高中一元二次不等式解法及其应用

一元二次不等式的解法的应用不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意分式不等式的同解变形有如下几种: (1))()(x g x f ＞0⇔f(x)·g(x)＞0; (2) )()(x g x f ＜0⇔f(x)·g(x)＜0; (3) )()(x g x f ≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0; (4))()(x g x f ≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0. 【例1】 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：21801201x x s +=. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01 km/h ）推进新课【例2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 因为Δ=100＞0，所以方程x 2-110x+3 000=0有两个实数根x 1=50,x 2=60,然后，画出二次函数y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50＜x ＜60}.因为只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益.［知识拓展］【例3】 解不等式(x-1)(x+4)＜0.思路一：利用前节的方法求解.思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号， ∴原不等式的解集是下面两个不等式组⎩⎨⎧+-04,01＜＞x x 与⎩⎨⎧+-0401＞＜x x 的解集的并集，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧+-0401＜＞x x x {∅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-0401＞＜x x x U ∪{x|-4＜x ＜1}={x|-4＜x ＜1}.书写时可按下列格式： 解：∵(x-1)(x+4)＜0⇔⎩⎨⎧+-0401＜＞x x 或⎩⎨⎧+-0401＞＜x x ⇔x ∈∅或-4＜x ＜1⇔-4＜x ＜1， ∴原不等式的解集是{x|-4＜x ＜1}.思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）.②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）x+4 - + +x-1 - - +(x-1)(x+4) + - +③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.点评：此法叫区间法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x1)(x-x 2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式（各项x的符号化“+”），令(x-x)(x-x2)…(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，1两个分界点把数轴分成三部分……②按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）.练习1：解不等式：(1)x 2-5x-6＞0；(2)(x-1)(x+2)(x-3)＞0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.答案：(1){x|x＜2或x＞3}；(2){x|-2＜x＜1或x＞3}；(3){x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)＞0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为-2，1，3；③列表如下：（-∞，-2）（-2，1）（1，3）（3，+∞）x+2 - + + +x-1 - - + +x-3 - - - +各因式积- + - +④由上表可知，原不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞3}.思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y＜0或y＞0的x的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y值的正负不注意其他方面），那么它相对于x轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不等式的解集.由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式，并将各因式x的系数化“+”；②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“＞0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“＜0”,则找“线”在x轴下方的区间.这种方法叫数轴标根法.练习2：用数轴标根法解上述练习1中不等式（1）～（3）.教师书写示范：如第（2）题：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.解：①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)＜0；②求得相应方程的根为-1，0，2，3；③在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图：④原不等式的解集为{x|-1＜x ＜0或2＜x ＜3}. ［合作探究］【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0.解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④原不等式的解集为{x|-1＜x ＜2或2＜x ＜3}.说明：∵3是三重根，∴在C 处穿三次，2是二重根. ∴在B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n ，n 为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.【练习3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如右图：④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如073＜+-x x ，0322322≤--+-x x x x 等都是分式不等式. 由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)[]g(x)的形式.【例5】 解不等式：073＜+-x x . 解法一：化为两个不等式组来解.∵073＜+-x x ⇔⎩⎨⎧+-0703＜＞x x 0或⇔⎩⎨⎧+-0703＞＜x x x ∈∅或-7＜x ＜3-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}.解法二：化为二次不等式来解. ∵073＜+-x x ⇔⎩⎨⎧≠++-070)7)(3(x x x ＜⇔-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}. 点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x≠-7的条件，解集应是{x|-7＜x≤3}.【例6】 解不等式：0322322≤--+-x x x x . 解法一：化为不等式组来解(较繁).解法二：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ⎩⎨⎧≠+-≤+---,0)1)(3(,0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ∴原不等崏的解集为{x|-1＜x≤1或2≤x ＜3}.练习：解不等式253＞+-x x . 答案：{x|-13＜x ＜-5}.［方法引导］讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析閮题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体伜用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层呂铺设的作用，激起学生学习的兴趣＄勇䚎探索的精神.课堂小结1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义.2.求解一般的高次不等式的解法.特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；②注意边界点（数轴上表示时是“。

一元二次不等式的解法的综合应用题一元二次不等式是指一个包含未知数的二次函数不等式，它的解可以通过图像、因式分解、配方法等不同的方法进行求解。

本文将通过综合应用题的方式，探讨一元二次不等式的解法及其应用。

1.电影票问题某电影院的电影票售价为x元，根据市场需求和收益最大化的原则，电影院决定制定不等式来限制票价。

已知场内座位数为500个，观众的平均消费能力为500元，为了提高入场率和营业额，电影院制定了如下不等式：x^2 - 500x < 0解法：首先，将不等式转化为二次函数的形式，即x^2 - 500x < 0，然后求解二次函数的零点：x(x - 500) < 0根据零点法则，我们可以得到两个重要的点：x = 0和x = 500。

接下来，通过判定区间法则，我们可以得到三个区间：(-∞, 0), (0, 500)和(500, +∞)。

然后，选择这些区间中的任意一个点，代入原不等式进行判断。

例如，选择x = 100，代入原不等式得到：100(100 - 500) < 0-40000 < 0由于不等式成立，我们可以得出结论，电影票的价格在(0, 500)的区间内满足需求。

2.优惠活动问题某百货公司决定举办促销活动，现假设购物金额为x元，百货公司依据不同购物金额设置不等式：x^2 - 3000x + 200000 < 0解法：将不等式转化为二次函数的形式，即x^2 - 3000x + 200000 < 0。

然后通过因式分解的方法来解决：(x - 200)(x - 1000) < 0由此可得两个关键点：x = 200和x = 1000。

利用判定区间法则，我们可以得到三个区间：(-∞, 200), (200, 1000)和(1000, +∞)。

选择其中一个区间的点，例如x = 300，代入原不等式进行判断：(300 - 200)(300 - 1000) < 0-200000 < 0结合不等式的前提条件，我们可以得出结论，在(200, 1000)的范围内购物金额可以享受促销优惠。

一元二次方程与不等式的解法一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠ 0。

而不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c ≤ 0的不等关系，其中a、b、c为实数且a≠ 0。

本文将探讨一元二次方程与不等式的解法，并分析其应用场景。

一、一元二次方程的求解方法一元二次方程的解法主要有图像法、配方法、公式法和因式分解法等，在不同的情况下可以选择相应的方法进行求解。

1. 图像法图像法主要通过绘制函数y = ax^2 + bx + c的图像，通过观察函数与x轴的交点来确定方程的解。

当图像与x轴相交于两个点时，方程有两个实根；当图像与x轴相交于一个点时，方程有一个实根；当图像与x轴不相交时，方程无实根。

2. 配方法配方法是通过将一元二次方程的形式转化为一个完全平方的形式，并借助平方根的性质来求解。

具体步骤如下：- 首先，将方程的三项按照平方根的部分进行配方，即将bx项除以2并平方。

- 其次，将方程两边的式子按照平方差公式进行整理，并将两项的平方根合并。

- 最后，通过开平方根运算，得到方程的解。

3. 公式法公式法是通过一元二次方程的根与系数之间的关系，直接利用求根公式来求解方程。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个相反的根。

4. 因式分解法因式分解法主要适用于一元二次方程可以进行因式分解的情况，即方程的三项均可以被因式分解为两个一次项的乘积。

通过将方程进行因式分解，得到每个因式等于零的条件，并解得方程的根。

二、不等式的解法不等式的解法主要有图像法、代数法和数线法等，根据不同的不等式形式选择相应的方法进行求解。

1. 图像法图像法同样通过绘制不等式对应的函数曲线，观察函数曲线与坐标轴的关系来确定不等式的解。

一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。

在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。

本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。

一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。

步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。

步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。

通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。

步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。

根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。

步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。

如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。

通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。

二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。

下面我们将介绍一些具体的应用案例。

1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。

例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。

通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。

2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。

例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。

一元二次不等式一元二次不等式是数学中常见的一种形式，它可以描述一个二次函数与一个常数之间的关系。

本文将探讨一元二次不等式的基本概念、解法以及一些相关的应用。

一、基本概念一元二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 （或 < 0 或≥ 0 或≤ 0）的不等式，其中 a、b、c 是实数（a ≠ 0）。

在解一元二次不等式之前，我们需要了解一些基本概念。

1. 判别式对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，判别式Δ = b^2 - 4ac 是一个重要的指标。

当Δ > 0时，方程有两个不等的实数解；当Δ = 0 时，方程有一个实数解；而当Δ < 0 时，方程无实数解。

2. 开区间与闭区间在解一元二次不等式时，我们需要用到开区间和闭区间的概念。

开区间 (a, b) 表示实数 x 的取值范围为 a < x < b；闭区间 [a, b] 表示实数 x 的取值范围为a ≤ x ≤ b。

在计算中，根据具体问题选择合适的区间。

二、解一元二次不等式为了解一元二次不等式，我们分为三种情况进行讨论：开口向上的情形、开口向下的情形和特殊情形。

1. 开口向上的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c > 0，其中 a > 0。

为了求解此类不等式，首先我们需要求出二次函数的零点，即求解方程 ax^2 + bx + c = 0。

当方程有实数解时，我们可以得到两个实数根 x1 和 x2。

然后，我们在这两个实数根的左右两侧进行讨论，确定不等式的解集。

2. 开口向下的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c < 0，其中 a < 0。

与开口向上的情形类似，我们也需要先求解二次函数的零点，并在零点的左右两侧进行讨论。

3. 特殊情形特殊情况指的是不等式的判别式Δ = 0 或Δ < 0。

当Δ = 0 时，不等式有一个实数解，解集为该实数解所在的点；当Δ < 0 时，不等式无实数解，解集为空集。

一元二次不等式一元二次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式题型一、解一元二次不等式1.一元二次不等式的解法（大于取两边，小于取中间）(1)通过对不等式的变形，使不等式右边为0，左边二次项系数为正 (2)对不等式的左边进行因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式;(3)求出相应一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实数根; (4)画出对应的二次函数的简图 (5)根据图象写出不等式的解集，例1. 02532<--x x 263-2≤+x x 091242>+-x x 01062>-+-x x 02322>--x x 0532>+-x x题型二、含参数的一元二次不等式及其解法—1.解含参数的不等式时，应对参数进行讨论(1)以二次项系数是否为0进行讨论，以确定不等式是否为元二次不等式(2)转化为标准形式(即右边为0，左边二次项的系数为正数)后，再对判别式与0的大小作为分类标准进行讨论;(3)如果判别式大于0，但对应方程的两实根的大小还不能确定，此时，再以两实数根大小为分类标准进行讨论2.含参数的不等式的解题步骤(1)将二次项系数转化为正数(2)判断对应的二次方程是否有根(如果可以直接分解因式，此步可省去)…(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异实根，要分析两根的大小)注意1.当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0这决定了不等式是否为二次不等式2.含参数的一元二次不等式的讨论顺序为:(1)二次项系数;(2)判别式;(3)若有实数根，两实数根的大小顺序3.对参数的讨论还应注意以下几个方面:(1)对参数分类时，要目标明确，讨论时要不重不漏;(2)最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为空集时，也是其中一类，不要随便丢掉4.并不是所有含有参数的不等式都要进行分类讨论例1. ;例2.解关于x 的不等式：05622<--a ax x例3. 解关于x 的不等式：0)(322>++-a x a a x变式练习：1.解关于x 的不等式：x x a 2)1(2≥+2. 解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax~题型三、三个“二次”的应用方法规律：给出了一元二次不等式的解集，则可知a 的符号和02=++c bx ax 的两实根，由根与系数的关系可知a ，b ，c 之间的关系(1) 如果不等式02>++c bx ax 的解集为{}e x d x <<，则说明a ＜0，ex d x ==21,分别为方程2=++c bx ax 的两根；若解集为{}e x d x x ><或，则说明a>0,e x d x==21,分别为02=++c bx ax 的两根(2) 如果不等式的解集为02<++c bx ax {}e x d x <<，则说明a>0，e x d x ==21,分别为02=++c bx ax 的两根，若解集为{}ex d x x ><或，则说明a<0,e x d x ==21,分别为02=++c bx ax 的两根例1. 已知不等式{}21022><>+-x x x bx ax 或的解集为，求a,b 的值*例2. 若不等式{}的解集。

一元二次不等式是高中数学中的一个重要知识点，它与一元二次方程和二次函数密切相关。

以下是一元二次不等式的知识点概括：
一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。

一般形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0（a≠0）。

一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解法与一元二次方程的解法密切相关，通过求解一元二次方程，可以得到一元二次不等式的解集。

一元二次不等式的应用：一元二次不等式可以应用于很多领域，例如物理学、工程学、经济学等。

一元二次不等式的图像：一元二次不等式的图像是一个抛物线，根据抛物线的开口方向和与x轴的交点，可以确定一元二次不等式的解集。

一元二次不等式的解集：一元二次不等式的解集通常是一个区间或几个区间的组合，根据一元二次不等式的图像和开口方向，可以确定解集的范围。

一元二次不等式的符号规则：一元二次不等式的符号规则与一元二次方程相同，即当判别式△>0时，不等式的解集为两个区间；当判别式△=0时，不等式的解集为一个区间；当判别式△<0时，不等式的解集为空集。

一元二次不等式的实际应用：一元二次不等式可以应用于很多实际问题中，例如求解函数的极值点、最值点，求解物理中的速度、加速度等问题。

以上是一元二次不等式的主要知识点概括，掌握这些知识点可以帮助学生更好地理解一元二次不等式的概念和应用。