2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

山东省潍坊市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x，y满足约束条件2211x yy xy kx+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y=-的最大值为2，则实数k的值为（）A．1 B．53C．2 D．73【答案】B【解析】【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解k即可.【详解】可行域如图中阴影部分所示，22,111Bk k⎛⎫+⎪--⎝⎭，421,2121kCk k-⎛⎫⎪++⎝⎭，要使得z能取到最大值，则1k>，当12k<≤时，x在点B处取得最大值，即2221211k k⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得53k=；当2k>时，z在点C 处取得最大值，即421222121kk k-⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得76k=（舍去）.故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.2．30x y m-+=过双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若||||FA FO=（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为A．2B．31C5D51【答案】B【解析】【分析】【详解】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o ，则||AE =，所以双曲线C 的离心率为1e =.故选B ．3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin b B C =，则B =（ ） A ．6π或56π B ．4π C ．3π D ．6π或3π 【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得到4sin cos sin B B C C =，化简得到答案.【详解】由4cos sin b B C =，得4sin cos sin B B C C =，∴sin 2B =23B π=或23π，∴6B π=或3π． 故选：D【点睛】 本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.4．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( )A ．1或1-B ．25或25-C ．1或25-D ．1-或25 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求得sin ,cos a a 后可得结论．【详解】由题意得点P 与原点间的距离5r m ==．①当0m >时，5r m =， ∴3344sin ,cos 5555m m a a m m -====-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=． ②当0m <时，5r m =-，3344m m -∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭． 综上可得2sin cos a a +的值是25或25-． 故选B ．【点睛】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，然后再根据三角函数的定义求解即可． 5．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】 【分析】 由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，从而得出函数解析式. 【详解】解：由图象知3A =，534422T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2142ωπ==π， 图中的点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭应对应正弦曲线中的点(,0)π， 所以1322πϕπ⨯+=，解得4πϕ=， 故函数表达式为()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 故选：B.本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.6．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．5B ．7C -D ．9- 【答案】D【解析】【分析】设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212x y +„，设x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 8|θθ-+，22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-.故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．7．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．由101x x +>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3y x =是增函数，sin y x =是增函数，12ln ln(1)11x y x x+==-+--是增函数，∴31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得112a <<． 故选：C.【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．8．函数2sin 1x x y x +=+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

16.已知函数
f
x
ln x,
2
x3
3x
2
A.甲是律师，乙是医生，丙是记者
B.甲是医生，乙是记者，丙是律师
C.甲是医生，乙是律师，丙是记者
D.甲是记者，乙是医生，丙是律师
4.以抛物线 E : x2 4 y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为
A. x 12 y2 4
B. x 2 y 12 4
C. x 12 y2 4
潍坊市高考模拟考试
数学
2020．5 本试卷共 6 页．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效．
0, 0 的右焦点为 F，过点 F 且与 x 轴垂
直的直线与双曲线 C 的一条渐近线交于点 A（点 A 在第一象限），点 B 在双曲线 C 的渐近
线上，且 BF/OA，若 AB OB 0 ，则双曲线 C 的离心率为
23
A.
3
B. 2
C. 3
D.2
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分.
D. x2 y 12 4
1
5. 设 函 数 f x 为 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 ， f x ex cos x ， 则 不 等 式 f 2x 1 f x 2 0 的解集为
A. ,1

潍坊市高考模拟考试文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1<=x x A ，{}1<=x e x B ，则（ ） A ．{}1<=⋂x x B A B ．{}e x x B A <=⋃ C ．R B C A R =⋃ D ．{}10<<=⋂x x B A C R2.如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率（ ）A ．41 B ．21 C ．8π D ．4π 3.下面四个命题中，正确的是（ ）A ．若复数21z z =，则R z z ∈•21B ．若复数z 满足R z ∈2，则R z ∈C ．若复数1z ，2z 满足21z z =，则21z z =或21z z -=D ．若复数1z ，2z 满足R z z ∈+21，则R z ∈1，R z ∈24.已知双曲线1:2222=-b y a x C 的离心率为35，其左焦点为)05(1，-F ，则双曲线C 的方程为（ ） A ．13422=-y x B ．14322=-y x C.191622=-y x D ．116922=-y x 5.执行如图所示程序框图，则输出的结果为（ ）A ．-4B ．4 C.-6 D ．66.已知），（ππα2∈，43-)tan(=-πα，则=-)4cos(πα（ ） A ．102 B ．102- C.1027 D ．1027-7.已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数解析式可能为（ ）A ．x x x y cos += B ．x x x y sin 2+= C. x x x y cos -= D ．xxx y sin -= 8.若将函数)0(cos >=ωωx y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．21 B ．23 C.25 D ．27 9.已知函数xxx f ln )(=，则（ ） A ．)(x f 在e x =处取得最小值e1B ．)(x f 有两个零点 C.)(x f y =的图象关于点）（0,1对称 D ．)3()()4(f f f <<π10.在ABC ∆中，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，且Ab Ba B B C cos cos sin sin sin 2=-，则A =（ ） A ．6π B ．4π C.3π D ．32π11.已知三棱柱111C B A ABC -，平面β截此三棱柱，分别与AC ，BC ，11C B ，11C A 交于点E ，F ，G ，H ，且直线//1CC 平面β.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面//β平面11A ABB ；③若三棱柱111C B A ABC -是直棱柱，则平面⊥β平面111C B A .其中正确的命题为（ ） A ．①② B ．①③ C.①②③ D.②③12.直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线x y C 8:2=交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若BAF ABF ∠=∠sin 2sin ，则k 的值是（ ）A.32 B ．322 C.1 D ．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为．14.在等腰ABC ∆中，AC AB =，6=BC ，点D 为边BC 的中心，则AB BD ⋅=u u u r u u u r．15.设x ，y 满足约束条件21021010x y x y x y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则23z x y =-的最大值为 ．16.设函数()f x ()m R ∈满足()()sin f x f x x π-=-，当0x π-<≤时，则2018()3f π= ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，0n a >*()n N ∈，66S a +是44S a +，55S a +的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1212log n n b a -=，数列12{}n n b b +的前n 项和为n T ，求n T . 18.如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，BC AB =，11AA DA =，ο120=∠ABC .（1）证明：1BA AD ⊥；（2）14AD DA ==，126BA =1111BCD AB C D -的体积 19.“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”.他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数.其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860 8753 6450 7290 4850 102239763 7988 9176 6421 5980男性好友走路的步数情况可分为五个类别：20000(-A 步)(说明:“20000-”表示大于等于0,小于等于2000.下同),50002000(-B 步),80005001(-C 步),100008001(-C 步),10001(E 步及以E ),且E D B ,,三种类别人数比例为4:3:1,将统计结果绘制如图所示的柱形图.若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型",否则被系统认定为“进步型”.（1）若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在10000~5001步的人数； （2）请根据选取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关?卫健型 进步型总计 男 20 女 20 总计40从这5位好友中选取2人进行访谈，求至少有一位女性好友的概率附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=κ，)(02k K P ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.7063.8415.0246.63520.已知平面上动点P 到点(3,0)F 的距离与直线433x =的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）设(,)M m n 是曲线E 上的动点，直线l 的方程为1mx ny +=. ①设直线l 与圆221x y +=交于不同两点C ，D ，求CD 的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆'E 的方程；并探究：若(,)M m n 是曲线Γ：221Ax By +=(0)A B ⋅≠上的动点，是否存在与直线l ：1mx ny +=恒相切的定曲线'Γ？若存在，直接写出曲线'Γ的方程；若不存在，说明理由.21.已知函数()()xf x x a e =--21(1)2ax a a x +-.()x R ∈ （1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为l ，l 与x 轴的交点坐标为(2,0)，求a 的值； （2）讨论()f x 的单调性.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x ，（θ为参数），M 为曲线1C 上的动点，动点P 满足OM a =（0>a 且1≠a ），P 点的轨迹为曲线2C . （1）求曲线2C 的方程，并说明2C 是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为)3,2(π，射线αθ=与2C 的异于极点的交点为B ，已知AOB ∆面积的最大值为324+，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知m x x x f -++=1)(.（1）若2)(≥x f ，求m 的取值范围；（2）已知1>m ，若)1,1(-∈∃x 使3)(2++≥mx x x f 成立，求m 的取值范围.高三文科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:CCADB 6-10:BABDC 11、12：BB 二、填空题 13.23π 14.9- 15.5 16.23 三、解答题17.解：（1）∵66a S +是44a S +，55a S +的等差中项， ∴554466)(2a S a S a S +++=+ ∴66554466a S a S a S a S --+=--+， 化简得，464a a =，设等比数列{}n a 的公比为q ，则41462==a a q ， ∵)(0*N n a n ∈>，∴0>q ，∴21=q ， ∴21)21()21(2--=⨯=n n n a .（2）由（1）得：3221log log 3-n 2211221-===-n a b n n ）（，设，121321)12)(32(221---=--==+n n n n b b C n n n ， ∴1221211)121321()5131()3111()1111(21--=---=---+⋅⋅⋅+-+-+--=+⋅⋅⋅++=n nn n n C C C T n n .18.（1）证明：取AD 中点O ，连接OB ，1OA ， ∵11DA AA =，∴1OA AD ⊥，∵在ABCD Y 中，ο120=∠ABC ，∴ο60=∠BAD ， 又∵BC AB =，则AD AB =，∴ABD ∆是正三角形， ∴OB AD ⊥∵⊂1OA 平面1OBA ，⊂OB 平面1OBA ，O OB OA =⋂1， ∴⊥AD 平面1OBA ， ∴B A AD 1⊥.（2）由题设知AD A 1∆与BAD ∆都是边长为4的正三角形， ∴321==OB O A ，∵621=B A ， ∴21221B A OB O A =+，∴OB O A ⊥1， ∵AD O A ⊥1， ∴⊥O A 1平面ABCD ，∴O A 1是平行六面体1111D C B A ABCD -的高， 又38324=⨯=⋅=OB AD S ABCD ，设48323811111=⨯=⋅==-D A S V V ABCD D C B A ABCD ， 令832432213131111=⨯⨯⨯⨯=⋅==∆-O A S V V ABD ABD A ， ∴4011111=-=-V V V D C B A BCD ，即几何体1111D C B A BCD -的体积为40.19.解：（1）在样本数据中，男性朋友B 类别设为x 人，则由题意可知204331=++++x x x ，可知2=x ，故B 类别有2人，类D 别有6人，E 类别有8人，走路步数在10000~5000步的包括C 、D 两类别共计9人；女性朋友走路步数在10000~5000步共有16人. 用样本数据估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，则：37540169600=+⨯人.（2）根据题意在抽取的40个样本数据的22⨯列联表：得：841.3114018222020)861214(402<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ， 故没有%95以上的把握认为认为“评定类型”与“性别”有关 （1）在步数大于10000的好友中分层选取5位好友，男性有：42885=+⨯人，记为A 、B 、C 、D ，女性1人记为e ；从这5人中选取2人，基本事件是AB ，AC ，AD ，Ae 、BC 、BD 、Be 、CD 、Ce 、De 共10种，这2人中至少有一位女性好友的事件是Ae ，Be ，Ce ，De 共4种，故所求概率52104==P . 20.（1）设),(y x P ，由题意，得23334)3(22=-+-x y x ， 整理，得1422=+y x ， 所以曲线E 的方程为1422=+y x . （2）①圆心)0,0(到直线l 的距离221nm d +=，∵直线于圆有两个不同交点C ，D ，∴)11(4222nm CD +-=，又)0(1422≠=+n n m ， 故)4341(4222+-=m CD ， 由10<<d ，得0>m ，又2≤m ，∴20≤<m . ∴43434102≤+-<m ， 因此]3,0(2∈CD ，]3,0(∈CD , 即CD 的取值范围为]3,0(.②当0=m ，1=n 时，直线l 的方程为1=y ；当2=m ，0=n 时，直线l 的方程为21=x ，根据椭圆对称性，猜想'E 的方程为1422=+y x .下证：直线)0(1≠=+n ny mx 与1422=+y x 相切，其中1422=+n m ， 即4422=+n m ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==+n mx y y x 11422消去y 得：012)4(2222=-+-+n mx x n m ， 即012422=-+-n mx x ，∴0)44(4)1(1642222=-+=--=∆n m n m 恒成立，从而直线1=+ny mx 与椭圆'E ：1422=+y x 恒相切.若点),(n m M 是曲线Γ：)0(122≠⋅=+B A By Ax 上的动点，则直线l ：1=+ny mx 与定曲线'Γ：)0(122≠⋅=+B A By A x 恒相切. 21.解：（1）)1()()('-+-+-=a a ax e e a x x f xx，∴2)1()0('-=a f ，又a f -=)0(， ∴切线方程为：)0()1(2--=+x a a y ，令0=y 得2)1(2=-=a ax ， ∴02522=+-a a ， ∴2=a 或21=a . （2）)1()()('-+-+-=a a ax e e a x x f xx=))](1([a e a x x---， 当0≤a 时，0≥-a e x ，)1,(--∞∈a x ，0)0('<f ，）（x f 为减函数， ),1(+∞-∈a x ，0)('>x f ，)(x f 为增函数；当0>a 时，令0)('=x f ，得11-=a x ，a x ln 2=， 令a a a g ln 1)(--=， 则aa a a g 111)('-=-=， 当)1,0(∈a 时，0)('<a g ，)(a g 为减函数，当),1(+∞∈a 时，0)('>a g ，)(a g 为增函数， ∴0)1()(min =g a g ，∴a a ln 1≥-（当且仅当1=a 时取“=”）， ∴当10<<a 或1>a 时，)(,0)('),ln ,(x f x f a x >-∞∈为增函数，)(,0)('),1,(ln x f x f a a x <-∈为减函数， )(,0)('),,1(x f x f a x >+∞-∈为减函数，1=a 时，)(,0)1()('x f e x x f x ≥-=在),(+∞-∞上为增函数.综上所述：0≤a 时，)(x f 在)1,(--∞a 上为减函数，在),1(+∞-a 上为增函数，10<<a 或1>a 时，)(x f 在)1,(ln -a a 上为减函数，在)ln ,(a -∞和),1(+∞-a 上为增函数；1=a 时，)(x f 在),(+∞-∞上为增函数.22.解：（1）设),(y x P ，),(00y x M ，由OM a =得⎩⎨⎧==00ay y ax x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==a y y ax x 00∵M 在1C 上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=θθsin 2cos 22ay ax即⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22a y a a x （θ为参数），消去参数θ得)1(4)2(222≠=+-a a y a x ，∴曲线2C 是以)0,2(a 为圆心，以a 2为半径的圆.（2）法1：A 点的直角坐标为)3,1(，∴直线OA 的普通方程为x y 3=，即03=-y x ， 设B 点坐标为)sin 2,cos 22(ααa a a +，则B 点到直线03=-y x 的距离3)6cos(2232sin 2cos 32++=+-=παααa a d ，∴当6πα-=时，a d )23(max +=，∴AOB S ∆的最大值为324)23(221+=+⨯⨯a ，∴2=a . 法2：将θρcos =x ，θρsin =y 代入2224)2(a y a x =+-并整理得：θρcos 4a =， 令αθ=得αρcos 4a =，∴),cos 4(ααa B ，∴3)32sin(232cos 32sin cos 32cos sin 2)3sin(cos 4sin 212--=--=-=-=∠⋅⋅⋅=∆πααααααπααa a a a AOB OB OA S AOB ， ∴当12πα-=时，AOB S ∆取得最大值a )32(+，依题意324)32(+=+a ，∴2=a .23.解：（1）∵11)(+≥-++=m m x x x f ， ∴只需要21≥+m ，∴21≥+m 或21-≤+m ，∴m 的取值范围为是1≥m 或3-≤m .（2）∵1>m ，∴当()1,1-∈x 时，1)(+=m x f ， ∴不等式3)(2++≥mx x x f 即22++≥mx x m ， ∴2)1(2+≥-x x m ，x x m -+≥122， 令213)1(13)1(2)1(12)(22--+-=-+---=-+=x x x x x x x x g ， ∵210<-<x ， ∴3213)1(≥-+-xx （当31-=x 时取“=”），∴232)(min -=x g ， ∴232-≥m .。

山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．C．D．2．设集合M={x|x≤0}，N={x|lnx≤1}，则下列结论正确的是（）A．B．M=N C．M∪∁R N=R D．M∩∁R N=M3．要从编号为1～50的50名学生中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，324．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a（x﹣b）的图象是（）A． B． C． D．5．下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，e x＜0C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dD．ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4），若⊥，则tan（α+）=（）A．7 B．C．﹣7 D．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米9．已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A．20 B．16 C．10 D．510．已知函数f（x）=，g（x）=kx﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）有且仅有4个不同的零点．则实数k的取值范围为（）A．（1，6）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．如图所示的程序框图中，x∈[﹣2，2]，则能输出x的概率为．12．在平行四边形中，AC与BD交于点O，=，CE的延长线与AD交于点F，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．13．已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=．14．（x+y）（x﹣y）7的展开式中，x3y5的系数为．15．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．18．已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，且b n=log2a n．（I）求b n，S n；（Ⅱ）设c n=，证明：++…+＜S n+1（n∈N*）．19．甲乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制（先赢三场的队伍获得胜利．比赛结束）②双方各派出三名队员．前三场每位队员各比赛﹣场已知甲俱乐部派出队员A1、A2．A3，其中A3只参加第三场比赛．另外两名队员A1、A2比赛场次未定：乙俱乐部派出队员B1、B2．B3，其中B1参加第一场与第五场比赛．B2参加第二场与第四场比赛．B3只参加第三场比赛根据以往的比赛情况．甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如表：A1A2A3B1B2B3（I）若甲俱乐部计划以3：0取胜．则应如何安排A1、A2两名队员的出场顺序．使得取胜的概率最大？（Ⅱ）若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）20．已知椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）过点P的直线l交椭圆C1于A、B两点．（i）证明：线段AB的中点G恒在椭圆C2：=1的内部；（ii）判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣bln（x+1）（a＞0），g（x）=e x﹣x﹣1，曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线．（1）若x=0为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用a表示）；（2）若∀x≥0，g（x）≥f（x）+x2，求a的取值范围．山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵==，∴复数的虚部为．故选：A．2．设集合M={x|x≤0}，N={x|lnx≤1}，则下列结论正确的是（）A．B．M=N C．M∪∁R N=R D．M∩∁R N=M【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|lnx≤1}=（0，e]，利用集合的运算性质即可得出．【解答】解：集合M={x|x≤0}，N={x|lnx≤1}=（0，e]，则上述结论正确的是M∩∁R N=M．故选：D．3．要从编号为1～50的50名学生中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为50÷5=10，则用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是3，13，23，33，43，故选：B4．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a（x﹣b）的图象是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据f（x）的图象可以求出a，b的范围，根据对数函数的图象和性质即可判断．【解答】解：函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，∴﹣1＜b＜0，a＞1，∴g（x）=log a（x﹣b）为增函数，∵x﹣b＞0，∴g（x）=log a（x﹣b）由y=log a x的图象向左平移|b|的单位得到的，故选：B．5．下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，e x＜0C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dD．ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，B，C 根据特殊值法和指数函数的性质直角判断即可；D主要是对c=0特殊情况的考查．【解答】解：A当x=2时，2x=x2，故错误；B根据指数函数性质可知对任意的x，都有e x＞0，故错误；C若a＞b，c＞d，根据同向可加性只能得出a+c＞b+d，故错误；Dac2＜bc2，可知c≠0，可推出a＜b，但反之不一定，故是充分不必要条件，故正确．故选D．6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4），若⊥，则tan（α+）=（）A．7 B．C．﹣7 D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的化简求值．【分析】根据平面向量垂直时数量积为0求出tanα，再利用两角和的正切公式求值即可．【解答】解：∵=（x，y），向量=（3，4），且⊥，∴3x+4y=0，则=﹣，∴tanα=﹣，∴tan（α+）===．故选：D．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由该几何体的三视图得到该几何体是以1为半径的球去掉一个底面半径为1母线长为的圆锥，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由该几何体的三视图得到该几何体是以1为半径的球去掉一个底面半径为1母线长为的圆锥，∴该几何体的体积为V=（）﹣=．8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米【考点】扇形面积公式．【分析】在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=，可得：矢=4﹣2=2，由AD=AO•sin=4×=2，可得：弦=2AD=2×2=4，所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米．故选：B．9．已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A．20 B．16 C．10 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B 的坐标，即可求得．【解答】解：由抛物线C：y2=﹣8x，可得F（﹣2，0），设A（1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，∵，∴1+2=﹣3（m+2），∴m=﹣3，∴n=±2，∵a=﹣3n，∴a=±6，∴|AB|==20．故选：A．10．已知函数f（x）=，g（x）=kx﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）有且仅有4个不同的零点．则实数k的取值范围为（）A．（1，6）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简可得函数f（x）=与g（x）=kx﹣1的图象有四个不同的交点，从而作图，结合图象求导，利用导数的几何意义求解．【解答】解：∵函数y=f（x）﹣g（x）有且仅有4个不同的零点，∴函数f（x）=与g（x）=kx﹣1的图象有四个不同的交点，作函数f（x）=与g（x）=kx﹣1的图象如下，，易知直线y=kx﹣1恒过点（0，﹣1）；设A（x，x2+4x），y′=2x+4；故2x+4=，故x=﹣1；故k=﹣2+4=2；设B（x，xlnx），y′=lnx+1，则lnx+1=，解得，x=1，故k=ln1+1=1，结合图象可知，实数k的取值范围为（1，2），故选C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．如图所示的程序框图中，x∈[﹣2，2]，则能输出x的概率为．【考点】程序框图．【分析】由|x|+|x﹣1|≤2α，可解得：x∈[﹣，]，即当x∈[﹣，]时满足框图的条件，能输出x的值，结合x∈[﹣2，2]，利用几何概型即可计算得解．【解答】解：∵|x|+|x﹣1|≤2α，∴，或，或，∴解得：﹣≤x＜0，或0≤x＜1，或1≤x≤，即x∈[﹣，]时满足框图的条件，能输出x的值．∵x∈[﹣2，2]，∴能输出x的概率为：=．故答案为：．12．在平行四边形中，AC与BD交于点O，=，CE的延长线与AD交于点F，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=﹣．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用三角形的相似关系，求得=，再根据向量的加法的三角形法则，求得λ和μ的值．【解答】解：∵△FED∽△CEB，DF：CD=DE：EA=1：3，过点F作FG∥BD交AC于G，FG：DO=2：3，AG：AO=2：3，∴=，∵=+=，∴=+，=，λ+μ=﹣．故答案为：﹣．13．已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=﹣1．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据奇函数的性质可得f（0）=0，由条件可得f（3）=f（﹣3）+f（3）=0，f（x）=f（x+6），函数为周期函数，进而求出结果．【解答】解：奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，∴f（0）=0，f（3）=f（﹣3）+f（3）=0，∴f（x）=f（x+6），函数为周期函数，∴f=f（5）+f（0）=f（5）=f（﹣1）+f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．故答案为﹣1．14．（x+y）（x﹣y）7的展开式中，x3y5的系数为14．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：（x﹣y）7的展开式的通项公式T r+1=，令r=5，满足7﹣r=2，此时T6=﹣，令r=4，7﹣r=3，此时T5=，∴x3y5的系数为+=14．故答案为：14．15．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为（1，）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，画出区域Ω，由=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，结合图象，连接PA，可得斜率最大，再由双曲线的a，b，c关系和离心率公式计算即可得到所求范围．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=﹣4x的准线1：x=1，渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，如图，=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，求得A（1，），B（1，﹣），连接PA，可得斜率最大为，由题意可得﹣1＜0，可得＜3，即3a＞b，9a2＞b2=c2﹣a2，即c2＜10a2，即有c＜a．可得1＜e＜．故答案为：（1，）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．【考点】正弦函数的图象．【分析】（1）由函数图象可得周期，进而由周期公式可得ω值，代点（，2）可得φ值，可得解析式，再由x∈[﹣，]和三角函数的值域可得；（2）由（1）的解析式和三角形的知识可得A=，由余弦定理可得BC，再由余弦定理可得cosB，进而可得sinB，代入sin2B=2sinBcosB，计算可得．【解答】解：（1）由函数图象可知函数的周期T满足T=﹣=，解得T=π，∴ω===2，故f（x）=2sin（2x+φ），又函数图象经过点（，2），故2sin（2×+φ）=2，故sin（+φ）=1，结合0＜φ＜π可得φ=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+），由x∈[﹣，]可得2x+∈[0，]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴2sin（2x+）∈[0，2]，故函数的值域为[0，2]；（2）∵在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，∴f（A）=2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，结合三角形内角的范围可得2A+=，A=，由余弦定理可得BC2=32+22﹣2×3×2×，BC=，∴cosB==，故sinB==，∴sin2B=2sinBcosB=2××=17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据面面平行的性质定理证明平面OBE∥平面PAD，即可证明BE∥平面PAD；（2）建立空间坐标系，根据二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，得到AD=1，然后求出平面的法向量，利用直线和平面所成角的定义即可求直线PB与平面PCD所成角的正弦值【解答】（1）证明：∵，∠DAC=∠AOB∴AD∥OB，∵E是PC的中点，O是AC的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA，∵PA∩AD=A，平面OBE∥平面PAD，∵BE⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD；（2）∵AC是圆O的一条直径，∴AC⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，则CD⊥平面PAD，则CD⊥PD，则∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，则tan∠PDA==2，即AD=1，建立以D为坐标原点，DA，DC，垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则B（，，0），P（1，0，2），=（，﹣，2）D（0，0，0），C（0，，0），则=（0，，0），=（1，0，2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=﹣2，y=0，即=（﹣2，0，1），则直线PB与平面PCD所成角的正弦值sin＜，＞=|cos＜，＞|=||=18．已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，且b n=log2a n．（I）求b n，S n；（Ⅱ）设c n=，证明：++…+＜S n+1（n∈N*）．【考点】数列的求和．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，可得首项为2，公比为4，可得a n=22n ﹣1，由对数的运算性质可得b n=2n﹣1，运用等差数列的求和公式即可得到S n；（Ⅱ）求得c n==n，原不等式即为++…+＜（n+1）2．运用数学归纳法证明．结合分析法，注意运用假设，化简整理，即可得证．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），可得a1（1+q）•q n﹣1=10•4n﹣1，即有q=4，a1（1+q）=10，解得a1=2，则a n=2•4n﹣1=22n﹣1，b n=log2a n=log222n﹣1=2n﹣1，S n=（1+2n﹣1）n=n2；（Ⅱ）证明：c n==n，不等式++…+＜S n+1，即为++…+＜（n+1）2．运用数学归纳法证明．当n=1时，左边=，右边=×4=2，不等式成立；假设n=k时，不等式++…+＜（k+1）2．当n=k+1时，++…++＜（k+1）2+，要证（k+1）2+＜（k+2）2．即证＜（k+2）2﹣（k+1）2=（2k+3），平方可得k2+3k+2＜k2+3k+，即有2＜成立．可得n=k+1时，不等式也成立．综上可得，++…+＜S n+1（n∈N*）．19．甲乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制（先赢三场的队伍获得胜利．比赛结束）②双方各派出三名队员．前三场每位队员各比赛﹣场已知甲俱乐部派出队员A1、A2．A3，其中A3只参加第三场比赛．另外两名队员A1、A2比赛场次未定：乙俱乐部派出队员B1、B2．B3，其中B1参加第一场与第五场比赛．B2参加第二场与第四场比赛．B3只参加第三场比赛根据以往的比赛情况．甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如表：A1A2A3B1B2B3（I）若甲俱乐部计划以3：0取胜．则应如何安排A1、A2两名队员的出场顺序．使得取胜的概率最大？（Ⅱ）若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）先求出A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛甲俱乐部计划以3：0取胜的概率，再求出A1、A2两名队员分别参加第二场和第一场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率．由此能求出甲俱乐部安排A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，则三场即获胜的概率最大．（2）由题意比赛场次X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率p1=．设A1、A2两名队员分别参加第二场和第一场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率p2==．∵p1＞p2，∴甲俱乐部安排A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，则三场即获胜的概率最大．（2）由题意比赛场次X的可能取值为3，4，5，P（X=3）==，P（X=4）=+=，P（X=5）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，∴X的分布列为：X 3 4 5P∴EX==．20．已知椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）过点P的直线l交椭圆C1于A、B两点．（i）证明：线段AB的中点G恒在椭圆C2：=1的内部；（ii）判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（Ⅱ）（i）椭圆C2的方程为=1，设直线l方程为y=kx﹣，代入，得=0．由此利用韦达定理能证明点G恒在椭圆C2内部．（ii）当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），再证明Q（0，1）适合题意，从而以AB为直径的圆恒过定点（0，1）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为，∴，解得a=，b=c=1，∴椭圆C1的方程为=1．证明：（Ⅱ）（i）椭圆C2的方程为=1，当直线l垂直于x轴时，AB的中点为（0，﹣）在椭圆C2内部．当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y=kx﹣，代入，并整理，得=0．∴=﹣，∴G（，﹣），∵+==＜1恒成立，∴点G恒在椭圆C2内部．解：（ii）当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为，由，得，由此可知若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），下面证明Q（0，1）适合题意．由（i）知：，，∴=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）==（1+k2）x1x2﹣=（1+k2）﹣+==0，∴，即Q（0，1）在以AB为直径的圆上．综上，以AB为直径的圆恒过定点（0，1）．21．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣bln（x+1）（a＞0），g（x）=e x﹣x﹣1，曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线．（1）若x=0为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用a表示）；（2）若∀x≥0，g（x）≥f（x）+x2，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）f′（x）=a﹣x﹣，（x＞﹣1），g′（x）=e x﹣1．由曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线，可得f′（0）=g′（0），b=a．因此f′（x）=，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．（2）由g′（x）=e x﹣1，x＞0时，g′（x）＞0，可得e x≥x+1，从而x≥ln（x+1）．设F（x）=g（x）﹣f（x）﹣x2=e x+aln（x+1）﹣（a+1）x﹣1，F′（x）=e x+﹣（a+1），对a分类讨论a=1，0＜a＜1，a＞1，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=a﹣x﹣，（x＞﹣1），g′（x）=e x﹣1．∵曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线，∴f′（0）=g′（0），∴a﹣b=0．∴b=a．∴f′（x）=a﹣x﹣=，a=1时，f′（x）=≤0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，舍去．a＞1时，x=0为f（x）的极小值点，舍去．0＜a＜1时，﹣1＜a﹣1＜0，当x∈（﹣1，a﹣1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（a﹣1，0），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴x=0时，x=0为f（x）的极大值点．因此可得：当x∈（﹣1，a﹣1）时，函数f（x）单调递减；x∈（a﹣1，0），函数f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，函数f（x）单调递减．（2）∵g′（x）=e x﹣1，x＞0时，g′（x）＞0，故x=0时，g（x）取得最小值0，∴g（x）≥0，即e x≥x+1，从而x≥ln（x+1）．设F（x）=g（x）﹣f（x）﹣x2=e x+aln（x+1）﹣（a+1）x﹣1，F′（x）=e x+﹣（a+1），①a=1时，∵x≥0，∴F′（x）≥x+1+﹣（a+1）=x+1+﹣2≥0，∴F（x）在[0，+∞）递增，从而F（x）≥F（0）=0，即e x+ln（x+1）=2x﹣1＞0，∴g（x）≥f（x）+x2．②0＜a＜1时，由①得：e x+ln（x+1）﹣2x﹣1＞0，∴g（x）=e x﹣x﹣1≥x﹣ln（x+1）≥a（x﹣ln（x+1）），故F（x）≥0即g（x）≥f（x）+x2，③a＞1时，令h（x）=e x+﹣（a+1），则h′（x）=e x﹣，显然h′（x）在[0，+∞）递增，又h′（0）=1﹣a＜0，h′（﹣1）=﹣1＞0，∴h′（x）在（0，﹣1）上存在唯一零点x0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）在[0，x0）递减，x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，即g（x）＜f（x）+x2，不合题意，综上，a∈（0，1]．。

山东省潍坊市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．22【答案】A 【解析】 【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴22222PB =+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26 故选A ． 【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．2．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5【答案】B【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确；故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.3．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+， 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.4．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．0【答案】A 【解析】 【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案.【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则11()ln 1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈，当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 6．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．85【答案】D 【解析】 【分析】根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值. 【详解】由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2α=，所以sin 55αα==2cos sin 2αα+=4825555+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 7．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ1-0 1P1(1)3p - 2313p 则当p 在(,)34内增大时，（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】C 【解析】 【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可．【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 8．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.9．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 10．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 11．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=【答案】C 【解析】 【分析】判断出已知条件中双曲线C 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与x 轴的夹角为30°或60°，双曲线C 的渐近线方程为3y x =±或y =.A 选项渐近线为3y x =±，B 选项渐近线为y =，C 选项渐近线为12y x =±，D 选项渐近线为y =.所以双曲线C 的方程不可能为221312y x -=.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题. 12．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考数学模拟试题一本试卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ， 若12z zz =，则z 的共轭复数z ＝ A.1322i + B. 1322i − C ．1322i −+ D ．1322i −− 2.已知2{10}A x x =−≥，{}xB y y e ==，则AB =A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）3. 若129()4a =，83log 3b =，132()3c =，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．a b c <<4. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差5. 函数1ln(1)y x x =−+的大致图象为A . B. C. D.6. 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430−⋅+=b e b ，则||−a b 的最小值是A ．23B 31C ．2D ．31−7. 已知1F ，2F 是椭圆22221(0)+=>>：x y C a b a b的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，12△PF F 为等腰三角形，12120∠=︒F F P ，则C 的离心率为 A.23B ．12C ．13D ．148. 如图，已知函数3()sin 2f x x π=，123,,A A A 是图象的顶点，,,,O B C D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q 记2(1,2,5)i i OA OQ i n =⋅=，则125n n n +++=1532 B. 4521534 D. 45二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分。

【详解】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除 B 和 D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从
而乙是律师，甲是医生．
故选：C.
【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化
思想，是基础题.
4.以抛物线 E : x2 4 y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为（ ）
对于 D，2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为 0.48 吨/人，故 D 正确． 故选：BCD 【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题．
10.若 a b 1 ， c 0 则下列不等式中一定成立的是（ ）
a1 b1
A. a
b
C. ln(b a) 0
【详解】根据题意可知，这 20 个老人年龄之和为 1520，设年纪最小者年龄为 n，年纪最大
者为 m，m∈[90,100]， 则有 n+（n+1）+（n+2）+ +（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，
则有 19n+m＝1349，则 m＝1349﹣19n，
所以 90≤1349﹣19n≤100，
【答案】BD 【解析】 【分析】
a1 b1
B. b
a
D.
a b
c
b a
c
对于
A：构造函数
y
x
1 x
，由函数在
(,
1)
上的单调性进行比较；
对于
B：构造函数
y
x
1 x
，由函数在

山东省潍坊市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+ D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.2．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（ ）A ．6B ．9C．D．【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2px my =+，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB . 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2AF FB =uu u r uu r Q ，122y y ∴-=，122y y ∴=-，221222y y y p ∴=-=-，可得22y p =，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭， ACF ∆的面积为212p p ⨯==4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，2221212524988py y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】 ①利用p ∧q 真假表来判断，②考虑内角为90o ，③利用特称命题的否定是全称命题判断，④利用集合间的包含关系判断. 【详解】若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90o 时，不是象限角，故②错误；由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为B A ⊆，所以x B ∈⇒x A ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件， 故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题. 4．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．63海里C ．82海里D ．83海里【答案】A 【解析】 【分析】先根据给的条件求出三角形ABC 的三个内角，再结合AB 可求，应用正弦定理即可求解. 【详解】由题意可知：∠BAC ＝70°﹣40°＝30°.∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°﹣65°＝45°， ∴∠ABC ＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB ＝24×0.5＝12.在△ABC 中，由正弦定理得4530AB BCsin sin =︒︒，1222BC=，∴62BC =故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.5．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B【解析】 【分析】对复数z 进行化简计算，得到答案. 【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题. 6．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】55(2)10522(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+Q , ∴2z i =-,故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.7．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心， 因为AC DB =u u u r u u u r，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以33e ∈⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.8．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78【答案】D 【解析】 【分析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解. 【详解】解：事件A 发生，需满足x y ≤，即事件A 应位于五边形BCDEF 内，作图如下：()1111722218P A -⨯⨯== 故选：D 【点睛】考查几何概型，是基础题.9．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．22⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合(]0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2221g t t t =-++由二次函数的性质即可得值域. 【详解】由2sin 00390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈Q ，(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 10．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.11．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．23D ．43【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积. 【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，2AD =，3AE =2AB =.∴该几何体的体积为1232232V =⨯=本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题. 12．已知x 与y 之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为$ 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ） A ．1.5 B ．2.5C ．3.5D ．4.5【答案】D 【解析】 【分析】利用表格中的数据，可求解得到 2.5,x =代入回归方程，可得5y =，再结合表格数据，即得解. 【详解】利用表格中数据，可得 2.5,x = 又 2.10.25,5y x y =-∴=，3.24.87.520m ∴+++=．解得 4.5m = 故选：D 【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}，则(U A B =I ð ) A ．{1，4} B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{6，7}2．（5分）若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．0C ．1-D ．2-3．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是()A ．甲是律师，乙是医生，丙是记者B ．甲是医生，乙是记者，丙是律师C ．甲是医生，乙是律师，丙是记者D ．甲是记者，乙是医生，丙是律师4．（5分）以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为( ) A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y ++=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-=5．（5分）设函数()f x 为奇函数，且当0x …时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x -+->的解集为( )A ．(,1)-∞B ．1(,)3-∞C ．1(3，)+∞D ．(1,)+∞6．（5分）《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，⋯．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90100)-，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94B ．95C ．96D ．987．（5分）在四面体ABCD 中，ABC ∆和BCD ∆均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为( ) A ．2 B ．2 C ．2 D ．2 8．（5分）已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且//BF OA ，若0AB OB =u u u r u u u rg ，则双曲线C 的离心率为( )A ．23B ．2C ．3D ．2二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤-比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中20102019-年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在20102019-年中( )A ．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B ．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C ．2015年2019-年我国粮食年产量相对稳定D ．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10．（5分）若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是( ) A ．11a b a b->- B ．11a b b a-<- C ．()0ln b a ->D ．()()c c a bb a>11．（5分）在单位圆22:1O x y +=上任取一点(,)P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是( )A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数B ．()x f θ=在[,]22ππ-为增函数，()y g θ=在[,]22ππ-为减函数C ．()()1f g θθ+…对于[0,]2πθ∈恒成立D ．函数2()(2)t f g θθ=+的最大值为32212．（5分）如图，平面α⋂平面l β=，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是( )A ．若//AB CD ，则//MN l B ．若M ，N 重合，则//AC lC ．若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交 D ．若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与平行 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，2F 与水平夹角均为45︒，12||||102F F N ==u u u r u u r，则物体的重力大小为 ．14．（5分）已知5(0,),sin()24ππαα∈-=tan α= ．15．（5分）植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是 （用数字作答）．16．（5分）已知函数32,1()231,1lnx x f x x x x ⎧=⎨-+<⎩…则[1x ∈-，]e 时，()f x 的最小值为 ；设2()[()]()g x f x f x a =-+若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知23,3a A π==，（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =，数列{}n b 满足23b =，1122333(23)2n n n a b a b a b a b n +++⋯+=+-．（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，PD 的中点为F ．（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得//AF 平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F AC D --的余弦值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分，20．（12分）已知函数1(),()xe f x alnx g x x x =+=，（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：1a =时，2()()(1)ef xg x lnx e x +-+>． 21．（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表年份 2015 2016 2017 2018 2019 编号 1 2 3 4 5 企业总数量y （单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224注：参考数据111174.691,312.761,10.980,40.457i i i i i i i i i i y x y z x z ========∑∑∑∑（其中)z lny =．附：样本(i x ，)(1i y i =，2，⋯，)n 的最小二乘法估计公式为121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑ （1）根据表中数据判断，y a bx =+与dx y ce =（其中 2.71828e =⋯，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”， 已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,1)P ，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF =-u u u r u u u u rg （1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于(OP O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点(M M 介于A 、B 两点之间）．()i 当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；()ii 求证：||||||||PA MB PB MA =，并判断1l ，2l ，PA ，PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}，则(U A B =I ð ) A ．{1，4}B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{6，7}【解答】解：集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2B =，3，6，7}， 所以{1U B =ð，4，5}， 又{2A =，3，4，5}， 所以{4U A B =I ð，5}． 故选：C ． 2．（5分）若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．0C ．1-D ．2-【解答】解：Q ()(1)111(1)(1)22a i a i i a a z i i i i +++-+===+--+在复平面内对应的点在第二象限内， ∴102102a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，得11a -<<．∴实数a 的值可以是0．故选：B ．3．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是()A ．甲是律师，乙是医生，丙是记者B ．甲是医生，乙是记者，丙是律师C ．甲是医生，乙是律师，丙是记者D ．甲是记者，乙是医生，丙是律师【解答】解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B 和D ；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生． 故选：C ．4．（5分）以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为( ) A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y ++=C ．22(1)4x y ++=D ．22(1)4x y +-=【解答】解：抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，可得圆心坐标(0,1)， 圆与抛物线E 的准线相切，所以圆的半径为：2， 圆的方程为：22(1)4x y +-=． 故选：D ．5．（5分）设函数()f x 为奇函数，且当0x …时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x -+->的解集为( )A ．(,1)-∞B ．1(,)3-∞C ．1(3，)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：根据题意，当0x …时，()cos x f x e x =-，此时有()sin 0x f x e x '=+>，则()f x 在[0，)+∞上为增函数，又由()f x 为奇函数，则()f x 在区间(-∞，0]上也为增函数， 故()f x 在R 上为增函数；(21)(2)0(21)(2)(21)(2)212f x f x f x f x f x f x x x -+->⇒->--⇒->-⇒->-，解可得1x >，即不等式的解集为(1,)+∞； 故选：D ．6．（5分）《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，⋯．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90100)-，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94B ．95C ．96D ．98【解答】解：根据题意可知这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[90m ∈，100]则有(1)(2)(18)191711520n n n n m n m +++++⋯+++=++=， 则有191349n m +=，则134919m n =- 所以90134919100n -剟， 解得14565661919n 剟 因为年龄为整数，所以66n =， 则1349196695m =-⨯= 故选：B ．7．（5分）在四面体ABCD 中，ABC ∆和BCD ∆均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为( ) A ．2B ．2 C ．2 D ．2 【解答】解：在四面体ABCD 中，ABC ∆和BCD ∆均是边长为1的等边三角形， 四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，1AB AC BC BD CD ∴=====，90ABD ACD ∠=∠=︒，2OB OC OD ===，BO AD ⊥，BO BC ⊥， BO ∴⊥平面ACD ，∴四面体ABCD 的体积为：1112222332B ACD ACD V S BO -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． 故选：B ．8．（5分）已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且//BF OA ，若0AB OB =u u u r u u u r g ，则双曲线C 的离心率为( )A ．23B ．2 C．3 D ．2【解答】解：如右图所示，设双曲线的半焦距为c ，渐近线方程为：by x a=±，则点(,0)F c ，(,)bcA c a ，设点0(B x ，0)bx a-，//BF OA Q ， OABF K K ∴=，即00bx b a a x c -=-，解得：02c x =，Q 3(,)22c bc AB a -=-u u u r ，(,)22c bcOB a=-u u u r又Q 0AB OB =u u u r u u u r g ，22223044c b c a∴-+=，即223a b =．222c a b =+Q ，2223()a c a ∴=- 即2234c a =，所以离心率23c e a ==． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤-比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中20102019-年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在20102019-年中( )A ．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B ．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C ．2015年2019-年我国粮食年产量相对稳定D ．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰【解答】解：由中国国家统计局网站中20102019-年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：对于A ，我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，我国年末总人口均逐年递增，故A 错误；对于B ，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，故B 正确； 对于C ，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C 正确； 对于D ，2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，故D 正确． 故选：BCD ．10．（5分）若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是( ) A ．11a b a b->- B ．11a b b a-<- C ．()0ln b a ->D ．()()c c a bb a>【解答】解：由函数1y x x=-在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项A 错误； 由函数1y x x=+在在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项B 正确；由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，故()ln b a -与0的大小关系不确定，故选项C 错误；由1a b <<-可知，1,01a b b a ><<，而0c >，则()1()0c c a bb a>>>，故选项D 正确． 故选：BD ．11．（5分）在单位圆22:1O x y +=上任取一点(,)P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是( )A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数B ．()x f θ=在[,]22ππ-为增函数，()y g θ=在[,]22ππ-为减函数 C ．()()1f g θθ+…对于[0,]2πθ∈恒成立D ．函数2()(2)t f g θθ=+ 【解答】解：由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确；()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=+=+，Q[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈，)4πθ+∈，即C 正确；函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0θ∈，2]π，则22sin 2cos 22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<，∴函数t 在1(1,)2-上单调递增，在1(,1)2上单调递减，当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，为1222+⨯D 错误． 故选：AC ．12．（5分）如图，平面α⋂平面l β=，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是( )A ．若//AB CD ，则//MN l B ．若M ，N 重合，则//AC lC ．若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交 D ．若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与平行【解答】解：若//AB CD ，则A 、B 、C 、D 四点共面γ，当AB CD <时，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，则三条交线交于一点O ， 则l 与平面γ交于点O ，MN ∴与l 不平行，故A 错误；若M ，N 两点重合，则//AC BD ，A 、B 、C 、D 四点共面γ， 平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC BD ，得////AC BD l ，故B 正确；若AB 与CD 相交，确定平面γ，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，由//AC l ，得////AC BD l ，故C 错误；当AB ，CD 是异面直线时，如图，连接BC ，取BC 中点G ，连接MG ，NG ．则//MG AC ，AC α⊂Q ，MG α⊂/，则//MG α，假设//MN l ，l α⊂Q ，MN α⊂/，//MN α∴，又MN MG M =I ，∴平面//MNG α，同理可得，平面//MNG β，则//αβ，与平面α⋂平面l β=矛盾．∴假设错误，MN 不可能与l 平行，故D 正确．故选：BD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，2F 与水平夹角均为45︒，12||||102F F N ==u u u r u u r，则物体的重力大小为 20 ．【解答】解：如图，Q 12||||102F F N ==u u r u u r，∴12||2220F F N N +==u u r u u r，∴物体的重力大小为20．故答案为：20．14．（5分）已知5(0,),sin()24ππαα∈-=tan α= 3 ．【解答】解：Q5sin()4πα-=，且(0,)2πα∈，∴(,)444πππα-∈-，225cos()1()44sin ππαα-=--=， ∴2235310sin sin[()])cos()]4444ππππαααα=-+-+-==， Q (0,)2πα∈，∴210cos 1sin αα=-，∴sin tan 3cos ααα==．故答案为：3．15．（5分）植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是 36 （用数字作答）．【解答】解：由题意对称相当于3种树苗种A ，B ，C ，D 四个位置，必有一种树苗重复有13C 种方法；在四个位置上种植由442212A A =种方法，则由乘法原理得131236C ⨯=种方法． 故答案为：36．16．（5分）已知函数32,1()231,1lnx x f x x x x ⎧=⎨-+<⎩…则[1x ∈-，]e 时，()f x 的最小值为 4- ；设2()[()]()g x f x f x a =-+若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【解答】解：当[1x ∈，]e 时，()f x lnx =，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为f （1）10ln ==，当[1x ∈-，1)时，32()231f x x x =-+，则2()660f x x x '=-=时，1x =（舍)或0， 且有()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减， 因为(1)2314f f -=--+=-<（1）， 故函数()f x 在[1-，]e 上的最小值为4-； 令()t f x =，()0g x =即2t t a -=-， 作出函数()y f x =的图象，如图所示：直线y t =与函数()y f x =的图象最多只有三个交点，所以01t <<， 即说明方程2t t a -=-有两个(0,1)内的不等根，亦即函数2y t t =-在(0,1)内的图象与直线y a =-有两个交点， 因为2211()24y t t t =-=--，根据2y t t =-的图象可知，104a -<<，即实数a 的取值范围为104a <<． 故答案为：4-；1(0,)4．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知23,3a A π==，（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值． 【解答】解：（1）Q 4B π=，23,3a A π==， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，可得23sin 222sin 3a Bb A ===g ．（2）Q 23,3a A π==，∴由余弦定理知222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+--=…，212bc a ∴=„，当且仅当b c =取“=”；ABC ∴∆面积的最大值为113sin 123322bc A =⨯= 18．（12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =，数列{}n b 满足23b =，1122333(23)2n n n a b a b a b a b n +++⋯+=+-．（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解答】解：（1）由题意，当1n =时，1113(213)21a b =+⨯-⨯=， 11a =Q ，11b ∴=，当2n =时，211223(223)27a b a b +=+⨯-⨯=， 111a b =Q ，23b =，2137a ∴+=，解得22a =，设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则 21221a q a ===， 11122n n n a --∴==g ，*n N ∈．（2）依题意，当2n …时，由1122333(23)2n n n a b a b a b a b n +++⋯+=+-，可得 1112233113(25)2n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-，两式相减，可得：113(23)2[3(25)2](21)2n n n n n a b n n n --=+--+-=-，Q 由（1）知，12n n a -=， 21(2)n b n n ∴=-…，Q 当1n =时，11b =也满足上式， 21n b n ∴=-，*n N ∈．∴111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， 12231111n n n T b b b b b b +∴=++⋯+11111111(1)()()2323522121n n =-+-+⋯+--+ 111111(1)23352121n n =-+-+⋯+--+ 11(1)221n =-+21nn =+． 19．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，PD 的中点为F ．（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得//AF 平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F AC D --的余弦值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分，【解答】解：（1）在线段AB 上存在中点G ，使得//AF 平面PCG ． 证明如下：设PC 的中点为H ，连结FH ，由题意得AGHF 为平行四边形， 则//AF GH ，又GH ⊂平面PGC ，AF ⊂/平面PGC ，//AF ∴平面PGC ．（2）选择①:AB BC ⊥PA ⊥Q 平面ABCD ，PA BC ∴⊥，由题意知AB ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，2PA AB ==Q ，则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(2C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0F ，1，1)，(0P ，0，2)， ∴(0AF =u u u r ，1，1)，(2CF =-u u u r，1-，1)，设平面FAC 的法向量(x μ=r，y ，)z ，∴020AF y z CF x y z μμ⎧=+=⎪⎨=--+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g，取1y =，得(1μ=-r ，1，1)-， 平面ACD 的法向量(0v =r，0，1)，设二面角F AC D --的平面角为θ，则||cos ||||v v μθμ==r r g r r g ，∴二面角F AC D --． 选择②FC 与平面ABCD 所成的角为:6πPA ⊥Q 平面ABCD ，取BC 中点E ，连结AE ，取AD 的中点M ，连结FM ，CM ，则//FM PA ，且1FM =，FM ∴⊥平面ABCD ，FC 与平面ABCD 所成角为FCM ∠，∴6FCM π∠=，在Rt FCM ∆中，CM =又CM AE =，222AE BE AB ∴+=，BC AE ∴⊥，AE ∴，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，2PA AB ==Q ，(A ∴ 0，0，0)，(B 1-，0)，C 1，0)，(0D ，2，0)，E 0，0)，(0F ，1，1)，(0P ，0，2)，∴(0AF =u u u r ，1，1)，(CF =u u u r0，1)，设平面EAC 的法向量(m x =r，y ，)z ，则00m AF y z m CF z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g，取x =m =r 3-，3)， 平面ACD 的法向量(0n =r，0，1)，设二面角F AC D --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ==r r g r r g∴二面角F AC D --的余弦值为21． 选择③:3ABC π∠=PA ⊥Q 平面ABCD ，PA BC ∴⊥，取BC 中点E ，连结AE ，Q 底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，ABC ∴∆是正三角形，E Q 是BC 的中点，BC AE ∴⊥， AE ∴，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，2PA AB ==Q ，(A ∴ 0，0，0)，(B 3，1-，0)，(3C ，1，0)，(0D ，2，0)，(3E ，0，0)，(0F ，1，1)，(0P ，0，2)，∴(0AF =u u u r ，1，1)，(3CF =-u u u r，0，1)，设平面EAC 的法向量(m x =r，y ，)z ，则030m AF y z m CF x z ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g，取3x =，得(3m =r ，3-，3)， 平面ACD 的法向量(0n =r，0，1)，设二面角F AC D --的平面角为θ，则||21cos ||||7m n m n θ==r r g r r g ．∴二面角F AC D --的余弦值为21．20．（12分）已知函数1(),()xe f x alnx g x x x =+=，（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：1a =时，2()()(1)ef xg x lnx e x +-+>． 【解答】（1）解：1()f x alnx x=+，((0,))x ∈+∞． 2211()a ax f x x x x-'=-+=． 0a …时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减．0a >时，21()()a x a f x x -'=．可得函数()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(a，)+∞上单调递增． （2）证明：1a =时，2()()(1)ef xg x lnx e x+-+>． 即：2101x x e e elnx lnx e e ex x x x x+-->⇔-+>．(0,)x ∈+∞．令()1x F x e ex =-+，()x F x e e '=-，(0,1)x ∈时，()x F x e e '=-，(0,1)x ∈时，()0F x '<，此时函数()F x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，此时函数()F x 单调递增． 可得1x =时，函数()F x 取得极小值即最小值，F （1）1=． 令()elnx G x x =，2(1)()e lnx G x x -'=，可得x e =时，函数()G x 取得最大值，G （e ）1=． 1与e 不同时取得，因此()()F x G x >，即1x elnxe ex x-+>．(0,)x ∈+∞． 故原不等式成立．21．（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表注：参考数据111174.691,312.761,10.980,40.457i i i i i i i i i i y x y z x z ========∑∑∑∑（其中)z lny =．附：样本(i x ，)(1i y i =，2，⋯，)n 的最小二乘法估计公式为121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑ （1）根据表中数据判断，y a bx =+与dx y ce =（其中 2.71828e =⋯，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”， 已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？ 【解答】解：（1）选择回归方程dx y ce =，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量； （2）对dx y ce =两边取自然对数，得lny lnc dx =+， 令z lny =，a lnc =，b d =，得z a bx =+．由于5115i i x ==∑，51135i i x x ===∑，511 2.1965i i z z ===∑，Q 5152221540.45753 2.196ˆ0.75255535i i i ii x zx zbxx ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑g ，ˆˆ 2.1960.75230.060az bx =-=-⨯=-． z ∴关于x 的回归方程为ˆ0.7520.060zx =-， 则y 关于x 的回归方程为0.7520.060ˆx ye -=； （3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A 、甲与乙先赛；B 、甲与丙先赛；C 、丙与乙先赛．由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，则甲公司获胜的概率分别是：P （A ）131311113113(1)(1)(1)353523325345=⨯+⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯=； P （B ）31311331139(1)(1)(1)535325523525=⨯+⨯-⨯-⨯+-⨯⨯⨯=； P （C ）1311131(1)2532355=-⨯⨯+⨯⨯=．由于913125455>>，∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,1)P ，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF =-u u u r u u u u rg （1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于(OP O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点(M M 介于A 、B 两点之间）．()i 当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；()ii 求证：||||||||PA MB PB MA =，并判断1l ，2l ，PA ，PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？【解答】解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，所以12(2PF PF c =--u u u r u u u u rg ，1)(2c --，221)415c c -=-+=-，由题意可得251c -=-，所以26c =， 由于椭圆过点(2,1)，所以22411a b+=，2226c a b =-=，解得：22b =，28a =， 所以椭圆的方程为：22182x y +=；（2）()i 设过P 的切线方程为：(2)1y k x =-+，与椭圆联立可得222(14)8(12)4(12)80k x k k x k ++-+--=，由题意可得△222264(12)4(14)[4(12)8]0k k k k =--+--=，解得12k =-，12OP k =由题意直线2l 的方程，12y x t =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立直线2l 与椭圆的方程，整理可得2224480x tx t ++-=， △221642(48)0t t =-->g g ，即24t <， 122x x t +=-，21224x x t =-，所以弦长2212121||1()45424AB x x x x t =++-- P 到直线AB 的距离为：1514d ==+，所以22221||(42)2(1)222PAB S AB d t t t ∆==-=--+g …， 当且仅当21t =取等号，M 介于A 、B 之间可得1t = 这时直线2l 的方程为112y x =+； ()ii 由()i 可得2112x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩可得(2,2)M ， 122112121212121211(1)(2)(1)(2)11(2)()4(1)2222(2)(2)(2)(2)PA PBx t x x t x y y x x t x x t k k x x x x x x +--++----+-+--+=+==------，将122x x t +=-，21224x x t =-，代入可得0PA PB k k +=，所以直线PA ，PB 关于直线2x =对称，即PM 为APB ∠的角平分线， 由角平分线的性质可得||||||||PA AM PB BM =， 即证得：||||||||PA MB PB MA =．由()0PA PB i k k +=，因为1l ，2l 的斜率互为相反数，直线PA ，PB 的斜率互为相反数， 所以存在1l ，2l ，PA ，PB 的斜率的顺序1l PA ，2l ，PB 的斜率成等比数列，公比为2k -，或PA ，1l ，PB ，2l 的斜率成等比数列，且公比为12k-．。