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天津市数学(文)2013年普通高等学校招生统一考试_391 / 52013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V = Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4(4) 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件(5) 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =(A) 12- (B) 1(C) 2 (D) 12(6) 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1-(B) 22-(C)22(D) 0 (7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是 (A) [1,2](B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2](8) 设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a << (C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9) i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 .(11) 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:产品编号A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 质量指标(x , y , z ) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)产品编号A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 质量指标(x , y , z ) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.(16) (本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =.(Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.(17) (本小题满分13分)如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , 离心率为33, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .(20) (本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（文史类）一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2,1A x x B x x =∈=∈R R 剟, 则B A = （ ）A. (],2-∞-B.[]1,2C.[]2,2-D. []2,1-【测量目标】集合间的关系，集合的基本运算. 【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算. 【参考答案】D【试题解析】先化简集合A ，再利用数轴进行集合的交集运算. 由已知得{22}A x x=∈-R 剟,于是{21}A B x x =∈-R 剟2．设变量,x y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩………则目标函数2z y x =-的最小值为 （ ）A. 7-B.4-C. 1D. 2 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【参考答案】A【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值, min 3257Z =-⨯=-.3．阅读程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】执行程序框图中的循环语句，求值. 【参考答案】D【试题解析】结合循环结构逐步执行求解. .0,1==s n第一次：()211,21,11101=+=<--=⨯-+=n s ，第二次：()312,21,12112=+=<=⨯-+-=n s ，第三次：()31132,22,314s n =+-⨯=--<=+=，第四次：()22,24124==⨯-+-=s ，满足2s …，跳出循环，输出4=n .4．设,a b ∈R 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【测量目标】不等式的性质及运算，充分、必要条件.【考查方式】给出关于,a b 的两个不等式，由,a b 关系判断充分、必要条件. 【参考答案】A【试题解析】分别判断由2()0a b a -<是否能得出b a <成立和由b a <是否能得出2()0a b a -<成立.由2()0a b a -<可得b a <，当0=a ,b a <成立；而当0=a ，b a <成立时，2()0a b a -<不成立，所以2()0a b a -<是b a <的充分而不必要条件.5．已知过点()2,2p 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A. 12-B. 1C. 2D.12【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】由线线垂直判断切线方程，根据切线过固定点，圆心到切线的距离等于圆的半径，用点到直线的距离公式列出等式进而求未知数. 【参考答案】C【试题解析】圆的切线与直线10ax y -+=垂直，设切线方程为0=++c ay x ，再代入点(2,2)P 结合圆心到切线的距离等于圆的半径，求出a 的值.由题得圆心()1,0，切线与直线01=+-y ax 垂直，切线方程为0=++c ay x .（步骤1）0=++c ay x 过点p )2,2(22,c a ∴=--=2=a .（步骤2）6．函数π()sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 （ ）A.1-B.C. D. 0【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】给出正弦函数()f x 及其定义域，由正弦函数的单调性判断最小值.【参考答案】B 【试题解析】确定π24x -的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值. πππ3π0,,22444x x ⎡⎤∈∴--⎢⎥⎣⎦剟,（步骤1） 当ππ244x -=-时，π()sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有最小值22-.（步骤2） 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…, 则a 的取值范围是 （ ）A. [1,2]B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]【测量目标】利用函数的奇偶性、单调性求参数范围.【考查方式】已知复合函数()f x 的不等式，先转化再由函数的单调性和奇偶性，求解不等式中的参数范围. 【参考答案】C【试题解析】根据函数的单调性和奇偶性得出关于a 的不等式的求解..12log f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()2log f a -=()2log f a ,∴原不等式可化为()2log f a ()1f ….（步骤1）又 ()x f 在区间[)0+∞，上单调递增，0∴…2log a …1，即1…2a ….（步骤2）()x f 是偶函数，∴()2log f a ()1f -….（步骤3）又()x f 在区间(]0,∞-上单调递减，1∴-…2log a 0…，112a 剟.（步骤3）综上所知122a 剟.（步骤4）8．设函数2()e 2,()ln 3x x g x x x x f +-=+-=. 若实数,a b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A. ()0()g a f b << B. ()0()f b g a <<C. 0()()g a f b <<D. ()()0f b g a <<【测量目标】利用导数解决不等式问题.【考查方式】已知两个函数，通过导数判断函数的单调性，比较值的大小. 【试题解析】首先确定b a ,的取值范围，再根据函数的单调性求解.()e 10x f x '=+> ，∴()x f 是增函数. （步骤1）∵()x g 的定义域是()0,+∞，∴()120,g x x x'=+>∴()x g 是()0,+∞上的增函数. （步骤2）∵()010,(1)e 10,0 1.f f a =-<=->∴<<（步骤3）(1)20,g =-< (2)ln 210,12,()0,()0.g b f b g a =+>∴<<∴><（步骤4）二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数()()3i 12i +- = . 【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】给出两个复数的乘积形式，直接求答案. 【参考答案】55i -【试题解析】()()23i 12i 35i 2i 55i +-=--=-.10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为9π2, 则正方体的棱长为 .【测量目标】空间几何体的结构特征及运算.【考查方式】已知球的体积，利用球内接于正方体的特殊性质，求棱长. 【参考答案】3【试题解析】先求球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a ，求半径为R ，则3493ππ,3,322R R a =∴==∴=11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .【测量目标】圆锥曲线的方程及性质.【考查方式】已知抛物线方程，双曲线的离心率，两曲线有一个共同焦点，利用抛物线、双曲线的性质求方程.【参考答案】1322=-y x 【试题解析】首先由题设求出双曲线的半焦距，再求出b a ,的值.由题可知抛物线的准线方程为2-=x ，∴双曲线的半焦距2=c .（步骤1） 又双曲线的离心率为2 ，∴3,1==b a ，（步骤2）∴双曲线的方程为1322=-y x .（步骤3） 12．在平行四边形ABCD 中, 1AD =， 60BAD ︒∠=,E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .【测量目标】平面向量的应用.【考查方式】已知平行四边形及向量，用向量表示，运用平面向量简单的四则运算求值. 【参考答案】21 【试题解析】用,AB AD表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算.由已知得AC =AD AB + ，12BE AD AB =- ，∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ︒=+-= ，（步骤1）∴12AB = .（步骤2）13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB DC , 过点A 作的切线与CB 的延长线交于点E . 若5AB AD ==, 4BE =, 则弦BD 的长为 .【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】已知圆、内接多边形及切线，利用圆的内接四边形的性质、切割线定理、三角形的相似，求弦长. 【参考答案】215【试题解析】根据圆的内接四边形的性质，切割线定理及三角形的相似的性质列出比例式求解.因为AB DC ，所以四边形ABCD 是等腰梯形，所以5===AB AD BC .（步骤1）又AE 是切线，所以AE BD ，()244536AE BE EC ==+= ，所以6=AE .（步骤2）因为CDB ∠=BAE ∠， BCD ∠=ABE ∠，所以ABE DCB △∽△，所以BCBEDB AE =，于是215465=⨯=BD .（步骤3） 14．设2a b +=，0b > ，则1||2||a a b+的最小值为 . 【测量目标】含绝对值的不等式求最值.【考查方式】根据已知条件，去掉绝对值符号，利用均值不等式判断最小值. 【参考答案】43 【试题解析】分0,0<>a a ，去掉绝对值符号，用均值不等式求解.当0>a 时，1115224444a a ab a b a a b a b a b a b +⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭…； 当0<a 时，1111312244444a a ab a b a a b a b a b a b -+--⎛⎫+=+=+=-++-+= ⎪---⎝⎭… 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为,,x y z 用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S …, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:((Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(1) 用产品编号列出所有可能的结果;(2) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.【测量目标】随机事件及概率，抽样调查，古典概型.【考查方式】列举法，样本估计总体，古典概型及其概率计算公式等基础知识.【试题解析】用列举法计算随机事件所含的基本事件数,用古典概型及其概率计算公式求出概率. 解：（1）计算10件产品的综合指标S ，如下表：（步骤1）其中4S …的有1A ，2A ，4A ，5A ，7A ，9A ，共六件， 故该样本的一等品率为6.0106=，从而可估计该产品的一等品率为0.6. （步骤2） （2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{}12,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}17,A A ,{}19,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}27,A A ，{}29,A A ,{}45,A A ,{}47,A A {}49,A A ,{}57,A A ,{}59,A A {}79,A A ,共15种. （步骤3）②在该样本的一等品中,综合指标S 等于4的产品编号分别为1A ，2A ，5A ，7A ，则事件B 发生的所有可能结果为{}12,A A ，{}15,A A ,{}17,A A ,{}25,A A ,{}27,A A ，{}57,A A ，共6种. （步骤4） 所以()52156==B P . （步骤5） 16．(本小题满分13分)在ABC △中, 内角C B A ,,所对的边分别是,,a b c .已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求πsin 23B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【测量目标】正、余弦定理，两角和与差的正弦及二倍角公式.【考查方式】给出关于边角的等式，利用公式和定理求边长和正弦值.【试题解析】⑴先用正弦定理求出c ，再用余弦定理求出b ;⑵用二倍角公式和两角差公式求值.解：⑴在ABC △中，由sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =.（步骤1） 又由sin 3sin b A c B =，可得c a 3=.又3=a ，故1=c .（步骤2）由B ac c a b cos 2222-+=，32cos =B ，可得6=b .（步骤3）⑵由32cos =B ，得35sin =B ，进而得1cos 22cos 2-=B B 91-=， 954cos sin 22sin ==B B B （步骤4） ∴πππsin 2sin 2cos sin cos 2333B B B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=18354+.（步骤5） 17． (本小题满分13分)如图, 三棱柱111C B A ABC -中, 侧棱A A 1⊥底面ABC ,且各棱长均相等.F E D ,,分别为棱11,,C A BC AB 的中点. (Ⅰ) 证明EF 平面CD A 1;(Ⅱ) 证明平面CD A 1⊥平面11ABB A ； (Ⅲ) 求直线BC 与平面CD A 1所成角的正弦值.【测量目标】立体几何的结构，线面平行，面面垂直的判定，线面夹角的正弦值.【考查方式】(1)由线线关系⇒线面平行(2)线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直 (3)利用三棱柱中线段关系求出线面角的正弦值. 【试题解析】(1)证明：如图，在三棱柱中111C B A ABC -，11ACAC ，且11AC AC ＝，连接ED ， 在ABC △中，因为D E ，分别为AB BC ，的中点，所以AC DE 21=且DE AC （步骤1）又因为F 为11AC 的中点，可得1A F DE ＝，且1A F D E ，即四边形1A DEF 为平行四边形，所以1EFDA .（步骤2）又EF ⊄平面1ACD ，1DA ⊂平面1ACD ， 所以EF 平面1ACD .（步骤3） (2)证明：由于底面ABC △是正三角形，D AB 为的中点，故CD AB ⊥，（步骤4） 又由于侧棱1A A ⊥底面ABC CD ⊂，平面ABC ， 所以1A A CD ⊥.（步骤5）又1A A AB A ＝，因此CD ⊥平面11A ABB CD ⊂，而平面1ACD ， 所以平面111ACD A ABB ⊥平面.（步骤6） (3)解：在平面11A ABB 内，过点1B BG A D ⊥作交直线1A D 的延长线于点G ，连接CG . 由于平面1ACD ⊥平面11A ABB ，而直线11A D ACD 是平面与平面11A ABB 的交线， 故BG ⊥平面1ACD .由此得BCG ∠为直线BC 与平面1ACD 所成的角．（步骤7）设棱长为a ，可得1A D =由1A AD BGD △∽△，易得BG （步骤8）在Rt BGC △中，sin BCG ∠＝5BG BC =.所以直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值为5.（步骤9） 18．(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设,A B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为K 的直线与椭圆交于,C D 两点. 若8AC DB AD CB += , 求K 的值.【测量目标】椭圆的定义与几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用直线的定义和直线的位置关系求解椭圆的标准方程，利用直线的方程、向量的坐标运算、代数方法研究圆锥曲线的性质，运用方程求直线的斜率. 【试题解析】 ⑴设(),F c o -，用33=a c ，知c a 3=.（步骤1） 过点F 且与x 轴垂直的直线为c x -=，代入椭圆的方程有()12222=+-by a c ， 解得36±=y ，于是334362=b ，解得2=b .（步骤2） 又222b c a =-，从而1,3==c a ，所以椭圆的方程为22=132x y +.（步骤3） (2)设点()11,C x y ，()22,y x D ，由()0,1-F 得直线CD 的方程为()1y k x =+，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()0636322222=-+++k x k x k求解可得21x x +＝22623k k -+，21x x ＝223623k k -+.因为A ()0,3-，B ()0,3所以AC DB ＋AD CB())())11222211,,x y x y x y x y =+-+-1212622x x y y =--()()2121262211x x k x x =--++()()222121262222k x x k x x k =-+-+-22212623k k+=++. （步骤5） 由已知得222126823k k++=+，解得=k （步骤6） 19． (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为n S (n *∈N )且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 证明1361n n S S +…(n *∈N ).【测量目标】等差、等比数列的通项公式及前n 项和，不等式的证明.【考查方式】(1)利用数列的定义及性质由等差数列转化求出等比数列的通项公式.(2)将等比数列的前n 项和建立不等式关系，分类讨论. 【试题解析】解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为4324,,2S S S -成等差数列， 所以342342S S S S -=+，即4234S S S S -=-， 可得342a a -=，于是4312a q a ==-.（步骤1） 又=1a 32，所以等比数列{}n a 的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）(2)证明：由(1)得：112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11112112n n nn S S ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭1122212.221n n n nn n +⎧+⎪()⎪=⎨⎪+⎪(-)⎩，为奇数，，为偶数 当n 为奇数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以111113=6n n S S S S ++….当n 为偶数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以221125=12n n S S S S ++…. （步骤3）故对于n *∈N ，有1136n n S S +….（步骤4） 20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),0,3,0().2x f x a x x a x x ax x -++-⎧>=⎪+⎪⎨⎩…(Ⅰ) 证明()f x 在区间()1,1-内单调递减, 在区间()1,+∞内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明1213x x x ++-….【测量目标】函数与方程，函数与导数，不等式的性质.【考查方式】给定直线与函数的位置关系，利用导数研究函数的单调性，通过定义域判断值域，由基本不等式判断最小值等知识. 【试题解析】证明：(1)设函数()()()3150f x x a x x =-+…，()=x f 2 3232a x x ax +-+()0x …， ①()213(5)f x x a '+＝－，由[2,0]a ∈－，从而当10x －＜…时，()213(5)350f x x a a '＝－＋＜－－…，所以函数()1f x 在区间(1,0]－内单调递减．（步骤1） ②()223(3)(3)(1)f x x a x a x a x '＝－＋＋＝－－，由于[2,0]a ∈-，所以当01x ＜＜时，()20f x '＜； 当1x ＞时，()20f x '＞.即函数()2f x 在区间(]0,1内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（步骤2）综合①，②及()()1200f f ＝，可知函数()f x 在区间(1,1)－内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（步骤3）(2)由(1)知()f x '在区间(0)-∞，内单调递减，在区间306a +⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，在区间36a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭，内单调递增．（步骤1） 因为曲线()y f x ＝在点()()(1,2,3)i i i P x f x i ，＝处的切线相互平行， 从而123x x x ，，互不相等，且()()()123f x f x f x '''＝＝．（步骤2）不妨设1230x x x ＜＜＜，由22212233(5)(3)(3)x a x a x a x a x a 3-＋=3-＋＋=3-＋＋， 解得222323(3)()0x x a x x ---33＋＝23x x ＋＝33a +，从而20x ＜＜36a +3x ＜.（步骤3） 设()23(3)g x x a x a ＝-＋＋，则36a g +⎛⎫⎪⎝⎭()()20g x g a ＜＜＝.由()2123(5)x a g x a -＋=＜，解得 10x ＜，所以123x x x ＋＋＞33a +.（步骤4）设t =a =2352t -，因为[2,0]a ∈－，所以t ∈⎣⎦，（步骤4） 故123x x x ＋＋＞，2231111(1)6233t t t +-+=---…即123x x x ＋＋…13-.（步骤5）。
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式：•如果事件A ,B 互斥,那么 •球的体积公式34π3V R =. ()()()P AB P A P B =+.•棱柱的体积公式V Sh =. 其中R 表示球的半径. 其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|||2}A x x =∈≤R ,{|1}B x x =∈R ≤,则A B =( ) A .(,2]∞-B .[1,2]C .[]2,2-D .[12,]--2.设变量x ,y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤则目标函数2z y x =-的最小值为( ) A .－7B .－4C .1D .23.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n 的值 为( ) A .7 B .6 C .5D .44.设a ,b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切,且 与直线10ax y -+=垂直,则a = ( ) A .12-B .1C .2D .126.函数π()sin(2)4f x x =-在区间π[0,]上的最小值为( )A .1-B . CD .07.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[)0,+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤,则a 的取值范围是( )A .[1,2]B .1(0,]2C .1[,2]2D .(0,2]8.设函数()e 2x f x x =+-,2()ln 3g x x x =+-.若实数a ,b 满足()0f a =,()0g b =, 则( )A .()0()g a f b <<B .()0()f b g a <<C .0()()g a f b <<D .()()0f b g a <<第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.i 是虚数单位,复数(3i)(12i)+-= .10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π2,则正方体的棱长为 .11.已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .12.在平行四边形ABCD 中,1AD =,60BAD ∠=,E 为CD 的中点.若1AC BE =,则AB 的长为 .13.如图,在圆内接梯形ABCD 中,AB DC ∥.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若5AB AD ==,4BE =,则弦BD 的长为 .14.设2a b +=,0b >,则1||2||a a b+的最小值为 .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）某产品的三个质量指标分别为x ,y ,z ,用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S ≤,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （Ⅱ）在该样本的一等品中,随机抽取2件产品, （i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4”,求事件B 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin 3sin b A c B =,3a =,2cos 3B =.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求πsin(2)3B -的值.17.（本小题满分13分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1A A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等,D ,E ,F 分别为棱AB ,BC ,11AC 的中点. （Ⅰ）证明：EF ∥平面1A CD ； （Ⅱ）证明：平面1A CD ⊥平面11A ABB ； （Ⅲ）求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,,过点F 且与x 轴垂直的直（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.若8AC DB AD CB +=,求k 的值.19.（本小题满分14分）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为*()n S n ∈N ,且22S -,3S ,44S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明1136n n S S +≤（*n ∈N ）. 20.（本小题满分14分）设[2,0]a ∈-,已知函数332(5),0,()3,0.2x a x x f x a x x ax x ⎧-+⎪=⎨+-+>⎪⎩≤（Ⅰ）证明()f x 在区间(1,1)-内单调递减,在区间()1,+∞内单调递增；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x (1,2,3)i =处的切线相互平行,且1230x x x ≠. 证明12313x x x ++>-.{=∈RA B x，再利用数轴进行集合的交集运算.【解析】π0,2x ⎡∈⎢⎣π4=-时，【解析】12log f a ⎛ ⎝又上单调递增，【解析】()e f x '=是(0,)+∞上的增函数(1)2g =-【提示】先判定出零点【考点】利用导数解决不等式问题【解析】由已知得AC =AD AB +，12BE AD AB =-， ∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-2111||22AB AD AB =+-211cos60||12AB AD AB ︒-=.1AB=.||【提示】用AB与AD用AC与BE表示，然后进行向量的数量积运算【考点】平面向量的应用15BE EC=+4(4，所以ABE△数学试卷第16页（共30页）ac B，cos cos5，进而得3数学试卷 第22页（共30页）所以AC DB ＋AD CB12222113,)(3,)(3,)3,y x y x y x y +--++--（）122y y3 1. 2n数学试卷第28页（共30页）。
2013年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）25．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线axB=26．（5分）（2013•天津）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．∈，[在区间的最小值为7．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是（），即≤8．（5分）（2013•天津）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）（，∴二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=5﹣5i．10．（5分）（2013•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．，所以正方体的体对角线长为：a，．故答案为：11．（5分）（2013•天津）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．，可得的一个焦点为（﹣曲线的离心率的计算公式可得=2，可得由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣，∴∴双曲线的方程为．故答案为．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．，．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则的最小值为．由题意得，，1的最小值为故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．件，故样本的一等品率为=16．（13分）（2013•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．中，有正弦定理，b=（Ⅱ）由sinB=﹣=17．（13分）（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．ACD=BG==，所成角的正弦值18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入，，∴；为奇数时，=，=，，且综上，有20．（14分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．（Ⅰ）令，）内单调递减，在区间单调递减，在区间利用导数的几何意义可得根据以上等式可得，从而，解得，于是可得t=，已知，①②时，时，，即函数在区间内单调递减，在区间互不相等，且．，解得，从而，则，解得，t=，则，，∴。
2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}|2A x R x =∈≤，{}|1B x R x =∈≤，则A B =（A ）(,2]-∞ （B ）[1,2] （C ）[2,2]- （D ）[2,1]-2．设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（A ）7- （B ）4- （C ）1 （D ）2 3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6(C) 5(D) 44．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =(A) 12-(B) 1 (C) 2 (D)126．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B) 22-(C)22(D) 07．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2](B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2]8．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<(C) 0()()g a f b <<(D) ()()0f b g a <<二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.9．i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 .11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 .13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 .EDCB A14．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级．若4S ≤，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号 1A2A3A4A5A质量指标(,,)x y z(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号 6A7A8A9A10A质量指标(,,)x y z(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)（I ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （II ）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，（i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率． 16．(本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17． (本小题满分13分) 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11AC 的中点．（I ）证明：//EF 平面1ACD ； （II ）证明：平面1ACD ⊥平面11A ABB ； （III ）求直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值． C 1B 1A 1ABC DEF18．(本小题满分13分) 设椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433．（I ）求椭圆的方程；（II ）设A ，B 分别为椭圆的左、右定点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．19． (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.参考答案一、选择题1．D 解：因为{22}A xx =-≤≤,所以{21}B A x x =-≤≤，选D.2．A 解：由2z y x =-得 。
2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学文一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1.(5分)已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=( )A. (-∞，2]B. [1，2]C. [-2，2]D. [-2，1]解析：∵A={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2}，∴A∩B={x|-2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|-2≤x≤1}.答案：D.2.(5分)设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y-2x的最小值为( )A. -7B. -4C. 1D. 2解析：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y-2x=0经过点A(5，3)时，y-2x最小，最小值为：-7，则目标函数z=y-2x的最小值为-7.答案：A.3.(5分)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )A. 7B. 6C. 5D. 4解析：由程序框图可知：S=2=0+(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)4×4，因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序.故输出的n的值为4.答案：D.4.(5分)设a，b∈R，则“(a-b)a2＜0”是“a＜b”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由“a＜b”如果a=0，则(a-b)a2=0，不能推出“(a-b)a2＜0”，故必要性不成立. 由“(a-b)a2＜02”可得a2＞0，所以a＜b，故充分性成立.综上可得“(a-b)a2＜0”是a＜b的充分也不必要条件，答案：A.5.(5分)已知过点P(2，2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则a=( )A.B. 1C. 2D.解析：因为点P(2，2)满足圆(x-1)2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P(2，2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax-y+1=0平行，所以直线ax-y+1=0的斜率为：a==2.答案：C.6.(5分)函数f(x)=sin(2x-)在区间[0，]上的最小值是( )A. -1B. -C.D. 0解析：由题意x∈，得2x∈[-，]，∴∈[，1]∴函数在区间的最小值为.答案：B.7.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)单调递增.若实数a 满足f(log2a)+f(log a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )A. [1，2]B.C.D. (0，2]解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴，∴可变为f(log2a)≤f(1)，即f(|log2a|)≤f(1)，又∵在区间[0，+∞)上单调递增，且f(x)是定义在R上的偶函数，∴，即，解得≤a≤2，答案：C.8.(5分)设函数f(x)=e x+x-2，g(x)=lnx+x2-3.若实数a，b满足f(a)=0，g(b)=0，则( )A. g(a)＜0＜f(b)B. f(b)＜0＜g(a)C. 0＜g(a)＜f(b)D. f(b)＜g(a)＜0解析：①由于y=e x及y=x-2关于x是单调递增函数，∴函数f(x)=e x+x-2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2-x的图象，∵f(0)=1+0-2＜0，f(1)=e-1＞0，f(a)=0，∴0＜a＜1. 同理g(x)=lnx+x2-3在R+上单调递增，g(1)=ln1+1-3=-2＜0，g()=，g(b)=0，∴.∴g(a)=lna+a2-3＜g(1)=ln1+1-3=-2＜0，f(b)=e b+b-2＞f(1)=e+1-2=e-1＞0.∴g(a)＜0＜f(b).答案：A.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.(5分)i是虚数单位.复数(3+i)(1-2i)= .解析：(3+i)(1-2i)=3-6i+i-2i2=5-5i.答案：5-5i.10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为，则正方体的棱长为.解析：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=.答案：.11.(5分)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为.解析：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=-2.由题意可得双曲线的一个焦点为(-2，0)，∴c=2.又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2-a2=3.∴双曲线的方程为. 答案：.12.(5分)在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若，则AB的长为 .解析：∵，.∴===+-==1，化为，∵，∴.答案：.13.(5分)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为 .解析：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.所以OA⊥AE，因为AB=AD=5，BE=4，梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，由切割线定理可知：AE2=EB·EC，所以AE==6，在△ABE中，BE2=AE2+AB2-2AB·AEcosα，即16=25+36-60cosα，所以cosα=，AB=AD=5，所以BD=2×ABcosα=.答案：.14.(5分)设a+b=2，b＞0，则的最小值为 .解析：∵a+b=2，∴，∴=，∵b＞0，|a|＞0，∴≥1(当且仅当b2=4a2时取等号)，∴≥1，故当a＜0时，的最小值为.答案：.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(13分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(Ⅰ)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(Ⅱ)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，(i)用产品编号列出所有可能的结果；(ii)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B 发生的概率.解析：(Ⅰ)用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；(Ⅱ)(i)直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；(ii)列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解.答案：(Ⅰ)计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为.从而可估计该批产品的一等品率为0.6；(Ⅱ)(i)在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}共15种.(ii)在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7.则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种.所以p(B)=.16.(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA=3csinB，a=3，.(Ⅰ) 求b的值；(Ⅱ) 求的值.解析：(Ⅰ) 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；(Ⅱ) 利用(Ⅰ)求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值.答案：(Ⅰ)在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1.由余弦定理可知：b2=a2+c2-2accosB，，即b2=32+12-2×3×cosB，可得b=. (Ⅱ)由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B-1=-，sin2B=2sinBcosB=，所以=== .17.(13分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等.D，E，F 分别为棱AB，BC，A1C1的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面A1CD；(Ⅱ)证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.解析：(I)连接ED，要证明EF∥平面平面A1CD，只需证明EF∥DA1即可；(II)欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；(III)先过B作BG⊥AD交A1D于G，利用(II)中结论得出BG⊥面A1CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.答案：(I)三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点.∴A1F=DE，A1F∥DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD(II)∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；(III)过B作BG⊥A1D交A1D于G，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，∴BG⊥面A1CD，则∠BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，在直角△BGC中，sin∠BCG==，∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值. 18.(13分)设椭圆=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点.若=8，求k的值.解析：(I)先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程.(II)直线CD：y=k(x+1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由由消去y得，(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0，再由韦达定理进行求解.求得，利用=8，即可求得k的值.答案：(I)根据椭圆方程为.∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=.∴椭圆的方程为；(II)直线CD：y=k(x+1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由消去y得，(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0，∴x1+x2=-，x1x2=，又A(-，0)，B(，0)，∴=(x1+，y1)·(-x2.-y2)+(x2+，y2)·(-x1.-y1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2，=6+=8，解得k=.19.(14分)已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，且-2S2，S3，4S4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ) 证明.解析：(Ⅰ)由题意得2S3=-2S2+4S4，变形为S4-S3=S2-S4，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；(Ⅱ)根据(Ⅰ)求出，代入再对n分类进行化简，判断出S n随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值.答案：(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，∵-2S2，S3，4S4等差数列，∴2S3=-2S2+4S4，即S4-S3=S2-S4，得2a4=-a3，∴q=，∵，∴=；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，S n==1-，∴，当n为奇数时，==，当n为偶数时，=，∴随着n的增大而减小，即，且，综上，有成立.20.(14分)设a∈[-2，0]，已知函数(Ⅰ) 证明f(x)在区间(-1，1)内单调递减，在区间(1，+∞)内单调递增；(Ⅱ) 设曲线y=f(x)在点P i(x i，f(x i))(i=1，2，3)处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明.解析：(Ⅰ)令，.分别求导即可得到其单调性；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：f′(x)在区间(-∞，0)内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增.已知曲线y=f(x)在点P i(x i，f(x i))(i=1，2，3)处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得.不妨x1＜0＜x2＜x3，根据以上等式可得，从而.设g(x)=3x2-(a+3)x+a，利用二次函数的单调性可得. 由，解得，于是可得，通过换元设t=，已知a∈[-2，0]，可得，故，即可证明.答案：(Ⅰ)令，.①，由于a∈[-2，0]，从而当-1＜x＜0时，，所以函数f1(x)在区间(-1，0)内单调递减，②=(3x-a)(x-1)，由于a∈[-2，0]，所以0＜x＜1时，；当x＞1时，，即函数f2(x)在区间(0，1)内单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增.综合①②及f1(0)=f2(0)，可知：f(x)在区间(-1，1)内单调递减，在区间(1，+∞)内单调递增；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：f′(x)在区间(-∞，0)内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增.因为曲线y=f(x)在点P i(x i，f(x i))(i=1，2，3)处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且.不妨x1＜0＜x2＜x3，由=. 可得，解得，从而.设g(x)=3x2-(a+3)x+a，则.由，解得，所以，设t=，则，∵a∈[-2，0]，∴，故，故.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
（第3题）2013年普通高等学校招生全国统一考试天津卷（文史类数学）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、已知集合{2}A x R x =∈≤，{1}B x R x =∈≤，则A B = （ ） A 、(,2]-∞ B 、[1,2] C 、[2,2]- D 、[2,1]-2、设变量,x y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）A 、7-B 、4-C 、1D 、2 3、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.则输出n 的 值为（ ）A 、7B 、6C 、5D 、4 4、设,a b R ∈，则“2()0a b a -⋅<”是“a b <”的 A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 5、已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ）A 、12-B 、1C 、2D 、126、函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π上的最小值为（ ）A 、1- B、2-C、2D 、0 7、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增. 实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 的取值范围是（ ）A 、[1,2]B 、1(0,]2C 、1[,2]2D 、(0,2]8、设函数()2x f x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-. 若实数,a b 满足()0,()0f a g b ==，则（ ）A 、()0()g a f b <<B 、()0()f b g a <<C 、0()()g a f b <<D 、()()0f b g a <<第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上） 9、i 是虚数单位. 复数(3)(12)i i +-=______；10、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为92π，则正方体的棱长 为______；11、已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______；12、在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点. 若1AC BE ⋅=，则AB 的长为______；13、如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC . 过 点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若5AB AD ==，4BE =，则弦BD 的长为______；14、设2a b +=，0b >，则12a a b+的最小值为______. 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分13分）某产品的三个质量指标分别为,,x y z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S ≤，该产品为一等品. 现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：（第13题）（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率.16、（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c . 已知sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =. （1）求b 的值； （2）求sin(2)3B π-的值.17、（本小题满分13分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，,,D E F 分别为棱11,,AB BC AC 的中点. （1）证明：EF ∥平面1ACD ； （2）证明：平面1ACD ⊥平面11A ABB ； （3）求直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值.18、（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F，离心率为3，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆的方程；（2）设,A B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于,C D 两点，若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值.19、（本小题满分14分）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *∈，且22S -，3S ，44S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：113()6n n S n N S *+≤∈.20、（本小题满分14分）设[2,0]a ∈-，已知函数332(5),0()3,02x a x x f x a x x ax x ⎧-+≤⎪=⎨+-+>⎪⎩.（1）证明()f x 在区间(1,1)-内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增；（2）设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i P x f x i =处的切线相互平行，且1230x x x ≠，证明12313x x x ++>-.（第17题）A。
2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。
每小题5分。
满分40分。
1.D2.A3.D4.A5.C6.B7.C8.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分30分。
9.5-5i 11.2213y x -= 12.12 13.152 14.34三、解答题15.本小题主要考查样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。
考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问题的能力。
满分13分。
其中S ≤4的有1A ，2A ，4A ，5A ，7A ，9A ，共6件，故该样本的一等品率为610=0.6， 从而可估计该批产品的一等品率为0.6.（2）①解：在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{}1,2A A ，{}1,4A A ，{}1,5A A ，{}1,7A A ，{}1,9A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}27,A A ，{}29,A A ，{}45,A A ，{}47,A A ，{}49,A A ，{}57,A A ，{}59,A A ，{}79,A A ，共15种.②解：在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为1A ，2A ， 5A ，7A ，则事件B 发生的所有可能结果为{}1,2A A ，{}1,5A A ，{}1,7A A ，{}25,A A ，{}27,A A ，{}57,A A 共6种。
所以P(B)= 62155=.16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式 、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.满分13分。
（1）解：在ABC ∆中，由s i n a A =sin bB，可得s i n s i n b A a B =,又由s i n 3s i n b A c B =，可得a=3c ，又a=3，故c=1.由2222cos b a c ac B =+-，cos B =23，可得b =（2）解：由cos B =23，得sin B =，进而得cos 2B =22cos 1B -=19-，sin 22sin cos B B B ==.所以sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 2cos 3B πcos 2sin 3B π-=17.本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识。
