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x
2
ti , j 1 2ti , j ti , j 1
y
2
v ,i , j 0
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，
从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和 基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守 恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生 成热＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的量 即：
y o
x
x
x
二维导热区域为单位厚度
V Φ xy Φv Φ 内热源：
由于 即有
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
y
tm1,n tm,n x y y tm1,n tm,n x x tm,n1 tm,n y
x
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 2 o ( y ) 2 2 y m,n y
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
v 2t 2t 2 0 2 x y
其节点方程为：
ti 1, j 2ti , j ti 1, j
系数。
4-2
边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解
对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为 已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离 散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题， 就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界 节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才 能求解。
x y
y
x
t m ,n
1 ( 2t m1,n 2t m ,n1 t m ,n1 t m1,n 6 3x 2 2x 2 qw ) 2
Qw 的情况：
(1) 第二类边界条件：将
qw const ，带入上面各式即可
， qw h(t f tm,n )带入上面各式即可
h1t f
x
二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
(m,n)
n
y
y M
x
x
m
二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法；
(2) 多项式拟合法；
(3) 控制容积积分法；
(4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
若无内热源，则由上式
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
可得：
x 2
Φ
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
说明：所求节点的温度前的系数等于其他所有 相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用 于边界节点。但不包括热流(或热流密度)前的
i v o
单位： [ W]
i v o i ( o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量 ＋ 控制体内热源生成热 ＝ 控制体内能的增量 注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
稳态、无内热源时：
qw
y x
x y
4tm,n 2tm1,n 2x m ,n qw tm,n1 tm,n1 Φ x 2
(2) 外部角点
qw
y t m1,n t m ,n y qw 2 x 2 x x t m ,n1 t m ,n qw 2 2 y x y Φm ,n 0 2 2
x y
y x
2tm,n
x 2 m ,n tm1,n tm,n1 qw Φ 2
2x
(3) 内部角点
qw
tm1,n tm ,n y tm1,n tm ,n y y qw x x 2 2 tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n x x qw y y 2 2 3xy Φm ,n 0 4
tm,n1 tm,n
xy 0 Φ
当 x y 时： 有 整理得
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n
x 2
4tm,n
x 2 tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 Φ
0 Φ
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
注意：各项热流量都以导入元体（m,n）的方向为正。
dt dt 左 A y dx dx
用差分代替微分，有
dt t tm1,n tm,n dx x x
（
dt t lim ） dx x 0 x
节点越多， x 越小，
• 实验法。 就是在传热学基本理论的指导下，采用对
所 研究对象的传热过程进行实验求量的方法； 2 三种方法的特点 (1) 分析法
• 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计 算提供比较依据；
• 局限性很大，对复杂的问题无法求解； • 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点。
分子动力学模拟（MD）
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1建立控制方程及定解条件 4设立温度场的迭代初值 5求解代数方程 否 2确定节点（区域离散化） 3建立节点物理量的代数方程 改进初场
是否收敛
是
解的分析
物理问题的数值求解过t f
t0
h2 t f
4 qw (T f4 Tm ,n )
（绝热或对称边界条件）？ (2)第三类边界条件：将
(3) 辐射边界条件： qw const
作业： （1）将
qw h(t f tm,n ) 带入外部角点的温度离
散方程，并化简到最后的形式 （2）(4-6)；(4-9)
（1） Taylor（泰勒）级数展开法
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2 tm1,n 2tm,n tm1,n 2 o ( x ) 2 x
m ,n
同理可得：
截断误差 未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
从所有方向流入控制体的总热流量＝0
内部节点： Φm1,n Φm1,n Φm ,n1 Φm ,n1 0
(m,n+1)
y
(m-1,n) (m, n)
(m+1,n)
y
(m,n-1)
y o
x
x
x
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
为了求解方便，我们将第二类边界条件及第三类边界条件 合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度 表达式。用Φ 表示内热源强度。
1.边界节点离散方程的建立：
qw
(1) 平直边界上的节点
tm1,n tm ,n y yqw x x tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n 2 y 2 y x Φm ,n y 0 2
• 适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性； • 与实验法相比成本低； (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法。
• 适应性不好；
• 费用昂贵； 常用的数值解法包括： • 有限差分法（finite-difference）、 • 有限元法（finite-element） 、
•
•
边界元法（boundary- element）、
§ 4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数值计算 法；(3) 实验法 • 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得 的解称之为分析解，或叫理论解； • 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一 定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得 离散点上被求物理量的值，并称之为数值解；
(m,n+1)
tm 1, n tm , n x
dt 越接近 dx 。
y
(m-1,n) (m, n)
dt tm1,n tm,n 左 y y dx x
(m+1,n) 右 y
tm1,n tm,n x
y
(m,n-1)
t m ,n1 t m ,n 上 x y t m ,n1 tm ,n 下 x y
