高考数学二轮复习 疯狂专练18 解三角形 文

阶段提高打破练 ( 一) ( 三角函数及解三角形 )(60 分钟100 分)一、选择题 ( 每题 5 分, 共 40分 )1. 要获得函数 f(x)=2sinxcosx,x∈ R 的图象 , 只要将函数2∈R 的图象g(x)=2cos x-1,x()A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C.向左平移个单位【分析】选D. 由于D.向右平移f(x)=2sinxcosx=sin2x,g(x)=2cos个单位2所以 sin2x=cos=cos, 所以 f(x)可由g(x)向右平移个单位获得.2. 已知函数f(x)=4( ω >0) 在平面直角坐标系中的部分图象如下图,若∠ ABC=90° , 则ω=()A. B. C. D.【分析】选B. 依据三角函数图象的对称性可知,BC=CP=PA,又由于∠ABC=90° , 所以BP是Rt △ABC 斜边的中线 , 所以 BP=BC=CP,所以△ BCP 是等边三角形 , 所以BP=4? BP=8,所以=2× 8? ω =.3. 在△ ABC中 , “角 A,B,C 成等差数列”是“sinC=(cosA+sinA)cosB ”的()A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充足条件D.既不充足也不用要条件【分析】选 A. 由于角 A,B,C 成等差数列 , 所以 B= ,又 sinC=(cosA+sinA)cosB,所以 sin(A+B)=cosAcosB+sinAcosB,所以 cosAsinB=cosAcosB, 所以 cosA(sinB-cosB)=0,即 cosA=0 或 tanB=, 即 A= 或 B= , 应选 A.4. 已知 tan α =-3,tan(α -2β)=1,则tan4β的值为()A. B.- C.2 D.-2【分析】选 B. 由于 2β =α -( α -2 β ),所以 tan2 β =tan[ α-( α -2 β)]===2,所以 tan4 β ===-.5. 将函数 y=3sin的图象上各点的横坐标伸长为本来的 2 倍, 再向右平移个单位,所得函数图象的一个对称中心为()A. B.C. D.【分析】选 A. 将函数y=3sin的图象上各点的横坐标伸长为本来的 2 倍变成y=3sin, 再向右平移个单位变成y=3sin=3s in, 令 8x-=k π? x=+,k ∈ Z, 明显 A 选项 , 当 k=0 时知足 .6. 若α∈, 且 3cos2 α =4sin, 则 sin2 α的值为()A. B.- C.- D.【分析】选 C.3(cos 2α-sin 2α )=2(cos α -sin α ), 由于α∈, 所以cos α -sin α≠ 0, 所以 3(cos α +sin α )=2, 即 cosα +sin α =, 两边平方可得1+si n2α= ? sin2 α =-.,a,b,c是各内角所对的边, 若sin2A-cos 2A=, 则以下各式7. 已知锐角 A 是△ ABC的一个内角()正确的选项是A.b+c ≤ 2aB.a+c ≤ 2bC.a+b ≤ 2cD.a 2≤ bcA, 联合余弦定理求出a,b,c三边的关系 , 选项能够看【解题导引】依据题中条件能够求出角成比较大小 , 平方作差即可.22, 且 A 为锐角 , 所以 cos2A=- ? 2A=?A=,由【分析】选 A. 由于 sin A-cos A=-cos2A=余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos, 即 a2=b2+c 2-bc, 对于选项 A,(b+c) 2-4a 2=b2 +c2+2bc-4(b2+c2-bc)=-3b 2-3c2+6bc=-3(b-c)2≤ 0, 应选 A.8. 已知函数f(x)=2sin(ωx- φ )-1(ω>0,<π ) 的一个零点是x=,x=-是 y=f(x)的图象,f(x)的单一增区间是()的一条对称轴, 则ω取最小值时A.,k ∈ ZB.,k ∈ ZC.,k ∈ ZD.,k ∈ Z【解题导引】第一依据x=,x=-值, 依据对称轴的取值, 求出φ的值分别是零点和对称轴表示出ω, 而后再求单一增区间., 联合ω的范围求出其最小【分析】选 B. 由条件得sin= ,sin=± 1, 所以- φ =2kπ+或2kπ +(k ∈ Z).-- φ =t π + (t ∈ Z), 所以ω =2(2k-t)±. 由于ω >0,k,t∈ Z,所以ωmin=, 此时 - - φ =t π + ,t ∈ Z, 所以φ =-t π -π (t∈ Z),由于<π , 所以φ =-, 所以 f(x)=2sin-1, 由-+2kπ≤x+≤ +2kπ (k∈ Z),得-+3kπ≤ x≤- +3kπ (k ∈ Z). 所以 f(x) 的单一增区间是,k ∈ Z.二、填空题 ( 每题 5分,共20分)9. 已知函数 f(x)=2sinxcosx-2sin2x,x ∈ R, 则函数 f(x) 在上的最大值为__________.【分析】 f(x)=sin2x+cos2x-1=2(sin2x+cos2x)-1=2sin-1. 由于 0≤ x ≤ , 所以≤ 2x+≤, 所以≤ sin≤ 1, 于是 1≤ 2sin≤2, 所以 0≤f(x)≤ 1.所以当且仅当2x+ = , 即 x=时,f(x)在上取最大值,最大值为f=1.答案:110. 函数f(x)=2sin(ω x+ φ )的部分图象如下图, 则f(0)的值是____________.【解析】因为 T=-=π ,所以T=π , 所以ω =2. 把代入,得2sin=2?π +φ =+2kπ , 所以φ =- +2kπ ,k ∈ Z, 由于 - <φ < , 所以φ =-,所以 f(x)=2sin, 所以 f(0)=2sin=-.答案:-11. 若 tan α +【解题导引】=, α∈, 则 sin第一求出tan α的值 , 而后联合sin 2 α+cos+2cos cos 2α的值为 ______ ____.2α =1, 整体转变成正切求解即可.【分析】由于 tan α +=, 所以 3tan 2α -10tan α +3=0, 解得 tan α =或tanα =3,又α∈, 所以tan α =3,sin+2cos cos 2α =(sin2α+cos2 α )+cos2α===0.答案:012. 在△ ABC中 , 角 A,B,C 所对边分别为222a,b,c 且 a +b -c =ab,c=3,sinA+sinB=2sinAsinB, 则△ ABC的周长为 __________.【解题导引】第一求出角 C, 而后将 sinA+sinB=2sinAsinB 两边同乘以 sinC 并联合正弦定理求出边的关系 .222== , 又 C∈ (0, π), 所以【分析】由 a+b -c =ab 及余弦定理 , 得 cosC=C= , 由 sinA+sinB=2sinAsinB,得(sinA+sinB)sinC=2sinCsinAsinB,(sinA+sinB)sinC=2sin sinAsinB得(sinA+sinB)sinC=3sinAsinB,再结合正弦定理 , 得 (a+b)c=3ab, 代入 c=3, 得 a+b=ab. 再联合222a +b -c =ab, 得(a+b) 2-2ab-9=ab, 得 (ab) 2-3ab-9=0,得 2(ab) 2-3ab-9=0,得 (2ab+3)(ab-3) =0, 解得 ab=- ( 舍去 ) 或 ab=3. 所以 a+b=3,a+b+c=3+3.答案 : 3+3三、解答题 ( 每题 10 分, 共 40 分 )13. 已知函数f(x)=sinω x-cosω x(ω >0)的最小正周期为π.(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程.(2) 议论函数f(x)在上的单一性.【分析】 (1) 由于 f(x)=sinωx-cosω x=sin, 且 T=π, 所以ω =2.于是 f(x)=sin, 令 2x- =kπ + (k ∈ Z), 得 x=+(k ∈Z),即函数 f(x) 的对称轴方程为x=+(k ∈ Z).(2) 令 2k π-≤2x-≤ 2kπ +(k ∈ Z),得函数 f(x) 的单一增区间为(k ∈ Z).注意到 x∈, 令 k=0, 得函数 f(x) 在上的单一增区间为;同理 , 其单一减区间为.14. 在△ ABC中 , 角 A,B ,C 所对边分别为a,b,c,且4bsinA= a.(1)求 sinB 的值 .(2)若 a,b,c 成等差数列 , 且公差大于 0, 求 cosA-cosC 的值 .【分析】 (1) 由 4bsinA=a, 依据正弦定理得4sinBsinA=sinA, 所以 sinB=.(2) 由已知和正弦定理以及(1) 得 sinA+sinC=① ,设 cosA-cosC=x ②,①2+ ②2, 得2-2cos(A+C)=+x 2③ , 又a<b<c,A<B<C, 所以0<B< ,cosA>cosC,故cos(A+C)=-cosB=-, 代入③式得x2= , 所以 cosA-cosC=.15.公园里有一扇形湖面 , 管理部门打算在湖中建一三角形观景平台, 希望面积与周长都最大 .如下图扇形 AOB,圆心角 AOB的大小等于 , 半径为 2 百米 , 在半径 OA上取一点 C,过点 C 作平行于OB的直线交弧 AB 于点 P. 设∠ COP=θ .(1)求△ POC面积 S(θ ) 的函数表达式 .(2)求 S( θ) 的最大值及此时θ的值 .【解题导引】 (1) 依据正弦定理求出对应边长, 而后利用面积公式求出.(2) 依据 (1) 的结果睁开 , 从头化一 , 转变成三角最值问题即可.【分析】 (1) 由于 CP∥ OB,所以∠ CPO=∠POB= - θ ,在△ POC中, 由正弦定理得=, 即=, 所以 CP=sin θ ,又=, 所以 OC=sin. 于是 S( θ)=CP· OCsin=·sin θ·sin×=sin θ· sin.(2) 由 (1) 知 S( θ )=sin θ· sin=sin θ=2sin θ cos θ-sin 2θ=sin2 θ +cos2θ -=sin-,令 2θ + =2kπ + ,k ∈ Z,即θ =kπ + ,k ∈ Z, 由于 0<θ <,所以当θ =时,S(θ )获得最大值为.16. 已知 a=,b=, 函数 f=a· b+.(1)求函数 y=f图象的对称轴方程.(2) 若方程 f=在上的解为x1,x2,求cos的值.【解题导引】 (1) 依据向量的数目积, 表示出 f(x),并化简即可.(2)依据对称性找到 x1,x 2的等量关系 , 联合三角恒等变换知识可解 .【分析】 (1)f=a· b+=·+=sinx · cosx-cos 2x+= sin2x-cos2x=sin,令 2x- =kπ +, 得 x=+π,即 y=f的对称轴方程为x=+π.(2) 由条件知sin=sin=>0,且 0<x1<<x2 <,易知与对于x=对称,则x1+x2=, 所以cos =cos=cos=cos=sin=.。

限时规范训练八 三角函数图象与性质 限时45分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2016·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：通解：选B.由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B. 优解：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：选C.令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称． 又∵f (－x )＝－2x 1－－x ＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.3．(2016·高考北京卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3解析：选A.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝⎛⎭⎪⎫π4－s ，12在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以12＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋π6或2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z .又s ＞0，故s 的最小值为π6.故选A.4．(2017·高考天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A.∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫118π－58π＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×58π＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.5．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4(x ∈R )的图象为C ，则下列表述正确的是( ) A ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0是C 的一个对称中心B ．直线x ＝π2是C 的一条对称轴C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是C 的一个对称中心 D ．直线x ＝π8是C 的一条对称轴解析：选D.令2x ＋π4＝k π，k ∈Z 得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k π2，0，k ∈Z ，排除A 、C.令2x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称轴为x ＝π8＋k π2，k∈Z ，排除B ，故选D.6．函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值为( )A ．2(2＋1)B ．3 2C ．6 2D ．－ 2解析：选A.由函数图象可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，∴f (x )是周期为8的周期函数． 而2 019＝8×252＋3，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2＋2＋2＝2(2＋1)．二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间为：2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6k ∈Z 与x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的交集，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π68．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________.解析：利用偶函数定义求解．y ＝f (x －φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －φ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6是偶函数，所以－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6－k π2，k ∈Z .又0＜φ＜π2，所以k ＝－1，φ＝π3.答案：π39．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋ω－π4，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx －ω＋π4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋ω－π4＝ωx －ω＋π4＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为2.答案：2三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34.所以，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 11．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．解：(1)由题图知，最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0.又0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。

第一单元 高考中档大题突破解答题01：三角函数与解三角形基本考点——三角函数性质与三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式； 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质； 3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba.1．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f 2π3＝322－－122－23×32×－12，所以f 2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． 2．(2017·岳阳二模)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π2. (1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3， π4时，求f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋1－cos(2x ＋π)＝32cos 2x ＋32sin 2x ＋1 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， 所以f (x )的最小正周期T ＝π. 令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .(2)因为－π3≤x ≤π4，所以－ π3≤2x ＋π3≤5π6，所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，3＋1. 常考热点——三角恒等变换与解三角形1．两个定理(1)正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．(2)余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.2．三角形的面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别是边a ，b ，c 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .(2017·揭阳一模)已知：复数z 1＝2sin A sin C ＋(a ＋c )i ，z 2＝1＋2cos A cos C ＋4i ，且z 1＝z 2，其中A 、B 、C 为△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边．(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝22，求△ABC 的面积．[思路点拨] (1)根据复数相等得到2sin A sin C ＝1＋2 cos A cos C ，根据两角和余弦公式和诱导公式，即可求出B 的大小；(2)由余弦定理以及a ＋c ＝4，可得ac ，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解】 (1)∵z 1＝z 2∴2sin A sin C ＝1＋2cos A cos C ，① a ＋c ＝4，②由①得2(cos A cos C －sin A sin C )＝－1， 即cos(A ＋C )＝cos(π－B )＝－cos B ＝－12，∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3；(2)∵b ＝22，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ⇒a 2＋c 2－ac ＝8，④ 由②得a 2＋c 2＋2ac ＝16，⑤ 由④⑤得ac ＝83，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×83×32＝233.(2016·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A.(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值． (1)【证明】 由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋sin B ＝2sin C ， 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)【解】 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab＝38·⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立， 故cos C 的最小值为12.(1)本题是三角恒等变换、解三角形与基本不等式的交汇问题．(2)解答此类问题的一般思路是利用三角恒等变换对所给条件进行转化，再结合正余弦定理，转化到边的关系，利用基本不等式求解．1．(2017·清远二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π2－B －2sin 2C2的取值范围． 解：(1)因为3a cos C ＝(2b －3c )cos A ，所以由正弦定理可得， 3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而可得，3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ， 即3sin B ＝2sin B cos A ，又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32， 又A 为三角形内角，因此，A ＝π6.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π2－B －2sin 2C2＝sin B ＋cos C －1 ＝sin B ＋cos ⎝⎛⎭⎫5π6－B －1， ＝sin B ＋cos 5π6cos B ＋sin 5π6sin B －1，＝32sin B －32cos B －1＝3sin ⎝⎛⎭⎫B －π6－1， 由A ＝π6可知，B ∈⎝⎛⎭⎫0，5π6，所以B －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，2π3，从而sin ⎝⎛⎭⎫B －π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1， 因此，3sin ⎝⎛⎭⎫B －π6－1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1， 故cos ⎝⎛⎭⎫5π2－B －2sin 2C 2的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－3＋22，3－1. 2．(2017·贵阳二模)已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝sin(A ＋C )，cos(A －C )＋cos B ＝3c .(1)求角A 的大小； (2)求b ＋c 的取值范围．解：(1)∵b ＝sin(A ＋C )，可得：b ＝sin B ， ∴由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得：a ＝sin A ，c ＝sin C ，∵cos(A －C )＋cos B ＝3c ，可得： cos(A －C )－cos(A ＋C )＝3c ，可得：cos A cos C ＋sin A sin C －(cos A cos C －sin A sin C )＝3c ， ∴2sin A sin C ＝3c ， ∴2ac ＝3c ，可得：a ＝32＝sin A ， ∵A 为锐角，∴A ＝π3.(2)∵a ＝32，A ＝π3， ∴由余弦定理可得⎝⎛⎭⎫322＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即34＝b 2＋c 2－bc ，整理可得(b ＋c )2＝34＋3bc ， 又∵34＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，∴(b ＋c )2＝34＋3bc ≤34＋94＝3，解得b ＋c ≤3，当且仅当b ＝c 时等号成立， 又b ＋c ＞a ＝32，∴b ＋c ∈⎝⎛⎦⎤32，3.1．(2017·九江二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足bc ＝3sinA ＋cos A .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 解：(1)∵bc＝3sin A ＋cos A ，∴由正弦定理可得：sin B ＝3sin A sin C ＋sin C cos A ， 又∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴3sin A sin C ＝sin A cos C ， ∵sin A ≠0，∴解得tan C ＝33， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π6.(2)∵c ＝2，C ＝π6，∴由余弦定理可得4＝a 2＋b 2－3ab ≥(2－3)ab ， 即ab ≤42－3，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12×42－3×12＝2＋3，当且仅当a ＝b 时等号成立，即△ABC 的面积的最大值为2＋ 3.2．(2017·广元二模)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝13.(1)求cos 2B ＋C2＋cos 2A 的值．(2)若a ＝3，求△ABC 的面积S 的最大值． 解：(1)∵cos A ＝13，∴cos 2B ＋C 2＋cos 2A ＝sin 2A 2＋cos 2A ＝1－cos A 2＋(2cos 2A －1)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫29－1＝－49；(2)由cos A ＝13得sin A ＝1－cos 2A ＝223， ∴S ＝12bc sin A ＝23bc ，要求S 的最大值，只须求bc 的最大值， ∴2bc 3＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，又a ＝3， ∴bc ≤94.(当且仅当b ＝c ＝32时取等号)，故S 的最大值为324.3．(2017·济宁一模)设f (x )＝⎝⎛⎭⎫3sin x 2＋cos x 2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，f ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－12，a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫3sin x 2＋cos x 2cos x 2－12 化简可得f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－12＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 根据正弦函数的性质可知：－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，f (x )是单调递增，∴得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－12， 得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝－12， ∴sin A ＝32， 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得3＝b 2＋c 2＋bc ≥2bc ＋bc ＝3bc ， 当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立， ∴bc ≤1，∴S △ABC ＝12bc sin A ≤34，即△ABC 面积的最大值为34. 4．(2017·大庆二模)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，B ＝π2＋A .(1)求cos B 的值； (2)求sin 2A ＋sin C 的值． 解：(1)∵B ＝π2＋A ，∴cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝－sin A ，又a ＝3，b ＝4，所以由正弦定理得3sin A ＝4sin B ，所以3－cos B ＝4sin B，所以－3sin B ＝4cos B ，两边平方得9sin 2B ＝16cos 2B ， 又sin 2B ＋cos 2B ＝1， 所以cos B ＝±35，而B ＞π2，所以cos B ＝－35.(2)∵cos B ＝－35，∴sin B ＝45，∵B ＝π2＋A ，∴2A ＝2B －π，∴sin 2A ＝sin(2B －π)＝－sin 2B ＝－2sin B cos B ＝－2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝2425 又A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝3π2－2B ，∴sin C ＝－cos 2B ＝1－2cos 2B ＝725.∴sin 2A ＋sin C ＝2425＋725＝3125.5．(2017·东北三省四市二模)已知f (α)＝cos α 1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α.(1)当α为第二象限角时，化简f (α)； (2)当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，求f (α)的最大值．解：(1)当α为第二象限角时，sin α＞0，cos α＜0，f (α)＝cos α 1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α＝cos α(1－sin α)21－sin 2α＋sin α(1－cos α)21－cos 2α＝cos α·1－sin α|cos α|＋sin α·1－cos α|sin α|＝sin α－1＋1－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 (2)当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，由(1)可得f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 ∴α－π4∈⎝⎛⎫π4，3π4， 则sin ⎝⎛⎭⎫α－π4∈⎝⎛⎦⎤22，1 ∴f (α)的最大值为 2.6．(2017·南阳二模)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋1(ω＞0)相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足a ＝3，f (A )＝1，求△ABC 面积 S 的最大值．解：(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋1 ＝32sin 2ωx －1－cos 2ωx 2＋1 ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. ∵相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T 2＝π2，则T ＝π＝2π2ω，则ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12. 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z ； (2)由f (A )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋12＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12，∵2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得3＝b 2＋c 2－2bc ×12＝b 2＋c 2－bc ，则bc ≤3，当且仅当b ＝c 时“＝”成立． ∴(S △ABC )max ＝12bc ·sin A ＝12×3×32＝334.。

2018高考数学三角函数与解三角形二轮专题复习题(含答
案)
5 c 专题升级训练三角函数的图象与性质
(时间60分钟满分100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是( )
A函数f(x)的最小正周期为2π
B函数f(x)在区间上是增函数
c函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D函数f(x)是奇函数
2(B
c-或-1D-
4要得到函数=sin 2x的图象,只需将函数=sin的图象( )
A向右平移个单位长度
B向左平移个单位长度
c向右平移个单位长度
D向左平移个单位长度
5函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别为( )
A2,0B2,
c2,-D2,
6已知函数f(x)=cs x+x,x∈,sin x0=,x0∈,那么下面命题中真命题的序号是( )
①f(x)的最大值为f(x0)
②f(x)的最小值为f(x0)
③f(x)在上是增函数
④f(x)在上是增函数
A①③B①④。

疯狂专练18 解三角形1．在ABC △中，a =π4B =，π3A ∠=，则b =（）A ．3B ．4 C ．2D ．32．设ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，2A B =，则a =（） A B ．C D ．23．ABC △中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则sin A =（） A ．8B ．4C ．58D ．344．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，则A =（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π35．在ABC △中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=︒，c =，则（）A ．AB < B ．A B >C ．A B =D ．A 与B 的大小关系不能确定6．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos cos 2sin b C c B a B +=，2226a c b +-=，则ABC △的面积为（） A B C D 7．三角形ABC 的面积是1，2AB =，BC =B ∠为钝角，则AC =（）A C ．2D ．18．在ABC △中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2()2cos 32Af A A =-+，当函数()f A 取到最大值时ABC △的形状是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定一、选择题9．ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C所对的边长．已知a =cos A =，π2B A =+，则ABC △的面积是（） A．3B．3C．3D．310．已知在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，()tan 2sin A B C +=-，3c =，ABC △的周长的取值范围是（）A ．[6,9]B ．(6,9]C．(6,3+D．[6,3+11．在ABC △中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且()cos 2f A A A =-+，若()3,f A a ==ABC S △ABC △的周长是（）A．B．C．D．12．某新建学校规划如下图五栋建筑的位置，,A E 是教学区，,,B C D 是生活区，B A E →→为读书长廊，BE 为校内的一条快速安全通道，120BCD EDC BAE ∠=∠=∠=︒，m DE =，50m BC CD ==，则读书长廊（不考虑宽度）最长为（）A ．150B ．100 C． D．13．在ABD △中，60A ∠=︒，2AB =，BD =AD =．14．在ABC △中，内角,,A B C 的对边,,a b c ，且4,a c ==23AB BC ⋅=B =． 15．如图ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD AC ，2sin 3BAC ∠=，AB =2AD =， 则ABD △的面积是．⊥二、填空题16．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ， 且1BD =，则2a c +的最小值为．C1．【答案】D【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B ==，所以b = 2．【答案】B【解析】∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==，∴22222a c b a b ac+-=⋅，∵3b =，1c =，∴a = 3．【答案】A【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得4b =，1cos 4B =-，sin B ∴=， 由正弦定理sin sin a bA B =，得2sin A =，解得sin 8A =． 4．【答案】C【解析】由222a b c bc =+-，得222b c a bc +-=，根据余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，0πA <<，π3A ∴=． 5．【答案】B 【解析】120C ∠=︒，c =，2222cos c a b ab C ∴=+-，222122()2a ab ab =+--，22a b ab ∴-=，0aba b a b-=>+，a b ∴>，A B ∴>．6．【答案】C 【解析】cos cos 2sin b C c B a B +=，sin cos sin cos 2sin sin B C C B A B ∴+=，答 案 与解析一、选择题即()sin sin 2sin sin B C A A B +==，1sin 2B ∴=． 2226a c b +-=，2223cos 22a cb B ac ac +-∴===，ac ∴=111sin 222ABC S ac B ∴==⨯=△． 7．【答案】A 【解析】由面积公式得1sin 12AB BC B ⋅⋅=，∴sin 2B =， B ∠是钝角，cos 2B ∴=-， 在三角形ABC中由余弦定理得AC ==8．【答案】C【解析】2π()2cos 32sin 226A f A A A ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． A 为三角形的内角，所以0A <<π，666A ππ5π∴-<-<． ∴当62A ππ-=，即3A 2π=时，()f A 取得最大值4，此时该三角形为钝角三角形． 9．【答案】D【解析】在ABC △中，由题意知sin 3A ==， 又因为π2B A =+，所有πsin sin()cos 23B A A =+==，由正弦定理可得sin 4sin a Bb A===．由π2B A =+，得πcos cos()sin 2B A A =+=-=，由πA B C ++=，得π()C A B =-+，所以sin sin[π()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+1(33333=⨯-+=．因此，ABC △的面积111sin 4223S ab C ==⨯⨯=． 10．【答案】B【解析】由()tan 2sin A B C +=-，可得tan 2sin C C -=-，即1cos 2C =， 0πC <<，π3C ∴=， 由余弦定理得()22293a b ab a b ab =+-=+-，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()()222332a b a b ab a b +⎛⎫∴+-≥+- ⎪⎝⎭，∴6a b +≤． 又3a b +>，69a b c ∴<++≤，即ABC △的周长的取值范围是(6,9]．11．【答案】A【解析】由题意知()3f A =，得1sin()62A π-=， 666A ππ5π-<-<，π66A π∴-=，即3A π=，又ABC S △，1sin 2bc A ∴=，即4bc =．由余弦定理得()2222cos a b c bc bc A =+--，化简得b c +=ABC ∴△的周长为．12．【答案】C 【解析】连接BD ，在BCD △中，由余弦定理得21250025002505075002BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，BD ∴=,120CB CD BCD =∠=︒，30CBD CDB ∴∠=∠=︒，又120CDE ∠=︒，90BDE ∴∠=︒，在BDE △中由勾股定理得150BE ===（米），在BAE △中，120BAE ∠=︒，150BE =，由正弦定理得22R == 设π03ABE θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则π3AEB θ∠=-，ππ2sin sin 33AB AE R θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴当π6θ=，即AB AE =时，AB AE +取得最大值，即读书长廊最长为．13．【答案】4【解析】在ABD △中，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⨯⨯， 即21242AD AD =+-，化简得2280AD AD --=，解得4AD =． 14．【答案】2π3【解析】∵4,a c ==()cos πAB BC ca B B ∴⋅=-=-=，1cos 2B ∴=-，又0πB <<，2π3B ∴=． 15．【解析】∵π2sin sin()cos 23BAC BAD BAD ∠=∠+=∠=，∴sin BAD ∠==， 3AB =2AD =，∴由三角形面积公式可得122ABD S =⨯=△ 16．【答案】3+ 【解析】120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，60ABD CBD ∴∠=∠=︒，由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c ︒=︒+︒， 化简得ac a c =+，二、填空题又0a >，0c >，所以111a c+=，则1122(2)()333c a a c a c a c a c +=++=++≥+=+，a =时取等号，故2a c +的最小值为3+。

限时规范训练九 三角恒等变换与解三角形限时45分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34B ．－310C ．－43D.43解析：选B.解法一：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－310，故选B. 解法二：由题意得1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝14，即4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α ∴10sin αcos α＝－3 即sin αcos α＝－310，故选B.2．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34D.14解析：选B.∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 3．在△ABC 中，若3cos2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A ·tan B ＝( )A ．4B.14 C ．－4D ．－14解析：选B.由条件得3×A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sinB ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A ·tan B ＝sin A sin B cos A cos B ＝14.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D.cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32 B.34 C.36D.38解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 6．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )A.π4 B.π6 C.π3D.π12解析：选B.因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，则B ＝π6，故选B. 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π3，则b ＝________.解析：由题意可得S ＝12ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b ＝7.答案：78．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解析：∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2.所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－39．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．解析：由π2＜β＜α＜3π4知π＜α＋β＜3π2，⎩⎪⎨⎪⎧－3π4＜－β＜－π2π2＜α＜3π4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－π4＜α－β＜π4α－β＞0⇒0＜α－β＜π4.根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665，所以(sinα＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－5665＝965.因为π2＜α＜3π4，所以sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝36565.答案：36565三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25， 即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310. 11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .由a －c ＝66b ，得a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.12．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cosB ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33， 所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13.因为D ∈(0，π)，所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12， 所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin B ＝ABsin ∠ACB ， 所以23sin B＝ABπ－2B＝ABsin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB233sin B，所以AB＝4.。

解三角形1．[2017·莲塘一中]已知在中，，那么这个三角形的最大角是（ ） A ．135° B ．90°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】根据正弦定理，有，不妨设，，，显然，三角形的最大角为，，，，选C ．2．[2017·新余一中]在中，，则的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】在中，，由正弦定理，得，，，，，或，或，为等腰或直角三角形，故选C ． 3．[2017·崇仁县一中]的内角，，的对边分别是，，，已知，，，则等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由余弦定理得，即，所以，应选答案B ． 4．[2017·新乡一中]在中，内角，，的对边分别是，，，，，，则一、选择题（5分/题）（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．5．[2017·超级全能生]在中，，，分别是角，，的对应边，若，则下列式子正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，由余弦定理，，，所以，即，选C．6．[2017·海南中学]在中，，，分别是内角，，的对边，若，，的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，的面积为，得：，从而有，由余弦定理得：，即，故选：D．7．[2017·葛洲坝中学]设的内角，，的对边分别是，，，，，，若是的中点，则（）。

解三角形1．[2017·莲塘一中]已知在ABC △中，sin :sin :sin 3:5:7A B C =，那么这个三角形的最大角是（ ） A ．135° B ．90°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，有::sin :sin :sin 3:5:7a b c A B C ==，不妨设3a k =，5b k =，7c k =()0k >，显然c b a >>，三角形的最大角为C ，()()()222357151cos 2352152k k k C k k+--===-⨯⨯⨯，0180C ︒<<︒ ，120C ∴=︒，选C ． 2．[2017·新余一中]在ABC △中，cos cos a A b B =，则ABC △的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】在ABC △中，cos cos a A b B = ，∴由正弦定理得2sin a R A =，2sin b R B =，sin cos sin cosA AB ∴=sin 2sin 2A B ∴=，22A B ∴=或2π2A B =-，A B ∴=腰或直角三角形，故选C ．3．[2017·崇仁县一中]ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4c =，3cos 4B =，则a 等于（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由余弦定理得27166a a =+-，即()2269030a a a -+=⇒-=，所以3a =，应选答案B ．4．[2017·新乡一中]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，3a =，2b =，60A =︒，则一、选择题（5分/题）cos B =（ ）ABC．D【答案】AA ． 5．[2017·超级全能生]在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对应边，若）A ．2a b c +=B ．2a b c +< C．2a b c+≤D ．2a b c +≥【答案】C【解析】π3C =，222a b c ab +-=，()()222334a b a b c ab ++-=≤，所以()224a b c +≤，即2a b c +≤，选C ．6．[2017·海南中学]在ABC △中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，，ABC △的面积为，则a =（ ）ABCD【答案】D 【解析】，ABC △的面积为，由余弦定理得：2222cos 284a b c bc A =+-=++，即D ． 7．[2017·葛洲坝中学]设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，b =π6C =，1sin 2A =，若D 是BC 的中点，则AD =（ ）A．74B．2C．14D．12【答案】B【解析】1πsin26A A=⇒=或5π6（舍），12CD∴=，2211π72cos2264AD AD⎛⎫=+-⨯=⇒=⎪⎝⎭，选B．8．[2017·郑州一中]在ABC△中，60A=︒，1b=，）ABCD【答案】B【解析】依题意有，4c=，由余弦定理得9．[2017·资阳期末]在ABC△中，5AB=若2B C=，则向量BC在BA上的投影是（）ABCD【答案】B【解析】B．10．[2017·重庆一中]在平面四边形ABCD中，已知2AB CD==，1AD=，3BC=，且BAD BCD∠+∠=180︒，则ABC△的外接圆的面积为（）ABCD【答案】D【解析】由题设条件可知四边形ABCD的外接圆与ABC△的外接圆是同一个圆，设BADθ∠=，则πBCD θ∠=-，所以()2144c o s4912c o s πBD θθ=+-=+--，即c o s2π3θ=所以ABC △的外接圆的面积是D ． 11．[2017·山西八校]为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC最短为（ ）AB ．2米 C．米D【答案】D【解析】由题意设()1BC x x =>米，()0AC t t =>米，依题设0505AB AC t =-=-．．米，在ABC △中，由余弦定理得：2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅︒，即()22205t t x tx -=+-．，化简并整理得：()202511x t x x -=>-．，即075121t x x =-++-．，因1x >，故0751221t x x =-+++-．≥12x =+时取等号），此时t取最小值D ．12．[2017·邢台二中]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，且2a c +=，则ABC △周长的取值范围是（ ）A ．(]2,3B ．[)3,4C ．(]4,5D ．[)5,6【答案】B【解析】由0πB <<又2a c += ，∴由余弦定理可得，()22222cos 243b a c ac B a c ac ac ac =+-=+--=-，2a c +=a c =时取等号，01ac ∴<≤，则330ac --<≤，则214b <≤，即12b <≤．∴ABC △周长[)23,4L a b c b =++=+∈．故选B ．13．[2017·襄州一中]速度向正北方向航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°方向，1小时30分钟后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东75°方向上，则灯塔S 与B 的距离为________km ． 【答案】72【解析】由题意，ABS △中，45A ∠=︒，75B ∠=︒，60S ∴∠=︒，∴．故答案为：72 km ．14．[2017·红河州毕业]如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，40CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB =_____米．二、填空题（5分/题）【解析】180135CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒，根据正弦定理得：15．[2017·新余一中]某沿海四个城市A ，B ，C ，D 的位置如图所示，其中60ABC ∠=︒，135BCD ∠=︒，80AB =n mile ，D 位于A 的北偏东75方向．现在有一艘轮船从A 出发向直线航行，一段时间到达D 后，轮船收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ=_________．【解析】根据题意，在ABC △中，由余弦定理可得，在ACD △中，由正弦定理可得，则30D =︒， 所以根据题意可得753045θ=︒-︒=︒，所以 16．[2017·赣州二模]如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60︒方向，则A 、B 两处岛屿的距离为__________海里．【解析】由题意，可得30ACD ∠=︒，45BOC ∠=︒，45DAC ∠=︒，60ADB ∠=︒， 在等腰直角BCD △中，40BC =，则 在ACD △中，由正弦定理在ABD △中，由余弦定理可得：，A ，B。