 4t （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第 一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4 — 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两 种坐标系取相同的单位长度.已知曲线 C 的极坐标方程为： ρ = ρ cos 2θ + 4a cos θ （其中 a > 0 ），过点 M (4, -4) 的直线 l 的参数方程为： ⎧ x = 4 + 3t ⎩（ t 为参数）.2（1）当 a = 时，求 C 与 l 的公共点的直角坐标；5（2）设直线 l 与曲线 C 交于相异两点 A 、 B ， 且 AB =13 8，求实数 a 的值.23.（本小题满分10 分）选修4 —5：不等式选讲已知函数f (x)=x2 - 2ax + 3 ，g (x)=ax - 2 +x + 2 .（1）当a =1时，求不等式f (x)≥g (x)的解集；（2）设a >1，且当x ∈[2, 3]时，f (x)≤g (x)-9，求实数a 的取值范围.。