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全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是°、°、°、°及有一个角是°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇度旋度，造等边三角形遇度旋度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋度，造中心对称说明：IS 8模型变形BEFcEB说明：说明：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnn口叩皿皿皿皿皿中点模型 边构诗中｛fflt 逢阳点闵iS 中幽城 几何最值模型 VH *h 轴对称模型 对称最值 线mi 差模型 fflftffw 同侧"异侧两蜒段之利罐短视它 同侧、异删芮线投之羞媪小槐型 四边形周怏垠小根地 三角形眉长 必小檢哩三线穀之和 她知爬制过桥模取旋转最值说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
简拼模型三角形j四边形E 面积等分说明：说明：3045602说明：ACOCOAA 模型一：手拉手模型-旋转型全等<2)等濮的AA Mfr=血°拟述°均为等媵直甬M 册A 结险(DA (UCtAO^l>j 超乙他»③。
E 平分£忖了儿(1)―况> Sfr ：LDW 牛底皿力能转至右囲检置A 皓论：> 右图中①bOCWMe\QAC AOSD 』 >⑨延氏M 交购于点G 必肖5氏-LBOA⑵特燥惜况＞条件m 3MB ,厶伽■剜，将AXD 龍讳至右團位蛊a gife ：右gcp fflAfJCD^iOJ^AC?JCiM£33②延长M 交加于点瓦愁有3EC -LUGA f BD 000B (5)-—--——=—-=tan ZlfX D®ACOCOA 3f^SDLAC.灘接也JC >临加*†g ・a+o>s ⑥矢"訐c&J 冊哒相垂直的四嬷)<3)任翦腰三角晤†辭，。
2018-2019学年九年级数学初中常见几何模型汇总（图片版）第一篇：2018-2019学年九年级数学初中常见几何模型汇总(图片版) 初中常见几何模型汇总全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变换说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
九年级数学几何模型一、相似三角形模型。
1. A字模型。
- 基本图形：在三角形ABC中，DE平行于BC，则三角形ADE相似于三角形ABC。
- 性质：对应边成比例，即(AD)/(AB)=(AE)/(AC)=(DE)/(BC)。
- 应用：在很多几何证明和计算中，若已知平行关系和部分线段长度，可以利用此模型求出其他线段的长度。
例如，已知AD = 2，AB = 5，BC = 6，求DE的长度。
根据(DE)/(BC)=(AD)/(AB)，可得DE=(AD× BC)/(AB)=(2×6)/(5)=(12)/(5)。
2. 8字模型。
- 基本图形：若有四边形ABDC，其中AB与CD相交于点E，则三角形AEC相似于三角形BED。
- 性质：(AE)/(BE)=(CE)/(DE)，并且AE× DE = BE× CE。
- 应用：在求解线段比例关系或者证明线段乘积相等时经常用到。
比如在一个几何图形中，已知AE = 3，BE = 4，CE = 6，求DE的长度。
根据AE× DE = BE×CE，可得DE=(BE× CE)/(AE)=(4×6)/(3)=8。
3. 母子相似三角形模型（射影定理模型）- 基本图形：在直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，CD垂直于AB于点D。
则三角形ACD相似于三角形ABC，三角形BCD相似于三角形BAC，三角形ACD相似于三角形CBD。
- 性质：- 在三角形ACD与三角形ABC中，AC^2=AD× AB。
- 在三角形BCD与三角形BAC中，BC^2=BD× AB。
- 在三角形ACD与三角形CBD中，CD^2=AD× BD。
- 应用：在涉及直角三角形中的线段长度计算和比例关系证明时非常有用。
例如，在直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，CD垂直于AB，AD = 2，DB = 8，求AC 的长度。
A BC DEAC DBEABCDDABDEFGD AB CEADCBECNOMDAEC BAEFBOEABCDA1.EC FC⇒⊥正方形ABCD中，BD⊥CE⇔BD＝CE平移后也成立2. //AB CDB D E⇒∠+∠=∠6.△ABD，△ACE为等边△⇒BE＝CDBE、CD相交所成锐角为60°//360AB CDB D E⇒∠+∠+∠=︒ABDE与ACFG为正方形⇒EC＝BG，BG⊥CE注：条件可换成△BAE，△CAG为等腰Rt△3.B D⇒∠=∠7.①AD平分∠CAB；②DE//AC；③AE＝DE中，知二推一1902BOCA⇒∠=︒+∠8. △ABC为等腰Rt△,AE平分∠CAB，∠D＝90︒⇒AE＝2BD12BOC A⇒∠=∠DE//BC⇒C△ADE＝AB+AC1902BOCA⇒∠=︒-∠9.AC＝BC，则CE⊥BD⇔CE＝BD△ACD、△BCE为等边△，A、C、B共线⇒△ACE≌△DCB; △ACM≌△DCN △MCE≌△NCB; AE＝BD，AM＝DN，EM＝BN，CM＝CN，AE、BD相交成锐角60°，AO＝DO+CO，BO＝EO+CO，OM+ON＝CO，OC平分∠AOB，注：△BCE绕C旋转时，结论有些变化.10. AC＝BC⇒△DEF为等腰Rt△15. ⇒OD＝OEBE+CD＝BCA ABCD21D CBAE FE F A ′B ′C′O ABCDAD BCEFE FMA C DB F MGAB C DE45︒FEABCD ⇒PB+PC ＝2PD ∠ABP+∠C ＝180°16.AD ＝CD ⇔CD ＝BD ⇔AD ＝BDAB ＝AC⇒AE+BE ＝BC17.⇒∠A ＝∠B或∠A+∠B ＝180°12.AC ＝BC⇒∠ADC ＝∠BDF ； CF+DF ＝AD18. ⇒DE+BF ＝EFAE 平分∠DEF ，AF 平分∠BFE13.⇒CD ＝CE ＝BG CEFD 为菱形∠2＝2∠1 ⇒AF ＝BC+CF14.AB ＝AC⇒DE+DF ＝BM （钝角△也成立）⇒AE+CF ＝CDEF OES 四边形OEBF ＝14a 2等腰梯形 ⇒EF+EG ＝CM⇒BE+DF=AEEFDCBAGHA B CDE FE B A CDABCNM DF AB CE H 1ADBCB ACDEFEC BADAB CDFEA BCDEFABCDEFA 19.BF=AD ⇔BF ⊥AD⇒∠1＝∠B△ADC ∽△CDB ∽△ACB AC 2=AD ·AB BC 2＝BD ·BAAC ·BC ＝AB ·CD CD 2＝AD ·BD BF=AC ⇔BF ⊥AC25.∠C ＝∠D⇔△ABC ∽△ADE ⇔AB ·AD ＝AC ·AE 20.中点四边形EFGH 至少是，取决于AC 、BD 的关系，EF ，EH 的关系对应AC 、BD 的关系26.∠B ＝∠E⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD ·AB ＝AC ·AE21. 梯形ABCD 中： ①AE ＝BE ； ②AD+BC ＝CD ；③DE ⊥CE ，知二推一27.⇒DF ＝EF22. ⇒AM 2+BN 2＝MN 228.2AE AFED BF⇒=23.AD ＝BC ＝a ，BF ＝CF⇒HF+HD ＝a29. ⇒EF//ADEF ＝12(BC －AD)OMDCB AE N OFABCDENMOD C B A N A B C D EM aaM ABODE MEA CN B D FEB C D A1D CBA G E ABCDM FA24.∠1＝∠C⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD ·AB ＝AE ·AC 30.⇒AN DGAM BC=∠1＝∠B⇔△ADC ∽△ACB ⇔∠ADC ＝∠ACB ⇔AC 2=AD ·AB31.DE//BC⇒DN ＝EN ， BM ＝CM35.⇒AO ＝2DO BO ＝2EO CO ＝2FO⇒MO ＝NO112AD BC MN +=⇒AB BM BNAC CM CN==32.⇒DM BN EM CN = 当DM ＝EM 时， 则BN ＝CN37.⇒222OD DE a += 222OD DE a +=同上33.⇒111AB CD EF+=34.AD ＝DC ，PN//BD ⇒PN+MN ＝2BDP FAB CDE MAO BCPAB ＝AC⇒PE+PF ＝2AD1半弧所对的圆心角等于整弧所对的圆心角 AOC APB ⇒∠=∠2（1）五元素：①CD 过圆心O ；②CD ⊥AB ；③AM ＝BM ；④AD BD ＝；⑤AC BC ＝中，知二推三。
18个经典几何模型（word400多页）1.分享：200个精美几何画板文件2.再分享：149个精美几何画板文件3.二次函数压轴题精选40道（word含答案）4.最全的“一线三等角”模型解析5.重磅：2G多初中数学赛课好资料（打包分享）6.中考满分之路—必刷的30个专题7.史上最全：初高中数学衔接教材（word分享)8.重磅分享：中考数学压轴题十大题型（word含详细答案）9.初中数学满分讲义重磅分享10.重磅分享：最新旋转中考题精粹11.精品分享：将军饮马六大模型12.破解中考数学压轴题12讲（上）13.破解中考数学压轴题12讲（下）14.中考必备的15个word好专题（上）15.中考必备的15个word好专题（下）16.重磅分享：1991-2018年初中数学联赛试题及答案17.重磅分享：各类型全等三角形专题78页125题18.燃炸分享：初中数学选择通关题19.重磅：中考数学压轴题12讲（word分享）20.初中数学选择题精选400题（含答案）21.九年级数学暑假专用资料22.八年级最实用讲义23.勾股定理及逆定理专题（电子版分享）24.必看：中考数学考前指导！25.初高中数学衔接——超好教材26.燃爆分享：初中数学综合复习资料27.相似三角形模型（word分享）28.旋转型相似三角形（word分享）29.收藏：一文搞定二次函数30.史上最全：初高中数学衔接教材（word分享)31.初中数学选择题精选400题（含答案）32.初中数学选择题精选300题（含答案）33.一张图读懂“代数几何”模型34.刚刚，第11届全国赛课一等奖获奖资料打包分享35.四边形通关题（word分享）36.将军饮马的六种常见模型37.重磅分享：初中数学几何模型38.初中数学解题技巧大全39.重磅分享：学霸必备的23讲word40.1991-2018年初中数学联赛试题及答案(打包分享)41.81套2019年全国各地中考真题（word含答案）42.分享：初中几何辅助线大全43.学霸拥有满分无忧44.收藏：常见的线段最值问题45.最新：二次函数压轴题及答案（word分享）46.最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总47.word分享:12个专题模型（word分享）48.特殊平行四边形专题（word含详细答案）49.最值问题和路径问题精选（word分享）50.初中好题难题总动员（word分享）51.最全：2018年全国中考数学真题汇编（word含答案）52.助力中考：旋转专题53.最短路径12个基本问题（PPT分享）54.平移和旋转专题含答案（word分享）55.助力中考：相似三角形56.助力中考：半角模型（word分享）57.助力中考：手拉手模型（word分享）58.初中数学模型解题策略59.截长补短模型（word分享）60.共顶点模型（word分享）61.费马点最值模型（word分享）62.胡不归最值模型（word分享）63.隐圆模型（word分享）64.收藏：初中经典几何模型大全65.阿氏圆最值模型（word分享）66.角含半角模型（word分享）67.轴对称最值模型（word分享）68.弦图模型（word分享）69.对角互补模型（word分享）70.中考数学考前指导！最后一课！（ppt分享）71.2019年全国各市中考真题111套（word含解析）72.中点模型（word分享）73.构造平行四边形解题（word分享）74.中考押题：等边三角形（word分享）75.主从联动模型（word分享）76.二次函数与几何综合（word分享）77.一题30问及解答78.中考二次函数压轴题汇总（163页word含详细解析）79.最全：2020年中考总复习知识点总结（word分享）80.函数“存在性”问题（word分享）81.初中数学培优资料1-10讲（word分享）82.探索性问题（74页word分享）83.折叠问题（word分享）84.初中数学培优资料11-20讲（word分享）85.初中数学培优资料21-26（word分享）86.初中数学常用几何模型及构造方法大全87.重磅：几何应用题（word分享）88.100多套2020年中考真题（word分享）89.章建跃教授：我们应该如何教几何（PPT分享）90.2020年中考数学试题分类汇编（word分享）91.一文搞定初中数学几何模型92.初中数学第一课：迷人的数学（PPT分享）93.对初中数学复习教学的思考（PPT分享）94.常见几何基本图形及结论95.三角形的中位线（ppt分享）96.大树理论和工匠精神（PPT分享）97.初三复习建议（PPT分享）98.初中第一课：走进数学世界（PPT分享）99.动找规律，静下结论（PPT分享）100.一文搞定瓜豆原理101.最全的将军饮马模型（word分享）102.图形变换背景下的轨迹思想的研究（ppt分享）103.相似三角形六大证明技巧（word分享）104.最全的辅助圆模型（word分享）。
ABC DEA C DBE A BC DDABDEFGDABCEADC BECN OMDAE BA DE FBOEA BCDA1. EC FC ⇒⊥正方形ABCD 中，BD ⊥CE ⇔BD ＝CE 平移后也成立2. //AB CD B D E⇒∠+∠=∠6.△ABD ，△ACE 为等边△⇒BE ＝CD BE 、CD 相交所成锐角为60° //360AB CDB D E ⇒∠+∠+∠=︒ABDE 与ACFG 为正方形⇒EC ＝BG ，BG ⊥CE 注：条件可换成△BAE ，△CAG 为等腰Rt △ 3. B D ⇒∠=∠7.①AD 平分∠CAB ；②DE//AC ；③AE ＝DE 中，知二推一1902BOCA⇒∠=︒+∠ 8.△ABC 为等腰Rt △,AE 平分∠CAB ，∠D ＝90︒⇒AE ＝2BD12BOC A ⇒∠=∠DE//BC ⇒C △ADE ＝AB+AC1902BOCA⇒∠=︒-∠ 9.5.AC ＝BC ，则CE ⊥BD ⇔CE ＝BD△ACD 、△BCE 为等边△，A 、C 、B 共线⇒ △ACE ≌△DCB; △ACM ≌△DCN △MCE≌△NCB; AE ＝BD ，AM ＝DN ，EM ＝BN ，CM ＝CN ，AE 、BD 相交成锐角60°，AO ＝DO+CO ，BO ＝EO+CO ，OM+ON ＝CO ，OC 平分∠AOB ，注：△BCE 绕C 旋转时，结论有些变化.10.AC ＝BC⇒△DEF 为等腰Rt △15.⇒OD ＝OEBE+CD ＝BCA ABCD21D CBAE FE F A ′B ′C′O ABCDAD BCEFE FMA C DB F MGAB C DE45︒FEA BCD ⇒PB+PC ＝2PD∠ABP+∠C ＝180°16.AD ＝CD⇔CD ＝BD ⇔AD ＝BDAB ＝AC⇒AE+BE ＝BC17.⇒∠A ＝∠B或∠A+∠B ＝180°12.AC ＝BC⇒∠ADC ＝∠BDF ； CF+DF ＝AD18.⇒DE+BF ＝EFAE 平分∠DEF ，AF 平分∠BFE13.⇒CD ＝CE ＝BGCEFD 为菱形∠2＝2∠1⇒AF ＝BC+CF14.AB ＝AC⇒DE+DF ＝BM （钝角△也成立）⇒AE+CF ＝CDEF ＝OES 四边形OEBF ＝14a 2等腰梯形⇒EF+EG ＝CM⇒BE+DF=AEEFDCBAGHA B CDE FE B A CDA BCNM DF AB CE H 1ADBCB ACD EFEC BADAB CDFEA BCDEFABCDEF1A BCDE G AD19.BF=AD ⇔BF ⊥AD⇒∠1＝∠B△ADC ∽△CDB ∽△ACB AC 2=AD·AB BC 2＝BD·BA AC·BC ＝AB·CD CD 2＝AD·BDBF=AC ⇔BF ⊥AC25.∠C ＝∠D⇔△ABC ∽△ADE ⇔AB·AD ＝AC·AE 20.中点四边形EFGH 至少是 ，取决于AC 、BD 的关系，EF ，EH 的关系对应AC 、BD 的关系26.∠B ＝∠E⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD·AB ＝AC·AE 21. 梯形ABCD 中： ①AE ＝BE ；②AD+BC ＝CD ； ③DE ⊥CE ，知二推一27.⇒DF ＝EF22. ⇒AM 2+BN 2＝MN 228.2AE AFED BF⇒=23. AD ＝BC ＝a ，BF ＝CF ⇒HF+HD ＝a29. ⇒EF//ADEF ＝12(BC －AD)24.∠1＝∠C⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD·AB ＝AE·AC 30.⇒AN DGAM BC=∠1＝∠BO MDCB AE N OFABCDENMOD C B AFAE N A B C D E M a aM ABODEMEA CN B D F EB C D A M PABN DC⇔△ADC ∽△ACB ⇔∠ADC ＝∠ACB⇔AC 2=AD·AB 31. DE//BC ⇒DN ＝EN ，BM ＝CM 35.⇒AO ＝2DOBO ＝2EOCO ＝2FO⇒MO ＝NO 112AD BC MN+=⇒AB BM BNAC CM CN==32. ⇒DM BN EM CN = 当DM ＝EM 时， 则BN ＝CN 37.⇒222OD DE a +=222OD DE a +=同上33.⇒111AB CD EF +=34.AD ＝DC ，PN//BD⇒PN+MN ＝2BDAB ＝AC⇒PE+PF ＝2ADMAO BCP1半弧所对的圆心角等于整弧所对的圆心角 AOC APB ⇒∠=∠2（1）五元素：①CD 过圆心O ；②CD ⊥AB ；③AM ＝BM ；④ ADBD ＝；⑤ AC BC ＝中，知二推三。
注：由①③推另三，需附加条件AB 不是直径。
（2）图形中弦长、半径、弦心距、弓高已知两个量，则另二可求。
3D CB OA ME FG2EC FD AE FG AE BF OM⇒==+= 若AB 、EF 相交，则|AE —BF|＝2OM⇓EC FC AE FG AE BF AB⇒==+= 411802C AOB ⇒∠=︒-∠OB A5. 共斜边的两直角三角形，四个顶点在同一圆上。
BACDDCAB6①△任意两边之积等于第三边上的高与其外接圆直径之积。
如：AB ·AC ＝AD ·2R （钝角△也适用）； ②正弦定理：2sin BCR BAC=∠（不能直接用，可构造以直径为斜边的Rt △，利用三角函数求。
）7DC AEF B//CD EF ⇒812OE BC ⇒=FM 的延长线平分AC9M F EOABC DAM CM FM ⇒== AC ＝EC21212CD AE AC AM AE AD AB OM BF ====10BD CD ⇒= △ABE ∽△ADC ∽△CDE△ABD ∽△AEC ∽△BED BD 2＝CD 2＝DE ·DA AB ·AC ＝AE ·AD AE ·DE ＝BE ·CD*2cos AB ACBAD AD+=∠若I 为△ABC 内心，则BT ＝CD ＝ID ，关注∠BAC 为特殊角时图形的特殊性、及相关比值。
11HE M O FDCBAHD FD ⇒= CH ⊥ABH 点关于AC 的对称点在圆上，H 点关于AB 的对称点在AB 上， 12OM AH =12ABD ＝CD ⇔AD 平分△CAE13①AD ⊥CD ；②AC 平分△DAB ； ③DC 切⊙O 于C中，知二推一。
14PD PO PM PN ⇒=△PDM ∽△PNOCA 平分∠PCD △OND ∽△OPN15EFOCBA D1902BOC A ⇒∠=︒+∠2/1902ABC ABCBO DEr S C DEF A∆∆⊥=∠=︒-∠⇓EA2a b cr +-⇒=16abr a b⇒=+（注AC 与BC 不一定相等）17⇒①BO ⊥OA ；②RQ 切⊙O 于Q 。
③RP ＝RQ 中，知二推一⇒OR 可上、下平移，Q 也可在AB 上 18⇒AB+CD ＝AD+BC22AP BP r OP⇒=-P22PA PB OP r⇒=-20B AE BF CG DG⇒==211(180)2PDEC PA PBDOE P∆⇒=+∠=︒-∠22 BE BD⇒=△PBD∽△PCE △PBE∽△PAD△PBA∽△PCB BE·BD＝AD·CE若AC是直径，则△ADP＝45°*若△BDE为等腰Rt△或等边△时，上述结论有些变化。
AC EC⇒=CB＝CGF为△ABC的内心其它同前（10）题24D①AD平分∠BAC；②BC//MN；③MN切⊙O于D中，知二推一。
25①EA切⊙O于A；②AE//CF；③AP＝EP中，知二推一。
2622cosAC AG AFFC FE CECFAFA AC⇒=+==∠。
