初中函数函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)

初三函数全部知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一种对应关系，它把一个自变量的值对应到一个因变量的值上。

一般地，函数f(x)可以表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

2. 自变量与因变量自变量是函数中独立变化的变量，通常用x表示；因变量是根据自变量的取值而定的变量，通常用y表示。

3. 定义域和值域定义域是自变量的所有可能取值的集合；值域是因变量的所有可能取值的集合。

4. 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的点的集合。

二、函数的表示方法1. 用一个通项公式表示函数函数f(x)有时可以用一个表达式y=f(x)表示。

2. 用函数的图像表示函数函数的图像是函数在平面直角坐标系中的点的集合。

三、常见函数及其性质1. 线性函数线性函数是具有形式y=kx的函数，其中k为常数。

2. 幂函数幂函数是具有形式y=ax^n的函数，其中a和n为常数。

3. 指数函数指数函数是具有形式y=a^x的函数，其中a为正数且不等于1。

4. 对数函数对数函数是指数函数的逆运算。

5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

四、函数的性质1. 奇偶性如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。

2. 增减性如果函数f(x)在区间(a,b)上有f'(x)>0，那么f(x)在区间(a,b)上是增函数；如果函数f(x)在区间(a,b)上有f'(x)<0，那么f(x)在区间(a,b)上是减函数。

3. 最值和零点函数在定义域内可能有最大值、最小值和零点。

4. 对称性有关函数的图像可能有关于y轴对称、关于x轴对称、或者关于原点对称的性质。

五、函数的运算1. 基本函数的运算加减乘除四则运算和复合运算。

2. 复合函数复合函数是一个函数作为另一个函数的自变量而得到的函数。

3. 函数的反函数函数的反函数是满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数。

二次函数知识点全总结初中二次函数是代数学中的重要内容，也是中学数学中的重要内容之一。

在学习二次函数时，不仅要掌握它的基本概念和性质，还要掌握它的图像、方程和应用等方面的知识。

下面对二次函数的知识点进行全面总结。

一、二次函数的基本概念和性质1. 二次函数的定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c (a≠0)的函数，其中a、b、c为常数。

二次函数的自变量x的最高次数是2，因此称为二次函数。

2. 二次函数的图像二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的开口方向由二次项的系数a决定。

3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

顶点的横坐标为-x轴上的对称轴，纵坐标为抛物线的最低值或最高值。

4. 二次函数的对称轴对称轴是过顶点并垂直于x轴的直线，对称轴的方程为x = -b/2a。

5. 二次函数的零点二次函数与x轴相交的点称为零点，其坐标为(x, 0)。

二次函数的零点可以由解二次方程ax² + bx + c = 0得到。

6. 二次函数的凹凸性凹凸性是指二次函数的图像的形状，当a>0时，抛物线开口向上，图像是凹的；当a<0时，抛物线开口向下，图像是凸的。

二、二次函数的图像与性质1. 二次函数图像的平移二次函数y = ax² + bx + c的图像平移，一般可以通过改变常数c来实现。

当c>0时，图像上移；当c<0时，图像下移。

常数b则可以控制图像的水平平移。

2. 二次函数图像的伸缩二次函数图像的伸缩可以通过改变系数a来实现。

当|a|>1时，图像纵向伸缩；当0<|a|<1时，图像纵向压缩。

系数b则可以控制图像的水平伸缩。

3. 二次函数的最值对于二次函数y = ax² + bx + c，当a>0时，最小值为f(-b/2a)，最大值为正无穷；当a<0时，最大值为f(-b/2a)，最小值为负无穷。

初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。

初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函 数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。

一、一次函数1. 定义：在定义中应注意的问题y ＝kx ＋b 中，k 、b 为常数，且k ≠0，x 的指数一定为1。

2. 图象及其性质 （1）形状、直线（）时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限200k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（）若直线：：3111222l y k x b l y k x b =+=+当时，；当时，与交于，点。

k k l l b b b l l b 121212120===//()（4）当b>0时直线与y 轴交于原点上方；当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。

（5）当b=0时，y ＝kx （k ≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。

（6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。

3. 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。

（二）反比例函数 1. 定义：应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”y kxk x =-1021 2. 图象及其性质： （1）形状：双曲线（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()y x y x==-⎧⎨⎪⎩⎪（）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（4）过图象上任一点作x 轴与y 轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

初中数学函数知识点总结数学函数是初中数学中的重要概念之一，它在解决各类实际问题、建立数学模型以及理解数学理论上都起着重要的作用。

本文将对初中数学中的函数知识点进行总结，包括函数的定义、函数的性质、函数的图像和应用等方面内容。

1. 函数的定义函数是一个有序数对的集合，其中每个自变量（输入）只对应一个因变量（输出）。

函数可以用符号表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数名。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

2. 函数的性质（1）奇偶性：一个函数是奇函数当且仅当满足f(-x) = -f(x)，是偶函数当且仅当满足f(-x) = f(x)。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

（2）单调性：一个函数在定义域上是递增的，当且仅当对于任意两个自变量x1和x2，如果x1 < x2，则f(x1) < f(x2)；一个函数是递减的，当且仅当对于任意两个自变量x1和x2，如果x1 < x2，则f(x1) > f(x2)。

（3）周期性：一个函数具有周期T，当且仅当对于任意自变量x，有f(x + T)= f(x)。

如正弦函数和余弦函数都是周期函数。

3. 函数的图像（1）线性函数：线性函数的图像是一条直线，表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

（2）二次函数：二次函数的图像是一个抛物线，表示为y = ax^2 + bx + c，其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置，c为抛物线与y轴的交点。

（3）指数函数：指数函数的图像是递增的曲线，表示为y = a^x，其中a大于0且不等于1。

（4）对数函数：对数函数的图像是递增的曲线，表示为y = loga(x)，其中a大于0且不等于1。

4. 函数的应用函数在现实生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的函数应用：（1）速度函数：速度是距离对时间的比值，可以用速度函数来描述运动的变化。

.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。

初中数学函数知识点归纳初中数学中，函数是一个重要的概念。

在学习函数时，主要包括函数的定义、函数的基本性质、函数的图像以及函数的应用等方面的内容。

一、函数的定义在初中数学中，函数通常被理解为一种数学关系。

具体地说，如果存在一个规则，它能够将一个数集的每个元素与另一个数集的唯一元素相对应，那么我们就称这个规则为函数。

数集的每个元素称为自变量，相对应的元素称为函数值或因变量。

例如，y=2x就是一个函数的表示方式，其中y是因变量，x是自变量。

这个函数的规则是将自变量x乘以2得到对应的y值。

二、函数的基本性质1.定义域和值域：函数的定义域指的是自变量的取值范围，而值域指的是因变量的取值范围。

定义域和值域的确定可以通过函数的解析式，也可以通过函数的图像来确定。

2.单调性：函数的单调性是指函数在一些区间内是递增还是递减。

对于递增的函数，当自变量增加时，因变量也增加；对于递减的函数，当自变量增加时，因变量减少。

3.奇偶性：奇函数和偶函数是函数的一种分类。

当函数满足f(-x)=-f(x)时，我们称这个函数为奇函数；当函数满足f(-x)=f(x)时，我们称这个函数为偶函数。

4.对称轴：对于偶函数，它的图像关于y轴对称；对于奇函数，它的图像关于原点对称。

因此，对称轴就是y轴或者原点。

5.零点：函数的零点指的是函数取0的自变量值，也叫做函数的根。

求零点的方法有很多，例如用图像法、方程求解法等。

三、函数的图像1. 直线函数：直线函数的图像是一条直线。

其解析式通常为y = kx + b，其中k是斜率，表示直线的倾斜程度，b是截距，表示直线与y轴的交点。

2.常函数：常函数的图像是一条水平的直线。

它的解析式为y=c，其中c是常数。

3. 平方函数：平方函数的图像是一条抛物线。

其解析式通常为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c都是常数。

4.开方函数：开方函数是平方函数的反函数。

其图像是一条拋物線的一部分，始终在x轴的非负值上。

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)（一）正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴2、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限注：y＝kx+b中的k，b的作用：1、k决定着直线的变化趋势①k>0 直线从左向右是向上的②k<0 直线从左向右是向下的2、b决定着直线与y轴的交点位置①b>0 直线与y轴的正半轴相交②b<0 直线与y轴的负半轴相交（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.3、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.注：对于y＝kx+b 而言，图象共有以下四种情况：1、k>0，b>02、k>0，b<03、k<0，b<04、k<0，b>04、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为与y 轴交点坐标为(0，b)．5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6、两条直线交点坐标的求法：方法：联立方程组求x、y例题：已知两直线y＝x+6 与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1≠b2（2）两直线相交：k1≠k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.9、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值. 10、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 11、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点. 12、函数应用问题 （理论应用 实际应用）（1）利用图象解题 通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题. （2）经营决策问题 函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知题.（二）反比例函数一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝k ／x (k 为常数，k≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

数学初中函数知识总结函数是数学中的基础概念之一，也是中学数学中的重要内容。

在初中阶段，学生们开始接触函数的概念和相关知识，逐渐深入探讨函数的性质和应用。

本文将对初中函数的知识进行总结和梳理，包括函数的定义、性质、图像和应用等方面。

一、函数的定义函数是以某个变量（自变量）为输入，通过某种规则或算法得到另一个变量（因变量）为输出的关系。

简单来说，函数就是一种对应关系。

用符号表示函数的一般形式为：y = f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f(x)代表函数关系。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取得的值的集合，值域是因变量可能取得的值的集合。

在定义函数时，需要确定函数的定义域和值域。

2. 奇偶性：对于函数f(x)，如果对于任意x，有f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数；否则，函数既不是偶函数也不是奇函数。

3. 单调性：函数的单调性描述了函数的增减规律。

如果函数的自变量增大时，对应的因变量也增大，则该函数是递增的；如果函数的自变量增大时，对应的因变量减小，则该函数是递减的。

三、函数的图像函数的图像是函数的可视化表示，可以通过画出函数的图像来更好地理解和分析函数的性质。

1. 直线函数：直线函数的图像是一条直线，可以通过确定直线上两个点或一个点和斜率来确定直线函数的图像。

2. 平方函数：平方函数的图像是一条抛物线，开口方向取决于平方项系数的正负。

平方函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，也是抛物线的对称轴与x轴的交点。

3. 一次函数：一次函数的图像是一条斜率不变的直线，可以通过确定直线上两个点或一个点和斜率来确定一次函数的图像。

四、函数的应用函数是数学中的一个强大工具，不仅在数学中有广泛的应用，还可以在实际生活和其他学科中得到应用。

1. 函数的模型建立：通过观察和分析实际问题，可以建立函数模型来解决问题。

例如，利用一次函数模型可以描述物体的匀速直线运动，二次函数模型可以描述物体的自由落体运动。

课题§3. 5 正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数教学目标1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质2、会用待定系数法确定函数的解析式教学重点掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质教学难点掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质教学方法讲练结合法教学过程（I）知识要点（见下表：）注：二次函数))((44)2(222n x m x a ab ac a b x a c bx ax y --=-++=++=（0≠a ） 对称轴abx 2-=，顶点)442(2a b ac a b --， 抛物线与x 轴交点坐标)0()0(，，，n m （II ）例题讲解例1、求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）抛物线过点A （1，1），B （2，2），C （4，2-） （2）抛物线的顶点为P （1，5）且过点Q （3，3）（3）抛物线对称轴是2=x ，它在x 轴上截出的线段AB 长为22，且抛物线过点（1，7）。

解：（1）设)0(2≠++=a c bx ax y ，将A 、B 、C 三点坐标分别代入，可得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=++24124162241c b a c b a c b a c b a 解得 242-+-=∴x x y （2）设二次函数为5)1(2--=x a y ，将Q 点坐标代入，即35)13(2=--a ，得2=a ，故3425)1(222--=--=x x x y（3）∵抛物线对称轴为2=x ；∴抛物线与x 轴的两个交点A 、B 应关于2-=x 对称； ∴由题设条件可得两个交点坐标分别为)0222()022(，、，+--B A∴可设函数解析式为：a x a x x a y 2)2()22)(22(2-+=-+++=，将（1，7）代入方程可得1=a∴所求二次函数为242++=x x y ，例2：二次函数的图像过点（0，8），)51(--，，（4，0） （1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间 （2）当x 取何值时，①y≥0，②y<0解：（1）依题意可设函数的解析式为：)0(2≠++=a c bx ax y将三点坐标分别代入，可得方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=041658c b a c b a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=821c b a9)1(8222--=--=∴x x x y∴函数图像的顶点为（1，9-），对称轴为1=x又∵01>=a ， ∴函数有最小值，且9m in -=y ，无最大值 函数的增区间为[1，+∞），减区间为]1(，-∞（2）由2408202-≤≥≥--≥x x x x y 或，解得可得 由4208202<<-<--<x x x y ，解得可得例3：求函数]11[1)(2，，-∈+-=x x x x f 的最值及相应的x 值 解由43)21(122+-=+-=x x xy ，知函数的图像开口向上，对称轴为21=x∴依题设条件可得)(x f 在]211[，-上是减函数，在]121[，上是增函数。

初中函数的知识点总结函数的基本概念：定义：函数是描述两个变量之间的一种关系，其中一个变量（自变量）的变化会引起另一个变量（因变量）的相应变化。

表示方法：常用解析式（如 y = x^2）、列表法和图像法来表示函数。

函数的图像：一次函数的图像是一条直线。

二次函数的图像是一个抛物线。

反比例函数的图像是两个双曲线。

学生应学会根据函数表达式绘制相应的图像，并从图像中读取信息。

一次函数：标准形式：y = kx + b（k ≠ 0）。

性质：斜率 k 决定了函数的增减性，截距 b 决定了图像与 y 轴的交点。

应用：解决实际问题中的线性关系，如速度与距离、价格与数量等。

二次函数：标准形式：y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）。

性质：对称轴、顶点、开口方向等。

配方与化简：将二次函数化为顶点式 y = a(x - h)^2 + k。

应用：描述抛物运动、优化问题等。

反比例函数：标准形式：y = k/x（k ≠ 0）。

性质：图像分布在第一、三象限，当 k > 0 时，函数随 x 的增大而减小；当 k < 0 时，函数随 x 的增大而增大。

应用：描述反比例关系的问题，如力与距离的关系等。

函数的性质：奇偶性：函数关于原点对称（奇函数）或关于 y 轴对称（偶函数）。

单调性：函数在某一区间内的增减性。

最值：函数在定义域内的最大值和最小值。

函数的应用：利用函数解决实际问题，如建立数学模型、分析数据等。

函数与方程的结合：解方程可以理解为求函数值为零的自变量值。

这些知识点构成了初中函数学习的主要内容，学生应理解函数的基本概念和性质，掌握不同函数的图像和表示方法，并能够利用函数知识解决实际问题。