云南省玉溪一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

2014-2015学年云南省玉溪一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是（）A．l∥β，l⊂α⇒α∥βB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m=M⇒α∥β2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1+a2=4，a2+a3=8，则a7等于（）A．7 B．10 C．13 D．193．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣＜﹣B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．|a|＜|b|4．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤25．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．6．（5分）直线l过点P（1，3），且与x、y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（）A．3x+y﹣6=0 B．x+3y﹣10=0 C．3x﹣y=0 D．x﹣3y+8=07．（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．38．（5分）在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2=（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．10．（5分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，3）C．（1，3） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）11．（5分）方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是（）A．B．C．D．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（）A．32 B．C．64 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）圆x2+y2+2x=0关于y轴对称的圆的一般方程是．14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．15．（5分）如图所示，正三棱锥S﹣ABC中，侧棱与底面边长相等，若E、F分别为SC、AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）求过直线l1：x﹣2y+3=0与直线l2：2x+3y﹣8=0的交点，且到点P （0，4）的距离为1的直线l的方程．18．（12分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，S n=a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．22．（12分）圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．2014-2015学年云南省玉溪一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是（）A．l∥β，l⊂α⇒α∥βB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m=M⇒α∥β【解答】解：对于A，l∥β，l⊂α⇒α与β可能相交；故A错误；对于B，l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α如果l∥m，α，β可能相交，故⇒α∥β是错误的；对于C，l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α与β可能相交；故C错误；对于D，l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m=M满足面面平行的判定定理，所以⇒α∥β；故D正确；故选：D．2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1+a2=4，a2+a3=8，则a7等于（）A．7 B．10 C．13 D．19【解答】解：设等差数列{a n}的公差是d，因为a1+a2=4，a2+a3=8，所以，解得，所以a7=a1+6d=1+12=13，故选：C．3．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣＜﹣B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．|a|＜|b|【解答】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，ab＞0，∴，即．故选：A．4．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤2【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选：C．5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．6．（5分）直线l过点P（1，3），且与x、y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（）A．3x+y﹣6=0 B．x+3y﹣10=0 C．3x﹣y=0 D．x﹣3y+8=0【解答】解：设所求的直线方程为：．∵过点P（1，3）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，∴，解得a=2，b=6．故所求的直线方程为：3x+y﹣6=0．故选：A．7．（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．3【解答】解：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积=π（r+3r）l=84π，r=7故选：A．8．（5分）在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵a=2bcosC=2b×=∴a2=a2+b2﹣c2∴b2=c2因为b，c为三角形的边长∴b=c∴△ABC是等腰三角形．故选：C．9．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2=（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．【解答】解：∵a1+a2+…+a n=2n﹣1…①=2n﹣1﹣1，…②，∴a1+a2+…+a n﹣1①﹣②得a n=2n﹣1，∴a n2=22n﹣2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴=，故选：D．10．（5分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，3）C．（1，3） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），∴．∴关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0可化为（x+1）（x﹣3）＞0，∴x＜﹣1或x＞3．∴关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．故选：A．11．（5分）方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是（）A．B．C．D．【解答】解：原方程等价于：，或x2+y2=4；其中当x+y﹣1=0需有意义，等式才成立，即x2+y2≥4，此时它表示直线x﹣y﹣1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，这是极易出错的一个环节．故选：D．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（）A．32 B．C．64 D．【解答】解：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，则x2+y2=128≥2xy，∴xy≤64，即xy的最大值为64，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）圆x2+y2+2x=0关于y轴对称的圆的一般方程是x2+y2﹣2x=0．【解答】解：圆x2+y2+2x=0，即（x+1）2+y2 =1，由于圆心（﹣1，0）关于于y轴对称的点为（1，0），故圆x2+y2+2x=0关于y轴对称的圆的方程为（x﹣1）2+y2 =1，即x2+y2﹣2x=0，故答案为：x2+y2﹣2x=0．14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．【解答】解：∵A和B都为三角形的内角，且cosA=，cosB=，∴sinA==，sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，又b=3，∴由正弦定理=得：c===．故答案为：15．（5分）如图所示，正三棱锥S﹣ABC中，侧棱与底面边长相等，若E、F分别为SC、AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于45°．【解答】解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，因为E是SC的中点，所以ED∥SA，∠EDF为异面直线EF与SA所成的角，设棱长为2，则DE=1，DF=1，而ED⊥DF∴∠EDF=45°，故答案为：45°．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．=S n+1S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）求过直线l1：x﹣2y+3=0与直线l2：2x+3y﹣8=0的交点，且到点P （0，4）的距离为1的直线l的方程．【解答】解：由，解得∴l1，l2的交点为（1，2）…2分显然，直线x=1满足条件；…4分另设直线方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，依题意有：，解得：…8分∴所求直线方程为3x+4y﹣11=0或x=1….10分（注：未考虑x=1扣2分）18．（12分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．因为CA=CB，所以OC⊥AB．由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故OA 1⊥OC．因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．B1C1的体积又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A．20．（12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【解答】解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800．蔬菜的种植面积S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=808﹣2（a+2b）．所以S≤808﹣4=648（m2）当且仅当a=2b，即a=40（m），b=20（m）时，S最大值=648（m2）．答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，S n=a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意得当n≥2时，S n=a n﹣1，﹣1∴a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣a n﹣1，∴a n=a n﹣1，∴a 2=3a1，a3=a2，a4=a3，…a n=a n﹣1，以上各式相乘得：a n=a1=n（n+1），当n=1时，a1=2也适合上式，∴a n=n（n+1）（n∈N*）；（2）由（1）得a n=n（n+1），∴==﹣，∴T n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．22．（12分）圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）如图由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为可得圆心到x轴的距离为2∴C（1，﹣2）∴圆C的方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9﹣﹣（4分）（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0 ①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由得2x2+（2b+2）x+（b2+4b﹣4）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）要使方程有两个相异实根，则△=（2+2b）2﹣4×2（b2+4b﹣4）＞0 即＜b＜﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由y1=x1+b，y2=x2+b，代入x1x2+y1y2=0，得2x1x2+（x1+x2）b+b2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）即有b2+3b﹣4=0，b=﹣4，b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）故存在直线L满足条件，且方程为y=x﹣4或y=x+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2014-2015学年云南省高一上学期期末考试数学试卷（解析版）一 、选择题（本大题共12小题，每小题0分，共0分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.)613sin(π-的值是（ ） A ．23 B ．23-C ．21 D ．21-【答案解析】D【解析】试题分析：根据三角函数的诱导公式可知，131sin sin sin 6662πππ⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ． 考点：考查了三角函数的诱导公式．点评：解本题的关键是掌握三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值．2.已知集合M={}{},25|,,32|2≤≤-=∈-+=x x N R x x x y y 集合则)(N C M R 等于（ ）A ．[)+∞-,4B ．),2()5,(+∞--∞C ．),2(+∞D ．∅【答案解析】C【解析】试题分析：{}{}2|23|4M y y x x y y ==+-=≥-，{}|52R C N x x x =<->或， ∴(){}|2R M C N x x ⋂=>，故选C ．考点：考查了补集和交集．点评：解本题的关键还掌握集合M 表示的是函数的值域，集合M 和集合N 中的元素都是实数，先求出集合N 的补集，再求出两个集合的交集．3.已知点A （1，1），B （4,2）和向量),,2(λ=a 若AB a //, 则实数λ的值为（ ）A ．32-B ．23 C ．32 D ．23-【答案解析】C【解析】试题分析：根据A ．B 两点的坐标可得AB ＝（3，1），∵a ∥AB ，∴2130λ⨯-=，解得23λ=，故选C ．考点：考查了向量共线的条件．点评：解本题的关键是掌握两个向量共线的条件，代入两个向量的坐标进行计算．●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●4.函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（ ）A ．（－1,0）B ．（0,1）C ．（1,2）D ．（1，e ）【答案解析】B 【解析】试题分析：函数()ln f x x x =+在（0，＋∞）上单调递增，1111ln 10f e e e e⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()11ln110f =+=>，故选B ．考点：考查了函数的零点．点评：解本题的关键是掌握函数在某个区间上存在零点的条件，若函数在某个区间上单调，且在区间两端点的函数值异号，则函数在这个区间内存在零点． 5.若幂函数222)33(--+-=m m xm m y 的图像不过原点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．21≤≤-mB ．2=m 或 1=mC ．2=mD ．1=m【答案解析】B【解析】试题分析：∵()22233m m y m m x--=-+为幂函数且函数图象不过原点，∴2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩，解得m ＝1或m ＝2，故选B ．考点：考查了幂函数．点评：解本题的关键是掌握幂函数的形式，形如y x α=的函数为幂函数，注意x 的前边系数为1，还要注意幂函数图象不过原点时，指数小于等于0． 6.已知⎩⎨⎧<+≥-=)6(),2()6(,5)(x x f x x x f ，则f （3）为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案解析】A【解析】试题分析：∵3＜6，∴f （3）＝f （3＋2）＝f （5），5＜6，∴f （5）＝f （5＋2）＝f （7）＝7－2＝5，∴f （3）＝2，故选A ．考点：考查了分段函数求函数值．点评：利用分段函数求函数值的时候，一定要注意自变量的范围，要代入到对应的解析式中求函数值．7.函数122+=x xy 的值域是（ ）A ．（0,1）B ．(]1,0C ．()+∞,0D ．[)+∞,0【答案解析】A【解析】试题分析：221111212121x x x x x y +-===-+++，20,211x x>+>，则10121x <<+，∴101121x<-<+，故选A ． 考点：考查了函数的值域．点评：解本题的关键是把函数的解析式变形，利用指数函数的值域求出函数的值域． 8.已知3log 3log 22+=a ，3log 9log 22-=b ，2log 3=c 则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <=B ．c b a >=C ．c b a <<D ．c b a >>【答案解析】B 【解析】试题分析：2222222log 3log log log 9log log log a b =+==-==，2log 1>，3c log 21=<，∴a b c =>，故选B ．考点：利用对数函数的性质比较大小．点评：解本题的关键是根据对数的运算化简对数式，然后根据函数值与1的大小关系进行比较． 9.函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A>0,2,0πϕω<>）的图像如图所示，为了得到x x g 3sin )(=的图像，则只要将）x f (的图像（ ）A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度【答案解析】A【解析】试题分析：根据图象可知，A ＝1，541246T πππ=-=，∴223T ππω==，∴3ω=，把点5,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入函数解析式可得：51sin 312πϕ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭，∴()53242k k Z ππϕπ+=+∈，∵2πϕ<，∴4πϕ=，∴()sin 3sin 3412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要想得到()sin3g x x =的图象，只需把f （x ）的图象向右平移12π个单位即可，故选A ． 考点：考查了根据三角函数的图象求解析式和函数图像的平移．点评：解本题的关键是根据函数的图象，由最小值求出A 的值，根据周期求出ω的值，代入最低点的坐标求出ϕ的值得到函数的解析式，再根据“左加右减”得出由函数f （x ）的图象得到函数g （x ）的图象应平移的单位数． 10.若函数)0(1>-+=a m a y x 的图像经过第一、三和四象限，则（ ）A ．a >1B ．0< a <1且m>0C ．a >1 且m<0D ．0< a <1 【答案解析】C 【解析】试题分析：根据题意，若函数()10xy a m a =+->的图像经过第一、三和四象限，∴a ＞1且m －1＜－1，∴a ＞1且m ＜0，故选C ． 考点：函数的图像点评：解本题的关键是掌握指数函数的图像，要熟练掌握底数a ＞1和0＜a ＜1时图像的特征． 11.已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则)(AC AB AP +⋅（ ）A ．有最大值，为8B ．是定值6C ．有最小值，为2D ．与P 点的位置有关 【答案解析】B 【解析】 试题分析：AP AB BP =+，∴()()()()2AP AB AC AB BPAB AC AB AB AC BP AB AC +=++=+++，∵△为正三角形，∴()AB AC BC +⊥，∵点P 在BC 上，∴()AB AC BP +⊥，∴()0AB AC BP +=，∴()22122262AP AB AC AB AB AC +=+=+⨯⨯=，故选B ． 考点：向量的数量积的计算．点评：解本题的关键还熟练掌握向量加法的几何意义，得出正三角形中()AB AC BC +⊥，然后根据向量的数量积等于向量的模及其夹角余弦值的乘积．12.若函数）x f (为奇函数，且在()+∞,0上是减函数，又 03(=）f ，则0)()(<--xx f x f 的解集为（ ） A ．（－3,3） B ．)3,0()3,( --∞C ．),3()0,3(+∞-D ．),3()3,(+∞--∞【答案解析】D【解析】试题分析：∵f （x ）为奇函数，∴()()()20f x f x f x x x--=<，∵在()+∞,0上是减函数，且()30f =，∴f （x ）在（－∞，0）上单调递减且()()330f f -=-=，∴原不等式等价于()00x f x >⎧⎨<⎩ 或()0x f x <⎧⎨>⎩，∴x ＞3或x ＜－3，故选D ． 考点：考查了函数性质的综合应用．点评：解本题的关键是掌握奇函数的性质，在原点两侧单调性相同，利用函数的单调性解不等式． 二 、填空题（本大题共4小题，每小题0分，共0分） 13.已知2tan =α，则=+-ααααcos sin cos sin __________．【答案解析】13【解析】试题分析：根据同角三角函数的关系可得：sin cos sin cos tan 1211cos sin cos sin cos tan 1213cos αααααααααααα----====++++． 考点：利用同角三角函数的关系式求值． 点评：解本题的关键是掌握一个角的正切值等于正弦和余弦的比值，把要求值的式子转化为关于角α的正切值进行求值．14.若向量b a ,满足,1==b a 且,23)(=⋅+b b a 则向量b a ,的夹角为__________．【答案解析】3π 【解析】试题分析：设向量,a b 的夹角为α，∴()223cos cos 12a b b a b b a b b αα+=+=+=+=，∴1cos 2α=， 又[]0,απ∈，∴3πα=．考点：考查了利用向量的数量积求向量的夹角．点评：解本题的关键是掌握向量的数量积等于向量的模及其夹角余弦值的乘积，利用向量的数量积及向量的模求出向量夹角的余弦值，得出向量的夹角．15.若函数(]1-)32(log )(221，在∞+-=ax x x f 上是增函数，则实数a 的取值范围是__________． 【答案解析】 [1，2）【解析】试题分析：根据复合函数的单调性可知，∵12log y u =在（0，＋∞）上单调递减，∴若函数(]1-)32(log )(221，在∞+-=ax x x f 上是增函数，必须满足：223u x ax =-+在（－∞，1]上单调递减且函数值0u >，∴11230a a ≥⎧⎨-+>⎩，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2）．考点：考查了复合函数的单调性．点评：解本题的关键是掌握复合函数的单调性“同增异减”，要注意函数的单调区间必须在函数的定义域内，即对数的真数必须大于0．16.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，并满足)(1)2(x f x f -=+，当时，32≤≤x x x f =）(,则=-)211(f __________． 【答案解析】52【解析】试题分析：由()()12f x f x +=-可得()()()142f x f x f x +=-=+，∵函数f （x ）是R 上的偶函数，∴111122f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11554222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵5232≤≤，∴5522f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即11522f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．考点：考查了函数性质的应用．点评：解本题的关键是根据题中给出的条件把自变量转化为在[2，3]的范围内，求出函数值． 三 、解答题（本大题共6小题，共0分）17.（本小题满分10分）已知βα,都是锐角，,54sin =α135)cos(=+βα． （Ⅰ）求α2tan 的值; （Ⅱ）求βsin 的值．【答案解析】（1）247-；（2）1665． 【解析】试题分析：（Ⅰ）∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=，∴3cos 5α===，∴sin 4tan cos 3ααα==， ∴22tan 24tan 21tan 7ααα==--； （Ⅱ）∵,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ+∈，()5cos 13αβ+=， ∴()12sin 13αβ+=， ∴()()()1235416sin sin sin cos cos sin 13513565βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦． 考点：三角函数的求值．点评：解本题的关键是熟练掌握同角三角函数的关系式和二倍角公式，两角和与差的三角函数公式． 18.（本小题满分12分）已知函数R x x x x f ∈++=,1)6sin(cos 2)(π．（Ⅰ）求函数）x f (的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ，求函数的值域． 【答案解析】（1）f （x ）的最小正周期为π，单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[1，52]． 【解析】试题分析：（Ⅰ）())2cos cos 1cos cos 1f x xx x x x x =++=+1cos 2131cos 221sin 22262x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭， ∵222T πππω===，即函数f （x ）的最小正周期为π． 由()3sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得：,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故函数()3sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； （Ⅱ）x ∈[－,63ππ]，252,233666x x πππππ-≤≤-≤+≤， ∴－12≤sin （2x ＋6π）≤1，∴1≤sin （2x ＋6π）＋32≤52，∴函数的值域为[1, 52]．考点：考查了三角函数的性质．点评：解本题的关键还把函数转化为一个角的三角函数，根据周期公式求出函数的周期，利用正弦函数的单调性和值域求出单调区间和值域．19.（本小题满分12分）已知函数xx f 2)(=的定义域是[0,3]，设)2()2()(+-=x f x f x g（Ⅰ）求)(x g 的解析式及定义域； （Ⅱ）求函数)(x g 的最大值和最小值．【答案解析】（1）g （x ）的定义域是[0，1]；（2）最大值－3，最小值－4．【解析】 试题分析：（Ⅰ）∵f （x ）＝2x，∴g （x ）＝f （2x ）－f （x ＋2）＝2222xx +-．∵f （x ）的定义域是[0,3]， ∴023023x x ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，解得0≤x≤1．∴g （x ）的定义域是[0，1]．（Ⅱ）()()()22242224x x x g x =-⨯=--，∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]．∴当2x ＝1，即x ＝0时，g （x ）取得最大值－3； 当2x ＝2，即x ＝1时，g （x ）取得最小值－4．考点：考查了求函数的定义域和最值．点评：函数的定义域是x 的取值集合，求最值的关键是函数转化为二次函数，在指定的闭区间内求出函数的最值．20.（本小题满分12分）已知向量))sin(),(cos(θπθ+-=a ，))2sin(),2(cos(θπθπ--=b ．（Ⅰ）求证b a⊥；（Ⅱ）若存在不等于0的实数k 和t, 使b t a x )3(2++=，b t a k y +-=满足,y x ⊥试求此时tt k 2+的最小值．【答案解析】（1）见解析；（2）114【解析】 试题分析：（Ⅰ）∵a b ⋅ ＝()()cos cos sin sin sin cos sin cos 022ππθθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫--++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴a b ⊥ ；（Ⅱ）由x y ⊥ 可得0x y ⋅=， 即()()230a t b ka tb ⎡⎤++⋅-+=⎣⎦，∴()()2232330ka t t b t k t a b ⎡⎤-+++-+=⎣⎦，∴()22330k a t t b -++=， 又∵221,1a b ==，∴30k t t -++=，∴33k t t =+，∴223223111324k t t t t t t t t t +++⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，故当t ＝－12时，2k t t + 取得最小值，为114．考点：考查了向量垂直的条件和二次函数求最小值．点评：解本题的关键是掌握向量垂直的充要条件，把函数转化为二次函数，根据二次函数的性质求出最小值．21.（本小题满分12分）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≤x 时，)1(log )(21+-=x x f ．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若求实数,1)1(-<-a f a 的取值范围．【答案解析】（1）()()()1212log 1,0log 1,0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩；（2）（－∞, 0） （2, +∞）．【解析】 试题分析：（Ⅰ）令x ＞0，则－x ＜0，从而()()()12log 1f x x f x -=+= ，∴x ＞0时，()()12log 1f x x =+．∴函数f （x ）的解析式为()()()1212log 1,0log 1,0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩ ．（Ⅱ）设12,x x 是任意两个值，且120x x <≤ ， 则120x x ->-≥，∴1211x x ->-．∵()()()()221121111122221log 1log 1log log 101x f x f x x x a --=-+--+=>=-，∴()()21f x f x >，∴()()12log 1f x x =-+在（－∞, 0]上为增函数．又f （x ）是定义在R 上的偶函数，∴f （x ）在（0, +∞）上为减函数．∵f （a －1）＜－1＝f （1），∴|a －1|＞1，解得a ＞2或a ＜0． 故实数a 的取值范围为（－∞, 0） （2, +∞）．考点：考查了求函数的解析式，利用函数的单调性解不等式．点评：解本题的关键是掌握偶函数的性质，利用定义证明函数的单调性，利用函数的单调性解不等式．资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 22.（本小题满分12分）已知）x f (是定义在[]1,1- 上的奇函数，且1)1(=f ，当∈b a ,[]1,1-,0≠+b a 时，有0)()(>++ba b f a f 成立． （Ⅰ）判断）x f (在[]1,1- 上的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若12(2+-≤am m x f ）对所有的[]1,1-∈a 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案解析】（1）f （x ）在[－1, 1]上单调递增；（2）m ＝0或|m|≥2．【解析】试题分析：（Ⅰ）任取12,x x ∈[－1, 1]，且12x x <，则－2x ∈[－1，1]．因为f （x ）为奇函数． 所以()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-, 由已知得()()()1212f x f x x x +-+- ＞0，120x x -<， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <．所以f （x ）在[－1, 1]上单调递增．（Ⅱ）因为f （1）＝1, f （x ）在[－1, 1]上单调递增，所以在[－1, 1]上，f （x ）≤1．问题转化为2211m am -+≥，即22m am -≥0，对a ∈[－1，1]恒成立．下面来求m 的取值范围．设g （a ）＝22am m -+≥0．①若m ＝0，则g （a ）＝0，对a ∈[－1, 1]恒成立。

云南省玉溪一中2018-2019学年上学期期末高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．（5分）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）已知集合M={y|y=x2+2x﹣3，x∈R}，集合N={x|﹣5≤x≤2}，则M∩（∁N）等于（）R A．C．（0，+∞）D．A．a＞1 B．0＜a＜1且m＞0 C．a＞1 且m＜0 D．0＜a＜111．（5分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值212．（5分）若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则＜0的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tanα=2，则的值为．14．（5分）若向量，满足||=||=1，且（+）•=，则向量，的夹角为．15．（5分）在（﹣∞，1]内是增函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+2）=﹣，当2≤x≤3时，f（x）=x，则f（﹣）=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知α，β都是锐角，sinα=，cos（α+β）=．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求sinβ的值．18．（12分）已知函数f（x）=2cosxsin（x+）+1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若x∈，求函数的值域．19．（12分）已知函数f（x）=2x的定义域是，设g（x）=f（2x）﹣f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．20．（12分）已知向量=（cos（﹣θ），sin（π+θ）），=（cos（﹣θ），sin（﹣θ））．（Ⅰ）求证⊥；（Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t2+3），=﹣k+t满足⊥，试求此时的最小值．21．（12分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=．（Ⅰ）求f（0），f（1）；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若f（a﹣1）＜﹣1，求实数a的取值范围．（12分）已知f（x）是定义在上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈，a+b≠0，有；22．（1）、判断函数f（x）在上的单调性，并证明你的结论；（2）、若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈、a∈恒成立，求实数m的取值范围．云南省玉溪一中2018-2019学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．（5分）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式化简求值即可．解答：解：sin（﹣）=﹣sin（2π+）=﹣sin=﹣．故选：D．点评：本题考查三角函数的化简求值，特殊角的三角函数以及诱导公式的应用，考查计算能力．2．（5分）已知集合M={y|y=x2+2x﹣3，x∈R}，集合N={x|﹣5≤x≤2}，则M∩（∁N）等于（）R A．A．﹣B．C．D．﹣考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：=（4，2）﹣（1，1）=（3，1），∵∥，∴3λ﹣2=0．解得．故选：B．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．4．（5分）函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）考点：函数零点的判定定理．专题：常规题型．分析：令函数f（x）=0得到lnx=﹣x，转化为两个简单函数g（x）=lnx，h（x）=﹣x，最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案．解答：解：令f（x）=x+lnx=0，可得lnx=﹣x，再令g（x）=lnx，h（x）=﹣x，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（0，1），从而函数f（x）的零点在（0，1），故选B．点评：本题主要考查函数零点所在区间的求法．属基础题．5．（5分）如果幂函数的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2 B．m=1或m=2 C．m=2 D．m=1考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题．分析：幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．解答：解：幂函数的图象不过原点，所以解得m=1或2，符合题意．故选B．点评：本题主要考查了幂函数的图象及其特征，考查计算能力，属于基础题．6．（5分）已知，则f（3）为（）A．2B． 3 C． 4 D． 5考点：函数的值．专题：计算题．分析：本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（5）、f（7）的值，然后经过转换，由此可以得到f（3）值．解答：解：由题意得：f（3）=f（5）=f（7）∵7≥6，∴f（7）=7﹣5=2．故选A．点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．7．（5分）函数y=的值域是（）A．（0，1）B．（0，1] C．（0，+∞）D．专题：计算题．分析：利用对数的运算性质可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，从而可得答案．解答：解：∵a=log23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故选：B．点评：本题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据图象求出φ的值，再由“左加右减”法则判断出函数图象平移的方向和单位长度．解答：解：∵选项只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故ω=3，又函数的图象的第二个点是（，0）∴3×φ=π于是，∴函数的图形要向右平移个单位，故选B．点评：本题主要考查了三角函数的函数图象，根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则10．（5分）若函数y=a x+m﹣1（a＞0）的图象经过第一、三和四象限，则（）A．a＞1 B．0＜a＜1且m＞0 C．a＞1 且m＜0 D．0＜a＜1考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件作出满足条件的指数函数的图象，即可得到结论．解答：解：若函数的图象经过第一、三和四象限，则函数为增函数，即a＞1，且f（0）=a0+m﹣1＜0，即m＜0，故选：C点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，比较基础．11．（5分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．解答：解：设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t +=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2++t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选B．点评：本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．12．（5分）若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则＜0的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．解答：解：因为y=f（x）为奇函数，所以=＜0，所以不等式等价为．因为函数y=f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，所以解得x＞3或x＜﹣3，即不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．故选：D．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tanα=2，则的值为．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：将所求关系式“切”化“弦”，将tanα=2代入计算即可．解答：解：∵tanα=2，∴===，故答案为：．点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，“切”化“弦”是关键，属于基础题．14．（5分）若向量，满足||=||=1，且（+）•=，则向量，的夹角为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：将已知的等式展开，求出向量，的数量积，利用数量积公式求向量的夹角．解答：解：因为||=||=1，且（+）•=，所以=，所以，所以，所以cos＜＞=所以向量，的夹角为；故答案为：．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用；熟练运用数量积公式是关键．15．（5分）在（﹣∞，1]内是增函数，则实数a的取值范围是内是增函数，所以由函数t在（﹣∞，1]内是减函数且t＞0求解即可．解答：解：令t=x2﹣2ax+3，∵y=在定义域上是减函数又∵在（﹣∞，1]内是增函数∴函数t在（﹣∞，1]内是减函数且t＞0∴解得：1≤a＜2故答案为：=﹣==f（x），即函数的周期为4，f（﹣）=f（）得出利用解析式求解即可．解答：解：∵f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=f=﹣==f（x），即函数的周期为4∵f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（﹣x）=f（x）∴f（﹣）=f（﹣4）=f（﹣）=f（4﹣）=，∵当2≤x≤3时，f（x）=x，∴f（）=，故答案为：点评：本题主要考查了函数的奇偶性、周期性等性质的综合应用，解决本题的关键是根据所给的条件：f（x+2）=﹣，可得f（x+4）=f（x）即可得函数的周期，从而把所求的f（）利用周期转化到所给的区间，代入即可求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知α，β都是锐角，sinα=，cos（α+β）=．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求sinβ的值．考点：二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由已知和同角三角函数关系式可先求cosα，tanα的值，由二倍角的正切公式即可求tan2α的值．（Ⅱ）由已知先求得sin（α+β）的值，根据sinβ=sin，由两角差的正弦公式展开代入即可求值．解答：（10分）解：（Ⅰ）∵α∈（0，），sinα=，∴==∴tanα==∴tan2α==﹣．（Ⅱ）∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），cos（α+β）=∴sin（α+β）=∴sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα==．点评：本题主要考查了二倍角的正切公式，同角三角函数关系式，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）=2cosxsin（x+）+1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若x∈，求函数的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先通过三角函数的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用三角函数的性质求出函数的周期和单调区间．（Ⅱ）利用上步的结论，进一步利用函数的定义域求出三角函数的值域．解答：（12分）解：（Ⅰ）f（x）=cos x（sin x+cos x）+1=cos2x+sin x cos x+1=+1=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+∵T==即函数f（x）的最小正周期为：π．由f（x）=sin（2x+）+令：2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z）解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）故函数f（x）=sin（2x+）+的单调递增区间为：，（k∈Z）（Ⅱ）x∈，﹣≤2x≤，﹣≤2x+≤∴﹣≤sin（2x+）≤1∴1≤sin（2x+）+≤∴函数的值域为．点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变形问题，正弦型函数的性质的应用，周期性和单调性的应用，利用三角函数的定义域求三角函数的值域．属于基础题型．19．（12分）已知函数f（x）=2x的定义域是，设g（x）=f（2x）﹣f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．考点：指数函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由f（x）=2x，知g（x）=f（2x）﹣f（x+2）=22x﹣2x+2．因为f（x）的定义域是，所以，由此能求出g（x）的定义域．（2）设g（x）=（2x）2﹣4×2x=（2x﹣2）2﹣4．由2x∈，能求出函数g（x）的最大值和最小值．解答：解：（1）∵f（x）=2x，∴g（x）=f（2x）﹣f（x+2）=22x﹣2x+2．（3'）因为f（x）的定义域是，所以，解之得0≤x≤1．于是 g（x）的定义域为{x|0≤x≤1}．（或写成，否则扣1分）（6'）（2）设g（x）=（2x）2﹣4×2x=（2x﹣2）2﹣4．（8'）∵x∈，即2x∈，∴当2x=2即x=1时，g（x）取得最小值﹣4；（10'）当2x=1即x=0时，g（x）取得最大值﹣3．（12'）点评：本题考查指数函数的综合题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．20．（12分）已知向量=（cos（﹣θ），sin（π+θ）），=（cos（﹣θ），sin（﹣θ））．（Ⅰ）求证⊥；（Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t2+3），=﹣k+t满足⊥，试求此时的最小值．考点：平面向量的综合题．专题：平面向量及应用．分析：（I）利用数量积运算、诱导公式只要证明=0即可；（II）利用向量垂直与数量积的关系、二次函数的单调性即可得出．解答：（I）证明：∵=cos（﹣θ） cos（﹣θ）+sin（π+θ） sin（）=sin cosθ﹣sinθcosθ=0，∴⊥．（Ⅱ）由⊥，∴•=0，即•（﹣k+t）=0．∴﹣k+（t3+3t）+•=0∴﹣k||2+（t3+3t）||2=0又∵=1，∴﹣k+t3+3t=0，∴k=t3+3t∴==t2+t+3，=（t+）2+故当t=﹣时，的取得最小值，为．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、二次函数的单调性、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21．（12分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=．（Ⅰ）求f（0），f（1）；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若f（a﹣1）＜﹣1，求实数a的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：（I）分别令x=0，﹣1结合函数的奇偶性，即可得出f（0）=0，f（1）=f（﹣1）=﹣1；（II）由已知可以设x＞0，然后利用函数的奇偶性转化到﹣x＜0，利用已知求出x＞0时的解析式即可．本题要做出整体代换，用﹣x代换x，然后写出整个定义域上的函数的解析式．（Ⅲ）根据f（x）=在（﹣∞，0]上为增函数，结合奇偶性得出f（x）在（0，+∞）上为减函数，将f（a﹣1）＜﹣1=f（1）转化成绝对值不等式|a﹣1|＞1，解之即得．解答：解：（I）分别令x=0，﹣1即可得出f（0）=0，f（1）=f（﹣1）=﹣1；（II）令x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）==f（x）∴x＞0时，f（x）=∴（Ⅲ）∵f（x）=在（﹣∞，0]上为增函数，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数∵f（a﹣1）＜﹣1=f（1）∴|a﹣1|＞1，∴a＞2或a＜0．点评：本题考查函数的奇偶性，函数的解析式的求法，分段函数的概念，奇偶性与单调性的综合应用．22．（12分）已知f（x）是定义在上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈，a+b≠0，有；（1）、判断函数f（x）在上的单调性，并证明你的结论；（2）、若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈、a∈恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．专题：综合题．分析：（1）由题设知，令x1＜x2，且x1、x2∈，则=＞0，故f（x1）＜f（x2），由此得到函数f（x）在上是单调增函数．（2）由f（x）在上是增函数，知f（x）在上的最大值为f（1）=1，由m2﹣2am+1≥1对a∈恒成立，知g（a）=2ma﹣m2≤0对a∈恒成立，由此能求出m的范围．解答：解：（1）∵f（x）是定义在上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈，a+b≠0，有，∴令x1＜x2，且x1、x2∈，则=＞0，∵x1＜x2，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在上是单调增函数．…（6分）（2）∵f（x）在上是增函数，∴f（x）在上的最大值为f（1）=1，∵m2﹣2am+1≥1对a∈恒成立，∴g（a）=2ma﹣m2≤0对a∈恒成立，∴，解得m≥2或m≤﹣2或m=0．…（12分）点评：本题考查函数单调性的判断，求实数的取值范围．具体涉及到定义法判断函数的单调性、函数恒成立问题、不等式的性质．综合性强，难度大，有一定的探索性，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答．。

2013-2014学年云南省玉溪一中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（每小题5分，共60分）1．（5.00分）设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，1，2}，B={﹣1，1}，则A∩（∁U B）为（）A．{1，2}B．{1}C．{2}D．{﹣1，1}2．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+13．（5.00分）方程的根所在区间为（）A． B． C．（3，4） D．（4，5）4．（5.00分）已知函数，若f（a）+f（2）=0，则实数a的值等于（）A．﹣7 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣35．（5.00分）已知向量，则=（）A．B．2 C．D．36．（5.00分）已知sin（﹣x）=，则cos（x+）=（）A．B．C．﹣ D．﹣7．（5.00分）设，那么（）A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞18．（5.00分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点，则=（）A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．19．（5.00分）已知角a的终边与单位圆x2+y2=1交于P（，y），则sin（+2a）=（）A．﹣ B．1 C．D．﹣10．（5.00分）已知a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a（x+b）的图象可能为（）A．B．C．D．11．（5.00分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或312．（5.00分）对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log216]的值为（）A．21 B．34 C．35 D．38二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5.00分）函数的定义域为．14．（5.00分）已知sina=，且a为第二象限角，则tana的值为．15．（5.00分）设均为单位向量，且的夹角为60°，则，则的取值范围是．16．（5.00分）函数（x≠0，x∈R）有如下命题：（1）函数y=f（x）图象关于y轴对称．（2）当x＞0时，f（x）是增函数，x＜0时，f（x）是减函数．（3）函数f（x）的最小值是lg2．（4）f（x）无最大值，也无最小值．其中正确命题的序号是．三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17．（10.00分）已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|m≤x≤m+3}，（1）当m=﹣1时，求A∩B，A∪B；（2）若B⊆A，求m的取值范围．18．（12.00分）设，（1）解不等式f（x）≥0；（2）若，求f（x）的值域．19．（12.00分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2），（1）若||=，且，求的坐标；（2）若，解不等式．20．（12.00分）函数的一段图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．21．（12.00分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式，Q=t，其中0＜a＜4，今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．（1）求y关于x的函数解析式：（2）怎样投资才能使总利润的最大值？22．（12.00分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞）．（1）求a，b的值；（2）求关于x的不等式cx2﹣bx+a＜0（c＜0）的解集；（3）若关于x的不等式ax2﹣dx+bd＜0的解集中恰有两个整数，求实数d的取值范围．2013-2014学年云南省玉溪一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题5分，共60分）1．（5.00分）设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，1，2}，B={﹣1，1}，则A∩（∁U B）为（）A．{1，2}B．{1}C．{2}D．{﹣1，1}B={﹣2，0，2}，【解答】解：由U={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={﹣1，1}，则∁∪又A={﹣1，1，2}，所以A∩（∁B）={﹣1，1，2}∩{﹣2，0，2}={2}．∪故选：C．2．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+1【解答】解：A中，y=为奇函数，故排除A；B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，所以y=lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故选：D．3．（5.00分）方程的根所在区间为（）A． B． C．（3，4） D．（4，5）【解答】解：∵方程，∴设函数f（x）=，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（3）=log=log，f（4）=，∴根据根的存在性定理可知函数f（x）在区间（3，4）内存在唯一的一个零点，即方程的根所在区间为（3，4），故选：C．4．（5.00分）已知函数，若f（a）+f（2）=0，则实数a的值等于（）A．﹣7 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：由分段函数可知f（2）=2×2=4，∴由f（a）+f（2）=0得f（a）=﹣f（2）=﹣4，若a＞0，由f（a）=﹣4，得2a=﹣4，解得a=﹣2，∴此时不成立．若a≤0，由f（a）=﹣4，得a+1=﹣4，解得a=﹣5，∴a=﹣5成立．综上：a=﹣5．故选：B．5．（5.00分）已知向量，则=（）A．B．2 C．D．3【解答】解：====故选：A．6．（5.00分）已知sin（﹣x）=，则cos（x+）=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵﹣x+x+=，∴cos（x+）=sin（﹣x）=．故选：A．7．（5.00分）设，那么（）A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1【解答】解：根据函数f（x）=在R上是减函数，，∴1＞b＞a＞0，故选：B．8．（5.00分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点，则=（）A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．1【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴==2．又E为BC中点，∴．∴=====﹣1，故选：C．9．（5.00分）已知角a的终边与单位圆x2+y2=1交于P（，y），则sin（+2a）=（）A．﹣ B．1 C．D．﹣【解答】解：∵点P在单位圆上∴y=±∴a=或﹣sin（+2a）=cos2a=2cos2a﹣1=2×（）2﹣1=﹣故选：A．10．（5.00分）已知a＞b，函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a（x+b）的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象与a＞b得：a＞1＞b＞0．∴g（x）=log a（x+b）的图象是单调递增的，可排除A，D，又g（1）=log a（1+b）＞log a1=0，可排除C，故选：B．11．（5.00分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3【解答】解：因为f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），所以函数的对称轴是x=，就是函数取得最值，又f（）=﹣1，所以﹣1=±2+m，所以m=1或﹣3．故选：B．12．（5.00分）对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log216]的值为（）A．21 B．34 C．35 D．38【解答】解：由于[log21]=[0]=0，有1个0[log22]=[log23]=1．有2个1[log24]=[log25]=[log26]=[log27]=2．有4个2[log28]=[log29]=[log210]=…=[log215]=3，有8个3，[log216]=4，有1个4．∴[log21]+[log22]+[log23]+…+[log216]=0+1×2+2×4+8×3+4×1=38．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5.00分）函数的定义域为（0，] ．【解答】解：要使函数有意义，则1﹣2log5x≥0，即log5x，解得0＜x，即函数的定义域为（0，]，故答案为：（0，]．14．（5.00分）已知sina=，且a为第二象限角，则tana的值为﹣．【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限角，∴co sα=﹣=﹣，则tanα==﹣．故答案为：﹣15．（5.00分）设均为单位向量，且的夹角为60°，则，则的取值范围是．【解答】解：∵==1+2×1×1×cos60°+1=3，∴||=，∴||=|（）﹣（）|，由三角不等式可得|||﹣|||≤|（）﹣（）|≤||+||∴≤|（）﹣（）|≤∴的取值范围是：[，]故答案为：：[，]16．（5.00分）函数（x≠0，x∈R）有如下命题：（1）函数y=f（x）图象关于y轴对称．（2）当x＞0时，f（x）是增函数，x＜0时，f（x）是减函数．（3）函数f（x）的最小值是lg2．（4）f（x）无最大值，也无最小值．其中正确命题的序号是（1）（3）．【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又满足f（﹣x）=f（x），∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，（1）正确．（2）x＞0时，f（x）=lg（x+），令t=x+（x＞0），在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，（2）不正确．（3）∵t=x+≥2，又f（x）是偶函数，∴函数f（x）的最小值是lg2，（3）正确．（4）由（3）知，（4）不正确．故答案为：（1）（3）．三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17．（10.00分）已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|m≤x≤m+3}，（1）当m=﹣1时，求A∩B，A∪B；（2）若B⊆A，求m的取值范围．【解答】解：A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，（1）当m=﹣1时，B={x|﹣1≤x≤2}∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R．（2）∵B⊆A，∴m＞1或m+3＜﹣1，∴m＞1或m＜﹣4．18．（12.00分）设，（1）解不等式f（x）≥0；（2）若，求f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）≥0，即∴…（3分）∴，∴不等式f（x）≥0的解集为：{x|}…（6分）（2）∵，∴0≤2x≤π，∴…（8分）∴．∴∴f（x）的值域为：[﹣1，]…（12分）．19．（12.00分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2），（1）若||=，且，求的坐标；（2）若，解不等式．【解答】解：（1）设，∵||=，且，∴，解得或，∴，或；（2）∵，∴＜3，∴（log m x+3）（log m x﹣1）＜0∴log m x＜﹣3，或log m x＞1，∵0＜m＜1，∴x＞m﹣3，或0＜x＜m20．（12.00分）函数的一段图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）从图中可得A=2，T=π，∴ϖ=2，f（x）=2sin（2x+ϕ），把代入得，，f（x）=2sin．（2）函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象，∴g（x）=2sin=．∴，，k∈Z，解得x．函数的单调增区间是．21．（12.00分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式，Q=t，其中0＜a＜4，今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．（1）求y关于x的函数解析式：（2）怎样投资才能使总利润的最大值？【解答】解：（1）根据题意，，x∈[0，5]，a∈（0，4）．（2）∵，x∈[0，5]，a∈（0，4）．∴令，则，且，∴，对称轴为x=2a，①若，即时，当t=2a时，，此时；②若，即时，函数在上单调递增，当时，，此时x=5．综合①②，若时，甲项目投资亿元，乙项目投资亿元，总利润的最大值是亿元，若时，甲项目投资5亿元，乙项目投资不投资，总利润的最大值是亿元．答：当时，甲项目投资亿元，乙项目投资亿元，总利润的最大值是亿元；当时，甲项目投资5亿元，乙项目投资不投资，总利润的最大值是亿元．22．（12.00分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞）．（1）求a，b的值；（2）求关于x的不等式cx2﹣bx+a＜0（c＜0）的解集；（3）若关于x的不等式ax2﹣dx+bd＜0的解集中恰有两个整数，求实数d的取值范围．【解答】解：（1）∵不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞）．∴x=1或x=b是方程ax2﹣3x+6=4的两个根，即a﹣3+6=4，解得a=1，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得b=2，即a=1，b=2．（2）由（1）知不等式为cx2﹣2x+1＜0（c＜0）∴∴解为：．（3）设f（x）=x2﹣dx+2d，由△＞0得d＞8或d＜0①当d＜0时，f（0）＜0且对称轴在y轴的左侧，两整数为0，﹣1，∴，解得．②当d＞8时，f（4）＜0，且对称轴，两整数为4，5∴，解得．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()yf u=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．综上：或．。

2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A ∪B ）=（ ） A ．{1，3，4}, B ．{3，4}, C ．{3}, D ．{4} 2．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A ．球, B ．三棱锥, C ．正方体, D ．圆柱 3．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ） A ．1：2, B ．1：4, C ．1：8, D ．1：164．已知点M （a ，b ）在圆O ：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切, B ．相交, C ．相离, D ．不确定5．在下列命题中，不是公理的是（ ） A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线6．由表格中的数据可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间是(,1)()k k k Z +∈， 则k 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．27．若函数11()2xy m -=+的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．1m ≥D ．01m <≤ 8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(0,2]C ．[1,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若定义在区间[-2015，2015]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[-2015，2015]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2014，且x ＞0时，有f （x ）＞2014，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N的值为（ ）A ．2014B ．2015C ．4028D ．403010．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点．下列结论中正确的个数有①直线MN 与1AC 相交． ② MN BC ⊥． ③MN //平面11ACC A ． ④三棱锥1N A BC -的体积为1316N A BC V a -=． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案填在答题卷相应位置．）11．函数2log (1)y x =-的定义域为___________．12．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为 ．13．已知集合{(,)A x y y ==，{(,)}B x y y x m ==+，且A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______________．14．已知函数1333,1()log ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩，则满足不等式1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围为 ． 15．下列四个命题：其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设全集为U R =，集合(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，{}2|log (2)4B x x =+<． （1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知{}|21C x x a x a =><+且，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．已知直线1l ：10ax by ++=，（,a b 不同时为0），2l ：(2)0a x y a -++=， （1）若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当3b =且12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18．（本小题满分12分）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知圆C 的方程:04222=+--+m y x y x ,其中5m <．（1）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点，且MN =,求m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1ax g x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求．）2、答案D分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3、4、6、7、8、9、10、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．(]2,1 12．14 (0,0,)913．[-14．31[,log 5]915．①④⑤三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）．解：（1）由0216,x <+<得(2,14)B =-， ……………………………2分 又(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，故阴影部分表示的集合为()(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞ ； ……………………5分 （2）① 21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，成立； ………………………9分 ② 21a a <+，即1a <时，(2,1)(2,14)C a a =+⊆-，114,22,a a +≤⎧⎨≥-⎩得11a -≤<， ………………………11分综上所述，a 的取值范围为[1,)-+∞． …………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）当0b =时，1l ：10ax +=，由12l l ⊥知(2)0a -=，…………4分 解得2a =；……………6分（2）当3b =时，1l ：310ax y ++=，当12//l l 时，有3(2)0,310,a a a --=⎧⎨-≠⎩…………8分解得3a =， …………………9分 此时，1l 的方程为：3310x y ++=，2l 的方程为：30x y ++=即3390x y ++=，…………11分则它们之间的距离为d ==分 18．（本小题满分12分）解：（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得 1m =或12m =-……3分 当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去．∴2()f x x =． ……………………6分 （2）由（1）得22(1)1y x a x =--+，即函数的对称轴为1x a =-， …………8分 由题意知22(1)1y x a x =--+在（2，3）上为单调函数， 所以12a -≤或13a -≥， ………11分 即3a ≤或4a ≥． …………12分 19．（本小题满分12分） 解：20．（本小题满分13分）．解：（1）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22，圆心 C （1，2），半径 m r -=5， 则圆心C （1，2）到直线:240l x y +-=的距离为 5121422122=+-⨯+=d ………3分由于MN =12MN =，有2221()2r d MN =+，,)52()51(522+=-∴m 得4=m ． …………………………6分（2）假设存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l， ……7分 由于圆心 C （1，2），半径1=r ， 则圆心C （1，2）到直线02:=+-c y x l 的距离为511532122122-<-=++⨯-=c cd ， …………10分解得5254+<<-c ． …………13分 21．（本小题满分14分）解：（1）因为函数)(x g 为奇函数， 所以()()g x g x -=-，即11log 11log 2121---=--+x axx ax ， 即axx x ax --=--+1111，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a ． ……4分（2）由（1）得：11log )(21-+=x xx g ， 下面证明函数11log )(21-+=x xx g 在区间(1,)+∞上单调递增， 证明略． ………6分 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上单调递增， 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上的值域为]1,2[--， 所以2)(≤x g ，故函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成集合为),2[+∞．……8分 （3）由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立．3)(3≤≤-x f ，xx x a ⎪⎭⎫⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414．xx x xa ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴21222124在),0[+∞上恒成立．minmax 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴xxx x a ……………………10分设t x=2，t t t h 14)(--=，tt t p 12)(-=，由),0[+∞∈x 得1≥t ,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>，()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<,所以)(t h 在),1[+∞上递减，)(t p 在),1[+∞上递增， ………………12分)(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p ．所以实数a 的取值范围为]1,5[-． …………………14分。

2015-2016学年云南省玉溪一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共有12题，每题5分，共60分）1．（5分）设集合A＝{x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B为函数y＝lg（x﹣1）的定义域，则A ∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]2．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a2•a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为（）A．3B．﹣3C．D．3．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+y﹣2＝0D．x+2y﹣1＝0 4．（5分）函数f（x）＝﹣2x2+3x（0＜x≤2）的值域是（）A．B．C．D．5．（5分）函数y＝lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）6．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增7．（5分）直线2x+3y﹣6＝0分别交x轴和y轴于A，B两点，P是直线y＝﹣x上的一点，要使|P A|+|PB|最小，则点P的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（0，0）C．（1，﹣1）D．（，﹣）8．（5分）设a＝log32，b＝ln2，c＝，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m﹣1+a m+1﹣a m2＝0，S2m﹣1＝38，则m＝（）A．2B．9C．10D．1910．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的表面积为（单位：m2）（）A．（11+）πB．（12+4）πC．（13+4）πD．（14+4）π11．（5分）在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，2）时，则f（x）＝2x2，f（7）＝（）A．﹣2B．2C．﹣98D．98二、填空题（本大题共有4题，每题5分，共20分）13．（5分）若点P（x，y）在不等式组所确定的区域内，则z＝y﹣x的最大值为．14．（5分）已知＝＝2，•＝﹣2，则与的夹角为．15．（5分）已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是．16．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，且SA＝SB＝SC＝SD＝4，则过点A，B，C，D，S的球的体积为．三、解答题（本大题共有6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）求函数y＝f（x）的单调递减区间；（2）若函数y＝f（x+θ）（0＜θ＜）为偶函数，求θ的值．18．（12分）某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观测点A，B（假设A，B，C，D在同一水平面上），且AB＝80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°．请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号，单位：米/秒）19．（12分）设函数f（x）＝|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面P AD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．（1）求证：PC⊥AD；（2）求点D到平面P AM的距离．21．（12分）如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A（﹣2，0），C（a，0）（a＞0）．设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N．（1）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；（2）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；（3）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为？若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．22．（12分）已知数列{a n}的前n项之和为S n（n∈N*），且满足a n+S n＝2n+1．（1）求证数列{a n﹣2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜．2015-2016学年云南省玉溪一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12题，每题5分，共60分）1．（5分）设集合A＝{x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B为函数y＝lg（x﹣1）的定义域，则A ∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2≤2x≤4，即﹣1≤x≤2，∴A＝[﹣1，2]，由B中y＝lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B＝（1，+∞），则A∩B＝（1，2]，故选：D．2．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a2•a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为（）A．3B．﹣3C．D．【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：由a2＝1，且等比数列{a n}的公比为正数，所以数列{a n}为正项数列，设其公比为q（q＞0），则由a2•a6＝9a4，得，所以a4＝9．又a2＝1，所以，则q＝3．所以．故选：D．3．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+y﹣2＝0D．x+2y﹣1＝0【考点】I8：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；IG：直线的一般式方程与直线的性质．【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c＝0，又经过（1，0），∴1﹣0+c＝0故c＝﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1＝0；故选：A．4．（5分）函数f（x）＝﹣2x2+3x（0＜x≤2）的值域是（）A．B．C．D．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：f（x）＝﹣2x2+3x＝﹣2（x﹣）2+，∵0＜x≤2，当x＝时，f（x）取最大值，当x＝2时，取最小值﹣2，∴﹣2≤f（x）≤，故选：A．5．（5分）函数y＝lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：由于函数y＝f（x）＝lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）＝lg9﹣1＜0，f（10）＝1﹣＝＞0，f（9）•f（10）＜0，故函数y＝lgx﹣的零点所在的大致区间是（9，10），故选：D．6．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：把函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y＝3sin[2（x﹣）+]．即y＝3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k＝0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．7．（5分）直线2x+3y﹣6＝0分别交x轴和y轴于A，B两点，P是直线y＝﹣x上的一点，要使|P A|+|PB|最小，则点P的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（0，0）C．（1，﹣1）D．（，﹣）【考点】IT：点到直线的距离公式．【解答】解：由题意，A（3，0），B（0，2）设点B（0，2）关于直线y＝﹣x的对称点B′（m，n），则由，求得，可得B′（﹣2，0），∴AB′的直线方程为：y＝0∴联立方程可得：，求得x＝y＝0∴点P的坐标为（0，0）．故选：B．8．（5分）设a＝log32，b＝ln2，c＝，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】4M：对数值大小的比较．【解答】解：a＝log32＝，b＝ln2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝＝，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选：C．9．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m﹣1+a m+1﹣a m2＝0，S2m﹣1＝38，则m＝（）A．2B．9C．10D．19【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：由等差数列的性质可得a m﹣1+a m+1＝2a m，又∵a m﹣1+a m+1﹣a m2＝0，∴2a m﹣a m2＝0，解得a m＝0或a m＝2，又S2m﹣1＝＝＝（2m﹣1）a m＝38，∴a m＝0应舍去，∴a m＝2，∴2（2m﹣1）＝38，解得m＝10故选：C．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的表面积为（单位：m2）（）A．（11+）πB．（12+4）πC．（13+4）πD．（14+4）π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和圆锥组成的组合体，圆柱的底面直径为2，故底面周长为2π圆柱的高为4，故圆柱的侧面积为8π，圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，底面面积S＝4π，圆锥的高h＝2，故母线长为2，故圆锥的侧面积为：4，组合体的表面积等于圆锥的底面积与圆锥的侧面积及圆柱侧面积的和，故组合体的表面积S＝（12+4）π，故选：B．11．（5分）在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】96：平行向量（共线）．【解答】解：∵＝＝＝﹣y，∵，点O在线段CD上（与点C、D不重合），∴y，∵，∴故选：D．12．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，2）时，则f（x）＝2x2，f（7）＝（）A．﹣2B．2C．﹣98D．98【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：由f（x+2）＝﹣f（x），得f（x+4）＝f（x），所以函数的周期为4．所以f（7）＝f（3）＝f（﹣1），因为函数为奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，所以f（7）＝f（﹣1）＝﹣2．故选：A．二、填空题（本大题共有4题，每题5分，共20分）13．（5分）若点P（x，y）在不等式组所确定的区域内，则z＝y﹣x的最大值为3．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：画不等式组的可行域如图，画直线z＝y﹣x，平移直线z＝y﹣x过点A时z有最大值；由，解得，A（2，5），z＝y﹣x的最大值为：3．故答案为：3．14．（5分）已知＝＝2，•＝﹣2，则与的夹角为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【解答】解：设两个向量的夹角为θ∵∴∵∴∴∴故答案为15．（5分）已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是8．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：x+2y＝（x+2y）（+）＝2+++2≥4+2＝8，当且仅当＝时，等号成立，故x+2y的最小值为8，故答案为：8．16．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，且SA＝SB＝SC＝SD＝4，则过点A，B，C，D，S的球的体积为π．【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：取底面中心O，则OA＝OB＝OC＝OD＝4，SO⊥平面ABCD，∴SO＝8，设过点A，0B，C，D，S的球的半径为R，则R2＝（8﹣R）2+42，∴R＝5∴过点A，B，C，D，S的球的体积为V＝π×53＝π．故答案为：π．三、解答题（本大题共有6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）求函数y＝f（x）的单调递减区间；（2）若函数y＝f（x+θ）（0＜θ＜）为偶函数，求θ的值．【考点】H2：正弦函数的图象．【解答】解：（1）对于函数f（x）＝2sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．（2）若函数y＝f（x+θ）＝2sin[2（x+θ）﹣]＝2sin（2x+2θ﹣）为偶函数，则2θ﹣＝kπ+，即θ＝+，k∈z．结合0＜θ＜，可得θ＝．18．（12分）某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观测点A，B（假设A，B，C，D在同一水平面上），且AB＝80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°．请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号，单位：米/秒）【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理；HU：解三角形．【解答】解、由条件可知∠ACB＝45°，∠CBD＝60°．…（1分）在△ABD中∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，AB＝80∴…（4分）在△ABC中∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝80根据正弦定理有即…（7分）在△BCD中∴，，∠CBD＝60°根据余弦定理有＝＝…（10分）所以航模的速度米/秒．…（12分）19．（12分）设函数f（x）＝|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到4、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣4|＝3，再结合a＞1，可得a＝7．（2）f（x）＝|x﹣4|+|x﹣7|＝，故由f（x）≤5可得，①，或②，或③．解①求得3≤x＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，所以不等式的解集为[3，8]．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面P AD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．（1）求证：PC⊥AD；（2）求点D到平面P AM的距离．【考点】L3：棱锥的结构特征；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△P AD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP＝O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，∴AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD．（2）点D到平面P AM的距离即点D到平面P AC的距离，由（1）可知PO⊥AD，又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面P AD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．在Rt△POC中，，，在△P AC中，P A＝AC＝2，，边PC上的高AM＝，∴△P AC的面积，设点D到平面P AC的距离为h，由V D﹣P AC＝V P﹣ACD得，又，∴，解得，∴点D到平面P AM的距离为．21．（12分）如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A（﹣2，0），C（a，0）（a＞0）．设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N．（1）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；（2）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；（3）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为？若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系；JE：直线和圆的方程的应用．【解答】解：（1）∵△AOB为等腰直角三角形，A点坐标为（﹣2，0），∴圆心M的坐标为（﹣1，1）．∴圆M方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝2，又△COD为等腰直角三角形，C点坐标为（a，0），∴直线CD的方程为x+y﹣a＝0∵⊙M与直线CD相切，∴圆心M到直线CD的距离d＝＝，解得a＝2或a＝﹣2（舍）．∴直线CD的方程为x+y﹣2＝0（4分）（2）由已知得，直线AB的方程为x﹣y+2＝0，圆心N的坐标为（，）．∴圆心N到直线AB的距离为＝．∵直线AB截⊙N所得的弦长为4，∴22+（）2＝．解得a＝2或a＝﹣2（舍），∴⊙N的标准方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝6．（8分）（3）存在．由（2）知，圆心N到直线AB的距离恒为，且AB⊥CD始终成立，∴当且仅当圆N的半径＝2，即a＝4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为．此时⊙N的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8．（12分）22．（12分）已知数列{a n}的前n项之和为S n（n∈N*），且满足a n+S n＝2n+1．（1）求证数列{a n﹣2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【解答】证明：（1）由a n+S n＝2n+1，当n＝1时，a1+a1＝2+1，解得．当n≥2时，a n﹣1+S n﹣1＝2（n﹣1）+1，∴a n﹣a n﹣1+a n＝2，即，变形，∴数列{a n﹣2}是等比数列，首项为a1﹣2＝﹣，公比为的等比数列．∴，．（2）＝＝，∴++…+＝++…+＝＜．。

玉溪一中2014—2015学年上学期期末考试高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意：请将试题答在答题卡上，答在试卷上无效！第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.) 1.)613sin(π-的值是（ ） A.23 B. 23- C. 21 D. 21-2.已知集合M={}{},25|,,32|2≤≤-=∈-+=x x N R x x x y y 集合则)(N C M R 等于（ ）A.[)+∞-,4B. ),2()5,(+∞--∞C. ),2(+∞D. ∅3.已知点A （1，1），B(4,2)和向量),,2(λ=a 若AB a //, 则实数λ的值为（ ） A. 32-B.23C.32D.23-4.函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（ ） A. (－1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (1，e)5. 若幂函数222)33(--+-=m m xm m y 的图像不过原点，则实数m 的取值范围为（ ） A.21≤≤-mB.6π或1=mC.2=mD.1=m6. 已知⎩⎨⎧<+≥-=)6(),2()6(,5)(x x f x x x f ，则f (3)为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 57. 函数122+=x xy 的值域是（ ）A. (0,1)B. (]1,0C. ()+∞,0D. [)+∞,08. 已知3log 3log 22+=a ，3log 9log 22-=b ，2log 3=c 则c b a ,,的大小关系是（ ）A. c b a <=B. c b a >=C. c b a <<D.c b a >>9. 函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A>0,2,0πϕω<>）的图像如图所示，为了得到x x g 3sin )(=的图像，则只要将）x f (的图像（A.向右平移12π个单位长度B.向右平移4π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度D. 向左平移12π个单位长度10. 若函数)0(1>-+=a m a y x 的图像经过第一、三和四象限，则（ ）A. a >1B. 0< a <1且m >0C. a >1 且m <0D. 0< a <111.已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则)(AC AB AP +⋅（ ）A. 有最大值，为8B. 是定值6C. 有最小值，为2D. 与P 点的位置有关12. 若函数）x f (为奇函数，且在()+∞,0上是减函数，又 03(=）f ，则0)()(<--xx f x f 的解集为（ ）A. (－3,3)B. )3,0()3,( --∞C. ),3()0,3(+∞-D.),3()3,(+∞--∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知2tan =α，则=+-ααααcos sin cos sin __________.14. 若向量b a ,满足,1==b a 且,23)(=⋅+b b a 则向量b a,的夹角为__________.15. 若函数(]1-)32(log )(221，在∞+-=ax x x f 上是增函数，则实数a 的取值范围是__________．16. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，并满足)(1)2(x f x f -=+，当时，32≤≤x x x f =）(,则=-)211(f __________．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

2014-2015学年云南省玉溪一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={y|y=（x≠0）}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅2．（5分）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．（5分）若直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a2﹣1）=0垂直，则a的值为（）A．﹣或0B．0C．﹣或0D．﹣35．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2 6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6] 8．（5分）一块橡胶泥表示的几何体的三视图如图所示，将该橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥，则这个三棱锥的高为（）A．3B．6C．9D．189．（5分）已知A（﹣3，0），B（0，4），M是圆C：x2+y2﹣4x=0上一个动点，则△MAB的面积的最小值为（）A．4B．5C．10D．1510．（5分）已知a＞0，b＞0，若3a+4b=ab，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+411．（5分）在矩形ABCD中，若AB=3，AD=4，E是CD的中点，F在BC上，若•=10，则•等于（）A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．12．（5分）若f（x）=，x1＜x2＜x3，且f （x1）=f （x2）=f （x3），则x1+x2+x3的值的范围是（）A．[1，2）B．（1，2]C．（0，1]D．[2，3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）设数列{a n}满足a1=7，a n+a n+1=20，则{a n}的前50项和为．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（5分）在三角形ABC中，若A=60°，AB=4，AC=1，D是BC的中点，则AD 的长为．16．（5分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．18．（12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F 分别为A1C1和BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．20．（12分）在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若=（b，cosB），=（sinA，﹣a），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．21．（12分）若数列{a n}满足a1=2，a n+1=．（1）设b n=，问：{b n}是否为等差数列？若是，请说明理由并求出通项b n；（2）设c n=a n a n+1，求{c n}的前n项和．22．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．2014-2015学年云南省玉溪一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={y|y=（x≠0）}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅【解答】解：A={y|y=（x≠0）}={﹣1，1}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}=[﹣1，2]，故A⊊B；故选：A．2．（5分）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q【解答】解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有|x|≥0成立，即p为真命题，当x=1时，x+2=3≠0，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题，则p∧￢q，为真命题，故选：A．3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．4．（5分）若直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a2﹣1）=0垂直，则a的值为（）A．﹣或0B．0C．﹣或0D．﹣3【解答】解：直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a2﹣1）=0垂直，当a=0时显然成立；当a≠0时，有解得a=﹣故选：A．5．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D．8．（5分）一块橡胶泥表示的几何体的三视图如图所示，将该橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥，则这个三棱锥的高为（）A．3B．6C．9D．18【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱，底面是直角边为6，8的三角形，高为12，故几何体的体积为=288，∵橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥，∴底面积为=16，∴三棱锥的高为=18，故选：D．9．（5分）已知A（﹣3，0），B（0，4），M是圆C：x2+y2﹣4x=0上一个动点，则△MAB的面积的最小值为（）A．4B．5C．10D．15【解答】解：由x2﹣4x+y2=0，得（x﹣2）2+y2=4，∴圆的圆心（2，0），半径为2，过圆心作AB所在直线的垂线，交圆于M，此时△ABM的面积最小．直线AB的方程为4x﹣3y+12=0，|AB|=5，∴圆心到直线AB的距离为=4，∴△MAB的面积的最小值为=5，故选：B．10．（5分）已知a＞0，b＞0，若3a+4b=ab，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4【解答】解：∵a＞0，b＞0，3a+4b=ab，∴＞0，解得b＞3．∴a+b=+b=+7+7=7+4．当且仅当b=3+2时取等号．∴a+b的最小值是7+．故选：D．11．（5分）在矩形ABCD中，若AB=3，AD=4，E是CD的中点，F在BC上，若•=10，则•等于（）A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．【解答】解：建立坐标系如图，则A（0，3），D（4，3），E（4，1.5）设F（x，0）则=（x，﹣3），=（4，0），由•=10，得到4x=10，所以x=2.5，所以=（﹣1.5，﹣1.5），=（4，0），所以=﹣1.5×4=﹣6；故选：B．12．（5分）若f（x）=，x1＜x2＜x3，且f （x1）=f （x2）=f （x3），则x1+x2+x3的值的范围是（）A．[1，2）B．（1，2]C．（0，1]D．[2，3）【解答】解：由于f（x）=，当x＜0时，y＞﹣2；当x≥0时，y=（x﹣1）2﹣2≥﹣2，f（0）=f（2）=﹣1，由x1＜x2＜x3，且f （x1）=f （x2）=f （x3），则x2+x3=2，即有x1+x2+x3=x1+2，当f（x1）=﹣1即﹣x1﹣2=﹣1，解得x1=﹣1，由﹣1≤x1＜0，可得1≤x1+2＜2，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）设数列{a n}满足a1=7，a n+a n+1=20，则{a n}的前50项和为500．=20，且a1=7，【解答】解：数列{a n}满足a n+a n+1则：利用递推关系式求出：a2=13，a3=7，a4=13…所以数列{a n}的前50项和有25项的值都为7，25项的值都为13．则：S50=25×7+25×13=500故答案为：50014．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7．15．（5分）在三角形ABC中，若A=60°，AB=4，AC=1，D是BC的中点，则AD的长为．【解答】解：如图以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，则在三角形ABC中，若A=60°，AB=4，AC=1，A（0，0），B（2，2），C（1，0）D是BC的中点，D（）．AD==．故答案为：．16．（5分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）由曲线C：ρ2cos2θ=ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，得ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ=1，化成普通方程x2﹣y2=1．①（5分）（2）（方法一）把直线参数方程化为标准参数方程，②把②代入①，整理，得t2﹣4t﹣6=0，设其两根为t1，t2，则t1+t2=4，t1•t2=﹣6，．（8分）从而弦长为．（10分）（方法二）把直线l的参数方程化为普通方程为，代入x2﹣y2=1，得2x2﹣12x+13=0，．（6分）设l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，．（8分）∴．（10分）18．（12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F 分别为A1C1和BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．【解答】证明：（1）∵BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥BB1 又AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1而AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1（2）取AC的中点G，连结C1G、FG，∵F为BC的中点，∴FG∥AB又E为A1C1的中点∴C1E∥AG，且C1E=AG∴四边形AEC1G为平行四边形，∴AE∥C1G∴平面C1GF∥平面EAB，而C1F⊂平面C1GF，∴C1F∥平面EAB．20．（12分）在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若=（b，cosB），=（sinA，﹣a），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵=（b，cosB），=（sinA，﹣a），且⊥，∴bsinA﹣acosB=0，利用正弦定理化简得：sinB•sinA﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又0°＜B＜180°，∴B=60°；（2）由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，b=3，∴a2+c2﹣ac=9①，又∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得：c=2a②，由①②，解得：a=，c=2，∴S=××2•sin60°=．△ABC21．（12分）若数列{a n}满足a1=2，a n+1=．（1）设b n=，问：{b n}是否为等差数列？若是，请说明理由并求出通项b n；（2）设c n=a n a n+1，求{c n}的前n项和．=，b n=，【解答】解：（1）∵a n+1﹣b n=﹣=3∴b n+1∴{b n}是公差为3的等差数列，又b1==，∴b n=3n﹣（2）∵b n=，∴a n=由a n=，得：3a n+1a n+a n+1=a n+1∴a n a n+1=（a n﹣a n+1），∴c n=（a n﹣a n+1）∴{C n}的前n项和为S n=[（a1﹣a2）+（a2﹣a3）+…+（a n﹣a n+1）=（a1﹣a n+1）=（2﹣）=．22．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF 1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=．。

2014-2015学年云南省玉溪一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．（5.00分）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5.00分）已知集合M={y|y=x2+2x﹣3，x∈R}，集合N={x|﹣5≤x≤2}，则M ∩（∁R N）等于（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．∅3．（5.00分）已知点A（1，1），B（4，2）和向量=（2，λ），若∥，则实数λ的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣4．（5.00分）函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（1，e）5．（5.00分）如果幂函数y=（m2﹣3m+3）的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2 B．m=1或m=2 C．m=2 D．m=16．（5.00分）已知f（x）=，则f（3）为（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5.00分）函数y=的值域是（）A．（0，1） B．（0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）8．（5.00分）已知a=log23+log2，b=log29﹣log2，c=log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c9．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．（5.00分）若函数y=a x+m﹣1（a＞0）的图象经过第一、三和四象限，则（）A．a＞1 B．0＜a＜1且m＞0 C．a＞1 且m＜0 D．0＜a＜111．（5.00分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值212．（5.00分）若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则＜0的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知tanα=2，则的值为．14．（5.00分）若向量，满足||=||=1，且（+）•=，则向量，的夹角为．15．（5.00分）在（﹣∞，1]内是增函数，则实数a的取值范围是．16．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+2）=﹣，当2≤x≤3时，f（x）=x，则f（﹣）=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知α，β都是锐角，sinα=，cos（α+β）=．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求sinβ的值．18．（12.00分）已知函数f（x）=2cosxsin（x+）+1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求函数的值域．19．（12.00分）已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）﹣f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．20．（12.00分）已知向量=（cos（﹣θ），sin（π+θ）），=（cos（﹣θ），sin （﹣θ））．（Ⅰ）求证⊥；（Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t2+3），=﹣k+t满足⊥，试求此时的最小值．21．（12.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）=log（﹣x+1）．（1）求f（0），f（1）；（2）求函数f（x）的解析式；（3）若f（a﹣1）＜1，求实数a的取值范围．22．（12.00分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，有；（1）判断函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]、a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年云南省玉溪一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．（5.00分）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：sin（﹣）=﹣sin（2π+）=﹣sin=﹣．故选：D．2．（5.00分）已知集合M={y|y=x2+2x﹣3，x∈R}，集合N={x|﹣5≤x≤2}，则M ∩（∁R N）等于（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．∅【解答】解：M={y|y=x2+2x﹣3，x∈R}={y|y=（x+1）2﹣4≥﹣4，x∈R}，集合N={x|﹣5≤x≤2}，则∁R N={x|x＞2或x＜﹣5}，则M∩（∁R N）={x|x＞2}=（2，+∞），故选：C．3．（5.00分）已知点A（1，1），B（4，2）和向量=（2，λ），若∥，则实数λ的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：=（4，2）﹣（1，1）=（3，1），∵∥，∴3λ﹣2=0．解得．故选：B．4．（5.00分）函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（1，e）【解答】解：令f（x）=x+lnx=0，可得lnx=﹣x，再令g（x）=lnx，h（x）=﹣x，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（0，1），从而函数f（x）的零点在（0，1），故选：B．5．（5.00分）如果幂函数y=（m2﹣3m+3）的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2 B．m=1或m=2 C．m=2 D．m=1【解答】解：幂函数的图象不过原点，所以解得m=1或2，符合题意．故选：B．6．（5.00分）已知f（x）=，则f（3）为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由题意得：f（3）=f（5）=f（7）∵7≥6，∴f（7）=7﹣5=2．故选：A．7．（5.00分）函数y=的值域是（）A．（0，1） B．（0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：∵函数y===1﹣，当x∈R时，2x＞0，∴2x+1＞1，∴0＜＜1，∴﹣1＜﹣＜0，∴0＜1﹣＜1；即y=的值域是（0，1）．故选：A．8．（5.00分）已知a=log23+log2，b=log29﹣log2，c=log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c【解答】解：∵a=log 23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故选：B．9．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：∵选项只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故ω=3，又函数的图象的第二个点是（，0）∴3×φ=π于是，∴函数的图形要向右平移个单位，故选：B．10．（5.00分）若函数y=a x+m﹣1（a＞0）的图象经过第一、三和四象限，则（）A．a＞1 B．0＜a＜1且m＞0 C．a＞1 且m＜0 D．0＜a＜1【解答】解：若函数的图象经过第一、三和四象限，则函数为增函数，即a＞1，且f（0）=a0+m﹣1＜0，即m＜0，故选：C．11．（5.00分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2【解答】解：设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t +=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2 =﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选：B．12．（5.00分）若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则＜0的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【解答】解：因为y=f（x）为奇函数，所以=＜0，所以不等式等价为．因为函数y=f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，所以解得x＞3或x＜﹣3，即不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知tanα=2，则的值为．【解答】解：∵tanα=2，∴===，故答案为：．14．（5.00分）若向量，满足||=||=1，且（+）•=，则向量，的夹角为．【解答】解：因为||=||=1，且（+）•=，所以=，所以，所以，所以cos＜＞=所以向量，的夹角为；故答案为：．15．（5.00分）在（﹣∞，1]内是增函数，则实数a的取值范围是[1，2）．【解答】解：令t=x2﹣2ax+3，∵y=在定义域上是减函数又∵在（﹣∞，1]内是增函数∴函数t在（﹣∞，1]内是减函数且t＞0∴解得：1≤a＜2故答案为：[1，2）16．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+2）=﹣，当2≤x≤3时，f（x）=x，则f（﹣）=．【解答】解：∵f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣==f（x），即函数的周期为4∵f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（﹣x）=f（x）∴f（﹣）=f（﹣4）=f（﹣）=f（4﹣）=，∵当2≤x≤3时，f（x）=x，∴f（）=，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知α，β都是锐角，sinα=，cos（α+β）=．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求sinβ的值．【解答】（10分）解：（Ⅰ）∵α∈（0，），sinα=，∴==∴tanα==∴tan2α==﹣．（Ⅱ）∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），cos（α+β）=∴sin（α+β）=∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα==．18．（12.00分）已知函数f（x）=2cosxsin（x+）+1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求函数的值域．【解答】（12分）解：（Ⅰ）f（x）=cos x（sin x+cos x）+1=cos2x+sin x cos x+1=+1=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+∵T==即函数f（x）的最小正周期为：π．由f（x）=sin（2x+）+令：2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z）解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）故函数f（x）=sin（2x+）+的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）（Ⅱ）x∈[﹣，]，﹣≤2x≤，﹣≤2x+≤∴﹣≤sin（2x+）≤1∴1≤sin（2x+）+≤∴函数的值域为[1，]．19．（12.00分）已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）﹣f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=2x，∴g（x）=f（2x）﹣f（x+2）=22x﹣2x+2．（3'）因为f（x）的定义域是[0，3]，所以，解之得0≤x≤1．于是g（x）的定义域为{x|0≤x≤1}．（或写成[0，1]，否则扣1分）（6'）（2）设g（x）=（2x）2﹣4×2x=（2x﹣2）2﹣4．（8'）∵x∈[0，1]，即2x∈[1，2]，∴当2x=2即x=1时，g（x）取得最小值﹣4；（10'）当2x=1即x=0时，g（x）取得最大值﹣3．（12'）20．（12.00分）已知向量=（cos（﹣θ），sin（π+θ）），=（cos（﹣θ），sin （﹣θ））．（Ⅰ）求证⊥；（Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t2+3），=﹣k+t满足⊥，试求此时的最小值．【解答】（I）证明：∵=cos（﹣θ）cos（﹣θ）+sin（π+θ）sin（）=sin cosθ﹣sinθcosθ=0，∴⊥．（Ⅱ）由⊥，∴•=0，即[+（t2+3）]•（﹣k+t）=0．∴﹣k+（t3+3t）+[t﹣k（t2+3）]•=0∴﹣k||2+（t3+3t）||2=0又∵=1，∴﹣k+t3+3t=0，∴k=t3+3t∴==t2+t+3，=（t+）2+故当t=﹣时，的取得最小值，为．21．（12.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）=log（﹣x+1）．（1）求f（0），f（1）；（2）求函数f（x）的解析式；（3）若f（a﹣1）＜1，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）分别令x=0，﹣1即可得出f（0）=0，f（1）=f（﹣1）=﹣1；（II）令x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）==f（x）∴x＞0时，f（x）=∴（Ⅲ）∵f（x）=在（﹣∞，0]上为增函数，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数∵f（a﹣1）＜﹣1=f（1）∴|a﹣1|＞1，∴a＞2或a＜0．22．（12.00分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，有；（1）判断函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]、a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，有，∴令x1＜x2，且x1、x2∈[﹣1，1]，则=＞0，∵x1＜x2，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数．…（6分）（2）∵f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，∵m2﹣2am+1≥1对a∈[﹣1，1]恒成立，∴g（a）=2ma﹣m2≤0对a∈[﹣1，1]恒成立，∴，解得m≥2或m≤﹣2或m=0．…（12分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。