质点的角动量和刚体

v v 均相同，但 (2) 任一质点运动 ∆θ , ω , α 均相同， ) v v 不同； v, a 不同；
(3) 运动描述仅需一个角坐标． ) 运动描述仅需一个角坐标．
六、角量与线量的关系 dθ ω= dt 2 dω d θ = 2 α= dt dt v v v = r ωτ
ω
v
v aτ
v v an va r
2
Jz
m
IC
R
1 2 3 2 2 Iz = mR + mR = mR 2 2
例：计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m， 计算钟摆的转动惯量。（已知： 。（已知 半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r。） 长度为2 摆杆转动惯量： 解： 摆杆转动惯量：
O
1 4 2 2 I1 = m( 2r ) = mr 3 3
v τ v v
aτ = rα a n = rω
2
v w 2v a = r α τ + rω n
七、刚体对定轴的角动量
质元： 质元：组成物体的微颗粒元 质元对点的角动量为
v v v Li = Ri ×(mi vi )
Li = mi Ri vi
v Li 沿转轴Oz的投影为 沿转轴Oz Oz的投影为
π Liz = Li cos( −γ ) = mi Ri vi sin γ 2
摆锤转动惯量： 摆锤转动惯量：
r
1 2 19 2 2 I2 = IC + md = mr + m( 3r ) = mr 2 2 4 2 19 2 65 2 I = I1 + I2 = mr + mr = mr 3 2 6
2
说明 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： 有关． （1）与刚体的体密度 ρ 有关． ） （2）与刚体的几何形状(及体密度 ρ 的分 ）与刚体的几何形状( 有关． 布)有关． 有关． （3）与转轴的位置有关． ）与转轴的位置有关
z o O x dm dx x
r =x
2
l 2
2
m 1m 3l J = ∫ x ⋅ dx = x 0 l 3l 0
细棒绕棒的中心的转动惯量
1 2 J = ml 3
？
例：一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘 的均匀圆盘， 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。 解：
m mg FT M
解： 对M：M′＝FT R Iα ＝
1 2 I＝ MR 2
对m: mg − F = ma T
a = Rα
M
m 解方程得： a 解方程得： = m+ M
g 2
FT m mg
4mgh v = 2ah = 2m + M v 1 4m gh ω= = R R 2m + M
的均质细杆， 例5 一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在O点，距 A端 l/3 处。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转 ：（1 水平位置的角速度和角加速度; 动，求：（1）水平位置的角速度和角加速度;（2） 垂直位置时的角速度和角加速度。 垂直位置时的角速度和角加速度。
1 1 2 2 2 ∆Eki = ∆mi vi = ∆mi ri ω 2 2
整个刚体的转动动能： 整个刚体的转动动能：
v ri
∆mi
v vi
1 2 2 Ek = ∑∆Eki = ∑ ∆mi ri ω 2
1 2 = (∑∆mi ri )ω2 2
1 2 Ek = Jω 2
的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移dθ
J = ∫ r2dm = ∫ r2ρdV
V V
面质量分布） J = ∫ r2dm = ∫ r2σdS （面质量分布）
S S
J = ∫ r dm = ∫ r λdl
2 2 L L
（线质量分布） 线质量分布）
例：计算质量为m，长为L的细棒绕一端的转动惯 量。
解：
J = ∫ r dm
2
m dm = ρ dx = dx l
v dL v =M dt
角动量定理的微分形式 角动量定理的积分形式
r dL M= dt
作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。 作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。
∫
t
t0
r v v Mdt = L2 − L1
外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。 外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。 v
刚体：在外力作用下， 刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体． 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组． 不变的特殊质点组．) ⑴ 说明： 刚体是理想模型 说明： 刚体模型是为简化问题引进的． ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的． 刚体的运动形式：平动、转动． 刚体的运动形式：平动、转动．
Lz = Iz ω
结论：刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、 结论：刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量
的分布以及转轴的位置有关。 的分布以及转轴的位置有关。
质量离散分布
J = ∑ ∆m r = m r + m r + L+ m r
2 j j 2 11 2 2 2
2 j j
对于质量连续分布的刚体： 对于质量连续分布的刚体：
力矩： 力矩： M
= Fr sin ϕ dW = Mdθ
θ
力矩对刚体所作的功： 力矩对刚体所作的功：
W = ∫ Mdθ
0
功率： 功率： P = dW = M dθ = Mω
dt
dt
力矩对刚体的瞬时 功率等于力矩和角 速度的乘积。 速度的乘积。
十一、 刚体的定轴转动动能和动能定理
个质元的动能： 第i个质元的动能： 个质元的动能 z
v 2 Liz = mi ri vi = mi ri ω
刚体对Oz轴的角动量为 刚体对 轴的角动量为
Lz = ∑Liz = ∑mi ri ω = (∑mi ri )ω
2 2 i i i
令
Iz = ∑mri i
i
2
单位： ⋅ 单位：kg⋅ m2
Iz 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。 轴的转动惯量 转动惯量。
dm = σ 2π rdr
2
J = ∫ r dm = 2πσ ∫ r3dr
J = 2πσ ∫ r dr
3 0
R
R
o
r
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
4
平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为IC ，则刚 体对与该轴相距为d 的平行轴z的转动惯量Iz是
Iz = IC + md
1 2 IC = mR 2
三、质点角动量守恒定律 v v r v 若M = 0 L = r × mv = 常矢量
质点所受外力对固定点的力矩为零， 质点所受外力对固定点的力矩为零，则质点 对该固定点的角动量守恒。 对该固定点的角动量守恒。 ——质点的角动量守恒定律。 ——质点的角动量守恒定律。 质点的角动量守恒定律
四、刚体及刚体的运动形式
r 等于零； （1）力F等于零； r r 共线即( )。 （2）力 F 的作用线与矢径 r共线即( sinϕ = 0 )。
2、质点的角动量定理 r r r L = r × mv r r v r r d(mv) dr r dL d r + × mv = (r × mv) = r × dt dt dt dt v r v v v v d(mv) v dr r dL v d(mv) dr =r× + × mv F= v= dt dt dt dt dt v v v v v r r dL v v v v ×mv = 0 r × F = M = r × F + v × mv dt
平动： 平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同． 持完全相同．
刚体平动
特 点 质点运动 ： 各
转动： 定轴转动和 转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动 刚体的平面运动
刚体的一般运动可看作： 刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
五、刚体转动的角速度和角加速度 z 角坐标 θ = θ (t )
八、刚体对定轴的角动量定理和转动定律
由质点系对轴的角动量定理， 由质点系对轴的角动量定理，可得 d L d(Iω) Mz = = dt dt 两边乘以d 两边乘以dt，并积分
∫
t2
t1
Mz d t = L2 − L1
刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内， 刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内， 作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角 动量增量。 动量增量。
r r
r r r L = r × mv L = rmv sinϕ L = rmv = mr 2ω
二、质点的角动量定理
1、力矩
r M
M = Fr sinϕ r r r 单位： M = r × F 单位：牛·米（N · m）
O
r v r F
ϕ
力矩为零的情况: 力矩为零的情况:
r r r M = r ×F
时
Lz = Izω = 恒量
刚体对定轴的角动量守恒定律：
当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时， 当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时， 刚体对该转轴的角动量保持不变。 刚体对该转轴的角动量保持不变。 注意：该定律不但适用于刚体， 注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕 定轴转动的任意物体系统。 定轴转动的任意物体系统。
解：
IO = IC + md
2
2
1 2 l 1 2 IO = ml + m = ml 12 6 9