高中数学 第1章 直线、多边形、圆 1.1.1 图形变化的不变性 1.1.2 平移、旋转、反射 1.

1.1 平面直角坐标系与曲线方程1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.( )(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.( )(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.( )【解析】(1)√(2)√(3)×因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上.【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2 平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线.填空：(1)x 轴的直线方程为________.(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________.【导学号：12990000】(3)方程2x 2＋y 2＝1表示的曲线是____________. 【答案】 (1)y ＝0 (2)x 2＋y 2＝1 (3) 椭圆 教材整理3 平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆.( )(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置.( ) (3)在伸缩变换下，直线依然是直线.( )【解析】 (1)√ 因为x 2＋y 2＝4的圆的形状变为方程x 24＋y 2＝1表示的椭圆.(2)× 平移变换只改变位置，不改变形状.(3)√ 直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]利用平面直角坐标系确定位置由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【精彩点拨】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A ，B ，C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.【自主解答】 设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示， 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23).∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上.k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)，∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4). ①又|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2).②联立①②，解得P 点坐标为(8,53). ∴k PA ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1.由于A ，B ，C 的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.[再练一题]1.已知某荒漠上有两个定点A ，B ，它们相距2 km ，现准备在荒漠上开垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】 (1)设平行四边形的另两个顶点为C ，D ，由围墙总长为8 km ，得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点).以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0). 易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD 的面积最大，则C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝23(km 2).(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图. 因此，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋1，x 24＋y 23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0，那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫332·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3213＝4813，故暂不加固的部分长4813 km. 平面直角坐标系中曲线方程的确定(1)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G 的方程；(2)在边长为2的正△ABC 中，若P 为△ABC 内一点，且|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.【精彩点拨】 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.【自主解答】 (1)由已知设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则2a ＝12，知a ＝6.又离心率e ＝c a ＝32，故c ＝3 3.∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为x236＋y29＝1.(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|＝2，∴B(－1,0)，C(1,0)，则A(0，3).∵|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，∴x2＋(y－3)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，化简得x2＋(x＋3)2＝4.又∵P在△ABC内，∴y>0.∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y>0).其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧.求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程f(x，y)＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略.(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程.(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求.[再练一题]2.如图1­1­1，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM →与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图1­1­1(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程. 【解】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，△CQM 为正三角形. ∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴圆C 的半径为2. 又圆心为(0,0)，∴圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知M (2,0)，N (－2,0)，Q (1，3)， ∴2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2， ∴a ＝3＋1，c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝23，∴椭圆方程为：x 24＋23＋y 223＝1.[探究共研型]平面直角坐标系中的伸缩变换探究 1 线和抛物线呢？【提示】 在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.探究2 平移变换与伸缩变换的区别是什么？【提示】 平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.探究3 在伸缩变换中，若x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍后，变换后的坐标(x ′，y ′)与原坐标(x ，y )有什么关系？【提示】 一般地，在平面直角坐标系xOy 中：使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y 轴具有相同的单位长度；即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝y 的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k 倍，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝kx ，y ′＝y的伸缩变换.在下列平面直角坐标系中，分别作出x 225＋y 29＝1的图形： (1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍.【精彩点拨】 先按要求改变x 轴或y 轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.【自主解答】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x 轴或y 轴的单位长度会对图形产生影响，本题2中即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 的伸缩变换，本题3中即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y的伸缩变换.[再练一题]3.本例中，x 225＋y 29＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：(1)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的53倍；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的35倍.【解】 (1)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x 225＋y29＝1的图形如图②.[构建·体系]1.曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A.(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15C.(1,5)D.(4,4)【解析】 将答案代入验证知D 正确. 【答案】 D2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( ) A.|x |－|y |＝1 B.|x －y |＝1 C.||x |－|y ||＝1D.|x ±y |＝1【解析】 由题知C 正确. 【答案】 C3.已知一椭圆的方程为x 216＋y 24＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )【解析】 如果y 轴上单位长度不变，x 轴的单位长度变为原来的12倍，则方程变为x 2＋y 2＝4，故选B.【答案】 B 4.将圆x2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y 后的曲线方程为________.【导学号：12990001】【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4，y ＝y ′3.代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1.∴变换后的曲线方程为x 216＋y 29＝1.【答案】x 216＋y 29＝1 5.已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.求动点M 的轨迹C 的方程.【解】 如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |，由此得|4－x|＝2x－12＋y2，化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)欢迎您的下载，资料仅供参考！。

第一部分课时作业 第一章 直线与圆§1 直线与直线的方程1．1 一次函数的图象与直线的方程 1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系必备知识基础练知识点一 直线的倾斜角与斜率1.直线x ＝1的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在2．若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°3．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1 D ．k 1<k 3<k 24．若两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角的关系是________.知识点二 直线的斜率公式5.已知直线l 经过点A (0，－1)，B (1，1)，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．－2C ．12D ．－126．(1)如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1，l 2的斜率；(2)求经过两点A (a ，2)，B (3，6)的直线的斜率．知识点三 斜率公式的应用7.若点P (x ，y )在函数y ＝2x ＋1(－2≤x ≤2)的图象上运动，则yx的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫52，＋∞B ．⎝⎛⎦⎤－∞，32C ．⎣⎡⎦⎤32，52D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32 ∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 8．设点A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1，4)，若直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，则实数m 的值为________.9．若A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b的值．关键能力综合练一、选择题1．[多选题]下列命题中，正确的是( ) A ．任意一条直线都有唯一的倾斜角B ．一条直线的倾斜角可以是－π3C ．倾斜角为0的直线有无数条D ．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)2．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°3．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4，2)与(－4，1) B ．(0，3)与(3，0) C ．(3，－1)与(2，－1) D ．(－2，2)与(－2，5)4．已知直线经过点A (a ，4)，B (2，－a )，且斜率为4，则a 的值为( )A ．－6B ．－145C ．45D ．45．[易错题]直线l 经过点A (1，2)，与x 轴交点的横坐标的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－1，15 B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 ∪(1，＋∞) 二、填空题6．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是________.7．已知斜率为12的直线经过A (3，5)，B (x ，－1)，C (7，y )三点，则x ，y 的值分别为________.8．已知点A (1，2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________.三、解答题9．[探究题]已知f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，试用图示法比较f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c的大小关系．学科素养升级练1.已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________.2．[学科素养——数学运算]已知一条光线从点A (－1，3)出发，射在x 轴上又反射出去，反射光线经过点B (2，7)，求x 轴上光照点的坐标．§1 直线与直线的方程1．1 一次函数的图象与直线的方程 1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系必备知识基础练1．解析：∵直线x ＝1与y 轴平行，∴倾斜角为90°，斜率不存在． 答案：C2．解析：如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.答案：D3．解析：由题图可知，直线l 1的倾斜角为钝角，所以k 1<0；直线l 2与直线l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角较大，所以k 2>k 3>0，所以k 2>k 3>k 1.答案：D4．解析：两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角互补． 答案：互补5．解析：因为直线l 经过点A (0，－1)，B (1，1)，所以直线l 的斜率为1－（－1）1－0 ＝2.故选A.答案：A6．解析：(1)l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－3 . (2)当a ＝3时，斜率不存在； 当a ≠3时，直线的斜率k ＝43－a .7．解析：已知函数y ＝2x ＋1(－2≤x ≤2)的图象是一条线段，设为AB ，其中A (2，5)，B (－2，－3).yx 的几何意义是线段AB 上的任意一点P (x ，y )与坐标原点O (0，0)连线的斜率，易得k OA ＝52 ，k OB ＝32 ，根据图象可知，yx的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，32 ∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ . 答案：D8．解析：依题意知直线AC 的斜率存在，则m ≠－1，由k AC ＝3k BC 得－m ＋3－4m －（－1） ＝3×m －1－42－（－1），所以m ＝4. 答案：49．解析：由题意可知直线AB ，AC 的斜率存在，∴a ≠2.由k AB ＝k AC 得2－02－a ＝2－b2－0，即a ＋b ＝12 ab ，又ab ≠0，∴1a ＋1b ＝12.关键能力综合练1．解析：任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角α的范围为[0，π)，故sin α∈[0，1]，倾斜角为0的直线有无数条，因此A 正确，B 错误，C 正确，D 错误．故选AC.答案：AC 2．解析：由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°(如图).答案：D3．解析：两点(－2，2)，(－2，5)的横坐标相同，因此过此两点的直线斜率不存在． 答案：D4．解析：∵A (a ，4)，B (2，－a )，且斜率为4，∴k AB ＝－a －42－a ＝4，解得a ＝4.答案：D5．解析：过定点A 的直线经过点B (3，0)时，直线l 与x 轴交点的横坐标为3，此时k ＝2－01－3＝－1；过定点A 的直线经过点C (－3，0)时，直线l 与x 轴交点的横坐标为－3，此时k ＝2－01＋3 ＝12 .数形结合(如图所示)可知满足条件的直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ .答案：B6．解析：如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2，故直线l 的斜率的取值范围是[0，2].答案：[0，2]7．解析：由题意可知k AB ＝k AC ＝12 ，即5＋13－x ＝y －57－3 ＝12 ，解得x ＝－9，y ＝7.答案：－9 78．解析：由题意知k P A ＝－1.设x 轴上点P 1(m ，0)，y 轴上点P 2(0，n )满足题意．由0－2m －1＝n －20－1＝－1，得m ＝n ＝3.所以点P 的坐标为(3，0)或(0，3). 答案：(3，0)或(0，3) 9.解析：f （x ）x 表示经过点O (0，0)和点A (x ，f (x ))的直线的斜率，所以我们可以赋予f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c几何意义：表示3个斜率．作函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象如图所示． 因为a >b >c >0，在函数图象上找到对应点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))，将这三点与原点相连，可得f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a.学科素养升级练1．解析：如图所示，过点P 作直线PC ⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线P A ，PB .①直线l 与线段AB 的交点在线段AC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k ≤k P A .②直线l 与线段AB 的交点在线段BC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是k ≥k PB .因为k P A ＝－3－12－1 ＝－4，k PB ＝－2－1－3－1 ＝34 ，所以直线l 的斜率k 满足k ≥34 或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞2．解析：设点A 关于x 轴的对称点为A ′，则A ′(－1，－3)，连接A ′B ，与x 轴交于点C ，则点C 即为光照点．不妨设C (a ，0)，由题意可知A ′，B ，C 三点共线，∴k A ′C ＝k BC ，即0－（－3）a －（－1）＝0－7a －2 ，解得a ＝－110 .∴x 轴上光照点的坐标为⎝⎛⎭⎫－110，0 .。

1.1 图形变化的不变性1.2 平移、旋转、反射1.3 相似与位似1.了解图形变化过程中的不变性.2.理解平移、旋转、反射变换的概念，并会简单应用.3.会综合应用相似与位似解决相关问题.[基础·初探]教材整理1 图形变化的不变性图形在变化过程中，有些性质改变了，但有些性质仍然保持不变，这就是图形变化的不变性.1.如图1­1­1(1)所示的标志，有人把这个标志从上往下均匀压缩后变为如图1­1­1(2)所示的标志，则压缩前后该标志没有发生变化的是( )图(1) 图(2)图1­1­1A.形状B.大小C.位置D.三条线段相交【解析】把标志压缩后，形状、大小、位置明显改变了，三条线段相交没有发生变化.【答案】 D教材整理2 平移、旋转、反射名称定义图形示例平移变换图形的平移过程称为平移变换旋转变换图形的旋转过程称为旋转变换反射变换一个图形F绕一条直线l翻转180°得到另一个图形F′，则F与F′关于l对称，这种图形的变化过程称为反射变换，直线l称为反射轴一个图形通过平移变换、旋转变换、反射变换变为另外一个图形，其对应线段的长度不变，对应角的大小不变，因此，变换前后两个图形是全等的，但图形的位置可能发生改变.2.在平移变换、旋转变换、反射变换中，可能发生改变的是图形的( )A.形状B.对应线段的长度C.对应角的大小D.位置【解析】根据平移、旋转、反射的特点可知图形的形状、对应线段的长度、对应角的大小不变，发生改变的是位置.【答案】 D3.如图1­1­2形中，是由图仅通过平移得到的是( )【解析】由平移的规律知，仅通过平移可得到C.【答案】 C教材整理3 相似与位似(1)相似变换：把一个图形按一定比例放大或缩小，这种图形的变化过程称为相似变换.一个图形通过相似变换变为另外一个图形，其对应角的大小不变，但对应线段的长度和图形的位置发生了改变.(2)位似变换：把一个图形变为它的位似图形，这种图形的变化过程称为位似变换.一个图形通过位似变换变为另外一个图形，其形状不变，对应角的大小不变，但图形的位置发生了改变.位似变换是一种特殊的相似变换.4.相似变换中图形的( )A.对应角的大小不变B.对应线段长度不变C.形状不同D.对应点的连线(或延长线)相交于一点【解析】根据相似的特点，对应角的大小不变，对应线段长度会发生改变.图形的形状不变，因图形的位置发生改变，对应点的连线(或延长线)平行或相交于一点.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：[小组合作型]平移如图1­1­3是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，在图中作出将五角星ABCDE向东北方向平移32个单位的图形.【导学号：96990000】图1­1­3【精彩点拨】小正方形对角线的长是2，32就是3×3的正方形对角线的长.先作出A，B，C，D，E平移后的对应点，按原图形的方式连接即可.【自主解答】将A，B，C，D，E五点向东北方向分别平移32(上移3格，右移3格)得A′，B′，C′，D′，E′五点，连接五点即得所求图形.如图所示.1.解答本题时应注意平移的方向与平移的距离.2.平移作图的一般步骤：(1)在原图中找出关键点；(2)确定平移的方向和平移的距离；(3)根据平移的性质作出关键点的对应点；(4)按原图的连接顺序连接作出的点，并标上相应字母.3.平移作图必须确定准方向和距离，两者缺一不可.[再练一题]1.如图1­1­4所示，将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是( )图1­1­4A.先向下移动1个单位，再向左移动1个单位B.先向下移动1个单位，再向左移动2个单位C.先向下移动2个单位，再向左移动1个单位D.先向下移动2个单位，再向左移动2个单位【解析】由平移的规律知选C.【答案】 C相似与位似变换的应用最长边为12 cm，求另一个三角形内切圆和外接圆的面积.【精彩点拨】确定三角形的相似比及圆的半径即可求圆的面积.【自主解答】设边长为3 cm,4 cm,5 cm的三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，因为该三角形为直角三角形，故12(3＋4＋5)r ＝12×3×4， ∴r ＝1，R ＝52，∴S 内切圆＝π，S 外接圆＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝254π.又∵两三角形的相似比为512，∴S ′内切圆＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1252S 内切圆＝14425π，S ′外接圆＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1252S 外接圆＝36π.1.解答本题时，用到直角三角形内切圆和外接圆半径的求法.求内切圆半径，可利用12(a＋b ＋c )r 内＝12ab ，得r 内＝ab a ＋b ＋c ，R 外＝c2，(其中a ，b ，c 是直角三角形三边长，c 是斜边长)2.位似图形与相似图形的关系：位似图形是特殊的相似图形；两个图形是位似图形，那么这两个图形也必定是相似图形；两个相似图形却不一定是位似图形.3.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.[再练一题]2.某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1­1­5所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，则屏幕上小树的高度是( )图1­1­5A.50 cmB.500 cmC.60 cmD.600 cm【解析】 设屏幕上小树的高度为x cm ，则10x ＝3030＋150，解得x ＝60(cm).【答案】 C旋转与反射将一副三角板按如图1­1­6图①位置摆放，使得两块三角板的直角边AC 和MD重合.已知AB ＝AC ＝8 cm ，将△MED 绕点A (M )逆时针旋转60°后(如图1­1­6②，此时MD 与BC 相交)，两个三角形重叠(阴影)部分的面积约是________cm 2.(结果精确到0.1，3≈1.73)图1­1­6【精彩点拨】 旋转后阴影部分中AC ＝8 cm ，∠DAC ＝60°，只需求出AN ，则阴影面积可求.【自主解答】 设AD 交BC 于N 点，在△ACN 中， ∵∠DAC ＝60°，∠ACN ＝45°， ∠ANC ＝75°，由正弦定理得AN sin 45°＝ACsin 75°，∴AN ＝sin 45°sin 75°·AC ＝22×823＋14＝8(3－1)，∴S △NAC ＝12×AC ×AN ×sin 60°＝12×8×8(3－1)×32≈20.3(cm 2). 答：阴影部分面积约为20.3 cm 2.解答旋转问题时应注意以下几点：(1)旋转的性质：①图形中每一点都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度，即所有的旋转角都相等；②对应点到旋转中心的距离相等；③对应线段相等，对应角相等.(2)图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心、旋转角和旋转方向共同决定的，旋转中心可在图形上，也可不在图形上.(3)图形的旋转可能改变图形的位置，也可能不改变图形的位置(当图形旋转360°时，图形的位置没有改变)[再练一题]3.如图1­1­7所示是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：图1­1­7(1)作出关于直线AB的轴对称图形；(2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°.【导学号：96990001】【解】由对称变换和旋转变换可得如下图所示图形.[探究共研型]平移、旋转、反射的特征探究1【提示】(1)平移、旋转、反射的不同点：①平移、旋转、反射的含义不同：平移是将一个图形沿某个方向移动一定的距离；旋转是将一个图形绕一个点沿某个方向转动一定的角度；反射是将某个图形沿某一条直线翻转180°；②平移、旋转、反射的性质不同：平移的对应线段平行(或在一条直线上)且相等；旋转的对应线段一般只是相等；对应点与旋转中心连线所形成的旋转角相等，反射的对应线段相等，对应点的连线被反射轴垂直平分.(2)平移、旋转、反射的相同点：平移、旋转、反射都不改变图形的形状和大小，对应线段相等，对应角相等.利用位似变换作图探究2【提示】(1)图形放大或缩小的依据是位似图形的性质.放大或缩小的倍数是对应的位似比.(2)将一个图形放大或缩小的步骤：①确定位似中心，位似中心的位置可任意选择；②确定原图形的关键点；③确定位似比，即原图形与所作新图形的相似比；④利用位似图形的性质分别作出原图形中各关键点的对应点；⑤按原图连接顺序连接作出的新关键点.(3)符合要求的图形不唯一，其原因：一是与位似中心选择的位置有关，二是同一个位似中心两侧各有一个符合要求的图形.已知△ABC，在△ABC内，求作一正方形GDEF，使DE在BC上，G，F分别在AB，AC上.【精彩点拨】假设所求作正方形GDEF，两顶点D、E在△ABC的边BC上，G、F分别在AB、AC上.先放弃F在AC上的要求，而保留其他要求，则可得到以B为位似中心的正方形GDEF 的位似图形G′D′E′F′，并且FF′过点B.由此可得作图方法.【自主解答】(1)作正方形G′D′E′F′，使G′在BA上，D′，E′在BC上；(2)连接BF′并延长交AC于F；(3)作EF⊥BC于E，作FG∥CB交AB于G；(4)作GD⊥BC于D.∴正方形GDEF即为所求作正方形.[再练一题]4.如图1­1­8，已知∠AOB，E为∠AOB内一定点.求作：⊙C，使⊙C经过E点，且与∠AOB 两边都相切.图1­1­8【解】(1)作∠AOB的平分线OD；(2)在OD上任取一点C′，作⊙C′使之与两边OA、OB相切；(3)连接OE，交⊙C′于点E′；(4)连接E′C′；(5)过E作EC∥E′C′交OD于C；(6)作⊙C(以CE为半径).∴⊙C就是所求作的圆.[构建·体系]1.方程y＝x2和y＝－x2表示的图形的反射轴是( )A.x轴B.y轴C.直线y＝xD.直线y＝－x【解析】画出抛物线y＝x2及y＝－x2知，两个图形关于x轴对称.【答案】 A2.下列说法正确的是( )A.平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置C.图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离D.在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行【解析】由平移和旋转的规律知选B.【答案】 B3.如图1­1­9所示，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG ＝2∶3，则下列结论正确的是( )图1­1­9A.2DE＝3MNB.3DE＝2MNC.3∠A＝2∠FD.2∠A＝3∠F【解析】由位似变换的规律知，3DE＝2MN.【答案】 B4.如图1­1­10所示，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠BAC的度数是________.图1­1­10【解析】由题意知，∠A′CD＝35°，则∠DA′C＝90°－35°＝55°，∴∠BAC＝∠DA′C＝55°.【答案】55°5.如图1­1­11所示，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，现将△PAC 绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求(1)点P与P′之间的距离；(2)∠APB的度数.图1­1­11【解】(1)由题意知AC与AB重合，则旋转角为60°，又∵AP＝AP′，∴△APP′是正三角形，∴PP′＝AP＝6.(2)在△BPP′中，P′P＝6，PB＝8，P′B＝PC＝10，∴P′P2＋PB2＝P′B2，∴∠P′PB＝90°，∴∠APB＝∠APP′＋∠P′PB＝60°＋90°＝150°.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

1.2．2 圆的切线的判定和性质1．直线与圆的位置关系当直线与圆没有公共点时，称为直线与圆相离；当直线与圆_有唯一公共点时，称为直线和圆相切；当直线与圆有两个公共点时，称为直线和圆相交．2．切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．切线的性质定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过切点．(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过圆心．4．切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等．1．证明直线和圆相切有哪些方法？【提示】通常有三种方法：(1)和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线．“过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化，在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及到数值计算或距离问题，通常利用(2)，如果涉及到线段的位置关系，通常选取(3)．2．在学习圆的切线性质定理时需注意什么问题？【提示】(1)分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个：①垂直于切线；②过切点；③过圆心．于是在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径．(2)圆的切线还有两条性质应当注意：①切线和圆只有一个公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径．在许多实际问题中，我们也利用它们来解决．3．连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径吗？【提示】是．如图，AB、CD分别切⊙O于E、F，连接EO并延长交CD于F′.∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD.∴F′为切点，∴F′与F重合，即EF是⊙O的直径．已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，过点A作AD∥OC，交⊙O于点D.求证：DC是⊙O的切线．【思路探究】利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：①过半径的外端；②该直线与某一条半径所在的直线垂直．【自主解答】如图，连接OD，设∠OAD＝∠1，∠ODA＝∠2，∠BOC＝∠3，∠COD＝∠4.∵OA＝OD，∴∠1＝∠2.∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.又∵OB＝OD，∠3＝∠4，OC＝OC.∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC＝∠ODC.∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.∴∠ODC＝90°，即OD⊥CD.∴DC是⊙O的切线．1．在证明OD⊥CD时，借助了三角形全等，则对应角相等．2．判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”．图1－2－20如图1－2－20，已知AC是⊙O的直径，OE⊥AD.OF⊥AB，E、F为垂足，OE＝OF.AC是AD和AB的比例中项．求证：BC是⊙O的切线．【证明】∵OE⊥AD，OF⊥AB，OE＝OF，∴∠1＝∠2.又∵AC2＝AD·AB，∴ACAB＝ADAC，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACB＝∠ADC.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴BC是⊙O的切线．图1－2－21如图1－2－21所示，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝5，求AB的长．【思路探究】(1)要证OC∥AD，只需证明OC⊥CD.(2)利用△ADC∽△ACB可求得．【自主解答】 (1)证明：如图所示，连接BC . ∵CD 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD . 又AD ⊥CD ， ∴OC ∥AD .(2)∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB . ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.又AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB .∴AD AC ＝AC AB，∴AC 2＝AD ·AB . ∵AD ＝2，AC ＝5， ∴AB ＝52.1．本例中第(2)小题是通过三角形相似来寻找AD 、AC 与AB 之间关系的．2．利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．如图1－2－22，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1＞r 2)，圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)，求证：AB ∶AC 为定值．图1－2－22【证明】 如图，连接AO 1并延长，分别交两圆于点E 和点D .连接BD ，CE ，因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2.所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值.图1－2－23如图1－2－23所示，正方形ABCD 的边长为4 cm ，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD 内作半圆，再过A 点作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点．求△ADE 的面积．【思路探究】 利用切线长定理建立长度关系求解． 【自主解答】 设DE ＝x ，则CE ＝4－x . ∵CD ，AE ，AB 都与⊙O 相切， ∴EF ＝CE ＝4－x .AF ＝AB ＝4. ∴AE ＝AF ＋EF ＝8－x .在Rt △ADE 中，AE 2＝AD 2＋DE 2， 即(8－x )2＝42＋x 2，解得x ＝3. ∴S △ADE ＝12AD ·DE＝12×4×3＝6(cm 2)．1．解答本题时应注意AF ＝AB ，EF ＝EC ，且AE 2＝AD 2＋DE 2. 2．当过圆外一点作圆的切线时，常常用到切线长定理．图1－2－24如图1－2－24所示，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于E，交PA，PB于C，D，OP＝10，⊙O的半径为6，求△PCD的周长．【解】连接OA，则OA⊥PA且OA＝6，∴PA2＝OP2－OA2＝102－62＝64，∴PA＝8，由切线长定理知PA＝PB，CE＝CA，DE＝DB，∴CD＝CE＋DE＝CA＋DB，∴PC＋PD＋CD＝PA＋PB＝2PA＝16，即△PCD的周长为16.图1－2－25如图1－2－25所示，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E.过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)过点F作FH⊥BC，垂足为点H.若等边△ABC的边长为4，求FH的长(结果保留根号)．【思路探究】(1)由已知∠DOB＝60°，可得∠ODF＝∠AFD＝90°，可得DF是⊙O的切线．(2)先求FC，利用sin∠FCH可求FH.【自主解答】(1)DF与⊙O相切．连接OD.∵OB＝OD，∠ABC＝60°，∴△BOD是等边三角形．∴∠DOB＝60°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.∴∠ACB＝∠DOB，则OD∥AC，∴∠ODF＝∠AFD＝90°，∴DF是⊙O的切线．(2)∵OD∥AC且O为BC的中点，∴D为AB的中点，∴AD＝BD＝2.又∠ADF＝30°，∴AF ＝1， ∴FC ＝AC －AF ＝3. ∵FH ⊥BC ， ∴∠FHC ＝90°.在Rt △FHC 中，sin ∠FCH ＝FHFC， ∴FH ＝FC ·sin 60°＝332.即FH 的长为332.1．在解答本例中第(2)小题时，利用了直角三角形中的锐角的正弦值求解．2．对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．图1－2－26已知：如图1－2－26，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC ＝BC ，AC ＝12OB .(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)若∠ACD ＝45°，OC ＝2，求弦CD 的长． 【解】 (1)如图，连接OA ，∵OC ＝BC ，AC ＝12OB ，∴OC ＝BC ＝CA ＝OA ， ∴△ACO 为正三角形， ∴∠O ＝60°，∴∠B ＝30°，∴∠OAB ＝90°， ∴AB 为⊙O 的切线． (2)作AE ⊥CD 于点E ， ∵∠O ＝60°，∴∠D ＝30°. 又∵∠ACD ＝45°，AC ＝OC ＝2， ∴在Rt △ACE 中，CE ＝AE ＝2， 在Rt △ADE 中，∠D ＝30°， ∴AD ＝22，∴DE ＝6， ∴CD ＝DE ＋CE ＝6＋ 2.(教材第14页练习第3题)已知，如图1－2－27，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，BC 切⊙O 于点B ，OC ∥AD ，求证：CD 是⊙O 的切线．图1－2－27如图1－2－28，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是⊙O的切线．图1－2－28【命题意图】本题主要考查切线的判定定理等有关知识．【证明】如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3，∴OE∥AD.∵AD⊥CD，∴OE⊥CD.∴CD与⊙O相切于点E.图1－2－291．如图1－2－29，AP 为圆O 的切线，P 为切点，OA 交圆O 于点B ，若∠A ＝40°，则∠APB 等于( )A ．25°B ．20°C ．40°D ．35°【解析】 如图，连接OP ， ∵AP 为圆O 的切线， ∴∠OPA ＝90°.∵∠A ＝40°，∴∠AOP ＝90°－40°＝50°. ∵OP ＝OB ，∴∠OPB ＝12×(180°－50°)＝65°.∴∠APB ＝∠OPA －∠OPB ＝90°－65°＝25°. 【答案】 A图1－2－302．如图1－2－30，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D ，AB ＝6，BC ＝8，则BD 等于( )A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6【解析】 ∵BC 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴AB ⊥BC ，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10， ∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AC ， ∴12AB ·BC ＝12AC ·BD ， ∴BD ＝AB ·BC AC ＝6×810＝4.8. 【答案】 B3．如图1－2－31，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，BC 为半圆的切线，且BC ＝43，则点O 到AC 的距离OD ＝________.图1－2－31【解析】 ∵BC 为半圆的切线， ∴AB ⊥BC .∵∠BAC ＝30°，BC ＝43， ∴AC ＝83，AB ＝12， ∴OD BC ＝OA AC， ∴OD ＝6×4383＝3.【答案】 3图1－2－324．如图1－2－32，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若AB 与圆相切，则r ＝________.【解析】 过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ， 在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝5，∴CD ·AB ＝AC ·BC ， ∴CD ＝AC ·BCAB＝2.4 cm ， ∵AB 与圆相切， ∴r ＝CD ＝2.4 cm.【答案】 2.4 cm一、选择题1．AB 是⊙O 的切线，能确定CD ⊥AB 的条件是( ) A ．O ∈CD B ．CD 过切点 C ．O ∈CD ，且CD 过切点 D ．CD 是⊙O 的直径 【解析】 由切线的性质定理知，选项C 正确． 【答案】 C图1－2－332．如图1－2－33所示，在△ABC 中，BC ＝14 cm ，AC ＝9 cm ，AB ＝13 cm ，内切圆分别和BC ，AC ，AB 切于D ，E ，F ，那么AF ，BD ，CE 分别为( )A ．AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cmB ．AF ＝4 cm ，BD ＝5 cm ，CE ＝9 cmC ．AF ＝5 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝9 cm D ．AF ＝9 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝5 cm【解析】 由题意知AE ＝AF ，CE ＝CD ，BD ＝BF ，且AC ＝9 cm ，BC ＝14 cm ，AB ＝13 cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧AF ＋BD ＝13BD ＋CE ＝14CE ＋AF ＝9，解得AF ＝4，BD ＝9，CE ＝5.【答案】 A图1－2－343．(2013·商丘模拟)如图1－2－34所示，⊙O 是正△ABC 的内切圆，切点分别为E 、F 、G ，点P 是弧EG 上的任意一点，则∠EPF 等于( )A ．120° B．90° C ．60° D．30°【解析】 如图所示，连接OE 、OF . ∵OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠BEO ＝∠BFO ＝90°. ∴∠EOF ＋∠ABC ＝180°. ∴∠EOF ＝120°. ∴∠EPF ＝12∠EOF ＝60°.【答案】 C4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55 D.24【解析】 连接BD ，作OE ⊥AC 于E . ∵BC 切⊙O 于B ， ∴AB ⊥BC ，∵AB 为直径，∴BD ⊥AC ， ∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∠A ＝45°， 设⊙O 的半径为R ，∴OC ＝BC 2＋OB 2＝4R 2＋R 2＝5R .OE ＝22R ，∴sin ∠ACO ＝OEOC＝22R 5R＝1010. 【答案】 A 二、填空题图1－2－355．如图1－2－35，在半径分别为5 cm 和3 cm 的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，则弦AB 的长为________cm.【解析】连接OA 、OC ， ∵AB 是小圆的切线，∴OC ⊥AB ， ∴AC ＝12AB .∵在Rt △AOC 中，AC ＝52－32＝4(cm)，∴AB ＝8 cm. 【答案】 8图1－2－366．如图1－2－36所示，AC 切⊙O 于D ，AO 的延长线交⊙O 于B ，且AB ⊥BC ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB ＝________.【解析】 如图所示，连接OD ，则OD ⊥AC .∵AC 是⊙O 的切线，∴OB ＝OD ，OC ＝OC ，∠ODC ＝∠OBC ＝90°.∴△CDO ≌△CBO .∴BC ＝DC .∵AD AC ＝12，∴AD ＝DC . ∴BC ＝12AC .又OB ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°. ∴OB ＝OD ＝12AO .∴AO OB ＝21. 【答案】 2∶1 三、解答题图1－2－377．如图1－2－37，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF ＝∠E .求证：CF 是⊙O 的切线．【证明】 连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径． ∴∠ACB ＝90°， ∵∠BAC ＝30°， ∴∠ABC ＝60°，又∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝60°. 在Rt △EMB 中， ∵∠E ＋∠MBE ＝90°，∴∠E ＝30°.∵∠E ＝∠ECF ，∴∠ECF ＝30°， ∴∠ECF ＋∠OCB ＝90°，又∵∠ECF ＋∠OCB ＋∠OCF ＝180°， ∴∠OCF ＝90°，∴CF 为⊙O 的切线．8．如图1－2－38，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于E ，∠POC ＝∠PCE .图1－2－38(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若OE ∶EA ＝1∶2，PA ＝6，求⊙O 半径． 【解】 (1)证明：在△OCP 与△CEP 中， ∵∠POC ＝∠PCE ，∠OPC ＝∠CPE ， ∴∠OCP ＝∠CEP .∵CD ⊥AB ，∴∠CEP ＝90°，∴∠OCP ＝90°. 又C 点在圆上， ∴PC 是⊙O 的切线． (2)法一 设OE ＝x ， 则EA ＝2x ，OC ＝OA ＝3x .∵∠COE ＝∠AOC ，∠OEC ＝∠OCP ＝90°， ∴△OCE ∽△OPC ，∴OC OE ＝OPOC. 即(3x )2＝x (3x ＋6)，∴x ＝1， ∴OA ＝3x ＝3，即圆的半径为3. 法二 由(1)知PC 是⊙O 的切线， ∴∠OCP ＝90°.又∵CD ⊥OP ，由射影定理知OC 2＝OE ·OP ，以下同法一． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm. (1)求△ABC 内切圆的半径；(2)若移动圆心O 的位置，使⊙O 保持与△ABC 的边AC 和边BC 都相切，求r 的取值范围．【解】 (1)如图所示，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F .连接OD ，OE ，OF ，OB ，则OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∴AB ＝5 cm.∵OE ＝OD ，∠C ＝90°，∴四边形CEOD 是正方形．∴CD ＝DO .∵OB ＝OB ，OD ＝OF ，∠ODB ＝∠OFB ＝90°，∴△ODB ≌△OFB .∴BD ＝BF .同理可得，AE ＝AF .∴AC ＋BC －AB ＝AE ＋EC ＋BD ＋DC －AF －BF ＝EC ＋DC ＝2OD .∴内切圆的半径r ＝OD ＝AC ＋BC －AB 2＝3＋4－52＝1 cm.(2)如图所示，动⊙O 与AC ，BC 相切的最大的圆与AC ，BC 的切点分别是A ，D ，连接OA ，OD ，则四边形AODC 是正方形，此时应有OA ＝AC ＝3 cm ，∴动圆的半径r 的范围为(0,3]．10.如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，且∠AOD＝∠APC.求证：AP是⊙O的切线．【证明】连接OP.∵PD⊥BE，∴∠OCD＝90°.∴∠ODC＋∠COD＝90°.∵OD＝OP，∴∠ODC＝∠OPC.∵∠AOD＝∠APC，∴∠OPC＋∠APC＝90°.∴∠APO＝90°，即AP⊥PO.∴AP是⊙O的切线．。

三角形重要要素中线连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线（median）。

高从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude）。

角平分线三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（bisector of angle）。

中位线三角形的三边中任意两边中点的连线。

它平行于第三边且等于第三边的一半。

[1] [4] 边角关系三角函数给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来解三角形。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

请参考相关词条。

性质角 1．在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）；2．在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)；3．在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4．一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5．在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

边 6．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

7．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

8．直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

9．三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

10．三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

11．等底同高的三角形面积相等。

12．底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

13．三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

14．等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。

其他15．在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。

1.2.5 相交弦定理图1－2－81相交弦定理(1)文字叙述圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)图形表示如图1－2－81，弦AB与CD相交于圆内一点P，则有：PA·PB＝PC·PD.1．相交弦定理、切割线定理、切线长定理之间有什么联系？【提示】相交弦定理中两弦的交点在圆内，若两弦的交点从圆内移到圆外便得到切割线定理的推论．若将一条割线变为圆的切线便可得到切割线定理，最后两条割线都变成切线便得到切线长定理，这些变化充分体现了运动变化的思想．2．应用相交弦定理应注意什么？【提示】相交弦定理中要求是两条相交弦，对于多条弦相交且不交于同一点时，要两条两条的利用定理方可．如图1－2－82，AC 为⊙O 的直径，弦BD ⊥AC 于点P ，PC ＝2，PA ＝8，则tan ∠ACD 的值为________．图1－2－82【思路探究】 由垂径定理知，点P 是BD 的中点，先用相交弦定理求PD ，再用射影定理或勾股定理求AD 、CD ，最后求tan ∠ACD .【自主解答】 ∵BD ⊥AC ，∴BP ＝PD ， ∴PD 2＝PA ·PC ＝2×8＝16， ∴PD ＝4.连接AD ，则∠ADC ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝AD CD.又AD ＝PA 2＋PD 2＝82＋42＝45，CD ＝PC 2＋PD 2＝22＋42＝25，∴tan ∠ACD ＝4525＝2.【答案】 21．解答本题的关键是先用相交弦定理求PD ，再用勾股定理或射影定理求AD 、CD . 2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．图1－2－83如图1－2－83，已知AB 是⊙O 的直径，OM ＝ON ，P 是⊙O 上的点，PM 、PN 的延长线分别交⊙O 于Q 、R .求证：PM ·MQ ＝PN ·NR . 【证明】 ∵OM ＝ON ，OA ＝OB ， ∴AM ＝BN ，BM ＝AN ， ∴AM ·BM ＝AN ·BN ， 又∵PM ·MQ ＝AM ·BM ，PN ·NR ＝AN ·BN ，∴PM ·MQ ＝PN ·NR .如图1－2－84，△ABC 内接于⊙O ，P 是△ABC 的高CE 的延长线上一点，PC 交⊙O 于D ，若PA 2＝PD ·PC ，AE ＝2，CE ＝32，cos ∠ACB ＝13，求BE 的长．图1－2－84【思路探究】 由PA 2＝PD ·PC 知PA 是⊙O 的切线，∠ACB 等于∠PAE ，则PA 可求，在Rt △APE 中PE 可求，由切割线定理求出PD ，进而求出DE ，再由相交弦定理求BE .【自主解答】 由PA 2＝PD ·PC ，知PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAE ＝∠ACB . ∵PC ⊥AB ， ∴∠AEP ＝90°. 又∵cos ∠ACB ＝13，∴在Rt △PAE 中，cos ∠PAE ＝AE PA ＝13.∵AE ＝2，∴PA ＝6. 在Rt △PAE 中，PE ＝PA 2－AE 2＝62－22＝42， ∴PC ＝PE ＋CE ＝42＋32＝72， ∵PA 2＝PD ·PC ，∴PD ＝PA 2PC ＝6272＝1872，∴DE ＝PE －PD＝42－1827＝1072. ∵AE ·BE ＝DE ·CE ， ∴BE ＝DE ·CE AE＝1072×322＝307.1．解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确已知转化的方向，从而求得结论．2．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到切线和割线时要想到切割线定理及推论．如图1－2－85所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .图1－2－85(1)求证：PA ·PE ＝PC ·PD ；(2)当AD 与⊙O 2相切且PA ＝6，PC ＝2，PD＝12时，求AD 的长．【解】 (1)证明：连接AB ，CE ， ∵CA 切⊙O 1于点A ， ∴∠1＝∠D .又∵∠1＝∠E，∴∠D＝∠E.又∵∠2＝∠3，∴△APD∽△CPE.∴PAPC＝PDPE，即PA·PE＝PC·PD.(2)∵PA＝6，PC＝2，PD＝12.∴6×PE＝2×12，∴PE＝4.由相交弦定理，得PE·PB＝PA·PC.∴4PB＝6×2，∴PB＝3.∴BD＝PD－PB＝12－3＝9，DE＝PD＋PE＝16.∵DA切⊙O2于点A，∴DA2＝DB·DE，即AD2＝9×16，∴AD＝12.图1－2－86(教材第19页练习第2题)已知：如图1－2－86，AB是⊙O的直径，P和C 为AB两侧圆上的两点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，交AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：DP2＝DE·DF.(2013·湖南高考)图1－2－87如图1－2－87，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．【命题意图】 本题主要考查圆的相交弦定理及圆的弦的性质和利用勾股定理解直角三角形的方法．【解析】 由相交弦定理得PA ·PB ＝PC ·PD . 又PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4， ∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点， ∴OE ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝7－254＝32.【答案】321．圆内两弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝3，PB ＝4，PC ∶PD ＝1∶3，则CD 等于( ) A ．12 B ．8 C ．4D ．2【解析】 设PC ＝x ，PD ＝3x ，则有：3×4＝x ×3x ， 解得x ＝2(负值舍去)，∴PC ＝2，PD ＝6，∴CD ＝8. 【答案】 B图1－2－882．如图1－2－88，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD ·CD ； ②BE 2＝EG ·AE ； ③AE ·AD ＝AB ·AC ； ④AG ·EG ＝BG ·CG .其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由△ABE ∽△ADC 得AB AD ＝AEAC，∴AE ·AD ＝AB ·AC ，故③正确；由相交弦定理得AG ·EG ＝BG ·CG ，故④正确． 【答案】 B图1－2－893．如图1－2－89，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA ＝2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD ＝________.【解析】 延长CO 交圆于点E ，依题意得，BC ＝OB 2＋OC 2＝5，BC ·CD ＝CA ·CE ，5×CD ＝1×3，因此CD ＝355. 【答案】3554．⊙O 中的两条弦AB 与CD 相交于E ，若AE ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，CD ＝7 cm ，那么CE ＝________cm.【解析】 ∵AB 与CD 相交于E ， ∴AE ·BE ＝CE ·DE .∵AE ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，CD ＝7 cm ，DE ＝CD －CE ＝7－CE.∴6×2＝CE (7－CE )， 即CE 2－7CE ＋12＝0， ∴CE ＝3(cm)或CE ＝4(cm)． 【答案】 3或4一、选择题图1－2－901．如图1－2－90，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于P 点，若AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则⊙O 半径为( )A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5【解析】 由相交弦定理知AP ·PB ＝CP ·PD ， ∵AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，∴PD ＝AP ·BP CP ＝4×63＝8， ∴CD ＝3＋8＝11，∴⊙O 的半径为5.5. 【答案】 A图1－2－912．如图1－2－91所示，⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点E ，AC 和DB 的延长线交于点P ，下列结论成立的是( )A ．PC ·CA ＝PB ·BD B ．CE ·AE ＝BE ·EDC ．CE ·CD ＝BE ·BA D ．PB ·PD ＝PC ·PA【解析】 由切割线定理的推论知PB ·PD ＝PC ·PA ，故选项D 正确． 【答案】 D图1－2－923．如图1－2－92所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝12，AP ∶PB ＝1∶5，⊙O 的半径为( )A ．2 3B ．4 C.1855D ．2 6 【解析】 由题意知CP ＝PD ＝6， 由相交弦定理知，CP 2＝AP ·PB ＝5AP 2， ∴CP ＝5AP ， ∴AP ＝655，∴AB ＝6AP ＝3655，∴⊙O 的半径R ＝1855.【答案】 C图1－2－934．如图1－2－93所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 中点，直线BE 交⊙O 于点F ，若⊙O 的半径为2，则BF 的长为( )A.32B.22C.655 D.455【解析】 由题意知BD ＝22，则CD ＝BC ＝2DE ＝2CE ＝2. ∴BE ·EF ＝1，又BE ＝BC 2＋CE 2＝22＋12＝5， ∴EF ＝55， ∴BF ＝5＋55＝655. 【答案】 C 二、填空题5．(2013·湖北高考)图1－2－94如图1－2－94，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE EO的值为________．【解析】 设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R3.由相交弦定理，得CD 2＝AD ·DB ，所以CD ＝223R .在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO 2CO ＝R9，于是CE ＝R －R 9＝8R 9，故CEEO＝8.【答案】 8图1－2－956．如图1－2－95所示，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC ＝4，PB ＝8，则CD ＝________.【解析】 连接OC ，由切割线定理知PC 2＝PA ·PB ， 即42＝8PA ，∴PA ＝2，∴AB ＝PB －PA ＝8－2＝6， ∴OA ＝OC ＝3， ∴OP ＝3＋2＝5， 在Rt △OCP 中，CE ⊥OP ， ∴OC 2＝OE ·OP ， 即32＝5OE ， ∴OE ＝95，∴BE ＝3＋95＝245，AE ＝3－95＝65，∴CE 2＝BE ·AE ＝245×65＝14425，∴CE ＝125，∴CD ＝245.【答案】245三、解答题图1－2－967．如图1－2－96所示，A为⊙O上一点，⊙A和⊙O相交于C，D，两圆的连心线交⊙A 于E，F，交⊙O于A，B，交CD于G.求证：AG·BG＝EG·FG.【证明】由相交弦定理得AG·BG＝CG·GD，CG·GD＝EG·FG，∴AG·BG＝EG·FG.图1－2－978．如图1－2－97，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AD交小圆于B、C，大圆的弦AF 切小圆于E，经过B、E的直线交大圆于M、N.(1)求证：AE2＝BN·EN；(2)如果AD经过圆心O，且AE＝EC，求∠AFC的度数．【解】(1)证明∵AEF，ABC分别是小圆的切线和割线．∴AE2＝AB·AC，如图，连接OA、OD，作OH⊥AD于H，则AH＝DH，BH＝CH.∴AB＝CD.又BC＝BC，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝BD.同理可证：BM＝EN，由相交弦定理，得AB·BD＝BM·BN.∴AB·AC＝EN·BN，可得AE2＝BN·EN.(2)如图，连接OE，有OE⊥AF于E，AE＝EF＝EC，则∠ACF＝90°.因AD过圆心O，故FC是圆的切线，∴FC＝EF＝EC，∴∠AFC ＝60°.图1－2－989．如图1－2－98，BC 是半圆的直径，D 、E 是半圆上的两点，且CE ＝ED .过C 作半圆的切线，与BE 的延长线相交于F ，BE 与CD 相交于G ，CE 、BD 的延长线相交于A ，连接DE .(1)求证：AB ＝BC ；(2)如果DG ∶GE ＝3∶5，BG ＝3k ，试用含k 的代数式表示AC . 【解】 (1)证明：DE ＝EC ，∠ABE ＝∠CBE . ∴BC 是半圆的直径， ∴∠AEB ＝∠CEB ＝90°. 又∵BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE . ∴AB ＝BC .(2)∵BC 是半圆的直径， ∴∠GEC ＝∠FEC ＝90°. ∵CF 是切线，∴∠GCE ＝∠CBE ＝∠FCE . 又∵CE ＝CE ， ∴△CEG ≌△CEF . ∴CG ＝CF ，EF ＝EG .由相交弦定理可得：DG ·GC ＝BG ·GE ， ∴BG CG ＝DGGE＝35. 由BG ＝3k ，得CG ＝5k ，∴CF ＝5k . ∵CF 是半圆的切线，由切割线定理得， ∴CF 2＝EF ·FB .设EF ＝EG ＝x ，则(5k )2＝x (x ＋x ＋3k )． 解得x 1＝k ，x 2＝－52k (舍去)．∴EF ＝k .∴AC ＝2EC ＝2FC 2－EF 2 ＝25k2－k 2＝4k .10．如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B ，C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，若PA ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________.【解析】 根据已知可得，在Rt △PAO 中，AO ＝AP tan 30°＝2.故OD ＝1，且∠AOD ＝120°.在△AOD 中，根据余弦定理可得AD ＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7.又根据相交弦定理得CD ×DB ＝AD ×DE ，即1×3＝7×DE ，所以DE ＝377，所以AE ＝1077. 【答案】1077。

《空间几何体的结构（一）》教学设计1、章节内容：本章学习空间几何体。

课时安排为8课时，本章重点是认识空间几何体的结构特征，画出空间几何体的三视图、直观图，培养空间想象能力、几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力。

由空间图形说出其结构特征，由结构特征想象出空间几何体，进行空间图形与其三视图的相互转化。

1.1节安排两课时，学生通过观察图片认识空间几何体；1.2安排两课时，学生可以在平面上画出空间几何体的三视图、直观图；1.3安排两个课时，学生可以了解空间几何体的表面积和体积的计算方法，并能计算简单组合体的表面积与体积，后面一节“实习作业”，一节习题课，本章教学层层递进，学生可以深刻体会空间几何体图形来自于生活实际，又为研究实际物体图形服务。

《空间几何体的结构（一）》是人教版A版新课程高一数学必修2第一章第一节第一课时，这一章是是立体几何学习初步，教师在教学时要层层递进，逐步培养学生的空间立体感。

2、教学理念和教学思路：我觉得新课程标准重在培养学生的动手动脑能力，重在知识的形成过程，而且《空间几何体的结构》是新课程立体几何部分的起始课程，重在逐步培养学生的空间立体感，所以本节教学应加强几何直观的教学，通过实物结合，得出空间几何体的概念。

同时，通过学生激趣学习、类比学习，增强学生参与数学学习的意愿。

其次，在学生学习过程中能够经历观察、归纳、分类、抽象、概括这一过程，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生合作学习的意识．3、教材及学生学情分析：空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程，新课标改变以往立体几何先研究点、直线、平面，再研究由它们构成的几何体，而改为从对空间几何体的整体观察入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面．这样设计巧妙解决了立体几何入门难的问题，强调几何直观，淡化几何论证，可以激发学生学习立体几何的兴趣．笨节为空间几何体第一课时，本节内容学生在初中数学课程“空间与图形”已有所涉及，但高中阶段要求不同，素材更为丰富，学习的深度和概括程度加大．教学时要领会新课标的意图，加强几何直观的训练，在引导学生直观感受空间几何体结构特征的同时，学会类比，学会推理，学会说理．本节在教学中学生容易出现以下问题：一是在归纳总结几何体的结构特征时，不能从现实生活空间中抽象出空间图形。

1．1．1 构成空间几何体的基本元素1．了解几何体的基本元素．2．理解平面的概念．3．掌握平面的画法及表示方法．1．几何体如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面；相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点．(2)长方体有6个面，12条棱，8个顶点．(3)点、线、面是构成几何体的基本元素．3．空间点、线、面的特征(1)线有直线(段)和曲线(段)之分，面有平面(部分)和曲面(部分)之分．平面是处处平直的面，而曲面就不是处处平直的．(2)在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成无限延展的．平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，如图中的平面α、平面β、平面ABCD或平面AC等．(3)在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．(4)一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．(5)直线平行移动，可以形成平面或曲面．固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成锥面．4．几个定义的比较位置关系定义图形符号表示平行线面如果直线和平面没有公共点，则说直线和平面平行AB∥平面α面面如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行平面α∥平面β垂直线面如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则说直线与平面垂直l⊥平面α面面如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，则说这两个平面互相垂直平面α⊥平面β距离点面点到平面的垂线段的长度，称作点到平面的距离两平面夹在两平行平面间垂线段的长度称作两平面间的距离1．关于平面下列说法正确的是( )A．平行四边形是一个平面B．平面是有大小的C．平面是无限延展的D．长方体的一个面是平面答案：C2．下列说法中错误的是( )A．平面用一个希腊字母就可以表示B．平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示C．三角形ABC所在的平面不可以写成平面ABCD．一条直线和一个平面可能没有公共点答案：C3．直线平行移动一定形成平面吗？解：不一定，还可能形成曲面．平面概念的理解判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)圆和平面多边形都可以表示平面；(4)若S▱ABCD>S▱A′B′C′D′，则平面ABCD大于平面A′B′C′D′；(5)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界．【解】(1)不正确．平行四边形只是平面的一种表示方式，它不能延展，而平面能无限延展，平面没有确定的形状；(2)不正确．任何一个平面图形，如点、线都不是平面；角、圆、多边形等都是平面的一部分，而不是平面；(3)正确．这样的图形可以表示平面，点、线这样的平面图形是平面的基本元素；(4)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小；(5)不正确．平面是无限延展的，无边界．本题主要考查平面的特征等基础知识以及空间想象能力．给出下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A．平面无大小、无厚度、无边际，所以只有④是正确的．应选择A．构成空间几何体的基本元素下列元素属于构成几何体的基本元素的有( )①点；②线；③曲面；④平行四边形(不含内部的点)；⑤长方体；⑥线段．A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】①②③⑥均为构成几何体的基本元素，只有④⑤不属于构成几何体的基本元素，故选B．【答案】 B点、线、面是构成几何体的基本元素，任何一个几何体都是由这些基本元素组成的，而其他图形有时也能构成另外复杂的几何体，但是不能称之为基本元素．以下结论中正确的是( )A．“点动成线”中的线一定是直线B．直线运动的轨迹一定是平面或曲面C．曲面上一定没有直线D．平面上一定有曲线答案：D长方体中基本元素间的位置关系如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：(1)与直线B1C1平行的平面有哪几个？(2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC1平行的平面有哪几个？(4)与平面BC1垂直的平面有哪几个？【解】(1)与直线B1C1平行的平面有：平面AD1，平面AC．(2)与直线B1C1垂直的平面有平面AB1，平面CD1．(3)与平面BC1平行的平面有：平面AD1．(4)与平面BC1垂直的平面有：平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面DC1．若本例中的题干不变，将问题(1)(2)中的“直线B1C1”改为“直线BC1”，再去解答前两个小题．解：(1)与直线BC1平行的平面有：平面AD1．(2)所给6个平面中，与直线BC1垂直的平面不存在．以长方体为载体研究几何体中的点、线、面的关系，有助于形成空间观念，也可以利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．通常所说“点动成线，线动成面，面动成体”中的线可能是曲线或直线，面也可能是平面或曲面，到底是哪一种，取决于其运动的方向与方式．1．下列命题：①正方形是一个平面；②平面是有边界的；③20个平面重合在一起比一个平面厚20倍．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案：A2．飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________．答案：点动成线3．一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分．答案：2 3或4,[学生用书P77(单独成册)])[A 基础达标]1．下列不属于构成几何体的基本元素的是( )A．点B．线段C．曲面D．多边形(不含内部的点)解析：选D．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．已知下列三个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面是矩形的形状；③一个平面的面积可以等于1 m2．其中正确结论的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A．在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个矩形来表示一个平面，但并不是说平面就是矩形，故②错．3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与对角线BD1既不相交又不平行的棱有( )A．3条B．4条C．6条D．8条解析：选C．在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1，B1C1，在平面ABCD上的四条棱中有AD，CD，上、下两底面之间的四条棱中，有AA1，CC1，故与BD1既不相交又不平行的棱共有6条．4．下面给出的四个平面图形能制作成正方体的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D．可制作成上述四个平面图形，然后折叠而得．5．下列命题正确的是( )A．直线的平移只能形成平面B．直线绕定直线旋转肯定形成柱面C．直线绕定点旋转可以形成锥面D．曲线的平移一定形成曲面解析：选C．直线的平移，可以形成平面或曲面，命题A不正确；只有当两直线平行时旋转形成柱面，命题B不正确；曲线平移的方向与曲线本身所在的平面平行时，不能形成曲面，D不正确，只有C正确．故选C．6．在以下几种几何体的图形中，正方体ABCD­A1B1C1D1不可以由四边形________(填序号)平移而得到．①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1．解析：①ABCD，②A1B1C1D1，③A1B1BA，按某一方向平移可以得到正方体ABCD­A1B1C1D1，④A1BCD1平移不能得到正方体ABCD­A1B1C1D1．答案：④7．把如图的平面沿虚线折叠可以折叠成的几何体是________．解析：图中由六个长方形组成，可以动手折叠试验，得到长方体．答案：长方体8．下列关于长方体的说法中，正确的是________．①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCD­A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；④长方体ABCD­A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．解析：如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度是长方体中面ABCD 和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④．答案：①③④9．下列各题说法对吗？(1)点运动的轨迹是线；(2)线运动的轨迹一定是面；(3)面运动的轨迹一定是体．答案：(1)正确；(2)错误；(3)错误10．已知长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为5、4、3，试分别求面ABCD与面A1B1C1D1，面ADD1A1与面BCC1B1，面ABB1A1与面DCC1D1间的距离．解：因为面ABCD∥面A1B1C1D1，AA1与该两平面垂直．且长方体的高为3．所以面ABCD与面A1B1C1D1之间的距离为3．同理：面ADD1A1与面BCC1B1之间的距离为5．面ABB1A1与面DCC1D1之间的距离为4．[B 能力提升]11．下列几何图形中，可能不是平面图形的是( )A．梯形B．菱形C．平行四边形D．四边形解析：选D．四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．12．下列说法：①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动相同的距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．其中正确命题的序号是________．解析：①是错误的，面与矩形是不同的．答案：②③13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断平面AB1D1和平面BC1D的位置关系．解：因为平面AB1D1和平面BC1D不论怎样延展都是没有交点的，所以它们互相平行．14．(选做题)要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你能从中得出什么规律来吗？解：需要剪断7条棱．因为正方体有6个面，12条棱，两个面有一条棱相连，展开后六个面就有5条棱相连，所以剪断7条棱．规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连，但是，有5条棱相连的6个正方形图形不一定是正方体的平面展开图．。