高考数学理二轮复习训练1-2-3平面向量含解析

2020年高考数学（理）总复习：平面向量题型一 平面向量的概念及线性运算 【题型要点】对于利用向量的线性运算、共线向量定理和平面向量基本定理解决“用已知向量(基向量)来表示一些未知向量”的问题．解决的关键是：①结合图形，合理运用平行四边形法则或三角形法则进行运算；②善于用待定系数法【例1】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系：设A (0,1)，B (0,0)，C (2,0)，D (2,1)，P (x ，y )，根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝45，AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2,0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μy －1＝－λ，μ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x 2－y ＋1－z ＝0，点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝45上，所以圆心到直线的距离d ≤r ，即|2－z |14＋1≤25，解得1≤z ≤3，所以z 的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.【答案】 A【例2】．点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2，则S 1S 2＝( )A.18B.16C.14D.12【解析】 延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，延长CO 交AB 于E .∵O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，∴OD →＋OA →＋OB →＝0，∴O 为△DAB 重心，E 为AB 中点，∴OD ∶OE ＝2∶1，∴OC ∶OE＝1∶2，∴CE ∶OE ＝3∶2，∴S △AEC ＝S △BEC ，S △BOE ＝2S △BOC .∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2，∴S 1S 2＝16.故选B.【答案】 B ．题组训练一 平面向量的概念及线性运算1．在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →等于( ) A ．－13AB →＋23AD →B ．－23AB →＋43AD →C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →【解析】 在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →；故选D.【答案】 D2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足：OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O22121，则P 一定为△ABC 的( )A ．重心B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．AB 边中线的中点D ．AB 边的中点【解析】 如图所示：设AB 的中点是E ，∵O 是三角形ABC 的重心，OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O 22121＝13()OE →＋2OC →，∵2EO →＝OC →， ∴OP →＝13()4EO →＋OE →＝EO →，∴P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选B.【答案】 B3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34【解析】 因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.【答案】 B题型二 平面向量的平行与垂直 【题型要点】(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)： ①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)利用向量平行或垂直的充要条件可建立方程或函数是求参数的取值．【例3】已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( )A．9 B．3C.109 D．310【解析】向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，∴2a＋b＝(1，x－8)，由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9.则|b|＝(－3)2＋92＝310.故选D.【答案】 B【例4】．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b与a＋λb平行，则λ＝________.【解析】∵a＝(3,2)，b＝(2，－1)，∴λa＋b＝(3λ＋2，2λ－1)，a＋λb＝(3＋2λ，2－λ)，∵λa＋b∥a＋λb，∴(3λ＋2)(2－λ)＝(2λ－1)(3＋2λ)，解得λ＝±1【答案】±1题组训练二平面向量的平行与垂直1．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.【解析】由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，解得m＝－2.【答案】－22．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A.55 B.15C．－55D．－15【解析】∵a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，∴a－c＝(3－k,3)，∵(a－c)∥b，∴(3－k)·3＝3×1，∴k＝2，∴a·c＝3×2＋1×(－2)＝4，∴|a|＝10，|c|＝22，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·c |a |·|c |＝410·22＝55，故选A. 【答案】 A题型三 平面向量的数量积 【题型要点】(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路： ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．【例5】在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝3，|AB →|＝5，AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，cos A ＝35，则|EF →|＝( )A.14 B ．2 5 C ．4 2D ．211【解析】如图，取AE 的中点G ，连接BG ∵AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，∴AG →＝12AE →＝13AD →＝13BC →＝BF →，∴EF →＝GB →，∴|GB →|2＝|AB →－AG |2＝AB →2－2AB →·AG →＋AG →2＝52－2×5×1×35＋1＝20，∴|EF →|＝|GB →|＝25，故选B. 【答案】 B【例6】．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →.若M是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．2 3C ．2D ．－3【解析】 因为点M 是线段AB 的中点，所以OM →＝12()OA →＋OB →，|OA ＝|OB |＝|AB |＝2，所以△ABC 是等边三角形，即〈OA →，OB →〉＝60°，OA →·OB →＝2×2×cos60°＝2，OC →·OM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-B O A O B O A O21213235＝56OA →2－13OB 2＋12OA →·OB → ＝56×22－13×22＋12×2＝3，故选A. 【答案】 A题组训练三 平面向量的数量积1．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】 以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y ) 所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y －32≥－32 当P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0时，所求的最小值为－32，故选B.【答案】 B2．已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB 的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数mn的值为( )A.16B.14 C ．6D ．4【解析】 OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3， ∵OC →＝mOA →＋nOB →，OC →⊥AB →，∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB →－mOA →2＋nOB →2＝0，∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0，∴m n ＝16，故选A.【答案】 A题型四 数与形相辅相成求解向量问题【例7】 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1] 【解析】 法一：设出点D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解．设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义为点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.法二：根据向量OA →＋OB →的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解． 如图，设M (－1，3)，则OA →＋OB →＝OM →，取N (1，－3)，∴OM →＝－ON →.由|CD →|＝1，可知点D 在以C 为圆心，半径r ＝1的圆上， ∴OA →＋OB →＋OD →＝OD →－ON →＝ND →，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝|ND →|，∴|ND →|max ＝|NC →|＋1＝7＋1，|ND →|min ＝7－1. 【答案】 D题组训练四 数与形相辅相成求解向量问题已知|b |＝1，非零向量a 满足〈a ，b －a 〉＝120°，则|a |的取值范围是________． 【解析】如图，设CA →＝b ，CB →＝a ，则b －a ＝BA →，在△ABC 中，AC ＝1，∠ABC ＝60°. 根据圆的性质：同弧所对的圆周角相等．作△ABC 的外接圆，当BC 为圆的直径时，|a |最大，此时|a |＝BC ＝1sin 60°＝233； 当B ，C 无限接近时，|a |＝BC →0.故|a |的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛332,0 【答案】 ⎥⎦⎤⎝⎛332,0 【专题训练】 一、选择题1．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A ．9 B ．3 C.109D ．310【解析】 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(1，x －8)， 由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9.则|b |＝(－3)2＋92＝310.故选D. 【答案】 D2．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ∵向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)， ∴a ＋b ＝(3，k ＋2)，又a ＋b 与a 共线． ∴(k ＋2)－3k ＝0，解得k ＝1，∴a ·b ＝(1,1)·(2,2)＝1×2＋1×2＝4，故选D. 【答案】 D3．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则向量a 在向量a ＋2b 方向上的投影为( )A ．－1313B.1313C ．－113D.113【解析】∵a ⊥(a ＋b )，∴a ·(a ＋b )＝1＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，∴|a ＋2b |2＝1＋4a ·b ＋16＝13，则|a ＋2b |＝13，又a ·(a ＋2b )＝a ·(a ＋b )＋a ·b ＝－1，故向量a 在向量a ＋2b 方向上的投影为－113＝－1313.选A.【答案】 A4．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)【解析】 由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.【答案】 B5．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则mn＝( ) A ．－3 B ．－13C.13D ．3【解析】 过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，则BE ＝2，CE ＝4，所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →，所以m n ＝1－13＝－3.【答案】 A6．如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( )A ．2 B.83 C.65D.85【解析】 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，BN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21，AC →＝(1,1)．∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1＋μ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21＝⎪⎭⎫⎝⎛+-μλμλ2,2，∴⎩⎨⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB →，AD →作为基底，∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →，因此AC →＝λAM →＋μBN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2μλAB →＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+μλ2AD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85【答案】 D7．如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b ∈R )，则ab 的值为( )A.14 B ．1 C.12D.18【解析】由题意易知E 1(2,1),E 2(2，－1)，∴e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，故OP →＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )，又点P 在双曲线上，∴(2a ＋2b )24－(a －b )2＝1，整理可得4ab ＝1，∴ab＝14. 【答案】 A8．在平面直角坐标系中，向量n ＝(2,0)，将向量n 绕点O 按逆时针方向旋转π3后得向量m ，若向量a 满足|a －m －n |＝1，则|a |的最大值是( )A ．23－1B ．23＋1C ．3D.6＋2＋1【解析】 由题意得m ＝(1，3)．设a ＝(x ，y )，则a －m －n ＝(x －3，y －3)，∴|a －m －n |2＝(x －3)2＋(y －3)2＝1，而(x ，y )表示圆心为(3，3)的圆上的点，求|a |的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为23＋1.【答案】 B9．已知锐角△ABC 的外接圆的半径为1，∠B ＝π6，则BA →·BC →的取值范围为__________．【解析】 如图，设|BA →|＝c ，|BC →|＝a ，△ABC 的外接圆的半径为1，∠B ＝π6.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝2，∴a ＝2sin A ，c ＝2sin C ，C ＝5π6－A ，由⎩⎨⎧0<A <π20<5π6－A <π2，得π3<A <π2，∴BA →·BC →＝ca cos π6＝4×32sin A sin C ＝23sin A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 65π ＝23sin A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A sin 23cos 21＝3sin A cos A ＋3sin 2A ＝32sin2A ＋3(1－cos2A )2＝32sin2A ＋32cos2A ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32. ∵π3<A <π2，∴π3<2A －π3<2π3，∴32<sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ≤1，∴3<3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32≤3＋32.∴BA →·BC →的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛+233,3. 【答案】 ⎥⎦⎤ ⎝⎛+233,310．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【解析】 因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心．【答案】 C11．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21，n ＝⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3【解析】 因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21⊗(x 0，cos x 0)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π⇒(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+00cos 4,621x x π⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00cos 462xy x x π⇒y ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ， 即f (x )＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx ，当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ时， 由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤1⇒2≤4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ的最大值是4，故选A. 【答案】 A 二、填空题12．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3 DE →，BC →＝3 BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.【解析】 由题设可得AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13AD →＝AB→＋13AD →，又AC →＝mAE →＋nAF →，故AC →＝mAD →＋13mAB →＋nAB →＋13nAD →＝(13m ＋n )AB →＋(m ＋13n )AD →，而AC →＝12(AB →＋AD →)，故⎩⎨⎧13m ＋n ＝12m ＋13n ＝12⇒m ＋n ＝32.故应填答案32.【答案】 3213．若函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+48ππx (－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l与函数f (x )的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则(OB →＋OC →)·OA →＝________.【解析】 ∵－2＜x ＜14，∴f (x )＝0的解为x ＝6，即A (6,0)，而A (6,0)恰为函数f (x )图象的一个对称中心，∴B 、C 关于A 对称，∴(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA |2＝2×36＝72. 【答案】 7214．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点， 则|P A →|2＋|PB →|2|PC →|2＝________.【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系， 设|CA →|＝a ，|CB →|＝b ，则A (a,0)，B (0，b ) ∵点D 是斜边AB 的中点，∴D ⎪⎭⎫⎝⎛2,2b a ， ∵点P 为线段CD 的中点，∴P ⎪⎭⎫⎝⎛4,4b a ∴|PC →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛b ＝a 216＋b 216|PB →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b ＝a 216＋9b 216|P A →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛b ＝9a 216＋b 216∴|P A →|2＋|PB →|2＝9a 216＋b 216＋a 216＋9b 216＝10⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+161622b a ＝10|PC →|2，∴|P A →|2＋|PB →|2|PC →|2＝10.【答案】 1015.在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则△PBC 面积的最小值为________．【解析】 由题意建立如图所示的坐标系，可得A (0,0)，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,1t ，C (0，t )，∵AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)，∴P (4,1)；又|BC |＝221⎪⎭⎫⎝⎛+t t ，BC 的方程为tx ＋y t ＝1，∴点P 到直线BC 的距离为d ＝221114⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t t t ，∴△PBC 的面积为S ＝12·|BC |·d＝12·221⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ·221114⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t t t＝12|4t ＋1t －1|≥12·|24t ·1t －1|＝32， 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，∴△PBC 面积的最小值为32.【答案】 32。

考前回归知识必备*1 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合概念一组对象的全体.,x A x A∈∉。

元素特点：互异性、无序性、确定性。

关系子集x A x B A B∈⇒∈⇔⊆。

A∅⊆；,A B B C A C⊆⊆⇒⊆n个元素集合子集数2n。

真子集00,,x A x B x B x A A B∈⇒∈∃∈∉⇔⊂相等,A B B A A B⊆⊆⇔=运算交集{}|,x xB x BA A∈∈=且()()()U U UC A B C A C B=()()()U U UC A B C A C B=()U UC C A A=并集{}|,x xB x BA A∈∈=或补集{}|Ux x UC A x A∈=∉且常用逻辑用语命题概念能够判断真假的语句。

四种命题原命题：若p，则q原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。

互为逆否的命题等价。

逆命题：若q，则p否命题：若p⌝，则q⌝逆否命题：若q⌝，则p⌝充要条件充分条件p q⇒，p是q的充分条件若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p q⇒等价于A B⊆，p q⇔等价于A B=。

必要条件p q⇒，q是p的必要条件充要条件p q⇔，,p q互为充要条件逻辑连接词或命题p q∨，,p q有一为真即为真，,p q均为假时才为假。

类比集合的并且命题p q∧，,p q均为真时才为真，,p q有一为假即为假。

类比集合的交非命题p⌝和p为一真一假两个互为对立的命题。

类比集合的补量词全称量词∀，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。

存在量词∃，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。

向量OZ向量OZ的模叫做复数的模，向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。

0向量0与任一非零向量共线】方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

,a b 的夹角记为,a b >。

第二讲 复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保 分 题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提 分 题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保 分 题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提 分 题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲 复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确； 对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0， 即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确； 各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确； 各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确． 答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ， 又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ， 所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |， 又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14， 则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。

2.复数、平面向量考向1 复数的概念、运算及几何意义1.(2022·河南开封一模)设(1+i 4n+3)z=i,n ∈Z ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2022·全国甲·理1)若z=-1+√3i,则zz -1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33iD.-13−√33i3.(2022·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a ,b 为实数,则( ) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-24.(2022·山东潍坊一模)已知复数z 满足z+3=4z +5i,则在复平面内复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2B.-1C.1D.2考向2 平面向量的概念及线性运算6. (2022·河南名校联盟一模)如图,在△ABC 中,点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是CM 上的点,且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a +14b B.35a +15b C.14a +12bD.310a +35b7.(2022·河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是( ) A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则点A ,B ,C ,D 必在同一直线上 B.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cC.若G 为△ABC 的外心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.若O 为△ABC 的垂心,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2022·新高考Ⅰ·3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n9.(2022·河南许昌质检)正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=( ) A.1113B.65C.56D.3210.(2022·河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ,n ∈R ),则n-m= . 考向3 平面向量的数量积11.(2022·新高考Ⅱ·4)已知向量a =(3,4),b =(1,0),c =a +t b ,若<a ,c >=<b ,c >,则实数t=( ) A.-6 B.-5C.5D.612. (2022·新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ,AD 向外分别作正方形ABEF ,正方形ADMN ,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗=( )A.-2√2B.2√2C.0D.-1 13.(2022·山东威海期末)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,且a -b 在a 上的投影为2+√3,则<a ,b >=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π614.(2022·山东潍坊期末)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[0,1]B.[0,√2]C.[1,2]D.[-1,1]15.(2022·山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.111 3,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.16.(2022·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为2.复数、平面向量1.B 解析: ∵i 4n+3=i 4n ·i 3=-i, ∴(1+i 4n+3)z=(1-i)z=i, ∴z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i,∴复数z 在复平面内对应的点为-12,12位于第二象限. 故选B . 2.C 解析: zz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=√3i(-1)2+(√3)2-1=-13+√33i,故选C .3.A 解析: ∵z=1-2i, ∴z =1+2i,∴z+a z +b=1-2i +a (1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i =0, ∴{a +b +1=0,2a -2=0, 解得{a =1,b =-2.故选A .4.A 解析: 设z=x+y i,x ,y ∈R ,则z =x-y i,由z+3=4z +5i 得(x+y i)+3=4(x-y i)+5i,即(x+3)+y i =4x+(5-4y )i,于是得{x +3=4x ,y =5-4y ,解得x=y=1,则有z=1+i 对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选A .5.D 解析: ∵i(1-z )=1, ∴z=i -1i=1+i, ∴z =1-i . ∴z+z =2. 故选D .6.B 解析: AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b .7.D 解析: 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则直线AB 与CD 平行或重合,∴点A ,B ,C ,D 不一定在同一直线上,A 错;当b =0时,满足a ∥b 且b ∥c ,不能得出a ∥c ,B 错; 当G 为△ABC 的重心,则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 错; 若O 为△ABC 的垂心,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴D 正确,故选D . 8.B解析: 如图.∵BD=2DA ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m +3n . 故选B .9.C 解析: ∵P ,Q 分别是正方形边BC ,CD 的中点,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-12y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -12y =1,x +y =12,∴{x =56,y =-13,故选C . 10.12解析: 由题意在题图中以O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴非负半轴,过O 与OA 垂直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A (1,0),∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α, tan α=7,∴cos α=√210,sin α=7√210, 又|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C15,75,cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45,∴B -35,45, ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴15,75=m (1,0)+n -35,45,∴{m -35n =15,45n =75,解得{m =54,n =74,∴n-m=12. 11.C 解析: 由题意得c =(3+t ,4),cos <a ,c >=cos <b ,c >,故9+3t+16|c |×5=3+t|c |×1,解得t=5.故选C .12.C 解析: AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π4+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4+0=√2−√2=0.选C . 13.D 解析: (a -b )·a =|a -b ||a |cos <a -b ,a >=(2+√3)·2, 即a 2-a ·b =4+2√3,a ·b =-2√3.所以|a ||b |cos <a ,b >=-2√3,cos <a ,b >=-√32,<a ,b >=5π6.14.A 解析: 由题当弦MN 长度最大时,即MN 为直径,设弦MN 的中点为O ,由题意,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|-1,由1≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2,得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,1]. 15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设△ABC 的边长为a ,则asinA =2R=4(R 为△ABC 外接圆半径),所以a=2√3,A (0,3),B (-√3,0),C (√3,0),△ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,设P 点坐标为(2cos θ,1+2sin θ),θ∈R ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cos θ+2sin θ=4+4cos θ-π6≤8,当cos θ-π6=1时,等号成立.故选C .。

一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 答案 B解析 可依据向量共线不行以作为基底来推断． ∵A 、C 、D 中e 1与e 2共线，故选B.2．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152答案 C解析 2a －3b ＝(2k －3，－6)，由(2a －3b )⊥c ，得4k －6－6＝0，解得k ＝3.选C.3．若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22 答案 B 解析由题意得⎩⎨⎧(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0⇒－2a 2＋b 2＝0，即－2|a |2＋|b |2＝0，又|a |＝1，∴|b |＝ 2.故选B.4．设O 为△ABC 内部的一点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A.32B.53 C ．2 D ．1答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OA →＋OB →＝－2OC →＝2OD →(D 为边AB 的中点)，画出图形如图所示，则点A ，B 到OC 的距离相等，OC 边公用，则△AOC ，△BOC 的面积相等，选D.5．已知向量a ＝(cos θ，－2)，b ＝(sin θ，1)，且a ∥b .则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4等于( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－13答案 B解析 由a ∥b 得cos θ＋2sin θ＝0，∴tan θ＝－12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－3.故选B.6．[2021·长春质监(三)]已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π6B.π4。

第3讲平面向量1.(2017江苏兴化第一中学月考)已知向量a=(1,x),b=(-2,1),若a⊥b,则实数x= .2.(2017江苏南通中学期末)化简:sin13°cos17°+sin17°cos13°=.3.(2018江苏五校学情检测)向量a=(2,-6),b=(-1,m),若a∥b,则实数m的值为.4.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为60°,则|a-3b|= .5.(2017江苏宿迁期末)若sin(α-π6)=13,其中π<α<76π,则sin(2π3-α)的值为.6.若函数f(x)=2sin(ωx+φ)(α>0,|α|<π2)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是图象的最高点和最低点,横坐标分别为1,7.记点P(2,f(2)),点Q(5,f(5)),则αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为.7.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是π6,π3,2π3,则实数ω的值为.8.(2018江苏南京多校段考)已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(2,-1).(1)若a⊥b,求sinα-cosαsinα+cosα的值;(2)若|a-b|=2,θ∈(0,π2),求sin(α+π4)的值.9.(2017江苏盐城高三期中)设直线x=-π6是函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值;(2)求函数f(x)在[0,π]上的减区间.答案精解精析1.答案 2解析 由a⊥b 得a·b=-2+x=0,则x=2. 2.答案 12解析 原式=sin(13°+17°)=sin30°=12.3.答案 3解析 由a∥b 得2m=6,解得m=3. 4.答案 √67解析 a·b=|a|·|b|cos60°=3,则|a-3b|=√(α-3α)2=√4-18+81=√67.5.答案 -2√23解析 由π<α<7π6得5π6<α-π6<π,又sin (α-π6)=13,则cos (α-π6) =-√1-sin 2(α-π6)=-2√23,则sin (2π3-α)=sin [π2-(α-π6)]=cos (α-π6)=-2√23.6.答案 √3-4解析 由图象可得最小正周期T=12=2πα,即ω=π6,M(1,2),N(7,-2)在图象上,则f(1)=2sin (π6+φ)=2,|φ|<π2,则φ=π3,则f(x)=2sin (π6x +π3),则f(2)=2sin2π3=√3,f(5)=2sin7π6=-1,故P(2,√3),Q(5,-1),所以αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3-2)·(-2,1)=-2+√3-2=√3-4. 7.答案 4解析 由题意可得该函数的最小正周期T=2π3-π6=π2,则ω=2πα=4.8.解析 (1)由a⊥b 可知,a·b=2cosθ-sinθ=0,所以sinθ=2cosθ,所以sin α-cos αsin α+cos α=2cos α-cos α2cos α+cos α=13. (2)由a-b=(cosθ-2,sinθ+1)可得|a-b|=√(cos α-2)2+(sin α+1)2=√6-4cos α+2sin α=2, 即1-2cosθ+sinθ=0.①又cos 2θ+sin 2θ=1,且θ∈(0,π2),②由①②可解得{sin α=35,cos α=45,所以sin (α+π4)=√22(sinθ+cosθ)=√22×(35+45)=7√210. 9.解析 (1)∵直线x=-π6是函数f(x)的图象的一条对称轴, ∴f (-π6+x )=f (-π6-x )对x∈R 恒成立.∴sin (-π6+x )+acos (-π6+x )=sin (-π6-x )+acos (-π6-x )对x∈R 恒成立,即(a+√3)sinx=0对x∈R 恒成立,得a=-√3. 从而f(x)=sinx-√3cosx=2sin (α-π3). 故当x-π3=2kπ+π2(k∈Z),即x=2kπ+5π6(k∈Z)时,f(x)取得最大值2.(2)由2kπ+π2≤x -π3≤2kπ+3π2,解得2kπ+5π6≤x≤11π6+2kπ,k∈Z.取k=0,可得函数f(x)在[0,π]上的减区间为[5π6,π].精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。