哈密顿算子与梯度、散度、旋度

关于梯度、散度与旋度的探讨中文摘要本论文主要介绍了梯度、散度与旋度的概念以及性质，研究了它们的一些应用，其中包括共轭梯度法、斯托克斯定理等等。

在此基础之上，我们又进而深入探讨了它们之间的联系，例如梯度场和旋度场的两个重要性质、亥姆霍兹定理等等，同时，麦克斯韦方程组对散度和旋度的应用有了进一步的诠释。

关键词：哈密度算子；梯度；散度；旋度；共轭梯度法Discussion On The Gradient, Divergence And CurlABSTRACTThis paper describes the gradient, divergence and curl of the concept and nature of some of their applications, including conjugate gradient method, Stokes Theorem and so on. On this basis, we also discussed in detail the links between them, such as gradient and curl field of the two important properties, the Helmholtz Theorem, and so, while Maxwell's equations for divergence and curl The application has been further interpretation.KEY WORD: Hamilton operator degree;Gradient; divergence; rotation; conjugate gradient method.第一章前言 (1)1.1 问题的提出 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 研究思路 (2)第二章梯度、散度与旋度的概念与性质 (3)2.1 梯度的概念与性质 (3)2.1.1 梯度的概念 (3)2.1.2 梯度的性质 (4)2.2 散度的概念及性质 (6)2.2.1 散度的概念 (6)2.2.2 散度的性质 (7)2.3 旋度的概念及性质 (9)2.3.1 旋度的概念 (9)2.3.2 旋度的性质 (11)第三章梯度、散度与旋度的应用与联系 (12)3.1 梯度、散度与旋度的应用 (12)3.1.1 梯度的应用 (12)3.1.2 散度的应用 (18)3.1.3 旋度的应用 (20)3.2 梯度、散度与旋度的联系 (21)3.2.1 两个重要性质 (21)3.2.2 亥姆霍兹定理 (22)3.2.3 麦克斯韦方程组 (23)第四章结束语 ...................................................................................................... 错误！未定义书签。

梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。

上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。

上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

梯度，散度，旋度以及几个常用的PDE 方程——蒋小敏2012-05-07在最近的学习过程中，经常碰到梯度、散度、旋度等数学概念。

惭愧的是以前学的不够认真，到了现在，忘记的也差不多了，趁这个机会把这些知识捡回来，做一个总结，以后可以作为一个参考，是为记。

本文按知识点进行小节划分，提到的问题都是我自己经常忘记和搞混的知识点。

先定义一下本文的一些符号表达：矢量：大写黑体斜体字母A ，大写斜体字母加表示矢量的符号 标量：小写斜体字母u单位矢量：小写上加倒勾e x一、矢量（1）矢量的定义若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。

例如在直角坐标系中, 矢量A 的三个分量模值分别是Ax ，Ay ，Az ，则矢量A ，z y x A z A y A xA ˆˆˆ++=（2）矢量的模222z y x A A A A ++=（3）矢量的乘积标量积，Dot production 点乘，这是一个标量AB a B A B A cos =⋅2222AA A A A AB A B A B A B A zyxz z y y x x =++=⋅++=⋅A xe矢量积，Cross production 叉乘，这是一个矢量AB a B A nB A sin ˆ=⨯ 其中 为A , B 所在平面的右手法向。

zy x z y x B B B A A A zy x B A ˆˆˆ=⨯ 二、通量（1）通量的定义若矢量场A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S ，则⎰⋅=ψSd SA为矢量A 沿有向曲面S 的通量。

（2）通量的物理含义表示穿入和穿出闭合面S 的矢量通量的代数和。

若0>ψ穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；若0<ψ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；若0=ψ，闭合面无源。

散度、旋度、梯度释义散度、旋度、梯度是矢量分析中的重要概念，通常用于描述矢量场的特性。

1. 散度（Divergence）散度是指矢量场在某一点上的流出量与流入量之差，也就是说，它描述了矢量场的源和汇在该点的情况。

如果某一点的散度为正，表示该点是矢量场的源，矢量场从该点向外扩散；如果散度为负，表示该点是矢量场的汇，矢量场汇聚于该点；如果散度为零，则表示该点是矢量场的旋转中心。

数学上，散度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的散度算子作用于该点处的矢量的结果。

散度算子用符号“∇·”表示，因此，该点的散度可以用以下公式来计算：div F = ∇·F其中，F表示矢量场，div F表示该点的散度。

2. 旋度（Curl）旋度是指矢量场在某一点上的旋转程度，也就是说，它描述了矢量场在该点处的旋转方向和强度。

如果某一点的旋度为正，表示该点周围的矢量场是顺时针旋转的；如果旋度为负，表示该点周围的矢量场是逆时针旋转的；如果旋度为零，则表示该点周围的矢量场没有旋转。

数学上，旋度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的旋度算子作用于该点处的矢量的结果。

旋度算子用符号“∇×”表示，因此，该点的旋度可以用以下公式来计算：curl F = ∇×F其中，F表示矢量场，curl F表示该点的旋度。

3. 梯度（Gradient）梯度是指矢量场在某一点上的变化率，也就是说，它描述了矢量场在该点处的变化方向和强度。

如果某一点的梯度为正，表示该点处的矢量场在该方向上增强；如果梯度为负，表示该点处的矢量场在该方向上减弱；如果梯度为零，则表示该点处的矢量场没有变化。

数学上，梯度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的梯度算子作用于该点处的标量函数的结果。

梯度算子用符号“∇”表示，因此，该点的梯度可以用以下公式来计算：grad f = ∇f其中，f表示标量函数，grad f表示该点的梯度。

如何推导梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子的傅里叶对应梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子是数学和物理学中常见的概念，它们在向量分析、场论、泛函分析等领域中具有重要的地位和作用。

在实际应用中，这些概念通常与傅里叶变换相结合，为问题的分析和求解提供了便利。

本文将重点探讨梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子的傅里叶对应关系，并介绍如何推导这些对应关系。

1. 梯度的傅里叶对应梯度是一个向量算子，用来描述标量函数在空间中变化最快的方向和变化率。

对于二维空间中的标量函数f(x, y)，其梯度可以表示为：∇f = ( ∂f/∂x, ∂f/∂y )其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f对x和y的偏导数。

现在我们来推导梯度的傅里叶对应关系。

根据傅里叶变换的定义，二维空间中的函数f(x, y)的傅里叶变换可以表示为：F(kx, ky) = ∬ f(x, y) * exp(-i(kx*x + ky*y)) dx dy其中，exp(-i(kx*x + ky*y))是傅里叶核，kx和ky分别表示频域中的横向和纵向频率。

我们对上式进行偏导数运算：∂F(kx, ky)/∂kx = -i ∬ x * f(x, y) * exp(-i(kx*x + ky*y)) dx dy∂F(kx, ky)/∂ky = -i ∬ y * f(x, y) * exp(-i(kx*x + ky*y)) dx dy这样，我们得到了梯度的傅里叶对应关系：∇f = (i∂/∂kx, i∂/∂ky) F(kx, ky)也就是说，原函数f(x, y)的梯度与其在频域中的傅里叶变换的偏导数存在对应关系，这为在频域中对梯度的分析提供了便利。

2. 散度的傅里叶对应散度是一个向量算子，描述了向量场在某一点的流出量与流入量的差异。

对于二维空间中的向量场V(x, y) = (u(x, y), v(x, y))，其散度可以表示为：div(V) = ∂u/∂x + ∂v/∂y现在我们来推导散度的傅里叶对应关系。

梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。

上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

梯度gradient设体系中某处的物理参数(如、、等)为w，在与其垂直距离的dy处该为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。

如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为、或。

在向量微积分中，的梯度是一个。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。

在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的的情况，梯度只是，或者，对于一个，也就是线的。

梯度一词有时用于，也就是一个沿着给定方向的倾斜程度。

可以通过取向量梯度和所研究的方向的来得到斜度。

梯度的数值有时也被成为梯度。

在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]梯度的汉语词义，用法。

《现代汉语词典》附：新词新义梯度 1.坡度。

2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。

3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。

4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。

散度散度（divergence）的概念：在F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F=▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

梯度gradie nt设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w,在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。

如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。

在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。

可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。

梯度的数值有时也被成为梯度。

在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y) € D,都可以定出一个向量(S f/x)*i+( S f/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(S f/x)*i+( S f/y)*j+( S f/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]梯度的汉语词义，用法。

《现代汉语词典》附：新词新义梯度1.坡度。

2. 单位时间或单位距离内某种现象(如温度、气压、密度、速度等) 变化的程度。

3. 依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西〜推进。

4. 依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有〜。

散度散度(diverge nee )的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S,当S 所限定的体积4V以任何方式趋近于0时，则比值为F・dS AV的极限称为矢量场F在点M 处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

梯度、散度和旋度——定义及公式1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为∇。

三维坐标系下，有=i j k x y z∂∂∂∇++∂∂∂ 或者 (,,)x y z ∂∂∂∇=∂∂∂ 其中,,i j k 分别为xyz 方向上的单位矢量。

2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。

(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ∂∂∂∂∂∂=∇=++=∂∂∂∂∂∂ 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。

2.2 梯度的性质∇c=0∇(RS)= ∇R+∇S21()(),0R S R R S S S S∇=∇-∇≠ [()]()f S f S S '∇=∇其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。

3 散度（Divergence ）散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。

设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z∂∂∂∂∂∂=∇==++∂∂∂∂∂∂ 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。

它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。

当0div f >，该点有散发通量的正源（发散源）；当0div f <，该点有吸收通量的负源（洞或汇）； 当=0div f ，该点无源。

4 旋度（Curl, Rotation ）旋度是哈密顿算子与矢量函数f 叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则旋度：=rot ()()()y y x x z z x y zij k f f f f f f curl f f f i j k xy z y zz x x y f f f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。

旋度、散度和梯度计算公式概述：旋度、散度和梯度是矢量场分析中常用的概念和计算方法。

它们用于描述矢量场的变化性质和方向性。

本文将介绍旋度、散度和梯度的定义以及如何计算它们的公式。

旋度（Curl）旋度衡量了矢量场中的涡旋或旋转的程度。

在数学上，旋度是一个矢量运算符，用符号∇×表示。

旋度可以计算一个二维或三维矢量场的旋转强度。

对于一个二维矢量场F=(P, Q)，其旋度公式为：∇×**F** = (∂Q/∂x) - (∂P/∂y)对于一个三维矢量场F=(P, Q, R)，其旋度公式为：∇×**F** = (∂R/∂y - ∂Q/∂z) i + (∂P/∂z - ∂R/∂x) j + (∂Q/∂x - ∂P/∂y) k 其中，i、j和k分别是坐标轴单位向量。

散度（Divergence）散度描述了矢量场的源汇性质，即矢量场中流入或流出某一点的数量。

在数学上，散度是一个矢量运算符，用符号∇·表示。

对于一个二维矢量场F=(P, Q)，其散度公式为：∇·**F** = (∂P/∂x) + (∂Q/∂y)对于一个三维矢量场F=(P, Q, R)，其散度公式为：∇·**F** = (∂P/∂x) + (∂Q/∂y) + (∂R/∂z)梯度（Gradient）梯度是一个标量场的变化速率和方向的矢量表示。

它描述了矢量场在某一点上的最大变化方向。

在数学上，梯度是一个矢量运算符，用符号∇表示。

对于一个二维标量场f(x, y)，其梯度公式为：∇f = (∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j对于一个三维标量场f(x, y, z)，其梯度公式为：∇f = (∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j + (∂f/∂z) k其中，i、j和k分别是坐标轴单位向量。

梯度的方向和大小指示了最大的变化率和变化方向。

它垂直于等值线，并指向函数值增加最快的方向。

结论旋度、散度和梯度是描述矢量场性质和变化方向的重要工具。

矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案下载矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案下载本书各章包括：矢量分析，场论，哈密顿算子V，梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式。

此外，考虑到某些学科领域的需要，作为本书的附录，增讲了若干正交曲线坐标系。

《矢量分析与场论(第3版)》可作为一般工科院校本课程的教材使用。

矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：图书信息第一章矢量分析第一节矢性函数1.矢性函数的概念2.矢端曲线3.矢性函数的极限和连续性第二节矢性函数的导数与微分1.矢性函数的导数2.导矢的几何意义3.矢性函数的微分4.矢性函数的导数公式5.导矢的物理意义6.拉格朗日中值定理第三节矢性函数的积分1.矢性函数的不定积分2.矢性函数的定积分习题1第二章场论第一节场1.场的概念2.数量场的等值面3.矢量场的矢量线4.平行平面场习题2第二节数量场的方向导数和梯度1.方向导数2.梯度习题3第三节矢量场的通量及散度1.通量2.散度3.平面矢量场的通量与散度习题4第四节矢量场的环量及旋度1.环量2.旋度习题5第五节几种重要的.矢量场1.有势场2.管形场3.调和场习题6第三章哈密顿算子▽习题7第四章梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式第一节曲线坐标的概念第二节正交曲线坐标系中的弧微分1.坐标曲线的弧微分2.一般曲线的弧微分3.在正交曲线坐标系中矢量e1，e2，e3与矢量i，j，k之间的关系第三节在正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度与调和量的表示式1.梯度的表示式2.散度的表示式3.调和量的表示式4.旋度的表示式5.梯度、散度、旋度与调和量在柱面坐标系和球面坐标系中的表示式6.正交曲线坐标系中矢量场A的广义雅可比矩阵第四节正交曲线坐标系中的势函数和矢势量1.势函数2.全微分求积3.保守场中的曲线积分4.矢势量习题8附录若干正交曲线坐标系1.椭圆柱面坐标系2.抛物柱面坐标系3.双极坐标系4.长球面坐标系5.扁球面坐标系6.旋转抛物面坐标系7.圆环面坐标系8.双球面坐标系9.椭球面坐标系10.锥面坐标系11.抛物面坐标系习题9部分习题参考答案矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：内容简介出版社: 高等教育出版社; 第4版 (5月1日)平装: 170页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7040348489, 9787040348484条形码: 9787040348484商品尺寸: 19.6 x 13.6 x 0.8 cm商品重量: 159 g品牌: 高等教育出版社ASIN: B0084XU730矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：目录点击此处下载矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案。

梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。

上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。

散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。