2014年湖南省普通高中学业水平模拟测试数学(2)

湖南省长沙市雅礼中学2014届高考模拟卷（二）数学（理）试题1．设集合}21{≤<-=x x P ，}01{>-=x x Q ，则=Q P （B ）A ．}11|{<<-x xB ．}21|{≤<x xC ．}21|{≤<-x xD ．}1|{->x x2、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是 （D ） （A ）sin(2)6π=+y x （B ）sin()23π=+x y（C ）sin(2)3π=-y x （D ）sin(2)6π=-y x3．抛物线24y x =-的准线方程是（D ） A ．116x =B ．1x =C ．1y =D ．116y =4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的（A ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5、已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若()0m a n b m n→→+≠与 →→-b a 2共线，则nm等于( A ) A ．21-； B ．21； C ．2-；D ．2；6. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（D ） A ．1321 B ． 2113 C ． 813 D ． 1387、已知样本容量为30，在样本频率分布直方图（如图）中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别为（ A ） A.0.4,12 B.0.6,16 C.0.4,16 D.0.6,128、曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是（ D ）A ．1B ．12C ．22D ．139. 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ C ）A ．12B ．16C ．24D ．3210、一只蚂蚁从长方体1111ABCD A BC D -的顶点A 出发，沿着长方体的表面到达顶点1C 的最短距离为6，则长方体体积的最大值为（ C ） A ．24 B．C．D．11. 如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则OE =_________. 答案.9512、已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和()254R x tt y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________．【答案】13、已知集合{}349,R A x x x =∈++-≤()146,0,R B x x t t t⎧⎫=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B =________.【答案】{|25}x x -≤≤14、已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为 答案：1215、设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221()min{3log , log }2f x x x =-则满足()1f x <的x 的集合为___________. 答案：(0, 2)(16,)+ U16、设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”．（1）曲线sin y x =的“上夹线”方程为（2）曲线)0(sin :>-=n x n mx y S 的“上夹线”的方程为 答案：（1）1y =；（ 2）y mx n =+\令'()cos F x m n x m =-=，得：22x k ππ=±（k ÎZ ）17、已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且()22223a b c ab +-=。

坚持就是胜利！2014年华容县普通高中学业水平考试模拟考试数 学（时量：120分钟，满分：100分。

）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 设A ＝{x|x 2-x -2=0}，B ＝{x|x -2<0}，则A ∩B 等于( )A. {1}B. {-1}C. {-1,2}D. {1,-2}2. 已知函数f(x)＝⎧⎨⎩x 2x>02 x ≤0，则f(f(-1))等于( )A. 0B. 2C. 4D. 83. 如图的三视图对应的立体图形是(A.三棱锥 B. 三棱柱C. 三角形D. 四棱锥4. 若32sinx －12cosx ＝0，x ∈(0,π)，则x 等于( ) A. π3B. π6C. 56π D. 2π35. 设→a 、→b 是共线的单位向量，则|→a ＋→b |的值是A. 2B. 4C. 0D. 0或26. 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量150的样本，则样本中松树树苗的数量为( ) A. 15B. 20C. 25D. 307. 已知函数f(x)＝x 2-2x -3，x ∈[-4,4]，那么任取一点x 0，使f(x 0)<0的概率是( ) A. 18B. 14C. 12D. 348. 已知⎩⎪⎨⎪⎧3x+4y ≤12x ≥0y ≥0，则z ＝x -y 的最大值为( )A. –3B. 0C. 3D. 49. 直线ax+y+1＝0与圆(x -1)2＋y 2＝1相切，则a 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. –110. 已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 点的距离都是a km ，灯塔A 在观察站C的北偏东20︒，灯塔B 在观察站C 的南偏东40︒，则灯塔A 与B 的距离为( )正视图侧视图俯视图坚持就是胜利！A. a kmB. 3akmC. 2akmD. 2akm二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 计算log 33－log 22＝___________. 12. 在等比数列{a n }中，若a 3a 4＝4，则a 1a 2a 5a 6=___________.13. 直线l 1：x+my －3＝0与l 2：x -y -2＝0垂直，则m ＝___________.14. 某程序框图如图所示，若输入的x 值为-3，则输出的y 值为___________.15. 已知点M(a,b)在直线x+y=1上，则a 2＋b 2的最小值为___________.三、解答题（本大题共5小题, 共40分, 解答应写出文字说明, 说明过程或演算步骤。

【名校、考点一览表】名校说明考点试题难度题号1 【云南省玉溪一中2014届高三第一次月考】复数低2 【江西省上高二中2014届高三第一次月考】集合低【陕西省武功县绿野中学2014届高三9月摸底考三角函数中3试】4 【广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试】三视图中5 【山东师大附中2014届高三第一次模拟考试】线性规划中6 【广东省韶关市2014届高三摸底考试】平面向量中7 【湖南省常德市2013届高三模拟考试】圆锥曲线中第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【云南省玉溪一中2014届高三第一次月考】若复数i12ia+-是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值为（）A.2B.15C.12-D.2 5 -2.【江西省上高二中2014届高三第一次月考】设全集U R =，集合{}20M x x x =-≤，{N x y ==，则下图中阴影部分所表示的范围是（ ）A.[0,)+∞B. 1[0,)[1,)2⋃+∞ C. ()10,1,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦D. 1(,1]23.【陕西省武功县绿野中学2014届高三9月摸底考试】己知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是 （ ）A.25B.25- C.2- D.24.【广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试】一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm ）则该组合体的体积为（ ）A. 720003cm B. 640003cm C. 560003cm D. 440003cm5.【山东师大附中2014届高三第一次模拟考试】在不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域中，俯视图侧视图主视图第4题图若2z x y =+的最大值为3，则a 的值为（ ）A.1B.2C.3D.46.【广东省韶关市2014届高三摸底考试】若||2||||a b a b a=-=+，则向量a b + 与a 的夹角为（ ）A ．6πB.3πC.32πD.65π 7.【湖南省常德市2013届高三模拟考试】已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(,0)x y a b a b -=>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ^轴，则双曲线的离心率为 （ ）A ．4+B ．3+C ．1D 18.【2013年高考辽宁卷理】已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -= （ ）A.2216a a -- B.2216a a +- C.16- D.16第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，其中第12小题第一空3分，第二空2分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）9.（极坐标与参数方程选做题）【广东省韶关市2014届高三摸底考试】已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 . 10.（不等式选讲选做题）【陕西省五校2013届高三第二次模拟考试】若实数c b a ,,满足4222=++c b a ,则c b a 543++的最大值为_________.11.（几何证明选讲选做题）【广东省韶关市2014届高三摸底考试】如图，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．二、必做题（12~16题）12.【2013年高考湖北卷理】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示. （1）直方图中x 的值为 ；（2）在这些用户中，用电量落在区间[)100,250内的户数为.13.【2013年高考湖北卷理】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = 。

第1页 共12页 ◎ 第2页 共12页2014-2015学年度高中数学学业水平测试模拟试卷（二）考试范围：必修1-5；考试时间：100分钟第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共17个小题，每小题3分，共51分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂）。

1．已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N =（ ）A.{}1,0,1-B.{}1,0,1,2-C.{}1,0,2-D.{}0,12．某流程如下图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（ ）A ．2)(x x f = B ．xx f 1)(=C ．62ln )(-+=x x x fD ．x x f sin )(=3．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ，C 两点之间的距离是（ ）千米.A.1B.3 4．在ABC ∆中, 2,2,450===b a A , 则B 等于 （ ）A. 030 B. 045 C. 030或0150 D. 045或01355．1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是（ ） A ．12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥,23//l l ⇒13l l ⊥ C ．233////l l l ⇒ 1l ,2l ,3l 共面 D ．1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面6．已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=,则以下结论正确的是（ ）。

A ．ˆˆ,bb a a ''>> B ．ˆˆ,b b a a ''>< C ．ˆˆ,b b a a ''<> D ．ˆˆ,b b a a ''<< 7．实数x ，y 满足2094x y y x y x ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪≥⎩－，，－＋则z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．4 8．cos300︒= （ ）A ．23-B ．21-C ．21D ．239．4.关于斜二侧画法，下列说法正确的是（ ） A ．三角形的直观图可能是一条线段B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形C ．正方形的直观图是正方形D ．菱形的直观图是菱形10．已知函数84)(2--=kx x x h 在[5，20]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）A ．]40,(-∞B ．),160[+∞第3页 共12页 ◎ 第4页 共12页C ．),160[]40,(+∞-∞D ．φ11．设全集是实数集R ，M x x =-≤≤{|}22，N x x =<{|}1，则=N M C R )(（ ） A. {|}x x <-2 B. {|}x x -<<21 C. {|}x x <1 D. {|}x x -≤<21 12．下列各角中与0600角终边相同的角为（ ）A ．3π B ．32π C ．3π- D ．32π-13．设函数f （x ）=4sin （2x+1）﹣x ，则在下列区间中函数f （x ）不存在零点的是（ ）A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]14．设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ]A AB B A BC A BD A B ．＝．．．≠≠⊇⊂⊃15．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U C A B 为( )A. {}1,2,4B. {}2,34，C. {}0,2,4 D. {}0,2,34， 16．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的对称轴方程可能是A.6x π=-B.12x π=-C.6x π=D.12x π=17．函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．(,)-∞+∞第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。

2014年湖南省长沙市雅礼中学高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共30.0分)1.设集合P={x|-1＜x≤2}，Q={x|x-1＞0}，则P∩Q=（）A.{x|-1＜x＜1}B.{x|1＜x≤2}C.{x|-1＜x≤2}D.{x|x＞-1}【答案】B【解析】解：根据集合Q中的不等式x-1＞0，解得x＞1，然后把两个解集画在数轴上如图所示：则P∩Q={x|1＜x≤2}故选B求出集合Q中的不等式的解集，然后利用数轴求出两集合的交集即可．本题是以数轴为工具，考查了两集合交集的求法，是一道基础题．2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：A．将代入可得y=≠±1，排除A；B.≠π，排除B．C．将代入，y=≠±1，排除C．故选D．根据三角函数的最小正周期的求法和对称轴上取最值对选项逐一验证即可得到答案．本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的对称性．属基础题．3.抛物线y=-4x2的准线方程是（）A. B.x=1 C.y=1 D.【答案】D【解析】解：整理抛物线方程得x2=-y，∴p=∵抛物线方程开口向下，∴准线方程是y=故选D先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．4.已知复数z=（a2-1）+（a-2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】解：当a=1时，复数z=（a2-1）+（a-2）i=-i，是一个纯虚数．当复数z=（a2-1）+（a-2）i=-i是一个纯虚数时，a2-1=0且a-2≠0，a=±1，故不能推出a=1．故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件，故选A．当a=1时，复数z=（a2-1）+（a-2）i=-i，是一个纯虚数；当z为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1．本题考查复数的基本概念，充分条件、必要条件的定义，是一道基础题．5.已知向量=（2，3），=（-1，2），若m+n与-2共线，则等于（）A.-B.C.-2D.2【答案】A【解析】解：∵m+n=（2m-n，3m+2n），-2=（4，-1），m+n与-2共线，∴（2m-n）（-1）-4（3m+2n）=0，∴-14m=7n，则=-，故选A．求出m+n与-2的坐标，根据m+n与-2共线可得（2m-n）（-1）-4（3m+2n）=0，化简求得的值．本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到（2m-n）（-1）-4（3m+2n）=0，是解题的关键．6.阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/112第一圈是123第二圈是235第三圈是358第四圈是5813第五圈是81321第六圈否此时=故答案为：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2：4：3：1，则第2组的频率和频数分别为（）A.0.4，12B.0.6，16C.0.4，16D.0.6，12【答案】A【解析】解：∵小长方形的高的比等于面积之比∴从左到右各组的频率之比为2：4：3：1，∵各组频率之和为1∴第二组的频率为1×=∵样本容量为30∴第二组的频数为30×=12故选A因为直方图中各个小长方形的面积即为各组的频率，且频率之和为1，故由已知比例关系即可求得第二组的频率，乘以样本容量即为频数本题考查了用样本估计总体的分布的方法，频率分布直方图的意义和运用，频率、频数的概念和计算8.如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（-x2）dx=故选：C联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．9.某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A.12B.16C.24D.32【答案】C【解析】解：将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置就是将空位分为四部分，五个空位四分只有1，1，1，2空位五差别，只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法，另外三个人排列A33=6根据分步计数可得共有4×6=24故选C．由题意知将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置，就是将空位分为四部分，五个空位四分只有1，1，1，2，空位无差别，只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法，最后进行三个人排列．此题类似于“5位女生与3位男生站成一排，要求女生左右两边都有男生”这道题，故用插空法．但又不完全相同，因为5个空位没有什么不同，无须把5个空位全排列．10.一只蚂蚁从长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发，沿着长方体的表面到达顶点C1的最短距离为6，则长方体体积的最大值为（）A.24B.6C.12D.9【答案】C【解析】解：由题意，设a＞b，c时最短距离为=6，∴36-a2≥4bc，∴V=abc≤，设f（a）=（a＞0），则f′（a）=9-a2，∴f（a）在x=2处取最大值，∴体积的最大值为12．故选：C．利用沿着长方体的表面到达顶点C1的最短距离为6，建立函数关系，即可长方体体积的最大值．本题考查了点、线、面之间的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了数学转化思想方法，解答的关键是得出V=abc≤，是中档题．二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)11.如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE= ______ ．【答案】【解析】解：∵PC切圆O于点C，圆O的半径为3，PA=2，∴PC2=PA•PB=16，∴PC=4，又OC=3，∴OP=5，∴由等面积可得=，∴OE==．故答案为：．利用切割线定理，求出PC，再利用等面积可得结论．本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，正确运用切割线定理是关键．12.已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为______ ．【答案】（1，）【解析】解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．13.已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，B=，，，则集合A∩B= ______ ．【答案】{x|-2≤x≤5}【解析】解：集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，所以A={x|-4≤x≤5}；集合，，，，，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥-2}，所以A∩B={x|-4≤x≤5}∩{x|x≥-2}={x|-2≤x≤5}，故答案为：{x|-2≤x≤5}．求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．14.已知平面区域，，，，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为______ ．【答案】【解析】解：构成试验的全部区域为Ω为图中的三角形ABC，A（-1，0）B（1，0）C（1，2），面积为基本事件点P落在区域M为图中的△ABM，面积为代入几何概率的计算公式可得P=故答案为：先利用线性规划的知识作出平面区域Ω，M，根据图象分别计算面积，然后代入几何概率的计算公式可求本题考查了与面积有关的几何概率的求解，还考查了不等式表示平面区域及平面区域的面积求解，属于综合试题．15.设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个，若函数f（x）=min{3-log2x，log2x}，则满足f（x）＜1的x的集合为______ ．【答案】（0，2）∪（16，+ ）【解析】解：①当3-log2x＜log2x时即x＞4时f（x）=3-log2x②当3-log2x＞log2x时即x＜4时f（x）=log2x∴f（x）＜1当x＞4时f（x）=3-log2x＜1此时：x＞16当x＜4时f（x）=log2x＜1此时：0＜x＜2，综上不等式的解集为：（0，2）∪（16，+ ）．故答案为：（0，2）∪（16，+ ）．先根据“设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数用分类讨论解不等式．本题是一道新定义题，首先要根据定义求得函数，再应用函数解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键．16.设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．（1）曲线y=sinx的“上夹线”方程为______（2）曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为______ ．【答案】y=1；y=mx+n【解析】解：（1）∵y=sinx≤1，要使直线l与曲线S相切且至少有两个切点且对任意x∈R都有g（x）≥F（x），则需要g（x）=1，故曲线y=sinx的“上夹线”方程为y=1．（2）推测y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n，①先检验直线y=mx+n与y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点．设F（x）=mx-nsinx，则F′（x）=m-ncosx，令F′（x）=m，得x=2kπ±，（k∈Z），当x=2kπ-时，F（2kπ-）=m（2kπ-）+n，故过曲线F（x）上的点（2kπ-，m（2kπ-）+n）的切线方程为y-[m（2kπ-）+n]=m[x-（2kπ-）]，化简得：y=mx+n，即直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切且有无数个切点．不妨设g（x）=mx+n，∵g（x）-F（x）=n（1+sinx）≥0（n＞0），∴g（x）≥F（x）∴直线y=mx+n是曲线y=mx-nsinx的“上夹线”．故答案为：y=1，y=mx+n（1）根据y=sinx≤1即夹线的定义推断曲线y=sinx的“上夹线”方程为y=1并加以检验．（2）先推测出y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n，利用导函数和错差法分别对直线y=mx+n与y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点和g（x）≥F（x）进行检验．本题主要考查了函数与方程的综合运用．考查了学生推理和分析的能力．三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a2+b2-c2）=3ab；（1）求；（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．【答案】解：（1）∵a2+b2-c2=ab，∴cos C==，∵A+B=π-C，∴===；（2）∵a2+b2-c2=ab，且c=2，∴a2+b2-4=ab，又a2+b2≥2ab，∴ab≥2ab-4，∴ab≤8，∵cos C=，∴sin C===，∴S△ABC=absin C≤，当且仅当a=b=2时，△ABC面积取最大值，最大值为．【解析】（1）利用余弦定理表示出cos C，将已知的等式两边除以2变形后代入表示出的cos C 中，化简即可求出cos C的值，然后由三角形的内角和定理得到A+B=π-C，把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简得到关于cos C的式子，把cos C的值代入即可求出值；（2）把c=4代入已知的等式，得到一个关于a与b的关系式，由基本不等式a2+b2≥2ab，求出ab的最大值，然后由cos C的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sin C的值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，基本不等式及三角形的面积公式．要求学生熟练掌握三角函数的恒等变换公式，同时注意灵活变换已知的等式，利用整体代入的数学思想解决问题．18.某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10人．（Ⅰ）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；（Ⅱ）该地区9月份（共30天）该病毒新感染者共有多少人？【答案】解：（Ⅰ）由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项a1=40，公差d=40的等差数列，所以9月10日的新感染者人数为a10=40+（10-1）×40=400（人），所以9月11日的新感染者人数为a11=400-10=390（人）．（Ⅱ）9月份前10天流感病毒的新感染者人数和为：（人），9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差d1=-10的等差数列，所以后20天新感染者人数和为=5900（人），所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2200+5900人．【解析】（Ⅰ）该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项a1=40，公差d=40的等差数列，由此能求出求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数．（Ⅱ）9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差d1=-10的等差数列，由此能求出该地区9月份流感病毒的新感染者人数．本题考查数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的灵活运用．19.如图，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°；（1）在线段PC上找一点M，使BM⊥面PCD．（2）求由面PBC与面PAD所成角的二面角的正切值．【答案】解：（1）M为PC的中点，设PD中点为N，则MN=CD，且MN∥CD，∴MN=AB，MN∥AB∴ABMN为平行四边形，∴BM∥AN，又PA=AD，∠PAD=90°∴AN⊥PD，又CD⊥AN，∴AN⊥面PCD，∴BM⊥面PCD，（2）延长CB交DA于E，∵AB=CD．AB∥CD∴AE=AD=PA，∴PD⊥PE又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角；在△PCD中，PD=AD，CD=2AD；∴tan∠CPD=．【解析】（1）令M为PC的中点，设PD中点为N，通过证明BM∥AN，AN⊥面PCD，即可在线段PC上找一点M，使BM⊥面PCD．（2）延长CB交DA于E，说明∠CPD为二面角C-PE-D的平面角，在△PCD中，求由面PBC与面PAD所成角的二面角的正切值．本题考查空间直线与平面垂直，二面角的求法，考查空间想象能力、逻辑推理能力．20.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分．用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A．由题意，得．即3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，∴，，，．∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望．【解析】（Ⅰ）由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，由公式可得到结果．（2）用ξ表示甲的总得分，因为共投篮三次，所以变量的取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，做出概率，写出分布列和期望．本题考查离散型随机变量的分布列和期望即相互独立事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．21.已知椭圆＞＞的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；∴椭圆方程为（4分）（2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），则，，，直线CM：，即，代入椭圆方程x2+2y2=4，得（6分）∵x1=-，∴，∴，∴，（8分）∴（定值）（10分）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分），，，（12分）则由得，从而得m=0∴存在Q（0，0）满足条件（14分）【解析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为．（2）设M（2，y0），P（x1，y1），则，，，，直线CM：，即，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，，，，再由得，由此可知存在Q（0，0）满足条件．本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．22.已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞-1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．【答案】解：（1）令h（x）=ln（1+x）-，∴h′（x）=，x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+ ）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，即：ln（1+x）＞．从而，x＞0时，f（x）＞得证．（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）-x-kx2，则g′（x）=ln（1+x）-2kxg″（x）=-2k，①x＞0时，有0＜＜1，令2k≥1，则g″（x）＜0，故g′（x）在（0，+ ）上是减函数，即g′（x）＜g′（0）=0，∴g（x）在（0，+ ）上是减函数，从而，g（x）＜g（0）=0，∴k≥时，对于x＞0，有＜0，②-1＜x＜0时，有＞1，令2k≤1，则g″（x）＞0，故g′（x）在（-1，0）上是增函数，即：g′（x）＜g′（0）=0∴g（x）在（-1，0）上是减函数．从而，g（x）＞g（0）=0．∴当k≤时，对于-1＜x＜0，有＜0．综合①②，当k=时，在x＞-1且x≠0时，有f（x）＜．【解析】（1）令h（x）=ln（1+x）-，得到h′（x）=，从而求出h（x）在（0，+ ）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，结论证出；（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）-x-kx2，则g′（x）=ln（1+x）-2kx，从而g″（x）=-2k，对x分情况进行讨论：①x＞0时，②-1＜x＜0时，从而证出结论．本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，本题是一道中档题．。

2014年学业水平考试模拟考试数学试题(含答案)第1卷（选择题共45分）一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．-6的绝对值是D．67如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是3．直线口，6被直线c所截，的度数是A. 1290B. 510C. 490D. 4004．下列运算，正确的是A.3x2-2x2=1B.(2ab)2=2a2b2C.(a+b)2=a2+b2D. -2(a-l)=-2a+25．不等式的解集在数轴上表示正确的是6．己知点P(2，m)在直线y=x-n的函数图象上，则m+n的值为7．已知等腰三角形两边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为A． 13 B． 17 C． 22 D． 17或228．计算的结果为：9．一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数分别是A.2，1 B．2，2 C．3，l D.2，310.在Rt△ABC中，∠C=900, sinA=4/5，则 cosB的值等于11.下表为某公司200名职员年龄的人数分配表，其中36～42岁及50～56岁的人数因污损而无法看出．若36～42岁及50～56岁职员人数所占的百分比分别为a%、b%，则a+b的值A．10 B．45 C．55 D．9912.对于一次函数y=-2x+4，下列结论错误的是A.函数值随自变量的增大而减小B.函数的图象不经过第三象限C.函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象D.函数的图象与x轴的交点坐标是(0．，4)13.如图，AB是点D是AC上一点，于点E，且CD=2，DE=1，则BC的长为14.如图，将一张边长为4的正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，得到4个小正三角形，然后将其中的一个三角形再剪成四个全等的小正三角形，得到7个小正三角形．根据以上操作，若得到2014个小正三角形时，则最小正三角形的面积等于15.如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(3，0)，C(O，-3)，CB平分/ACP，则直线PC 的解析式为第II卷（非选择题共75分）16.分解因式：X2 +X=17.近期我国雾霾天气多发，PM2.5颗粒物被称为大气污染的元凶．PM2.5是指直径小于或等于2.5微米的颗粒物，已知l毫米=1000微米，用科学记数法表示2.5微米是____ 毫米．18.不等式组的解集是____19.如图，在的角平分线DE与BC交于点E．若BE=CE则∠DAE=____度．20.函数的图象的交点坐标为（口，6），则的值为21.如图所示，点P（m，n）为抛物线上的任意一点，以点P为圆心，1为半径作圆，当与x轴相交时，则m的取值范围为三、解答题（本大题共7个小题．共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）22(1)（本小题满分3分）22(2)（本小题满分4分）解方程组：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，且AE=CF求证：BE=DF．23(2)（本小题满分4分）如图，在弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2.24(本小题满分8分）某校为了创建书香校园，购进了一批科普书和文学书．其中科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等，则文学书有多少本？25.（本小题满分8分）小亮和小明对一个问题观点不一致，小亮认为：从2，-2，4，-4这四个数中任取两个不同的数分别作为点P(x，y)的横、纵坐标，则点P(x，y)落在反比例函数图象上的概率一定大于落在正比例函数y= -x图象上的概率，而小明认为两者的概率相同，你赞成谁的观点？说明你的理由，已知：AB为的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D.(1)如图l，若∠CPA恰好等于300，求∠CDP的度数；(2)如图2，若点P位于(1)中不同的位置，(1)的结论是否仍然成立？说明你的理由，27.（本小题满分9分）己知一次函数y= -x +1与抛物线交于A(O，1)，B两点，B点纵坐标为10，抛物线的顶点为C．(1)求b，c的值；(2)判断△ABC的形状并说明理由；(3)点D、E分别为线段AB、BC上任意一点，连接CD，取CD的中点，连接AF，EF.当四边形ADEF为平行四边形时，求平行四边形ADEF的周长，如图，等腰的直角边长为点D为斜边AB的中点，点P为AB上任意点，连接PC，以PC为直角边作等腰(1)求证：(2)请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．(3)当点P在线段AB上运动时，设AP=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．。

2014年湖南省普通高中学业水平考试试卷数　学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A.圆柱 B.圆锥C.圆台 D.球2.已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a ∉{0,1,2}，则a 的值为A.0 B.1C.2 D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为A.B.5152C.D.53544.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是A.2 B.3C.4 D.55.在△ABC 中，若，则△ABC 的形状是0=⋅AC AB A.直角三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形6.sin120︒的值为A.B.－1C.D.－2223227.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BD 与A 1C 1的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直8.不等式(x ＋1)(x －2)≤0的解集为A.{x|－1≤x≤2}B. {x|－1＜x ＜2}C. {x|x ≥2或x ≤－1}D. {x|x ＞2或x ＜－1}9.点P(m,1)不在不等式x ＋y －2＜0表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是A.m ＜1B.m ≤1C.m ≥1D.m ＞110.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11.样本数据－2，0，6，3，6的众数是＿＿＿＿＿＿。

12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，sinA ＝，31则sinB ＝＿＿＿＿＿＿。

13.已知a 是函数f(x)＝2－log 2x 的零点，则实数a 的值为＿＿＿＿＿＿。

2014年湖南省普通高中学业水平考试数学参考答案及评分标准11．6； 12．32； 13．4； 14．2； 15．45（或4π）． 三、解答题（满分40分）16．解（1）函数)(x f 的大致图象如图所示； ………………………………2分 （2）由函数)(x f 的图象得出，)(x f 的最大值为2， …………………4分其单调递减区间为[]42，．…………………6分 17．解 (1)355030=⨯（人），255020=⨯（人）， 所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人； ………………………………………4分 (2) 用A 表示事件“选出的2名同学中恰有1名男同学”，把抽出的3名男同学记为321,,a a a ,把抽出的2名女同学记为21,b b ，则选取两名同学的基本事件有：()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,22123221113121b a b a a a b a b a a a a a ()()()212313,,,,,b b b a b a ，共有1 0种， ………………………………………………………5分 其中恰有一名男同学的基本事件有()()()()()()231322122111,,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a ， 共6种， ……………………………………………………………………………………6分 由古典概型得所求概率为()53106==A P ． ……………………………………………8分18．解（1）由已知得1413128,141,2a a a a a a =+=+=，又()42312a a a +=+ ，所以11182)14(2a a a +=+ ，解得11=a ，………………2分所以1112--=⋅=n n n qa a ； ……………………………………………………………4分 （2）因为nb n n +=-12，所以543215b b b b b S ++++=()()4615312515212115=+=+⋅+--⋅=．……………………………………………8分 19．解（1）因为6πθ=，所以a ⎪⎭⎫⎝⎛=21,1，所以向量2a +b =()()24122112，，，=+⎪⎭⎫⎝⎛； ………………………………………………4分 （2）因为a ∥b ，所以1sin 2=θ，从而21sin =θ， …………………………………5分 又因为⎪⎭⎫⎝⎛∈20πθ，，所以23cos =θ， …………………………………………………6分 所以4624sincos 4cossin )4sin(+=+=+πθπθπθ． ……………………………8分 20．解（1）配方得()4122=++y x ，则圆心C 的坐标为()01，- ，…………………2分 圆的半径长为2 ； …………………………………………4分（2）设直线l 的方程为kx y =，联立方程组⎩⎨⎧==-++,,03222kx y x y x 消去y 得()032122=-++x x k ，……………5分则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+.13,12221221k x x kx x …………………………………………6分所以3211212121=+=+x x x x x x 为定值；…………………………………7分（3）解法一 设直线m 的方程为b x y +=，则圆心C 到直线m 的距离21-=b d ，所以222422d dR DE -=-=， ……………………………………………8分()224421222=+-≤⋅-=⋅=∆d d d d d DE S CDE， 当且仅当24d d -=，即2=d 时，CDE ∆的面积最大，…………………………9分从而221=-b ，解之得3=b 或1-=b ，故所求直线方程为03=+-y x 或01=--y x ． ………………………………10分 解法二 由（1）知2===R CE CD ，所以2sin 2sin 21≤∠=∠⋅⋅=∆DCE DCE CE CD S CDE ， 当且仅当CE CD ⊥时，CDE ∆的面积最大，此时22=DE ， …………………8分设直线m 的方程为b x y +=，则圆心C 到直线m 的距离21-=b d ，………………9分由222422d dR DE -=-=22=，得2=d ，由221=-b ，得3=b 或1-=b ，故所求直线方程为03=+-y x 或01=--y x ． ………………………………10分说明：解答题如有其它解法，酌情给分．。

湖南省怀化市2014届高三第二次模拟考试文科数学试卷（带解析）1．复数11z i=+ 的模为（ ）A.12【答案】B 【解析】试题分析：111z i i=+=-，z ∴==，故选B.考点：1.复数的除法；2.复数的模2．设:f x x →是集合A 到集合B 的映射，若{}1,0,1A =-，则A B 为（ ）A.{}0B.{}1C.{}0,1D.{}1,0,1- 【答案】C 【解析】试题分析：根据映射的定义可得{}0,1B =，因此{}0,1A B =，故选C.考点：1.映射的定义；2.集合的运算 3．下列有关命题的说法中错误的是A.若“p q ∧”为真命题，则p 、q 均为真命题B.若命题:p “x R ∃∈，20x ≥”则命题p ⌝为“x R ∀∈，20x <”C.“2x >”是“0x ≥”的充分不必要条件D.“1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=” 【答案】D【解析】试题分析：对于A 选项，若“p q ∧”为真命题，当且两个命题均为真命题，A 选项正确；对于B 选项，由特称命题的否定可知B 选项正确；对于C 选项，由集合的包含关系可知，20x x >⇒≥，但20x x >⇐>/，故命题C 正确；对于D 选项，1sin 26x x π=⇒=/，且1sin 26x x π=⇐=，因此“6x π=”是“1sin 2x =”的一个充分不必要条件，故D 选项正确.考点：1.复合命题；2.命题的否定；3.充分必要条件4．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a 的值为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是以底面是矩形的四棱锥，且底面积为3S a =,，三棱锥的高为4，因此四棱锥的体积为1143442433V S a a =⋅=⨯⨯==，解得6a =，故选B. 考点：1.三视图；2.空间几何体的体积5．已知a 、b 都是正实数，函数2x y ae b =+的图象过()0,1点，则11a b+的最小值是（ ）A.3+3-4 D.2 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意知21a b +=，()111122333a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=+⋅+=++≥++ ⎪⎝⎭11a b+的最小值是3+ A. 考点：基本不等式6．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移6π个单位后，得到一个关于y 轴对称的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ） A.3π B.6π C.3π- D.6π-【答案】B【解析】试题分析：将函数()sin 2y x ϕ=+的图象向左平移6π个单位后，得到的函数的解析式为()f x =sin 2sin 263x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于函数()f x 的图象关于y 轴对称，则()0sin 3f πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1=±，因此()32k k Z ππϕπ+=+∈，()6k k Z πϕπ∴=+∈，取0k =得到ϕ的一个取值为6π，故选B. 考点：1.三角函数图象变换；2.三角函数图象的对称性7．若1a =，2b =，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A.6π B.3π C.56π D.23π【答案】D【解析】试题分析：()()200a b a a b a a a b +⊥⇔+⋅=⇔+⋅=，即2c o s 0a a b θ+⋅⋅=（其中θ为a 与b 的夹角），即21112cos 0cos 2θθ+⨯⨯=⇒=-，由于0θπ≤≤，解得23πθ=，故选D.考点：平面向量数量积8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212yx =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）3 D.5 【答案】A 【解析】试题分析：抛物线212y x =的焦点坐标为()3,0，因此双曲线的右焦点的坐标也为()3,0，所以2243b +=，解得b =02x =20y ±=，因此双曲线的焦点到其渐近线的距离为d == A.考点：1.双曲线的几何性质；2.点到直线的距离9．一个算法的程序框图如图所示，其输出结果是（ ）A.0B.2C.12+1【答案】B 【解析】试题分析：12014n =≤不成立，执行第一次循环，sin4S π=，112n =+=；22014n =≤不成立，执行第二次循环，2sinsin44S ππ=+，213n =+=；32014n =≤不成立，执行第三次循环，23sin sin sin 444S πππ=++，314n =+=；依此类推，执行最后一次循环， 232014sin sin sin sin 4444S ππππ=++++，201412015n =+=； 20152014n =≤不成立，跳出循环体，输出232014s i n s i n s i n s i n 4444S ππππ=++++，下面来计算232014sin sin sin sin 4444S ππππ=++++，构造数列{}n a ，其中sin 4n n a π=，则数列{}n a 的周期为284T ππ==，而S 为数列{}n a 的前2014项和，易求得12380a a a a ++++=，由于20142518=⨯+，因此()()12251S a a a a a a a a a a a a a a a a =⨯++++++++++=+++++()23456sinsinsin sin sin sin 101444444ππππππ⎛=+++++=+++-= ⎝⎭，故选B.考点：1.算法与程序框图；2.三角函数的周期性10．设定义域为()0,+∞的单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞，都有()2l o g 3f f x x-=⎡⎤⎣⎦，若0x 是方程()()2f x f x '-=的一个解，则0x 可能存在的区间是（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,4 【答案】B 【解析】试题分析：由于函数()f x 在其定义域()0,+∞上单调，则存在唯一实数()0,c ∈+∞使得()3f c =，对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则()()22log log f x x c f x x c -=⇒=+，由于()3f c =，因此2log 3c c +=，因为函数()2log g x x x =+在区间()0,+∞上单调递增，且()23g =，所以2c =，故()2log 2f x x =+，令()()()212l o g l n2h x f x f x x x '=--=-，则()h x 在区间()0,+∞上单调递增，且()10g <，()20g >，故()01,2x ∈，故选B. 考点：1.零点存在定理；2.函数的单调性11．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将曲线1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线2C 的直角坐标方程为 .【答案】22134x y +=. 【解析】试题分析：易得曲线1C 的普通方程为221x y +=，在曲线221x y +=，在曲线221x y +=上任取一点(),x y ''，经过坐标变换后对应的点坐标为(),x y ，则有322xxy y yy⎧'=⎪⎧'=⎪⎪⇒⎨⎨'=⎪⎩⎪'=⎪⎩，由于点(),x y''在曲线221x y+=，则有()()221x y''+=，于是有2212y⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭，化简后得22134x y+=，即曲线2C的方程为22134x y+=.考点：1.参数方程；2.坐标变换12．已知等比数列{}n a的公比2q=，其前4项和460S=，则2a= .【答案】8.【解析】试题分析：()()441141111215604112a q aS a aq--====⇒=--，21428a a q∴==⨯=.考点：等比数列的定义与求和13．一只昆虫在边长分别为5、12、13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为 .【答案】15π.【解析】试题分析：如下图所示，易知三角形为直角三角形，昆虫爬行的区域是在三角形区域内到以各顶点为圆心，半径为2的圆在三角形区域内的部分，实际上就是三个扇形，将这三个扇形拼接起来就是一个半圆，其半径长为2，面积为21222Sππ'=⨯=，三角形的面积为1512302S=⨯⨯=，因此昆虫爬行时到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为23015SPSππ'===.考点：几何概型14．已知实数x、y满足约束条件2025020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2x yzx+=的最小值是 .【答案】73.【解析】试题分析：作出不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示，22x y y z x x +==+，令yk x=，则2z k =+，k 为原点与点(),x y 之间连线的斜率，直线20x y --=与直线25x y +=交于点()3,1A ，显然，直线OA 的倾斜角最小，且为锐角，此时k 取最大值，即max 13k =，因此，min 17233z =+=. 考点：1.线性规划；2.斜率15．已知()21211nn n x a x a x a x +=++++，n N *∈且122n n S a a na =+++，n N *∈，当3n =时，3S = ； 当n N *∈时，1nii S==∑ .【答案】12；()121nn -⋅+.【解析】试题分析：在等式()21211nn n x a x a x a x +=++++两边求导得()111212n n n n x a a x na x --+=+++，令1x =得，11222n n n S a a na n -=+++=⋅，所以233212S =⨯=，011112222nn ii Sn -==⨯+⨯++⋅∑，令01112222n n T n -=⨯+⨯++⋅，则()11212122n n n T n n -=⨯++-⋅+⋅，下式-上式，得()()01101111222222222212n n n n n n n T n n n ---=----+⋅=⋅-+++=⋅--()()221121nnnn n =⋅--=-⋅+，()1121nn i i S n =∴=-⋅+∑.考点：1.导数；2.错位相减法求和16．某广告公司设计一个凸八边形的商标，它的中间是一个正方形，外面是四个腰长为1，顶角为2α的等腰三角形. （1）若角223πα=时，求该八边形的面积； （2）写出α的取值范围，当α取何值时该八边形的面积最大，并求出最大面积.【答案】（1）3（2）0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当38πα=时，八边形的面积取最大值3+ 【解析】试题分析：（1）先利用223πα=结合余弦定理确定正方形的边长，然后将八边形分为一个正方形与四个等腰三角形求面积，最后将面积相加得到八边形的面积；（2）利用()20,απ∈得到角α的取值范围，利用正弦定理求出正方形的边长（利用含α的代数式表示），然后利用面积公式求出八边形的面积关于α的三角函数，结合降幂公式、辅助角公式将三角函数解析式进行化简，最后求出相应函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的最大值.（1）由题可得正方形边长为211211sin 3423S π=+⨯⨯⨯⨯= （2）显然02απ<<，所以02πα<<，()211cos 22sin 4sin 242sin 222S αααα-=+⨯⨯=⨯+224πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，02πα<<，32444πππα-<-<，故sin 214πα⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，max 2S ∴=+38πα=. 考点：1.三角形的面积；2.二倍角；3.辅助角公式；4.三角函数的最值17．2013年11月，青岛发生输油管道爆炸事故造成胶州湾局部污染．国家海洋局用分层抽样的方法从国家环保专家、海洋生物专家、油气专家三类专家库中抽取若干人组成研究小组赴泄油海域工作，有关数据见表1（单位：人）海洋生物专家为了检测该地受污染后对海洋动物身体健康的影响，随机选取了110只海豚进行了检测，并将有关数据整理为不完整的22⨯列联表，如表2. （1）求研究小组的总人数；（2）写出表2中A 、B 、C 、D 、E 的值，并判断有多大的把握认为海豚身体不健康与受到污染有关； （3）若从研究小组的环保专家和海洋生物专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为环保专家的概率.附：①()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.②【答案】（1）12；（2）20A =，50B =，80C =，30D =，110E =，99%；（3）815. 【解析】 试题分析：（1）先根据分层抽样列方程求出x 和y 的值，从而求出所抽取的总人数；（2）根据表中数据求出A 、B 、C 、D 、E 的值，然后根据独立性检验的基本思想求出犯错误的概率，从而得到相关性的把握；（3）利用列举法求出所有的基本事件数以及问题中涉及的事件所包含的基本事件数，最后利用古典概型的概率计算公式求出相应事件的概率.（1）由题意知6244872x y ==，解得2x =，4y =，所以总人数为24612++=； （2）由题意得3050A +=，1060B +=，30B C +=，10A D +=，110E =， 解得20A =，50B =，80C =，30D =，110E =，()22110301050207.846 6.63550608030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，大约有99%的把握认为海豚身体不健康与受到污染有关；（3）设所抽取的两名环保专家记为1a 、2a ，4名海洋专家记为1b 、2b 、3b 、4b ， 则所有的基本事件有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()13,a b 、()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()34,b b ，记事件A ：从研究小组的环保专家和海洋生物专家中随机选2人撰写研究报告求其中恰好有1人为环保专家，则事件A 所包含的基本事件有： ()11,a b 、()12,a b 、()13,a b 、()14,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()23,a b 、()24,a b ，共8个，因此，()815P A =. 考点：1.分层抽样；2.独立性检验；3.古典概型18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==90BAC ∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于60.（1）求棱柱的高；（2）求11B C 与平面11A BC 所成的角的大小.【答案】（1（2）6π. 【解析】试题分析：（1）由11Rt A AB Rt A AC ∆≅∆得到11A B AC =，借助11//BC BC 异面直线1A B 与11B C 所成的角等于1A AC ∠，进而说明1A AC ∆为等边三角形，得出1A B 的长度后再利用勾股定理求出1BB 的长，从而得到棱柱的高；（2）连接1A B 交1AB 于点O ，利用直线与平面垂直的判定定理证明1B O ⊥平面11A BC ，然后连接1OC ，于是得到11B C O ∠即为直线11B C与平面11A BC 所成的角，最终在11Rt B C O ∆中计算相应的边长来求出11B C O ∠的大小. （1）11Rt A AB Rt A AC ∆≅∆，11A B AC ∴=又160A BC ∠=，1A BC ∴∆为正三角形，12A B ∴=，所以棱柱的高为1BB = （2）连接1AB ，11A BAB O =，OC 1B 1A 1CBA11BO A B ⊥，1B O AC ⊥，1B O ∴⊥平面11A BC ， 11B C O ∴∠即为所求，在11Rt B C O ∆中，11BO =，112B C =，116B C O π∴∠=.考点：1.异面直线所成的角；2.直线与平面所成的角19．已知数列{}n a 满足12a =，向量()2,1a =-，()12,nn n b a a +=+且a b ⊥.（1）求证数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 通项公式； （2）设()21nn a b n n =+，若对任意n N *∈都有239n m mb ->成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2n n a n =⋅；（2）()1,4-. 【解析】试题分析：（1）先利用向量垂直结合向量坐标运算得到1122n n n a a ++=+，并在等式两边同时除以12n +得到11122n n n na a ++=+，结合定义证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并确定其首项和公差，求出数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而求出数列{}n a 的通项公式；（2）先确定数列{}n b 的通项公式，将不等式239n m m b ->等价转化为()2min 39n m mb ->，利用作商法研究数列{}n b 的单调性，并确定数列{}n b 的最小项，解不等式()min n b >239m m-求出实数m 的取值范围. （1）因为a b ⊥，所以()1220nn n a a ++-=，即1122n n n a a ++=+，11122n nn na a ++∴=+， 所以数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且()11122n n a a n n =+-⨯=，2nn a n ∴=⋅； （2）可知()221nn b n =+，令211212n n b n b n ++⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，得22n n >⇒> 即当2n ≥，n N *∈，都有23n b b b <<<，而121429b b =>=，故()min 49n b =， 从而23499m m -<，解得14m -<<. 考点：1.定义法证明等差数列；2.数列的单调性；3.数列不等式恒成立20．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴长为4，点A 、B 、C 为椭圆上的三个点，A 为椭圆的右端点，BC 过中心O ，且2BC AB =，3ABC S ∆=．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 是椭圆上位于直线AC 同侧的两个动点（异于A 、C ），且满足PBC QBA ∠=∠，试讨论直线BP 与直线BQ 斜率之间的关系，并求证直线PQ 的斜率为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）利用题中条件先得出a 的值，然后利用条件2BC AB =，3ABC S ∆=结合椭圆的对称性得到点B 的坐标，然后将点B 的坐标代入椭圆方程求出b 的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件PBC ∠= QBA ∠得到直线BP 与BQ 的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线BP 的方程为()312y k x -=-，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点P 的坐标，注意到直线BP 与BQ 的斜率之间的关系得到点Q 的坐标，最后再用斜率公式证明直线PQ 的斜率为定值.（1）2BC AB =，1322OAB ABC S S ∆∆∴==， 又AOB ∆是等腰三角形，所以31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把B 点代入椭圆方程22214x y b +=，求得23b =， 所以椭圆方程为22143x y +=； （2）由题易得直线BP 、BQ 斜率均存在， 又PBC QBA ∠=∠，所以BP BQ k k =-，设直线()3:12BP y k x -=-代入椭圆方程22143x y +=， 化简得()2223348412302k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭， 其一解为1，另一解为22412334P k k x k --=+，可求221263342P k k y k --=++， 用k -代入得22412334Q k k x k +-=+，221263342Q k k y k -+=++， 12P Q PQ P Qy y k x x -∴==-为定值. 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率 21．设函数()ln f x x ax =-.（1）当0a >时，求函数()f x 在区间[]1,e 内的最大值；（2）当1a =-时，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.【答案】（1）详见解析；（2）12. 【解析】试题分析：（1）先求出导数方程()0f x '=的根，对此根与区间[]1,e 的位置关系进行分类讨论，确定函数在区间[]1,e 上的单调性，从而求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值；（2）构造函数()()22g x x mf x =-，利用导数求出函数()g x的极值点22m x +=()g x 的单调性，得到()()2200g x g x '=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去22x 并化简得到222ln 10x x +-=，通过构造函数()2ln 1h x x x =+-并利用导数研究函数()h x 的单调性并结合()10h =，1=，从而求出m 的值.（1）()11ax f x a x x-'=-=，0x >， 令()0f x '=得1x a =. 因为10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减；①当101a<≤时，即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上递减， 所以1x =时()f x 取最大值()1f a =-； ②当11e a <<时，即11a e <<时，()f x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭递减， 所以1x a=时，()f x 取最大值1ln 1f a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； ③当1e a ≥即10a e<≤时，()f x 在()1,e 递增， 所以x e =时()f x 取最大值()1f e ae =-；（2）因为方程()22mf x x =有唯一实数解，即22ln 20x m x mx --=有唯一实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx mg x x--'=，令()0g x '=，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<（舍去），2x = 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增， 所以()g x 最小值为()2g x ，则()()2200g x g x =⎧⎪⎨'=⎪⎩，即2222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，即222ln 10x x +-=， 设()()2ln 10h x x x x =+->，()210h x x'=+> )0(1ln 2)(>-+=x x x x h ，()210h x x=+>恒成立，故()h x 在()0,+∞单调递增， ()0h x =至多有一解，又()10h =，所以21x =1=，解得12m =.考点：1.分类讨论；2.函数的最值；3.函数的零点。

2014年湖南省郴州市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A.（0，-1）B.（0，1）C.（，-）D.（，）【答案】A【解析】解：复数===-i，它在复平面内的对应点为（0，-1），故选A．化简复数，它在复平面内的对应点为（0，1），由此求得结果．本题主要考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2.设x∈R，则“x2-3x＞0”是“x＞3”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵“x2-3x＞0”等价于x＞3或x＜0，∴由x2-3x＞0推不出x＞3，而由x＞3可以推出x2-3x＞0，∴“x2-3x＞0”是“x＞3”的必要不充分条件．故选B．先将不等式x2-3x＞0化简，得到x的取值范围，再结合x＞3，即可作出判断．本题考查了一元二次不等式的解法及充分条件与必要条件的判断方法．判断p是q的什么条件，可按如下方式进行：（1）若由p⇒q，则p是q的充分条件；若由p推不出q，则p是q的不充分条件；（2）若由q⇒p，则p是q的必要条件；若由q推不出p，则p是q的不必要条件；（3）若p⇔q，则p是q的充分条件，且p是q的必要条件；（4）若由p推不出q，且由q推不出p，则p是q的既不充分也不必要条件．3.某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：抽样比f==，∴A类学校应该抽取2000×=200，∴A类学校中的学生甲被抽到的概率为P==．故选：A．先计算抽样比f，再求出A类学校应该抽取多少人，由此能求出A类学校中的学生甲被抽到的概率．本题考查分层抽样的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4.函数f（x）=为奇函数，若g（-2）=4，则a=（）A.-3B.4C.-7D.6【答案】C【解析】解：由题意，f（-2）=g（-2）+a=4+a=-f（2），∵f（2）=3，∴a=-7．故选：C．利用奇函数f（-2）=g（-2）+a=4+a=-f（2），即可得出结论．本题考查函数奇偶性的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2-c2=ac，sin A=2sin C，则B=（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A【解析】解：将sin A=2sin C，利用正弦定理化简得到a=2c，代入b2-c2=ac，得：b2-c2=6c2，即b2=7c2，整理得：b=c，∴cos B===，则B=30°．故选：A．将sin A=2sin C，利用正弦定理化简得到a=2c，代入b2-c2=ac，表示出b，再利用余弦定理表示出cos B，将表示出的a与b代入求出cos B的值，即可确定出B的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．6.已知a是函数f（x）=2x-|log2x|的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A.f（x0）=0B.f（x0）＞0C.f（x0）＜0D.f（x0）的符号不确定【答案】C【解析】解：根据函数的图象可得，0＜x0＜a，对数函数的图象在指数函数的图象的上方，∴f（x0）＜0，故选：C．根据函数的图象可得，0＜x0＜a，对数函数的图象在指数函数的图象的上方，即可得出结论．本题考查函数零点的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7.若数列{a n}满足a1=2，a n+1=，则a2014=（）A.2014B.2C.D.-1【答案】B【解析】解：∵数列{a n}满足a1=2，a n+1=，∴=-1，=，a4==2，∴{a n}是周期为3的周期数列，∵2014=671×3+1，∴a2014=a1=2．故选：B．由递推思想求出数列的前4项，从而得到{a n}是周期为3的周期数列，由此能求出a2014的值．本题考查数列的第2014项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．8.在△ABC中，已知，是非零向量且满足（-2）•=0，（-2）⊥，则∠BAC=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵（-2）•=0，∴，又∵（-2）⊥，∴（-2）•=0，得，∴||=||，2||||cos∠BAC=||2，∴cos∠BAC=，∵∠BAC∈（0，π），∴∠BAC=．故选：C．利用已知可得，，，所以2||||cos∠BAC=||2，解得cos∠BAC=，得到选项．本题考查了向量的数量积的运算，若两向量垂直，则它们的数量积等于0．9.如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，由侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4，∴三棱柱的体积为=2，由正视图与俯视图知两个三棱锥的高为1，∴三棱锥的体积为××1×1×1=，∴几何体的体积V=2-2×=．故选A．由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，根据侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4，根据正视图与俯视图知两个三棱锥的高为1，分别计算棱柱和三棱锥的体积，作差求解．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．10.若函数f（x）（x∈D）满足：对任意x1∈D，都存在x2∈D，使得=C，则称常数C为函数f（x）在定义域D的“函数均值”．已知函数g（x）=x3（x∈[1，2]），则g（x）的“函数均值”为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据定义，对任意x1∈D，都存在x2∈D，使得=C，则称常数C为函数f（x）在定义域D的“函数均值”．设g（x）的“函数均值”为C∴，．∵x1∈[1，2]，∴，∴，又∵．，∴2C-8=1，2C-1=8∴C=故选C．根据“函数均值”的定义，得到，由的范围求出C的值．这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型．关键是要读懂题意．充分利用即时定义来答题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若全集U=R，集合A={x|y=}，B={y|y=}，则（∁U A）∩B= ______ ．【答案】[0，3）【解析】解：在集合A中，由x-3≥0，得A={x|x≥3}，则由U=R，得∁U A={x|x＜3}，在集合B中，由≥0，得B={y|y≥0}，从而（∁U A）∩B={x|x＜3}∩{y|y≥0}=[0，3）．故答案为：[0，3）．先将集合A化简，进而求得∁U A，再将集合B化简，从而求得（∁U A）∩B．本题考查了集合中的元素属性及补、交集运算，关键是分清元素符号，并理解其含义．12.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C极坐标方程是ρ=4cosθ直线l（t参数），圆心C到直线l的距离等于______ ．【答案】【解析】解：直线l的参数方程为，（t为参数）消去参数t得：x+y-1=0．圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．化成直角坐标方程得：x2+y2-4x=0，圆心C（2，0）圆心到直线的距离为：d，故答案为：．将直线的参数方程：与圆的极坐标方程ρ=4cosθ都化为普通方程，求出圆心坐标，再结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．属于中等题13.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n的值是______ ．【答案】4【解析】解：当T=1时，S=10，T=3，n=2；当T=3时，S=13，T=9，n=3；当T=9时，S=22，T=27，n=4；当T=27时，S＜T，不满足要求，退出循环故输出n值为4故答案为4由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，并分析在程序循环过程中，各变量的值，即可得到答案．本题考查的知识点是循环结构，在写程序运行结果时，如果程序的循环次数不多时，我们可采用模拟程序运行过程的方法，模拟过程中，对变量值的分析和管理，是解答本题的关键．14.已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，△OAF的面积为（O为原点），则此双曲线的离心率是______ ．【答案】2【解析】解：设过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线为l，则l的方程为：y=-（x-c），由得：x=，y=，即A（，），∵△OAF的面积为，∴|OF|×y A=c×=，∴b=a，∴==4，∴e==2．故答案为：2．依题意，可求得过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线与bx-ay=0的交点A的坐标，利用△OAF的面积为，即可求得此双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，考查转化思想与方程思想，求得A的坐标是关键，属于中档题．15.对于任意正实数x，记x的整数部分为[x]，如：[4.2]=4．设函数f（x）=x-[x]（x＞0）．①函数f（x）的图象和直线x+y=2的交点的个数为______ ；②有n条互相平行的直线l1：x+y=k（k=1，2，3，…，n）与f（x）的图象相交，则所有交点的横坐标的和为______ ．【答案】2；【解析】解：函数f（x）=x-[x]（x＞0）的图象，如图所示，①函数f（x）的图象和直线x+y=2的交点的个数为2个；②有n条互相平行的直线l1：x+y=k（k=1，2，3，…，n）与f（x）的图象相交，则所有交点的横坐标的和为0.5+1.5+…+[0.5+（n-1）]=0.5n+=故答案为：2，．画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在[0，1）上是一直线y=x的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，根据图象，即可得出结论．本题考查的知识点是函数的图象利用图象法结合数形结合的思想，分析函数图象交点是解答本题的关键，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜．（l）若cos sin（φ+）-sin sinφ=0，求φ的值；（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的两条相邻对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式；并求最小的正实数m，使得函数f（x）的图象向右平移m个单位后所对应的函数是偶函数．【答案】解：（1）由cos sin（φ+）-sin sinφ=0，得cos cosφ-sin sinφ=0即cos（+φ）=0又|φ|＜，∴φ=．（2）由（1）得，f（x）=sin（ωx+），依题意，又T=，故ω=3，∴f（x）=sin（3x+）函数f（x）的图象向右平移m个单位后所对应的函数为g（x）=sin[3（x-m）+]，g（x）是偶函数当且仅当g（-x）=g（x）对x∈R恒成立亦即sin（-3x-3m+）=sin（3x-3m+）对x∈R恒成立．∴当且仅当-3m+=kπ+（k∈Z）∴m=-（k∈Z）从而，最小正实数m=．【解析】（1）利用特殊角的三角函数值化简cos sin（φ+）-sin sinφ=0，根据|φ|＜直接求出φ的值；（2）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式；函数f（x）的图象向右平移m个单位所对应的函数是偶函数．推出m=-（k∈Z），可求最小正实数m．本题是中档题，考查三角函数的字母变量的求法，三角函数的图象的平移，偶函数的性质，转化思想的应用．17.沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名，某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]，进行分组，得到频率分布直方图如图3，已知样本中产量在区间（45，50]上的果树株数是产量在区间（50，60]上的果树株数的倍．（1）求a，b的值；（2）从样本中产量在区间（50，60]上的果树随机抽取两株，求产量在区间（55，60]上的果树至少有一株被抽中的概率．【答案】解：（1）由题意知：解得：，（4分）（2）在（50，55]中有4个个体，在（55，60]中有2个个体，所以（50，60]中共6个个体．所以从（50，60]中任意抽取2个个体基本事件总数为=15个，（8分）设“至少有一个个体落在（55，60]之间”为事件A，则A包含基本事件15-C=9个，（10分）所以P（A）==．（12分）【解析】（1）根据频率的求法及所有小组的频率和为1，由已知得：，解之即得a，b的值；（2）根据概率的求法，计算可得答案，分别求出包含基本事件及从（50，60]中任意抽取2个个体基本事件总数，最后求出它们的比值即可．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．18.如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，PA=AD=AB=1．（1）证明：EB∥平面PAD；（2）证明：BE⊥平面PDC；（3）求三棱锥B-PDC的体积V．【答案】解（1）证明：取PD中点Q，连EQ，AQ，则…（1分）…（2分）⇒四边形ABEQ是平行四边形⇒BE∥AQ…（3分）…（5分）（2）证明：PA⊥CD，又∵CD⊥AD，PA∩AD=A∴CD⊥平面PAD又∵AQ⊂平面PAD∴AQ⊥CD，又∵PA=AD，Q为PD的中点∴AQ⊥PD，又∵PD∩CD=D．…（10分）（3）…（11分）．…（13分）【解析】（1）取PD中点Q，连EQ，AQ，由已知条件及平行四边形的判定定理，可得四边形ABEQ是平行四边形，进而得到BE∥AQ，进而由线面平行的判定定理得到EB∥平面PAD；（2）由已知中PA⊥底面ABCD，由线面垂直的性质可得PA⊥CD，结合CD⊥AD，和线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，进而由线面垂直性质得到CD⊥AQ，由三线合一得到AQ⊥PD，进而根据线面垂直的判定定理及第二判定定理得到BE⊥平面PDC；（3）由等体积法可得三棱锥B-PDC的体积等于三棱锥P-BDC，求出底面△BDC及高PA 的值，代入棱锥体积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，锥锥的体积，其中（1）的关键是在平面PAD中找到BE∥AQ，（2）的关键是熟练掌握线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（3）的关键是由等体积法将三棱锥B-PDC的体积化为三棱锥P-BDC．19.数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项的和S n满足S n2=a n•（S n-）（Ⅰ）求证{}为等差数列，并求出S n的表达式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解（1）∵S n2=a n•（S n-），a n=S n-S n-1（n≥2），∴S n2=（S n-S n-1），即2S n-1S n=S n-1-S n，…①由题意S n-1•S n≠0，将①式两边同除以S n-1•S n，得，∴数列{}是首项为==1，公差为2的等差数列．可得=1+2（n-1）=2n-1，得S n=．（2）由（1）得=2n-1，∴，因此，，两边都乘以2，得2，两式相减，得：-T n=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）•2n+1=2+8（2n-1-1）-（2n-1）•2n+1∴T n=（2n-1）•2n+1+6-2•2n+1化简得T n=（2n-3）•2n+1+6．【解析】（1）由a n=S n-S n-1（n≥2），化简已知等式得到-=2，从而数列{}构成公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式加以计算，即可得到S n的表达式；（2）由（1）的结论，得到，因此利用错位相减法并结合等比数列的求和公式，化简整理后可得T n=（2n-3）•2n+1+6．本题给出数列的前n项和与第n项之间的关系式，求数列的前n项和表达式，并依此求另一个数列的前n项和．着重考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了利用错位相减法求等差、等比数列对应项的积构成数列的前n项和的知识，属于中档题．20.已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），点A（2，3）在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线交于B、C两点，抛物线C2在点B，C处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点P．（1）求椭圆C1的方程；（2）是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）设椭圆的标准方程为，由题意可得解得．∴椭圆C1的方程为；（2）设点B，C，则，，∵A，B，C三点共线，∴．∴，化为2（x1+x2）-x1x2=12．①由x2=4y，得．∴抛物线C2在点B处的切线方程为，化为．②同理抛物线C2在点C处的切线方程为．③设点P（x，y），由②③得，而x1≠x2，∴．代入②得，于是2x=x1+x2，4y=x1x2代入①得4x-4y=12，即点P的轨迹方程为y=x-3．若|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|，则点P在椭圆C1上，而点P又在直线y=x-3上，直线经过椭圆C1的内部一点（3，0），∴直线y=x-3与椭圆C1有两个交点，∴满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P有两个（不同于点A）．【解析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）设出点B，C的坐标，利用A，B，C三点共线即可得出坐标之间的关系，利用导数的几何意义可得切线的斜率，在得出切线的方程，即可得出交点P的坐标代入上面得到的关系式即可得到交点P的轨迹方程．由|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|，则点P在椭圆C1上，而点P又在直线y=x-3上，直线经过椭圆C1的内部一点（3，0），即可判断出其交点个数．本题主要考查椭圆、抛物线曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归于转化的数学数学方法，以及推理论证能力、计算能力、创新意识．21.设函数f（x）=x-1-．（Ⅰ）令N（x）=x2-1+lnx，判断N（x）在（0，+∞）上的单调性并求所有的零点；（Ⅱ）求f（x）在定义域上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意n∈N*，n≥2，都有：+++…＞1-．【答案】解：（Ⅰ）∵N′（x）=2x+＞0，∴N（x）在（0，+∞）上单调递增；那么N（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，由N（1）=1-1+0=0，则N（x）在（0，+∞）上唯一零点为x=1．（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）；f′（x）=1-=，则①当0＜x＜1时，N（x）＜0，则f′（x）＜0，②当x＞1时，N（x）＞0，则f′（x）＞0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；则f（x）min=f（1）=0．（Ⅲ）由f（x）=x-1-≥0可得，x2-x≥lnx（x＞0）令x=k≥2，则k2-k＞0，lnk＞0，k2-k＞lnk；则==则+++…＞=1-．【解析】（Ⅰ）求导判定N（x）单调性，再求零点；（Ⅱ）求导找到最小值；（Ⅲ）由f（x）≥0推==，得解．本题综合性很强，考查了导数的综合应用，零点个数的判定，不等式的证明及裂项求和的方法，属于难题．。