2010年考研数学强化线性代数讲义(五至七讲)

线性代数——强化题型一：求矩阵方程行列式 例1.（2006一5）设矩阵2112A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 满足2BA B E =+其中E 为单位矩阵，求||B 例 2.（2003二）设三阶方阵A 、B 满足2A B A B E --= 其中E 为单位矩阵，10102021A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求||B 例3.设矩阵1113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足AB A B +=求||B 例4.设矩阵1113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足32A E B A B -+=求||B 例5.（2004一5）设矩阵21012001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足**2ABA BA E =+其中E 为单位矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，求||B 题型二：求向量行列式例1. 设12,αα为二维列向量，记矩阵121212(,),(,2)A B αααααα==++，||1A =，求||B 例2. （2005一5）设123,,ααα为三维列向量，记矩阵123(,,),A ααα=123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++已知||1A =，求||B例3. 设123,,ααα为三维列向量，记矩阵123(,,),A ααα=131231(,2,)B αααααα=+++已知||1A =，求||B例4. 设123,,ααα为三维列向量，记矩阵123(2,,),A ααα=12(B αα=+12313,2,)ααααα+++已知||2A =，求||B题型三：求解矩阵方程 例1. 已知220213010A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B 满足方程AB A B =+，求B例2. 已知1213A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 满足方程2A E AB B -+=，求B 例3. 已知1210A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 满足方程A BA E -=，求B 例4. 已知1210A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 满足方程AB E =，求B 例5. （2002二）已知12012002A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B 满足方程124AB A E -=-，求B 题型四：求抽象逆矩阵例1. 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若 22A A O -=求1()A E -- 例2. （2001一4）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若24A A E O +-=求1()A E --例3. （2008一、三5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若 3A O =求1()A E -+ 例4.设A 、B 为3阶非零矩阵，E 为3阶单位矩阵，若2AB A B E =--，求1(2)A E -+ 例5.设A 、B 为3阶非零矩阵，E 为3阶单位矩阵，若243A B A B E =-+，求1(2)A E -+ 例6.（2002二）设A 、B 为3阶矩阵，E 为3阶单位矩阵，若124A B B E -=-，求1(2)A E -- 题型五：求矩阵的秩 例1.已知矩阵112211101026A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦求A 的秩。

第三章 一元函数积分学§3. 1 不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立。

则称()x F 为()x f 在区间I 的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数成为()x f 在区间I 的不定积分，记为()⎰dx x f 。

原函数：()()⎰+=C x F dx x f其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积分函数，()dx x f 称为被积表达式。

2．不定积分的性质 设()()⎰+=C x F dx x f ，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。

则（1）()()⎰+='C x F dx x F 或()()⎰+=C x F x dF 或⎰+=+C x F C x F d )(])([ （2）()[]()x f dx x f ='⎰或()[]()dx x f dx x f d =⎰（3）()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （4）()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f3．原函数的存在性一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。

原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。

可导要求比连续高。

⎰-dx ex这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如()⎰dx x 2sin ，()⎰dx x 2cos ，⎰dx x x sin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，⎰-dxe x 2等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

第一章 函数、极限、连续第二章§1.1 函数（甲）内容要点 一、函数的概念1.函数的定义设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集{}|(),Z y y f x x D ==∈称为函数的值域。

2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。

这类函数称为分段函数。

例如21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。

需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。

3.隐函数形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4.反函数如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()xfy -=。

有时也用1()y fx -=表示。

二、基本初等函数1.常值函数 y ＝C （常数）2.幂函数y xα=（α常数）3.指数函数xy a =（a ＞0，a ≠1常数）xy e=（e ＝2.7182…，无理数）4.对数函数 log a y x=（a ＞0，a ≠1常数）常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==5.三角函数sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。

线代考前预测知识模块二：有关矩阵的概念与性质的问题考点1：矩阵的运算【参考题目1】设10102011A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而2n ≥为正整数，则12n n A A --= .【题目出处】历年真题（99.3）【答案】00000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】2101101202020020040210111202A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故有122002(2)00000n n n A A A A A --⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【参考题目2】设213146A ab c-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若存在秩大于1的三阶矩阵B ，使得A B O =，则=n A 【题目出处】第三次模考试题【答案】12139213426n --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】由A B O =，有()()3A B +≤秩秩,又因为()2B ≥秩， 所以 秩(A)=1，于是213213,146a b c --====，2,3,2a b c =-=-=-， 则()213121312134262A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。

而()1213192⎛⎫ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭，因此1121399213426n n n A A ---⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭。

【参考题目3】100100A λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求nA 。

【题目出处】10届白金卡A 模块讲义【答案】121(1)2000n n n n n nn n n n λλλλλλ----⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 【详解】100100100100000A E λλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 记010001000B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，201000000B ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，300000000B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 12212110(1)01()200(1)2000nnn n n n n n n n n nn n A E B E n B B n n n n λλλλλλλλλλλλλ-----⎛⎫- ⎪==+=++ ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【参考题目4】设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵,则200422B A -= 【题目出处】历年真题（04.4）【答案】⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003【详解】因为2A 010010100100001001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭100010001-⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭为对角阵，故有 422100100()01001000101A A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 211B P A P P A P --=11()P A P P A P --=12,,P A P -=200412004BPAP -=()50114PAP -=11PE P PP --==E =所以 200422BA -1002010001E -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭30003001⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭. 考点2：矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵及逆矩阵的计算【参考题目5】设100220345A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A *是A 的伴随矩阵,则1()A *-= . 【题目出处】历年真题（95.3）【答案】100122010345⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【详解】由A A A E *=,有A A E A*=,故()1A AA -*=.而10022010345A ==,所以()1100122010345A A A -*⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 【参考题目6】设A 为反对称矩阵()TA A=-,且0A ≠,B 可逆,A 、B 为同阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则()1*1TT A A B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( )A. B A-B.B AC. TBA-D.TBA【题目出处】单元测试题【答案】C【解析】由于0A ≠,所以A 可逆,因此1111()()A A A A E A A A A A A A**-*---=⇒=⇒==,()1*1TT A A B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()()()()111111*1TTTTA BB A A B A AA-------⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．【参考题目7】设n 阶矩阵A 和B 满足条件A B A B +=. (1) 证明A E -为可逆矩阵(其中E 是n 阶单位矩阵)；(2)已知13021002B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求矩阵A .【题目出处】历年真题（91.4）【解析】(1)由A B A B +=,加项后因式分解得有()()A B B A E A E B E E --+=--=, 所以A E -可逆,且()1A EB E --=-,()1B E A E --=-,()1B E A E --=-.(2) 由(1)小题得出()1A EB E -=+-.利用分块矩阵求逆的法则：111000AA B B ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,有 ()11103002000101A B E ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦1001A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用2阶矩阵快速求逆法得1102103A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,故()1B E --10021003001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 故 ()111021103002A E B E -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 注：由A B A B +=要证A E -可逆时,因为满足关系式A B A B +=的矩阵A ,B 不唯一,故应当用定义法.【参考题目8】设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则 ( ) (A) 1()n A AA -**= (B) 1()n A AA +**= (C) 2()n A AA -**= (D) 2()n A AA +**=【题目出处】历年真题（96.3）【答案】C【解析】伴随矩阵的基本关系式为A A A A A E **==,现将A *视为关系式中的矩阵A ,则有()A A A E ****=. 方法一：由1n A A -*=及1()A A A*-=,可得121()().n n A A A A AAA A--****-===故应选(C).方法二：由()A A A E ****=,左乘A 得1()()n A A A AA -***=,即1()()n A E A AA -**=.故应选(C).考点3：分块矩阵及其运算【参考题目9】设121000000,00000n na a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L LMM M M L L 其中0,1,2,,,i a i n ≠=L 则1A -=_______.【题目出处】历年真题（94.3）【答案】121100100010001000n n a aa a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式111000A BB A---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 且 11122111n n a a a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以,本题对A 分块后可得1121100100010001000n n a a A a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【参考题目10】设,A B 为n 阶矩阵, ,A B **分别为,A B 对应的伴随矩阵,分块矩阵00A C B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则C 的伴随矩阵C *= ( ) (A) 00A A B B **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ (B) 00B B A A **⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 00A BB A **⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)00B AA B **⎛⎫⎪⎪⎝⎭ 【题目出处】历年真题(02.4)【答案】D【详解】方法1：直接算出C *。

第1章行列式[视频讲解]1.1本章要点详解本章要点■二阶与三阶行列式■全排列及其逆序数■n阶行列式的定义■行列式的性质■行列式按行（列）展开■克拉默法则重难点导学一、二阶与三阶行列式1．二阶行列式将四个数11a，12a，21a，22a按一定位置，排成二行二列的数表则表达式就是数表的二阶行列式，并记作2．三阶行列式设有9个数排成3行3列的数表记该式称为数表所确定的三阶行列式．二、全排列和逆序数1．全排列把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列．n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示．2．逆序数（1）逆序数定义对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说构成1个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数．（2）分类逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列．（3）逆序数的计算设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序．设为这n个自然数的一个排列，考虑元素，如果比p i大的且排在p i 前面的元素有t i个，则称p i这个元素的逆序数为t i．全体元素的逆序数的总和即是这个排列的逆序数．三、n阶行列式1．定义称为n阶行列式，简记作，其中数a ij为行列式D的第（i，j）元素．2．两类典型的n阶行列式（1）下三角形行列式（2）对角行列式四、对换1．定义对换是在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动．将相邻两个元素对换称为相邻对换．2．性质(1)排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．(2)奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数．五、行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等．2．对换行列式的两行（列），行列式变号．3．如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．4．行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式．5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和．6．把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．。

10考研高等数学强化讲义(第三章)全第三章一元函数积分学§3. 1 不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有定义，若«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上成立。

则称«Skip Record If...»为«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»的原函数，«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»中的全体原函数成为«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»的不定积分，记为«Skip Record If...»。

原函数：«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»称为积分号，«Skip Record If...»称为积分变量，«Skip Record If...»称为被积分函数，«Skip Record If...»称为被积表达式。

2．不定积分的性质设«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的一个原函数，«Skip Record If...»为任意常数。

第二章一元函数微分学第一节导数与微分1．导数定义：=；=′)(0x f xx f x x f x ∆−∆+→∆)()(lim0000)()(limx x x f x f x x −−→左导数：；=′−)(0x f x x f x x f x ∆−∆+−→∆)()(lim 0003．隐函数求导法：4．反函数的导数：5．参数方程求导法：6．对数求导法：7．高阶导数：题型一．可导性的讨论（导数定义）例2.1设函数在处连续，下列命题错误的是)(x f 0=x （A）若.（B）若.0)0(,)(lim0=→f xx f x 则存在0)0(,)()(lim 0=−+→f x x f x f x 则存在（C）若存在.（D）若存在。

)0(,)(lim 0f x x f x ′→则存在)0(,)()(lim 0f xx f x f x ′−−→则存在解法1直接法，直接说明（D ）中的命题是错误的.令，我们知道不存在，但x x f =)()0(f ′0h h→=h e e f e f hhh h −−−−→11)0()1(lim 0=令h h h e f e f −−−−→1)0()1(lim 0t e h =−1=)0()0()(limf tf t f t ′−=−−→故应选（B ）.解法2排除法由于2020cosh1cosh 1)0(cosh)1(limcosh)1(limh f f h f h h −−−−=−→→=)0(21cosh 1)0(cosh)1(lim 210+→′=−−−f f f h 由于，则（A ）中极限存在只能推得在处的右导数存0cosh 1>−)(x f 0=x可导的充要条件是在可导，令0=x x x f sin )(0=x xx f x sin )()(=ϕ⎪⎩⎪⎨⎧→−→==−−−+→→0),0(0),0(sin )(lim 0)0()(lim 00x f x f x x x f x x x x ϕϕ则是在可导的充要条件，故应选（A ）.0)0(=f )(x ϕ0=x 注：由本题的分析过程也得到一条常用的结论：设，其a x x x f −=)()(ϕ在处连续，则在处可导的充要条件是)(x ϕa x =)(x f a x =0)(=a ϕ例2.4函数不可导的点的个数是||)2()(32x x x x x f −−−=（A）3.（B）2.（C）1.（D）0.解xx x x x f −−−=32)2()(=xx x x x 1)1)(2(−++−同理（D ）不正确，故应选（B ）.解法2直接法，直接证明（B ）正确.令)()(x f x =ϕax a f x f a x a x a x a x −−=−−→→)()(lim)()(limϕϕ=ax x f ax −→)(lim=⎪⎩⎪⎨⎧→′−→′−+a x a f a x a f )()(即，)()(a f a ′=′+ϕ)()(a f a ′−=′−ϕ由于，则，则在不可导，故应选（B ）.0)(≠′a f )()(a a −+′≠′ϕϕ)(x f a x =解1)显然在处连续，而)(x g 0≠x )0()(lim)(lim 0f xx f x g x x ′==→→则若时在上连续.)0(f a ′=)(x g ),(+∞−∞2)当时，0≠x ，且连续.2)()()(x x f x f x x g −′=′)(x g ′当时，0=x xg x g g x )0()(lim)0(0−=′→=200)0()(lim )0()(lim x xf x f x f x x f x x ′−=′−→→=（导数定义）2)0(2)0()(lim 0f x f x f x ′′=′−′→20200)()0())0()((lim )()(lim )(lim x x f f x f x f x x x f x f x x g x x x −′+′−′=−′=′→→→)例2.10设函数可导，求的导数。