高考数学二轮总复习专题训练十六 统计、统计案例 理

高考专题训练十六 统计、统计案例班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·湖南)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：K 2＝n a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d 算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50＝7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：∵K 2＝7.8>6.635，而P (K 2≥6.635)＝0.010，∴有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别有关”．答案：C2．(2011·江西)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 1解析：作出x ，y 对应散点图可知y 与x 正相关， ∴r 1>0.作出U ，V 对应散点图可知U 与V 负相关， ∴r 2<0.∴r 2<0<r 1. 答案：C3．(2011·安徽“江南十校”联考)已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋，x 4＋2的平均数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：∵s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)＝14[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋(x 4－x )2]，∴2x (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)－4x 2＝16，∴8x 2－4x 2＝16，x ＝2，即x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，∴x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＋x 4＋24＝4.故选C.答案：C4．(2011·邹城一中模拟)在2011年12月12日那天，济宁市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：y ^＝－3.2x ＋a ，则a ＝( )A ．24B ．35.6C ．40.5D ．40解析：可解得样本中心为(10,8)，代入回归方程可得a ＝40. 答案：D5．(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一次联合模拟)下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3本题可以参考独立性检验临界值表：映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x 的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y ^＝3－5x ，当x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ，y )，③正确；因为K 2＝13.079>10.828，故有99%的把握确认这两个变量有关系，④正确．故选B.答案：B6．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设s 1，s 2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，x 1，x 2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有( )A.x 1＝x 2，s 1<s 2B.x 1＝x 2，s 1>s 2C.x 1>x 2，s 1>s 2D.x 1＝x 2，s 1＝s 2解析：x 1＝15(17＋15＋22＋28＋28)＝22，x 2＝15(16＋18＋23＋26＋27)＝22，s 21＝15(25＋49＋0＋36＋36)＝29.2，s 22＝15(36＋16＋1＋9＋25)＝17.4，故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．(2011·天津)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人．若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．解析：由题意知，这支田径队共有84人，从中抽取21人，抽样比为2184＝14.所以从男运动员中应抽取14×48＝12人．答案：128．(2011·广东)某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别为173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析：记从爷爷起向下各代依次为1,2,3,4,5用变量x 表示，其中5代表孙子． 各代人身高为变量x ，则有计算知x ＝2.5，y ＝175.25b ^＝∑4i ＝1x i －x y i －y ∑4i ＝1x i －x 2＝278＋218＋38＋81894＋14＋14＋94＝3.3，a ^＝y －b ^x ＝175.25－3.3×2.5＝167∴回归方程为y ^＝3.3x ＋167当x ＝5时，y ＝3.3×5＋167＝183.5. 答案：183.59．(2011·济宁市高三模拟)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d答案：99.5%10．(2011·南京市高三第一次模拟考试)某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重(单位：kg)，所得数据都在区间[50,75]中，其频率分布直方图如图所示．若图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，则体重小于60 kg 的高三男生人数为________．解析：依题意得，后两个小组的频率之和等于(0.0125＋0.0375)×5＝0.25，因此前三个小组的频率之和等于1－0.25＝0.75，前两个小组的频率之和等于1＋21＋2＋3×34＝38，所以体重小于60 kg 的高三男生人数为480×38＝180.答案：180三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)(2011·北京) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n为平均数)解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10.所以平均数为x ＝8＋8＋9＋104＝354方差为s 2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是：9,8,9,10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝14；P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为：E (Y )＝17×P (Y ＋21×P (Y ＝21)＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18＝19.12．(13分)2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1(单位：人)．表1只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表(表2)．表2参考公式：①K 2＝a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d ；②χ2＝11221221n 1＋＋n 2＋＋n ＋1＋n ＋2.(1)求研究小组的总人数；(2)写出表2中A 、B 、C 、D 、E 的值，并判断有多大的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关；(3)若从研究团队的心理专家和核专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰有1人为心理专家的概率．解：(1)依题意，726＝48y ＝24x ，解得y ＝4，x ＝2.研究团队的总人数为2＋4＋6＝12(人)．(2)根据列联表特点得A ＝20，B ＝50，C ＝80，D ＝30，E ＝110. 可求得K 2＝110×30×10－50×20250×60×80×30≈7.486>6.635.由临界值表知，有99%的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关．(3)设研究小组中心理专家为a 1、a 2，核专家为b 1、b 2、b 3、b 4，从中随机选2人，不同的选取结果有：a 1a 2、a 1b 1、a 1b 2、a 1b 3、a 1b 4、a 2b 1、a 2b 2、a 2b 3、a 2b 4、b 1b 2、b 1b 3、b 2b 3、b 1b 4、b 2b 4、b 3b 4，共15种．其中恰好有1人来自心理专家的结果有：a 1b 1、a 1b 2、a 1b 3、a 1b 4、a 2b 1、a 2b 2、a 2b 3、a 2b 4共8种．所以恰好有1人来自心理专家的概率为P ＝815.。

专题十六统计与统计案例（见学生用书P99）（见学生用书P99）1．抽样方法包括：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法．2．频率分布直方图中,纵轴表示频率/组距，数据落在各个小组内的频率用小矩形的面积表示，各小矩形的面积和等于1.3．众数、平均数、中位数是描述数据的集中趋势的量，方差、标准差则是描述数据的波动大小．其中,方差的计算公式为s2＝错误!［（x1－x）2＋(x2－x）2＋…＋（x n－x)2］．4．茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为茎,个位数字作为叶,如数据为三位数,则把十位和百位数字放在一起作为茎,个位数字作为叶．5．回归分析（1)回归直线方程:错误!＝错误!x＋错误!一定过样本点中心，错误!＝错误!，错误!＝y－错误!x．(2）样本相关系数r当r>0时，表明两变量正相关;当r<0时，表明两变量负相关．｜r|越接近1，表明两变量的线性相关性越强；|r｜越接近0，表明两变量的线性相关性越弱．6．独立性检验K2＝错误!，其中n＝a＋b＋c＋d。

（见学生用书P99)考点一随机抽样方法考点精析1．解决区分抽样方法的问题，先要弄清三种抽样方法的意义与本质，然后根据三种抽样方法适应的情况进行判断，这样才能保证求解的正确性．2．求抽取样本的相关参数问题的基本步骤是:一要明确是哪一种抽样方法;是分层抽样还是系统抽样；二要利用好分层抽样或系统抽样的基本关系；三是建立参数的关系式来求解，要注意在计算时应细心、准确．例1－1（2015·北京卷）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况,在抽取的样本中，青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( ）A．90 B．100C．180 D．300考点：分层抽样．分析：根据分层抽样的抽样比相等原理求解．解析：抽取的样本中青年教师有320人，占该校青年教师人数的错误!，所以样本中老年教师人数为900×错误!＝180。

统计与统计案例2讲第年份A.12卷别考查内容及考题位置命题分析抽样方法(基础型)]系统抽样N总体容量为N，样本容量为n，则要将总体均分成n组，每组个(有零头时要先去掉)．nN 若第一组抽到编号为k的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为k＋，…，k＋(n nN－1).n分层抽样按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比．[考法全练]1．福利彩票“双色球”中红色球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为()81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 8506 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49D．C．0616解析：选C.被选中的红色球号码依次为17，12，33，06，32，22.所以第四个被选中的红色球号码为06，故选C.2．利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为()A．73 B．78D．77．76C80解析：选B.样本的分段间隔为＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－163)×5＝78.故选B.3．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱喜爱一般不喜欢1 6004 8007 2006 400电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为()A．25，25，25，25 B．48，72，64，16D．30，1024，36，32，820C．，40，1100，解析：选D.法一：因为抽样比为＝20020 000所以每类人中应抽选出的人数分别为11118.×＝故选D.，×7 200＝36，6 400×＝321 600＝4 800×24，200200200200∶82，∶∶7 200一般、法二：最喜爱、喜爱、不喜欢的比例为4 800∶∶6 4001 600＝69∶96，所以每类人中应抽选出的人数分别为，×100＝24×10036＝29＋8＋＋28＋69＋＋682×100＝32，×100＝8，故选D.6＋9＋8＋26＋9＋8＋2“双图”“五数”估计总体(基础型)统计中的5个数据特征众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．(1)．中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为(2) 偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．1－)．＋x＋…＋x(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x＝(x n12n (4)方差与标准差：1－－－2222；x)]＋…＋(x－sx＝[(x－x)(＋x－x)n21n1－－－222]. ）x－－x）x－[（xx）＋…＋（＋（sx＝n12n 从频率分布直方图中得出有关数据的技巧频率频率，频率＝组距×频率：频率分布直方图中横轴表示组数，纵轴表示. (1)组距组距(2)频率比：频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比，从而根据已知的几组数据个数比求有关值．(3)众数：最高小长方形底边中点的横坐标．(4)中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．(5)平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和．(6)性质应用：若纵轴上存在参数值，则根据所有小长方形的高之和×组距＝1，列方程即可求得参数值．[考法全练]1．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量/度120 140 160 180 200户数25823则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是()A．180，170B．160，180D．180，C．160170，160解析：选A.用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B，C；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.2．(2018·贵阳模拟)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、) (分的学生人数是100～80，则成绩在40第四、第五小组，已知第二小组的频数是A．15 B．18D．20．25C解析：选A.根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，因为频数是40，40所以样本容量是100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，所以成0.4绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.3．(2018·武汉调研)某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均数为91，如图，该选手的7个得分的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则剩余5个得分的方差为()36116B. A.79D6．30C．1解析：选C.由茎叶图知，最低分为87分，最高分为99分．依题意得，×(87＋93＋9051222＋(9091)＋(93＝×[(87－91)－＝x×10＋＋91)＝91，解得x4.则剩余5个得分的方差s9＋51222]＝×(16＋4＋1＋91)(91＋－91)9)＝6.故选C.91)－－＋(9454．“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书)，比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家．”这个论断被各种媒体反复引用．出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并进一定量的书籍丰富小区图书站．由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄(单位：岁)分成6段：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，后得到如图所示的频率分布直方图．80]，[70，70)．(1)求在这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数；(2)求这40名读书者的年龄的平均数和中位数．解：(1)由频率分布直方图知年龄在[40，70)的频率为(0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.75，故这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数为40×0.75＝30.(2)这40名读书者年龄的平均数为25×0.05＋35×0.10＋45×0.20＋55×0.30＋65×0.25＋75×0.10＝54.设中位数为x，则0.005×10＋0.010×10＋0.020×10＋0.030×(x－50)＝0.5，解得x＝55，故这40名读书者年龄的中位数为55.回归分析(综合型)[典型例题]命题角度一线性回归分析(2018·广州模拟)某地1～10岁男童年龄x(单位：岁)与身高的中位数y(单位：cm)(i ii＝1，2，…，10)如下表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(1)求y关于x的线性回归方程(线性回归方程系数精确到0.01)；2的回归方程类型，他求得的回归方程x关于y更适宜作为r＋qx＋px＝y某同学认为(2)．^2＋10.17x＋68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为y＝－0.30x145.3 cm.与(1)中的线是性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？^^^^附：回归方程y＝a＋bx中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝n－－）－y－x）（y ∑（x ii^－^－1i＝，a＝y－bx.n－2）∑－x （x i1i＝10－－∑（x－x）（y－y）566.85ii^i1＝【解】(1)b＝＝≈6.871≈6.87，1082.50－2）xx－（∑ii1＝^－^－a＝y－bx＝112.45－6.871×5.5≈74.66，^所以y关于x的线性回归方程为y＝6.87x＋74.66.^^(2)若回归方程为y＝6.87x＋74.66，当x＝11时，y＝150.23.^2＋10.17x＋68.07，当x＝11时，yy若回归方程为＝－0.30x＝143.64.|143.64－145.3|＝1.66<|150.23－145.3|＝4.93，^2＋10.17x＋68.07对该地11y所以回归方程＝－0.30x岁男童身高中位数的拟合效果更好．求回归直线方程的关键及实际应用^^(1)关键：正确理解计算b，a的公式和准确地计算．(2)实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．命题角度二非线性回归分析(2018·潍坊模拟)某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．811－表中u＝，u＝∑u.ii8x1i＝i d(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费xy(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出．结果精确到1)^^^附：对于一组数据(w，v)，(w，v)，…，(w，v)，其回归直线v＝α＋βw的斜率和n2121nn－－∑）－vw）（v （w－ii^^－^1i＝，α＝＝v－βw.截距的最小二乘估计分别为βn－2∑）w－w（i1i＝d【解】(1)由散点图判断，y＝c＋更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷x数量x(单位：千册)的回归方程．1(2)令u＝，先建立y关于u的线性回归方程，x8－－）－y－u）（y∑（u7.049ii^1i＝8.96，≈8.957≈由于d＝＝80.787－2）u（u－∑i1i＝^－^－所以c ＝y－d·u＝3.63－8.957×0.269≈1.22，^所以y关于u的线性回归方程为y＝1.22＋8.96u，8.96^所以y关于x的回归方程为y＝1.22＋.x8.96??＋1.22x≥78.840，10(3)假设印刷x 千册，依题意得x－??x所以x≥10，所以至少印刷10 000册才能使销售利润不低于78 840元．求非线性回归方程的步骤确定变量，作出散点图．(1) (2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归(3)方程．分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．(4) 根据相应的变换，写出非线性回归方程．(5)命题角度三回归分析与正态分布的综合问题单位：天当中某商品的销售量y(兰州模拟)某地一商场记录了12月份某5 (2018·单位：℃)的相关数据，如下表：kg)与该地当日最高气温x(2 9 8 5 x 11128710y 8^^^ ＋a；的回归方程y＝bx(1)试求y与x试用所6 ℃，x之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是y(2)判断与求回归方程预测这天该商品的销售量；－22近σ，其中μ近似取样本平均数xX～N(μ，σ，)12(3)假定该地月份的日最高气温2 <13.4)．，试求P(3.8<似取样本方差sX 附：参考公式和有关数据nn－－－－?∑∑）yx）（ynxy－（x－xy－iiii?^1ii1＝＝＝b＝?222∑∑）－x （x－nxx ，ii11ii＝＝??－^^nn－－－x＝yb－a2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 7，且P((3.210≈3.2，≈1.8，若X～Nμ，σμ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 5.n－－－－【解】(1)由题意，x＝7，y＝9，∑xy－nxy＝287－5×7×9＝－28，iii1＝n28－^^^－－222＝12.92.0.56)×7－y－bx＝9(－a＝－＝－n∑x－x＝2955×750，b＝－0.56，＝i501i＝^ 12.92.x＋y所以所求回归直线方程为＝－0.56^代入回归方程可得，x＝6x0.56<0(2)由b＝－知，y与负相关．将^9.56＝，12.9260.56y＝－×＋.kg9.56 即可预测当日该商品的销售量为1－2σ≈3.2，所以P(3.8<X<13.4)＝P(μ－σ<7，X≈s<μ＋2σ)＝P(μ－知(3)由(1)μ≈x＝21σ<X<μ＋σ)＋P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.818 6.22σ的意义情况下，记清正态分布的密度曲线，解决与正态分布有关的问题，在理解μ是一条关于μ对称的钟形曲线，很多问题都是利用图象的对称性解决的．[对点训练](2018·高考全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：^y＝－30.4＋13.5 t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立^模型②：y＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．^解：(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为^y＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(以下2种理由，任选其一)(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资^额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y＝99＋17.5t得到的预②年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型2010可以较好地描述．测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．统计案例(综合型)[典型例题](2018·福州模拟)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：等级水平一水平二水平三水平四/名男生6 8 4 12女生/名2864(1)根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？实践操作能力较弱实践操作能力较强总计男生/名名女生/总计(2)现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习力测试，记抽到水平一的男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：2）bcad－n（2参考公式：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d.（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）【解】(1)2×2列联表如下：实践操作能力较弱实践操作能力较强总计30 12 /男生名18/女生名20614 总计26 24 502）1814×（6×12－502252所以K＝＝≈4.327>3.841.5230×20×26×24所以有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关．(2)ξ的取值为0，1，2，3，4.32141234CC3CCC1C8C6664464P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ4444C14C21C7C351010101041C4＝4)＝＝.4C21010所以ξ的分布列为183418所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝1.6.14217352105独立性检验的关键2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．×2列联表准确计算K根据(1)22的观测值k越大，对应假设事件H成立的概率越小，H不成立的概率越大．(2)K 00[对点训练] (2018·高考全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式的把握认为两种生产方式的效率有差异？99%中的列联表，能否有(2)根据(3)．2）－bcn（ad2＝，附：K）b＋dd）（a＋c）（b（a＋）（c＋2≥kK) P(0.050 0.010 0.00110.8286.6353.841 k解：(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(以下4种理由，任选其一)(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．79＋81(2)由茎叶图知m＝＝80.2列联表如下：超过m 不超过m第一种生产方式515第二种生产方式1552）5－5×1540×（×152(3)由于K＝＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方20×20×20×20式的效率有差异．一、选择题1．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将60个同学按01，6列的数开始向右读，则选出的第5行第9进行编号，然后从随机数表第60，…，03，02．个个体是()(注：下表为随机数表的第8行和第9行)6301 6378 5916 9555 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 5238 793321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279 54A．07B．25D．52C．42解析：选D.依题意得，依次选出的个体分别是12，34，29，56，07，52，…因此选出的第6个个体是52.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.法二：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A.3．(2018·昆明模拟)AQI(Air Quality Index，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度．AQI共分六级，从一级优(0～50)；二级良(51～100)；三级轻度污染(101～150)；四级中度污染(151～200)；直至五级重度污染(201～300)；六级严重污染(大于300)．如图是昆明市2017年4月份随机抽取10天的AQI茎叶图，利用该样本估计)(月份空气质量优的天数为4年2018昆明市．A．3 B．4D．C．12214解析：选C.从茎叶图知10天中有4天空气质量为优，所以空气质量为优的频率为＝1022，所以估计昆明市2018年4月份空气质量为优的天数为30×＝12，故选C. 554．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为()A．5 B．7D．50C．10解析：选D.根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50.5．(2018·桂林、白色、梧州、崇左、北海五市联考)如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是()①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；④2016年同期A省的GDP总量也是第三位．．②③④B ．①②A．C．②④D．①③④解析：选B.①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个，B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算2016年同期五省的GDP 总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知2016年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确．故选B.6．(一题多解)(2018·石家庄质量检测(二))某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及标准差．①A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩；②B班数学兴趣小组的平均成绩高于A班的平均成绩；③A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班成绩的标准差；④B班数学兴趣小组成绩的标准差大于A班成绩的标准差．其中正确结论的编号为()A．①③B．①④D．②④C．②③－：由于x＝解析：选B.法一A11－＝x92＋82＋＋95)＝78，78＋76＋74＋＋78＋76＋81＋85＋86＋8862(53＋＋64B1515－－所66，所以x>x，＋＋73＋7374＋70＋83＋82＋91)＝＋＋(45＋4851＋53＋56＋6264＋65BA以①正确．12222222278)＋＋(74－78)(78＋(78－s78)＝－[(5378)－＋(62－78)＋(64－78)78)＋(76－A152222222＋(95－＋(92－(88－78)＋(82－＋(76－78)78)＋(81－78)＋(85－78)(86＋－78)78)＋2]＝121.678)，12222222266)－＋＋(62－66)－66)＋(53－66)－＋(5666)(64s＝－[(4566)(48＋－66)＋(51B152222222＋(9166)66)－＋(82－66)＋(73－66)＋(74－－＋(7066)(83＋－66)(73－＋(6566)＋－2]＝175.2.66)22故s>s，B班的方差大，则B班的标准差也大，④正确，故选B.AB班的数学成绩较A班；B 班数学兴趣小组的平均成绩明显高于A由茎叶图可知，法二：B.班的方差、标准差较大，故选B班的数学成绩较分散，显然B稳定，大多在70～90分，二、填空题．给出下列四个命题：7名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量52①某班级一共有；46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为234的样本，已知7号、33号、为的平均数、众数、中位数都相同；4，5，3，3，②一组数据1，2 ；1，则其标准差为2，2，3的平均数为③若一组数据a，0，1^^^其中，bx④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y＝a＋^－^－1.＝，则b1，y＝3a＝2，x＝．填序号)其中真命题有________(，故抽取的样本的编号分别134＝在①中，由系统抽样知抽样的分段间隔为52÷解析：的平均数，5，3，4，①是假命题；在②中，数据1，23为7号、20号、33号、46号，故1中，因是真命题；在③，众数为3，都相同，故②4＋5)＝3，中位数为33为(1＋2＋＋3＋6121)－[(－15，解得a＝－1，故样本的方差为3为样本的平均数为1，所以a＋0＋1＋2＋＝52222，标准差为2，故③是假命题；在]＝2－1)④＋(2－1)－＋(31)(0＋－1)中，回归直＋(1^^－－^^－^线方程为y＝bx＋2，又回归直线过点(x，y)，把(1，3)代入回归直线方程y＝bx＋2，得b＝1，故④是真命题．答案：②④8．(2018·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：购买食品的年 2.09 2.15 2.50 2.84 2.92x/万元支出费用购买水果和牛奶的1.25 1.30 1.50 1.70 1.75/万元年支出费用y^^^^^－^－根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.59，a＝y－bx，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为________万元．2.09＋2.15＋2.50＋2.84＋2.92－解析：x＝＝2.50(万元)，51.25＋1.30＋1.50＋1.70＋1.75－y＝＝1.50(万元)，5．^^－^－^其中b＝0.59，a＝y－bx＝0.025，y＝0.59x＋0.025，故年支出费用为3.00万元的家庭^购买水果和牛奶的年支出费用约为y＝0.59×3.00＋0.025＝1.795万元．答案：1.7959．某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为110，114，121，119，126，则这组数据的方差是________．解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可先对这5个数据同时减去110，得到新的数据分别为0，4，11，9，16，其平均数为8，根据方差公1222222]＝30.8.－8)＋(9－8)＝[(0－8)－＋(48)＋＋(11－8)(16式可得s5答案：30.8三、解答题10．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示：(1)求图中a的值；(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；(3)用样本频率代替概率．现从全校高一年级随机抽取20名学生，其中有k名学生“阅读时间”在[1，2.5)内的概率为P(X＝k)，其中k＝0，1，2，…，20.当P(X＝k)最大时，求k的值．解：(1)由频率分布直方图可知，周末“阅读时间”在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，所以1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a，解得a＝0.30.(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，，0.47<0.5＝0.20＋0.15＋0.08＋0.04组的频率之和为4而前所以2≤m<2.5.由0.5×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时．(3)设在取出的20名学生中，周末“阅读时间”在[1，2.5)内的有X人，则X服从二项分布，即X～B(20，0.6)，所以恰好有k名学生周末“阅读时间”在[1，2.5)内的概率为P(X k20kk－(0.4)C(0.6)，＝k)＝20其中k＝0，1，2， (20)k20kk－）（0.4（0.6）3（21－kXP（＝k）C）20＝…，20.，，k＝1，2设t＝＝kk1k121－－－k2）0.40.6）－1（）C（P（X＝k20若t>1，则k<12.6，P(X＝k－1)<P(X＝k)；若t<1，则k>12.6，P(X＝k－1)>P(X＝k)．P（X＝13）3×（21－13）12＝又＝<1，1313×）X＝122P（所以当k＝12时，P(X＝k)最大．所以k的值为12.11．(2018·石家庄质量检测(二))随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用(单位：万元)和产品销量(单位：万件)的具体数据．月份 1 2 3 4 5 6 7 8x 促销费用18 2 133 61521104.541 3.5 1 3 5y产品销量2^^^(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程y＝bx＋a(系数精确到0.01)；(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z(单位：件)表示日销量，z ∈[1 800，2 000)，则每位员工每日奖励100元；z∈[2 000，2 100)，则每位员工每日奖励150元；z∈[2 100，＋∞)，则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量z服从正态分布N(0.2，0.000 1)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元．(当月奖励金额总数精确到百分位)．参考数据：882，＝1y分别为第i个月的促销费用和产品销量，ix，∑∑xy＝338.5x＝1 308，其中，iiiii1ii1＝＝2)，则P(μ－σ<z<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ，(服从正态分布若随机变量…，32，，8.zNμσ<z<μ＋2σ)＝0.954 5.－－，3＝y，11＝x由题可知(1)解：n－－yx－n∑xy338.5－8×11×374.5ii^^1i＝得b＝＝≈将数据代入b＝0.219≈0.22.n3401218－×1 308－22∑x－ny i1i＝^－^－a＝y－bx＝3－0.219×11≈0.59，^所以y关于x的回归方程为y＝0.22x＋0.59.(2)由6月份日销量z服从正态分布N(0.2，0.000 1)，得0.954 5日销量在[1 800，2 000)的概率为＝0.477 25，20.682 7日销量在[2 000，2 100)的概率为＝0.341 35，21－0.682 7日销量在[2 100，＋∞)的概率为＝0.158 65，2所以每位员工当月的奖励金额大约为(100×0.477 25＋150×0.341 35＋200×0.158 65)×30＝3 919.725≈3 919.73(元)．12．(2018·南京模拟)某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀．(1)完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；甲班乙班总计大于等于80分的人数分的人数小于80总计(2)从乙班[70，80)，[80，90)，[90，100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选3名学生发言，记来自[80，90)发言的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．参数数据和公式：2≥k0.0250.05(PK 0.10 )0．k 2.706 3.841 5.024 02）bcad－n（2K＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解：(1)补全表格如下：甲班乙班总计分的人数大于等于8032 2012 分的人数小于8048 28 2080 40 40总计2）×2020－2880×（12×2依题意得K＝≈3.333>2.706，40×40×32×48故有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”．(2)从乙班[70，80)，[80，90)，[90，100]分数段中抽取的人数分别为2，3，2，依题意随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，1232131CCCCC124C18343344P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，3333C35C35C35C357777其分布列如下表：418121459所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.35353535357。

高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例1.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附:√74≈8.602.2.(2021·江西赣州二模改编)遵守交通规则,人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定,也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第47条明确规定:“机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过道路,应当避让.否则扣3分罚200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:(1)请利用所给数据求不“礼让行人”驾驶员人数y 与月份x 之间的经验回归方程y ^=b ^x+a ^,并预测该路口2021年10月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入);(2)交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人,调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到下表:依据小概率值α=0.10的独立性检验,分析“礼让行人”行为是否与驾龄有关.参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx2=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2.χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.3.(2021·河北石家庄二模改编)某地区在2020年底全面建成小康社会,随着实施乡村振兴战略规划,该地区农村居民的收入逐渐增加,可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2016~2020年农村居民人均消费支出情况,对有关数据处理后,制作如图1的折线图[其中变量y (单位:万元)表示该地区农村居民人均年消费支出,年份用变量t 表示,其取值依次为1,2,3,…].(1)由图1可知,变量y与t具有很强的线性相关关系,求y关于t的经验回归方程,并预测2021年该地区农村居民人均消费支出;2016~2020年该地区农村居民人均消费支出图1(2)在国际上,常用恩格尔系数(其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准:恩格尔系数在40%~50%为小康,30%~40%为富裕.已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示,预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%,从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.2020年该地区农村居民人均消费支出构成图2参考公式:经验回归方程y ^=b ^x+a ^中斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y −b ^x .4.(2021·山东潍坊一模)在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20,25<x i <65),其中x i 表示年龄,y i 表示脂肪含量,并计算得到∑i=120x i 2=48 280,∑i=120y i 2=15 480,∑i=120x i y i =27 220,x =48,y =27,√22≈4.7.(1)请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y 关于x的经验回归方程y ^=a ^+b ^x (a ^,b ^的计算结果保留两位小数);(2)科学健身能降低人体脂肪含量,下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表:某健身机构准备购进其中一款健身器材,以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,该机构选择购买哪一款健身器材,才能使用更长久?参考公式:样本相关系数r=∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1n (x i -x)2√∑i=1n(y i -y)2=∑i=1nx i y i -nx y√∑i=1nx i 2-nx 2√∑i=1ny i 2-ny 2;对于一组具有线性相关关系的数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),其经验回归直线y ^=b ^x+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y −b ^x .答案及解析1.解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y =1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, s 2=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6, s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17. 2.解 (1)由表中数据易知:x =1+2+3+44=52,y =125+105+100+904=105,则b ^=∑i=14x i y i -4x y∑i=14x i 2-4x2=995−1 05030−25=-11,a ^=y −b ^ x =105-(-11)×52=132.5,故所求经验回归方程为y ^=-11x+132.5.令x=10,则y ^=-11×10+132.5=22.5≈23(人),预测该路口10月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为23. (2)零假设为H 0:“礼让行人”行为与驾龄无关.由表中数据可得χ2=50×(10×12−20×8)218×32×30×20≈0.23<2.706=x 0.10,依据小概率值α=0.10的独立性检验,没有充分证据推断H 0不成立,可以认为H 0成立,即认为“礼让行人”行为与驾龄无关.3.解 (1)由已知数据可求t =1+2+3+4+55=3, y =1.01+1.10+1.21+1.33+1.405=1.21,∑i=15t i 2=12+22+32+42+52=55,∑i=15t i y i =1×1.01+2×1.10+3×1.21+4×1.33+5×1.40=19.16,b ^=19.16−5×3×1.2155−5×32=1.0110=0.101,a ^=1.21-0.101×3=0.907,所求经验回归方程为y ^=0.101t+0.907. 当t=6时,y ^=0.101×6+0.907=1.513(万元),故2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元.(2)已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元,由图2可知,2020年该地区农村居民食品类支出为4 451元,则预测2021年该地区食品类支出为4 451×(1+3%)=4 584.53元,恩格尔系数=4 584.5315 130×100%≈30.3%∈(30%,40%),所以,2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.4.解 (1)x 2=2 304,y2=729,∑i=120x i y i -20x y =1 300,∑i=120x i 2-20x 2=2 200,∑i=1ny i 2-20y 2=900,r=∑i=120x i y i -20x y√∑i=120x i 2-20x 2√∑i=1ny i 2-20y2≈0.92,因为y 与x 的样本相关系数接近1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.由题可得,b ^=∑i=120(x i -x)(y i -y)∑i=120(x i -x)2=∑i=120x i y i -20x y∑i=120x i 2-20x2=1322≈0.591,a ^=y −b ^ x =27-0.591×48≈-1.37,所以y ^=0.59x-1.37.(2)以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X (单位:年).E (X )=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6. 设乙款健身器材使用年限为Y (单位:年).E (Y )=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.因为E (X )>E (Y ),所以该健身机构购买甲款健身器材更划算.。

统计与统计案例1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等; 有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题, 都属于屮低档题.1.随机抽样(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少.(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多.(3)分层抽样特点是将总体分成儿层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的儿部分组成.2.常用的统计图表(1)频率分布直方图、频率①小长方形的面积=组距X 忒=频率；②各小长方形的面积之和等于1;—频率1③小长方形的高=猛，所有小长方形的高的和为丽.(2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好.3.用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数一一一(2)方差：『=_[(/]—X )2+(A2—x )2------ (乙一x}2}.n标准崔X\— X 2+ X2— X 2 F X n — X 2]. 4. 变量的相关性与最小二乘法（1） 相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数.（2） 最小二乘法：对于给定的一组样本数据（xi, yi ）,（丸，乃），…，（尢，％）,通过求0=工（yi —a —bx ）'最小时，得到线性回归方程尸=加+日的方法叫做最小二乘法. /=15. 独立性检验对于取值分别是3,屈和5, y 』的分类变量尤和『，其样本频数列联表是:71Y2 总计ab a+b X2C d c+d 总计a+cb+dn则心宀 U+c W （•其中心++十为样本容量）•考点一抽样方法.例1. （2012・山东）采用系统抽样方法从960人屮抽取32人做问卷调查，为此将他们随机 编号为1,2,…，960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到 的32人中，编号落入区间［1,450］的人做问卷编号落入区间［451, 750］的人做问卷B, 英余的人做问卷C 则抽到的人中，做问卷〃的人数为（）9,39,69, 939.落入区间［451,750］的有459,489,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列，设有刀项，显然有729 = 459+（/7—1）X30,解得刀=10.所以做 问卷〃的有10人.I 冋=f ■在系统抽样的过程屮,要注意分段间隔，需要抽取儿个个体，样本就需要分 成儿个组，则分段间隔即点N 为样本容量），首先确定在第一组中抽取的个体的号码 n数，再从后面的每组屮按规则抽取每个个体.解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样 方法的特点和适用范围.但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的, 都等于样本容量和总体容量的比值.A. 7B. 9 答案CC. 10D. 15解析由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032= 30,抽取的号码依次为因(1) (2013 •江西)总体由编号为01,02, 19,20的20个个体组成，利用下而的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()A. 08(2)某单位200名职工的年龄分布悄况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法，将全体职工随机按1〜200编号，并按编号顺序平均分为40组仃〜5号，6〜10号，196〜200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是.若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽収人.答案(1)D (2)37 20解析(1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08, 02, 14,07,01,所以第5个个体编号为01.(2)由分组可「知，抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22,即第〃组抽取的号码为5/7—3,所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为200X0. 5 = 100,40则应抽取的人数为丽X 100 = 20人.考点二用样本估计总体.例2. (1) (2013・四川)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为「5将数据分组成[0, 5), [5, 10)，…，[30, 35), [35, 40] 时，所作的频率分布直方图是()(2) (2013 •江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：坏)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_________ .答案(1)A (2)2解析(1)由于频率分布直方图的组距为5,去掉C、D,又[0, 5), [5,10)两组各一人,去掉B,应选A.— 1(2) 一卩==(87 + 91+90 + 89+93)=90,□—— 1x乙==(89 + 90 + 91+88 + 92) =90,b品=占［(87 — 90)?+(91-90)1 2+ (90-90)2+ (89-90)2+ (93-.90)2］ =4,5s2=g［(89 —90尸+ (90-90)2+ (91-90)2+ (88-90)2+ (92-90)2］ =2.5(1)反映样本数据分布的主要方式有：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图.关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小, 高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等.(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小.在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图，据此回答以下问题：(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3,5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6),共15 个，其中至少有一个在1 求参赛总人数和频率分布直方图中［80, 90)之间的矩形的高，并完成直方图；2 若要从分数在［80,100］之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在［90, 100］之间的概率.解(1)由茎叶图知，分数在［50, 60)之间的频数为2.由频率分布直方图知，分数在［50, 60)之间的频率为0. 008X10 = 0.0&2所以参赛总人数为両=25 (人).分数在［80, 90)之间的人数为25 — 2 — 7—10 — 2=4(人)，4分数在［80,90)Z间的频率为亦=0・16，得频率分布直方图中［80, 90)间矩形的高为晋=0. 016.完成直方图，如图.(2)将［80, 90)之间的4个分数编号为1, 2, 3,4；［90, 100］之间的2个分数编号为5和6.则在［80,100］之间任取两份的基本事件为(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2, 3),［90,100］之间的基本事件为(1,5), (1,6), (2,5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6),共9 个.9 3故至少有一份分数在［90, 100］ Z间的概率考点三统计案例.例3. (2013 •重庆)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第，个家庭的月收入农(单位：千10 10 10 10元)与月储蓄匕(单位：千元)的数据资料，算得为上=80,为y,=20,为乂匕=1.84,为¥ /=1 /=12=1 2=1 7=720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入/的线性回归方程y=bx+a,(2)判断变量龙与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.n _ _^XiYi—n x yi= I _ _____ _______ ___ 附：线性回归方程y= bx+ a中，b= ----------------- , a= y ~b x ,其中x , y为n __匸2 22^x~n x7=1样本平均值，线性回归方程也可写为y=bx+a.__ | n80解⑴由题意知〃=io, / =-yx=—=8, 刀「10又人=工£一〃^ 2=720-10X82 = 80,2 = 1厶》・=1＞必一刀x y =184-10X8X2 = 24, /=i由此得力3,a=~-b T=2-0. 3X8=-0. 4,故所求线性回归方程为y=0. 3^-0. 4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(方=0. 3>0),故/与F 之间是正相关.（3）将x=l 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0. 3X7-0. 4 = 1. 7（千元）. （1）对具有线性相关关系的两个变量.可以用最小二乘法求线性回归方程，求方是关键,X XL X //— y ^Xiy —n x y■ /=1 J=1 其中b= ----------------------- = ---------------n __ n _ V 1 2 P 2 2 , Xi — x 2^Xi —n x /= i /= i⑵在利用统计•变量航进行独立性检验时，应该注意数值的准确代入和正确汁算, 最后把计算的结杲与有关临界值相比较.（1）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表:附表:参照附表，得到的正确结论是（）A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性別有关”D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”⑵已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y=0. 95^+a,则日等于（）A. 1.30B. 1.45C. 1.65 0. 1.80EX60X50X60X50〜7.&答案（1）C （2）B解析（1）根据独立性检验的定义，由斤（塔）~7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.—1(2)依题意得，x =^*X (0+1+4 + 5 + 6+8) =4,6—— 1y =-(1. 3 + 1. 8+5. 6 + 6. 1+7. 4 + 9. 3) =5. 25；又直线y=0.95/+自必过样本点中心(匸，~),即点(4, 5. 25),于是有5. 25 = 0. 95X4+日，由此解得曰=1.45.1.用样本估计总体（1）在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.（2）众数、屮位数及平均数的异同众数、屮位数及平均数都是描述一组数据集屮趋势的量，平均数是最重要的量.（3）当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布.—1 “①总体期望的估计，计算样本平均值X②总体方差（标准差）的估计：方差=2若］（尢一% ）2,标准差=7方差,方差（标准差）较小者较稳定.2.线性回归方程y =b x+a过样本点中心（匚，丁），这为求线性回归方程带来很多方便.3.独立性检验⑴作出2X2列联表.（2）计算随机变量#（疋）的值.（3）查临界值，检验作答.1.经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多12人，按分层抽样的方法（抽样过程中不需要剔除个体）从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈.若抽样得出的9位同学屮有5位持“喜欢”态度的同学，1位持“不喜欢”态度的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班持“喜欢”态度的同学人数为 ()A. 6B. 18C. 30D. 54答案C解析 由题意设全班学生为/人，持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”态度的学生分别 占全班人数的害、*、所以%(|-|)=12,解得%=54,所以全班持“喜欢”态度的人 数为54X ：=30.故选C.2. 某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数) 分成六段［40,50), ［50,60),…，［90,100］后得到如图的频率分布直方图，请你根据频 率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为 _______________ .答案71解析 由频率分布直方图得每一组的频率依次为0. 1, 0. 15, 0. 15, 0. 3, 0. 25, 0. 05,又由 频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45, 55, 65, 75, 85, 95.所以本次考试数学成绩的平均分为匚=45X0. 1 +55X0. 15 + 65X0. 15 + 75X0.3 +85X0. 25+95X0. 05 = 71.故填71.随机抽取某川学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1) 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2) 计算甲班的样本方差；(3) 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽屮的概率.解(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm 〜179 cm 之间，而乙班身高集中于170cm 〜180 cm 之间，因此乙班平均身高高于甲班，其中 — 158+162 + 163+168+168+170+171 + 179+179+182 x 甲== 170, —159+162 + 165+168 + 170+173 + 176+178+179+18110= 171. 1.(2)甲班的样本方差为±[(158 — 170)2+(]62_i70)2+ (163- 170)2+ (168~170)2 + (168-170)2+ (170-170)2+(171-170)2+ (179-170)2+ (179-170)2+ (182-170)2]甲班2 18 9 9 10 17 8 83 216 815 3. 10 乙班10 3 6 8 9 2 5 8 9= 57. 2.(3)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为/L从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)、(181,176)、(181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178, 173)、(178,176)、 (176,173),共10个基本事件，而事件含有4个基本事件，(推荐时间：60分钟)一、选择题1. 要完成下列两项调查：①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取L 000根火腿肠进行“瘦 肉精”检测；②从某屮学的15名艺术特长生屮选出3人调查学习负担情况.适合采用 的抽样方法依次为()A. ①用分层抽样，②用简单随机抽样B. ①用系统抽样，②用简单随机抽样C. ①②都用系统抽样D. ①②都用简单随机抽样答案B解析 ①屮总体容量较大，且火腿肠Z 间没有明显差异，故适合采用系统抽样；②屮总 体容量偏小，故适合采用简单随机抽样.2. (2012・四川)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况, 对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为M 其屮 甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12, 21,25, 43,则这四个社区驾驶员的总人数艸为()A. 101B. 808C. 1 212D. 2 012答案B12解析由题意知抽样比为花，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12 + 21+25+43 = 101,故有||=¥，解得/V=808.3. (2013 •福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生.，将他们的模块测试成绩分成6 组：[40,50), [50, 60), [60,70), [70, 80), [80, 90), [90,100]加以统计，得到如图 所示的频率分布直・・・P(A)=£2方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A. 588B. 480C. 450D. 120答案B解析少于60分的学生人数600X (0. 05 + 0. 15) = 120(人),・・・不少于60分的学生人数为480人.4.甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为匚甲,匚乙，则下列判断正确的是()A.匚甲＞7乙；甲比乙成绩稳定甲〉匚乙；乙比甲成绩稳定C. "7甲＜7乙；甲比乙成绩稳定乙比甲成绩稳定答案D解析由茎叶图可知—17+16 + 28 + 30 + 34*，1，= 5 斗5,—15 + 28+26 + 28 + 33x乙= z =26,oX甲〈X乙.又昴=g[「(17—25尸+ (16-25)2+ (28-25)2+ (30-25)2+ (34-25)2] =52,s：=£[(15-26)2+ (28-26)2+ (26~26)2+ (28-26)2+ (33-26)2] =35. 6,・・・乙比甲成绩稳定.5.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{/},若心=8,且越，彷成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A. 13, 12B. 13, 13C. 12, 13D. 13, 14答案B解析设等差数列｛/｝的公差为〃（件0）, $3=8,血戲=£=64, （8 — 2小（8+4小=64, （4 — / （2 +小=& 2〃一扌=0 ,又,故d = 2 ,故样本数据为+ 12 + 14 4,6, & 10, 12, 14, 16, 18,20,22,样本的平均数为------- ----- =13,中位数为一= 13,故选B.6.2011年6月，台湾爆出了食品添加有毒塑化剂的案件，令世人震惊.我国某研究所为此开发了一种用来检测塑化剂的新试剂，把500组添加了该试剂的食品与另外500组未添加该试剂的食品作比较，提出假设弘：“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”，并计算出635）=0. 01.对此，四名同学做出了以下的判断：P：有99%的把握认为“这种试剂能起到检测出塑化的作用”；q：随意抽出一组食品，它有99%的可能性添加了塑化剂；z、：这种试剂能检测出塑化剂的有效率为99%；s：这种试剂能检测出塑化剂的有效率为1%.则下列命题中为真命题的是（）A. p/\qB.絲pf\qC.（綁门/\繍g）/\ （八/s）D・（pV 1^） A （^J s）答案D解析提出假设拄“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”，并计算出戶（於26. 635）=0.01,因此，在一定程度上说明假设不合理，我们就有99%的把握拒绝假设.由题设可知命题刀，厂为真命题，q, s为假命题，依据复合命题的真值表可知D 为真命题.二、填空题7.（2013 •湖北）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.（1） ________________________ 直方图屮x的值为;（2） ___________________________________________________ 在这些用户中，用电量落在区间［100, 250）内的户数为__________________________________ .答案（1）0.004 4 （2） 70解析（1）（0.002 4+0. 003 6 + 0. 006 0+x+0. 002 4 + 0. 001 2） X50 = l,・・」= 0.004 4.（2）（0. 003 6 + 0. 004 4+0. 006 0）X50X100=70.8.下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产/产品过程屮记录的,产量*吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出F 关于x 的线性回归方程为y=0.7%+0.35,那么表中广的 值为 . 答案3解析二•样本点屮心为(4.5,耳勺， ・・・斗二=0. 7X4. 5+0. 35,解得 t='3.9. 某校高三考生参加某高校自主招生面试时，五位评委给分如下：9. 0 9. 18.9 9.2 8.8则五位评委给分的方差为 ________ . 答案0.02解析评委给分的平均数为|x (9. 0 + 9. 1 + & 9 + 9. 2 + & 8) =9. 0, □方差为[(9. 0-9. 0)2+ (9. 1 -9. 0)2+ (8. 9-9. 0)2+(9. 2-9. 0)2+ (8. 8-9. 0)2]=50. 1匕~=0. 02. 510. 某校开展“爱我海西、爱我家乡•”摄影比赛，9位评委为参赛作品 A给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分 后，算得平均分为91,复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中 的x)无法看清，若 记分员计算无误，则数字x 应该是 __________ . 答案1"4, •严+ 刖 + 92 + 9吁92 + 9++90 = 9], •I /=1・三、解答题11. (2013 •陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从〃组中抽取了 6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.解析 当心时，叭叭吗畀92 + 91 + 9、字切,(2)在(1)中，若力，〃两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委屮分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的人数如下表：b\,厶｝屮各抽取1人的所有结果为:由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的冇Si b\,日厶，,观厶4 9共4种，故所求概率7°=—=^.12.(2012 •辽宁)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时I'可的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷” 有10名女性.(1)根据己知条件完成下面的2X2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.0. 050.01 k3. 8416. 635解 ⑴由频率分布直方图可知，在抽収的100人中「体育迷”有25人，从而完成2X2 列联表如下:非体育迷体育迷 合计男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2X2列联表中的数据代入公式计算，得100=33 心3. 030.因为3. 030<3. 841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本 事件空间为 Q={@1,戲)，仙，3：i) ,(0,辺3),(0,方J , (21, &) , (^2, bl),(臼2, &),(日3, b\),(臼3,Z>2), (bi, &)},其中么表不男性,7 = 1, 2, 3,伤表不女性，j — 1, 2. Q 由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.用ZI 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A= {(<<?], Z?l) , (&, bz),(日2, 5),(日2,血)，@3, bl) , (t?3, bz) , (Z?l, bl)},事件/7rti 7个基本事件组成，因而P (A )=—附:75X25X45X55。

1．(2016·山东，3，易)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22．5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60 C．120 D．1401．D[考向2]由频率分布直方图可知，每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，所以每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200×0.7＝140.2．(2016·课标Ⅲ，4，易)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个2．D平均最高气温高于20 ℃的为七、八月份，∴D错．3．(2013·安徽，5，易)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是()A．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数3．C [考向1，3]五名男生成绩的平均数是x －男＝86＋94＋88＋92＋905＝90， 五名女生成绩的平均数是x －女＝88＋93＋93＋88＋935＝91， 五名男生成绩的方差是s 2男＝15(16＋16＋4＋4＋0)＝8， 五名女生成绩的方差是s 2女＝15(9＋4＋4＋9＋4)＝6， 由s 2男>s 2女知应该选C.4．(2014·山东，7，中)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．184．C [考向2]由题图可知，第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40，故该试验共选取志愿者200.40＝50(人)．所以第三组共有50×0.36＝18(人)，其中有疗效的人数为18－6＝12.5．(2014·天津，9，易)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．5．[考向1]【解析】 一年级本科生人数占总人数的比例为44＋5＋5＋6＝420＝15，所以应从一年级本科生中抽取的学生数为300×15＝60.【答案】606．(2015·湖南，12，易)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．6．[考向1，2]【解析】根据系统抽样原理，应将数据按照顺序分成7组，每组5人．区间[139，151]恰好包含第3组到第6组的数据，所以应该从中抽取4人．【答案】 47．(2014·江苏，6，易)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.7．[考向2]【解析】由频率分布直方图可知，在抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm的频率是(0.015＋0.025)×10＝0.4，所以底部周长小于100 cm的株数是60×0.4＝24.【答案】248．(2016·四川，16，12分，中)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．8．[考向2]解：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)因为前6组的频率之和为0．04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85.而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3，由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．9．(2015·广东，17，12分，中)某工厂36名工人的年龄数据如下表.。

第 1 页 共 18 页 2022年高考数学二轮复习：统计与统计案例[考情分析] 高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总体、线性回归方程的求解与运用、独立性检验问题，常与概率综合考查，中等难度． 考点一 统计图表 核心提炼1．频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距. 2．在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．例1 (1)(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 答案 C解析 对于A ，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A 正确；对于B ，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B 正确；对于C ，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02。

高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解考点16 统计一、抽样与统计图表1.获取数据的基本途径获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.(1)统计报表是指各级企事业、行政单位按规定的表格形式、内容、时间要求报送程序，自上而下统一布置，提供统计资料的一种统计调查方式.(2)年鉴是以全面、系统、准确地记述上年度事物运动、发展状况为主要内容的资料性工具书.汇辑一年内的重要时事、文献和统计资料，按年度连续出版的工具书.2.总体、样本、样本容量要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中被抽取的考察对象的集体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.3.简单随机抽样(1)定义：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.(3)应用范围：总体中的个体数较少.4.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.5.频率分布直方图(1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.6.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.7.样本的数字特征如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数.可表示为：一组n个观测值按数值大小排列.如，处于p%位置的值称第p百分位数.二、统计案例1.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.2.回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报.(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.设具有线性相关关系的两个变量x ，y 的一组观察值为(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，则回归直线方程y ^＝a ^x ＋b ^的系数为：称为样本点的中心.（3）相关系数①计算相关系数r ，r 有以下性质：|r |≤1，并且|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越接近0，线性相关程度越弱；②|r |>r 0.05，表明有95%的把握认为变量x 与y 之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义.3.独立性检验（1）2×2列联表1＋11122＋2122＋1＝n 11＋n 21，n ＋2＝n 12＋n 22，n ＝n 11＋n 21＋n 12＋n 22.(2)χ2统计量χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2. (3)两个临界值：3.841与6.635当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的.1.解决分层抽样的常用公式先确定抽样比，然后把各层个体数乘以抽样比，即得各层要抽取的个体数．(2)层1的容量∶层2的容量∶层3的容量＝样本中层1的容量∶样本中层2的容量∶样本中层3的容量．2.统计图表人类辨识影像的能力要优於辨识文字与数字的能力，因此我们采用图形的方式来展现数据时，常常不我们直接观察数据要来的快.3.平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．4.独立性检验的一般步骤①根据样本数据制成2×2列联表；③查表比较K2与临界值的大小关系，作出统计判断．抽样1．（2023·福建莆田·三模）已知某校有教职工560人，其中女职工240人，现按性别用分层抽样的方法从该校教职工中抽取28人，则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据分层抽样的抽取比例计算方法，分别求出抽取人数中的男女职工人数即可求解.【详解】抽取的女职工人数为：2402812 560⨯=人抽取的男职工人数为：281216-=人则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差为：16124-=人故选：B.2．（2023·安徽·芜湖一中三模（文））某学校对高三年级800名学生进行系统抽样编号分别为001，002，…，800，若样本相邻的两个编号为028，068，则样本中编号最大的为()A．778 B．780 C．782 D．788【答案】D【分析】根据样本中两个相邻编号求出组距和分组数，再根据系统抽样方法即可求出样本编号最大的一个．【详解】∵样本相邻的两个编号为028和068，故组距为68－28＝40，由800÷40＝20知样本容量为20，系统抽样时分为20组：001－040，041－080，…，760－800，∵从第1组抽出的数据为028，∴从第20组抽出的数据为760＋28＝788．故选：D．3.（2021北京市通州区高三上期中）某单位有男职工56人，女职工42人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为16人，则女职工抽取的人数为（）A．12 B．20 C．24 D．28【答案】A【分析】根据题意，结合分层抽样的计算方法，即可求解.【详解】根据题意，设抽取的样本人数为n，因男职工抽取的人数为56165642n=+，所以28n=，因此女职工抽取的人数为281612-=（人）.故选：A.4．（多选题）（2023·福建南平·三模）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（）A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人B．该医院青年患者所占的频率为415C．该医院的平均治愈率为28.7%D．该医院的平均治愈率为31.3%【答案】ABC【分析】由分层抽样即可判断A选项；直接计算频率即可判断B选项；直接计算平均治愈率即可判断C、D选项.【详解】对于A ，由分层抽样可得，老年患者应抽取6003012600500400⨯=++人，正确； 对于B ，青年患者所占的频率为400460050040015=++，正确； 对于C ，平均治愈率为60020%50030%40040%28.7%600500400⨯+⨯+⨯≈++，正确； 对于D ，由C 知错误.故选：ABC.统计图表1.（2021广东省广雅中学高三上10月月考）小张一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A. 储蓄金额为300元B. 日常开支比食品中的其他开支多150元C. 娱乐开支比通信开支多50元D. 肉类开支占总开支的13【答案】ABC 【分析】根据图表信息一一分析可得；【详解】解：由食品开支图，可知食品开支有30401008050300++++=元，所以一星期的总开支30030%1000÷=元，其中储蓄金额为100030%300⨯=元，故A 正确；日常开支为100020%200⨯=元，故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B 正确； 娱乐开支比通信开支多()100010%5%50⨯-=元，故C 正确； 肉类开支占总开支的1100100010÷=，故D 错误； 故选：ABC2.（2021四川省资阳市高三第一次诊断）我国在2020年如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务，脱贫攻坚战取得全面胜利，历史性地解决了绝对贫困问题，并全面建成了小康社会．现就2013—2019年年末全国农村贫困人口数进行了统计，制成如下散点图：据此散点图，下面4个回归方程类型中最适宜作为年末贫困人数y 和年份代码x 的回归方程类型的是（）A. y a bx =+B. b y a x =+C. e x y a b =+D. ln y a b x =+【答案】A【分析】结合散点图中点的分布特征即可得出结果.【详解】由散点图可知所有的点几乎分布在一条直线上，结合选项可知选A, 故选：A.3.（2021广东省部分学校高三上11月大联考）中国互联网络信息中心（CNNIC ）发布了第46次《中国互联网络发展状况统计报告》，报告公布了截至2020年6月的中国互联网状况数据与对比数据，根据下图，下面结论不正确的是（）A. 2020年6月我国网民规模接近9.4亿，相比2020年3月新增网民3625万B. 2020年6月我国互联网普及率达到67%，相比2020年3月增长2.5%C. 2018年12月我国互联网普及率不到60%，经过半年后普及率超过60%D. 2018年6月我国网民规模比2017年6月我国网民规模增加的百分比大于7%【答案】D【分析】结合图表直接判断和计算即可.【详解】对A ，由图可知，新增网民数为：93984903593625-=万，正确；对B ，读图可直接判断正确；对C ，读图可直接判断正确；对D ，2018年6月我国网民规模比2017年6月我国网民规模增加的比例为： 8016675116505050501010.0677%7511675116750001500-=<=≈<，故D 错误. 故选：D4.（2021山西省长治市第八中学高三上阶段性测评）随着2023年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长．下面是2013年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是（）A．2013年至2020年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年减少B．2013年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年增加C．2013年至2020年，中国雪场滑雪人次的年增加量相近D．2013年到2020年，中国雪场滑雪人次在2020年首次出现负增长【答案】D【分析】根据图中条形统计图和折线图的实际意义分析逐个判定即可.【详解】对于A，由折线图可知，2013年至2020年，中国雪场滑雪人次的同比增长率先增长再减小，故A错误；对于B，由条形统计图知，2013年至2019年，中国雪场滑雪人次逐年增加，但2020年减少了，故B错误；对于C，由条形图知，2013年至2020年，中国雪场滑雪人次的年增加量不相近，故C 错误；对于D，由条形图和折线图，明显看出2013年到2020年，中国雪场滑雪人次在2020年首次出现负增长，故D正确．故选：D5.（2021河南省重点中学高三上模拟调研）茶叶源于中国，至今中国仍然是茶叶最大生年全球主要茶叶生产国调查数据.产国，下图为2019202020192020-年全球主要茶叶生产国产量分布根据该图，下列结论中不正确的是（）A. 2019年图中5个国家茶叶产量的中位数为45.9B. 2020年图中5个国家茶叶产量比2019年增幅最大的是中国C. 2020年图中5个国家茶叶总产量超过2019年D. 2020年中国茶叶产量超过其他4个国家之和【答案】B【分析】根据统计图表提供的数据判断各选项．【详解】图中，2019年的数据中间的一个是45.9，A正确；2020年图中5个国家茶叶产量比2019年增幅最大的是肯尼亚10100%45.9⨯，B错；2020年图中5个国家茶叶总产量比2019年总产量的差是18.713.4112114.40-+-+=>，C正确；2020年图中125.656.92827.8238.3298.6+++=<，D正确，故选：B.样本的数字特征1.(2021江苏苏州模拟)高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x 1，x 2，x 3，…，x 100，它们的平均数为x ，方差为s 2；其中扫码支付使用的人数分别为3x 1＋2，3x 2＋2，3x 3＋2，…，3x 100＋2，它们的平均数为,TM xT 方差为s ′2，则,TM xT s ′2分别为()A ．3x ＋2，3s 2＋2B ．3x ，3s 2C ．3x ＋2，9s 2D ．3x ＋2，9s 2＋2 【答案】C【解析】 由平均数的计算公式，可得数据x 1，x 2，…，x 100的平均数为x ＝1100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)，数据3x 1＋2，3x 2＋2，…，3x 100＋2的平均数为：1100[(3x 1＋2)＋(3x 2＋2)＋…＋(3x 100＋2)]＝1100[3(x 1＋x 2＋…＋x 100)＋2×100]＝3x ＋2， 数据x 1，x 2，…，x 100的方差为s 2＝1100[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 100－x )2]， 数据3x 1＋2，3x 2＋2，…，3x 100＋2的方差为：1100{[(3x 1＋2)－(3x ＋2)]2＋[(3x 2＋2)－(3x ＋2)]2＋…＋[(3x 100＋2)－(3x ＋2)]2} ＝1100[9(x 1－x )2＋9(x 2－x )2＋…＋9(x 100－x )2]＝9s 2，故选C. 2．（2021河南省湘豫名校联盟高三上11月联考）某校为了解学生体能素质，随机抽取了50名学生，进行体能测试.并将这50名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图.下列结论中不正确的是（）A. 这50名学生中成绩在[]80,100内的人数占比为20%B. 这50名学生中成绩在[)60,80内的人数有26人C. 这50名学生成绩的中位数为70D. 这50名学生的平均成绩68.2x =（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表） 【答案】C【分析】利用频率分布直方图求解判断.【详解】根据此频率分布直方图，成绩在[]80,100内的频率为0.0080.0121020(.)0+⨯=，所以A 正确；这50名学生中成绩在[)60,80内的人数为()0.0320.020105026,+⨯⨯=所以B 正确； 根据此频率分布直方图，0.0080.02100.280.5()+⨯=<，0.0080.020.032100.()60.5++⨯=>，可得这50名学生成绩的中位数()60,70∈，所以C 错误﹔ 根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：450.08550.2650.32750.2850.12950.0868.2,x =⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=＋所以D 正确.故选：C.线性回归方程1.（多选题）（2021山东师范大学附中高三上期中）已知变量x ，y 之间的经验回归方程为ˆ7.60.4yx =-，且变量x ，y 的数据如表所示，则下列说法正确的是（）A. 变量x ，y 之间呈正相关关系B. 变量x ，y 之间呈负相关关系C. m 的值等于5D. 该回归直线必过点()9,4【答案】BCD【分析】将样本点中心代入回归直线方程，得出m 的值，再逐一判断即可. 【详解】681012632119,444m mx y +++++++====因为7.60.4y x =-，所以117.60.49,54mm +=-⨯=，故C 正确； 因为0.40-<，所以变量x ，y 之间呈负相关关系，故A 错误，B 正确； 因为(,)(9,4)x y =，所以该回归直线必过点()9,4，故D 正确； 故选：BCD2.（2021福建省宁德市高三上期中联考）某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：【答案】75【分析】根据线性回归方程过样本中心点进行求解即可. 【详解】1020304050305x ++++==，62688189600.25a y a ++++==+，因为线性回归方程过样本中心点， 所以600.20.673054.975a a +=⨯+⇒=， 故答案为：753.（“超级全能生”2023届高三全国卷地区11月联考）自动驾驶汽车依靠5G 、人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆.近年来全球汽车行业达成共识，认为自动驾驶代表了未来汽车行业的发展方向.实现自动驾驶是一个渐进过程，国际通用的自动驾驶标准根据自动驾驶程度逐步提升可以分为5级.3L 级自动驾驶也是整个自动驾驶技术的分水岭.20162020-年全球3L 渗透率（%）统计表及散点图如下.（1）利用散点图判断，y a bt =+和d y c t =⋅（其中'c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为渗透率y 和年份t 的回归方程模型（只要给出判断即可，不必说明理由）; （2）令2018x t =-，求y 关于x 的回归方程; （3）根据（2）中回归模型回答下列问题： （i ）估计2022年全球3L 渗透率是多少?（ii ）预计至少要到哪一年，全球3L 渗透率能超过10%? 附：回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式为()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）y a bt =+更适合 （2）0.30.72y x =+ （3）（i ）1.92%；（ii ）2049【分析】（1）根据散点图，即可得到y a bt =+更适合作为渗透率y 和年份t 的回归方程模型；（2）由2018x t =-，得5组的对应数据，利用公式，求得ˆˆ,b a 的值，即可得到回归方程；（3）（i ）2022t =，求得 1.92y =，即可得到2022年全球3L 渗透率； （ii ）令0.30.7210y x =+>，即可求得到2049年，全球3L 渗透率能超过10%. 【小问1详解】解：根据散点图，可知y a bt =+更适合作为渗透率y 和年份t 的回归方程模型.【小问2详解】解：由2018x t =-，得5组的对应数据为()2,0.2-，()1,0.4-，()0,0.6，()1,1.0，()2,1.4，所以0=x ，0.72y =，513i i i x y ==∑，52110i i x ==∑，所以5152213500.720.310502i i i ii x y nx yb x nx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，则0.720.300.72a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.30.72y x =+.【小问3详解】解：（i ）令2022t =，可得202220184x =--，此时0.340.72 1.92y =⨯+=， 所以估计2022年全球3L 渗透率是1.92%.（ii ）令0.30.7210y x =+>，解得30.931x >≈，3120182049t =+=， 所以预计至少要到2049年，全球3L 渗透率能超过10%.独立性检验1.春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到列联表：A ．在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”【答案】C【分析】作出列联表，求得2K ，再与临界值表对比判断. 【详解】列联表如下：所以210045151030 3.030 2.70675255545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，且()22.7060.10p K ≥≈，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”. 故选：C 2. 单位：人和成绩无关．如果表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．附：临界值表：【分析】列出数据扩大10倍的22⨯列联表，计算出2χ的观测值，结合独立性检验的基本思想可出结论.【详解】数据扩大10倍的22⨯列联表为：0由列联表数据得()22880330703801008.365 2.706430450710170χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.1α=的独立性检验，我们推断假设0H 不成立，即认为学校与数学成绩有关，又因为甲校成绩优秀和不优秀的概率分别为1000.2326430≈，3300.7674430≈， 乙校成绩优秀和不优秀的概率分别为700.1556450≈，3800.8444450≈， 又因为0.23260.1556>，所以，从甲校、乙校各抽取一个学生，甲校学生数学成绩优秀的概率比乙校学生优秀的概率大.所以，结论不一样，不一样的原因在于样本容量，当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.1.（2021年全国高考甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 2.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+ C. e x y a b =+ D. ln y a b x =+【答案】D【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.3.（多选题）（2021年全国新高考Ⅰ卷）有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误. 【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误； B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误； C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确； 故选：CD4.（2021年全国高考乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥则不认为有显著提高）．【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差. （2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==.（2）依题意，0.320.15y x -==⨯==，=y x -≥. 5.（2021年全国高考甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【分析】根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200=, 乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200=. （2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K ⨯-⨯==>>⨯⨯⨯, 故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.6.（2020年全国统一高考（新课标Ⅱ））某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r))niix y x y --∑（（，≈1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20()()iix x y y r --=∑计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯= （2）样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.一、单选题1．（2023·湖南岳阳·三模）已知一组数据：123,,x x x 的平均数是5，方差是4，则由121x +，221x +，321x +和11这四个数据组成的新数据组的方差是（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．11【答案】C【分析】根据平均数、方差公式计算可得；【详解】解：由已知得12315x x x ++=，222123(5)(5)(5)12x x x -+-+-=， 则新数据的平均数为1231232()3111(21212111)1144x x x x x x ++++++++++==，所以方差为22221231[(2111)(2111)(2111)(1111)]4x x x +-++-++-+-，2222221231231[4(5)4(5)4(5)](5)(5)(5)124x x x x x x =-+-+-=-+-+-=， 故选：C ．2．（2023·辽宁辽阳·二模）为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为（ ）。

【状元之路】2015版高考数学二轮复习 统计与统计案例专题训练（含解析）一、选择题1．(2014·四川卷)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本解析 由题目条件知5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.答案 A2．(2014·重庆卷)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250解析 由分层抽样的特点可知703 500＝n3 500＋1 500，解之得n ＝100. 答案 A3．(2014·广东卷)为了解 1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20解析 由系统抽样的定义知，分段间隔为1 00040＝25.故答案为C .答案 C4．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生人数为b ，则a ，b 的值分别为( )A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,84D ．2.7,83解析 前4组的频数成等比数列，由图知：第一组的频率是0.01，故第一组有1名学生；第二组的频率为0.03，故第二组有3名；所以第三组有9名，第四组有27名．所以后6组共87名学生，设最后一组人数为x ，则27＋x 2×6＝87，解得x ＝2，故公差d ＝2－275＝－5，所以a ＝27100＝0.27，倒数第二组人数为7，则b ＝87－2－7＝78.故选A .答案 A5．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155.x 196 197 200 203 204 y1367m则实数m 的值为( A ．8 B ．8.2 C ．8.4D ．8.5解析 本题主要考查统计的相关知识，意在考查考生的运算求解能力．依题意得x －＝15(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y －＝15(1＋3＋6＋7＋m)＝17＋m 5，回归直线必经过样本中心点(x －，y －)，于是有17＋m5＝0.8×200－155，由此解得m ＝8，选A .答案 A6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P(K 2≥k)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析 根据独立性检验的思想方法，正确选项为C . 答案 C 二、填空题7．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．解析 根据系统抽样的特点，共有80个产品，抽取5个样品，则可得组距为805＝16，又其中有1个为28，则与之相邻的为12和44，故所取5个依次为12,28,44,60,76，即最大的为76.答案 768．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生人数是________．解析 因为(0.002＋0.006＋0.012)×10×200＝40，40x ＝2003 000，所以x ＝600.故在该次数学考试中成绩小于60分的学生人数是600.答案 600 9.已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析 (1)由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34. (2)由茎叶图知5名职工体重的平均数x －＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案 (1)2,10,18,26,34 (2)62 三、解答题10．(2014·课标全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解 (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部分评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．11．(2014·课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解 (1)(2)质量指标值的样本平均数为x －＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．B级——能力提高组1.(2014·郑州一模)PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )A．甲B．乙C．甲、乙相等D．无法确定解析从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小．答案A2．(理)(2014·贵州六校联考)某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．(1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？(2)将上述调查所得的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E(X)．解 (1)由题意得列联表：语文优秀 语文不优秀总计 外语优秀 60 100 160 外语不优秀140 500 640 总计200600800因为K 2＝800×60×500－100×1402160×640×200×600≈16.667>10.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系． (2)由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是38.则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，38， P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫38k ⎝ ⎛⎭⎪⎫583－k，k ＝0,1,2,3.X 的分布列为X 0 1 2 3 P12551222551213551227512E(X)＝3×38＝98.2．(文)(2014·东北三校联考)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：API[0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] >300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染中重度污染重度污染 天数413183091115式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤w≤100，4w －400，100＜w≤300，2 000，w>300，试估计在本年度内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828由200＜S≤600，得150＜w≤250，频数为39，所以P(A)＝39100.(2)根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100K2的观测值为285×15×30×70≈4.575>3.841.所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．。

统计与统计案例1．(2014·四川高考)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本【解析】 5 000名居民的阅读时间的全体为总体，故选A.【答案】 A2．(2014·重庆高考)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250【解析】 样本抽取比例为703 500＝150，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则n 5 000＝150，故n ＝100，选A. 【答案】 A3x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0【解析】 回归直线方程过中心点(5.5,1.5)，即1.5＝5.5b ＋a ，由题意，两个变量负相关，b <0，∴a >0，故选B.【答案】 B4．(2014·广东高考)某车间20名工人年龄数据如下表：年龄(岁) 工人数(人)19 128 329 330 531 432 340 1合计 20(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差．【解】 (1)由题可知，这20名工人年龄的众数是30，极差是40－19＝21.(2)这20名工人年龄的茎叶图如图所示：(3)这20名工人年龄的平均数为x ＝120(19＋3×28＋3×29＋5×30＋4×31＋3×32＋40)＝30，∴这20名工人年龄的方差为s 2＝12020i ＝1 (x i －x )2＝112＋6×22＋7×12＋5×02＋10220＝25220＝12.6.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1．随机抽样①随机抽样问题与实际生活紧密相连，是高考考查的热点之一．主要考查系统抽样中号码的确定和分层抽样中各层人数的确定．②多以选择题和填空题的形式呈现，属容易题．2．用样本估计总体①该考向重点考查样本特征数的计算，样本频率分布直方图和茎叶图等知识．特别是茎叶图是新课标中的新增内容，与实际生活联系密切，可方便处理数据，是高考中新的热点．②多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属容易题．3．线性回归分析①线性回归分析是新增内容，在现实生活中有着广泛的应用，应引起重视．②多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属中、低档题目．4．独立性检验①独立性检验也是新增内容，在现实生活中有着广泛的应用，近几年许多省的高考题涉及本考向，应引起关注．②既可以以选择题、填空题的形式考查，也可以以解答题的形式呈现，属中、低档题目.随机抽样【例1】 (1)(2014·天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．(2)(2014·广东高考)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本 ，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20【解析】 (1)由题意知应抽取人数为300×44＋5＋5＋6＝60. (2)由1 00040＝25，可得分段的间隔为25.故选C. 【答案】 (1)60 (2)C【规律方法】解答与抽样方法有关的问题时应注意：(1)要深刻理解各种抽样方法的特点和实施步骤．(2)熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法．(3)熟练掌握分层抽样中各层人数的计算方法．注意：抽样方法常和概率、频率分布直方图等知识结合在一起考查．[创新预测]1．(1)(2013·湖南高考)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )A．9 B．10 C．12 D．13(2)(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B．07C．02 D．01【解析】(1)根据分层抽样的特点，用比例法求解．依题意得360＝n120＋80＋60，故n＝13.(2)由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.【答案】(1)D (2)D用样本估计总体【例2】(2014·北京高考)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1[0,2) 62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14) 68[14,16) 29[16,18) 2合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)【解】 (1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－10100＝0.9. 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以a ＝频率组距＝0.172＝0.085. 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以b ＝频率组距＝0.252＝0.125. (3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．【规律方法】 1.用样本估计总体时应注意的问题：(1)理解在抽样具有代表性的前提下，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，用样本的特征数估计总体的特征数，这是统计的基本思想．(2)反映样本数据分布的主要方式，一个是频率分布表，一个是频率分布直方图．要学会根据频率分布直方图估计总体的概率分布以及总体的特征数，特别是均值、众数和中位数．2．样本数字特征及茎叶图：(1)要掌握好样本均值和方差的实际意义，并在具体的应用问题中会根据所计算出的样本数据的均值和方差对实际问题作出解释．(2)茎叶图是表示样本数据分布的一种方法，其特点是保留了所有的原始数据，这是茎叶图的优势．[创新预测]2．(1)(2013·福建高考)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A ．588B ．480C ．450D ．120(2)(2013·山东高考)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：8 7 79 4 0 1 0 x 9 1则7A.1169 B.367 C ．36 D.677【解析】 (1)先求出频率，再求样本容量．不少于60分的学生的频率为(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，∴该模块测试成绩不少于60分的学生人数应为600×0.8＝480.故选B.(2)利用平均数为91，求出x 的值，利用方差的定义，计算方差．根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91， ∴x ＝ 4.∴s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367. 【答案】 (1)B (2)B线性回归分析【例3】 (2014·全国新课标Ⅱ高考)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n t i －t－y i －y －∑i ＝1n t i －t－2，a ^＝y －－b ^t －. 【解】 (1)由所给数据计算得t －＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， y －＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3 ∑i ＝17(t i －t －)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17 (t i －t －)(y i －y －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝17 t i －t－y i －y －∑i ＝17 t i －t－2＝1428＝0.5， a ^＝y －－b ^t －＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(Ⅰ)中的回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【规律方法】 进行线性回归分析时应注意的问题(1)正确理解计算b ，a 的公式和准确的计算，是求回归直线方程的关键．(2)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(3)在散点图中，若所有点大部分都集中在斜向上(自左向右看)的直线的附近，则为正相关；若大部分都集中在斜向下(自左向右看)的直线的附近，则为负相关．[创新预测]3．(2013·重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1n x i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x ，其中x ，y 为样本平均值．线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^.【解】 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2， 又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 独立性检验【例4】 (2014·辽宁高考)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计南方学生 60 20 80北方学生 10 10 20合计 70 30 100(1)惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，P (χ2≥k ) 0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635【解】 (1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×60×10－20×10270×30×80×20＝10021≈4.762. 由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2.b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝710. 【规律方法】 1.独立性检验的关键是准确计算K 2(χ2)，而计算k 2(χ2)时，要正确绘制2×2列联表．2．两个变量的独立性检验，在统计学中有着广泛的应用，学习时一定要结合实际问题，从现实中寻找例子，增强学习数学的动力．[创新预测]4．(2014·安徽高考)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋＋＋＋ P (K 2≥k 0) 0.10 0.05 0.010 0.005k 0 2.706 3.841 6.635 7.879【解】 (1)300×15 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据． (2)由题中频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计每周平均体育运动时间不超过4小时45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时165 60 225 总计 210 90 300结合列联表可算得K 2＝300× 2 250275×225×210×90＝10021≈4.762＞3.841. 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．[总结提升]失分盲点(1)混淆简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别，不能正确地选择抽样方法．(2)不能正确地从频率分布直方图中提取相关的信息，混淆了频数与频率的差异．答题指导(1)看到抽样问题，想到三种抽样的定义以及适用范围和三者的区别．(2)看到频率分布直方图，想到频数与频率的区别以及计算方法．方法规律(1)分层抽样：①抽样原则：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取n ＝n ·N N(i ＝1,2，…，k )个个体：②分层原则：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)利用统计量K 2进行独立性检验的步骤：①根据数据列出2×2列联表．②根据公式计算K 2的观测值k .③比较观测值k 与临界值表中相应的检验水平，作出统计判断．通过数据分析事物蕴含的规律1．数据的作用是为了说明实际问题中存在的问题，通过对数据的处理(如计算样本数据的均值、方差、极差、中位数、众数等)，看出实际问题中蕴含的某种规律，根据规律的利弊确定未来的发展方向，这是数据处理的一个主要方面．2．在统计中通过对抽取的样本数据进行处理，根据样本估计总体的思想，可以对总体作出估计，从而对总体作出评价，给出令人信服的结论，这就是用数据说话．【典例】 (2014·全国新课标Ⅱ高考)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【解】(1)由题中所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由题中所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由题中所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由题中茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分．)【规律感悟】样本数据的均值体现了一种整体的态势，样本数据的方差则说明了整体态势的稳定性，整体态势(均值)及其稳定性(方差)是样本数据的两个重要特征数.。