【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修三《古典概型的特征和概率计算公式》课时练习及解析

第5讲古典概型最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2。

会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．知识梳理1．基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的．(2）任何事件(除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．2．古典概型（1）定义具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型．①试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果．②每一个试验结果出现的可能性相同．(2)概率公式：P(A）＝错误!.诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”）精彩PPT展示（1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”．（）（2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”、“一正一反”、“两个反面”，这三个事件是等可能事件．( )（3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．( ）（4)“从长为1的线段AB 上任取一点C ，求满足AC ≤13的概率是多少”是古典概型．( )答案 (1)× (2）× （3)× (4）×2．下列试验中，是古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD 内,任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在区间错误!上任取一值x ,求cos x ＜错误!的概率．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．答案 B3．(必修3P133A1改编）袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球,从中任取一球抽到白球的概率为（ ）A.错误!B.错误!C.错误! D ．非以上答案解析从袋中任取一球，有15种取法,其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为P＝错误!＝错误!。

答案A4．（2016·全国Ⅲ卷)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A。

2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修三第三章过关测试卷（100分，45分钟）一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列结论正确的是（）A．事件A的概率P（A）的值满足0＜P（A）＜1B．若P（A）=0.999，则A为必然事件C．灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这个是合格品的可能性为99%D．若P（A）=0.001，则A为不可能事件2. 从40张扑克牌（红心、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中任取一张，给出下列事件：①“抽出红心”与“抽出黑桃”；②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．其中既不是互斥事件又不是对立事件的序号是（）A．①B．②C．③ D. ②③3.在“计算机产生［0，1］之间的均匀随机数”试验中，记事件A表示“产生小于0.3的数”，记事件B表示“产生大于0.7的数”，则一次试验中，事件A+B发生的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.74. 有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.14B. 12C. 23D. 345.〈温州期末考〉下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，其中不公平的游戏是( )游戏1 游戏2 游戏33个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球任取1个球，再任取1个球任取1个球任取1个球，再任取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜A. 游戏1和游戏3B. 游戏1C. 游戏2 D．游戏36.〈顺义二模〉从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（）A. 15B. 25C. 35D. 45二．填空题（每题5分，共20分）7. 我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量/mm ［100，150）［150，200）［200，250）［250，300］概率0.21 0.16 0.13 0.12则年降水量在［200，300］（mm ）范围内的概率是 .8.〈江苏〉现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为 ．9.〈北京一模〉设不等式组2222x y -≤≤-≤≤⎧⎨⎩，表示的区域为W ，圆C ：(x －2)2＋y 2＝4及其内部区域记为D .若向区域W 内随机投入一点，则该点落在区域D 内的概率为 ．10.〈易错题〉盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当取到红球时停止取球．那么取球次数恰为2次的概率是 .三．解答题（14题14分，其余每题12分，共50分）11. 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示： 投篮次数n8 10 15 20 30 40 50进球次数m6 8 12 17 25 32 40进球频率m n（1）计算表中进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？12.〈江西高安中学期末考〉已知集合A＝{－2,0,1,3}，在平面直角坐标系中，点M的坐标(x，y)满足x∈A，y∈A.(1)请列出点M的所有坐标；(2)求点M不在y轴上的概率；(3)求点M正好落在区域50x yxy+-<⎪⎩>>⎧⎪⎨，，上的概率．13.〈浙江期中考〉在正方形中随机地撒一把豆子，通过考察落在其内切圆内豆子的数目，用随机模拟的方法可计算圆周率π的近似值，如图1所示.（1）用两个均匀随机数x，y构成的一个点的坐标（x，y）代替一颗豆子，请写出随机模拟的方案；图1（2）以下程序框图（如图2）用以实现该模拟过程，请将它补充完整．（注：rand是计算机在Excel中产生［0，1］区间上的均匀随机数的函数）图214.〈江西模拟〉设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[]1,2，都有｜f(x)+g(x)｜≤8，则称f（x）和g（x）是“友好函数”，设f(x)=ax,g(x)=bx.（1）若a∈{}-,求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；1,1,41,4,b∈{}（2）若a∈[]-，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．1,41,4,b∈[]参考答案及点拨一、1. C 点拨：由概率的基本性质，事件A的概率P（A）的值满足0≤P（A）≤1，故A错误；必然事件概率为1，故B错误；不可能事件概率为0，故D错误．故选C.2. C 点拨：从40张扑克牌（红心、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都是从1～10）中，任取一张，①“抽出红心”与“抽出黑桃”不可能同时发生，故它们是互斥事件．再由这两个事件的和不是必然事件（还有可能是“方块”或“梅花”），故它们不是对立事件．综上可得，“抽出红心”与“抽出黑桃”是互斥事件，但不是对立事件．②由于“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，故它们是互斥事件；再由这两个事件的和事件是必然事件，故它们是对立事件．③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”不是互斥事件，它们可能同时发生（如抽出的牌点数为10），故它们不是互斥事件，更不可能是对立事件．故答案为C.3.C 点拨：易知事件A与B互斥，P（A）=P（B）=0.3，则根据互斥事件的概率加法公式可得P（A+B）=P（A）+P（B）=0.6，故选C．4. A 点拨：记4个兴趣小组分别为1,2,3,4，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲1,乙4;甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲2,乙4;甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3;甲3,乙4;甲4,乙1;甲4,乙2;甲4,乙3;甲4,乙4”，共16个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3;甲4,乙4”，共4个．因此P(A)＝416＝14.5. D 点拨：对于游戏1，基本事件数有12种，取出两球同色即全是黑球有6种取法，其概率是12，取出颜色不同的概率也是12，故游戏1公平；对于游戏2，基本事件数有2种，两个事件的概率都是12，故游戏2公平；对于游戏3，基本事件数有12种，两球同色的种数有4种，故其概率是13，颜色不同的概率是23，故此游戏不公平，乙胜的概率大．综上知，游戏3不公平．故选D.6.C 学科思想：此题利用转化与化归思想，由方程有两个不相等的实数根得到a与b的关系后求解.根据题意，a是从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取的一个数，a有5种情况，b是从集合{1，2，3}中随机抽取的一个数，b有3种情况，则方程x2+2ax+b2=0有3×5=15(种)情况，若方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根，则Δ=（2a）2－4b2＞0，即a＞b，其中总数有15种，a>b的情况有9种，概率为35.二、7. 0.25 点拨：“年降水量在［200，300］（mm）范围内”由“年降水量在［200，250）（mm）范围内”和“年降水量在［250，300］（mm）范围内”两个互斥事件构成，因此概率=0.13+0.12=0.25.8. 2063点拨：基本事件共有7×9＝63（种），m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇数共有20种，故所求概率为2063.9.8π学科思想：利用数形结合思想，在平面直角坐标系中画出图形，根据几何概型概率公式求解.依题意得，平面区域W的面积等于(2＋2)2＝16，圆C及其内部区域与平面区域W的公共区域的面积等于12×(π×22)＝2π，因此所求的概率等于162π＝8π.10.625点拨：记两个白球为a,b，3个红球为1,2,3，则任意取两个球，其结果有(a,a) ,(a,b) ,(a,1),(a,2),(a,3),(b,a), (b,b), (b,1),(b,2),(b,3),(1,a),(1,b),(1,1),(1,2), (1,3), (2,a),(2,b),(2,1),(2,2),(2,3), (3,a),(3,b),(3,1),(3,2),(3,3)共25种结果，由于取到红球停止，因此第一个球为白球且第二个球为红球，它包含(a,1),(a,2),(a,3), (b,1),(b,2),(b,3)共6种结果，因此所求概率为625.此题容易误认为是“不放回”概率模型而致错，也容易忽视抽取的顺序性而致错.三、11. 解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.80,0.80,0.85,0.83,0.80,0.80.（2）由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80.12. 解：(1)∵集合A ＝{－2,0,1,3}，点M (x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ，∴M 的坐标共有：4×4＝16（种）情况，分别是：(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)，(0，－2)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，(1，－2)，(1,0)，(1,1)，(1,3)，(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)．(2)点M 不在y 轴上的坐标的情况共有12种，分别是：(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)，(1，－2)，(1,0)，（1，1），(1,3)，(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)，∴点M 不在y 轴上的概率P 1＝1216＝34. (3)点M 正好落在区域5000x y x y ⎧⎪⎨⎪<>>⎩+－，，上的坐标的情况共有3种，分别是：(1,1)，(1,3)，(3,1)，故点M 正好落在该区域上的概率P 2＝316. 13. 解：（1）具体方案如下：①利用计算机产生两组［0，1］上的均匀随机数，通过变换，得到两组［－1，1］上的均匀随机数； ②统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1（满足条件x 2+y 2≤1的点（x ，y ）的个数）；③计算频率1N N，即为点落在圆内的概率的近似值； ④设圆的面积为S ，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率P =4S ．∴4S ≈1N N ．∴S ≈14N N ，即为圆的面积的近似值．又S 圆=πr 2=π，∴π=S ≈14N N，即为圆周率的近似值． （2）由题意，第一个判断框中应填x 2+y 2≤1，其下的处理框中应填m =m +1，退出循环体后的处理框中应填P =m n .14. 解:（1）设事件A =f (x )和g （x ）是“友好函数”，则｜f （x ）+g （x ）｜（x ∈[]1,2）所有的情况有：x －1x ,x +1x ,x +4x ,4x －1x ,4x +1x ,4x +4x,共6种且每种情况被取到的可能性相同. 又当a ＞0,b ＞0时,ax +b x 在0b a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上递减,在b a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝∞⎭+，上递增;x －1x 和4x －1x在(0,+∞)上递增，∴对x ∈[]1,2可使｜f (x )+g (x )｜≤8恒成立的有x －1x ,x +1x ,x +4x ，4x －1x ，故事件A 包含的基本事件有4种，∴P （A ）=46=23，∴所求概率是23.答图1（2）设事件B =f （x ）和g （x ）是“友好函数”，∵a 是从区间[]1,4中任取的数,b 是从区间[]-1,4中任取的数,∴点(a ,b )所在区域是长为5,宽为3的矩形ABCD ,如答图1,要使x ∈[]1,2时,｜f (x )+g (x )｜≤8恒成立,只需|f (1)+g (1)|=|a +b |≤8且|f (2)+g (2)|=|2a +2b |≤8.∴事件B 包含的点的区域是如答图1所示的阴影部分.∴P (B )=()122341335⨯+⨯+⨯⨯ =1315，∴所求概率是1315.。

§2.1古典概型的特征和概率计算公式一、教材分析
本节课是高中数学北师大版(必修3)第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后,几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。

古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

学好古典概型可以为其他概率及概型的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念,有利于计算一些事件的概率。

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二、教学目标
1．知识与技能
(1) 通过实验或实例，理解古典概型的特征并能利用概率公式计算概率；
(2)会用列举法计算一些简单随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

根据本节课通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。

3．情感态度与价值观
概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。

适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。

三、重点、难点
重点：古典概型的特征及概率计算公式。

难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

四、教学方式
学生自我探究总结归纳，讨论合作的教学模式
五、教学过程。

3.2.1古典概型的特征和概率计算公式1.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,下列不是基本事件的是( )A.正好2个红球B.正好2个黑球C.正好2个白球D.至少一个红球【解析】选D.至少一个红球包含:一红一白或一红一黑或2个红球,所以{至少一个红球}不是基本事件,其他事件都是基本事件,故选D.2.下列试验不是古典概型的为( )A.从26个英文字母中任选4个,使其能够组成单词birdB.某工作人员安排本单位一个月的值班表,每人一天,甲、乙、丙、丁四人都恰好被安排在星期天值班C.全班50位同学,任选4人,这4人恰好为3个男同学1个女同学D.小展在公交汽车站等车,他等候的时间不超过10分钟【解析】选D.根据古典概型的定义,A,B,C均为古典概型,D中小展候车的时间为(0,10]内任意一个值,有无数个,故不是古典概型.3.若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 B.任意抽出一本得到任何一本书的可能性是相同的,故为古典概型,其中总基本事件数n=10,事件A“抽得物理书”包含的基本事件数m=3,所以依据古典概型的概率计算公式得P(A)==.4.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为________.【解析】本题中基本事件有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)共三个,其中甲被选中包含两个基本事件,故甲被选中的概率为.答案:5.将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上的点数,问:(1)共有多少种不同的结果?(2)两数的和是3的倍数的结果有多少种?(3)两数和是3的倍数的概率是多少?【解析】(1)将骰子抛掷1次,它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果.先后抛掷两次骰子,第一次骰子向上的点数有6种结果,第2次又有6种可能的结果,于是一共有36种不同的结果.(2)第1次抛掷,向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个,第2次抛掷时都可以有两种结果,使向上的点数和为3的倍数(例如:第一次向上的点数为4,则当第2次向上的点数为2或5时,两次的点数的和都为3的倍数),于是共有12种不同的结果.(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A,则事件A的结果有12种,因为抛掷两次得到的36种结果是等可能出现的,所以所求的概率为.答:(1)先后抛掷两次,共有36种不同的结果;(2)点数的和是3的倍数的结果有12种;(3)点数和是3的倍数的概率为.。

2.1 古典概型的特征和概率计算公式教学目标：知识与技能：理解古典概型的概念，会分辨随机试验是否是古典概型，会用列举法计算简单随机事件的概率.过程与方法：通过实例和引导问题解决的方式对古典概型的概念进行归纳和总结。

情感态度价值观：通过解决问题的方式使学生体验知识产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力，让学生感受到数学模型不止函数模型，通过对函数模型的理解迁移到对概率模型的理解，让学生感受事物之间的联系教学重点：理解古典概型的相关概念及利用古典概型求解随机事件的概率.教学难点：基本事件特征及如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中某随机事件所包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.教学过程：问题的提出：口袋内装有2红2白除颜色外完全相同的4球, 4人按序摸球,摸到红球为中奖, 通过大量的重复试验发现：先抓的人和后抓的人的中奖率是一样，即摸奖的顺序不影响中奖率，先抓还是后抓对每个人来说是公平的。

这种大量的重复试验并不能精确的描述这类事件发生的概率，对于具有某些特征的随机试验，如何描述它们以及如何计算其概率？寻找类似的例子：1、投掷一枚均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”的机会相等2、抛掷一枚均匀的骰子,出现数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的机会相等3、转动一个八等分(分别标上数字0、1、…、7)的转盘,箭头指向每个数字的机会相等找出共同点：1..试验的所有可能结果只有有限个,且每次试验只出现其中的一个结果；2.每一个试验结果出现的可能性相同。

概念归纳总结：具有以上两个特点的随机试验称为古典概型（古典的概率模型）或等可能概型（其中，每个可能的结果称为基本事件） 计算方法的归纳总结：掷6面的骰子，其中包含的基本事件数各是多少？ 设事件A 为掷得的点数为3，则A 的概率为？设事件A 为掷得的点数小于等于3，则A 中包含的基本事件有哪些，事件A 发生的概率为？归纳出概率计算公式：nmA A P A 基本事件的总数基本事件个数包含的发生的概率事件j )(小结：古典概型的两个基本特征和计算公式古典概型概念的理解：通过以下例题让学生理解古典概型的两个基本特征例1：向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，那么这个随机投点的试验符合古典概型吗？学生作答 教师点评例2：向如图的圆面内随机地投一个点，该点落在圆内8个区域都是等可能的，那么这个随机投点的试验符合古典概型吗？学生作答 教师点评例3：射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中1环和命中0环.那么这个试验符合古典概型吗？学生作答教师点评例4：依次投掷两枚完全一样的只有4个面的均匀骰子，各面点数为1，2，3，4学生作答教师点评古典概型计算公式的应用通过以下例题让学生熟练掌握运用列表和树状图的方式解决简单古典概型的计算问题例5：依次投掷两枚完全一样的只有4个面的均匀骰子，各面点数为1，2，3，4若事件A：点数和为4，则P(A)=?若事件B：点数和不超过4，则P(B)=?学生作答教师点评若事件A：点数和为4，则P(A)=3/16其中A包含的基本事件有：(1,3) (2,2) (3,1)若事件B：点数和不超过4，则P(B)=3/8其中B包含的基本事件有：(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (3,1)例6：依次投掷两枚完全一样的只有4个面的均匀骰子，各面点数为2.5，5，10，20，列出所有可能的结果，记事件A 分别为两个骰子点数和不超过10，事件B 为点数和不超过22，则P(A)=？，P(B)=?该例改自课本例题，旨在让学生通过不同的表达方式去描述同一种模型 学生作答 教师点评 思考：通过思考题，为下一节课”建立概率模型“做准备先后抛掷2枚均匀的硬币，出现“一枚正面,一枚反面”的概率是多少？ 同时抛掷2枚均匀的硬币，出现“一枚正面,一枚反面”的概率是多少？ 先后抛掷3枚均匀的硬币，出现“两个正面,一个反面”的概率是多少？ 同时抛掷3枚均匀的硬币，出现“两个正面,一个反面”的概率是多少？ 总结：课堂总结古典概型的两个基本特征和概率计算公式，如何应用公式解题，以及需要注意的内容。

第三章 §2 2.1、2一、选择题1．下列对古典概型的说法中正确的是( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件总数为n ，若随机事件A 包含k 个基本事件，则P (A )＝kn .A ．②④B ．①③④C ．①④D ．③④[答案] B[解析] ②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的定义及计算公式可知①③④正确．2．下列试验是古典概型的是( )A ．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B ．口袋里有2个白球和2个黑球，4球颜色除外完全相同，从中任取一球C ．向一个圆面内随机投一点，该点落在圆面内任意一点都是等可能的D ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为：命中10环，命中9环，……命中0环[答案] B[解析] 对于A ，发芽与不发芽概率不同；对于B ，摸到白球与黑球的概率相同，均为12；对于C ，基本事件有无限个；对于D ，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等．因而选B.3．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育两胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )A.12 B ．13C.14 D ．15[答案] C[解析] 事件“该育龄妇女连生两胎”包含4个基本事件，即(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，故两胎均为女孩的概率是14.4．从装有大小相同的3个红球和2个白球的口袋内任取1个球，取到白球的概率为( ) A.15 B ．13C.12 D ．25[答案] D[解析] 任取1球，有5种取法，取到1个白球有两种可能，所以取到白球的概率为25.5．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) A.12 B ．13C.23 D ．1 [答案] C[解析] 列举基本事件，从甲、乙、丙三人中任选两名代表可能的结果是(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，共3种；甲被选中的可能结果是(甲、乙)，(甲、丙)，共2种．所以P (“甲被选中”)＝23.6．(2014·陕西文，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15 B ．25C.35 D ．45[答案] B[解析] 本题考查了古典概型．“任取2个点”的所有情况有10种．而“距离小于正方形边长”的情况有4种(OA ，OB ，OC ，OD )，所求概率为410＝25.正确找出事件空间是关键．二、填空题7．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别，现有10个人依次摸出1个球，设第一个摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第十个人摸出黑球的概率是P 10，则P 1与P 10的关系是________．[答案] P 10＝P 1[解析] 第一个人摸出黑球的概率为110，第10个人摸出黑球的概率也是110，所以P 10＝P 1.8．先后从分别标有数字1,2,3,4的4个大小，形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率等于________．[答案] 58[解析] 基本事件总数为以下16种情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共10种，所以所求概率为1016＝58.三、解答题9．某班数学兴趣小组有男生三名，分别记为a 1、a 2、a 3，女生两名，分别记为b 1、b 2，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛．(1)写出这种选法的基本事件空间； (2)求参赛学生中恰有一名男生的概率； (3)求参赛学生中至少有一名男生的概率．[解析] (1)从3名男生和2名女生中任选2名学生去参加校数学竞赛，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}．Ω由10个基本事件组成．(2)用A 表示“恰有一名参赛学生是男生”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}．事件A 由6个基本事件组成，故P (A )＝610＝0.6.(3)用B 表示“至少有一名参赛学生是男生”这一事件，则B ＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，事件B 由9个基本事件组成，故P (B )＝910＝0.9.一、选择题1．将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为( ) A.12 B ．14C.38 D ．58[答案] C[解析] 总事件数为8个，分别为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．“恰好出现1次正面朝上”的事件为事件A ，包括(正，反，反)，(反，正，反)和(反，反，正)3个．所以，所求事件的概率为38.2．欲寄出两封信，现有两个邮箱供选择，则两封信都投到一个邮箱的概率是( ) A.12 B ．14C.34 D ．38[答案] A[解析] 可记两封信为1、2，两个邮箱为甲、乙，则寄出两封信，有两个邮箱供选择，有以下几种结果：1放在甲中，而2放在乙中；2放在甲中，而1放在乙中，1、2均放在甲中；1、2均放在乙中．由上可知，两封信都投到一个邮箱的结果数为2.所以，两封信都投到一个邮箱的概率为12.二、填空题3．先后抛掷两粒均匀的骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则log 2x y ＝1的概率为________．[答案]112[解析] 要使log 2x y ＝1，必须满足2x ＝y ，即其中一粒骰子向上的点数是另一粒骰子向上点数的2倍，抛掷两粒均匀的骰子，共有36种等可能结果，其中构成倍数关系的点数是1与2、2与4、3与6共三种不同情况，故所求概率为P ＝336＝112.4．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为________．[答案] 0.2[解析] “从中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6)、(2.5,2.7)、(2.5,2.8)、(2.5，2.9)、(2.6,2.7)、(2.6,2.8)、(2.6,2.9)、(2.7,2.8)、(2.7,2.9)、(2.8,2.9)，共10种等可能出现的结果，又“它们的长度恰好相差0.3m ”包括：(2.5,2.8)、(2.6,2.9)2种可能结果，由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为0.2.三、解答题5．(2014·天津文，15)某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学XYZ现从这6)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．[分析] 列举出从6个不同元素中选出2个的所有可能结果，找出事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”对应的基本事件，由古典概型的概率公式求解．[解析] (1)从6名同学中随机选出2人，共有{(A ，B )，(A ，C )，(A ，X )，(A ，Y )，(A ，Z )，(B ，C )，(B ，X )，(B ，Y )，(B ，Z )，(C ，X )，(C ，Y )，(C ，Z )，(X ，Y )，(X ，Z )，(Y ，Z )}共15种．(2)M 含基本事件为{(A ，Y )，(A ，Z )，(B ，X )，(B ，Z )，(C ，X )，(C ，Y )}共6种， ∴P (M )＝615＝25.6．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (2)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．[解析] 设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ，用(x ，y )表示抽取结果，则所有可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种．(1)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6种．故所求概率P ＝616＝38.答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38.(2)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，共5种． 故所求概率为P ＝516.答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516.7.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．[解析]读懂题意，研究是否为古典概型，列出所有可能情况，找到事件A包含的可能情况，所有可能的情况共有27个，如图所示，据图可得结论．(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的可能情况有1×3＝3个，故P(A)＝327＝1 9.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的可能情况有2×3＝6个，故P(B)＝627＝2 9.。