三角形中做辅助线的技巧及典型例题

等腰三角形4种辅助线添加方法+例题三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。

所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。

必然三线合一。

例题1，是三线合一的最基础的题型，D是BC的中点，那么连接AD，通过三线合一的性质，得出AD⊥BC.方法二：做平行线法这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等例题2中，这个题是非常常见的考试经典题型。

第①小题，得出三角形全等，得出PD=QD。

第②小题，过点P做PF∥AC，因为△PBF是等腰三角形，PE⊥BF，三线合一得出BE=EF。

又因为三角形全等，得出FD=CD。

所以，得出ED=BC的一半，即为定值。

方法三：截长补短法，或者叫截长取短法简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。

或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。

此解题方法常用，请大家细心钻研，平时多探索，勤学苦练。

例题3，就是一道延长某一线段，使之等于某已知线段，经典考试题型。

例题4，这就是一道在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等，通过等量转换，得出结论的经典考试题型。

方法四：加倍折半法，倍长中线法例题5，解析说过点B做BF∥AC，最后得出的还是线段相等。

其实，这个题还有一个更好的解题思路，就是倍长中线法先提示一下辅助线的添加方法。

因为CE是△ABC的中线，倍长中线CE。

延长CE至F，使EF=CE，连接BF。

倍长中线，必出三角形全等，最后得出，△DBC≌△FBC，所以DC=CF，所以CD=2CE。

看完这经典例题之后，不要认为自己就完全掌握了，这个时候要干什么？。

全等三角形辅助线做法总结 图中有角平分线;可向两边作垂线.. 也可将图对折看;对称以后关系现..角平分线平行线;等腰三角形来添.. 角平分线加垂线;三线合一试试看..线段垂直平分线;常向两端把线连.. 要证线段倍与半;延长缩短可试验..三角形中两中点;连接则成中位线.. 三角形中有中线;延长中线等中线..一、截长补短法和;差;倍;分截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段;证明剩余的线段与另一段相 等截取----全等----等量代换补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等;再证明延长段与另一短线段相等延长 ----全等----等量代换例如：1;已知;如图;在△ABC 中;∠C ＝2∠B;∠1＝∠2..求证：AB=AC+CD..2;已知：如图;AC ∥BD;AE 和BE 分别平分∠CAB 和∠DBA;CD 过点E ．求证：1AE ⊥BE ； 2AB=AC+BD ．二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等或图形不完整时;添加公共边或一其中 一个图形为基础;添加线段构建图形..公共边;公共角;对顶角;延长;平行例如：已知：如图;AC 、BD 相交于O 点;且AB ＝DC;AC ＝BD;求证：∠A ＝∠D..三、延长已知边构造三角形例如：如图6：已知AC ＝BD;AD ⊥AC 于A ;BC ⊥BD 于B;求证：AD ＝BC四、遇到角平分线;可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线“对折”全等例如：已知;如图;AC 平分∠BAD;CD=CB;AB>AD..求证：∠B+∠ADC=180..五、遇到中线;延长中线;使延长段与原中线等长“旋转”全等 例如：1如图;AD 为 △ABC 的中线;求证：AB ＋AC ＞2AD..三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半2;已知：AB=4;AC=2;D 是BC 中点;AD 是整数;求AD..3;如图;已知：AD 是△ABC 的中线;且CD=AB;AE 是△ABD 的中线;求证：AC=2AE.六、遇到垂直平分线;常作垂直平分线上一点到线段两端的连线可逆 ：遇到两组线段相等;可试着连接垂直平分线上的点 例如：在△ABC 中;∠ACB=90;AC=BC;D 为△ABC 外一点;且AD=BD;DE ⊥AC 交AC 的延长 线于E;求证：DE=AE+BC..七、遇到等腰三角形;可作底边上的高;或延长加倍法“三线合一”“对折”例如： 如图;ΔABC 是等腰直角三角形;∠BAC=90°;BD 平分∠ABC 交AC 于点D;CE 垂 直于BD;交BD 的延长线于点E..求证：BD=2CE..八、遇到中点为端点的线段时;延长加倍次线段例如：如图2：AD 为△ABC 的中线;且∠1＝∠2;∠3＝∠4;求证：BE ＋CF ＞EF九、过图形上某点;作特定的平行线“平移”“翻转折叠” 例如：如图;ΔABC 中;AB=AC;E 是AB 上一点;F 是AC 延长线上一点;连EF 交BC 于D; 若EB=CF..求证：DE=DF.. AD BCD CB A 110 图OC A EB D。

第19章《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法(含答案)《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法（含答案）【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线（线段）造全等 （一）例题讲解 例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC ∆中，5=AB ，3=AC ，求中线AD 的取值范围。

分析：本题的关键是如何把AB ，AC ，AD 三条线段转化到同一个三角形当中。

解:延长AD 到E ，使DA DE =，连接BE 又∵CD BD =，CDA BDE ∠=∠ ∴()SAS CDA BDE ∆≅∆，3==AC BE ∵BE AB AE BE AB +- (三角形三边关系定理)即822 AD ∴41 AD经验总结：见中线，延长加倍。

全等三角形常见辅助线作法【例1】.已知：如图6, 4BCE、△ACO分别是以8E、为斜边的直角三角形，且= ACDE是等边三角形.求证：△ A3c是等边三角形.【例2】、如图，已知BC>AB, AD=DCo BD 平分NABC。

求证：ZA+ZC=180°.线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

1、倍长中线法【例.3］如图，己知在△ABC中，ZC = 90°, ZB = 30°, A。

平分NB4C,交BC于点D.求证：BD = 2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AEZC=90°A AC ± CDVCD=CEAD=AEVZB=30° ZC=90°ZBAC=60°YAD 平分NBACJ ZBAD=30°A DB=DA ZADE=60°VDB=DA：.BD=DE/. BD=2DC4B D笫3题•/ ZADE=60° AD=AEA △ ADE为等边三角形，AD=DE【例4.】如图，。

是AABC的边上的点，且CD = AB, ZADB = ZBAD, AE是AARD的中线。

求证：AC = 2AEo 证明：延长AE至IJ点F,使得EF=AE联结DF在4ABE和4FDE中BE=DEZAEB=ZFEDAE=FE/.△ABE 也AFDE (SAS) A AB=FD ZABE=ZFDE VAB=DCJ FD = DCZADC=ZABD+ZBAD ZADB = ZBAD，ZADC=ZABD+ZBDA VZABE=ZFDE・・・NADONADB+NFDE即ZADC= ZADF ffiAADF 和AADC 中AD=AD< ZADF= ZADC、DF =DC・•・△ ADF也ADC(SAS) AAF=ACAC=2AE【变式练习】、如图，AABC中，BD二DOAC, E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法, 倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

三角形中常见的辅助线的作法一、斜边中线模型构成：Rt △ABC,∠ACB=090,D 为AB 边的中点 目的：找等量关系，或2倍（1/2）的关系。

结果：AD=CD=BD例 1 已知：△ABC 中，∠A=060，CE ⊥AB,BD ⊥AC 求证：DE=12BC例2、如图，直角三角形ABC 中，∠C=90 ，M 是AB 中点，AM=AN ，MN//AC 求证：MN=AC 例3已知：△ABC 中，CE ⊥AB,BD ⊥AC ，M,N 分别为BC,DE 的中点 求证：MN ⊥ED例4如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 与D,M 为BC 边的中点，AB=10cm,则MD 长为多少？例5如图 ，Rt △ABC 中，∠C=090，CD 平分∠C ，E 为AB 中点，PE ⊥AB,交CD 延长线于P,那么∠PAC+∠PBC 的大小是多少？ADCMABDEC213N CE D B A MN CD BA MNMBCA等腰三角形底边的中线例1、如图所示，在ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC 且AD=BD ，求证：CD ⊥AC例2如图所示，等腰直角三角形ABC ，∠BAC=90︒，点D 是BC 的中点 二、“三线合一”模型“角平分线”+垂线→等腰三角形”构成：OC 为∠A0B 的角平分线，BC ⊥OC 于C 点 目的：构造等腰三角形结果： ⑴[边]：BC=AC,OA=OB →OC 为△OAB 的中线⑵[角]：∠3=∠4，∠ACO=090→ OC 为△ABO 的高线 ⑶[全等]：△ACO ≌△BCO例 1 已知：AD 是△ABC 的∠A 的平分线，CD ⊥AD 于D,BE ⊥AD 于AD 的延长线于E,M 是BC 边上的中点。

求证：ME=MD例２已知：△ABC 为等腰直角三角形，∠A=090,∠１＝∠2,CE ⊥BE求证：BD=2CE例3 已知：△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE,∠AED+∠CAE=1800(∠3+∠4=1800)求证：DE ∥BC例4 已知：在△ABC 的两边AB 、AC 上分别取BD=CE ，F 、G 分别为DE 、BC 的中点，∠A 的平分线AT 交BC 于T 求证：FG ∥AT4321C BAO 654321MGFE D CB A 4321FE D BA54321F EDCBA MK N L FE DA例5、如图，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点 （1）求证：AF ⊥CD（2）在你连接BE 后，还能得出什么新结论？三、三角形中位线模型构成：△ABC 中，D 为AB 边中点目的：找中位线，构造：①2倍关系②相似三角形结果：①DE ∥BC,DE=12BC ②△ADE ∽△ABC例1 已知：在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AC 于E,F 为DE 中点 求证：AF ⊥BE例2 已知 BD 、CE 为△ABC 的角平分线，AF ⊥CE 于F,AG ⊥CE 于F,AG ⊥BD 于G求证：①FG ∥BC ② FG=12(AB+AC-BC)例3 已知 ，如图在ABCD 中，P 为CD 中点，AP 延长线交BC 延长线于E,PQ ∥CE 交DE 于Q求证：PQ=12BC例4 已知：梯形ABCD 中，AB=DC,AC ⊥BD,E 、F 为腰上中点，DL ⊥BC,M 为DL 与EF 的交点 求证：EF=DLA BCD E GFED HCB A4321G F N ME CD B AL MK HFEDCBAQ PED CBAOF DC BA108054321ECBAD例 5 已知：锐角△ABC 中，以AB 、AC 为斜边向外作等腰直角△ADB ，△AEC,M 为 BC 中点，连结DM 、ME四“补长截短”模型（1） 截长法： 构成：线段a,b,c目的：确定一线段，找令一线段的等量关系结果：→ a-b '=c ⇒a=b+c ， b=b ' （2）补短法： 构成：线段a,b,c目的：构造一等长线段，再找等量关系结果：c=c '，b+c '=a ⇒a=b+c例1 已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC求：（1）若∠B=2∠C,则AB+BD=AC (2) 若AB+BD=AC,则∠B=2∠C例2：在ABC 中，∠C=2∠B ，AD ⊥BCY 于D ，求证BD=AC+CD例3如图所示，等腰直角ABC 中，∠BAC=90︒过点A 做直线DE ，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ，求证：DE=BD+CE例4已知：等腰△ABC 中，AB=AC, ∠A=0108,BD 平分∠ABC求证：BC=AB+DC7654321MG F EDCBAc ab c4321E BDCACD B ACBEDA54321GMFE D CB A例6、已知如图所示，在ABC 中，AB=AC ∠A=100︒，BD 平分∠ABC 交AC 于D求证：BC=AD+BD例 7 已知：在正方形ABCD 中，M 是CD 的中点，E 是CD 上一点，且∠BAE=2∠DAM求证：AE=BC+CE例 8已知：在正方形ABCD 中，E 为BC 上任一点，∠EAD 的平分线交DC 于F 求证：BE+DF=AE构造等边三角形、等腰三角形例9、如图，已知∠ABD=∠ACD=60︒∠ADB=90︒-12∠BDC 且∠BAC=20︒求：∠ACB 的度数。

三角形全等证明，10道考试真题，6种常用辅助线添加的方法和技巧以下六种常用的辅助线添加方法和技巧。

相互学习，一起进步。

方法一、双垂直构造三角形全等。

遇见角平分线，角平分线上的点向角两边做垂直，必出三角形全等。

例题1，是最基础，最简单的题型。

有些，需要我们证明角平分线的时候，同样可以向角两边做垂直，那么只要两个垂线段相等，到角两边距离相等的点在角平分线上。

例题2，过点P做MN平行BC，则出现在AB边和CD 边上，双垂直。

根据题意，证明三角形QNP全等于三角形PMB，结论得证。

方法二，倍长中线。

三角形中，遇见中点，很容易想到倍长中线。

例题3，倍长中线后，得出三角形ACE全等于三角形ACM。

例题4，延长AD至E，使DE=AD。

得出三角形ADC全等于三角形EDB。

第2小题，根据三角形的三边关系，等量代换，即可求出AD的取值范围。

方法三、截长补短法。

求证两个线段和等于一个线段的时候，很容易想到截长补短的辅助线添加方法。

截长补短法，包括了截长法和补短法，两种方法。

一般来说，一道题，既可以用截长法，也可以用补短法。

例题6、解析中用了延长AD至M，使MD=FD。

请认真看解答过程。

再请按照图3的辅助线，自行练习推理，举一反三，得出结论。

方法四、平行线发或者平移法。

解题方法1，过点O做OD平行BC。

还有两个方法，请自行推理，如图3和图4.方法五，旋转法。

把一个三角形，经过旋转，旋转后必出三角形全等，得出结论。

例8和例9，其实也就是，最近经典的半角模型。

之前也专门讲过，这个几何模型。

请认真参考，这个两个例题。

从中总结规律和解题方法。

方法六、翻折法，或者叫对称法。

例题10，看起来很难，当你认真看完解题过程，肯定会有所收获。

全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。

本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。

一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。

这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。

相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。

相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。

相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。

相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。

这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。

解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。

由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。

因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。

又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。

五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC∴△DOC≌△FOC，CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求证：CD=AD+BC。

思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。

2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。

全等三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线三角形中有中线，延长中线等中线。

一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线（—）、截取构全等如图1-1，/ AOC h BOC如取OE=OF并连接DE DF,则有△ OED^A OFD从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1. 如图1-2，AB//CD，BE平分/ BCD CE平分/ BCD 点E 在AD上,求证：BC=AB+CD例2. 已知：如图1-3，AB=2AC Z BAD=/ CAD DA=DB 求证DC! AC D C例3. 已知：如图1-4，在△ ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。

试试看可否把短的延长来证明呢？练习1. 已知在△ ABC中, AD平分/ BAC / B=图1-42/C,求证：AB+BD=AC2.已知：在厶ABC中,/ CAB=/ B，AE平分/ CAB交BC于E，AB=2AC 求证：AE=2CE3. 已知：在厶ABC中, AB>AC,A为/ BAC的平分线，M为AD上任一点求证：BM-CM>AB-AC4. 已知：D是厶ABC的/BAC勺外角的平分线AD上的任一点，连接DB DC 求证：BD+CD>AB+AC（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。