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第五讲：整数的拆分一、不连续加数拆分例1将一根长144厘米的铁丝，做成长和宽都是整数的长方形，共有______种不同的做法？其中面积最大的是哪一种长方形？（1992年“我爱数学”邀请赛试题）讲析：做成的长方形，长与宽的和是144÷2=72（厘米）。
因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36，所以，一共有36种不同的做法。
比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是36厘米时，面积最大。
例2将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是______。
（1992年武汉市小学数学竞赛试题）讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数，则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大。
又如果拆分的数中含有1，则与“乘积最大”不符。
所以，要使加数之积最大，加数只能是2和3。
但是，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。
因为2×2×2=8，而3×3=9。
所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。
而1992÷3=664。
故，这些自然数是664个3。
例3把50分成4个自然数，使得第一个数乘以2等于第二个数除以2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有______种分法。
（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）讲析：设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。
因为a×2=b÷2，则b=4a。
所以a、b之和必是5的倍数。
那么，a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。
又因为c＋2=d-2，即d=c＋4。
所以c、d之和加上4之后，必是2的倍数。
则c、d可取的数组有：（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。
由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7，得出符合条件的a、b、c、d一组为（8、32、3、7）。
创新奥数五年级春季第三讲整数的分拆习题解答练习题：1．将210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5。
第1个数与第6个数分别是几？解答：15，40。
这7个数中第4个数是中间数，它是这7个数的平均数，即210÷7=30。
因为相邻2数的差都是5，所以这7个数是15，20，25，30，35，40，45。
故第1个数是15，第6个数是40。
2．将135个人分成若干个小组，要求任意两个组的人数都不同，则至多可以分成多少组？解答：15组。
解：因为要求任意两个组的人数不相等，且分得的组要尽可能地多，所以，要使每个组分得的人数尽可能地少。
由于1+2+3+4+…+14+15=120，所以将135人分成每组人数不等的15个组后还余15人。
剩下的15人不能再组成一个或几个新的小组，否则就会出现两个或两个以上的组的人数相等的情况。
因此，应将剩下的15人安插在已分好的15个组之中，所以至多可以分成15个组。
这15个组各组人数可以有多种情况，例如，分别是2，3，4，5，6，…，14，15，16人。
3．把19分成几个自然数（可以相同）的和，再求出这些数的乘积，并且要使得到的乘积尽可能大，最大乘积是多少？解答：972。
解：要使乘积尽可能大，把19分成的几个自然数中，3要尽量多且不能有1，所以应把19分成5个3及1个4的和。
最大乘积为35×4=972。
4．把1999分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，一共有多少种不同的分拆方法？求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应将1999如何分拆？解答：有999种方法，分成999+1000时积最大。
5．把456表示成若干个连续自然数的和。
要求写出所有的表达式（如9可以有两种表达形式：9=4+5=2+3+4）。
解答：456有三个大于1的奇约数3，19，57。
可得如下三种分拆方法：456＝151+152+153＝15+16+17+…+33＝21+22+23+…+366．几个连续自然数相加，和能等于2000吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案。
整数分拆之最值与应用一、拆分的基础知识整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。
二、拆分基本方法1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘积最大”原则。
2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大应将数列拆分成：a=2+3+4+…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则：⑴当多0时，将a拆成a=2+3+4+…+ (n-1)+n；⑵当多1时，将a拆成a=3+4+5+…+ (n-1)+( n-1)；⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。
例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？2+3+4+5+6+7+8=35比30大5，故将5去掉30被拆成2+3+4+6+7+8【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。
【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。
【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。
【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。
【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。
【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？【巩固】有长方形和正方形三块地。
它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。
这三块中哪一块地最大？面积是多少？【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？这个最大的乘积是多少？【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。
小学五年级奥数整数分拆问题例题讲解第1篇：小学五年级奥数整数分拆问题例题讲解整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。
所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。
整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个(或两个以上)自然数的和，并使这些自然数的积最大(或最小);或拆成若干个连续自然数的和等等。
下面举例作出剖析。
例1 将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆?分析与解不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。
经计算，容易得知，将14分拆成7+7时，有最大积7×7=49。
例2 将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，如何分拆?分析与解不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然数的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。
显见，将15分拆成7+8时，有最大积7×8=56。
注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有最大积m×m=m2;如果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+(m+1)时，有最大积m×(m+1)。
例3 将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆?分析与解显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小(比如是0或1)，这样得到的积才最大。
这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有最大积4×5×5=100。
例4 将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，如何分拆?分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。
其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。
整数分拆之最值与应用一、拆分的基础知识整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。
二、拆分基本方法1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘积最大”原则。
2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大应将数列拆分成：a=2+3+4+…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则：⑴当多0时，将a拆成a=2+3+4+…+ (n-1)+n；⑵当多1时，将a拆成a=3+4+5+…+ (n-1)+( n-1)；⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。
例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？2+3+4+5+6+7+8=35比30大5，故将5去掉30被拆成2+3+4+6+7+8【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。
【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。
【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。
【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。
【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。
【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？【巩固】有长方形和正方形三块地。
它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。
这三块中哪一块地最大？面积是多少？【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？这个最大的乘积是多少？【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。
整数裂项基本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+， 所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1910113303=⨯⨯⨯= 另解：由于()21n n n n +=+，所以 原式()()()222112299=++++++()()222129129=+++++++119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论． 【答案】330例题精讲知识点拨整数裂项【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ 1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例 3】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以， 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭191011124=⨯⨯⨯⨯2970= 从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 4】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可以进行整数裂项．357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 5791135795798⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+()()()22222232352519219=-⨯+-⨯++-⨯ ()()333351943519=+++-⨯+++()()3333135194135193=++++-⨯+++++ 而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 22221120218101144=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=， 21351910100++++==，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可进行整数裂项： 原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 707682886470768276828894707682882424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1016222841016221622283410162228=24242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-++ 7076828864707682768288947076828824242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+- 768288944101622=2424⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 768288944101622=24⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =2147376【答案】2147376【巩固】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯，则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=， 现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200= 所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例 5】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯()213520012003=⨯+++++()21200310022=⨯+⨯÷2008008=其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出2135200120031002+++++=【答案】2008008【例 6】 11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-，……20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!=【答案】2009!【例 7】 计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算【解析】 设原式=BA122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦ 1991001013333003=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。
五年级整数裂项练习题一、基础裂项题1. 将28裂项为两个整数的和。
2. 将45裂项为两个整数的和。
3. 将63裂项为两个整数的和。
4. 将80裂项为两个整数的和。
5. 将99裂项为两个整数的和。
二、进阶裂项题1. 将36裂项为三个整数的和。
2. 将48裂项为三个整数的和。
3. 将60裂项为三个整数的和。
4. 将72裂项为三个整数的和。
5. 将84裂项为三个整数的和。
三、混合裂项题1. 将50裂项为两个整数的差。
2. 将65裂项为两个整数的差。
3. 将75裂项为两个整数的差。
4. 将85裂项为两个整数的差。
5. 将90裂项为两个整数的差。
四、应用裂项题1. 小明有23个苹果，他想把这些苹果分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的苹果。
请列举出所有可能的分法。
2. 小红有34个糖果，她想把这些糖果分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的糖果。
请列举出所有可能的分法。
3. 小华有41本书，他想把这些书分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的书。
请列举出所有可能的分法。
4. 小李有56个铅笔，他想把这些铅笔分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的铅笔。
请列举出所有可能的分法。
5. 小王有69个橘子，他想把这些橘子分给几个朋友，每个朋友分得相同数量的橘子。
请列举出所有可能的分法。
五、拓展裂项题1. 将100裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为10。
2. 将120裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为15。
3. 将140裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为20。
4. 将160裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为25。
5. 将180裂项为两个整数的和，使得这两个整数的差为30。
六、整数裂项与乘法结合题1. 将12裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以2。
2. 将18裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以3。
3. 将24裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以4。
4. 将30裂项为两个整数的和，然后分别将这两个整数乘以5。
（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N 。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、 “裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
考试要求知识结构整数裂项与分数裂和（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用（2） 分子隐蔽的裂和型运算。
一、整数裂项【例 1】 计算：1324354699101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯【巩固】计算：355779979999101⨯+⨯+⨯++⨯+⨯【例 2】 计算101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯例题精讲重难点【巩固】333444797979⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【例 4】 计算：111222333999999100100100⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【例 5】 ()()()()1121231234123100+++++++++++++++【巩固】()()()33636936300++++++++++【例 6】 填空： ()+=2165， ()+=31127， ()+=41209()+=513011，()+=614213， ()+=715615【巩固】计算：90197217561542133011209127651+-+-+-+-【例 7】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 36579111357612203042++++++132579101119【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++【例 9】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++【巩固】3549637791105311 6122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【例 10】22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯【巩固】222222222222226214321321211+⋯++-⋯++++-++++-1、 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________2、 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+3、 11798175451220153012++++++4、 222222221223200420052005200612232004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯ 课堂检测5、 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1、 1122335050⨯+⨯+⨯++⨯2、 2464689698100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯3、 123791121313571220284056+++++++4、 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-家庭作业5、121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++教学反馈。
小学奥数数论试题：整数的拆分
导读：本文小学奥数数论试题：整数的拆分，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
1.某运输部门规定：办理托运，当一件物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费3元;为限制过重物品的托运，当一件物品的重量超过16千克时，除了付基础费和保险费外，超过部分每千克还需付3元超重费.在托运的50千克物品可拆分(按整数千克拆分)的情况下，使托运费用最省的拆分方案是_________.
2. 把10拆分成三个数的和(0除外)有_____种拆分方法.
3. 将100拆分成若干个不同的非零自然数相加的形式，最多能拆分成多少个数之和?。
创新奥数五年级春季第三讲整数的分拆习题解答练习题：1．将210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5。
第1个数与第6个数分别是几？解答：15，40。
这7个数中第4个数是中间数，它是这7个数的平均数，即210÷7=30。
因为相邻2数的差都是5，所以这7个数是15，20，25，30，35，40，45。
故第1个数是15，第6个数是40。
2．将135个人分成若干个小组，要求任意两个组的人数都不同，则至多可以分成多少组？解答：15组。
解：因为要求任意两个组的人数不相等，且分得的组要尽可能地多，所以，要使每个组分得的人数尽可能地少。
由于1+2+3+4+…+14+15=120，所以将135人分成每组人数不等的15个组后还余15人。
剩下的15人不能再组成一个或几个新的小组，否则就会出现两个或两个以上的组的人数相等的情况。
因此，应将剩下的15人安插在已分好的15个组之中，所以至多可以分成15个组。
这15个组各组人数可以有多种情况，例如，分别是2，3，4，5，6，…，14，15，16人。
3．把19分成几个自然数（可以相同）的和，再求出这些数的乘积，并且要使得到的乘积尽可能大，最大乘积是多少？解答：972。
解：要使乘积尽可能大，把19分成的几个自然数中，3要尽量多且不能有1，所以应把19分成5个3及1个4的和。
最大乘积为35×4=972。
4．把1999分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，一共有多少种不同的分拆方法？求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应将1999如何分拆？解答：有999种方法，分成999+1000时积最大。
5．把456表示成若干个连续自然数的和。
要求写出所有的表达式（如9可以有两种表达形式：9=4+5=2+3+4）。
解答：456有三个大于1的奇约数3，19，57。
可得如下三种分拆方法：456＝151+152+153＝15+16+17+…+33＝21+22+23+…+366．几个连续自然数相加，和能等于2000吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案。
如果不能，说明理由。
解答：能。
提示：2000=24×53，有三个大于1的奇约数5，25，125。
对于5，有k=5，a=398；对于25，有k=25，a=68；对于125，有k=32，a=47。
所以2000共有如下三种分拆方法：2000＝398+399+400+401+402＝68+69+70+…+91+92＝47+48+49+…+77+787．把70分拆成11个不同自然数的和，这样的分拆方式一共有多少种？将不同的表示方法列举出来。
解答：5种。
解：1+2+3+…+11=66，现在要将4分配到适当的加数上，使其和等于70，又要使这11个加数互不相等。
先将4分别加在后4个加数上，得到4种分拆方法：70＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11＝1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11＝1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11。
再将4拆成1+3，把1和3放在适当的位置上，仅有1种新方法：1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12。
再将4拆成1+1+2或1+1+1+1+1或2+2，分别加在不同的位置上，都得不出新的分拆方法，故这样的分拆方法一共有5种。
8．有一把长为13厘米的直尺，在上面刻几条刻度线，使得这把尺子能一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。
问：至少要刻几条线？要刻在哪些位置上？解答：至少要刻4条线，例如刻在1，4，5，11厘米处，便可一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。
这是因为由1，4，5，11，13这5个数以及它们之间任意2个的差能够得到1到13这13个整数，见下列各式：5-4=1，13-11=2，4-1=3，11-5=6，11-4=7，13-5=8，13-4=9，11-1＝10，13-1＝12。
下面我们来证明，只有3个刻度是不够的。
如果只刻了3条线，刻在a厘米、b厘米、c厘米处（0＜a＜b＜c＜13），那么a，b，C，13两两之差（大减小），只有至多6个不同的数：13-a，13-b，13-c，c-a，c-b，b-a，再加上a，b，c，13这4个数，至多有10个不同的数，不可能得到1到13这13个不同的整数来。
顺便说明一下，刻法不是唯一的。
例如我们也可以刻在1厘米、2厘米、6厘米、10厘米这4个位置上。
创新奥数五年级春季第四讲约数与倍数习题解答练习题：1．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等）？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？解答：求最大公约数，最多可分成40份同样的礼物，每份礼物中，有8个苹果、6个桔子、5个鸭梨.2．将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）解答：假设锯完后小木块的边长为a，那么把锯得的所有小木块堆起来，适当组合以后一定可以堆成原来长方体木料的形状.这就是说3.57、1.05、0.84都是小木块边长a的倍数，反过来说a就是3.57、1.05、0.84的公约数.另外还要求小木块体积最大，也就是要求小木块的边长a最大.所以a是3.57、1.05、0.84三个数的最大公约数.因为3.57米=357厘米，1.05米=105厘米，0.84米=84厘米，又所以a=（357，105，84）=3×7=21.当小木块边长为21厘米时，其体积最大.3．四个连续奇数的最小公倍数是6435，求这四个数。
解答：9，11，13，15。
6435=32×5×11×13=9×11×13×5，因为［9，11，13，5］=［9，11，13，15］，所以这四个连续奇数是9，11，13和15。
解答：黄鼠狼比狐狸先掉入陷阱.当黄鼠狼第一次掉进陷阱时，狐狸跳了2140米。
5．b a ,两数的最大公约数是12，已知a 有8个约数，b 有9个约数，求a 和b 。
解答：24和36。
6．两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。
满足条件的自然数有哪几组？ 解答：12，72与24，36两组。
72÷12=6=1×6=2×3，所以有两组：①12×1=12，12×6=72； ②12×2=24，12×3=36。
7．大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。
亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。
问：这个花圃的周长是多少米？解答：解：（54，72）=18，54÷18=3，72÷18=4，说明小亮走4步等于爸爸走3步，其中脚印重合一次，留下4+3-1=6（个）脚印。
所以花圃周长54×4×（60÷6）=2160（厘米）=21.6（米）。
8．两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。
解答：这两个数可能为18和180、36和90。
9．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。
”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？解答：爷爷70岁，小明10岁。
两人的年龄差分别是6、5、4、3、2、1的倍数，为60。
10．有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少？ 解答：1111=11×101，11=1＋2＋3＋5，所以最大公约数最大能是101。
11．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。
解答：奇数个约数的数一定是完全平方数。
361、400、441、484、529、576、625．12．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？ 4．解答：甲、乙两数的公倍数即是甲的倍数，就必须包含甲的全部的质因数；乙也是。
最小公倍数是公倍数中最小的一个，因此必须包含甲、乙全部公有的质因数和各自独有的质因数，即：最小公倍数一定是这两个数中的质因数，两个数以外的质因数一定不是它们最小公倍数的质因数。
因此：分析最小公倍数中的质因数是解题关键。
∵[甲，乙]＝90＝2×32×5[乙，丙]＝105＝3×5×7[甲，丙]＝126＝2×32×7∴甲独有质因数2（如果乙也有，那么乙和丙的最小公倍数的质因数中也必须含有2）。
同理，乙独有质因数5，丙独有质因数7。
且乙和丙至多含有一个质因数3，即甲须含有2个质因数3，∴甲＝2×32＝四年级暑期奥数习题第一课：和倍、差倍问题1、胜利小学开展冬季体育比赛，参加跳绳的人数是打球的人数的4倍，比打球的人多72人，参加跳绳和打球的人各是多少人？2、生产队利用山地种了一批核桃树和红果树，核桃树的棵数是红果树的2倍多95棵，已知核桃树比红果树多1455棵，两种树各种了多少棵？3、家具厂二季度比一季度多生产轴承1200件，三季度比二季度多生产2800件，三季度生产的是一季度的3倍，求各季度生产轴承多少件？4、小红和小李两人的存款相同，小红取出60元，小李存入20元后，小李的存款是小红的3倍，两人的存款各是多少元？5、生产队养的公鸡比母鸡多249只，养的公鸡是母鸡的4倍，求公鸡、母鸡各多少只？6、学校购买的足球是排球的3倍，足球比排球多18只，购买足球和排球各多少只？7、农业科技小组有两块小麦试验田，第二块比第一块少8亩，第一块的面积是第二块的3倍，问两块试验田各多少亩？8、仓库有面粉和大米两种粮食，面粉比大米多4500千克，面粉的千克数比大米的3倍还多700千克，问面粉和大米各多少千克？9、参加少年宫科技小组的人数，今年比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人，问今年有多少人参加？10、父亲比儿子大30岁，明年父亲的岁数是儿子的3倍，那么今年儿子是几岁？11、两数的和是40，甲数比乙数大8，求甲数、乙数各是多少？12、买一件衣服，共需360元，裤子比上衣便宜136元，那么买一件上衣和一条裤子各需多少元？第二课：和差问题[解题技巧：（和+差）÷2=大数（和－差）÷2=小数]例1 甲乙两生产组有车床96台，如果甲组给乙组8台，则两组的台数相等，问两组原来各有多少台？例2 甲乙两箱共有水果50千克，若从甲箱中取出6千克放到乙箱中，这时甲箱还比乙箱多2千克，求两箱原来各有多少箱？例3 三辆车运木板9800块，第一辆比其余两辆共运的少1400块，第二辆比第三辆多运200块，三辆车各运多少块？例4 一只三层书架上共放书108本，上层比中层多11本，下层比中层少5本，上、中、下三层各有书多少本？1、甲乙两条公路共长4355千米，甲公路比乙公路长155千米，问两条公路各长多少千米？2、甲乙两人的岁数和是33岁，甲比乙大3岁，问甲乙各多少岁？3、黄山茶场共有红茶树、绿茶树1440棵，如果红茶树增加600棵，绿茶树减少600棵，则两种茶树的棵数相等，两种茶树各有多少棵？4、红光小学一年级共有新生104人，分成甲乙两个班，如果从甲班中转2个学生到乙班去，两班学生就一样多，问甲乙两班原有各有学生多少人？5、甲乙两筐共有梨97千克，从甲筐中取出14千克放到乙筐中，结果甲筐的梨比乙筐的梨还多3千克，求两筐原来各有梨多少筐？6、两鸡笼共有鸡15只，若甲鸡笼再放入4只，乙鸡笼取出2只，这时乙鸡笼比甲鸡笼多1只，顺甲乙两鸡笼原来各有鸡多少只？7、小明期终考试的语文和数学的平均分数是96分，数学比语文多8分，问语文和数学各多少分？8、四年级有学生48人，暑期中5人学会了游泳，这样会游泳的学生比不会游泳的学生多16人，原来会游泳的有多少人？9、把长128厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多18厘米，长和宽各是多少厘米？10、某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，三个车间各有工人多少人？例1 小明爷爷今年的年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁，请你算一算，小明爷爷今年几岁？例2 华联商厦出售电视机，上午售出总数的一半多10台，下午售出余下的一半多20台，还余下95台，店里原有电视机多少台？例3 解放军某部阻击敌人，因情况发生变化，需要一营抽一半人去支援教导营，抽调54人去支援二营，抽调余下的一半去支援三营，后来团部4名通讯员调进了一营，这时一营有38人。
