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3.1正整数指数函数一、学习目标：(1) 结合实例,了解正整数指数函数的概念．(2)能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质．二、重点:正整数指数函数的定义．难点：正整数指数函数的解析式的确定．三、学习过程(一) [过程1]：（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;（2）用图像表示1个细胞分裂的次数n()与得到的细胞个数y之间的关系;（3）写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式,试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．解:（1）利用正整数指数幂的运算法则,可以算出1个细胞分裂1,2,3,4,5,6,7,8次后,得到的细胞个数（2）1个细胞分裂的次数与得到的细胞个数之间的关系可以用图像表示,它的图像是由一些孤立的点组成（3）细胞个数与分裂次数之间的关系式为,用科学计算器算得,所以细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别为32768和1048576．探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数? 细胞个数随着分裂次数发生怎样变化?你从哪里看出?小结：从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是底数为2的指数,而且指数是变量,取值为正整数．细胞个数与分裂次数之间的关系式为．细胞个数随着分裂次数的增多而逐渐增多．[过程2]：电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q00．9975 t,其中Q0是臭氧的初始量,t是时间(年),这里设Q0=1．（1）计算经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q；（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；（3）试分析随着时间的增加,臭氧含量Q是增加还是减少．解:（1）使用科学计算器可算得,经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q的值分别为0．997520=0．9512, 0．997540=0．9047, 0．997560=0．8605, 0．997580=0．8185, 0．9975100=0．7786; （2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化如图所示,它的图像是由一些孤立的点组成．（3）通过计算和观察图形可以知道, 随着时间的增加,臭氧含量Q在逐渐减少．探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别又是什么?此函数是什么类型的函数?,臭氧含量Q随着时间的增加发生怎样变化?你从哪里看出?小结：从本题中可以看出我们得到的臭氧含量Q都是底数为0．9975的指数,而且指数是变量,取值为正整数．臭氧含量Q近似满足关系式Q=0．9975t,随着时间的增加,臭氧含量Q 在逐渐减少．[过程3]：上面两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?为什么?正整数指数函数的定义:一般地,函数叫作正整数指数函数,其中是自变量,定义域是正整数集．说明: 1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．（二）、例：某地现有森林面积为1000,每年增长5%,经过年,森林面积为．写出,间的函数关系式,并求出经过5年,森林的面积．分析:要得到,间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出,间的函数关系式．解: 根据题意,经过一年, 森林面积为1000(1+5%);经过两年, 森林面积为1000(1+5%)2;经过三年, 森林面积为1000(1+5%)3;所以与之间的函数关系式为,经过5年,森林的面积为1000（1+5%）5=1276．28(hm2)．练习:课本练习1,2思考题:高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n与y之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少?解：一个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%),二个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)2;,三个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)3,…, n个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)n; 所以n与y之间的关系为y=2000(1+2．38%)n (n∈N+),一年后他全部取回,他能取回的钱数为y=2000(1+2．38%)12．补充练习:某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少?（三）、小结：1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．。
《指数函数》教学案例一、相关背景介绍指数函数是高中引进的第一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。
课标要求理解指数函数的概念和意义，能借助计算机画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。
本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。
二、本节课教学目标1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是01a <<，1a >的性质。
3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.4.重难点：(1)指数函数的定义、图象、性质(2)指数函数的描绘及性质三、课堂教学实录一.问题情景问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次以后,得到的细胞个数y 与x 有怎样的关系.问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x 次后绳子剩余的长度为y 米,试写出y 与x 之间的关系.二.学生活动1.思考问题1,2给出y 与x 的函数关系?2.观察得到的函数2x y =,12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2y x =的区别. 3.观察函数2x y =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与x y a =的相同特点.三.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4(22=)个细胞,分裂三次得到8(32=),所以分裂x 次以后得到的细胞为2x 个,即y 与x 之间为y 2x =.[生2]:第一次剩下绳子的12,第二次剩下绳子的14(212=),第三次剩下绳子的18 (312=),那么剪了x 次以后剩下的绳长为12x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （学生说完后在屏幕上展示这两个式子）[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?[生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.[师]:（接着把2y x =打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在形式上与函数2y x =有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而2y x =的自变量在底上.[师]:那么再观察一下y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数x y a =有什么相同点? [生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型xy a =就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）定义:一般地,函数x y a =(0,1a a >≠)叫做指数函数,它的定义域是R .概念解析1:[师]:同学们思考一下为什么x y a =中规定0,1a a >≠?(引导学生从定义域为R 的角度考虑).（先把0a =，0a <，1a =显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）[生]:⑴若0a =,则当0x =时,00x a = 没有意义.⑵若0a <,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:12(2)-=⑶若1a =,则1x a =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了. 所以,我们规定指数函数的底0,1a a >≠.[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题１．已知函数(32)x y a =-为指数函数，求a 的取值范围．（屏幕上给出问题）[生]:由于32a -作为指数函数的底因此必须满足：232033210a a a a ⎧->>⎧⎪⇒⎨⎨-≠⎩⎪≠⎩ 即2|03a a a ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 概念解析２:[师]:我们知道形如x y a =（0,1a a >≠）的函数称为指数函数．通过观察我们发现： ⑴x a 前没有系数，或者说系数为１．既1x a ⋅；⑵指数上只有唯一的自变量x ；⑶底是一个常数且必须满足：0,1a a >≠．那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题２）问题2．⑴(0.2)x y =，⑵(2)x y =-，⑶x y e =，⑷1()3xy = ⑸1x y =，⑹23x y =⋅，⑺3x y -=，⑻22x x y +=[生１]:（答）⑴⑶⑷为指数函数．⑵⑸⑹⑺⑻不是．[生２]: 我不同意，⑺应该是指数函数，因为133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭． [师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数．所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质．[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质．根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？[生]:（共同回答）列表，描点，连线． [师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象．（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）[师]:那么我们下面就作出函数：2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）[生１]:函数的定义域都是一切实数R ，而且函数的图象都位于x 轴上方．[师]:函数的图象都位于x 轴上方与x 有没有交点？随着自变量x 的取值函数值的图象与x 轴是什么关系？[生１]:没有．随着自变量x 的取值函数的图象与x 轴无限靠近．[师]:即函数的值域是：(0,)+∞．那么还有没有别的性质？[生２]:函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭、13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，函数2x y =、3x y =是减函数． [师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此要说明是在哪个范围内．又110,123<<，12,3<那么上述的结论可以归纳为： [生２]:当01a <<时，函数x y a =在R 上是减函数，当1a >时，函数x y a =在R 上是增函数．[师]:很好，请做！（提问［生３］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？[生３]:当自变量取值为０时，所对的函数值为１．一般地指数函数x y a =当自变量x 取０时，函数值恒等于１．[师]:也就是说指数函数恒过点(0,1)，和底a 的取值没有关系．那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x 之间有什么关系？[生3]:由图象可以发现：当01a <<时，若0x >，则0()1f x <<；若0x <，则1()f x <.当1a >时，若0x >，则()1f x >；若0x <，则0()1f x <<.[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?[生4]: 函数2x y =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,函数3x y =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.[师]:由此我们得到一般的结论, 函数x y a =与xy a -=的图象关于y 轴对称.[师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.巩固与练习１根据指数函数的性质，利用不等号填空．（在屏幕上给出练习，让学生口答）⑴()345 0，⑵15- 0，⑶07 0，⑷()4249- 0，⑸()223 1，⑹()479- 1，⑺110- 1，⑻36 1．注：这部分知识主要考察了指数函数的值域和对性质：当01a <<时，①若0x >，则0()1f x <<②若0x <，则1()f x <；当1a >时①若0x >，则()1f x > ②若0x <，则0()1f x <<的应用．这个知识点是比较重要的部分在后面的比较大小中常常用到，所以在这个地方给出这样的一个巩固练习还是很有必要的．四.数学运用例1.比较大小⑴ 2.5 3.21.5,1.5 ⑵ 1.2 1.50.5,0.5-- ⑶0.3 1.21.5,0.8分析：［师］：前面我们讲了指数函数，好象和这个比大小没有关系．这几个也不是函数那怎么比较大小呢？先不考虑这个上面讲的性质哪个可以和大小联系起来呢？［生］：单调性和大小有关，我们可以借助于指数函数的单调性老考虑，要比较大小的两个数可以看成指数函数() 1.5x f x =当x 取2.5,3.2时对应的函数值，再根据() 1.5x f x =在(),-∞+∞是单调增的就可以比较大小了．即：解: ⑴考虑指数函数() 1.5x f x =.因为1.51>所以() 1.5x f x =在R 上是增函数.因为2.53.2<所以2.53.21.5 1.5<［师］：很好，充分运用了指数函数的性质．下面的两个小题请两个同学上来板书．也是利用指数函数的性质．⑵考虑指数函数()0.5x f x =.因为00.51<<所以() 1.5x f x =在R 上是减函数.因为1.2 1.5->-所以1.2 1.50.50.5--<⑶由指数函数的性质知0.301.5 1.51>=，而1.200.80.81<= 所以0.3 1.21.50.8>［师］：第⑵小题和⑴一样直接借助单调性即可解题，第⑶小题在考虑是就发现单调性不能直接应用，两个底不一样．但是借助一个中间变量１就可以把问题解决了．例2．⑴已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；⑵已知0.225x <，求实数x 的取值范围．解：⑴因为31>，所以指数函数()3x f x =在R 上是增函数．由0.533x ≥，可得0.5x ≥，即x 的取值范围为[)0.5,+∞ ⑵因为00.21<<所以指数函数()0.2x f x =在R 上是减函数，因为221250.25--⎛⎫== ⎪⎝⎭所以 20.20.2x -<由此可得2x >-，即x 的取值范围为()2,-+∞．五.回顾小结x y a =（0,1a a >≠），x R ∈）．要能根据概念判断一个函数是否为指数函数． ２．指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）．３．利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象．教学反思：本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能力，特别是研究问题能力为重点的教学思想。
正整数指数函数 教案一、 教学内容的分析1.教材所处的地位和作用本节课是北师大版教材必修一第三章第一节第一课时（3.1.1）《正整数指数函数》，是在学习了“正整数指数幂”、“函数的概念”的基础上展开的，学生已有了大量生活体验，他们熟悉的增长问题，复利问题等都可以归结为正整数指数函数。
本节课还为后续学习“指数函数”和“数列”作铺垫，在知识体系中起到了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，是对学生进行情感价值观教育的好素材。
2.学情分析我们在前两章学习了集合与函数的概念，进一步深化了函数的概念与定义方法，为本节课的学习打好了基础。
但应用函数的思想解决实际问题的能力还很弱，所以应二、教法学法分析1.教法分析结合学情及知识特点，进一步落实数学学科核心素养，本节课我采用设问--合作--讨论式教学方法，配合多媒体等辅助教学，在知识的生成和应用（一）情景引入、复习导入指数爆炸一张纸对折一次，厚度变成原来的2倍。
再对折第二次，变为原来的2的2次方倍即4倍。
以此类推，假设纸的厚度为0.1mm，则对折24次以后，长度超过1千米；对折39次达55000千米，超过地球赤道长度；对折42次达44万千米，超过地球至月球的距离；对折51次达22亿千米，超过地球至太阳的距离；对折82次为51113光年，超过银河系半径的长度。
教师引入事例，激发学生学习的兴趣。
探究1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，……一直分裂下去.（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；（2）用图像表示1个细胞分裂次数n与得到的细胞个数y之间的关系；（3）写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数.〈三〉知识应用、巩圄提高例1某地现有森林面积为1000h m z，每年增长5%.经过x (xεN ＋）年，森林面积为y h m 2写出x,y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积．解：y与x之间的函数关系式为y = 1000(1 + 5%）正（x EN +) 经过5年，森林的面积为1000(1十5%)5二1276.28(hm 2).（答略〉例2已知锚经过100年剩留原来质量的95.76 % 设质量为1的错经过x年后的剩留量为y，求y关于x的函数解析式．解：设经过1年，锚剩留原来质量的a%则y ＝（孟）正，问＋）fo 寸I F、J AY AV －∞ 飞飞Ill－lJ G －m ／F『Ill－－今．（． …一···一二＝0.9576100.1 100’ • •• y = 0.9576100, (x EN +) （答略）（四）课堂小结、反思提高1，正整数指数函数的定义、图像特征。
2019-2020学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.1 正整数指数函数教案3 北师大版必修1教学目标：了解正整数指数函数模型的实际背景。
了解正整数指数函数的概念。
理解具体的正整数指数函数的图象特征及函数的单调性。
借助科学计算器、计算机的运算功能，计算一些正整数指数函数值。
教学重点：正整数指数函数的概念，函数图象的特征。
教学难点：正整数指数函数图象的特征。
授课类型：新授课教学过程：一、新课引入1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为2%，到2010年底人口将达到多少亿？（取181.02 1.43=）为解决这个问题，我们必须建立相应的数学模型、函数关系式，设年数为x ，人口数为y ，则x y =54.8(1+2%)其中我们给x y =(1+2%)起个名字为正整数指数函数引出本节课题。
二、新课讲授问题1 某细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂成4个……一直分裂下去。
① 列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数； ② 用图象表示1个细胞分裂次数n 与得到细胞个数y 之间的关系；③ 写出y 与n 之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数。
师生共同讨论,并指出其定义域及函数图象的特点（单调性）问题 2 电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气的臭氧层，臭氧含量Q 近似的满足00.9975t Q Q =⋅其中0Q 是臭氧的初始量，t 是时间（年）。
这里设0Q =1 （1）计算经过20、40、60、80、100年，臭氧的含量Q（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q 的变化；（3）试分析随着时间的增加，臭氧含量Q 是增加还是减少。
解 （1）使用科学计算器可以算得，经过20、40、60、80、100年后，臭氧含量Q 分别是：204060801000.99750.95120.99750.90470.99750.86050.99750.81850.99750.7786=====（3）由图像可知：随着时间的增加，臭氧的含量逐渐减少小结：从上述的两个问题的讨论和分析，老师给出正整数指数函数概念：对于2()n y n N +=∈， 0.9975t Q = (t N +∈)我们可以用更一般的式子来表示，用a 取代2（a ＞0），用x 取代n （x N +∈）则上式可以表示为x y a =（a ＞0，a ≠1，x N +∈）我们称这样的函数为正整数指数函数，其中定义域为x N +∈，即正整数集，正因为其定义域为正整数，所以我们称之为正整数指数函数。
一般高中课程标准实验教科书数与对数函数§[北师版 ] –必修 1 第三章正整数指数函数（教案）指数函[ 学目 ]1、知与技术（1）合例 , 认识正整数指数函数的观点．（2）能求出正整数指数函数的分析式, 一步研究其性．2、程与方法（1）借助例 , 认识正整数指数函数 , 领会从详细到一般 , 从个到整体的研究程和研究方法．（2）从像上察领会正整数指数函数的性, 一章的学作好．3、感情．度与价通学正整数指数函数领会学指数函数的重要意, 增学研究函数的极性和自信心．[学要点 ]:正整数指数函数的定．[学点 ]：正整数指数函数的分析式确实定．[ 学教具 ]：直尺、多媒体[学方法 ]：学生察、思虑、研究．[学程 ]【新入】[ 互程1]1．某种胞分裂, 由 1 个分裂成 2 个 ,2 个分裂成 4 个⋯向来分裂下去．（ 1）你用列表表示 1 个胞分裂次数分1,2,3,4,5,6,7,8,获得的胞个数;（ 2）你用像表示 1 个胞分裂的次数n（n N ）与获得的胞个数 y 之的关系 ;（ 3）你写出获得的胞个数y 与分裂次数n 之的关系式, 用科学算器算胞分裂15 次、 20 次获得的胞个数．分裂次数胞个数研究 : 从本中获得的函数来看, 自量和函数分是什么?此函数是什么型的函数 ?胞个数 y 跟着分裂次数 n 生怎化?你从哪里看出?小：从本中能够看出我获得的胞分裂个数都是___________数 , 并且 ___________是量 , 取 ________数．胞个数y与分裂次数n 之的关系式_______________胞个数 y 跟着分裂次数n 的增加而逐___________．[ 互程2]2．冰箱使用的氟化物的放损坏了大气上t的臭氧层 , 臭氧含量Q近似知足关系式Q=Q00． 9975,（1）计算经过 20,40,60,80,100 年 , 臭氧含量 Q;（2）用图像表示每隔 20 年臭氧含量 Q的变化 ;（3）试剖析跟着时间的增添 , 臭氧含量 Q是增添仍是减少．研究 : 从此题中获得的函数来看, 自变量和函数值分别又是什么?此函数是什么种类的函数?, 臭氧含量 Q跟着时间的增添发生如何变化?你从哪里看出 ?小结：从此题中能够看出我们获得的臭氧含量Q都是 ______________数 , 并且 ________ 是变量 , 取值为 _______ 数．臭氧含量Q 近似知足关系式 ____________________ 跟着时间的增添 , 臭氧含量 Q在渐渐 _________________ ．[ 互动过程 3]上边两个问题所得的函数有没有共同点?你能一致吗 ?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?为何 ?正整数指数函数的定义:一般地 , 函数 _____________________________ 叫作正整数指数函数 , 此中 _________是自变量 , 定义域是 ________________________ ．说明 : 1 ．正整数指数函数的图像是_____________, 这是由于 ___________________ ．2．在研究增添问题、复利问题、质量浓度问题中常有这种函数．例题 : 某地现有丛林面积为1000 hm2 , 每年增添5%,经过x（x N）年 , 丛林面积为y hm2．写出x,y 间的函数关系式,并求出经过 5 年 , 丛林的面积．剖析 : 要获得x , y间的函数关系式, 能够先一年一年的增添变化, 找出规律 , 再写出x , y 间的函数关系式．解:练习 : 课本练习1,2增补例题 : 高一某学生家长昨年年末到银行存入2000 元, 银行月利率为2． 38%,那么假如他第 n 个月后从银行所有取回 , 他应取回钱数为 y, 请写出 n 与 y 之间的关系 , 一年后他所有取回 , 他能取回多少 ?8%的速度递加, 今年的年产值为200 万元 , 那么第n 年后该增补练习 : 某工厂年产值逐年按厂的年产值为多少?课后作业 : 课本习题3-1 1,2,3。
§1 正整数指数函数1．理解正整数指数函数的概念，会求正整数指数函数的值域． 2．掌握正整数指数函数的性质及应用．正整数指数函数(1)定义：一般地，函数y ＝_______(a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数．其中x 是______(x 在指数位置上)，底数a 是常数．(2)定义域：__________.(3)正整数指数函数的图像是一群__________的点，且都位于x 轴的__________． 【做一做1－1】 下列函数是正整数指数函数的为( )．A ．y ＝－2x (x ∈N ＋)B ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝x 2(x ∈N ＋)D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ∈N ＋) 【做一做1－2】 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x (x ∈N ＋)，则f (2)＝__________.答案：1．(1)a x 自变量 (2)N ＋ (3)孤立 上方 【做一做1－1】 D 【做一做1－2】491．在正整数指数函数的定义中，为什么限定底数的范围为a ＞0且a ≠1?剖析：(1)若a ＝0，则由于x ∈N ＋，则a x ＝0，即a x 是一个常量，没有研究的必要． (2)若a ＜0，则在正整数指数函数的定义直接扩充到指数函数的定义时对于x 的某些取值，a x 无意义，即不利于定义的扩充，这是因为{正整数指数函数}{指数函数}，即正整数指数函数是指数函数的特例．(3)若a ＝1，则对于任意x ∈N ＋，a x ＝1，即a x 是一个常量，没有研究的必要．为了避免出现上述各种情况，所以规定a ＞0且a ≠1，在规定以后，对于任意x ∈N ＋，a x 都有意义，且a x ＞0.2．为什么正整数指数函数的图像不是曲线？剖析：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N ＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来．也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．例如：正整数指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ∈N ＋)的图像如图所示．题型一 判断正整数指数函数【例1】 若x ∈N ＋，下列哪个函数是正整数指数函数？ (1)y ＝(－2)x ；(2)y ＝x 3；(3)y ＝7×2x ；(4)y ＝(13)x ；(5)y ＝(π－1)x .分析：只需判断函数的解析式是否符合形式y ＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)即可． 反思：根据函数的解析式判断是否为正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征：a x 前的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a ＞0，a ≠1.要注意正整数指数函数与幂函数y ＝x α(α是常数)的区别．题型二 正整数指数函数的性质【例2】 画出正整数指数函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像，并指出其单调性和值域．反思：正整数指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)的值域是{a ，a 2，a 3，…}．当a ＞1时，为增函数，当0＜a ＜1时，为减函数．题型三 实际应用中的正整数指数函数【例3】 已知镭每经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x 百年后剩留量为y 克(其中x ∈N ＋)，求y 与x 之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．(可以用计算器)分析：把100年看成一个基数，然后看每经过100年镭的质量的变化，归纳出函数关系式．反思：通常利用归纳法求实际应用中的正整数指数函数型的解析式．答案：【例1】 解：(1)y ＝(－2)x 的底数小于0，不是正整数指数函数． (2)y ＝x 3中自变量x 在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数．(3)y ＝7×2x 中2x 的系数等于7，是正整数指数型函数，不是正整数指数函数． (4)(5)是正整数指数函数．【例2】 解：列表，描点作图，如图所示.x 1 2 3 … y3927…单调性：函数y ＝3x (x ∈N ＋)是增函数． 值域是：{3,32,33，…}．【例3】 解：镭原来质量为20克； 100年后镭的质量为20×95.76%(克)； 200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)； 300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)； ……x 百年后镭的质量为20×(95.76%)x (克)． ∴y 与x 之间的函数关系式为 y ＝20×(95.76%)x (x ∈N ＋)．∴经过1 000年(即x ＝10)后镭的质量为 y ＝20×(95.76%)10≈12.97(克)．1 若x ∈N ＋，下面几个函数中，是正整数指数函数的是( )． A ．y ＝x 4 B ．y ＝－2x C ．y ＝(－2)x D ．y ＝πx 2函数y ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭(x ∈N ＋)的值域是( )．A ．RB ．R ＋C ．N D.23111,,,222⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭3 函数y ＝43x⎛⎫⎪⎝⎭(x ∈N ＋)是( )．A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数 4 已知f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)的图像过点(3,64)，则f (2)＝________. 5 一种产品的成本原来是220元，在今后10年内，计划使成本每年比上一年降低20%，写出成本y 随经过年数x 变化的函数关系式．答案：1．D 2.D 3.A4．16 由题意，得a 3＝64，∴a ＝4. ∴f (x )＝4x .∴f (2)＝42＝16.5．分析：归纳出函数关系式．解：每年的成本是上一年的1－20%＝80%＝0.8. 当x ＝1时，y ＝220×0.8；当x＝2时，y＝220×0.8×0.8＝220×0.82；当x＝3时，y＝220×0.82×0.8＝220×0.83；……所以成本y与年数x的函数关系式为y＝220×0.8x(x＝1,2,3，…10)．。
3.1 正整数指数函数1. 了解正整数指数函数模型的实际背景．2. 了解正整数指数函数的概念．(重点)3. 理解具体的指数函数的图像特征．(重点)4. 会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理正整数指数函数的概念阅读教材P61～P63有关内容，完成下列问题．1. 一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.2. 正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．3. 当0<a<1时，y＝a x(x∈N＋)是减函数，当a>1时，y＝a x(x∈N＋)是增函数．4. 指数型函数把形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正整数指数函数的定义域为N.( )(2)正整数指数函数的图像是间断的．( )(3)函数y＝2·3x，x∈N＋是正整数指数函数．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)×[小组合作型](1)A ．y ＝10x ＋1，(x ∈N ＋) B ．y ＝(－2)x，(x ∈N ＋)C ．y ＝5·2x，(x ∈N ＋)D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，(x ∈N ＋)(2)函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是正整数指数函数，则a ＝________. 【精彩点拨】 明确正整数指数函数的结构形式是求解本例的关键． 【尝试解答】 (1)A 中y ＝10x ＋1的指数为x ＋1，而不是x ，故不是正整数指数函数；B 中y ＝(－2)x的底数－2<0，故不是正整数指数函数； C 中y ＝5·2x的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；D 中y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x符合正整数指数函数的定义．(2)由正整数指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或1，a >0，a ≠1，∴a ＝2.【答案】 (1)D (2)21. 正整数指数函数解析式的基本特征：a x前面的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a 是大于零且不等于1的常数．2. 要注意正整数指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)与幂函数y ＝x a的区别．[再练一题]1. 正整数指数函数f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (x )＝______.【导学号：04100039】【解析】 设f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，∴a 2＝12，∴a ＝22，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x，x ∈N ＋. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫22x，x ∈N ＋(1)画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x(x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y ＝3x(x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性．【精彩点拨】 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N ＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．【尝试解答】 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ∈N ＋)的图像如图①所示，从图像可知，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ∈N ＋)是单调递减的．(2)函数y ＝3x(x ∈N ＋)的图像如图②所示，从图像可知，函数y ＝3x(x ∈N ＋)是单调递增的．① ②1. 正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．2. 当0<a <1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是减函数；当a >1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是增函数．[再练一题]2. 若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的定义域为{1,2,3,4,5}，则函数的值域为________．【解析】 当x ＝1时，f (x )＝13，当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，当x ＝3时，f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，当x ＝4时，f (4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181，当x ＝5时，f (5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1243.所以函数f (x )的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19，127，181，1243.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19，127，181，1243[探究共研型]探究1 你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？用图像表示呢？【提示】探究 2 请你写出探究1中得到的细胞个数y 与分裂次数n 之间的函数关系式． 【提示】 细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式为y ＝2n，n ∈N ＋.雾霾对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多，据不完全统计，某地从2009年到2013年间平均每年上升2%.若按这个增长率进行研究，设从2008年开始经过x (x ∈N ＋)年，患呼吸道疾病的人数为y 人，若2013年患病人数为11万人：(参考数据1.023≈1.06,1.025≈1.1)(1)试计算出2008年患呼吸道疾病的人数；(2)写出x ，y 之间的关系式，并计算2016年患呼吸道疾病的人数． 【精彩点拨】 利用正整数指数型函数模型，列出关系式，计算．【尝试解答】 (1)设2008年患病人数为a 万人，则a (1＋2%)5≈11，即a ×1.025≈11. ∵1.025≈1.1，∴a ≈10(万人)，∴2008年患呼吸道疾病的人数约10万人． (2)2009年患病的人数为10(1＋20%)，2010年患病的人数为10(1＋20%)＋10(1＋2%)×2%＝10(1＋2%)2， 2011年患病的人数为10(1＋20%)2＋10(1＋2%)2×2%＝10(1＋2%)3. …x 年后患病的人数为10(1＋20%)x .故y ＝10(1＋2%)x ＝10×1.02x(x ∈N ＋)，在2016年，x ＝8，故患病人数y ≈10×1.028＝10×1.025×1.023≈10×1.1×1.06＝11.66(万人)．∴2016年患呼吸道疾病的人数约11.66万人．1. 由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．2. 在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值或总产量y ，可以用公式y ＝N (1＋p )x表示．[再练一题]3. 日本福岛核电站爆炸中释放的碘131不断衰变，每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y 随时间x (周期)变化的函数解析式．【解】 设这种物质最初的质量是1，经过x 个周期，剩留量是y . 经过1个周期，剩留量y ＝1×50%＝0.51； 经过2个周期，剩留量y ＝(1×50%)×50%＝0.52； …经过x 个周期，剩留量y ＝0.5x(x ∈N ＋).1. 给出下列函数：①y ＝πx；②y ＝4－x；③y ＝x 3；④y ＝(1－2)x.当x ∈N ＋时，是正整数指数函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由正整数指数函数的定义，知①y ＝πx，②y ＝4－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 是正整数指数函数．【答案】 B2. 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈N ＋是( )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数【解析】 正整数指数函数，不具备奇偶性，故C 、D 错误，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈N ＋的底数0<12<1，故此函数是减函数．【答案】 B3. 指数型函数y ＝2x，x ∈{1,2,3,4,5}的值域为________． 【解析】 当x ＝1,2,3,4,5时，y ＝2,4,8,16,32， 故y ＝2x，x ∈{1,2,3,4,5}的值域为{2,4,8,16,32}． 【答案】 {2,4,8,16,32}4. 某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x ，则求两次降价的百分率列出的方程为________．【导学号：04100040】【解析】 由题意，两次降价后的药品价格满足100(1－x )2＝81. 【答案】 100(1－x )2＝815. 由于某款手机的制作成本不断降低，若五年内每年手机价格降低原来的13，设现在的手机价格为8 100元．(1)写出手机价格y 随年数x 的变化的关系式，并写出定义域； (2)画出其函数图像．【解】 (1)y ＝8 100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13x ＝8 100⎝ ⎛⎭⎪⎫23x(1≤x ≤5，x ∈N ＋)，∴y 与x 的关系式是y ＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫23x.其定义域为{x |1≤x ≤5，x ∈N ＋}． (2)作图：。
《正整数指数函数》《正整数指数函数》是北师大教版高中数学（必修一）第三章“指数函数和对数函数”的第一节内容，是在学习了第二章函数内容之后编排的。
通过本节课的学习，既可以对函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习指数函数的性质打下坚实的概念和图像基础，为初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，有着不可替代的重要作用。
此外，《正整数指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、存款、贷款利率的计算、环境保护等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。
本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。
【知识与能力目标】1、结合实例，了解正整数指数函数的概念；2、能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质。
【过程与方法目标】1、让学生借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法；2、从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫。
【情感态度价值观目标】 使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心。
【教学重点】正整数指数函数的概念，函数图像的特征。
【教学难点】正整数指数函数图像的特征。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为2%，到2010年底人口将达到多少亿？（取181.02 1.43=）为解决这个问题，我们必须建立相应的数学模型、函数关系式，设年数为x ，人口数为y ，则x z=54.8(1+2%)其中我们给xy =(1+2%)起个名字为正整数指数函数引出本节课题。
二、研探新知，建构概念问题1：某细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂成4个……一直分裂下去。
（1）请你列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n ()与得到的细胞个数y 之间的关系;（3）请你写出得到的细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式,试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数。
3.1 正整数指数函数[核心必知]1．定义一般地，函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1，x ∈N＋)叫作正整数指数函数．其中x 是自变量(x在指数位置上)，底数a 是常数．2．图像特征正整数指数函数的图像是位于第一象限，且在x 轴的上方的一群孤立的点．[问题思考]1．正整数指数函数的解析式的结构有何特征？提示：有三个特征：底数a 为常数；指数为自变量x ；系数为1.2．正整数指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的单调性与底数a 的大小有何关系？提示：当0＜a ＜1时，y ＝a x是减少的，当a ＞1时，y ＝a x是增加的．讲一讲1．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·(2a －1)x是正整数指数函数，则实数a 的值是________．[尝试解答] 由正整数指数函数的定义可知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，2a －1＞0且2a －1≠1.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ＞12且a ≠1，∴a ＝2. 答案：2正整数指数函数是一个形式定义，处理有关正整数指数函数概念的问题只要抓住它的三个特征确认与应用即可．练一练1．若函数f (x )＝(a 2－4a ＋4)·a x(x ∈N＋)为正整数指数函数，则f (4)＝________.解析：由正整数指数函数的定义可知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋4＝1，a ＞0且a ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝3，a ＞0且a ≠1，∴a ＝3.∴f (x )＝3x，故f (4)＝34＝81. 答案：81讲一讲 2．画出函数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ，(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x(x∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性．[尝试解答]在同一坐标系中分别画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x(x ∈N ＋)图像如图所示．由图像知：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x(x ∈N ＋)是增加的；而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x(x ∈N ＋)是减少的．(1)正整数指数函数的图像特点：正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．(2)当0＜a ＜1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是减函数．当a ＞1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是增函数．练一练2．画出函数(1)y ＝2x(x ∈N ＋)，(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ∈N ＋)的图像，并说明它们的单调性．解：(1)函数y ＝2x(x ∈N ＋)的图像如图(1)所示，由图像可知，该函数是增加的；(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ∈N ＋)的图像如图(2)所示，由图像可知，该函数是减少的．讲一讲3．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%.(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋)变化的函数关系式；(2)画出该函数的图像；(3)说明该函数的单调性；(4)利用图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半．[尝试解答] (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；经过2年，剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；……一般地，经过x年，剩留量y随时间x 变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．(2)根据这个函数关系式可以列表如下：用描点法画出正整数指数函数y＝0.84x 的图像(如图)，它的图像是由一些孤立的点组成的．(3)通过计算和看图可知，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数．(4)从图像可以看出，当x＝4时，y≈0.5，即约经过4年，剩留量是原来的一半．实际问题中与“递增率”、“递减率”有关的问题，多抽象为正整数指数函数型函数y＝N(1±p%)x，x∈N＋(其中N为原产值，增长(减少)率为p，x为经过的时间)．练一练3．有关部门计划于2016年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2022年应投入多少辆电力型公交车？解：由题意知，在2017年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)；在2018年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；……故在2022年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)6，即128×⎝⎛⎭⎪⎫326＝1 458(辆)．答：该市在2022年应投入1 458辆电力型公交车．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，若要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．[巧思] 先根据题意写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，再用估算法求解．[妙解] 函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ∈N＋)． 令⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤1%，得4x≥100. ∵43＝64＜100,44＝256＞100， ∴当x ≥4时，4x≥100， 故至少要漂洗4次． [答案] 41．给出下列函数：①y ＝(2)x ；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ；③y ＝3x ＋1；④y ＝(1－2)x.当x ∈N ＋时，以上函数中是正整数指数函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B2．函数f (x )＝3x－2中，x ∈N ＋且x ∈[－1,3]，则f (x )的值域为( ) A ．{－1,1,7} B ．{1,7,25} C ．{－1,1,7,25}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53，－1，1，7，25 解析：选B ，∵x ∈N ＋且x ∈ [－1,3] ，∴x ∈{}1，2，3， ∴3x∈{}3，9，27，∴f (x )∈{}1，7，25.3．某产品计划每年成本降低的百分率为p ，若三年后成本为a 元，则现在的成本为( ) A ．a ·p 3元 B ．a (1－p )3元 C.a (1－p )3元 D.a(1＋p )3元 解析：选C 假设现在的成本为y 元，则y ·(1－p )3＝a ， ∴y ＝a(1－p )3. 4．已知f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1，x ∈N ＋)的图像过点(5,32)，则f (8)＝________. 解析：由题意得a 5＝32，∴a ＝2，∴f (x )＝2x， ∴f (8)＝28＝256. 答案：2565．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板后的强度为y ，则y 关于x 的函数关系式为________．解析：光线通过第1块玻璃板后的强度为a (1－10%)， 通过第2块玻璃板后的强度为a (1－10%)2， 依次类推，通过第x 块玻璃板的强度为y ＝a (1－10%)x ＝a ·0.9x (x ∈N ＋)．答案：y ＝a ·0.9x(x ∈N ＋)6．一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加10%，(1)试写出年产量y 随年数x 变化的关系式，并写出其定义域； (2)画出其函数图像． 解：(1)y ＝(1＋10%)x＝1.1x， ∴y 与x 的关系式是y ＝1.1x， 其定义域是{x |x ≤10，x ∈N ＋}． (2)如图所示：一、选择题1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1，x ∈N ＋B ．y ＝x 5，x ∈N ＋ C ．y ＝3－x，x ∈N ＋ D ．y ＝3×2x ，x ∈N ＋解析：选C 根据正整数指数函数的定义知y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ∈N ＋符合要求．2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73x(x ∈N ＋)的图像是( )A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点解析：选C 73＞1且x ∈N ＋，故图像是一系列上升的点．3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成( )A ．511个B ．512个C ．1 023个D ．1 024个解析：选B 由题意知，经过x 次分裂后，这种细菌分裂成y ＝2x(个)，易知分裂9次，即x ＝9时，y ＝29＝512(个)．4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )A ．增加7.84%B ．减少7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减解析：选B 设原来价格为a ，依题意四年后的价格为a (1＋20%)2(1－20%)2＝a (1－0.04)2，∴a －a (1－0.04)2＝a [1－(1－0.04)2] ＝a (1－1＋0.08－0.001 6) ＝a ·7.84%. 二、填空题5．已知函数y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)在[1,3]上的最大值为8，则a 的值是________． 解析：由题意知a >1，且a 3＝8，解得a ＝2. 答案：26．比较下列数值的大小： (1)(2)3________(2)5；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫232________⎝ ⎛⎭⎪⎫234. 解析：由正整数指数函数的单调性知，(2)3＜(2)5，⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞⎝ ⎛⎭⎪⎫234. 答案：(1)＜ (2)＞7．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是P n ＝P 0(1＋K )n(K 为常数)，其中P n 为预测期内n 年后的人口数，P 0为初期人口数，K 为预测期内的年增长率，若－1＜K ＜0，则在这期间人口数________(填呈上升趋势或是下降趋势)解析：P n ＝P 0(1＋K )n是指数型函数，∵－1＜K ＜0，∴0＜1＋K ＜1，由y ＝a x(0＜a ＜1)是N ＋上的减函数可知，人口呈下降趋势． 答案：呈下降趋势8．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质的质量约是原来的45，则经过________年，剩留的物质是原来的64125.解析：设物质最初的质量为1，则经过x 年，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x.依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＝64125，解得x ＝3.答案：3 三、解答题9．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因． 解：设正整数指数函数为f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1，x ∈N ＋)． ∵函数f (x )的图像经过点(3,27)， ∴f (3)＝27，即a 3＝27. ∴a ＝3.(1)函数f (x )的解析式为f (x )＝3x(x ∈N ＋)． (2)f (5)＝35＝243.(3)∵正整数指数函数f (x )＝3x(x ∈N ＋)在正整数集N ＋上是增加的，故函数无最大值，有最小值为f (1)＝3.10．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y ＝f (t )．(1)写出函数y ＝f (t )的定义域和值域； (2)在坐标系中画出y ＝f (t )(0≤t ＜6)的图像；(3)写出研究进行到n 小时(n ≥0，n ∈Z )时，细菌的总个数(用关于n 的式子表示)． 解：(1)y ＝f (t )的定义域为{t |t ≥0}，值域为{y |y ＝2t，t ∈N ＋}．(2)0≤t ＜6时，为一分段函数， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤t ＜2，4，2≤t ＜4，8，4≤t ＜6.图像如图所示．(3)n 为偶数时，y ＝2n 2＋1；n 为奇数时，y ＝2n －12＋1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n2＋1，n 为偶数，2n －12＋1，n 为奇数.。
《指数函数》教学案例一、相关背景介绍指数函数是高中引进的第一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。
课标要求理解指数函数的概念和意义，能借助计算机画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。
本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。
二、本节课教学目标1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是01a <<，1a >的性质。
3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.4.重难点：(1)指数函数的定义、图象、性质(2)指数函数的描绘及性质三、课堂教学实录一.问题情景问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次以后,得到的细胞个数y 与x 有怎样的关系.问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x 次后绳子剩余的长度为y 米,试写出y 与x 之间的关系.二.学生活动1.思考问题1,2给出y 与x 的函数关系?2.观察得到的函数2x y =,12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2y x =的区别. 3.观察函数2x y =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与x y a =的相同特点.三.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4(22=)个细胞,分裂三次得到8(32=),所以分裂x 次以后得到的细胞为2x 个,即y 与x 之间为y 2x =.[生2]:第一次剩下绳子的12,第二次剩下绳子的14(212=),第三次剩下绳子的18 (312=),那么剪了x 次以后剩下的绳长为12x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （学生说完后在屏幕上展示这两个式子）[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?[生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.[师]:（接着把2y x =打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在形式上与函数2y x =有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而2y x =的自变量在底上.[师]:那么再观察一下y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数x y a =有什么相同点? [生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型xy a =就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）定义:一般地,函数x y a =(0,1a a >≠)叫做指数函数,它的定义域是R .概念解析1:[师]:同学们思考一下为什么x y a =中规定0,1a a >≠?(引导学生从定义域为R 的角度考虑).（先把0a =，0a <，1a =显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）[生]:⑴若0a =,则当0x =时,00x a = 没有意义.⑵若0a <,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:12(2)-=⑶若1a =,则1x a =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了. 所以,我们规定指数函数的底0,1a a >≠.[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题１．已知函数(32)x y a =-为指数函数，求a 的取值范围．（屏幕上给出问题）[生]:由于32a -作为指数函数的底因此必须满足：232033210a a a a ⎧->>⎧⎪⇒⎨⎨-≠⎩⎪≠⎩ 即2|03a a a ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 概念解析２:[师]:我们知道形如x y a =（0,1a a >≠）的函数称为指数函数．通过观察我们发现： ⑴x a 前没有系数，或者说系数为１．既1x a ⋅；⑵指数上只有唯一的自变量x ；⑶底是一个常数且必须满足：0,1a a >≠．那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题２）问题2．⑴(0.2)x y =，⑵(2)x y =-，⑶x y e =，⑷1()3xy = ⑸1x y =，⑹23x y =⋅，⑺3x y -=，⑻22x x y +=[生１]:（答）⑴⑶⑷为指数函数．⑵⑸⑹⑺⑻不是．[生２]: 我不同意，⑺应该是指数函数，因为133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭． [师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数．所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质．[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质．根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？[生]:（共同回答）列表，描点，连线． [师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象．（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）[师]:那么我们下面就作出函数：2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）[生１]:函数的定义域都是一切实数R ，而且函数的图象都位于x 轴上方．[师]:函数的图象都位于x 轴上方与x 有没有交点？随着自变量x 的取值函数值的图象与x 轴是什么关系？[生１]:没有．随着自变量x 的取值函数的图象与x 轴无限靠近．[师]:即函数的值域是：(0,)+∞．那么还有没有别的性质？[生２]:函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭、13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，函数2x y =、3x y =是减函数． [师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此要说明是在哪个范围内．又110,123<<，12,3<那么上述的结论可以归纳为： [生２]:当01a <<时，函数x y a =在R 上是减函数，当1a >时，函数x y a =在R 上是增函数．[师]:很好，请做！（提问［生３］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？[生３]:当自变量取值为０时，所对的函数值为１．一般地指数函数x y a =当自变量x 取０时，函数值恒等于１．[师]:也就是说指数函数恒过点(0,1)，和底a 的取值没有关系．那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x 之间有什么关系？[生3]:由图象可以发现：当01a <<时，若0x >，则0()1f x <<；若0x <，则1()f x <.当1a >时，若0x >，则()1f x >；若0x <，则0()1f x <<.[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?[生4]: 函数2x y =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,函数3x y =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.[师]:由此我们得到一般的结论, 函数x y a =与x y a -=的图象关于y 轴对称.[师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.巩固与练习１根据指数函数的性质，利用不等号填空．（在屏幕上给出练习，让学生口答）⑴()345 0，⑵15- 0，⑶07 0，⑷()4249- 0，⑸()223 1，⑹()479- 1，⑺110- 1，⑻36 1．注：这部分知识主要考察了指数函数的值域和对性质：当01a <<时，①若0x >，则0()1f x <<②若0x <，则1()f x <；当1a >时①若0x >，则()1f x >②若0x <，则0()1f x <<的应用．这个知识点是比较重要的部分在后面的比较大小中常常用到，所以在这个地方给出这样的一个巩固练习还是很有必要的．四.数学运用例1.比较大小⑴ 2.5 3.21.5,1.5 ⑵ 1.2 1.50.5,0.5-- ⑶0.3 1.21.5,0.8分析：［师］：前面我们讲了指数函数，好象和这个比大小没有关系．这几个也不是函数那怎么比较大小呢？先不考虑这个上面讲的性质哪个可以和大小联系起来呢？［生］：单调性和大小有关，我们可以借助于指数函数的单调性老考虑，要比较大小的两个数可以看成指数函数() 1.5x f x =当x 取2.5,3.2时对应的函数值，再根据() 1.5x f x =在(),-∞+∞是单调增的就可以比较大小了．即：解: ⑴考虑指数函数() 1.5x f x =.因为1.51>所以() 1.5x f x =在R 上是增函数.因为2.53.2<所以2.53.21.5 1.5<［师］：很好，充分运用了指数函数的性质．下面的两个小题请两个同学上来板书．也是利用指数函数的性质．⑵考虑指数函数()0.5x f x =.因为00.51<<所以() 1.5x f x =在R 上是减函数.因为1.2 1.5->-所以1.2 1.50.50.5--<⑶由指数函数的性质知0.301.5 1.51>=，而1.200.80.81<= 所以0.3 1.21.50.8>［师］：第⑵小题和⑴一样直接借助单调性即可解题，第⑶小题在考虑是就发现单调性不能直接应用，两个底不一样．但是借助一个中间变量１就可以把问题解决了．例2．⑴已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；⑵已知0.225x <，求实数x 的取值范围．解：⑴因为31>，所以指数函数()3x f x =在R 上是增函数．由0.533x ≥，可得0.5x ≥，即x 的取值范围为[)0.5,+∞ ⑵因为00.21<<所以指数函数()0.2x f x =在R 上是减函数，因为221250.25--⎛⎫== ⎪⎝⎭所以 20.20.2x -<由此可得2x >-，即x 的取值范围为()2,-+∞．五.回顾小结x y a =（0,1a a >≠），x R ∈）．要能根据概念判断一个函数是否为指数函数． ２．指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）．３．利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象．教学反思：本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能力，特别是研究问题能力为重点的教学思想。
