第六节多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题.与一元两数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系.下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.分布图示★引例★二元函数极值的概念例1・3★极值的必要条件★极值的充分条件★求二元函数极值的一般步骤★例4★例5★求最值的一般步骤★例6★例7★例8★例9★例10★例11★条件极值的概念★拉格郎H乘数法★例12★例13★例14★例15★例16*数学建模举例★线性冋归问题★线性规划问题★内容小结★课堂练习★习题6-6内容提要：一、二元函数极值的概念定义1设函数z = /（兀刃在点（勺,北）的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于（兀°,%）的任意一点（兀,刃，如果/（兀，刃 </（兀0，%），则称函数在（兀（）,儿）有极大值；如果/（兀，刃>/（兀0，%），则称函数在（心,北）有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理1（必要条件）设函数z = /（X, y）在点（兀0，北）具有偏导数，.目.在点（兀0，）；0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即f x（无），y（））= 0, f y（心,y（）） = 0. （6.1）与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件)设函数z二f(x,y)在点(兀,儿)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数,又人(心儿)"'人(兀0』0)=。
•令f xx(x Q,y Q) = A, 4(x0,j0) = B, /,v(x0,y0) = C.(1)当AC-B2> 0时,函数/(x,y)在(兀°,%)处有极值,且当A >0时有极小值/(x0,y0)；A < 0时有极大值/(勺,儿);(2)当AC-B2< 0时，函数f(x,y)在(兀(),儿)处没有极值；(3)当AC-B2= 0时，函数f(x,y)在(兀0，凡)处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2,如果函数/(x,y)具有二阶连续偏导数，则求z = /(兀』)的极值的一般步骤为：第一步解方程组久(兀,〉，)=0,人(兀,刃=0,求出/(x,y)的所有驻点；第二步求出函数/(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、B、C的值，并根据AC-B2的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数/(x, j)在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数/(兀,刃的最大值和最小值的一般步骤为：(1)求函数/(X, y)在D内所有驻点处的函数值；(2)求/(x, y)在£>的边界上的最大值和最小值；(3)将前两步得到的所有函数值进行比较，其屮最大者即为最大值，最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如杲根据问题的性质，可以判断出函数/(x, y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得，而函数/(x,y)在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f (x, y)在D上的最大值(最小值).三、条件极值拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值.但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题.对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数f(x, y)和0(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数，则求z = fg刃在D内满足条件gy) = 0的极值问题，可以转化为求拉格朗H函数L(x, y, 2) = f (x, y) + A(p(x, y)(其中2为某一常数)的无条件极值问题.于是，求函数z = /(兀』)在条件°(九刃=0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为:(1)构造拉格朗H函数L(x, y, A) = f(x, y) + y)其屮2为某一常数;(2)由方程组L x = f x (兀,y)+九<Px (兀,y) =0, < L y = f y (x, y) + A(p y (兀,y) =0,L 入—0(兀,y) = 0解出x,y,A,其中x』就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗tl乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论.不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形：四、数学建模举例例题选讲:二元函数极值的概念例1 (E01)函数z = 2x2 +3y2在点(0, 0)处有极小值.从几何上看，z = lx1 + 3y2表示一开口向上的椭圆抛物而，点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-1).例2 (E02)函数z二-+ >,2在点(0,0)处有极大值.从几何上看，z二-+ >,2表示一开口向下的半圆锥面，点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-2).例3 (E03)函数z = /-x2在点(0,0)处无极值.从儿何上看，它表示双曲抛物面(马鞍面)(图7-6-3)例 4 (E04)求函数/(x, y) = ? - y3 + 3x2 + 3y2 - 9x的极值.解先解方程组解得驻点为(1,0), (1, 2), (-3,0), (-3, 2).再求出二阶偏导数(x,y) = 6x + 6, f xy(x,y) = 0, f yy Xx,y) =-6y + 6.亠一 9 [ fXx,y) = 3x 2 +6x-9 = 0在点(1,0)处，AC — B 2=12・6>0,又彳 9, A>0,厶a )2-3),2+6)=0故函数在该点处有极小值/(1,0) = -5; 在点(1,2)处，(-3,0)处，AC-B 2=-12-6<0,故函数在这两点处没有极值；在点(-3, 2)处，AC-B 2=-U-(-6) >0,又A v0,故函数在该点处有极大值/(-3,2) = 31.例5证明函数z = (1 + e y )cosx-ye y 有无穷多个极大值而无一极小值.又 A = z ：. =-(l + o' )cos 七 B = z xy =-e y sinx, C = z ；. =e y (cosx-2-y). 在点(2砸,0)g z)处,4 = 一2, B = 0, C = -l, AC-B 2=2>0t又A v 0,所以函数z 取得极大值；在点(⑵2 +1)龙,一2)仇w Z )处,A = 1 + 0-2, B = 0, C = —0-2, AC-B 2 = -e~2-e _4<0,此时函数无 极值.证毕.二元函数的最大值与最小值例6求函数/(兀,刃=兀2-2兀y + 2y 在矩形域D = {(x, y) | 0 < x < 3,0 < y < 2}上的最大值和最小值.解 先求函数f(x,y)在D 内驻点.由f x = 2x-2y = 0, f y =-2x + 2 = 0求得/在D 内部 的唯一驻点(1, 1),且/(1J) = 1.其次求函数/(兀,刃在D 的边界上的最大值和最小值.如图所示.区域D 的边界包含四条直线段厶 —在厶上y = 0, /(x,()) = /,()5x53.这是x 的单调增加函数，故在厶上f 的最大值为 /(3,0) = 9,最小值为 /(0,0) = 0.同样在厶2和厶4上/也是单调的一元函数，易得最大值、最小值分别为/(3, ()) = 9, /(3,2) = 1 (在厶2 上)，/(0,2) = 4, /(0,0) = 0(在厶4 上)，而在厶上〉，=2, /(x, 2) = X 2-4X + 4, 05兀5 3,易求出/在厶上的最大值/(0,2) = 4,最小值= -(l + e v )sinx = 0= e?v (cosx-l-y) = 0 x = k 兀 尸(_护_1伙wZ )・/(2, 2) = 0.将/在驻点上的值/(1,1)与厶，厶2上3，厶4上的最大值和最小值比较，最后得到/在D上的最大值/(3,0) = 9,最小值/(0,0) = /(2,2) = 0.例7求二元函数z = /(x, y) = x2y(4 -x- y)在直线x + y = 6 , x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，解方程组/；(兀,y) = 2xy(4-x-y)-x2y = 0f；(x, y) = x2 (4-x- y) - x2 y = O'得唯一驻点(2,1),且/(2,1) = 4,再求/(兀,y)在D边界上得最值，在边界兀 + y = 6上，即y = 6 —兀,于是/(x,y) = x2(6-x)(-2),由f； - 4x(x一6) + 2x2 = 0,得x} - 0, x2 - 4 i > y = 6 - x = 2,而/(4,2) = -64,所以/(2,1) = 4为最大值，/(4,2) = -64为最小值.例8求函数/(x,y) = 3x2 + 3y2一/在区域D:x2+y2 <16±的最小值.解先求/(x, y)在D内的极值.由= 6兀一3x2, fy(x,y) = 6y,解方程组］& - 3” = 0得驻点©()),(2, 0).由于6y = 0f： (0,0) = 6, £； (0,0) = 0, f；y (0,0) = 6,龙(2,0) = -6, (2,0) = 0, f；y (2,0) = 6.所以，在点(0, 0) ^bB2-AC = -36<0, A = 6>0,ttffi (0, 0)处有极小值/(0,0) = 0.在点(2,0)处B2-AC = 36>0,故函数在点(2,0)处无极值.再求f (x, y)在边界x2 +y2 = 16上的最小值.由于点(x, y)在圆周x2 +y2 = 16上变化，故可解出y2=16-x2(-4<x<4),代入/'(x,y)中，有z = /(x,y) = 3x2 + 3>,2一兀3 = 48-x3(-4 <x< 4),这时z是兀的一元函数，求得在|~4,4］上的最小值z'=4 =-16.最后比较可得，函数/(x, y) = 3x 2 + 3y2 -?在闭区间D 上的最小值/(4,0) = -16.例9求z=「7 的最大值和最小值.x+b+i （宀于+］）_2曲+刃二（兀2 +），2+1）_2）心+刃 —（宀 3）2 -，△ - ―（X 2+^2+1）2因为lim 厂弓 =0,即边界上的值为零.又 口 +y +1例10 (E05)某厂要用铁板做成一个体积为2加3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各 取怎样的尺寸时，才能使用料最省.解 设水箱的长为”,宽为艸,则其高应为2/xym.此水箱所用材料的面积此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点(兀,y). 令人=2 y ——-=0, A v = 2 x ——T =0.解这方程组,得唯-•的驻点x = V2, y = V2.根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点.因此当水箱的长为呵”、宽为呵川、高为甘乖=臥时，水箱所用的材料最省.注：体积一定的长方体小,以立方体的表面积为最小.例11 (E06)设s 为商品A 的需求量，§2为商品3的需求量，其需求函数分别为q } = 16-2p )+4/?2，?2 = 20 + 4门 一10/?2,总成本函数为 C =2q 2,其中 M ，% 为商 品A 和B 的价格，试问价格卩,必取何值时可使利润最大?2 2、（2 2） 初+ y ——+ %—=2 与 + _ + _ 1 厂 小 （兀y ） A =2 （x > 0, y >0）.=0,解得驻点丄_LJi'近/ 血丿‘1r解按题意，总收益函数为R = P4 + P 2q 2 = 〃|(16-2#|2-+4/?2)+ 卩2(20 + 4/?| -IO%)，于是总利润函数为L = R_C = q 、(P\_3) + q2(P2 _2)-3)(16-2刃 + 4”2)+ (卩2一2)(20 + 4p -10卩2)・为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：- = 14-4/?! +8血=0,学=4(。
