2013届高三数学解答题训练(3)

保温特训(三) 三角函数与平面向量基础回扣训练(限时30分钟)1．已知函数f (x )＝2 cos 2x －3，则下列选项正确的是( )．A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的值域为[－3，－1]2．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，若a ⊥b ，则|b |＝( )．A. 5 B ．2 5 C ．5D ．203．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 图象的一条对称轴是 ( )．A ．x ＝π8B ．x ＝π4C ．x ＝π2D ．x ＝π4．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ²(a ＋b )＝0，则a 与b 的夹角是( )．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝( )．A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 36．函数y ＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－x 具有性质( )．A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，最大值为1B ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，最大值为2 C ．图象关于直线x ＝－π3对称，最大值为2D ．图象关于直线x ＝－π6对称，最大值为17．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )．A.π6B.π4C.π3D.56π 8．若△ABC 的外接圆半径R 和△ABC 的面积都等于1，则sin A sin B sin C 的值为( )．A.14B.32C.34D.129．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的射影的数量为( )．A.32B.32 C ．3D ．－3210．在△ABC 中，若AB →2＝AB →²AC →＋BA →²BC →＋CA →²CB →，则△ABC 是( )．A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形11．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 12．已知|a |＝|b |＝|a －b |＝2，则|3a －2b |＝________.13．在△ABC 中，已知AB →²AC →＝4，AB →²BC →＝－12，则|AB →|＝________. 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72，且c ＝7，则△ABC 的面积的最大值为________．15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A ，127，q ＝(cos 2A,2sin A )，且p ∥q . (1)求sin A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a .临考易错提醒1．应注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z，也可以表示为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .2．应注意所有周期函数不一定都有最小正周期，例如，常函数就不存在最小正周期．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的限制条件，则其最小正周期是2π|ω|；求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的限制条件，则其最小正周期是π|ω|. 3．易混淆y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换顺序，不清楚每一次变换都是对自变量而言的，要看自变量的变化，而不是看ω，φ的变化．4．应注意正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点与x 轴垂直的直线；正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心是函数图象与x 轴的交点以及在定义域内被排除掉的点．5．注意向量加法的三角形法则适用于任意两个非零向量相加，并且可以推广到两个以上的非零向量相加．向量的减法是被减向量加上减向量的相反向量，特别要注意对平面上任意一点O ，向量AB →＝AO →＋OB →(加法的三角形法则)＝OB →－OA →(减法的三角形法则)． 6．易混淆向量共线与直线共线的区别，向量共线是指向量所在的直线平行或者重合，而直线共线是指它们重合．7．应注意向量与它的坐标之间是一一对应的关系，即向量确定，则坐标唯一；坐标确定，则向量唯一，但表示向量的有向线段不唯一，根据AB →＝(x B －x A ，y B －y A )，无论向量AB →在平面上如何移动，向量AB →的坐标是唯一的．8．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0，而不是等于0，0与任意向量的数量积等于0，即0²a ＝0. 9．易误认向量的数量积的运算定律与实数相同，实际上在一般情况下(a²b )²c ≠a²(b²c )；a²b ＝0时未必有a ＝0或b ＝0.10．已知两边及其中一边的对角解三角形时，应注意对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否大于1，当正弦值小于或等于1时，还应判断各角之和与180°的关系，二是两边的大小关系．参考答案保温特训(三)1．D [当cos x ＝0时，f (x )取最小值，f (x )min ＝－3；当cos x ＝±1时，f (x )取最大值，f (x )max ＝－1，所以函数f (x )的值域为[－3，－1]．]2．B [因为a ⊥b ，所以a ²b ＝x －4＝0，解得x ＝4，所以|b |＝x 2＋4＝25，选B.]3．B [y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x ， ∵x ＝π4时，y ＝1＋1＝2，∴x ＝π4是函数图象的一条对称轴．]4．D [由a ²(a ＋b )＝0得a ²a ＋a ²b ＝0，即|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，将已知数据代入解得cos 〈a ，b 〉＝－12，∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.]5．B [由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2.又因为函数经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π3＋φ＝2，即2³π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z.f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π＝－1.] 6．A [因为y ＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin x ＋sin π3cos x －cos π3sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以最大值为1，又当x ＝－π3时，y ＝0，故选A.]7．A [由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则sin A ＝45，445＝52sin B ，sin B ＝12.又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π6.]8．D [根据三角形面积公式和正弦定理S ＝12ab sin C ＝122R sin A ²2R sin B ²sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ，将R ＝1和S ＝1代入得sin A sin B sin C ＝12.]9．A [由已知可知，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形．且A ＝π2，又因为|OA →|＝|CA →|，∴C ＝π3，B ＝π6，∴AB ＝3，AC ＝1，故BA →在BC→上的射影|BA →|cos π6＝32.]10．D [∵AB →2＝AB →²AC →＋BA →²BC →＋CA →²CB →，∴AB →2－AB →²AC →＝BA →²BC →＋CA →²CB →，∴AB →(AB →－AC →)＝BC →²(BA →－CA →)，∴AB →²CB →＝BC →2，∴CB →²(BC →＋AB →)＝0， ∴CB →²AC →＝0，∴AC ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形．]11．解析 ∵cos α＝－45且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝35. ∴tan α＝－34.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan α²tanπ4＝17.答案 1712．解析 因为|a －b |2＝|a |2－2a²b ＋|b |2＝4＋4－2a²b ＝4，所以解得a²b ＝2，所以|3a －2b |2＝9|a |2＋4|b |2－12a²b ＝36＋16－24＝28，故|3a －2b |＝27. 答案 2713．解析 ∵AB →²AC →＝4，∴bc cos A ＝b 2＋c 2－a 22＝4，∴b 2＋c 2－a 2＝8，同理a 2＋c 2－b 2＝24，∴c 2＝16，∴c ＝4. 答案 414．解析 因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，即cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.由余弦定理得cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab ，ab ＝a 2＋b 2－7≥2ab －7，ab ≤7.(当且仅当a ＝b ＝7时，“＝”成立)从而S ＝12ab sin C ≤12²7²32＝734，即S 的最大值为734.答案73415．解 (1)∵p ∥q ，∴127cos 2A ＝(1－sin A )²2sin A ，∴6(1－2sin 2A )＝7sin A (1－sin A )，5sin 2A ＋7sin A －6＝0，∴sin A ＝35，sin A ＝－2(舍)．(2)由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝2，得c ＝5，又cos A ＝±1－sin 2A ＝±45，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋25－2³2³5cos A ＝29－20cos A .当cos A ＝45时，a 2＝13，a ＝13；当cos A ＝－45时，a 2＝45，a ＝3 5.。

课时知能训练一、选择题1．(2012·阳江模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能．．．等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．122．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π23．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin(2x －π10) B ．y ＝sin(2x －π5C ．y ＝sin(12x －π10D ．y ＝sin(12x －π20)4．(2011·课标全国卷)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)，则( )A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称5．(2011·辽宁高考)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图3－4－6所示，则f (π24)＝( )图3－4－6A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3 二、填空题6．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ≤π2)的图象如图3－4－7所示，则点(ω，φ)的坐标是________．图3－4－77．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)＝________.8．设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．三、解答题图3－4－89．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的图象的一部分如图3－4－8所示：(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )图象的对称轴方程．10．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 2，g (x )＝12sin 2x －14.(1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样的变化得出？(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值，并求使h (x )取得最小值的x 的集合． 11．(2012·惠州模拟)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f (π8)的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．答案及解析1．【解析】 f (x )平移后，得y ＝sin(ωx ＋φ＋πω2)的图象， 依题意πω2＝2k π，∴ω＝4k (k ∈Z )，因此ω＝6不满足． 【答案】 B2．【解析】 由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝0，∴cos(2π3＋φ)＝0， 即2π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－π6，k ∈Z . 取k ＝0得|φ|的最小值为π6.【答案】 A3．【解析】【答案】 C4．【解析】 ∵f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)＝2sin(2x ＋π4＋π4)＝2cos 2x ，当0＜x ＜π2时，0＜2x ＜π，故f (x )＝2cos 2x 在(0，π2)单调递减．又当x ＝π2时，2cos(2×π2)＝－2，因此x ＝π2是f (x )图象的一条对称轴．【答案】 D5．【解析】 由图形知，T ＝πω＝2(38π－π8)＝π2ω＝2，又x ＝π8是渐近线，且|φ|＜π2，∴2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝π4，又f (0)＝1，从而可求A ＝1， ∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，因此f (π24)＝tan(π12＋π4)＝tan π3＝ 3.【答案】 B6．【解析】 由图象可得周期T ＝2×(7π8－3π8)＝π＝2πω，∴ω＝2，将点(3π8，0)代入y ＝sin(2x ＋φ)，得sin(3π4φ)＝0，令3π4＋φ＝π，得φ＝π4.∴(ω，φ)的坐标为(2，π4)． 【答案】 (2，π4)7．【解析】 依题意πω＝π4，∴ω＝4，f (x )＝tan 4x ，所以f (π4)＝tan π＝0.【答案】 08．【解析】 设点P 的横坐标为x 0(0＜x 0＜π2)，则P 1(x 0,0)，P 2(x 0，sin x 0)，依题设，6cos x 0＝5tan x 0，即6cos 2x 0－5sin x 0＝0. ∴(3sin x 0－2)(2sin x 0＋3)＝0. 因此sin x 0＝23，故|P 1P 2|＝23.【答案】239．【解】 (1)由题图知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4. 又图象经过点(1,2)，∴2sin(π4＋φ)＝2.∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．(2)令π4x ＋π4＝k π＋π2k ∈Z .∴x ＝4k ＋1(k ∈Z )．故f (x )图象的对称轴x ＝4k ＋1(k ∈Z )． 10．【解】 (1)f (x )＝12cos 2x ＝12sin(2x ＋π2)＝12sin 2(x ＋π4)， 所以要得到f (x )的图象只需要把g (x )的图象向左平移π4个单位长度，再将所得的图象向上平移14个单位长度．(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＋14＝22cos(2x ＋π4)＋14， 当2x ＋π4＝2k π＋π(k ∈Z )时，h (x )取最小值－22＋14.h (x )取得最小值时，x 的集合为{x |x ＝k π＋3π8，k ∈Z }．11．【解】 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2[32sin(ωx ＋φ)－12cos(ωx ＋φ)] ＝2sin(ωx ＋φ－π6)．∵y ＝2sin(ωx ＋φ－π6)是偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z .又0＜φ＜π，∴φ－π6＝π2.∴f (x )＝2sin(ωx ＋π2＝2cos ωx .由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f (x )＝2cos 2x . 因此f (π8)＝2cos π4＝ 2.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f (x －π6)的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f (x 4－π6的图象．所以g (x )＝f (x 4－π6)＝2cos[2(x 4－π6)]＝2cos(x 2－π3)．当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的递减区间为[4k π＋2π3，4k π＋8π3](k ∈Z )．。

图 2俯视图侧视图正视图2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何 ）一、选择题：1．(2013安徽理)在下列命题中，不是公理．．的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。

所以选A2. (2013北京文)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个答案 B解析 设正方体边长为1，不同取值为P A ＝PC ＝PB 1＝63，P A 1＝PD ＝PC 1＝1，PB ＝33，PD 1＝233共有4个．3．(2013广东理) 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．143 C ．163D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,故选B ．4．(2013广东文) 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是A ．16B ．13C ．23D ．1【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形， 三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.5．(2013广东文) 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了.6．(2013广东理) 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．A1A正视图侧视图7、(2013湖北理) 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C 【相关知识点】三视图，简单几何体体积8. (2013湖南文) 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于____ D ____ A ．B.1【答案】 D【解析】 正方体的侧视图面积为.2..2212同，所以面积也为正视图和侧视图完全相为，所以侧视图的底边长⋅=9．(2013湖南理) 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BCD 【答案】 C【解析】 由题知，正方体的棱长为1，121-2.]2,1[]2,1[1<而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。

启恩中学2013届高三数学（理）综合训练题(三)说明：考试时间120分钟，满分150分一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1.复数11z i=-的共轭复数．．．．是（ ）A.1122i +B.1122i -C. 1i -D. 1i +2. 已知全集U R =，{|2}xS y y ==，{|ln(1)0}T x x =-<，则S T = （ ） A. φB. {|02}x x <<C. {|01}x x <<D. {|12}x x <<3. 为了得到函数2sin()36x y π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点（ ） A. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）B. 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）C. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D. 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4. 给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等，则12,l l 互相平行 ④若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线 其中假．命题的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，|a +A.D. 46. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生人数为b ，则a 、b 的值分别为（ ） A. 0.27，78B. 0.27，83C. 2.7，78D. 2.7，837. 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比。

课时知能训练一、选择题1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为() A．75°B．60°C．45°D．30°3．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．△ABC的形状不确定图3－7－24．(2011·天津高考)如图3－7－2所示，△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为()A.33B.36C.63D.665．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c ＝2a，则()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a与b大小不能确定二、填空题6．(2011·北京高考)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，sin A＝13，则a＝________.7．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.8．△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，A ＝π3，则△ABC 面积的最大值为________．三、解答题9．(2011·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin(A ＋π6)＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值． 10．(2012·济南调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．11．(2011·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．答案及解析1．【解析】 由余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， 由a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32， 又0＜B ＜π，∴B ＝π6. 【答案】 A2．【解析】 S △ABC ＝12×3×4sin C ＝33，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°.【答案】 B3．【解析】 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，得a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，不妨令a ＝5，b ＝11，c ＝13.∵c 2＝169，a 2＋b 2＝52＋112＝146，∴c 2＞a 2＋b 2，根据余弦定理，易知△ABC 为钝角三角形．【答案】 C4．【解析】 设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝23a ，BC ＝2BD ＝43a ，cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a 22a 2＝13， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝223. 由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66. 【答案】 D 5．【解析】 ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，∴由余弦定理，(2a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，因此ab ＝a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )＞0，∴a －b ＞0，故a ＞b .【答案】 A 6．【解析】 由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝532. 【答案】 532 7．【解析】 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，且A ＋C ＝2B ，∴3B ＝π，B ＝π3， 由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝12.【答案】 128．【解析】 由余弦定理知，22＝b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2＝bc ＋4， ∴2bc ≤bc ＋4，∴bc ≤4，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin π3＝34bc ≤ 3. 【答案】 39．【解】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ， 从而sin A ＝3cos A ，∴cos A ≠0，tan A ＝3，又0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2所以sin C ＝cos A ＝1310．【解】 (1)由cos 2C ＝－14，得1－2sin 2C ＝－14， ∴sin 2C ＝58，又0＜C ＜π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝4. 由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0＜C ＜π， 得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或2 6.所以b ＝6，c ＝4或b ＝26，c ＝4.11．【解】(1)由3a cos A＝c·cos B＋b·cos C及正弦定理，得3sin A cos A＝sin C·cos B＋sin B·cos C＝sin(B＋C)，∵B＋C＝π－A，且sin A≠0，∴3cos A·sin A＝sin A，则cos A＝1 3 .(2)由cos A＝13得sin A＝223，则cos B＝－cos(A＋C)＝－13cos C＋223sin C，代入cos B＋cos C＝233，得cos C＋2sin C＝3，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0＜φ＜π2，则C＋φ＝π2，于是sin C＝63.由正弦定理得c＝a sin Csin A＝32.。

高三数学考练题一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分)答案填在答题卷答题卡内,否则不计分.1、 函数32+=-x a y （a >0且a ≠1）的图象必经过点 （ ）（A ）（0,1） （B ） (1,1) （C ） (2,3) （D ）(2,4)2、三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）（A ）b c a <<. （B ） c b a << （C ）c a b << （D ）a c b << 3、函数 的定义域为 （ ） （A ）[1，3] （B ）),3()1,(+∞⋃-∞ （C ）（1，3） （D ）（1，2）∪（2，3）4、已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是（ ）（A ）y =(0．9576)100x （B ）y =(0．9576)100x （C ）y =( )x （D ）y =1－（0．0424）100x5、函数y =x a log 在[1,3]上的最大值与最小值的和为1，则a =（ ）（A ） （B ） 2 （C ） 3 （D ）6、下列函数中，在区间（0，2）上不是增函数的是（ ）（A ） 0.5log (3)y x =- （B ） 12+=x y （C ） 2x y -= （D ）x y 22=7、函数 与 （ ）在同一坐标系中的图像只可能是（ ）；；；。

8、对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ①f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)；② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2 ) ；③1212()()f x f x x x -->0；1009576.02131xa y =x y a log -=1,0≠>a a 且)34(log 1)(22-+-=x x x f④1212()()()22x x f x f x f ++<.当f (x )=lo g 2 x 时，上述结论中正确结论的序号选项是 （A ） ①④ （B ） ②④ （C ）②③ （D ）①③二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共30分)9、求值：013312log log 12(0.7)0.252-+-+＝________ _． 10、已知幂函数()y f x =的图象经过点(3,3)，那么这个幂函数的解析式为 .11、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________12、函数y =13、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x )，则,f (6)的值为＿＿＿＿＿14、已知1249a =(a>0) ，则23log a = . 三、解答题(共14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15、已知()(01)x x f x a a a a -=+>≠且（Ⅰ）证明函数f ( x )的图象关于y 轴对称；（4分 ）（Ⅱ）判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用定义加以证明；（6分）（Ⅲ）当x ∈［1，2］时函数f (x )的最大值为25，求此时a 的值. （4分）（Ⅳ）当x ∈［－2，－1］时函数f (x )的最大值为25，求此时a 的值. （4分）参考答案一、选择题： DCDA CCAC 9、 4 ；10、 ；11、 . 12、［4，＋∞） 13、0 14、315、解：（Ⅰ）要证明函数f ( x )的图象关于y 轴对称则只须证明函数f ( x )是偶函数…1分∵x ∈R …………2分由)()(x f a a a a x f x x x x =+=+=--- …………3分∴函数f ( x )是偶函数，即函数f ( x )的图象关于y 轴对称…………4分 （Ⅱ）证明：设210x x <<，则12()()f x f x -=21211111112211)1)(()11()()(x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a x ++----=-+-=+-+ （1）当a >1时， 由0<12x x <，则x 1+x 2>0，则01>x a、02>x a 、21x x a a <、121>+x x a ； 12()()f x f x -<0即12()()f x f x <； （2）当0<a <1时，由0<12x x <，则x 1+x 2>0，则01>x a 、02>x a 、21x x a a >、1021<<+x x a ； 12()()f x f x -<0即12()()f x f x <；所以，对于任意a （10≠>a a 且），f (x )在(0,)+∞上都为增函数．（Ⅲ）由（Ⅱ）知f (x )在(0,)+∞上为增函数，则当x ∈［1，2］时，函数f (x )亦为增函数；由于函数f (x )的最大值为25，则f (2)= 25 即25122=+a a ，解得2=a ，或22=a 21x y =21（Ⅳ）由（Ⅰ）（Ⅱ）证知f (x ) 是偶函数且在(0,)+∞上为增函数，则知f (x )在)0,(-∞上为减函数；则当x ∈［－2，－1］时，函数f (x )为减函数由于函数f (x )的最大值为25，则f (－2)= 25 即25122=+a a ，解得2=a ，或22=a。

2012届高考备考理科数学解答题训练（3）1.（本小题满分13分）已知△ABC 的面积为，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3,4,a b == 090o C <<.（Ⅰ）求sin()A B +的值；（Ⅱ）求cos 24C π⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（Ⅲ）求向量,CB AC的数量积CB AC ∙ .2.（本小题满分13分）2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。

交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图3所示：(Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？(Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？ (Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数ξ的分布列及其均值（即数学期望）。

3.（本小题满分14分）如图4，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，2,BC AC AB ===11AA AC ==(Ⅰ) 求侧棱1B B 在平面11A ACC 上的正投影的长度． (Ⅱ) 设AC 的中点为D ，证明1A D ⊥底面ABC ； (Ⅲ) 求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的余弦值；2012届高考备考理科数学解答题训练（3）参考答案1解：（Ⅰ）由1sin 22ab C =，即134sin 2C ⨯⨯= 得sin 3C =…（2分）∵180o A B C +=-，∴sin()sin(180)sin 3o A B C C +=-==…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin 3C =∵090o C <<，∴cos 3C ===…（5分）∴ 225cos 22cos 121.39C C ⎛=-=⨯-= ⎝⎭…（6分）∴sin 22sin cos 239C C C ==⨯=……（7分）∴cos 2cos 2cos sin 2sin 444C C C πππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭5929218=⨯-=- …… （9分） （Ⅲ）∵3CB a == ，4AC b ==…… （10分）设向量CB 与CA 所成的角为θ，则180oC θ=-……（11分）∴cos cos(180)cos o CB AC CB AC ab C ab C θ∙=⋅=-=-34=-⨯=- …… （13分） 2. 解：(Ⅰ)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法。

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（07数系的扩充与复数的引入）一、选择题：1．(2013安徽文)设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） （A ）-3（B ）-1（C ）1（D ）3【答案】D 【解析】i a i a i a i i a i i i a i a --=+-=+-=-+-=+-+-=--)3()3(10)3(109)3(10)3)(3()3(103102，所以a =3，故选择D【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.2．(2013安徽理)设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若z*i+2=2 z ，则z =（ ）（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -【答案】A 【解析】设2bi 2a 2)i b (a 2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则i z b a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22所以选A3．(2013北京理)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．4．(2013北京文)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 A解析 i(2－i)＝2i ＋1对应点(1,2)在第一象限．5．(2013福建文) 复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．6．(2013福建理) 已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ．7．(2013广东文) 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是A ．2B ．3C ．4D ．5 【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D .8．(2013广东理) 若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ．9、(2013湖北理) 在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【解析与答案】211iz i i==++，1z i ∴=-。

（第3题）(第5题)南通市2013届高三第三次调研测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则A B =U ▲ ． 【答案】(2 2)-，2． 设复数z 满足(34i)50z ++=（i 是虚数单位），则复数z 的 模为 ▲ ． 【答案】13． 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．【答案】24004． “M N >”是“22log log M N >”成立的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写） 【答案】必要不充分5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h ，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ． 【答案】156． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦 点到准线的距离为 ▲ ．【答案】47． 从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ ．(第9题)【答案】1128． 在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -) (a ∈R)，则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．【答案】29． 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤在R 上的部分图象如图所示，则(2013)f 的值为 ▲ ． 【答案】10．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ▲ ． 【答案】12n -11．已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若A B B C =，则实数t 的值为 ▲ ． 【答案】74-12．过点(1 0)P -，作曲线C ：e xy =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，…，依次下去，得到第1n +()n ∈N 个 切点1n T +．则点1n T +的坐标为 ▲ ．【答案】() e nn ，13．在平面四边形ABCD中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB 1=，EF =，CD =．若15AD BC ⋅=uuu r uuu r，则AC BD ⋅uuu r uuu r的值为 ▲ ． 【答案】1314．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4满足a 1+a 2+a 30=，a 1a 42+a 2a 4-a 20=，且a 1>a 2>a 3，则a 4的取值范围是▲ ．【答案】二、解答题15．如图，在四棱锥P ABC D -中，底面ABC D 是矩形，四条侧棱长均相等．（1）求证：AB //平面PC D ； （2）求证：平面PAC ⊥平面ABC D ． 证明：（1）在矩形ABC D 中，//A B C D ， 又AB ⊄平面PC D ， C D ⊂平面PC D ，所以AB //平面PC D ． ………6分 （2）如图，连结BD ，交A C 于点O ，连结PO ， 在矩形ABC D 中，点O 为 A C B D ，的中点， 又PA PB PC PD ===，故PO AC ⊥，PO BD ⊥， ………9分 又AC BD O =I ，A CB D ，⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABC D ， ………12分 又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC D ． ………14分16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b--=---． （1）求角B 的大小；（2）设222sin sin sin T A B C =++，求T 的取值范围． 解：（1）在△ABC 中，222222s i n 2c o s c o s Bs i n c o s 2s i n s i n 2c o s c o ss i n c o sC b a c a c B c C B A C a b C b C B C c a b ---====----， ………3分因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=， ………5分 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =． ………7分（2）222131sin sin sin (1cos 2)(1cos 2)242T A B C A C =++=-++-()71714π(cos 2cos 2)cos 2cos 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+ABC（第15题）PDO()()71171πcos 22cos 2422423A A A =--=-+ ………11分因为2π03A <<，所以4π023A <<，故ππ5π2333A <+<，因此()π11cos 232A -+<≤，所以3924T <≤． ………14分17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质， 两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系 数为3410 J mm/C -⨯⋅ ，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅ ．）（1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '， 且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过 的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计 x 的大小？解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为1Q ，2Q ，图1图2（第17题）（第18题）则31212141082 000T T T T Q ---=⨯⋅=， ………2分34311122224102.51041044T T T T T T Q x---''''---=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ ………6分111222343444102.510410T T T T T T x---''''---===⨯⨯⨯ 11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''-+-+-=++⨯⨯⨯124 000 2 000T T x -=+． ………9分（2）由（1）知21121Q Q x =+， 当121x =+4%时，解得12x =（mm ）．答：当12x =mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ………14分18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y xa b a b+=>>的右焦点为(1 0)F ，． 分别过O ，F 的两条弦AB ，C D 相交于点E （异于A ，C 两点），且O E E F =． （1）求椭圆的方程；（2）求证：直线A C，BD 的斜率之和为定值．（1）解：由题意，得1c =，c e a==，故a =从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=．① ………5分（2）证明：设直线AB 的方程为y kx =， ②直线C D 的方程为(1)y k x =--， ③ (7)分 由①②得，点A ，B 的横坐标为由①③得，点C ，D 21k +， ………9分记11( )A x kx ，，22( )B x kx ，，33( (1))C x k x -，，44( (1))D x k x -，，则直线A C ，BD 的斜率之和为13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+--132413241324(1)()()(1)()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅--1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅--………13分2222213242(1)2420212121()()k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅--0=． ………16分19．已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{}n b 是首项为1，公比为(1)q q >的等比数列．（1）若55a b =，3q =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和；（2）若存在正整数(2)k k ≥，使得k k a b =．试比较n a 与n b 的大小，并说明理由． 解：（1）依题意，5145511381a b b q -===⨯=， 故5181120514a a d --===-， 所以120(1)2019n a n n =+-=-， ………3分令2111213413(2019)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅， ① 则213 13213(2039)3(2019)3n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ② ①-②得，()2121+20333(2019)3n n n S n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅，13(13)1+20(2019)313n nn --=⨯--⋅-(2920)329n n =-⋅-， 所以(2029)3292nn n S -⋅+=． ………7分（2）因为k k a b =， 所以11(1)k k d q-+-=，即111k qd k --=-，故111(1)1k n qa n k --=+--，又1n n b q -=， ………9分所以1111(1)1k n n n q b a qn k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦()()111(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣⎦-()()23231(1)1(1)11n n k k q k q q qnq q q k -----⎡⎤=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦- ………11分（ⅰ）当1n k <<时，由1q >知()()232311()1(1)1n n k k n n n q b a k n q q q n q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦-211()(1)(1)()1n n q k n n q n k n q k ---⎡⎤<-----⎣⎦- 22(1)()(1)1n q qk n n k ----=--0<， ………13分 （ⅱ）当n k >时，由1q >知()()231231(1)()11n n k k k n n q b a k q q qn kqqq k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦- 121(1)()()(1)1k k q k n k q n k k q k ---⎡⎤>-----⎣⎦- 22(1)()k q q n k -=-- 0>，综上所述，当1n k <<时，n n a b >；当n k >时，n n a b <；当1 n k =，时，n n a b =． ………16分（注：仅给出“1n k <<时，n n a b >；n k >时，n n a b <”得2分．）20．设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数，且不恒为0，记()()()n nf xg x n x=∈*N ．若对定义域内的每一个x ，总有()0n g x <，则称()f x 为“n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有[]()0n g x '≥， 则称()f x 为“n 阶不减函数”（[]()n g x '为函数()n g x 的导函数）．（1）若31()(0)a f x x x xx=-->既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”()f x ，如果存在常数c ，使得()f x c <恒成立，试判断()f x 是 否为“2阶负函数”？并说明理由． 解：（1）依题意，142()1()1f x a g x x x x==--在(0 )+∞，上单调递增，故15342[()]0a g x xx'=-+≥ 恒成立，得212a x≤， ………2分因为0x >，所以0a ≤． ………4分 而当0a ≤时，1421()10a g x xx=--<显然在(0 )+∞，恒成立，所以0a ≤． ………6分（2）①先证()0f x ≤：若不存在正实数0x ，使得20()0g x >，则2()0g x ≤恒成立． ………8分 假设存在正实数0x ，使得20()0g x >，则有0()0f x >，由题意，当0x >时，2()0g x '≥，可得2()g x 在(0 )+∞，上单调递增， 当0x x >时，022()()f x f x xx >恒成立，即202()()f x f x xx >⋅恒成立，故必存在10x x >，使得20112()()f x f x x mx >⋅>（其中m 为任意常数），这与()f x c <恒成立（即()f x 有上界）矛盾，故假设不成立，所以当0x >时，2()0g x ≤，即()0f x ≤； ………13分 ②再证()0f x =无解：假设存在正实数2x ，使得2()0f x =， 则对于任意320x x >>，有322232()()0f x f x x x >=，即有3()0f x >，这与①矛盾，故假设不成立， 所以()0f x =无解，综上得()0f x <，即2()0g x <，故所有满足题设的()f x 都是“2阶负函数”． ………16分。