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狄拉克符号（Dirac）狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量⼦体系状态的描述，前述波动⼒学和矩阵⼒学两种⽅法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类⼒学量的本征函数的线性组合，⽽展开系数模平⽅具有⼒学量概率的含义。
问题：能否不从单⼀⾓度描述体系，⽽⽤统⼀的⽅式全⾯概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论⽅⾯，构造了⼀个抽象的、⼀般⽮量--态⽮，并引进了⼀套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量⼦⼒学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引⼊ 1.1.1 态空间任何⼒学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基⽮构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的⼀个态⽮，有∑=nn n u a ψ（1）n a 即为态⽮ψ在基⽮n u 上的分量，态⽮ψ在所有基⽮{}n u 上的分量{}n a 构成了态⽮在{}n u 这个表象中的表⽰（矩阵）= n a a a 21ψ (),,,,**2*1n a a a =+ψ（2）微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态⽮相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表⽰某⼒学量的本征态，⽽抛开其具体表象；（2）式的右⽅是ψ的{}n u 表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态⽮A ψ与B ψ在同⼀表象{}n u 中的分量表⽰各为{}n a 与{}n b ，则两态⽮内积的定义为()∑==+n n n n n B Ab a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ（3）注意：A B B A ψψψψ++≠1.1.3狄拉克符号的引⼊态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间?伴随空间引⼊符号>，称为右⽮ [Ket ⽮，Bra ⽮（Bracket 括号><）]微观体系的⼀个量⼦态ψ⽤>ψ表⽰，>ψ的集合构成右⽮空间，>ψ在右⽮空间中的分量表⽰可记为矩阵=> n a a a 21ψ（4）约定：右⽮空间的态⽮ ,,,B A ψψψ⼀律⽤字母 ,,,>>>B A ψψψ表⽰⼒学量的本征态⽮⼀律⽤量⼦数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表⽰引⼊符号 <，称为左⽮微观体系的⼀个量⼦态ψ也可⽤ψ<表⽰，但在同⼀表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ（5）ψ<的集合构成左⽮空间引⼊狄拉克符号后，任意两个态⽮>>B A ,的内积定义为同⼀表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=nn n n b a b a b a A B ***11| （6）这⾥*||>>=<>λ|,|n 仍为抽象的本征⽮ 1.2 基⽮的狄拉克符号表⽰ 1.2.1 离散谱⼒学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征⽮>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归⼀化的完全系，可以作为⽮量空间的基⽮，作为基⽮可表⽰为??>= 0011| ?>= 0102| …… ←>= 010|n 第n ⾏（7）（1）基⽮具有正交归⼀性 mn n m δ>=<| （8）（2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ（9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=m mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态⽮在基⽮上的分量（3）封闭性把>=<ψ|n a n 代⼊>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以 1||=<>∑n n n（11）称为基⽮的封闭性※狄拉克符号运算中⾮常重要的关系式 1.2.2 连续谱当⼒学量本征值构成连续谱λ时，对应的基⽮记为{}>λ|x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p -=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>==< px ie p x2/1)2(1|π>=< 1.3 态⽮在基⽮下的形式 1.3.1 离散谱基⽮为{}>n |，态⽮记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，⽤基⽮展开><>>=?>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成><><><= >= ψψψψ||2|1|21n a a a n （17）相应的左⽮ ∑><<= n n |||ψψ（18）()()><><><==1ψψψψ（19）1.3.2 连续谱><>>=ψλλλψ|||d （20）或 ?<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表⽰⼀个抽象的态⽮，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄⽶算符的作⽤1.4.1 离散谱（1）算符作⽤在基⽮上∑∑>>=><>=∧∧n算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23）（2）算符作⽤在态⽮上（算符⽅程）>>=∧ψ||F （24）即有 >>=<<∧?ψ|||n F n （25）或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψ?||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符⽅程，（25），（26）式是具体表象中的算符⽅程，><>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
第8章狄拉克(Dirac) 函数1.数理方程的定解问题：uu12.点源：3.连续分布的源所产生的场：注意：238.1 一维函数的定义和性质一、一维函数的定义l线电荷密度总电量4把定义在区间上，满足上述这两个要求的函数称为函数，并记作，即5时， ，所以(6)函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度2m 的质点的质量线密度为：说明：1.2.67二、 函数的性质 1f(x)00())()f x x x dx f x δ+∞-∞-=（乘上f (x )f (x ) 挑选性(把f (x )在 )在 时为零，0000())())x x f x x x dx f x x x dx εεδδ+∞+-∞--=-（（时，，且时，说明：也可作为函数的定义，f(x)892.（对称性）00与 在积分号下对任一连续函数x )3. )()()()(000x x x f x x x f -=-δδ确切含义：在等式左右两边乘上任意连续函数x 积分相等104.f (x )，均有：0()()()(0)[()]0x x x f x dx xf x x dx xf x δδ∞∞=-∞=-==⎰ f (x )3中令f (x )=x ，则，则只有单根，则k个单根的区间内，。
备忘：有，则11时，有，则1213，把的每个扩大积分区间：14说明：若有重根，则上式不成立。
15三、 函数的几个常用表达式 1.—积分形式(1)(2)第12章证明：在173. —— 极限形式(1) 当 时，令 ，且有在区间的积分值：由函数定义可知：P92, 例4.2.8说明：因为函数并不是给出普通的数值之间的对应关系，所以函数也不象普通的函数那样具有唯一确定的表达式。
19207. 又因为：21四、 函数导数的定义 1.f (x )00()()()f x x x dx f x δ∞-∞''-=-称为 的导数，并记作说明： 函数的导数可按通常的导数公式进行运算222. 函数n 阶导数的定义：f (x )称为 函数的n 阶导数，并记作：23五、函数导数的性质 1是对-x 是偶函数，2f (x )乘上式左边后对x 从 到 积分，得：在积分号下对任意连续函数f (x )的运算性质相同24六、三维函数25 3. 用拉普拉斯算符表示：时， 、代入，保留对r 求的定义得：4. 正交归一完备系 的完备性条件26证明：27。
常型dirac算子的谱分解常型Dirac算子的谱分解是一种用于分析多变量函数的方法，通过将其表示成另一种基本表示形式来简化函数的分析。
它的原理是将函数的多项式系数与常型的Dirac 算子结合使用，以达到函数的分析目的。
这种方法已经在诸如物理学、数学、统计学等领域得到广泛应用。
常型Dirac算子是一种常用的线性算子，在数学上它可以定义为一个把函数从一个空间映射到另一个空间的线性变换。
Dirac算子是一种非常强大的线性算子，它能够将复杂的函数表示成一种简单的基本表示形式。
例如，它可以将一个多项式f(x)表示成一系列线性变换T_k x的组合，其中T_k x表示一系列的Dirac算子。
常型Dirac算子的谱分解是将函数f(x)表示成一系列线性变换T_k x的组合，其中T_k x表示一系列的Dirac 算子。
这样，对于任意的多项式f(x)，就可以将它表示成一系列的线性变换的组合。
而每一个线性变换T_k x都可以用一个特定的参数θ_k 来表示，这样，原来复杂的函数f(x)就可以表示成一系列参数θ_k 的函数。
谱分解的优势在于可以将复杂的函数表示成一系列参数θ_k 的函数，从而大大减少了函数分析的复杂度。
谱分解还可以用于对函数f(x)进行回归分析，以推断函数f(x)的参数θ_k 。
此外，常型Dirac算子的谱分解还可以用于处理大规模的数据集，因为它可以将大规模的数据集分解成一系列的小规模的子数据集，从而减少数据处理的复杂度。
总之，常型Dirac算子的谱分解是一种非常有用的方法，可以将复杂的函数表示成一系列参数θ_k 的函数，从而大大减少函数分析的复杂度。
此外，它还可以用于处理大规模的数据集，以及进行回归分析，以推断函数f(x)的参数θ_k 。
§ 坐标、动量表象和粒子数表象表象（representation ）原指客观事物在人类大脑中的映象，量子力学中的“表象”最先由Dirac 引入，用以描述不同坐标系下微观粒子体系的状态和力学量的具体表示形式。
他把系统状态的波函数看成抽象空间中的态矢量在某个表象中的表示，力学量的本征函数即此空间的一组基矢。
完备性是基矢成为表象的必要条件，但完备性的证明那么因其烦琐和缺乏普适而有力的积分方式而成为从来困扰物理学家的一个难题，这极大地限制了新表象的发觉。
由于针对不同的问题选取适当的表象进行求解往往能够达到事半功倍的成效，而新表象的缺乏也使得对量子力学中某些问题的探讨变得异样困难。
IWOP 技术恰恰提供了构建各类新的表象的有效方式。
它给予大体的坐标、动量表象完备关系以清楚的数学内涵并将其化为纯高斯积分的形式，从而使其成为关于数学家而言“犹如2×2=4一样简单的东西”；它也能够简化相干态完备性的证明，其结果与通常的展开相干态为粒子数态（Fock 表象）的方式殊途同归；关于给定的基矢，通过类似的方式也能够容易地查验其完备性或做出适合的推行，致使大量新表象的显现，如多粒子纠缠态表象、相干纠缠态表象等，它们使量子力学理论绚丽多彩。
在介绍IWOP 技术之前，咱们需要回忆一些必要的基础知识.令Q 、P 别离为厄米的坐标和动量算符，知足Heisenberg 正那么对易关系（为普朗克常数）[] , .Q P i= （）Q 和P 的本征态别离是q 和p ，那么有(), ''Q q q q q q q q δ==-；(), ''P p p p p p p p δ==-； （）且dq P iq dq =-， d p Q i p dp=， （） Dirac 给出的完备性关系是1dq q q ∞-∞=⎰， 1dp p p ∞-∞=⎰。
（）Fock 态的引入能够从谐振子哈密顿量的因式分解法（factorization method ）加以说明。
Dirac算子的特征值问题及其边值问题的Kramer解析核
本文，我们讨论了常型Dirac算子的自伴边条件的等价分类，研究了自伴Dirac算子的特征值的重数问题，以及Kramer-Sampling定理对带有混合型实自伴边条件下的Dirac算子边值问题的应用．主要结果如下：首先，我们给出Dirac 算子自伴边条件的标准形式，即分离型自伴边条件和混合型自伴边条件。
其次，
类似于分离型自伴边条件的情形，我们证明了带有混合型自伴边条件的常型
Dirac算子特征值的几何重数与代数重数的等价性。
最后，在常型Dirac算子特征值几何重数与代数重数相等的条件下，我们利用Kramer-Sampling定理的解析形式给出Dirac算子边值问题的Kramer解析核。
分析的问题限制在边值问题的特征值允许有二重的，即至少有一个重数为2的特征值的情形。
