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第27章 二次函数复习 课件5

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二次函数复习ppt课件

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点坐标是（1/2，1） ； （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n 开口向下，顶点在第四象限，则 a ＜刀
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。

【华师大版】-九年级数学小复习：第27单元 二次函数 复习课件

【华师大版】-九年级数学小复习：第27单元 二次函数 复习课件
沿y轴平移则直接在解析式的 常数 项后进行加减(上加下减)，若沿x
轴平移则直接在含x的括号内进行加减(右减左加)．
数学·新课标（HS）
第27章复习1 ┃ 考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 二次函数的图象
例1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图27－1 所示，则下列结论：①ac＞0；②a－b＋c＜0；③当x＜0时，y ＜0；④方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个大于－1的实数根．其 中错误的结论有( C )
第27章复习1 ┃ 知识归类
(2)b2－4ac的符号确定抛物线与x轴的交点个数．b2－4ac＞0时，
有 两个 交点；b2－4ac＝0时，只有 一个 交点，抛物线的顶点在x 轴上；b2－4ac＜0时， 没有 交点．
4．抛物线的平移
抛物线的平移主要是移动 顶点 的位置，将y＝ax2沿着y轴(上
“＋”，下“－”)平移k(k＞0)个单位得到函数y＝ax2 ± k，将y ＝ax2沿着x轴(右“－”，左“＋”)平移h(h＞0)个单位得到y＝a(x ± h)2.在平移之前先将函数解析式化为 顶点 式，再来平移，若
数学·新课标（HS）
第27章复习1 ┃ 考点攻略 ► 考点二 巧用抛物线的对称性 例 2 抛物线 y＝x2－4x＋m2 与 x 轴的一个交点的坐标为(1,0)， 则此抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是__(_3_,_0_)__．
数学·新课标（HS）
第27章复习1 ┃ 考点攻略
[解析] 抛物线的对称轴为 x＝－－24＝2，因为点(1,0)到对称轴 的距离为 1，根据对称的性质可得，在对称轴右侧的交点到对称轴 的距离也为 1，所以抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0)．
数学·新课标（HS）

二次函数知识点复习PPT课件

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=
=
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 中 a、b、c的符号判别：



①a的符号判别由开口方向确定：当开口向 上时，a＞0；当开口向下时，a＜0； ②c的符号判别由与Y轴的交点来确定：若交 点在X轴的上方，则c＞0；若交点在X轴的下 方，则C＜0； ③b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的 左侧，则a、b同号；若对称轴在Y 轴的右侧， 则a、b异号；(a与b左同右异)
5.(杭州中考题)已知某二次项系数为1的一元二 次方程的两根为p,q,且满足关系式p+q(p+1)=5 和 p2q+pq2=6,求这个一元二次方程
两式分别化为(p+q)+pq=5, (p+q)pq=6后得 p+q=3,pq=2或p+q=2,pq=3,所以方程为: x2-2x+3=0 或x2-3x+2=0
韦达定理
ax2+bx+c=0（a 0, 0）的两根为x1，x2 则x1+x2= ，x1.x2=
1.已知一元二次方程,不解方程,求与根有关
的代数式; 2.构造一元二次方程;(减和加积等于0): X2-(x1+x2)x+(x1.x2)=o 3.分解二次三项式.(两根双减,a放最前): ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 4.构造一元二次方程来解方程或方程组


图象与X轴的交点个数 当Δ=b2-4ac>0时，函数与X轴有两个交点； Δ=b2-4ac <0时，函数与X轴没有交点； Δ=b2-4ac =0时；函数与X轴只有一个交点；


（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只 有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则 Δ=b2-4ac=0； （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在 Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则 b=0； （3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点， 则c=0；

九年级数学下册第27章二次函数复习课件华东师大版

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(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称 图形，所以对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称 轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 若已知抛物线上两点 (x1,y)、(x2,y)，则对称轴方程可以表示为：x x1 x2 .
2
2.求二次函数关系式 (1)二次函数关系式常用的有三种形式 ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) ； ③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
注：(1)利用二次函数的定义解题时，尤其是含有字母系数的 函数，应特别留意二次项的系数是否为0. (2)根据实际问题列函数关系式时，要注意自变量的取值范围 需保证使实际问题有意义.
二、二次函数的图象及其性质 1.二次函数y=ax2的图象及其性质 (1)抛物线y=ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. (2)①当a＞0时,图象位于x轴的上方,抛物线开口向上,顶点为 其最低点;在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的 右侧，y随x的增大而增大；
【例2】(2012·佳木斯中考)如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标 原点，并与x轴交于点A(2,0). (1)求此抛物线的解析式; (2)写出顶点坐标及对称轴; (3)若抛物线上有一点B，且 S△OAB=3,求点B的坐标.
2.抛物线与x轴的交点情况与一元二次方程的根的判别式的关 系： (1)有两个交点⇔b2-4ac＞0; (2)有一个交点(顶点在x轴上)⇔b2-4ac=0; (3)没有交点⇔b2-4ac＜0. 注：根据抛物线的开口方向和顶点的位置也可以判断抛物线与x 轴的交点个数，如a＞0，顶点在x轴的上方，则抛物线与x轴没 有交点.
二次函数与一元 二次方程的关系
关系式

二次函数复习课课件

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用二次函数解决速度问题
总结词
通过建立速度与时间的函数关系，利用二次函数的导数求解瞬时速度和加速度。
详细描述
在解决速度问题时，首先需要建立速度与时间的函数关系。这个关系通常是一个二次函 数。通过求导数，可以找到瞬时速度和加速度。在分析物体的运动规律时，这些参数非 常重要。例如，在抛物线运动中，加速度的方向和大小决定了物体运动轨迹的形状和方
二次函数的顶点式
总结词
二次函数的顶点式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛 物线的顶点。
详细描述
二次函数的顶点式是标准形式的 变形，其中 $(h, k)$ 是抛物线的 顶点。顶点式可以更直观地表示 抛物线的对称性和顶点位置。
二次函数的交点式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结词
二次函数的交点式是 $y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是抛物线与x轴的交点。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面内沿x 轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括横向和纵向的缩放。横向缩放 是指图像在x轴方向上缩小或放大，纵向缩 放是指图像在y轴方向上缩小或放大。在伸 缩变换过程中，二次函数的解析式会相应地 乘以或除以一个大于0的常数。例如，将二 次函数y=ax^2+bx+c的图像沿x轴方向缩 小k倍，解析式变为y=a(x/k)^2+b(x/k)+c
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。根据系数$a$ 的正负，抛物线有不同的开口方向：当$a > 0$ 时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开 口向下。同时，抛物线的对称轴为直线$x = frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。

二次函数(复习课)课件

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详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。

九年级数学下册第27章二次函数27.1二次函数课件华东师大版2022032711


2.若y=(m2+m)xm2-2m+2为二次函数,则自变量x的系数和次数应分别 等于什么？m的值等于什么？ 答：x的系数不为0,即m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1；x的次数为2, 即m2-2m+2=2,解得m=0或m=2，所以m=2.
3.若y=(m2+m)xm2-2m+2为一次函数,则自变量x的系数和次数应分 别等于什么？m的值又等于什么？ 答：x的系数不为0,即m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1；x的次数为1, _即__m_2_-_2_m__+__2_=_1__,解__得__m__1_=_m__2_=__1_.所__以m=1.
AB长x(m) BC长(m) 面积y(m2)
1 2 3 4 5 6 7 89
1_8_ _1_6 _1_4 12 _1_0 _8_ _6_ _4_ _2_ _1_8 _3_2 _4_2 48 _5_0 _4_8 4_2_ _3_2 1_8_
通过填写表格可以发现当x的值为_5_时,y的值最大，为_5_0_． 即在问题1中垂直于墙的一边AB的长为_5_ m,另一边BC的长为 1_0_ m时,得到的矩形花圃的面积最大．
特别提醒:注意自变量在实际问题中的实际意义,准确确定自变 量的取值范围.
【规范解答】(1)y=240x2+120x+45；………………………2分
(2)由题意可得
240x2+120x+45=195，整理得8x2+4x-5=0.…………………5分
解得x1=14
11,x2
(舍1去1)1.………………………7分
2m3 2，
m4 0,
解得
m
1或
m
5， 3

初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件


面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上

九年级数学下册第27章二次函数27.1二次函数华东师大

第27章 二次函数
§27.1 二次函数
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的
意义，并了解二次函数的有关概念．

我们学习过哪些函数？
一次函数 y=kx+b(k≠0） 正比例函数 y=kx(k≠0）
反比例函数 y k (k 0) x
【做一做】 要用长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形
解：S=a( 60-a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.是函数关
系,
2
且是二次函数关系.
3.如果函数y= x k2 -3k+2+kx+1是二次函数,则k的值
是_0__或__3_. 4.如果函数y=(k-3) x k2 -3k+2 +kx+1是二次函数,则 k的值是___0___.
1.物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)与下落的时间 t(s)的关系是:h=4.9t2,填表表示物体下落的高度:
所以m=2.
【规律方法】 1.关于x的二次函数表达式y=ax²+bx+c的代数式一定是 整式,a,b,c为常数,且 a≠0.
2.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
1.定义：形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做 二次函数. 2.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx (a≠0,b≠0,c=0). 3.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是 2,自变量x的取值范围是全体实数.

九年级数学下册 第27章二次函数复习课件 华东师大版


x为何值时,y＜0？
ya2xbxc
顶点坐标： ( b , 4acb2 ) 2a 4a
对称轴： 直线x= b 2a
与x轴交点，令y=0; 与y轴交点，令x=0
二次函数的图象及性质
抛物线 y ax2 yax2 c ya(xh)2 ya(xh)2k yax2bxc
开口方向
当a>0时开口向上，并向上无限延伸； 当a<0时开口向下，并向下无限延伸.
- 2 a 与-1比较
与x轴交点个数 令x=1，看纵坐标
令x=-1，看纵坐标
令x=2，看纵坐标 令x=-2，看纵坐标
练习、判断符号
a、b、c、
2a+b、2a-b、 b2-4ac、
-1
1
a+b+c、a-b+c、
4a+2b+c 、 4a-2b+c
1、（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对 称轴是_________。 （2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________ （3）已知函数y= -x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x 的取值范围是___________ （4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= ____。
（2）抛物线过点（-1，-2），k____。 （3）当x=-1时，函数有最小值，k=_____。 （4）抛物线的最小值为-1 , k=_____。
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月1日星期二2022/3/12022/3/12022/3/1 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/12022/3/1March 1, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/1
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与直线综合
已知二次函数图象顶点为C（1，0），直线 y=x+m 与该 二次函数交于A，B两点，其中A点（3，4），B点在y轴 上. （1）求m值及这个二次函数关系式； （2）P为线段AB上一动点（P不与A，B重合），过P做x 轴垂线与二次函数交于点E，设线段PE长为h，点P横坐 标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x取值 范围； （3）D为线段AB与二次函数对称 Y A 轴的交点，在AB上是否存在一 P D 点P，使四边形DCEP为平行四边 形？若存在，请求出P点坐标； B E 若不存在，请说明理由。

A C B
与圆综合






在平面直角坐标系 xoy中，半径为1的圆的圆心O在坐标 原点，且与两坐标轴分别交于 A、B、C、D四点．抛物线 y=ax² +bx+c与y轴交于点D ，与直线 y=x交于点M、N ， 且MA、NC 分别与圆O 相切于点A和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交x 轴于 y 点E,连结DE,并延长DE交圆O于F, 求EF的长． D N （3）过点B作圆O的切线交DC的 延长线于点P，判断点P是否在 E A O 抛物线上，说明理由． x C
抛物线与x轴交于A(－1，0)、E(3，0) 两点，与y轴交于点B(0，3)。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D，求四边形 AEDB的面积； （3）△AOB与△DBE是否相似？如果 相似，请给以证明；如果不相似，请说 明理由。

在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且 OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)． （1）求点B的坐标； （2）求过点A、O、B的抛物线的表达 式 （3）连接AB，在（2）中的抛物线上求 出点P，使得S△ABP＝S +4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于 点C，抛物线的对称轴交x轴于点E. （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标； （2）在平面直角坐标系xoy 中是否存在点P，与A、B、 C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）连结CA与抛物线的对称轴 交于点D，在抛物线上是否存在 点M，使得直线CM把四边形DEOC C 分成面积相等的两部分？若存在， 请求出直线CM的解析式；若不存 D 在，请说明理由.
A E B O
与相似三角形综 合



如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O， 与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是 △AOB面积的3倍； （3）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线 y 上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平 A 行四边形，求D点的坐标； （4）连结OA，AB，在x轴下方的 B O x 抛物线上是否存在点N，使△OBN 与△OAB相似？若存在，求出N点 的坐标；若不存在，说明理由．
F
M
B
如图，在直角坐标系xoy中，A、B是x
轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于 C，设过A、B、C三点的抛物线的解析 式为y=x2-mx+n，方程x2-mx+n=0的两 根倒数和为-2．
（1）求n的值； （2）求此抛物线的解析式； （3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F 两点，问是否存在此线段EF为直径的圆恰好 与x轴相切，若存在，求出此圆的 半径；若不存在，说明理由．

如图所示，已知抛物线y=x² 与x轴交 -1 于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P， 求四边形ACBP的面积． （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一 点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、 y M、G三点为顶点的三角形与PCA相 P 似．若存在，请求出M点的坐标；否则， 请说明理由．



已知抛物线y=ax² +bx+c经过 P( 3，，E 5 2 3 ， 及原点． 3) 0 （1）求抛物线的解析式. （2）过点P作平行于x轴的直线PC交y轴于点C，在抛物线 对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q， 过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点， 直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在 点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐 标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q点在x y 轴的上方，连结OQ，矩形OABC 内的四个三角形△OPC,△PQB, B C P △OPQ,△OQA之间存在怎样的 Q 关系？为什么？ O E
A x
在平面直角坐标系xoy中，已知二次函数y=ax² +bx+c的图 象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）,与y轴交于点C， 其顶点的横坐标为1，且过点(2,3)和(-3,-12)． （1）求此二次函数的表达式. （2）若直线l:y=kx(k≠0)与线段BC交于点D（不与点B,C 重合），则是否存在这样的直线l，使得以B,O,D为顶点的 三角形与△ABC相似？若存在，求出该直线的函数表达式 及点D的坐标；若不存在，请说明理由； x （3）若点P是位于该二次函数对称轴 右边图象上不与顶点重合的任意一点， C 试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不 A O B y 必证明），并写出此时点P的横坐标xp 的取值范围．