十年高考真题分类汇编 数学 专题 推理与证明

专题十三 推理与证明第三十九讲 数学归纳法解答题1．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤； （Ⅲ）121122n n n x --≤≤．2．(2015湖北) 已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n +与e 的大小；（Ⅱ）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a L L 的公式，并给出证明；（Ⅲ）令112()nn n c a a a =L ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <． 3．(2014江苏)已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（Ⅰ）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．4．（2014安徽）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈． （Ⅰ）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p+>+1)1(； （Ⅱ）数列{}n a 满足pc a 11>，pn n n a pc a p p a -++-=111， 证明：p n n ca a 11>>+．5．（2014重庆）设111,(*)n a a b n N +==+∈（Ⅰ）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论．6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数()(1)rf x rx x r =-+-(0)x >，其中为有理数，且01r <<.求()f x 的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题． 注：当为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.7．（2011湖南）已知函数3()f x x =，()g x x =+（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列{n a }（*n N ∈）满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M ，使得对于任意的*n N ∈，都有n a ≤ M ．。

专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明答案部分1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++ 1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．2．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ．4．B 【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan OD OGγ=， G FE O DC B AP QR 图1 图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B，C ，(0,)3O ，∵AP PB =，2BQ CR QC RA==，∴1(,33Q，2(,33R -，则直线RP的方程为2y x =-，直线PQ的方程为y =，直线RQ的方程为39y x =+，根据点到直线的距离公式，知21OE =，39OF =，13OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<，因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<．选B5．B 【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1~8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a ，60，63，a l 的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以l 号，5号学生必进入30秒跳绳决赛，故选B ．6．A 【解析】当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种， 同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ．7．B 【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B ．8．A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A ．9．D 【解析】∵553125=,6515625=,7578125=,85390625=，951953125=， 1059765625=,,∴5n (n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4,记5n(n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字为()f n ,则(2011)(50147)f f =⨯+ (7)f =，∴20115与75的末位数字相同，均为8 125，选D ．10．D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数()f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，即函数()f x 是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有()g x -=()g x -，故选D ．11．27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a 中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．12．1Q 2p 【解析】设线段i i A B 的中点为(,)i i i C x y ，则2i i Q y =，其中1,2,3i =①由题意只需比较线段i i A B 中点的纵坐标的大小即可，作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 的中点纵坐标大，所以第一位选1Q ． ②由题意i i iy p x =，只需比较三条线段1OC ，2OC 3OC 斜率的大小，分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B ''' 斜率，可得22A B '最大，所以选2.p13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C 从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A ．14．【解析】根据已知，归纳可得结果为43n (n+1)． 15．111111111234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++．【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n ++⋅⋅⋅+++． 16．14n -【解析】 具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++L L 021122223121212121212121211[()()()()]2n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C L ------------=++++++++ 01212121121212121212111()2422n n n n n n n n n n n C C C C C C L L ----------=+++++++=⋅=．17．14【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =1122,AB AC a AA a =====，1231A A a ==，，6567114A A a a ==⨯=．解法二 求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =所以1122,AB AC a AA a =====，11sin 24n n n n n n A A a a π-+==⋅==⨯，故672a =⨯=1418．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上符合条件的有序数组的个数是6．19．42【解析】先由徒弟粗加一工原料B ，6天后，师傅开始精加工原料B ，徒弟同时开始粗加工原料A ，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料A 完成，此时师傅还在精加工原料B ，27天后，师傅精加工原料B 完成，然后接着精加工原料A ，再15天后，师傅精加工原料A 完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15= 42个工作日．20．12014x x +【解析】由1()1x f x x =+，得2()()112x x f x f x x==++， 可得32()(())13x f x f f x x ==+，故可归纳得2014()12014x f x x=+． 21．2F V E +-=【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得2F V E +-=．22．12－22+32－42+…+（－1）n +1n 2=（－1）n +1·(1)2n n +（n ∈*N ） 【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(1)n-·(1)2n n +，所以第n 个式子可为12－22+32－42+…+12(1)n n +-=（－1）n+1·(1)2n n +（n ∈*N ）． 23．1000【解析】观察2n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故()2,241110N n n n =-，()10,241000N ∴= 24．6116151413121122222<+++++【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边=222111123(1)n +++⋅⋅⋅++，右边=()1112+-+n n ，所以第五个不等式为6116151413121122222<+++++． 25．（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N =16时，012345616P x x x x x x x =L ，可设为(1,2,3,4,5,6,,16)L ，113571524616P x x x x x x x x x =L L ，即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)L L ，2159133711152616P x x x x x x x x x x x =L ，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)L ，7x 位于2P 中的第6个位置；（2）在1P 中173x 位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在2P 中173x 位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得3P 时，173x 位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，173x 位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于4P 中的第43211n -⨯+个位置上．26．2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L 【解析】把已知等式与行数对应起，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -；等式右边都是完全平方数， 行数 等号左边的项数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7…… …… ……所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=-L ，即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L 27．0,1123n n n n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得n T =0,1123n nn n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时． 28．962【解析】观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故1284512m =⨯=．取0α=，则cos 1α=，cos101α=，代入等式⑤得 1512128011201n p =-+++-，即350n p +=- ① 取3πα=，则1cos 2α=，1cos102α=-，代入等式⑤得 108642111111512()1280()1120()()()1222222n p -=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯- 即4200n p +=- ②联立①②得，400,50n p =-=，所以m n p -+=512(400)50962--+=．29．【解析】(1)因为(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，所以1(,)[(11|11|)(11|11|)(00)|00|)]22M αα=+--++--++--=， 1(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]12M αβ=+--++--++--=． (2)设1234(,,,)x x x x B α=∈，则1234(,)M x x x x αα=+++．由题意知1x ，2x ，3x ，4x ∈{0，1}，且(,)M αα为奇数，所以1x ，2x ，3x ，4x 中1的个数为1或3．所以B ⊆{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．将上述集合中的元素分成如下四组：(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．经验证，对于每组中两个元素α，β，均有(,)1M αβ=．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4．(3)设1212121{(,,,)|(,,,),1,0}k n n k k S x x x x x x A x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈===⋅⋅⋅== (1,2,,)k n =⋅⋅⋅，11212{(,,,)|0}n n n S x x x x x x +=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==，则121n A S S S +=⋅⋅⋅U U U ．对于k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的不同元素α，β，经验证，(,)1M αβ≥． 所以k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过1n +．取12(,,,)k n k e x x x S =⋅⋅⋅∈且10k n x x +=⋅⋅⋅==（1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）．令1211(,,,)n n n B e e e S S -+=⋅⋅⋅U U ，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件． 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．30．【解析】(1)记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2)对一般的n (4)n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ⋅⋅⋅，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12n ⋅⋅⋅中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当5n ≥时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，5n ≥时，(2)n f =222n n --． 31．【解析】证明（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'. 在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.32．【解析】（Ⅰ）易知11a =，22a =，33a =且11b =，23b =，35b =所以111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-， 3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-． 下面证明：对任意n ∈*N 且2n ≥，都有11n c b a n =-⋅． 当k ∈*N 且2k n ≤≤时，11()()k k b a n b a n -⋅--⋅[(21)]1k nk n =---+(22)(1)k n k =---(1)(2)k n =--∵10k ->且20n -≤∴11()()0k k b a n b a n -⋅--⋅≤⇒11()()k k b a n b a n -⋅-⋅≥． 因此对任意n ∈*N 且2n ≥，111n c b a n n =-⋅=-，则11n n c c +-=-． 又∵211c c -=-，故11n n c c +-=-对n ∈*N 均成立，从而{}n c 是等差数列 （Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为,a b d d ，下面我们考虑n c 的取值． 对11b a n -⋅，22b a n -⋅，n n b a n -⋅，考虑其中任意项i i b a n -⋅(i ∈*N 且1)i n ≤≤，i i b a n -⋅11[(1)][(1)]b a b i d a i d n =+--+-⋅ 11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅下面分0a d =，0a d >，0a d <三种情况进行讨论． （1）若0a d =，则i i b a n -⋅11()(1)b b a n i d =-⋅+- ①若0b d ≤，则11()()(1)0i i b b a n b a n i d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，11n c b a n =-⋅ 此时11n n c c a +-=-，故{}n c 是等差数列②0b d >，则()()()0i i n n b b a n b a n i n d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，1n n n n c b a n b a n =-⋅=-⋅ 此时11n n b c c d a +-=-，故{}n c 是等差数列此时取1m =，则123,,,c c c ⋅⋅⋅是等差数列，命题成立．（2）若0a d >，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数．故必存在m ∈*N ，使得当n m ≥时，0a b d n d -⋅+<则当n m ≥时，11()()(1)(0i i a b b a n b a n i d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此，当n m ≥时，11n c b a n =-⋅．此时11n n c c a +-=-，故{}n c 从第m 项开始为等差数列，命题成立．（3）0a d <，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数．故必存在s ∈*N ，使得当n s ≥时，0a b d n d -⋅+>则当n s ≥时，()()()(0i i n n a b b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此当n s ≥时，n n n c b a n =-⋅．此时n n n n n c b a n b a n n n -⋅==-+11()b a a b b d d n d a d n-=-⋅+-++ 令0a d A -=>，1a b d a d B -+=，1b b d C -= 下面证明n c CAn B n n=++对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，nc M n>． ①若0C ≥，则取||[]1M B m A-=+（[]x 表示不等于x 的最大整数） 当n m ≥时，||([]1)n c M B M B An B Am B A B A B M n A A--++=++>⋅+=≥≥ 此时命题成立． 若0C <，则取||[]1M C B m A--=+当n m ≥时||([]1)n c M C B An B C Am B C A B C n A--++++=+++≥≥ M C B B C M --++=≥此时命题成立．因此，对任意正数M ，使得当n m ≥时，nc M n>． 综合以上三种情况，命题得证．33．【解析】(1)由已知得1*13,n n a a n N -=⋅∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. (2)因为{1,2,,}T k ⊆L ，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k kk r k S a a a -≤+++=+++=-<L L . 因此，1r k S a +<. (3)下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I .②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I . 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l kl F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-，从而11121131311332222l k l k E F l a S S a a a ------≤+++=+++=≤=≤L L ，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ，即21C C D D S S S +≥+I . 综合①②③得，2C C D D S S S +≥I .34．【解析】(1)因为()()442311111x x x x x x x----+-==--+， 由于[]0,1x ∈，有41111x x x -++≤，即23111x x x x-+-+≤， 所以2()1.f x x x -+≥ (2)由01x ≤≤得3x x ≤， 故()()()3121113333()11222122x x f x x x x x x -+=++-+=++++≤≤， 所以3()2f x ≤. 由(1)得22133()1()244f x x x x -+=-+≥≥， 又因为1193()2244f =>，所以()34f x >，综上，33()42f x <≤．35．【解析】(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减．故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞． 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<．令1x n =，得111e n n +<，即1(1)e n n+<．(*)(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1)n nnb b b n a a a =+L L ．(**)下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边右边2=，(**)成立． ②假设当n k =时，(**)成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+L L ．当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++L L L L ．所以当1n k =+时，(**)也成立．根据①②，可知(**)对一切正整数n 都成立．(3)由n c 的定义，(**)，算术-几何平均不等式，n b 的定义及(*)得 123n n T c c c c =++++=L 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++L L111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++L L 12312112122334(1)n b b bb b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+L L 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++L L L1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++L 1212n b b b n <+++L 1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++L 12e e e n a a a <+++L e n S ，即e n n T S <．36．【解析】(1)()613f =．(2)当6n ≥时，()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩（t *∈N ）．下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论： 1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k kf k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立；3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k kf k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立． 37．【解析】(1)当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+?+.可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.(2)由,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++L ，112n n t b b q b q -=+++L ，,i i a b M Î，1,2,,i n =L 及n n a b <，可得()()()()11222111n n n n n n a b q a b q s t a b a b q -----=-+-++-+-L ()()()21111n n q q q q q q --?+-++--L()()11111n n q q q q----=--10=-<.所以，s t <.38．【证明】(1)若0=c ，则n n S b n =，*N n ∈，又由题(1)2n n n dS na -=+， 12n n S n b a d n -∴==+，112n n b b d +∴-=，{}n b ∴是等差数列，首项为a ，公差为2d，)0(≠d ，又421b b b ，，成等比数列，2214b b b ∴=，23()()22d da a a ∴+=+，23()42d d ad a ∴+=，0d ≠Q ，2d a ∴=，2n S n a ∴=，222222(),nk k S nk a n k a n S n k a ∴===，2nk k S n S ∴=（*,N n k ∈）． (2)由题c n nS b n n +=2，*N n ∈，22[2(1)]2()n n a n d b n c +-=+，若}{n b 是等差数列，则可设n b x yn =+，,x y 是常数，22[2(1)]2()n a n d x yn n c +-=++关于*N n ∈恒成立．整理得：32(2)(22)220d y n a d x n cyn cx -+----=关于*N n ∈恒成立．20,220,20,20d y a d x cy cx ∴-=--===，20,22,0,0d y a x d cy cx ∴=≠-===0c ∴=．。

1.2012江西理6观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=A ．28B ．76C ．123D ．199【答案】C2.2012全国卷理12正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，.动点P从E出发沿直线向那个F 点F在边BC上，AE＝BF＝37运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)10【答案】B3.2012湖北理10我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是 A ．3169d V ≈ B ．32d V≈C ．3300157d V ≈D ．32111d V ≈【答案】D4.2012陕西理 观察下列不等式213122+< 231151233++<， 474131211222<+++ ……照此规律，第五个．．．不等式为 .【答案】6116151413121122222<+++++.5.2012湖南理设N =2n （n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i 分成2i 段，每段2i N个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置. （1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置； （2）当N=2n （n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置.【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x =,可设为(1,2,3,4,5,6,,16), 113571524616P x x x x x x x x x =,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),2159133711152616P x x x x x x x x x x x =,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16), x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.6.2012湖北理13回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有 个；（Ⅱ）21()n n ++∈N 位回文数有 个．【答案】90，n109⨯【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有90109=⨯种。

十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解——2命题与逻辑部分一、选择题（共21小题；共105分）1. 设a，b是向量，则“a=b”是“a+b=a−b”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 设a，b是非零向量，“ a⋅b=a b”是“ a∥b”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. a、b为非零向量．" a⊥b " 是 " 函数f x= xa+b⋅ xb−a为一次函数 " 的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 双曲线x2−y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是 A. m>12B. m≥1C. m>1D. m>25. " α=π6 "是" cos2α=12"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“ m∥β”是“ α∥β”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设a,b是实数，则" a>b "是" a2>b2 "的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. “ cos2α=−32”是“ α=kπ+5π12,k∈Z”的 A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件9. 若a与b−c都是非零向量，则“ a⋅b=a⋅c”是“ a⊥ b−c”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. " φ=π "是"曲线y=sin2x+φ过坐标原点"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 设a,b∈R，＂a=0＂是＂复数a+b i是纯虚数＂的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件12. " α=π6+2kπk∈Z "是" cos2α=12"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件13. "函数f x x∈R存在反函数"是"函数f x在R上为增函数"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. "双曲线的方程为x29−y216=1 "是"双曲线的准线方程为x=±95"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 已知三个不等式：ab>0，bc−ad>0，ca −db>0（其中a,b,c,d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 316. 若p是真命题，q是假命题，则 A. p∧q是真命题B. p∨q是假命题C. ¬p是真命题D. ¬q是真命题17. 设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m⋅n<0”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件18. 函数f x=x2−2ax−3在区间1,2上存在反函数的充分必要条件是 A. a∈−∞,1B. a∈2,+∞C. a∈1,2D. a∈−∞,1∪2,+∞19. 平面α∥平面β的一个充分条件是 A. 存在一条直线a，a∥α，a∥βB. 存在一条直线a，a⊂α，a∥βC. 存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD. 存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α20. " cos2α=−32 "是" α=2kπ+5π12,k∈Z "的 A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件21. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有 A. 2人B. 3人C. 4人D. 5人二、填空题（共4小题；共20分）22. 顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为工作日．23. 能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．24. 已知f x=m x−2m x+m+3，g x=2x−2．若∀x∈R,f x<0或g x<0，则m的取值范围是．25. 已知f x=m x−2m x+m+3，g x=2x−2．若同时满足条件：①∀x∈R，f x<0或g x<0；②∃x∈−∞,−4,f x g x<0，则m的取值范围是．三、解答题（共1小题；共13分）26. 下表给出一个"等差数阵"：47 ⋯⋯a1j⋯⋯712 ⋯⋯a2j⋯⋯ ⋯⋯a3j⋯⋯ ⋯⋯a4j⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a i1a i2a i3a i4a i5⋯⋯a ij⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i行第j列的数．（1）写出a45的值；（2）写出a ij的计算公式；（3）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．答案第一部分1. D 【解析】当a与b方向相反时，不能得到a+b=a−b；而当a+b=a−b时，平方得a⋅b=0，即a⊥b，因此a与b可以不相等．2. A3. B 【解析】f x= xa+b⋅ xb−a=x2a⋅b+x b2−a2−a⋅b.若a⊥b，则f x=x b2−a2,只有当b2−a2≠0时，函数f x才是一次函数；若函数f x是一次函数，那么a⋅b=0,b2−a2≠0.故 " a⊥b " 是" 函数f x= xa+b⋅ xb−a为一次函数 " 的必要而不充分条件．4. C 【解析】【解析】∵双曲线x^2-\dfrac{y^{2}}{m}=1的离心率e=\sqrt{1+m}，又∵e>\sqrt{2}，∴\sqrt{1+m}>\sqrt{2}，∴m>1．【答案】 C5. A6. B7. D8. A9. C 10. A11. B 【解析】当a=0时，如果b=0同时等于零，此时a+b i=0是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a+b i已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件．12. A 【解析】cos2α=12，所以2α=2kπ±π3k∈Z，故α=kπ±π6k∈Z．13. B 14. A 15. D【解析】ca −db>0⇔bc−adab>0，所以下列三个命题都成立：①ab>0bc−ad>0⇒ca−db>0，②ab>0ca−db>0⇒bc−ad>0，③bc−ad>0ca−db>0⇒ab>0．16. D 17. A 【解析】m，n为非零向量，存在负数λ，使得m=λn，则向量m，n共线且方向相反，可得m⋅n<0．反之不成立，非零向量m，n的夹角为钝角，满足m⋅n<0，而m=λn不成立．所以m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m⋅n<0”的充分不必要条件．18. D 【解析】提示：函数存在反函数的充要条件是函数是单调的．19. D 【解析】提示：如果存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，若α与β相交，则根据线面平行的性质，a,b都与交线平行，从而a∥b，与a,b异面矛盾．20. A21. B 【解析】用a,b,c分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得a的学生最多只有1个，语文成绩得b的也最多只有一个，得c的也最多只有一个，因此学生最多只有3个．显然，ac bb ca满足条件，故学生最多3个．此题也可以用反证法来解，假设满足条件的学生有4位及4位以上，可推出矛盾．第二部分22. 42【解析】先由徒弟对原料B完成粗加工，再交由工艺师完成其精加工，同时徒弟对原料A进行粗加工．23. −1，−2，−3【解析】设a，b，c是任意实数．若“a>b>c，则a+b>c”是假命题，则“若a>b>c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次−1，−2，−3，（答案不唯一）．24. −4,0【解析】由g x<0，得x<1．又因为∀x∈R,f x<0或g x<0，所以当x≥1时，f x=m x−2m x+m+3<0恒成立．所以易知m<0，且−m−3<1．解得−4<m<0．25. −4,−2【解析】满足题意的大致图象如下：对于①，当x<1时，g x<0．因为∀x∈R，f x<0或g x<0，所以f x=m x−2m x+m+3<0在x≥1时恒成立．由二次函数的性质，可知抛物线开口只能向下，且与x轴的交点都在1,0的左侧，于是m<0,−m−3<1,2m<1,解得−4<m<0．又因为∃x∈−∞,−4,f x g x<0，而此时g x=2x−2<0恒成立，所以f x=m x−2m x+m+3>0在x∈−∞,−4时有成立的可能，从而只要−4比x1、x2中的较小的根大即可．（1）当−1<m<0时，−m−3<−4不成立；（2）当m=−1时，有两个等根，不成立；（3）当−4<m<−1时，2m<−4，即m<−2成立．综上，可得①②成立时，则有−4<m<−2．第三部分26. （1）a45=49（2）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，则a1j=4+3j−1.第二行是首项为7，公差为5的等差数列，则a2j=7+5j−1.第i行是首项为4+3i−1，公差为2i+1的等差数列，因此a ij=4+3i−1+2i+1j−1=2ij+i+j=i2j+1+j.（3）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i,j使得N=i2j+1+j,从而2N+1=2i2j+1+2j+1=2i+12j+1,即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k,l，使得2N+1=2k+12l+1,从而N=k2l+1+l=a kl,可见，N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．。

M推理与证明M1合情推理与演绎推理11. M1 ［2012陕西卷］观察下列不等式1 31+ 产2，1 1 51+ 2"+ 产3，11171+ 尹尹42<4，照此规律，第五个.不等式为 _______________ .1 1 1 1 1 1111 1+ 2+3+孑+5 + 62<_6［解析］本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果.从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1+1+ 1111孑+孑+孑+孑，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6,而其分子依次为：3,5,7，所以第5个式子的分子应为11,所以第5个式子应为：1,1 1 1 1 1 11+尸+孑+孑+孑+彳< 百.13 . M1 ［2012湖北卷］回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33,…，99.3位回文数有90个：101,111,121,…，191,202，…，999•则(1)4位回文数有 _______ 个；(2)2n + 1(n€ N*)位回文数有______ 个.13. (1)90 (2)9 X 10n［解析］由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90= 9 X 10 个，4 位回文数有1001,1111,1221,…，1991,2002,…，9999,共90 个，故归纳猜想2n+ 2位回文数与2n + 1位回文数个数相等，均为9X 10n个.16. M1 ［2012湖南卷］设N= 2n( n€ N *, n》2)，将N个数X1, x?,…，X N依次放入编号为1,2,…，N的N个位置，得到排列P0= X1X2…X N.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N和后N个位置，得到排列P1 = X1X3…X N-1X2X4…X N,将此操作称为C变换.将P1分成两段，每段N个数，并对每段作C变换，得到P2；当2W i < n —2时，将P i分成2，段，每段§个数，并对每段作C变换，得到P i+1.例如，当N = 8时，P2 =X1X5X3X7X2X6X4X8，此时X位于P2中的第4个位置.(1)当N = 16时，X7位于P2中的第__________ 个位置；(2)当N = 2n(n》8)时，X173位于卩4中的第________ 个位置.16. (1)6 (2) 3X 2n—4+ 11 ［解析］考查合情推理，以新定义题型为载体，依据排列, 考查考生的逻辑推理能力，要求学生的想象能力相当出色.(1)由已知可得个位置；P1= X1X3X5X7X9X11X13X15…,卩2= X1X5X9X13X3X7X11X15…，故X位于P2 中的第 6(2) 当i = 1 时，173 + 1P1的排列中X173的位置是2= 87位；［来源学咄87亠ii = 2时，P 2的排列中 心3的位置是87尹=44位；2“— 2i = 3时，P 3的排列中x 173的位置是 分 + 44= 2n —3 + 22位；2n —3+ 22i = 4 时，P 4的排列中 x 173 的位置是 2n —3 + ——= 2n —3 + 2n —4+ 11 = 3X 2n —4+ 11 位.M1 [2012 •西卷]观察下列各式：a + b = 1, a 2 + b 2 = 3, a 3 + b 3 = 4, a 4 + b 4= 7, + b 5= 11,…，则 a 10 + b 10=( )A . 28B . 76C . 123D . 1996. C ［解析］考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与 前两项结果之间的关系. 由于 a + b = 1, a 2+ b 2= 3, a 3+ b 3= 4, a 4+ b 4= 7, a 5 + b 5= 11,…， 通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和•因此，a 6 +b 6= 11 + 7= 18, a 7 + b 7= 18+ 11 = 29, a 8+ b 8= 29 + 18= 47, a 9+ b 9= 47 + 29= 76, a 10 + b 10 = 76+ 47= 123,故选 C.M2直接证明与间接证明23. M2、D1 ［2012 上海卷］对于数集 X = ｛ — 1 , X 1, x ?，…，X “｝，其中 OvX 1<X 2V … vx n , n > 2，定义向量集 Y = ｛a |a = (s , t), s € X , t € X ｝，若对任意 a 1 € Y ,存在 a 2 € Y ,使 得a 1 a 2= 0,则称X 具有性质P ，例如｛ — 1,1,2｝具有性质P .(1) 若x >2，且｛ — 1,1,2, x ｝具有性质P ，求x 的值；⑵若X 具有性质P ,求证：1 € X ，且当x n > 1时，X 1= 1；⑶若X 具有性质P ，且X 1 = 1、X 2= q(q 为常数)，求有穷数列X 1, x ?，…，x “的通项公 式. 23.解：(1)选取a 1= (x,2), Y 中与a 1垂直的元素必有形式(—1, b), 所以x = 2b ，从而x = 4.⑵证明：取 a 1 = (X 1, X 1) € Y ,设 a 2= (s , t) € Y ,满足 a 1 a 2= 0. 由(s + t)x 1 = 0 得 s +1 = 0,所以 s , t 异号.因为一1是X 中唯一的负数，所以 s , t 之中一个为一1，另一个为1,故1 € X. 假设 X k = 1,其中 1 < k < n ,贝U 0< X 1< 1< X n .选取 a 1 = (X 1, X n )€ Y ,并设 a 2= (s , t)€ Y 满足 a 1 a 2= 0，即 sx , + tX n = 0, 则s , t 异号，从而s , t 之中恰有一个为—1. 若 s =— 1,贝U x 1= tx n> t > %，矛盾； 若 t =— 1,则 X n = sX 1< s < X n ,矛盾. 所以X 1= 1.⑶设 a 1= (s1, t1), a 2= (s 2, t2)，则 a 1 a 2= 0等价于学=—£，f记B =i ；|s € X , t € X , |s|> |t|｝，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称.t注意到一1是X 中的唯一负数，B n (—a, 0) = ｛ — X 2,— X 3,…，一X n ｝共有n — 1个数， 所以B n (0,+a)也只有n — 1个数.a 56.由于’ X n X n < X < …< X n X n <_, X 2 X 1 X nX nX n X n <V … < <X n — 1 X n —2X 2 X 1X n —1 X n —1X n —1< V … <X n — 2 X n —3 X 1已有n — 1个数，对以下三角数阵 X 2X 119. D2、D3、M2 [2012湖南卷]已知数列｛a n ｝的各项均为正数，记 A(n) = a j +玄鸟+…十 a n , B(n)= a 2 + a 3 + …+ a *+1, C(n)= a 3 + a 4+ …+ a n +2, n = 1,2,…(1) 若a 1 = 1, a 2= 5，且对任意n € N *，三个数A(n), B(n), C(n)组成等差数列，求数列 ｛a n ｝的通项公式；(2) 证明：数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 n € N *，三个数 A(n), B(n), C(n)组成公比为q 的等比数列.* ___________________________________19.解：(1)对任意n € N ,三个数A(n), B(n), C(n)是等差数列，所以B(n)— A(n)= C(n) —B(n),艮卩 a n +1 — a 1= a n + 2— a ?,亦即 a n + 2— a n +1= a ?— a 1 = 4.故数列｛a n ｝是首项为1，公差为4的等差数列.于是 a n= 1 + (n — 1) X 4 = 4n — 3.⑵①必要性：若数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列，则对任意 n €N ,有a n +1 = a *q.由a n>0 知，A(n), B(n), C(n)均大于 0,于是B(n = a 2+ a 3+ …+ a n +1 = q(a 1 + a 2+ …+ a n = An a 1 + a ?+…+ a * a 1 + a ?+…+ a * C(n = a 3+ a 4+ …+ a *+ 2 = q(a 2 + a 3+ …+ a n +1) Bn a 2 + a 3+ • + a *+1 a 2 + a 3+ • + a *+1即BR = Cl = q.所以三个数 A(n), B(n), C(n)组成公比为q 的等比数列. An Bn*②充分性：若对任意 n € N ,三个数A(n), B(n), C(n)组成公比为q 的等比数列，则 B(n) = qA(n), C(n) = qB(n).于是 C(n)— B(n)= q[B(n) — A(n)]，得 a n +2— a 2= q(a n +1 — a”，即 a n +2— qa n +1 = a 2 — qa 1. 由 n = 1 有 B(1) = qA(1)，即 a 2= qa 1, 从而 a n + 2— qa n +1 = 0.因为a n >0，所以心=生=q. a n +1 a 1故数列｛a n ｝是首项为a 1,公比为q 的等比数列.综上所述，数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 A(n), B(n), C(n)组成公比为q 的等比数列.22. B12、M3、M2 [2012 湖北卷](1)已知函数 f(x)= rX — x 「+ (1 — r)(x>0)，其中 r 为有理 数，且0<r<1.求f(X)的最小值；⑵试用(1)的结果证明如下命题：设 a 1> 0, a 2> 0, b 1, b 2为正有理数.若 b 1+ b 2= 1,贝U ab 11ab 22< a 1b 1+ a 2b 2；(3) 请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当a 为正有理数时，有求导公式 (X)' = aX 1.22.解：(1)f ' (X )= r — rX r —1= r(1 — X r —1),令 f (X )= 0,解得 X = 1. 当0 vxv 1时，f (x)< 0，所以f(x)在(0,1)内是减函数； 当x > 1时，f (x) > 0,所以f(x)在(1 ,+s)内是增函数. 故函数f(x)在 x = 1处取得最小值f(1) = 0.(2)由(1)知，当 x € (0 ,+^)时，有 f(x)》f(1) = 0,即 x r w rx + (1 — r). ① 若 a 1, a 2中有一个为 0,贝U abnab 22wa 1 b 1 + a 2b 2成立； 若a 1, a 2均不为0，又b 1+ b 2= 1，可得b 2= 1 — g ，于是在①中令x =詈，r = 6,可得 学b 1< b 鲁+ (1 — b 1), 即 abna1— b 12w a^ + a ?(1 — b) 亦即 abnab 22^ 8^1 + a 2b 2.X n 、X n 1 X 2 X n X n 1 注意到 一> --- >•••> —, 所以 = --------X 1X 1X 1X n -1X n -2= ,…，竺，从而数列的通项为 X k = X 1 X2 k -1 = q kX 1 X 1q ,n € N *，三个数综上，对a i 》0, a 2》0, b i , b 2为正有理数且 b i + b 2= 1,总有abnab 22W a i b i + a 2b 2.② ⑶(2)中命题的推广形式为：若a i ，a 2，…，a n 为非负实数，b i , b ?,…，b n 为正有理数. 若 b i + b i + …+ b n = 1,贝V ab ii ab 22…ab nn < a i b i + a ?b 2+ …+ a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：① 当n = i 时，b i= i ，有a i< a i，③成立.② 假设当n = k 时，③成立，即若a i , a 2,…，a k 为非负实数，b i , b 2,…，b k 为正有理 数， 且 b i + b 2+ …+ b k = i ,则 ab ii ab 22…ab kk < a i b i + a ?b 2 + …+ a k b k .当n = k + i 时，已知a i , a 2,…，a k +1为非负实数，b i , b 2,…，b k , b k +i 为正有理 数，且 b i + b 2+ …+ b k + b k +i = i ,此时 Ov b k +i v i ，即卩 i 一 b k +1 >0,于是 ab ii ab 22…abkk ab k +ik +1=(abii ab 22…abkk )ab k +ik +i[…a~k )i — b k + i ab k + ik +1. 1- b k +i…+—^=1，由归纳假设可得1 — b k + 12…a —bk — k w a i •— + a 2 • — + … + a k • —1 — b k +i1 — b k +1 1 — b k +i 1— b k +ia ib i +a 2b 2+ …+ a k b k(ai a21 — b k +1 1 — b k +i b i , b2 +,1 — b k + 1十 1 — b b i b 2a 从而 ab ii ab 22…ab kk ab k + ik +i w1 — b k + 11 — b k +i 1 — b k +1因1 一 b k + 1 1 一 b k +1由0，知a n+丄工0,因此——=a?. a n+ 1综上，近2= a?对所有n € N*成立，从而｛a*｝是首项为1,公比为a2的等比数列.a n证法二：用数学归纳法证明a n= a；-1, n€ N*.当n = 1 时，由S2= a2s1+ a1，得a1+ a2= a2a1+ a1，即卩a2= a2a1，再由a2^ 0,得a1= 1, 所以结论成立.假设n= k时，结论成立，即a k= a k「S那么当n= k+ 1时,a k+1 = S+1—S=(a2S k+ a1)- (a2S-1 + a1)= a2(S k—S-1)= a；a k= a2, 这就是说，当n= k+ 1时，结论也成立.综上可得，对任意n€ N , a n= a；1.因此｛a n｝是首项为1,公比为a2的等比数列.⑵当n = 1或2时，显然S n= n(a1+ a n)，等号成立.设n>3, a2>—1且玄2工0，由(1)知a1 = 1, a n= a：-1，所以要证的不等式化为1 + a2+ a2+…+ a2 1 w ^(1 + a2 1 )(n > 3),即证：1 + a2 + a2+・・・ + a2w ——(1 + a2)( n > 2).当a2= 1时，上面不等式的等号成立.当一1 v a：v 1 时，a2 — 1 与a2 ' —1(r = 1,2,…，n —1)冋为负；［来源学科网当a2> 1 时，a2— 1 与a2 ' —1(r = 1,2,…，n —1)同为正.因此当a2>—1且a2丰1时，总有(a2 —1)(a2—r—1)>0,即即a2 + a；? r v 1 + a*r = 1,2,…，n — 1).上面不等式对r从1到n —1求和得2(a2+ a2 + …+ a2—)v (n—1)(1 + a2),由此可得 1 + a2+ a2+ …+ a；v —-(1 + a；).综上，当a2>—1且a2^ 0时，有S n w2(a1+ a n),当且仅当n= 1,2或a2= 1时等号成立.证法二：当n= 1或2时，显然2(a1+ a n),等号成立.当a2= 1时，S n = n=_(a1+ a n),等号也成立.1 n当a2工 1 时，由(1)知S n=二^, a n= a n—1, 下证：1 —a2n1 —a2 n n—1V；(1 + a2 )(n》3, a2>— 1 且玄2工1).1 —a2 2'当一1v a2v 1时，上面不等式化为(n —2)a n+ na2 —na n 1 v n —2(n》3).令f(a2)= (n—2)a n+ na：—na2 1.当一1v a2V 0 时，1—a2—2>0,故f(a2) = (n — 2)a2+ na2(1 —£ —2) v (n — 2)|a2|n v n［来源学§科§网Z§ X §X§K］— 2,即所要证的不等式成立.当0va2v 1 时，对a2 求导得f'但2)= n[(n —2)a2 1—(n—1)a2 2+ 1] = ng®).其中g(a2)= (n —2)a2—1—(n —1)a2—2+ 1,贝V g' (a2)= (n —2)(n—1)(a2—1)a n —3v 0,即g(a2) 是(0,1)上的减函数，故g(a2)>g(1) = 0,从而f' @)= ng(a2)>0,进而f@)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)vf(1) = n—2,所要证的不等式成立.1当a2> 1时，令b= 一，贝U 0 v bv 1,由已知的结论知a2两边同时乘以a 一1得所要证的不等式.综上，当a 2>— 1且玄2工0时，有S r)w 2(a i + a n ),当且仅当n = 1,2或a 2= 1时等号成立.22. B12、M3、M2 [2012 湖北卷](1)已知函数 f(x)= rx — x r + (1 — r)(x>0)，其中 r 为有理数，且0<r<1.求f(x)的最小值；⑵试用(1)的结果证明如下命题：设 a 1》0, a 2》0, b 1, b 2 为正有理数.若 S+ b 2= 1,贝U abnab 22^ a 1 b 1 + a 2b 2; (3) 请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当a 为正有理数时，有求导公式 (X)' = aX 1.I — 1r — 122. 解：(1)f ' (x)= r — rx = r(1 — x )，令 f (x)= 0,解得 x = 1. 当0 vxv 1时，f (x)< 0，所以f(x)在(0,1)内是减函数； 当x > 1时，f (x) > 0,所以f(x)在(1 ,+s)内是增函数. 故函数f(x)在 x = 1处取得最小值f(1) = 0.(2)由(1)知，当 x € (0 ,+s)时，有 f(x)》f(1) = 0,即 x r w rx + (1 — r). ① 若 a 1, a 2中有一个为 0,贝U ab“ab 22w8^1 + a ?b 2成立； 若a 1, a 2均不为0，又b 1+ b 2= 1，可得b 2= 1 — g ，于是在①中令x =詈，r = 6,可得 當b 1< b 詈+ (1 — b 1),即 abna1 — b 12 w a 1b 1 + a 2(1 — b 1),亦即 abnab 22^ a 1b 1 + a 2b 2.综上，对 a 1> 0, a 2> 0, b 1, b 2为正有理数且 b 1+ b 2= 1,总有 ab 11ab 22w a 1b 1+ a 2b 2.② ⑶(2)中命题的推广形式为：若a 1, a 2,…，a n 为非负实数，6, b ?,…，b n 为正有理数. 若 b 1 + b 1 + …+ b n = 1,贝V abnab 22…ab nn < 玄和十 a ?b 2+ …+ a n b n .③用数学归纳法证明如下：① 当n = 1时，b 1= 1，有a 1w a 1，③成立.② 假设当n = k 时，③成立，即若a 1, a 2,…，a k 为非负实数，6, b 2,…，b k 为正有理 数， 且 b 1 + b 2+ …+ b k = 1,则 abnab 22…ab kk < 玄命1+ a ?b 2 + …+ a k b k .当n = k + 1时，已知a 1, a 2,…，a k , a k +1为非负实数，b 1, b 2,…，b k , b k +1为正有理 数，且 b 1 + b 2+ …+ b k + b k +1 = 1,此时 0< b k +1 < 1，即卩 1 — b k +1 >0,于是abnab 22…abkk ab k +你+1= (abnab 22…abkk )ab k +1k +1, b 1b 2b k=(a1a2 …ak )1 — b k + 1ab k +1k +1.1 — b k + 1 1 — b k +1 1 — b k + 1因」1 + b2 +•••+」 =1，由归纳假设可得 1 — b k +1 1 — b k +1 1 — b k +1a 13+ a 2b 2+ …+ a^k1 — b k +1，a13+ a2b 2+…+ ak b k从而 abn ab 22 …abkk ab k +1k +1W1 — b k +1 ab k +1 k +1.<1 — b k +1丿又因(1 — b k +1)+ b k +1 = 1，由②得a 1b 1+ a2b 2+ …+ a k b k玄仙+ a 2b 2+ …+ a kb k1— b k + 1ab k +1k +1w■ ' (1 — b k +1)+ a k + 1b k +1 …Z *。

【备战2015】（十年高考）广东省高考数学分项精华版 专题14 推理与证明、新定义（含解析）二．能力题组1.【2007高考广东卷.理.8】设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对(a b ，)，在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应).若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是( )A .()**a b a a =B .[()]()****a b a a b a =C .()**b b b b =D .()[()]****a b b a b b =2.【2006高考广东卷.理.10】对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ,规定：(,)(,)a b c d =,当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++,设,p q R ∈,若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=,则(1,2)(,)p q ⊕=( )A .(4,0)B . (2,0)C . (0,2)D . (0,4)-三．拔高题组1.【2013高考广东卷.理.8】设整数n ≥4,集合X ＝{1,2,3,…,n },令集合S ＝{(x ,y ,z )|x ,y ,z ∈X ,且三条件x ＜y ＜z ,y ＜z ＜x ,z ＜x ＜y 恰有一个成立}.若(x ,y ,z )和(z ,w ,x )都在S 中,则下列选项正确的是( ).A .(y ,z ,w )∈S ,(x ,y ,w )∉SB .(y ,z ,w )∈S ,(x ,y ,w )∈SC .(y ,z ,w )∉S ,(x ,y ,w )∈SD .(y ,z ,w )∉S ,(x ,y ,w )∉S2.【2012高考广东卷.理.8】.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( ) A . 12 B . 1 C . 32D .52 3.【2011高考广东卷.理.8】设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的.若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是( )A .,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B .,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C .,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D .,T V 中每一个关于乘法都是封闭的4.【2010高考广东卷.理.21】(本小题满分14分)设11(,)A x y ，22(,)B x y 是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离(,)A B ρ为2121(,)||||A B x x y y ρ=-+-对于平面xOy 上给定的不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ,(1)若点(,)C x y 是平面xOy 上的点，试证明(,)(,)(,);A C C B A B ρρρ+≥(2)在平面xOy 上是否存在点(,)C x y ，同时满足①(,)(,)(,)A C C B A B ρρρ+= ② (,)(,)A C C B ρρ=若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明.3︒ 若12x x ≠且12y y ≠，不妨设12x x <且12y y <，由(Ⅰ)得12x x x ≤≤且12y y y ≤≤，由(Ⅱ)得121222x x y y x y +++=+， 此时，所有符合条件的点C 的轨迹是一条线段，即：过AB 的中点1212(,)22x x y y ++，斜率为1-的直线121222x x y y x y +++=+夹在矩形11AA BB 之间的部分，其中11(,)A x y ，121(,)A x y ，22(,)B x y ，112(,)B x y . 【考点定位】本题考查了新概念,属于拔高题5.【2006高考广东卷.理.20】 (本小题满分12分)A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ,都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ,使得对任意的]2,1[,21∈x x , 都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ(1)设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ,证明：A x ∈)(ϕ(2)设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的;(3)设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k ,对任意的正整数p ,成立不等式||1||121x x LL x x k k l k --≤-++反证法:设存在两个0000),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ϕ=,)2(00x x '='ϕ则 由|||)2()2(|/00/00x x L x x -≤-ϕϕ,得||||/00/00x x L x x -≤-,所以1≥L ,矛盾,故结论成立.。

一．基础题组1. 【2011上海,理14】已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点为Q 1、R 1，使之满足(|OQ 1|－2)(|OR 1|－2)＜0，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足(|OQ 2|－2)(|OR 2|－2)＜0，依次下去，得到P 1，P 2，…，P n ，…，则0lim n n Q P →∞=______.【答案】3 【解析】2. (2009上海,理13)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 【答案】（3，3）【解析】设确定的格点为（x,y)，由题意知确定的格点到已知的6个格点路程的和最短，即为x,y 分别到6个格点的横.纵坐标距离和最小，6个格点的横坐标由小到大排列为-2,-2,3,3,4,6，所以x=3时到这6个数的距离和最小.同理y=3时，y 到6个格点纵坐标距离之和最小.故所求的格点为(3,3).3. 【2007上海,理9】若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =。

则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

4. 【2006上海,理10】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ． 【答案】36二．能力题组1. 【2010上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分.若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m . （1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab ab （3）已知函数()f x 的定义域|,,24k D x x k Z x R ππ⎧⎫=≠+∈∈⎨⎬⎩⎭.任取x D ∈，()f x 等于x sin 和x cos 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 【答案】（1）（2）（3）【点评】本题给人耳目一新的感觉，问题的表述比较陌生，提问方式新颖，考生需要较强的数学理解和化归能力，对考生的综合数学能力要求较高．但认真分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉——函数与不等式的综合.2. 【2006上海,理16】如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个； ③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是（ ）【答案】D1l 2lOM （p ，q ）3. 【2005上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P ，22(2,2)P ，33(3,2)P ，…，(,2)n n Pn ，其中n 是正整数．对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，……，n A 为1n A -关于点n P 的对称点．（1） 求向量02A A 的坐标；（2） 当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图象，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，求以曲线C 为图象的函数在(]1,4的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标【答案】（1）（2，4）；（2）()lg(1)4g x x =--；（3）4(21)(,)3n n -三．拔高题组1. 【2014上海,理22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k∈-∞-+∞；（3）证明见解析.【解析】2.【2011上海,理23】已知平面上的线段l及点P.任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P，l)．(1)求点P(1,1)到线段l：x－y－3＝0(3≤x≤5)的距离d(P，l)；(2)设l是长为2的线段，求点的集合D＝{P|d(P，l)≤1}所表示的图形面积；(3)写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω＝{P|d(P，l1)＝d(P，l2)}，其中l1＝AB，l2＝CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分．①A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1,0)②A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1，－2)③A(0,1)，B(0,0)，C(0,0)，D(2,0)【答案】(1)5;(2) 4＋π;(3)参考解析【解析】(1)设Q(x，x－3)是l上任一点(3≤x≤5)，则(3)①Ω＝{(x，y)|x＝0}．②Ω＝{(x ，y )|x ＝0，y ≥0}∪{(x ，y )|y 2＝4x ，－2≤y ＜0}∪{(x ，y )|x ＋y ＋1＝0，x ＞1}．③Ω＝{(x ，y )|x ≤0，y ≤0}∪{(x ，y )|y ＝x,0＜x ≤1}∪{(x ，y )|21(1)2y x =+，1＜x ≤2}∪{(x ，y )|4x －2y －3＝0，x ＞2}．对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin3xh x x =+是以π6为周期的余弦周期函数； （2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T . 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（3）若0u 为()cos 1f x =在[]0,T 上的解，则()0cos 1f u =，且[]0,2u +T∈T T ，()()00cos cos 1f u f u +T ==，即0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上的解.同理，若0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上的解，则0u 为该方程在[]0,T 上的解. 以下证明最后一部分结论.【考点定位】新定义问题【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题15推理与证明1.(2019·全国2·文T5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( )A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙2.(2017·全国2·理T7文T9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩3.(2016·北京·理T8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多4.(2014·北京·理T8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人5.(2014·山东·理T4)用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x 3+ax+b=0没有实根 B.方程x 3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根6.(2012·江西·理T6)观察下列各式:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10=( ) A.28B.76C.123D.1997.(2017·北京·文T14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (ⅰ)男学生人数多于女学生人数; (ⅱ)女学生人数多于教师人数; (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; ②该小组人数的最小值为 .8.(2017·北京·文T13)能够说明“设a,b,c 是任意实数,若a>b>c,则a+b>c ”是假命题的一组整数a,b,c 的值依次为 .9.(2016·全国2·理T15文T16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 10.(2016·山东·文T12)观察下列等式: (sin π3)-2+(sin 2π3)-2=43×1×2; (sin π5)-2+(sin 2π5)-2+(sin 3π5)-2+(sin 4π5)-2=43×2×3; (sin π7)-2+(sin 2π7)-2+(sin 3π7)-2+…+(sin 6π7)-2=43×3×4; (sin π9)-2+(sin 2π9)-2+(sin 3π9)-2+…+(sin 8π9)-2=43×4×5;……照此规律:(sin π2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+(sin 3π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1)-2=.11.(2015·山东·理T11)观察下列各式:C 10=40;C 30+C 31=41;C 50+C 51+C 52=42;C 70+C 71+C 72+C 73=43;……照此规律,当n ∈N *时,C 2n -10+C 2n -11+C 2n -12+…+C 2n -1n -1=.12.(2015·福建·理T15)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *),其中x k (k=1,2,…,n)称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组:{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,其中运算 定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k 等于 .13.(2015·陕西·文T 16)观察下列等式 1-12=121-12+13−14=13+141-1+1−1+1−1=1+1+1 ……据此规律,第n 个等式可为.14.(2014·全国1·理T 14文T 14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.(2014·陕西,理14)观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.16.(2014·北京·文T14)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:则最短交货期为个工作日.17.(2014·安徽·文T12)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2√2 ,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7= .18.(2013·安徽·理T14)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A nB n相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是19.(2012·陕西·理T11)观察下列不等式1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……照此规律,第五个．．．不等式为 . 20.(2012·福建·文T16)某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案.方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的线路图如图(1),则最优设计方案如图(2),此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3),则铺设道路的最小总费用为 .21.(2017·浙江·T22)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n+1+ln(1+x n+1)(n ∈N *).证明:当n ∈N *时, (1)0<x n+1<x n ;(2)2x n+1-x n ≤x n xn+12;(3)12n -1≤x n ≤12n -2.22.(2015·北京·理T20)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值.23.(2014·重庆·理T22)设a 1=1,a n+1=√a n 2-2a n +2+b(n ∈N *).(1)若b=1,求a 2,a 3及数列{a n }的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c 使得a 2n <c<a 2n+1对所有n ∈N *成立?证明你的结论.。