浙江省嘉兴市八校高二数学上学期期中联考 理【会员独享】

2024学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线过()0,1A -、()10B ,两点，则该直线的斜率为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】利用两点连线的斜率公式可求得该直线的斜率.【详解】由题意可知，直线AB 的斜率为10101AB k --==-.故选：C.2.已知直线1l ：10x my +-=与2l ：310mx y +-=，若12l l //，则m 为（）A. B.0C.D.【答案】D 【解析】【分析】由12l l //计算可得m =m =或m =时两直线是否重合即可得.【详解】由12l l //，则有2130m ⨯-=，解得m =，当m =时，1l ：10x +-=与2l 310y +-=，两直线不重合；当m =时，1l ：10x -=与2l ：310y +-=，两直线不重合；故m =.故选：D.3.已知1F ，2F 分别为椭圆22193x y+=的左右焦点，P 为椭圆上一点，若12=PF ，则2PF 为（）A.1B.4C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】由椭圆定义计算即可得.【详解】由椭圆定义可得126PF PF +==，故216624PF PF =-=-=.故选：B.4.已知()2,,5m t =- ，()3,2,n t =-分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，则t 的值为（）A.1B.2C.1- D.2-【答案】B 【解析】【分析】由空间向量的知识可知，两平面垂直等价于两法向量垂直，从而利用两法向量数量积为0求值.【详解】因为()2,,5m t =- ，()3,2,n t =-分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，所以m n ⊥ ，即()()2,,53,2,625630m n t t t t t ⋅=-⋅-=--+=-+=，解得2t =，故选：B.5.经过点()1,2M 作圆225x y +=的切线，则切线方程为（）A.250x y +-=B.250x y --= C.250x y +-= D.250x y --=【答案】C 【解析】【分析】设出直线方程后，结合切线定义与点到直线的距离公式计算即可得.【详解】易知切线斜率存在，设该切线方程为()12y k x =-+，即20kx y k --+=，则有d ==，化简得()2210k +=，故12k =-，故该切线方程为()1122y x =--+，即250x y +-=.故选：C.6.如图，在三棱锥O ABC -中，已知E 是BC 上靠近C 的三等分点，F 是AE 的中点，则OF =（）A.111234OA OB OC -+B.111263OA OB OC -+C.111234OA OB OC ++D.111263OA OB OC ++【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量加法，减法和数乘运算法则进行求解.【详解】E 是BC 上靠近C 的三等分点，F 是AE 的中点，故111222OF OA AF OA AE OA AC CE=+=+=++1111111111122232266263OA OC OA CB OA OC OB OC OA OB OC =+-+⨯=++-=++ .故选：D7.已知圆1O ：()()2214x a y -++=与圆2O ：()2229x a y ++=有两条公切线，则实数a 的取值范围（）A.,00,33⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.2626,33⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.260,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用公切线问题转化为两圆相交问题，再转化为圆心距范围问题，即可求解.【详解】由圆1O ：()()2214x a y -++=与圆2O ：()2229x a y ++=有两条公切线，可知两圆位置关系是相交，即圆心距小于半径之和且大于半径之差，()1,5=，解得：,00,33a ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选：A.8.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若24AB F B =uu u r uuu r，122F A F B =，则椭圆C 的离心率为（）A.15B.5C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】设2F B m = ，结合题目所给条件及椭圆定义可得25m a =，即可表示出2AF 、1AF 、2BF 、1BF ，再借助余弦定理及2121cos cos 0BF F AF F ∠+∠=计算即可得解.【详解】设2F B m = ，则244AB F B m == ，1222F A F B m ==，则23AF m =，由椭圆定义可得1252AF AF m a +== ，故25m a =，即有265AF a = ，145AF a = ，225BF a = ，则128255BF a a a =-= ，则有()()22222221212864225555cos cos 026222255a c a a c a BF F AF F a c a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠+∠=+⨯⨯⨯⨯，整理得2252c a =，即5c e a ===.故选：C.二、选择题Ⅱ：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分．9.已知直线l 0y +=，则下列说法正确的是（）A.点()1,0到直线lB.直线l 的截距式方程为11x +=C.直线l 的一个方向向量为(1,D.若直线l 与圆()2220x y r r +=>相切，则32r =【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项，根据点到直线距离公式进行求解即可；对于B 选项，根据直线的截距式进行求解即可；对于C 选项，根据直线方向向量的概念进行求解即可；对于D 选项，根据直线与圆相切的关系，根据圆心到直线的距离等于半径进行求解即可.【详解】对于A 选项，已知直线0l y +-，则点()1,0到直线的距离0d ==，故A 选项错误；对于B 选项，已知直线0l y +=，则直线l 的截距式方程为11x +=，故B 选项正确；对于C 选项，已知直线0l y +=，则直线l 的一个方向向量为(1,，故C 选项正确；对于D 选项，已知圆222x y r +=，其圆心()0,0到直线l 2=，由于直线l 与圆相切，可得：32r =，故D 选项正确.故选：BCD10.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，90ABC ∠=︒，E ，F 分别为棱AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点，则下列说法正确的是（）A.BF DE ⊥B.该三棱柱的体积为4C.直线DE 与平面11ABB A 所成角的正切值的最大值为12D.过1A ，1B ，E 5【答案】ABC 【解析】【分析】利用题设建系，对于A ，通过空间向量证明BF ⊥平面11A EB ，即得BF DE ⊥；对于B ，利用直棱柱体积公式计算即得；对于C ，设点(),0,2D t ，利用空间向量的夹角公式计算得出关于t 的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的最大值；对于D ，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除D.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,2,1F ，()1,1,0E ，()12,0,2A ，()10,0,2B ，对于A ，()0,2,1BF = ，()11,1,2EB =-- ，()11,1,2EA =-，因1220BF EA ⋅=-+= ，1220BF EB ⋅=-+=，可得1BF EA ⊥，1BF EB ⊥，因11EA EB E ⋂=，且两直线在平面11A EB 内，则有BF ⊥平面11A EB ，又D 为棱11A B 上的动点，故BF DE ⊥，即A 正确；对于B ，由题意，该三棱柱的体积为122242V =⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ，如图，因1AA ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，则1AA BC ⊥，又BC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，且两直线在平面内，故得⊥BC 平面11ABB A ，故可取平面11ABB A 的法向量为 =0,1,0，又D 为棱11A B 上的动点，可设(),0,2D t ，[]0,2t ∈，则()1,1,2DE t =--，设直线DE 与平面11ABB A 所成角为θ，则sin cos ,DE n θ==，因[]0,2t ∈，故当且仅当1t =时，()215t -+取得最小值为5，此时sin θ取得最大值为5，因π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而正弦函数和正切函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上均为增函数，故此时tan θ5152=，故C 正确.对于D ，如图，设经过1A ，1B ，E 三点的截面α交BC 于点G ，连接1,EG B G ，因11∥A B AB ，11A B ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则11//A B 平面ABC ，又11A B α⊂，α 平面ABC EG =，故得11A B EG ∥，即截面为梯形11EGB A ，因1A E=，1B G ==，设梯形11EGB A 的高为h 1+=，解得h =则()1112122EGB A S =⨯+=，故D 错误；故选：ABC.【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题.解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明;利用线面平行的性质作出截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解.11.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，可以转化为点(),A x y 与点(),B a b 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数()f x =，下列结论正确的是（）A.方程()5f x =无解B.方程()6f x =有两个解C.()f x 的最小值为D.()f x 的最大值为【答案】BC 【解析】【分析】根据两点间距离公式，结合题意可得()f x PA PB =+，取()2,2C 计算可得A 、C 、D ；结合椭圆定义计算可得B.【详解】()f x ==+，设(),1P x ，−2,0，()2,0B ，则()f x PA PB =+，如图，取()2,2C ，则()f x PA PB PA PC AC =+=+≥==，当且仅当A 、P 、C 三点共线时，等号成立，又当2x ≥时，()f x 随x 增大而增大，故()f x 无最大值，故C 正确、D 错误；由5>，故()5f x =有解，故A 错误；()6f x =，则64PA PB AB +=>=，则P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，此时26a =，2c =，即3a =，2945b =-=，即椭圆方程为22195x y +=，当1y =时，得2141955x =-=，得2365x =，即5x =±，即方程()6f x =有两个解，故B 正确.故选：BC .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线2230x y +-=的倾斜角为______．【答案】34π【解析】【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.【详解】由于直线的斜率为1-，故倾斜角为3π4.【点睛】本小题主要考查由直线一般式方程求斜率，考查斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.13.点N 在椭圆2212510x y +=上，F 是椭圆的一个焦点，M 为NF 的中点，若4OM =，则NF =_________．【答案】2【解析】【分析】由椭圆的定义结合中位线性质即可求解.【详解】如图，设椭圆的另一焦点为1F ，则1210NF NF a +==，由中位线可知：112OM NF =，所以18NF =，所以2NF =，故答案为：214.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱1,AD BB 的中点.点P 为正方体表面上的动点，满足1A P EF ⊥.给出下列四个结论：①线段1A P 长度的最大值为；②存在点P ，使得//DP EF ；③存在点P ，使得1B P DP =；④EPF 是等腰三角形.其中，所有正确结论的序号是________．【答案】①③④【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断B ，设点的坐标根据条件列出方程组②，探求是否存在符合条件的解判断③④【详解】如图，建立空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,2,1,0,0,2,2,1,0,2,0,0,0,0,2,2,2A E F C D B ，对①，由正方体性质知当P 在C 时，线段1A P 长度的最大值为此时()()12,2,2,1,2,1A P EF =--= ，12420A P EF ⋅=-+-=，所以1A P EF ⊥，即满足1A P EF ⊥，故①正确；对②，取正方形11BB C C 的中心M ，连接,DM MF ，易知//,MF DE MF DE =，所以四边形DMFE 为平行四边形，所以//DM EF ，故P 运动到M 处时，//DP EF ，此时()1,2,1P ，()11,2,1A P =-- ，114120A P EF ⋅=-+-=≠，即不满足1A P EF ⊥，综上不存在点P ，使得//DP EF ，故②错误；对③，设(),,P x y z ，则()12,,2A P x y z =-- ，()1,2,1EF =，若存在，由1B P DP =，1A P EF ⊥可得方程组2220x y z -++-=⎧=化简可得243x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解得2,1x z y +==，显然当0,2,1x z y ===时满足题意，即存在点P ，使得1B P DP =，故③正确；对④，设(),,P x y z ，若PE PF =，=24x y z ++=，由③知1A P EF ⊥时可得24x y z ++=，所以不妨取0,1,2x y z ===，此时()0,1,2P 在正方体表面上，满足题意，故④正确.故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题的关键之处在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算建立方程，探求是否存在满足条件的点，运算比较复杂，属于难题.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间三点()2,0,1A -，()1,0,1B -，()3,1,2C -，设a AB = ，b AC = .（1）求2a b +的值；（2）若向量()a kb + 与()a kb -互相垂直，求实数k 的值.【答案】（1）23a b +=；（2）3k =±.【解析】【分析】（1）先由题意求出,a b，再结合向量坐标形式的加法运算和模长公式即可计算求解；（2）由向量垂直的表示结合a， b 即可计算求解.【小问1详解】由题得()1,0,0a AB ==，()1,1,1b AC ==- ，所以()21,2,2a b +=- ，所以23a b +=.【小问2详解】因为()()a kb a kb +⊥- ，所以()()2220a kb a kb a k b +⋅-=-= ，又21a = ，2223b === ，所以2130k-=，解得3k =±.16.已知直线1l ：350x y ++=，2l 经过点()3,1M ．（1）若12l l ∥，求直线2l 的方程；（2）在（1）的条件下，求1l 与2l 之间的距离；（3）若2l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的最小值．【答案】（1）360x y +-=（2）10（3）6【解析】【分析】（1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解；（2）直接由平行线间距离公式即可求解；（3）求得直线在两坐标轴上交点，再由两点间距离公式及基本不等式即可求解.【小问1详解】直线350x y ++=的斜率为13-，所以过点()3,1M 且与直线350x y ++=平行的直线方程为()1133y x -=--，即360x y +-=．【小问2详解】因为10d ==，所以两直线间的距离为10．【小问3详解】设直线方程为()13y k x -=-，0k <．当0x =时，13=-y k ；当0y =时，13=-x k．则()13,0,0,13A B k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则6MA MB ⋅=，当且仅当221kk =，即1k =-时，等号成立．所以MA MB ⋅的最小值为6．17.已知点32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆C ：226210x y x y +--+=．（1）求圆C 过点P 的最短弦所在的直线方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=相交于A ，B 两点，O 为原点，且OA OB ⊥，求a 的值．【答案】（1）4250x y --=（2）1a =-【解析】【分析】（1）过点P 的最短弦就是圆心与P 连线垂直的直线，借助垂直得到斜率，再用点斜式即可；（2）直线与圆的方程联立，借助韦达定理得到124x x a +=-+，()21212a x x -=.再由OA OB ⊥转化为向量数量积，综合韦达定理构造方程计算即可.【小问1详解】过点P 的最短弦就是圆心与P 连线垂直的直线，圆226210x y x y +--+=的圆心()3,1C ，则1322312PCk k -=-=-=-，所以过点P 的最短弦所在的直线方程为()3222y x -=-，即4250x y --=．【小问2详解】()()220,319,x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 得()()22319x x a -++-=，化简后为()()2222810x a x a +-+-=．因为圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，所以()()22Δ28810a a =--->，即24140a a +-<，解得22a --<<-+设1,1，2,2，则124x x a +=-+，()21212a x x -=．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．由1122,,y x a y x a =+⎧⎨=+⎩得()()()()2222212121212161422a a a y y x a x a x x a x x a a a a -++=++=+++=++=．从而()()2221611022a a a a -+++=+=，解得1a =-．18.如图，直三棱柱111ABC A B C-中，12BC AB AA AC ===，M 是11BC 中点，N 是AC 中点．（1）证明：直线//MN 平面11ABB A ；（2）证明：直线MN BC ⊥；（3）求平面MNA 与平面11BB C C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23【解析】【分析】（1）构造中位线判定四边形EMNA 为平行四边形，利用线线平行判定线面平行即可；（2）根据线段关系判定 ABC 为直角三角形，结合棱柱的特征判定11B N C N =，得出11MN B C ⊥即可证明；（3）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可.【小问1详解】取11A B 中点E ，连接AE ，EM ，E ，M 分别为11A B ，11B C 的中点，11EM A C ∴//，且1112EM A C =，111ABC A B C - 为直三棱柱，N 为AC 中点，//EM AN ∴，且EM AN =，∴四边形EMNA 为平行四边形，AE MN ∴//，AE ⊂ 平面11ABB A ，MN ⊄平面11ABB A ，//MN ∴平面11ABB A ；【小问2详解】连接BN ，1B N ，1C N ，2AB BC AC ==，ABC ∴ 为直角三角形，BN NC ∴=111ABC A B C - 为直三棱柱，易得11B BN C CN ≅ ，11B N C N ∴=，M 为11B C 中点，11MN B C ∴⊥，MN BC ∴⊥；【小问3详解】易知1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，分别以AB ，BC ，1BB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，设12AB BC AA ===，则2,0,0，()0,1,2M ，()1,1,0N ，()2,1,2AM =- ，()1,1,0AN =-，设平面AMN 的一个法向量为 =s s ，则220m AM x y z m AN x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()2,2,1m = ，易得平面11BB C C 的一个法向量为()1,0,0n =，设平面11BB C C 与平面AMN 所成角为θ，则2cos cos ,3m n θ===.19.已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 过点()3,1H，离心率为3，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点H 的M ，N 两点，且HM ，HN 均不与x 轴垂直．（1）求椭圆C 的方程；（2）若MN =P 为椭圆的上顶点，求PMN 的面积；（3）记直线HM ，HN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值．【答案】（1）221124x y +=（2）6（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得22222911a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解出即可得；（2）借助弦长公式计算可得2m =或2m =-，再利用点到直线的距离公式计算点()0,2P 到直线l 的距离后结合面积公式计算即可得；（3）设出直线的方程，与椭圆联立后可得与交点横坐标有关一元二次方程，结合韦达定理表示出12k k 并计算即可得.【小问1详解】根据题意得到22222911a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=；【小问2详解】因为MN ==，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 的方程123y x =-+经过点()3,1H ，不符合题意，舍去；当2m =-时，123y x =--，点()0,2P 到直线l的距离6105d ==，故PMN的面积116225S MN d =⋅==；【小问3详解】设1,1，2,2，直线l 的方程为13y x m =-+，联立方程22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22469360x mx m -+-=，由()()22Δ614440m m =-->，得33m -<<，则1232m x x +=，2129364m x x -=，因为直线HM ，HN 均不与x 轴垂直，所以13x ≠，23x ≠，则0m ≠且2m ≠，所以()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()()22121221212111136193399183x x m x x m m m x x x x m m --++--===-++-，故12k k 为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

卜人入州八九几市潮王学校八校二零二零—二零二壹高二数学上学期期中试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕 1.a ＜0，－1＜b ＜0，那么有〔〕 A.ab 2＜ab ＜a B.a ＜ab ＜ab 2C.ab ＞b ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a【答案】D 【解析】试题分析：，应选D ．考点：比大小．【方法点睛】比大小常用的方法是比较法：分为作差法和作商法．作差法是两式相减化为积的形式或者者多项式和的形式，然后与零作比较，多项式的形式常用作差法；幂指对得形式常作商，作商是与零作比较，但要注意提早断定两项是同正或者同负．ABC ∆中，假设45A =°，60B =°，2a =．那么b =A.23 D.26【答案】A 【解析】∵在△ABC 中,A =45∘,B =60∘，a =2，∴由正弦定理sin sin a bA B=得：32sin 26sin 2a B b A === 此题选择A 选项.{}n a 是公比为的等比数列，那么“〞是“{}n a 为递增数列〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列 〕 A.假设p q ∧p 、qB.“1x =〞是“2320x x -+=〞的充分不必要条件C.2320x -+=,那么1x =1x ≠,那么2320x x -+≠〞D.p ：x R ∃∈,使得210x x ++<,那么p ⌝：x R ∀∈,均有210x x ++≥【答案】A 【解析】 【分析】【详解】本选择题可以逐一判断,显然对于A 选项p q ∧p 、qA 的结论错误,选择A 项即可．对于B 项,1x =可得2320x x -+=,反之无法推出,所以“1x =〞是“2320x x -+=〞的充分不必要条件.对于C 项条件,结论否认且互换,正确. ,可知D 判断正确． 应选：A.5.在△ABC 中内角ABC 的对边分别为a,b,边c 上的高为abcosCc,ab =那么角C 的大小〔〕 A.14π B.16πC.12π D.34π 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式,解得sin cos C C =即可求解C 的大小； 【详解】由题意,根据三角形的面积公式,可得：11cos sin 22ab Cab C c c=⋅, 解得sin cos C C =,显然2C π≠所以tan 1C =,又0C π<<,可得4C π．应选：A ．【点睛】此题主要考察了余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适宜,要抓住可以利用某个定理的信息,合理选择正、余弦定理求解,着重考察了运算与求解才能,属于根底题．x ，y 满足112x y x +≤≤,那么2y x -的最大值是〔〕 A.2-B.2C.1-D.1【答案】A 【解析】 【分析】作出x ,y 满足的可行域,利用z 的几何意义即可解答．【详解】作出实数x ,y 满足不等式组对应的平面区域如图(阴影局部)： 令2z x y =-+那么2y x z =+,由图可知当直线2y x z =+过点(2,2)A 时,z 最大, 即2zx y =-+取最大值为422-+=-,应选：A ．【点睛】此题主要考察线性规划的应用,利用z 的几何意义,利用结合数形结合是解决此题的关键．属于根底题．ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,60,A b ∠=︒=假设此三角形有且只有一个,那么a 的取值范围是〔〕A.0a <<B.6a =C.a≥6a = D.0a <≤【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出sin 6b A =,然后数形结合可得a 的范围．【详解】由60,A b∠=︒=正弦定理可得sin 6b A ==；∵这样的三角形有且只有一个,∴a ≥6a =；应选：C ．【点睛】此题考察正弦定理的应用,考察三角形解的情况,考察特殊角的三角函数值,属于根底题． 8.在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 2021+a 2021＞0，a 2021•a 2021＜0，那么使S n ＞0成立的最大自然数n 是〔〕 A.4025 B.4024C.4023D.4022【答案】B 【解析】 ∵{}n a 为等差数列，10a >，a2021+a 2021＞0，a 2021•a 2021＜0∴20120a >，20130a <∴0d<∵1402440244024()2a a S +=，1402420122013a a a a +=+∴40240S >∵1402540254025()2a a S +=，1402520132a a a +=∴40250S <∴使S n ＞0成立的最大自然数n 是4024，应选B.()6(3)3?(7){ (7)x a x x f x a x ---≤=>，假设数列{}n a 满足()?()n a f n n N +=∈，且对任意的正整数,?()m n m n ≠都有()()0m n m n a a -->成立，那么实数a 的取值范围是〔〕A.9[,3)4B.9(,3)4C.(1,3)D.()2,3【答案】D 【解析】试题分析：因为且对任意的正整数,?()m n m n ≠都有()()0m n m n a a -->成立，所以数列{}n a 为递增数列，即函数()6(3)3?(7){ (7)x a x x f x a x ---≤=>为增函数，需满足：()7630{123373a a a a a -->>⇒<<-⨯-≤，应选择D考点：1．分段函数；2．函数的单调性ABC ∆中，A为锐角，1lg lg()lgsin b A c+==-，那么ABC ∆为〔〕A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D 【解析】试题分析：由1lg lg()lgsin b A c+==-，所以lgb bc =⇒=且sin A =，又因为A 为锐角，所以045A =，由b =，根据正弦定理，得0sin )cos sin B C B B B ==-=+，解得0cos 090B B =⇒=，所以三角形为等腰直角三角形，应选D. 考点：三角形形状的断定.{}n a 满足1(1)cos(2,)2n n n a a n n n N π*++=+•≥∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，假设20171010S m +=，且10a m •>，那么111a m+的最小值为〔〕A.2C.D.2【答案】A 【解析】当21n k =-时，221212cos 02k k k a a k π--+==，所以100820162121()0k k k S a a -==+=∑；当2n k=时，2122(21)cos(21)(1)2k k k ka a k k π++=+=+-，那么21212121221()(21)(1),1,2,3,,1008k k k k k k k a a a a a a k k +-+---=++-=+-=⋅⋅⋅，那么2017201720152015201320132011311a a a a a a a a a a =-+-+-+⋅⋅⋅+-+，即2017112017201520132011201120095(3)1008a a a =-+-+-+⋅⋅⋅++-+=+，所以201720162017101008S S a a =+=++，故由题设得11100810102a m a m ++=⇒+=，所以111111111111()()(11)(22)2222a m a m a m a m m a +=++=+++≥+=，即1112a m+≥，应选答案A 。

学习目标： 通过本课的学习，了解两汉时期经济发展的情况，包括水利兴修与农业生产的进步、手工业技术的提高以及商业繁荣的主要史实，进一步体会我国古代历史上的两汉盛世奠定基础。

学习重点： “治理黄河和农业的进步”“丝织和冶铁技术的提高” 学习难点：如何正确分析认识两汉时期经济发展的原因。

自主学习：（用15分钟的时间阅读课本，找出下列问题并记忆） 农业的成就： 1.水利：西汉__________、东汉__________治理黄河 2.农具：__________、__________。

3.作物：_______、_______、_______。

二．手工业的成就 1．丝织业：①______________②代表____________ 2．冶铁业：①______________意义______________ ②_________铁制兵器代替青铜兵器。

③_________我国最早发明炒钢技术 三．商业繁荣： 1．大一统的经济措施及作用：_________________ 2．东西二京：长安、洛阳 ①规模宏大：人口_________、________。

②布局合理：______________________ ③商业区___________市 合作探究： 1.讨论两汉经济繁荣的原因 2.72页动脑筋 3.75页活动与探究 精讲点拨： 1. 讲述农耕技术的改进时，可分为两个方面讲解：一是农具的改进，包括犁壁和耧车的发明；二是牛耕技术的改进，普遍使用二牛抬杠的耕作法。

对于这些，学生由于接触太少，不易理解，教师可借助于计算机、录像片、投影仪、挂图或模型进行讲解，增强直观性，启发学生的想像力。

与第7课内容相联系。

2.两汉农业的进步表现在兴修水利、农具的改进和农作物的种植三个方面。

3.提花机是一种提花设备，能在织物上织出花纹。

4、解释五铢钱。

并同秦朝的圆形方孔半两钱作比较。

5．强调农业、手工业和商业三者之间的关系。

高二数学（理科） 试题卷满分[ 100]分 ，时间[120]分钟 2012年11月 一、选择题:（本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）. 1.下列说法正确的是（ ）A ．平面α和平面β只有一个公共点B ．两两相交的三条直线共面C ．不共面的四点中，任何三点不共线D ．有三个公共点的两平面必重合2.圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是 ( )A ．(1,－1)B ．(12,－1) C ．(－1,2) D ．(－12,－1). 3.下列四个命题中的真命题是（ ）A ．经过点P (x 0，y 0)的直线一定可以用方程y -y 0＝k (x -x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y -y 1)(x 2-x 1)= (x -x 1)(y 2-y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程 x a+ y b=1表示D ．经过点A (0，b )的直线都可以用方程y =kx ＋b 表示4. 已知二面角βα--AB 的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到 棱AB 的距离为4，那么θtan 的值等于( )A ．43 B ． 53C ． 77D ．7735.已知实数r 是常数，如果),(00y x M 是圆222r y x =+内异于圆心的一点，那么200r y y x x =+与圆222r y x =+的位置关系是 ( )A ．相交但不经过圆心B ．相交且经过圆心C ．相切D ．相离6.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形'''A B O ，若''1O B =，那么原∆ABO 的面积是（ ）A ．12B ．22C ．2D ． 22 7.已知二面角α-l-β为60，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ）A ．1B ．2C ． 23D ．4A 'B ' y 'x 'O '1111俯视图正视图正视图 俯视图 8.设圆222(y 5)r (x+3)++=上有且只有两点到直线4x 3y 2-=的距离等于1,则圆的半径的取值范围是 ( )A ．16r 5<<B ．r 45> C ．46r 55<< D ．r 1> 9.已知二面角l αβ--的大小为050，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是025的直线的条数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510.过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足II III IV I S S S S +=+,则直线AB 有（ ）A ． 0条B ． 1条C ． 2条D ． 3条 二、填空题:(本大题共7小题,每小题4分，满分28分)11.Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的全面积为 .12.关于x 的方程a x x +=-24有两个不相等的实根，则a 的取值范围是__________.13.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥C －ABD 的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为 .14.已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．15.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 16.已知直平行六面体1111D C B A ABCD -的各条棱 长均为3，︒=∠60BAD ，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为__ __． 17.圆C 的方程为22(2)4x y -+=，圆M 的方程为22(25cos )(5sin )1x y θθ--+-=()R θ∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PF PE •的最小值为______．三、解答题:(本大题共5题,满分42分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(本题7分)如图，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA ∥平面BDE ；（2）平面PAC ⊥平面BDE ．19.（本题8分）已知直线l 经过点P （3，2），且与x 轴y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，求l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线的方程．20.（本题8分）已知：以点C (t , 2t)(t ∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x 轴交于点O , A ，与y 轴交于点O , B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y = –2x +4与圆C 交于点M , N ，若|OM|=|ON|，求圆C 的方程．21.（本题9分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45．(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)求二面角C BD A --的平面角的正切值； (3)求直线BC 与平面ABD 的所成角的正弦值．22.（本题10分）已知)1,0(A 、(0,2)B 、2(4,21)()C t t t R -∈，⊙M 是以AC 为直径的圆，再以M 为圆心、BM 为半径作圆交x 轴交于D 、E 两点． (1)若CDE ∆的面积为14，求此时⊙M 的方程；(2)试问：是否存在一条平行于x 轴的定直线与⊙M 相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由； (3)求||||||||+BD BE BE BD 的最大值，并求此时DBE ∠的大小．嘉兴市第一中学2012学年第一学期期中考试高二数学（理科） 参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共30分） CDBDD CCCBB二、填空题（每小题4分，共28分） 11、36π 12、[)22,2 13、1414、()18122=++y x15、o9016、29π17、6三、解答题:(本大题共5题,满分72分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤). 18．略19. 设直线方程为1(0,0)x ya b a b+=>> ∵321a b+=，∴a＋b=(32a b +)(a ＋b)=325b a a b ++≥5+2 6 ．∴当32b a a b =，即a=3＋ 6 ， b=2＋ 6 时，l 在两坐标轴上截距之和取最小值5+2 6 1+=．20. 解 （1）O C 过原点圆 ，2224t t OC +=∴． 设圆C 的方程是 22224)2()(t t t y t x +=-+-令0=x ，得ty y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021==4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即：OAB ∆的面积为定值．（2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=． t t 212=∴，解得：22-==t t 或 当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，21. 解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆ 是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ． AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=．在AED Rt ∆中，23tan 4514AEEDx ==+，解得22x =． ∴此正三棱柱的侧棱长为22． （Ⅱ）解：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ， ⊥AE 侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥． AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角．在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又22231,sin 32(2)CD BE EBF BD =∠===+， ∴33EF =．又3,AE = ∴在AEF Rt ∆中，tan 3AEAFE EF∠==．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ．在AEF Rt ∆中，2233303103(3)()3AE EF EG AF ⨯⨯===+． E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD 的距离为=CI 230210EG =． ∴ 答案：1030 22.(1)2(2,)M t t ，以M 为圆心、BM 为半径的圆方程为224(2)()4x t y t t -+-=+，其交x 轴的弦44244DE t t =+-=，21(21)142CDE S DE t ∆=⋅-=，2t ∴=±， ABCD1A 1B 1C EF G H I圆M 的方程为22(4)(4)25x y ±+-=；…………（5分） （2）∵2222(2)(1)1MA t t t =+-=+，2M y t =，∴存在一条平行于x 轴的定直线1-=y 与圆M 相切；…………（10分） （3）在BDE ∆中，设DEB θ∠=，11sin 42422BDE S BD BE θ∆=⋅⋅=⨯⨯=，∴。

浙江省嘉兴市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二下·临海月考) 如图，直线是曲线在处的切线，则 = （）A .B . 3C . 4D . 52. （2分） (2018高二上·西宁月考) 下列说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣，）B . （﹣， 0）∪（0，）C . [﹣，]D . （﹣∞，﹣）∪（，+∞）4. （2分） (2017高一下·邢台期末) 若直线l与直线3x+y+8=0垂直，则直线l的斜率为（）A . ﹣3B . ﹣C . 3D .5. （2分） (2018高二上·太原期中) 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A .B .C .D .6. （2分）若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为（）A . －1B . 1C . 3D . －37. （2分）已知直线a，b和平面M，N，且a⊥M，则下列说法正确的是（）A . b∥M⇒b⊥aB . b⊥a⇒b∥MC . N⊥M⇒a∥ND . a⊄N⇒M∩N≠∅8. （2分）已知点P（x0 ， y0）在圆上，则x0、y0的取值范围是（）A . ﹣3≤x0≤3，﹣2≤y0≤2B . 3≤x0≤8，﹣2≤y0≤8C . ﹣5≤x0≤11，﹣10≤y0≤6D . 以上都不对9. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B . 2C . 4D . 610. （2分）以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆（x﹣1）2+（y+3）2=1的圆心的抛物线的方程是（）A . 或B .C . 或D . 或二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2018高二上·苏州月考) 过点，且与直线垂直的直线方程为________．12. （1分） (2018高三上·江苏期中) 如图,三棱锥中,是中点,在上,且,若三棱锥的体积是2,则四棱锥的体积为________．13. （1分） (2018高一上·阜城月考) 直线经过原点和，则它的倾斜角是________．14. （1分） (2018高一上·兰州期末) 如图，在长方体中， 3 cm， 2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为________cm3 ．15. （1分） (2019高一下·朝阳期末) 已知直线与圆交于两点，若，则 ________.三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分） (2018高二下·西安期末) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为（为参数）．（1）设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；（2）判断直线与圆的位置关系．17. （10分） (2018高二上·北京月考) 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面（2）直线平面．18. （10分） (2016高二上·怀仁期中) 已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆过原点O．（1）设直线3x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（2）在（1）的条件下，设B（0，2），且P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PQ|﹣|PB|的最大值及此时点P的坐标．19. （10分）已知圆A：x2+（y+1）2=1，圆B：（x﹣4）2+（y﹣3）2=1．（1）过A的直线L截圆B所得的弦长为，求该直线L的斜率；（2）动圆P同时平分圆A与圆B的周长；①求动圆圆心P的轨迹方程；②问动圆P是否过定点，若经过，则求定点坐标；若不经过，则说明理由．20. （5分） (2016高二上·佛山期中) 已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、第11 页共11 页。

2023学年第一学期嘉兴八校期中联考高二年级数学试题（2023年11月）（答案在最后）考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题I ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10y -+=的倾斜角是（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B 【解析】【分析】写出直线斜截式，根据倾斜角与斜率的关系确定倾斜角大小.【详解】由题设1y =+，设倾斜角为θ且0180θ︒≤<︒，则tan θ=，所以60θ=︒.故选：B2.两条平行直线1l ：3450x y +-=与2l ：6850x y +-=之间的距离是（）A.0 B.12C.1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可.【详解】345068100x y x y +-=⇒+-=，12=，故选：B3.已知平面内两定点A B ，及动点P ，设命题甲是：“PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A B ，为焦点的椭圆”，那么甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】解决这道题目首先要了解充分，必要条件的概念，小范围是大范围是充分条件，大范围是小范围的必要条件，若二者范围相同，则为充要条件，若不是包含关系，则既不充分也不必要。

由题目可知，命题甲得出PA PB AB +≥，而命题乙椭圆的定义得出PA PB AB +>，从而可得到甲是乙的必要不充分条件【详解】PA PB +是定值有两种情况，PA PB AB +=，则动点P 的轨迹为线段AB ，或PA PB AB +>，则动点P 的轨迹为以A B ，为焦点的椭圆，所以命题甲不一定能够推出命题乙，反之，如果点P 的轨迹是以A B ，为焦点的椭圆，则根据椭圆定义可得出PA PB +为定值，综上可得，命题甲是命题乙的必要不充分条件故选：B4.在空间直角坐标系O xyz -中，()1,0,0A -，()1,2,2B -，()2,3,2C -，则平面ABC 的一个法向量为（）A.()1,1,0-B.()1,1,1- C.()1,0,1- D.()0,1,1【答案】A 【解析】【分析】设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z = ，利用0,0n AB n AC ⋅=⋅=列方程求解即可.【详解】由已知()()2,2,2,3,3,2AB AC =-=-，设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，22203320n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=+-=⎪∴⎨⋅=+-=⎪⎩ 取1x =，解得()1,1,0n =-，选项A 符合，另外选项BCD 中的向量与选项A 中的向量不共线.故选：A.5.已知圆1C ：()()()222120x y r r -++=>与圆2C ：()()224216x y -+-=外切，则r 的值为（）A.1B.5C.9D.21【答案】A 【解析】【分析】根据圆心距等于半径和求解即可.【详解】因为圆1C ：()()()222120x y r r -++=>与圆2C ：()()224216x y -+-=外切，4=+r ，解得1r =.故选：A .6.如图，在三棱锥O ­ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且PD2DQ = ，若记OA a = ，OB b = ，OC c =，则OD 等于（）A.111633a b c++ B.111333a b c++C.111363a b c ++ D.111336a b c ++ 【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果.【详解】因为()12121222323233OD OP PD OA PQ OA OQ OP OA OQ OP=+=+=+-=+-()1212111111123232633633OA OB OC OA OA OB OC a b c =+⨯+-=++=++.故选：A7.圆221:(1)(1)28O x y -+-=与222:(4)18O x y +-=的公共弦长为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.【详解】已知圆221:(1)(1)28O x y -+-=，圆222:(4)18O x y +-=，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：AB ：3120x y -+=，而圆心1O 到直线AB的距离为d =圆1O的半径为，所以12AB ==，所以AB =.故选：D.8.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为(),0F c ，点P ，Q 在直线2ax c=上，FP FQ ⊥，O 为坐标原点，若23OP OQ OF ⋅= ，则该椭圆的离心率为（）A.23B.3C.22D.32【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算公式和离心率公式计算求解.【详解】由已知设22,,,a a P m Q n c c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22,,,a a FP c m FQ c n c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则220a FP FQ c mn c ⎛⎫⋅=-+= ⎪⎝⎭，又2223a OP OQ mn c c ⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，两式做差可得222223a a c c c c ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2224a c =，则2c a =.二、选择题II ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知椭圆C ：221164x y +=，在下列结论中正确的是（）A.长轴长为8B.焦距为C.焦点坐标为(0,±D.离心率为2【答案】ABD 【解析】【分析】先确定,,a b c 的值，然后根据椭圆性质逐一判断选项即可.【详解】由已知得2216,4a b ==，则4,2,a b c ===，故椭圆长轴长为28a =，焦距为2c =焦点坐标为()±，离心率2c a =，故ABD 正确，故选：ABD.10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()4,6,2a = ，()2,3,1b =，则12l l ∥B.两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则αβ⊥C.直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，平面α的法向量为()6,4,1u =-，则l α⊥D.直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则l α∥【答案】AB 【解析】【分析】利用空间位置关系的向量证明来逐一判断即可.【详解】对于A ：2a b =，故a b ∥，即12l l ∥，A 正确；对于B ：()()3,4,268202,2,1v u =-=-+-=⋅-⋅ ，故u v ⊥，即αβ⊥，B 正确；对于C ：明显不存在实数λ，使a u λ= ，即,a u 不共线，则l α⊥不成立，C 错误；对于D ：()()0,3,00,5,0150a u ⋅=⋅-=-≠ ，即,a u不垂直，则l α∥不成立，D 错误.故选：AB.11.已知圆22(1)(2)4x y -+-=与直线20x my m +--=，下列选项正确的是（）A.圆的圆心坐标为()1,2 B.直线过定点()2,1C.直线与圆相交且所截最短弦长为 D.直线与圆可以相切【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A ，直线恒过定点判断B ，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C ，利用直线恒过圆内定点判断D.【详解】对于A ，圆22(1)(2)4x y -+-=的圆心坐标为()1,2，正确；对于B ，直线方程20x my m +--=即()210x m y -+-=，由2010x y -=⎧⎨-=⎩可得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线20x my m +--=过定点()2,1，正确；对于C ，记圆心()1,2C ，直线过定点()2,1A ，则AC ==当直线AC 与直线20x my m +--=垂直时，圆心C 到直线20x my m +--=的距离最大，此时直线20x my m +--=截圆22(1)(2)4x y -+-=所得的弦长最小，此时弦长为=，正确；对于D ，因为22(21)(12)24-+-=<，所以点()2,1在圆内，直线与圆必相交，错误.故选：ABC12.已知椭圆Q ：22194x y+=，O 是坐标原点，P 是椭圆Q 上的动点，1F ，2F 是Q 的两个焦点（）A.若12PF F △的面积为S ，则S 的最大值为9B.若P 的坐标为421,3⎛ ⎝⎭，则过P 的椭圆Q 的切线方程为90x +-=C.若过O 的直线l 交Q 于不同两点A ，B ，设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1249k k =D.若A ，B 是椭圆Q 的长轴上的两端点，P 不与A ，B 重合，且0AR AP ⋅= ，0BR BP ⋅=，则R 点的轨迹方程为229481x y +=【答案】BD 【解析】【分析】A ：根据题意结合椭圆纵坐标的取值范围分析运算；B ：设切线方程，与椭圆方程联立，结合Δ0=运算求解；C ：利用点差法分析运算；D ：利用点差法的结论分析得94AR BR k k =-，运算求解.【详解】由椭圆方程知：3,2,a b c ===，设点00(,)P x y ，A：12001||||||2S F F y y =⋅=≤，当且仅当点P 为短轴上的顶点时等号成立，错；B ：显然过P处切线的斜率存在，设切线方程为(1)3y k x =-+，联立22(1)3194y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y得222(94)18()9()36033k x k k x k ++-+--=，则2224242[18()]4(94)[9()36]033k k k k ∆=--+--=，整理得()210+=，解得26k =-，故过P 处切线方程为()242163y x =--+，即90x +-=，对；C ：设11(,)A x y ，则11(,)B x y --，010*******,y y y y k k x x x x -+==-+，则22002211194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22220101094x x y y --+=，则010*******01100149y y y y x x x x y y x x ---+=⋅=--+，即1249k k =-，错；D ：当R 不与,A B 重合时，由C 知：49AP BP k k =-，由1AR AP k k =-，1BR BP k k =-，则1AR AP BR BP k k k k =，所以94AR BR k k =-，设(,)R x y ，则(3,0),(3,0)A B -，,33AR BRy k k yx x +=-=，可得9343y x y x -⋅=-+，整理得229481(3)x y x +=≠±；当R 与,A B 重合时，满足题意，符合上式；综上：R 的方程为229481x y +=，对.故选：BD.【点睛】方法点睛：求点的轨迹常用方法，1.直接法：设动点坐标，代入其满足的等式化简整理；2.定义法：根据题意分析动点满足的几何条件，结合已知曲线的定义，进而求轨迹方程；3.相关点法：设动点坐标，用动点坐标表示相关点的坐标，代入相关点满足的等式化简整理；4.参数法：选取适当的参数，用参数表示动点坐标，再消去参数，从而得到轨迹方程.非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.圆的方程为222640x y x y +-++=，则该圆的半径为______．【答案】【解析】【分析】将圆的方程化为标准式即可得答案.【详解】圆的方程为222640x y x y +-++=，即()()22613y x ++-=，故则该圆的半径为..14.已知椭圆2214x y m+=的左、右焦点分别为点1F 、2F ，若椭圆上顶点为点B ，且12F BF 为等边三角形，则m 是______．【答案】3【解析】【分析】先确定222,,a b c ，然后根据12F BF 为等边三角形得到2a c =，带入已知计算即可.【详解】由已知得224,a b m ==，则24c m =-，又12F BF 为等边三角形，则2a c =，即224a c =所以()444m =-，解得3m =.故答案为：3.15.已知空间向量()2,3,2a = ，()1,1,2= b ，则向量a 在向量b上投影向量的坐标是______．【答案】33,,322⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合已知求向量a在向量b上投影向量的坐标.【详解】由投影向量定义知：向量a 在向量b 上投影向量233|,,3223|||a b b b b b b ⎛⎫⎪⋅⋅==⎝⎭=.故答案为：33,,322⎛⎫⎪⎝⎭16.在正方体1111ABCD A B C D -中，动点M 在线段1AC 上，E ，F 分别为1D D ，AD 的中点．若异面直线EF 与BM 所成角为θ，则θ的取值范围为______．【答案】ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求异面直线的夹角范围即可.【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设2DA =，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()1,0,0F ，()12,0,2A ，设()()12,2,201CM tCA t t t t ==-≤≤ ，则()22,2,2BM BC CM t t t =+=--，则)cos cos ,01BM EF t θ==≤≤．当13t =时，cos θ取到最大值2，此时π6θ=；当1t =时，cos θ取到最小值12，此时π3θ=．所以θ的取值范围为ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线1l ：230ax y ++=，直线2l ：210x by +-=．其中a ，b 均不为0．（1）若12l l ⊥，求ab的值；（2）若12l l //，求⋅a b 的值．【答案】（1）1ab=-；（2）4a b ⋅=.【解析】【分析】（1）由两线垂直的判定列方程，即可求值；（2）由两线平行的判定列方程，即可求值，注意23b ≠-或6a ≠-；【小问1详解】由12l l ⊥，则212a b ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，得1ab=-.【小问2详解】由12l l //，则2321a b =≠-，故4a b ⋅=，其中23b ≠-（或6a ≠-）．18.已知()3,2,1a =- ，()2,1,2b =r．（1）求a 与b夹角的余弦值；（2）当()()ka b a kb +⊥-时，求实数k 的值．【答案】（1）147（2）32k =或23k =-【解析】【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.（2）根据()()ka b a kb +⊥-列方程，从而求得k 的值.【小问1详解】14cos ,7a b a b a b⋅==⋅.【小问2详解】由于()()ka b a kb +⊥-，所以()()0ka b a kb +⋅-=，所以()22210ka k a b kb +-⋅-= ，()22146190,6560k k k k k +--=--=，解得32k =或23k =-.19.如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．（1）证明：//EF 平面SAD ；（2）若8SD =，求平面DEF 与平面EFS 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用中位线可得平行四边形，根据线面平行的判定定理求解；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面所成的角.【小问1详解】取SD 中点M ，连接,AM MF ，如图，∵M ，F 分别为SD ，SC 的中点，∴//MF CD ，且12MF CD =，又底面ABCD 为正方形，且E 为AB 中点，∴MF AE //，且MF AE =，∴四边形AEMF 为平行四边形，∴//EF AM ，∵EF ⊄平面SAD ，AM ⊂平面SAD ，∴//EF 平面SAD .【小问2详解】由SD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ，可得,SD AD SD DC ⊥⊥，又正方形中AD DC ⊥，故,,SD DA DC 两两垂直，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()4,2,0E ，()0,2,4F ，()0,0,8S ，故()4,0,4EF =- ，()4,2,0DE = ，()0,2,4FS =-设平面DEF 的一个法向量为(),,m x y z =，则440420m EF x z m DE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，可取()1,2,1m =- ，设平面EFS 的一个法向量为(),,n a b c =，则440240n EF a c n FS b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1c =，可取()1,2,1n = ，设平面DEF 与平面EFS 所成角为θ，则1cos cos ,3m n θ==，∴平面DEF 与平面EFS 所成角的余弦值为13．20.给定椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，C 的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为)F，其短轴的一个端点到点F的距离为（1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A ，B 是椭圆C 的“准圆”与x 轴的两交点，P 是椭圆C 上的一个动点，求AP BP ⋅的取值范围．【答案】（1）椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=；（2）[]3,1--.【解析】【分析】（1）根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程；（2）设()(,P m n m ≤≤，写出A ，B 坐标，应用向量数量积的坐标表示得224AP BP m n ⋅=-+，结合P 是椭圆C 上及其有界性，即可求范围.【小问1详解】由题意知c =a ==1b ==，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=．【小问2详解】由题意，设()(,P m n m ≤≤，则有2213m n +=，不妨设A ()2,0，()2,0B -，所以()2,AP m n =- ，()2,BP m n =+，所以222222441333m m AP BP m n m ⋅=-+=-+-=- ，又m ≤≤，则[]2233,13m -∈--，所以AP BP ⋅的取值范围是[]3,1--．21.已知圆C 的圆心在直线l ：y x =上，并且经过点()2,1A 和点()3,2B ．（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线m ：0x y t ++=上存在点P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，且90MPN ∠=︒，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()()22221x y -+-=；（2）[]6,2--.【解析】【分析】（1）由题设写出AB 的垂直平分线的方程，结合已知圆心在直线l :y x =上，联立求圆心，并确定半径，即得方程；（2）根据已知得||CP =，再由圆心()2,2C 到直线m 的距离d ≤求参数范围.【小问1详解】因为AB 的中点为53,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，且1AB k =，所以AB 的垂直平分线为3522y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即40x y +-=，由40y x x y =⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，所以圆心()2,2C ，则半径1r AC ==，所以圆C ：()()22221x y -+-=．【小问2详解】如图，由90MPN ∠=︒得45CPM ∠=︒，所以||CP =，所以圆心()2,2C 到直线m的距离d =≤42t +≤，解得62t -≤≤-所以t 的取值范围为[]6,2--．22.已知点M 到直线l ：2x =的距离和它到定点()1,0F．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）若点P 是直线l 上一点，过P 作曲线E 的两条切线分别切于点A 与点B ，试求三角形PAB 面积的最小值．（二次曲线220Ax By C ++=在其上一点()00,Q x y 处的切线为000Ax x By y C ++=）【答案】（1）2212x y +=；（2）22.【解析】【分析】（1）设(),M x y=（2）设()2,P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，写出切线AP 、BP 并将点代入得直线AB 为1x ty +=，由点线距离公式确定距离最小值，联立直线与2212x y +=，应用韦达定理、弦长公式求AB 的最小值，注意最小值取值条件一致，最后求三角形PAB 面积的最小值.【小问1详解】设(),M x y=E ：2212x y +=，所以点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=.【小问2详解】设()2,P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，则切线AP 为1112x x y y +=，切线BP 为2212x xy y +=，将点P 分别代入得112211x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，所以直线AB 为:1m x ty +=，点P 到m的距离2d ==，当0=t 时，min 1d =．另一方面，联立直线AB 与22112x ty E x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty +--=，所以1221222212t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则)21222112122t AB y y t t +⎫=-==-⎪++⎭，当0=t 时，min AB =122ABP S AB d =⋅≥△．故0=t时，ABP S 最小值为2.。

考生须知：全卷分试卷和答卷两部分。

试卷共4页，有三大题，24小题，满分100分，考试时间120分钟。

参考公式：侧面积：S 体积：V圆柱：2S rl π= 柱体：V sh =圆锥： S rl π= 锥体：13V sh =圆台： )S r R l π=+（ 圆台：1()3V S S h =++上下 球： 24S R π= 球：343V R π= 一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

（1）若直线的倾斜角为︒120，则直线的斜率为（ ▲ ）A. 3-B. 3C. 33-D. 33 （2）若a ,b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 和α的位置关系是（ ▲ ）A ．平行B ．相交C ．b 在α内D ．平行、相交或b 在α内（3）下列命题正确的是（ ▲ ）Ａ．经过三点确定一个平面 Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面Ｃ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 Ｄ．四边形确定一个平面（4）点P 在直线x +y –4=0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值是( ▲ )A ．2 B. 22 C. 6 D.10（5）若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ▲ ） A. 1 B. 2C.13 D. 23（6）设l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m //（7）两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ▲ ）A ．4BCD （8）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为（ ▲ ）A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直（9）半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ▲ ）A. 3B. 393RC. 3D. 38R （10）直线xsinα+ycosα+1=0与直线xcosα－ysinα+2=0的位置关系是（ ▲ ） A 平行 B 相交但不垂直 C 相交垂直 D 视α的取值而定（11）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ,AD ,1AA 所在直线成的角都相等，这样的直线l 可以作（ ▲ ）A.1条B.2条C.3条D.4条（12）将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ACD 与平面ABC 成60°的二面角，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：① AC BD ⊥； ② ∆② ③ 三棱锥D ABC -其中正确命题的序号是（ ▲ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

嘉兴2023学年第一学期期中考试高二年级试题数学（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第一册.一、单选题：每小题只有一项符合题目要求，共8小题，每小题5分，共40分.1.经过点()2,3P -，倾斜角为45的直线方程为()A.10x y ++=B.10x y +-= C.50x y -+= D.50x y --=【答案】D 【解析】【分析】先求出直线的斜率，再由点斜式求得直线的方程．【详解】倾斜角为45 的直线的斜率k tan451== ，再根据直线经过点()P 2,3-，由点斜式求得直线的方程为y 3x 2+=-，即x y 50--=，故选D．【点睛】本题考查了由点斜式的方法求直线的方程，属于基础题．2.圆221:(1)1C x y -+=与圆222:(4)(4)17C x y -+-=的位置关系为（）A.内切 B.相切 C.相交D.外离【答案】C 【解析】【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，通过比较可得结论．【详解】解：圆()221:11C x y -+=的圆心为1(1,0)C ，半径11r =，圆()()222:4417C x y -+-=的圆心为2(4,4)C ，半径2r =所以211212151r r C C r r -=<==<+=+，所以两圆相交，故选：C3.若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m =（）A.B.32C.83D.23【答案】B 【解析】【分析】先根据椭圆的标准方程求得a ，b ，c ，再结合椭圆的离心率公式列出关于m 的方程，解之即得答案．【详解】解：由题意知，222,a b m ==，且222a b c =+，所以12ca c e a =====，化简后得：32m =.故选：B ．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，以及根据椭圆的标准方程和离心率求得a ，b ，c ，化简计算，属于基础题．4.已知圆2216x y +=与x 轴的交点恰为双曲线22219x ya -=（0a >）的左、右顶点，则双曲线的离心率为A.B.32C.54D.263【答案】C 【解析】【详解】由已知可得圆2216x y +=与x轴的交点为()()4,0,4,0-，由题意可知4a =，又5c ==，故双曲线的离心率为54c e a ==，故选C.5.双曲线2212523x y -=的两个焦点为1F ，2F ，双曲线上一点P 到1F 的距离为8，则点P 到2F 的距离为（）A.2或12B.2或18C.18D.2【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的定义求2PF .【详解】解：由双曲线定义可知：28210PF a -==解得218PF =或2-（舍）∴点P 到2F 的距离为18，故选：C.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PQ l ⊥于点(2,Q -，则PF =（）A.5B.4C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据点Q 坐标可知抛物线的准线方程以及点P y ，进一步可得抛物线方程，然后求得P x ，最后可得结果.【详解】由点(2,Q -，知准线l 的方程为2x =-，焦点()2,0F ，于是有抛物线的方程为28y x =，因为PQ l ⊥，所以P y =代入抛物线方程解得3P x =，从而5PF =，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的简单应用，考查抛物线的定义以及对题意的理解，属基础题.7.已知椭圆2222:1x y C a b+=，过右焦点F 的直线AB 与椭圆交于,A B 两点，若3AF FB =，且直线AB的斜率3k =，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.3C.12D.2【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合共线向量的坐标表示公式、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】由题意可知220a b >>，设该椭圆右焦点坐标为(),0F c ，因为直线AB的斜率3k=，所以设直线AB的方程为()3y x c x c=-⇒=+，与椭圆方程联立，得()222222422130x yb a y cy ba bx c⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，()()22422430c b b a∆=++>设()()1122,,,A x yB x y，则有2412122222,33c by y y yb a b a-+=-=++，因为3AF FB=，所以()()1122123,3,3AF FB c x y x c y y y=⇒--=-⇒=-，所以有2422222222,333c by yb a b a--=--=++，消去2y，得()22222222222241293933333c c b a c a c a a c eb a=⇒=+⇒=-+⇒=⇒=+，故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是利用3AF FB=，得到123y y=-，进而利用一元二次方程根与系数关系进行求解.8.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y xa b-=(00)a b>>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）A.221124y x-= B.223144y x-=C.22144x y-= D.221164y x-=【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到22222b c a c a b =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.【详解】设双曲线的一个焦点为()0,c ，一条渐近线方程为a y x b=，则焦点到渐近线的距离2d b ===，所以2222224234b a c a b c a b=⎧⎧⎪=⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，即双曲线方程为：223144y x -=.故选：B二、多选题：每小题有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分，共4小题，每小题5分，共20分.9.（多选）若两平行线分别经过点(5,0),(0,12)A B ，则它们之间的距离d 可能等于（）A.0B.5C.12D.13【答案】BCD 【解析】【分析】由题可知当两平行线与A ，B 两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d 最大，求出(5,0),(0,12)A B 两点间的距离，可得答案【详解】易知当两平行线与A ，B 两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d 最大，即max ||13d AB ==，所以013d < ，故距离d 可能等于5，12，13．故选：BCD【点睛】此题考查两点间的距离公式的应用，属于基础题10.已双曲线C ：()2202x y λλ-=<，则（）A.双曲线C 的实轴长为定值B.双曲线C 的焦点在y 轴上C.双曲线C 的离心率为定值D.双曲线C 的渐近线方程为2y x =±【答案】BCD 【解析】【分析】由双曲线的方程整理标准方程可得a ，b 的值，进而可得c 的值，再判断出各选项的真假．【详解】由曲线22:(0)2x C y λλ-=<，整理可得221(0)2y x λλλ-=<--，所以曲线表示焦点在y 轴上的双曲线，且2(0)a λλ=->，不是定值，所以A 不正确，B 正确；离心率2c e a ===为定值，所以C 正确；渐近线的方程为222x y =，即22y x =±，所以D 正确．故选：BCD ．11.已知直线():10R l x my m -+=∈，圆()22:()(21)1R C x k y k k -+--=∈，则下列选项中正确的是（）A.圆心C 的轨迹方程为21y x =-B.12k =-时，直线l C.若直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则12m =D.1m =时，若直线l 与圆相切，则k =【答案】BC 【解析】【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断A ，再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断B ，求出圆心到直线的距离，当距离为定值时，弦长也为定值，即可判断C ，求出圆心到直线的距离，即可判断D ；【详解】解：圆()22:()(21)1R C x k y k k -+--=∈的圆心坐标为(),21C k k +，所以圆心C 的轨迹方程为21y x =+，故A 错误；直线():10R l x my m -+=∈，令100x y +=⎧⎨-=⎩，解得1x y =-⎧⎨=⎩，即直线l 恒过点()1,0M -，当12k =-时圆221:()12C x y ++=，圆心为1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1r =，又11122MC ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭，所以直线l被圆截得的弦长的最小值为=B 正确；对于C ：若直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离d ==所以120m -=，解得12m =，故C 正确；对于D ：当1m =时直线:10l x y -+=，圆心到直线的距离d=，若直线与圆相切，则k =D 错误；故选：BC12.已知椭圆22:1164x y E +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆E 上异于A ，B 的一个动点.下列结论中，正确的有（）A.椭圆E 的长轴长为8B.满足12F PF △的面积为4的点P 恰有4个C.12PF PF 的的最大值为16D.直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值14【答案】ABC 【解析】【分析】由椭圆方程可得a 的值，即可判断A ；根据三角形面积公式求得P y ，||P x ，根据椭圆对称性可判断B ；利用椭圆定义结合基本不等式可判断C ；根据直线斜率的计算结合椭圆方程可判断D.【详解】由椭圆22:1164x y E +=可得4,2a b ==,则c ==，∴椭圆E 的长轴长为28a =，故A 正确；设P 的纵坐标为P y ，则12121||||42F PF P S F Fy =⋅= ，故123|4,||223P P y y ⨯=∴=<,则46||3P x =，即点P为(),(),(),(,)33333333----即根据椭圆的对称性可得满足12F PF △的面积为4的点P 恰有4个，故B 正确；∵1228PF PF a +==，∴21212||||||||()162PF PF PF PF +≤=，当且仅当124PF PF ==时取等号，故C 正确；设()00,44,04,0(),,(),()P x y x A B ≠±-，则222200001,4(1)16416x y x y +=∴=-，则0000,44PA PB y y k k x x ==+-，故22022004(1)11616164PA PB x y k x x k -⋅===---，D 错误，故选：ABC三、填空题：本题共4小题，共20分.13.双曲线2214x y -=的渐近线方程是______________；离心率是________.【答案】①.12y x =±②.2【解析】【分析】由双曲线的标准方程求出a 、b ，即可求出渐近线方程和离心率.【详解】因为双曲线的标准方程为2214x y -=，所以224,1a b ==，所以2,1a b ==，所以渐近线方程为12y x =±；离心率2c e a a ===.故答案为：12y x =±.14.直线(21)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过的定点坐标是______.【答案】(2,3)【解析】【分析】直线方程可化为(21)(311)0m x y x y ---+-=，从而可得210,3110,x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解方程组即可.【详解】直线方程可化为(21)(311)0m x y x y ---+-=因为对任意m R ∈，方程恒成立，所以2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得2,3,x y =⎧⎨=⎩故直线恒过定点(2,3)故答案为：(2,3)15.抛物线22y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是_____．【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离【详解】∵F 是抛物线y 2=2x 的焦点F （12，0），准线方程x =12-，设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），∴|AF |+|BF |=x 1+12+x 2+12=5，解得x 1+x 2=4，∴线段AB 的中点横坐标为：2．故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.故答案为：216.设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，则12PF PF ⋅ 的最小值为___________．【答案】2-【解析】【分析】利用向量数量积的坐标表示，椭圆的性质及二次函数的性质即得.【详解】设(,)P x y ，由题可知12(F F ，则22221,144x x y y +==-，∴2212(,),)3x y x y x y PF PF ⋅=-⋅-=-+222331244x x x =-+-=-，又[]2,2x ∈-，所以当0x =时，12PF PF ⋅有最小值，最小值为2-.故答案为：2-.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线123:23100,:3420,:3240.l x y l x y l x y -+=+-=-+=（1）求直线1l 与2l 的交点，并求它到直线3l 的距离；（2）求经过1l 与2l 的交点，且与3l 垂直的直线l 的方程；（3）求经过1l 与2l 的交点，且与3l 平行的直线m 的方程.【答案】17.交点(2,2)-，距离1318.2320x y +-=19.32100x y -+=【解析】【分析】（1）根据两直线的交点坐标的求解方法和点到直线的距离公式求解；（2）根据两直线垂直的斜率关系和点斜式进行求解；（3）根据两直线平行的斜率关系和点斜式进行求解.【小问1详解】由231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得交点为(2,2)-，所以点到直线3:3240l x y -+=的距离为d ==64413；【小问2详解】因为3l l ⊥，直线3:3240l x y -+=的斜率为32，所以直线l 的斜率为23-，根据点斜式得22(2)3y x -=-+，即2320x y +-=；【小问3详解】因为3//l l ，所以直线l 的斜率为32，根据点斜式得32(2)2y x -=+，即32100x y -+=；18.已知圆22:4640C x y x y +--+=，过点()4,2P 的直线l 与C 交于点M ，N ，且4MN =.（1）求圆的圆心坐标和半径：（2）求l 的方程；（3）设O 为坐标原点，求OM ON ⋅ 的值.【答案】（1）圆心()2,3C ，半径3r =（2）260x y --=（3）16【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可得解；（2）分直线得斜率是否存在讨论，结合圆的弦长公式即可得解；（3）设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程，利用韦达定理求出1212,x x x x +，再根据数量积得坐标公式即可得解.【小问1详解】将圆22:4640C x y x y +--+=化为标准方程：()()22239x y -+-=，则圆心()2,3C ，半径3r =；【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，在圆22:4640C x y x y +--+=中，令4x =，得2640y y -+=，解得3y =±，此时MN =，与题意矛盾，所以直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=，因为4MN =，所以圆心()2,3C 到直线l的距离d ==，=，解得2k =，所以直线l 的方程为260x y --=，综上所述，直线l 的方程为260x y --=；【小问3详解】设()()1122,,,M x y N x y ，联立222604640x y x y x y --=⎧⎨+--+=⎩，消y 得2540760x x -+=，则1212768,5x x x x +==，故()()()1212121242626412365y y x x x x x x =--=-++=，所以12127641655x x OM y y ON ⋅=+=+= .19.已知双曲线过点(4)P -，它的渐近线方程为43y x =±.（1）求双曲线的标准方程；（2）设1F 和2F 是这双曲线的左、右焦点，点P 在这双曲线上，且1232PF PF ⋅=，求12F PF ∠的大小.【答案】（1）221916x y -=（2）2π【解析】【分析】（1）根据题意，由双曲线的渐近线方程可设双曲线的方程为22916x y λ-=，0λ≠；又因为双曲线过点(4)P -，将P 的坐标代入可得1λ=；将1λ=代入可得答案；（2）设11||PF d =，22||PF d =，根据题意有1232d d ⋅=，又由双曲线的几何性质知12||26d d a -==，结合平方差公式可得2212d d +的值，又12||210F F c ==，结合勾股定理可得答案．【小问1详解】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为43y x =±，可设双曲线的方程为22916x y λ-=，0λ≠；双曲线过点(4)P -，将P 的坐标代入可得1816916λ-=，解得1λ=，则所求的双曲线方程为221916x y -=；【小问2详解】解：设11||PF d =，22||PF d =，则1232d d ⋅=，又由双曲线的几何性质知12||26d d a -==，221212236d d d d ∴+-=即有221212362100d d d d +=+=，又12||210F F c ==，22222121212||100||||F F d d PF PF ∴==+=+所以12PF F △是直角三角形，则1290F PF ∠=︒．20.已知动点P 到直线302x +=的距离与它到点1(,0)2M 的距离之差为1（1）求点P 的轨迹方程，并写出焦点坐标和准线方程；（2）若曲线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在曲线C 上，且AK =，求AFK △的面积；（3）若过点(2,0)P 的直线交曲线于,A B 两点，求证：以AB 为直径的圆过原点.【答案】（1）22y x =，焦点坐标1(,0)2，准线方程12x =-.（2）12.（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线定义解题即可；（2）由（1）得出K ，F 点坐标，再由两点间距离公式和AK =，求出点A 纵坐标，结合三角形面积公式即可求解；（3）设过点(2,0)P 直线方程为2x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程求出所以12y y +和12y y ，根据弦长公式求出圆的半径，再根据原点到圆心的距离等于半径，即可证明.【小问1详解】设(),P x y ，点P 到直线32x =-的距离与它到点1(,0)2M 的距离之差为1，所以点P 到直线12x =-的距离与它到点1(,0)2M 的距离相等，由抛物线定义可得点P 的轨迹方程为22y x =，其中焦点坐标为1(,0)2，准线方程为12x =-.【小问2详解】由（1）可得1,02K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为点A 在曲线C 上，所以设200,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为AK ==，化简可得01y =±，又1KF =，所以01122AFK S KF y == .【小问3详解】设过点(2,0)P 直线方程为2x my =+，联立222x my y x=+⎧⎨=⎩，化简得2240y my --=，()()222444160m m ∆=--⨯-=+>,设()()1122,,,A x y B x y ，所以122y y m +=，124y y =-，所以212122224x x my my m +=+++=+所以以AB 为直径的圆圆心为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()22,m m +，半径为12R AB ====坐标原点到圆心()22,m m +R ==，所以以AB 为直径的圆过原点.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2(1,0)F ，椭圆C 上一点P 到其两个焦点12,F F 的距离之和为4.（1）求椭圆C 的离心率e 的值.（2）若直线AB 经过点()1,1Q ，且与椭圆相交于,A B 两点，已知点Q 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程.（3）已知平面内有点(M -，求过这个点且和椭圆相切的直线方程.【答案】（1）12e =（2）3470x y +-=（3）2x =-和y =【解析】【分析】（1）根据题意求出,a c ，再根据椭圆的离心率公式即可得解；（2）先求出椭圆的方程，再利用点差法求解即可；（3）分直线斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为()2y k x -=+，联立方程，根据Δ0=即可得解.【小问1详解】由题意可得椭圆得焦半径1c =，24a =，故2a =，所以椭圆C 的离心率12e =；【小问2详解】由（1）得2223b a c =-=，所以椭圆C 得方程为22143x y +=，设()()1122,,,A x y B x y ，因为点Q 为弦AB 的中点，所以12122,2x x y y +=+=，由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221111043x x y y --+=，即()()()()1212121243x x x x y y y y +-+-=-，所以()()121212123344x x y y x x y y +-=-=--+，即34AB k =-，所以直线AB 的方程为()3114y x -=--，即3470x y +-=；【小问3详解】当所求直线斜率不存在时，直线方程为2x =-，此时直线2x =-与椭圆C 相切，符合题意，当所求直线斜率存在时，设直线方程为()2y k x =+，联立()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 得()()()22224382160k x k x k +++++=，则()()()222264264430k k k ∆=+-++=，解得0k =，所以所求直线的方程为y =综上所述，过点M 且和椭圆相切的直线方程为2x =-和y =.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.22.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，四点131,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(30,3P ，()41,1P 中恰有三点在椭圆C 上.()1求椭圆C 的方程；()2直线l ：()0y kx m m =+>与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当MON △面积取最小值时，求此时直线l 的方程.【答案】()122143x y +=；()2362y x =或362y x =-+【解析】【分析】()1根据椭圆的对称性，必过1P ，2P ，必不过4P ，进而代入坐标求出椭圆C 的方程；()2将直线与椭圆方程联立，写出一元二次方程的形式，结合根的判别式和基本不等式，求出32k =±，6m =l 的方程.【详解】解：()1根据椭圆的对称性，必过131,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，必不过()41,1P ，代入点(30,3P -得，23b =，代入点1P 得，24a =.∴椭圆C 的方程为：22143x y +=.()2由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2224384120k x kmx m +++-=.直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，可知()()2222644434120k m k m ∆=-+-=，整理得2243m k =+.由条件可得0k ≠，,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，∴211222MON m m S OM ON m k k =⋅=⋅= ， 2243m k =+，∴24313422MON k S k k k ⎛⎫+==+ ⎪ ⎪⎝⎭. 0k >，∴1342k k ⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当34k k =，即32k =，32k =±时等号成立，MON S最小值为 2243m k =+，∴26m =，又由0m >，解得m =故此时直线l的方程为2y x =+2y x =-。

2023-2024学年浙江省嘉兴市八校高二（上）期中数学试卷一、选择题I ：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线√3x ﹣y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．323．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|P A |+|PB |是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （﹣1，0，0），B （1，2，﹣2），C （2，3，﹣2），则平面ABC 的一个法向量为（ ） A ．（1，﹣1，0）B ．（1，﹣1，1）C ．（1，0，﹣1）D ．（0，1，1）5．已知圆C 1：（x ﹣1）2+（y +2）2＝r 2（r ＞0）与圆C 2：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝16外切，则r 的值为（ ） A ．1B ．5C ．9D ．216．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且PD →=2DQ →，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OD →=（ ）A ．16a →+13b →+13c → B ．13a →+13b →+13c → C ．13a →+16b →+13c →D ．13a →+13b →+16c →7．圆O 1：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝28与O 2：x 2+（y ﹣4）2＝18的公共弦长为（ ） A ．2√3 B ．2√6C ．3√2D ．6√28．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （c ，0），点P ，Q 在直线x =a 2c 上，FP ⊥FQ ，O 为坐标原点，若OP →⋅OQ →=3OF →2，则该椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．√63C ．√22D ．√32二、选择题II ：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知椭圆C ：x 216+y 24=1，在下列结论中正确的是（ ）A ．长轴长为8B ．焦距为4√3C ．焦点坐标为(0，±2√3)D ．离心率为√3210．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A ．两条不重合直线l 1，l 2的方向向量分别是a →=(4，6，2)，b →=(2，3，1)，则l 1∥l 2 B ．两个不同的平面α，β的法向量分别是u →=(2，2，−1)，v →=(−3，4，2)，则α⊥β C ．直线l 的方向向量为a →=(1，−1，2)，平面α的法向量为u →=(6，4，−1)，则l ⊥αD ．直线l 的方向向量a →=(0，3，0)，平面α的法向量是u →=(0，−5，0)，则l ∥α 11．已知圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4与直线x +my ﹣m ﹣2＝0，下列选项正确的是（ ） A ．直线过定点（﹣2，1）B ．圆的圆心坐标为（1，2）C ．直线与圆相交且所截最短弦长为2√2D ．直线与圆可以相切12．已知椭圆Q ：x 29+y 24=1，O 是坐标原点，P 是椭圆Q 上的动点，F 1，F 2是Q 的两个焦点（ ）A ．若△PF 1F 2的面积为S ，则S 的最大值为9B ．若P 的坐标为(1，4√23)，则过P 的椭圆Q 的切线方程为x +3√2y −9=0C ．若过O 的直线l 交Q 于不同两点A ，B ，设P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=49D ．若A ，B 是椭圆Q 的长轴上的两端点，P 不与A ，B 重合，且AR →⋅AP →=0，BR →⋅BP →=0，则R 点的轨迹方程为9x 2+4y 2＝81三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆的方程为x 2+y 2﹣2x +6y +4＝0，则该圆的半径为 ． 14．已知椭圆x 24+y 2m=1的左、右焦点分别为点F 1、F 2，若椭圆上顶点为点B ，且△F 1BF 2为等边三角形，则m 是 ．15．已知空间向量a →=(2，3，2)，b →=(1，1，2)，则向量a →在向量b →上投影向量的坐标是 ．16．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点M 在线段A 1C 上，E ，F 分别为DD 1，AD 的中点．若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l 1：ax +2y +3＝0，直线l 2：2x +by ﹣1＝0．其中a ，b 均不为0． （1）若l 1⊥l 2，求ab 的值；（2）若l 1∥l 2，求a •b 的值．18．（12分）已知a →=(3，2，−1)，b →=(2，1，2)． （1）求a →与b →夹角的余弦值；（2）当(ka →+b →)⊥(a →−kb →)时，求实数k 的值．19．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．（1）证明：EF ∥平面SAD ；（2）若SD ＝8，求平面DEF 与平面EFS 所成角的余弦值．20．（12分）给定椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，称圆心在原点O ，半径是√a 2+b 2的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F(√2，0)，其短轴的一个端点到点F 的距离为√3． （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A ，B 是椭圆C 的“准圆”与x 轴的两交点，P 是椭圆C 上的一个动点，求AP →⋅BP →的取值范围．21．（12分）已知圆C 的圆心在直线l ：y ＝x 上，并且经过点A （2，1）和点B （3，2）． （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线m ：x +y +t ＝0上存在点P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，且∠MPN ＝90°，求实数t 的取值范围．22．（12分）已知点M 到直线l ：x ＝2的距离和它到定点F （1，0）的距离之比为常数√2．（1）求点M的轨迹E的方程；（2）若点P是直线l上一点，过P作曲线E的两条切线分别切于点A与点B，试求三角形P AB面积的最小值．（二次曲线Ax2+By2+C＝0在其上一点Q（x0，y0）处的切线为Ax0x+By0y+C＝0）．2023-2024学年浙江省嘉兴市八校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题I ：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线√3x ﹣y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°解：由直线√3x −y +1=0可知：直线的斜率k =tanα=√3，解得α＝600， 故选：C ．2．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．32解：3x +4y ﹣5＝0，即6x +8y ﹣10＝0，故这两平行线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离为√62+82=12．故选：B ．3．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|P A |+|PB |是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |+|PB |＝2a （a ＞0，且a 为常数）成立是定值．若动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |+|PB |＝2a （a ＞0，且a 为常数），当2a ≤|AB |，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件． 故选：B ．4．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （﹣1，0，0），B （1，2，﹣2），C （2，3，﹣2），则平面ABC 的一个法向量为（ ） A ．（1，﹣1，0）B ．（1，﹣1，1）C ．（1，0，﹣1）D ．（0，1，1）解：根据题意，A （﹣1，0，0），B （1，2，﹣2），C （2，3，﹣2）， 则AB →=(2，2，−2)，AC →=(3，3，−2)， 设平面ABC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，∴{n →⋅AB →=2x +2y −2z =0n →⋅AC →=3x +3y −2z =0 取x ＝1，解得n →=(1，−1，0)，选项A 符合，另外选项BCD 中的向量与选项A 中的向量不共线． 故选：A ．5．已知圆C 1：（x ﹣1）2+（y +2）2＝r 2（r ＞0）与圆C 2：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝16外切，则r 的值为（ ） A ．1B ．5C ．9D ．21解：因为圆C 1：（x ﹣1）2+（y +2）2＝r 2（r ＞0）与圆C 2：（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝16外切， 所以√(4−1)2+(2+2)2=r +4，解得r ＝1． 故选：A ．6．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且PD →=2DQ →，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OD →=（ ）A ．16a →+13b →+13c → B ．13a →+13b →+13c → C ．13a →+16b →+13c →D ．13a →+13b →+16c →解：因为OD →=OP →+PD →=12OA →+23PQ →=12OA →+23×12(OQ →+AQ →)=12OA →+13[12(OB →+OC →)+12(AB →+AC →)]=12OA →+13[12OB →+12OC →+12(OB →−OA →)+12(OC →−OA →)]=12OA →+13(OB →+OC →−OA →)=16OA →+13OB →+13OC →=16a →+13b →+13c →，故选：A ．7．圆O 1：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝28与O 2：x 2+（y ﹣4）2＝18的公共弦长为（ ） A ．2√3B ．2√6C ．3√2D ．6√2解：由圆O 1：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝28，O 2：x 2+（y ﹣4）2＝18， 可得两圆的公共弦所在直线方程为x ﹣3y +12＝0． 圆心O 1（1，1）到直线x ﹣3y +12＝0的距离d =|1−3+12|√1+(−3)=√10，∴圆O 1：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝28与O 2：x 2+（y ﹣4）2＝18的公共弦长为2√28−10=6√2． 故选：D ．8．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （c ，0），点P ，Q 在直线x =a 2c 上，FP ⊥FQ ，O 为坐标原点，若OP →⋅OQ →=3OF →2，则该椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．√63C ．√22D ．√32解：由已知设P(a 2c ，m)，Q(a 2c ，n)，则FP →=(a 2c −c ，m)，FQ →=(a 2c −c ，n)，则FP →⋅FQ →=(a 2c −c)2+mn =0，又OP →⋅OQ →=(a 2c )2+mn =3c 2，两式做差可得(a 2c )2−(a 2c−c)2=3c 2，整理得2a 2＝4c 2， 则ca =√22． 故选：C ．二、选择题II ：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知椭圆C ：x 216+y 24=1，在下列结论中正确的是（ ）A ．长轴长为8B ．焦距为4√3C ．焦点坐标为(0，±2√3)D ．离心率为√32解：由已知得a 2＝16，b 2＝4， 则a =4，b =2，c =√16−4=2√3， 故椭圆长轴长为2a ＝8，焦距为2c =4√3， 焦点坐标为(±2√3，0)，离心率ca =√32，故A ，B ，D 正确． 故选：ABD ．10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）A ．两条不重合直线l 1，l 2的方向向量分别是a →=(4，6，2)，b →=(2，3，1)，则l 1∥l 2 B ．两个不同的平面α，β的法向量分别是u →=(2，2，−1)，v →=(−3，4，2)，则α⊥β C ．直线l 的方向向量为a →=(1，−1，2)，平面α的法向量为u →=(6，4，−1)，则l ⊥αD ．直线l 的方向向量a →=(0，3，0)，平面α的法向量是u →=(0，−5，0)，则l ∥α 解：根据题意，依次分析选项：对于A ：a →=(4，6，2)，b →=(2，3，1)，则a →=2b →，故有a →∥b →，即l 1∥l 2，A 正确； 对于B ：u →⋅v →=(2，2，−1)⋅(−3，4，2)=−6+8−2=0，故u →⊥v →，即α⊥β，B 正确；对于C ：直线l 的方向向量为a →=(1，−1，2)，平面α的法向量为u →=(6，4，−1)，不存在实数λ，使a →=λu →，即a →，u →不共线，则l ⊥α不成立，C 错误；对于D ：a →⋅u →=(0，3，0)⋅(0，−5，0)=−15≠0，即a →，u →不垂直，则l ∥α不成立，D 错误． 故选：AB ．11．已知圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4与直线x +my ﹣m ﹣2＝0，下列选项正确的是（ ） A ．直线过定点（﹣2，1）B ．圆的圆心坐标为（1，2）C ．直线与圆相交且所截最短弦长为2√2D ．直线与圆可以相切解：对于A ，直线方程x +my ﹣m ﹣2＝0，即x ﹣2+m （y ﹣1）＝0，由{x −2=0y −1=0，可得{x =2y =1，所以直线x +my ﹣m ﹣2＝0过定点（2，1），故A 错误； 对于B ，圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4的圆心坐标为（1，2），故B 正确；对于C ，记圆心C （1，2），直线过定点A （2，1），则|AC|=√(2−1)2+(1−2)2=√2， 当直线AC 与直线x +my ﹣m ﹣2＝0垂直时，圆心C 到直线x +my ﹣m ﹣2＝0的距离最大， 此时直线x +my ﹣m ﹣2＝0被圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4截得的弦长最小， 此时弦长为2√4−(√2)2=2√2，故C 正确；对于D ，因为（2﹣1）2+（1﹣2）2＝2＜4，所以点（2.1）在圆内， 直线与圆必相交，故D 错误． 故选：BC ． 12．已知椭圆Q ：x 29+y 24=1，O 是坐标原点，P 是椭圆Q 上的动点，F 1，F 2是Q 的两个焦点（ ）A ．若△PF 1F 2的面积为S ，则S 的最大值为9B ．若P 的坐标为(1，4√23)，则过P 的椭圆Q 的切线方程为x +3√2y −9=0C ．若过O 的直线l 交Q 于不同两点A ，B ，设P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=49D ．若A ，B 是椭圆Q 的长轴上的两端点，P 不与A ，B 重合，且AR →⋅AP →=0，BR →⋅BP →=0，则R 点的轨迹方程为9x 2+4y 2＝81解：由椭圆方程知：a =3，b =2，c =√5，设点P （x 0，y 0），A ：S =12|F 1F 2|⋅|y 0|=√5|y 0|≤2√5，当且仅当点P 为短轴上的顶点时等号成立，错； B ：显然过P 处切线的斜率存在，设切线方程为y =k(x −1)+4√23， 联立{y =k(x −1)+4√23x 29+y 24=1，消去得(9k 2+4)x 2+18k(4√23−kx)+9(4√23−k)−36=0， 则Δ=[18k(4√23−k)]−4(9k 2+4)[9(4√23−k)−36]=0，整理得(3√2k +1)2=0， 解得k =−√26，故过P 处切线方程为y =−√26(x −1)+4√23，即x +3√2y −9=0，对；C ：设A （x 1，y 1），则B(−x 1，−y 1)，k 1=y 0−y 1x 0−x 1，k 2=y 0+y 1x 0+x 1，则{x 029+y 024=1x 129+y 124=1， 两式相减得x 02−x 129+y 02−y 124=0，则y 02−y 12x 02−x 12=y 0−y 1x 0−x 1⋅y 0+y 1x 0+x 1=−49，即k 1k 2=−49，错；D ：当R 不与A ，B 重合时，由C 知：k AP k BP =−49，由k AR k AP ＝﹣1，k BR k BP ＝﹣1，则k AR k AP k BR k BP ＝1，所以k AR k BR =−94，设R （x ，y ），则A(−3，0)，B(3，0)，k AR =yx+3，k BR =yx−3，可得yx+3⋅yx−3=−94，整理得9x 2+4y 2＝81（x ≠±3），当R 与A ，B 重合时，满足题意，符合上式， 综上：R 的方程为9x 2+4y 2＝81，对．故选：BD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆的方程为x 2+y 2﹣2x +6y +4＝0，则该圆的半径为 √6 ．解：圆的方程为x 2+y 2﹣2x +6y +4＝0，化成标准方程得（x ﹣1）2+（y +3）2＝6， 圆的半径r 满足r 2＝6，故该圆的半径为√6． 故答案为：√6． 14．已知椭圆x 24+y 2m=1的左、右焦点分别为点F 1、F 2，若椭圆上顶点为点B ，且△F 1BF 2为等边三角形，则m 是 3 ．解：由已知得a 2＝4，b 2＝m ，则c 2＝4﹣m ，又△F 1BF 2为等边三角形，则a ＝2c ，即a 2＝4c 2，所以4＝4（4﹣m ），解得m ＝3． 故答案为：3．15．已知空间向量a →=(2，3，2)，b →=(1，1，2)，则向量a →在向量b →上投影向量的坐标是 (32，32，3) ．解：由投影向量定义知：向量a →在向量b →上投影向量a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=√6×√6⋅b →=32b →=(32，32，3)．故答案为：(32，32，3)．16．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点M 在线段A 1C 上，E ，F 分别为DD 1，AD 的中点．若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为 [π6，π3] ．解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点M 在线段A 1C 上，E ，F 分别为DD 1，AD 的中点， 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设DA ＝2，则E （0，0，1），F （1，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2），∴EF ＝（1，0，﹣1），设CM →=λCA 1→=（2λ，﹣2λ，2λ），（0≤λ≤1），则BM →=（2λ﹣2，﹣2λ，2λ），异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则cos θ=2√2⋅√(2λ−2)2+8λ=1√2⋅√3(λ−13)2+23（0≤λ≤1）， 当λ=13时，cos θ取最大值√32，此时θ取最小值π6， 当λ＝1时，cos θ取最小值12，此时θ取最大值π3， 则θ的取值范围为[π6，π3]． 故答案为：[π6，π3]． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知直线l 1：ax +2y +3＝0，直线l 2：2x +by ﹣1＝0．其中a ，b 均不为0．（1）若l 1⊥l 2，求ab 的值； （2）若l 1∥l 2，求a •b 的值．解：（1）由l 1⊥l 2，则−a 2×(−2b )=−1，得a b =−1． （2）由l 1∥l 2，则a 2=2b≠3−1， 故a •b ＝4，其中b ≠−23（或a ≠﹣6）．18．（12分）已知a →=(3，2，−1)，b →=(2，1，2)．（1）求a →与b →夹角的余弦值；（2）当(ka →+b →)⊥(a →−kb →)时，求实数k 的值．解：（1）a →与b →夹角的余弦值为cos ＜a →，b →＞=a →⋅b →|a →||b →|=6+2−29+4+1×4+1+4=√147； （2）因为(ka →+b →)⊥(a →−kb →)，所以(ka →+b →)⋅(a →−kb →)=0，即ka →2+(1−k 2)a →⋅b →−kb →2=0，所以14k +6（1﹣k 2）﹣9k ＝0，整理得6k 2﹣5k ﹣6＝0，解得k =32或k =−23．19．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．（1）证明：EF ∥平面SAD ；（2）若SD ＝8，求平面DEF 与平面EFS 所成角的余弦值．（1）证明：取SD 中点M ，连接AM ，MF ，∵M ，F 分别为SD ，SC 的中点，∴MF ∥CD ，且MF =12CD ，又底面ABCD 为正方形，且E 为AB 中点，∴MF ∥AE ，且MF ＝AE ，∴四边形AEMF 为平行四边形，∴EF ∥AM ，∵EF ⊄平面SAD ，AM ⊂平面SAD ，∴EF ∥平面SAD ；（2）解：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），E （4，2，0），F （0，2，4），S （0，0，8），故EF →=(−4，0，4)，DE →=(4，2，0)，FS →=(0，−2，4)，设平面DEF 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅EF →=−4x +4z =0m →⋅DE →=4x +2y =0，可取m →=(1，−2，1)， 设平面EFS 的一个法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅EF →=−4a +4c =0n →⋅FS →=−2b +4c =0，可取n →=(1，2，1)， 则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=1−4+11+4+1⋅1+4+1=−13， 由图可知，平面DEF 与平面EFS 所成角的平面角θ为锐角，则cosθ=|cos ＜m →，n →＞|=13， ∴平面DEF 与平面EFS 所成角的余弦值为13． 20．（12分）给定椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，称圆心在原点O ，半径是√a 2+b 2的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F(√2，0)，其短轴的一个端点到点F 的距离为√3．（1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A ，B 是椭圆C 的“准圆”与x 轴的两交点，P 是椭圆C 上的一个动点，求AP →⋅BP →的取值范围．解：（1）因为椭圆C 的一个焦点为F(√2，0)，所以c =√2， 因为椭圆C 短轴的一个端点到点F 的距离为√3，所以a =√b 2+c 2=√3，则b =√a 2−c 2=1，故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1，其“准圆”方程为x 2+y 2＝4；（2）不妨设P(m ，n)(−√3≤m ≤√3)，因为点P 为椭圆C 上的一个动点，所以m 23+n 2=1，不妨设A （2，0），B （﹣2，0），此时AP →=(m −2，n)，BP →=(m +2，n)，所以AP →⋅BP →=m 2−4+n 2=m 2−4+1−m 23=2m 23−3，因为−√3≤m ≤√3，所以2m 23−3∈[−3，−1]， 则AP →⋅BP →的取值范围是[﹣3，﹣1]．21．（12分）已知圆C 的圆心在直线l ：y ＝x 上，并且经过点A （2，1）和点B （3，2）．（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线m ：x +y +t ＝0上存在点P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，且∠MPN ＝90°，求实数t 的取值范围．解：（1）因为AB 的中点为D(52，32)，且k AB ＝1，所以AB 的垂直平分线为y −32=−(x −52)，即x +y ﹣4＝0，由{y =x x +y −4=0，得{x =2y =2，所以圆心C （2，2）， 则半径r ＝|AC |＝1，所以圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1．（2）如图，由∠MPN ＝90°得∠CPM ＝45°，所以|CP|=√2，所以圆心C （2，2）到直线m 的距离d =|4+t|√2≤√2，则|4+t |≤2，解得﹣6≤t ≤﹣2， 所以t 的取值范围为[﹣6，﹣2]．22．（12分）已知点M 到直线l ：x ＝2的距离和它到定点F （1，0）的距离之比为常数√2．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）若点P 是直线l 上一点，过P 作曲线E 的两条切线分别切于点A 与点B ，试求三角形P AB 面积的最小值．（二次曲线Ax 2+By 2+C ＝0在其上一点Q （x 0，y 0）处的切线为Ax 0x +By 0y +C ＝0）． 解：（1）设M （x ，y ），则√(x−1)2+y 2=√2， 化简得E ：x 22+y 2=1，所以点M 的轨迹E 的方程为x 22+y 2=1．（2）设P （2，t ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则切线AP 为x 1x2+y 1y =1，切线BP 为x 2x2+y 2y =1，将点P 分别代入得{x 1+ty 1=1x 2+ty 2=1，所以直线AB 为m ：x +ty ＝1， 点P 到m 的距离d =1+t 2√t +1=√t 2+1，当t ＝0时，d min ＝1．另一方面，联立直线AB 与E {x +ty =1x 22+y 2=1得（t 2+2）y 2﹣2ty ﹣1＝0， 所以{y 1+y 2=2t t 2+2y 1y 2=−1t 2+2，则|AB|=√1+t 2⋅|y 1−y 2|=√1+t 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√2(t 2+1)t 2+2=2√2(1−1t 2+2)，当t ＝0时，|AB|min =√2．所以S △ABP =12|AB|⋅d ≥√22．故t ＝0时，S △ABP 最小值为√22．。

浙江省嘉兴八校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷一、单选题1．已知直线过()0,1A -、()10B ,两点，则该直线的斜率为（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．已知直线1l ：10x my +-=与2l ：310mx y +-=，若12l l //，则m 为（）A ．B ．0CD ．3．已知1F ，2F 分别为椭圆22193x y+=的左右焦点，P 为椭圆上一点，若12=PF ，则2PF 为（）A ．1B ．4C ．6D ．74．已知()2,,5m t =- ，()3,2,n t =-分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，则t 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-5．经过点()1,2M 作圆225x y +=的切线，则切线方程为（）A ．250x y +-=B ．250x y --=C ．250x y +-=D ．250x y --=6．如图，在三棱锥O ABC -中，已知E 是BC 上靠近C 的三等分点，F 是AE 的中点，则OF =（）A ．111234OA OB OC-+B ．111263OA OB OC-+C ．111234OA OB OC++D ．111263OA OB OC++7．已知圆1O ：()()2214x a y -++=与圆2O ：()2229x a y ++=有两条公切线，则实数a 的取值范围（）A ．,00,33⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．33⎛- ⎪⎝⎭C ．,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．0,3⎛ ⎝⎭8．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若24AB F B =uu u r uuu r，122F A F B =，则椭圆C 的离心率为（）A ．15B C D 二、多选题9．已知直线l 0y +=，则下列说法正确的是（）A ．点()1,0到直线lB ．直线l 的截距式方程为11x +C ．直线l 的一个方向向量为(1,D ．若直线l 与圆()2220x y r r +=>相切，则2r =10．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，90ABC ∠=︒，E ，F 分别为棱AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．BF DE⊥B ．该三棱柱的体积为4C ．直线DE 与平面11ABB A 所成角的正切值的最大值为12D ．过1A ，1B ，E11．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以(),A x y 与点(),B a b 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数()f x ，下列结论正确的是（）A ．方程()5f x =无解B ．方程()6f x =有两个解C ．()f x 的最小值为D ．()f x 的最大值为三、填空题12．直线2230x y +-=的倾斜角为．13．点N 在椭圆2212510x y +=上，F 是椭圆的一个焦点，M 为NF 的中点，若4OM =，则NF =．14．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱1,AD BB 的中点.点P 为正方体表面上的动点，满足1A P EF ⊥.给出下列四个结论：①线段1A P 长度的最大值为②存在点P ，使得//DP EF ；③存在点P ，使得1B P DP =；④EPF 是等腰三角形.其中，所有正确结论的序号是．四、解答题15．已知空间三点()2,0,1A -，()1,0,1B -，()3,1,2C -，设a AB =，b AC = .(1)求2a b + 的值；(2)若向量()a kb +与()a kb - 互相垂直，求实数k 的值.16．已知直线1l ：350x y ++=，2l 经过点()3,1M ．(1)若12l l ∥，求直线2l 的方程；(2)在（1）的条件下，求1l 与2l 之间的距离；(3)若2l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求MA MB⋅的最小值．17．已知点32,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，圆C ：226210x y x y +--+=．(1)求圆C 过点P 的最短弦所在的直线方程；(2)若圆C 与直线0x y a -+=相交于A ，B 两点，O 为原点，且OA OB ⊥，求a 的值．18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1BC AB AA AC ==，M 是11B C 中点，N 是AC 中点．(1)证明：直线//MN 平面11ABB A ；(2)证明：直线MN BC ⊥；(3)求平面MNA 与平面11BB C C 所成角的余弦值．19．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 过点()3,1H ，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点H 的M ，N 两点，且HM ，HN 均不与x 轴垂直．(1)求椭圆C 的方程；(2)若MN =P 为椭圆的上顶点，求PMN 的面积；(3)记直线HM ，HN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值．。