四边形的存在性(习题及答案).

平行四边形存在性问题【知识储备】①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式： 类型一 几何背景下的平行四边形存在性问题【典题练习】1．（2023•河北二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当t ＝3s 时，四边形ABMP 为矩形B ．当t ＝4s 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD ＝PM 时，t ＝3sD ．当CD ＝PM 时，t ＝3s 或5s【分析】根据题意，表示出DP ，BM ，AP 和CM 的长，当四边形ABMP 为矩形时，根据AP ＝BM ，列方程求解即可；当四边形CDPM 为平行四边形，根据DP ＝CM ，列方程求解即可；当CD ＝PM 时，分两种情况：①四边形CDPM 是平行四边形，②四边形CDPM 是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP ＝t cm ，BM ＝t cm ，∵AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴AP ＝（8﹣t ）cm ，CM ＝（6﹣t ）cm ，当四边形ABMP 为矩形时，AP ＝BM ，即8﹣t ＝t ，解得t ＝4，故A 选项不符合题意；当四边形CDPM 为平行四边形，DP ＝CM ，)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若即t＝6﹣t，解得t＝3，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即6﹣t＝t，解得t＝3，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝8﹣t+，又∵BM＝t，∴8﹣t+＝t，解得t＝5，综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．2．（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（）A．B．8C．4或D．或8【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故选：D．3．（2022春•曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或5【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD ＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．4．（2023春•大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝时，四边形AECF是平行四边形．【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE＝OF进而得到关于t的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得OE＝OB﹣BE＝OB﹣t，OF＝2t，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12cm，∴OB＝OD＝6cm，∴OE＝6﹣t，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，∴6﹣t＝2t，∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形，故答案为：2．5．（2023秋•红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．（1）求DQ、PC的代数表达式；（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；（2）根据平行四边形的性质知DQ＝CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；（3）分PQ＝QD、PQ＝PD、QD＝PD三种情况讨论求出t值即可．【解答】解：（1）根据题意，DQ＝（16﹣t）cm，PC＝（21﹣2t）cm；（2）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，∵cm，AH＝BP，∴，∴．当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t cm，QD＝（16﹣t）cm，∵QD2＝PQ2＝t2+122，∴（16﹣t）2＝122+t2，解得．当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+16﹣2t）2，∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，即3t2﹣32t+144＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．6．（2023春•和平区校级月考）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D 运动．（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为cm2．（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解；（2）设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，可得S△DPF＝S△P AB，即可求解；（3）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t ＝24﹣4t时，③当12﹣t＝4t﹣12时，④当12﹣t＝4t﹣24时，⑤当12﹣t＝36﹣4t时，⑥当12﹣t＝4t﹣36时，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠CBP，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∵AB＝BP，∴AB＝BP＝AP，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP＝60°，∴∠ABC＝120°．（2）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△CDF＝•CD＝S▱ABCD，S△PBC＝h2•BC＝S▱ABCD，∴S△PBC＝S△CDF＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S▱ABCD，∴S△P AB+S△PCD＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S△P AB+S△PCD，∴S△DPF＝S△P AB，∵△ABP是等边三角形，∴S△DPF＝S△P AB＝＝3，故答案为：；（3）∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，∵（s），∴0≤t＜12，①当12﹣t＝12﹣4t时，解得：t＝0（不合题意，舍去）；此时当P与A重合，Q与C重合；②当12﹣t＝24﹣4t时，解得：t＝4；③当12﹣t＝4t﹣12时，解得：t＝4.8；④当12﹣t＝4t﹣24时，解得：t＝7.2；⑤当12﹣t＝36﹣4t时，解得：t＝8；⑥当12﹣t＝4t﹣36时，解得：t＝9.6；综上所述：t为4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；【典题练习】7．（2022春•西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；故答案为：（4，0）或（﹣2，0）或（2，2）．8．（2018春•大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；（3）分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标．【解答】解：（1）如图，△A11C1为所作；（2如图，△A2B2C2为所作；（3）满足条件的点D的坐标为（2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．9．（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；（3）分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；（3）存在，∵D点在直线AB上，设D（a，a+6），∵BC平分∠ABO，∴CD＝OC，即＝3，解得a＝﹣，∴D（﹣，），设直线DE的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4，∴E（0，﹣4），设点P的坐标为（m，n），①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，∵O（0，0），C（﹣3，0），E（0，﹣4），∴P（﹣3，﹣4）；②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P'（3，﹣4）；③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P''（﹣3，4）；综上所述，符合条件的P点坐标为（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。

中考数学总复习《二次函数中的特殊四边形存在性问题 》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知抛物线223y x x =+-的图像与坐标轴分别交于、、A B C 三点，连接AC ，点M 是AC 的中点，抛物线的对称轴交x 轴于点F ，作直线FM ．(1)直接写出下列各点的坐标：F ______，M ______；(2)若点P 为直线FM 下方抛物线上动点，过点P 作PQ y ∥轴，交直线FM 于点Q ，当PQM 为直角三角形时，求点P 的坐标；(3)若点N 是x 轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E ，使以点F M N E 、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E 的坐标：若不存在，请说明理由．2．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线223y x x =--+的顶点为D 点，且与x 轴交于B ，A 两点（B 在A 的左侧），与y 轴交于点C ．点E 为抛物线对称轴上的一个动点：(1)当点E 在x 轴上方且CE BD ∥时，求sin DEC ∠的值；(2)若点Р在抛物线上，是否存在以点B ，E ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形﹖请求出点Р的坐标；(3)若抛物线对称轴上有点E ，使得55AE DE +取得最小值，连接AE 并延长交第二象限抛物线为点M ，请直接写出AM 的长度．4．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于()1,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接AC ，CD ，DB ，试求四边形ABDC 面积的最大值；(3)如图2，点(),1D m m -是第一象限内抛物线上的一点，连接AD ，BD ，点E 是线段AB 上的任意一点（不与点A ，B 重合），过点E 分别作EM AD ∥交BD 于点M ，EN BD ∥交AD 于点N ．①判断四边形EMDN 的形状，并证明你的结论；①四边形EMDN 是否能成为正方形？若能，请直接写出点E 的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，AOC 绕原点O 逆时针旋转90︒得到DOB ，其中1OA =，OC=3．(1)若二次函数经过A 、B 、C 三点，求该二次函数的解析式；(2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴l 上是否存在一点P ，使得PA PC +最小？若P 点存在，求出P 点坐标；若P 点不存在，请说明理由．(3)在（1）条件下，若E 为x 轴上一个动点，F 为抛物线上的一个动点，使得B 、C 、E 、F 构成平行四边形时，求E 点坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x bx c =++与直线AB 交于点()0,3A -和()4,0B ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线，交AB 于点E ，过点P 作AB 的垂线，垂足为点F ，求PEF 周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PEF 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点Q 为点P 的对应点，点N 为原抛物线对称轴上一点．在平移后抛物线上确定一点M ，使得以点B ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线BC 下方抛物上一动点，连接PB ，PC ，求PBC 面积的最大值以及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PBC 的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q ，M 为y 轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+-≠与x 轴交于()4,0A ，()2,0B -两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，y 轴上有一点()0,3D -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AD 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，PH 交直线AD 于点E ，作PF BC 交直线AD 于点F ，求11510PF PH +的最大值，及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，将点P 向右平移152个单位长度，再向上平移398个单位长度得到点P '；将抛物线沿着射线BC 方向平移5个单位长度得到一条新抛物线，点M 为新抛物线与y 轴的交点，N 为新抛物线上一点，Q 为新抛物线对称轴上一点，请写出所有使得以点P '，M ，Q ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点Q 的坐标，并写出求解点Q 的坐标的其中一种情况的过程．9．如图，抛物线212y x bx c =-++的图象经过点C ，交x 轴于点()1,0A -、()4,0B （A 点在B 点左侧），顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点Q ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点F ，过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点E ，求矩形PQEF 的周长最大值；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M ，使45BMC ∠=︒？若存在，请直接写出点M 的纵坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线232y ax x c =++与x 轴交于点A 、(4,0)B （A 点在B 点左侧），与y 轴交于点(0,6)C ，点P 是抛物线上一个动点，连接,,PB PC BC(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2所示，当点P 在直线BC 上方运动时，连接AC ，求四边形ABPC 面积的最大值，并写出此时P 点坐标．(3)若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，P 的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M ，使得以点,,,B M N P 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点．(1)求抛物线的解析式． (2)连接AC ，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得ACP △的周长最小？若存在，求出点P 的坐标和ACP △的周长的最小值，若不存在，请说明理由．(3)点M 为抛物线上一动点，点N 为x 轴上一动点，当以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M 的横坐标．12．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求三角形ACP 面积的最大值；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()10A -，，()30B ，和()01C -，三点．(1)求该抛物线的表达式与顶点坐标；(2)点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P 的坐标．14．如图，抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标是19,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，与x 轴交于点A 、点()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在抛物线上，是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于点A 和B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点P 在直线AC 下方的抛物线上运动．(1)求点B 的坐标和直线AC 的解析式；(2)如图1，过点P 作PD y ∥轴交直线AC 于点D ，过点P 作PE AC ⊥，垂足为E ，当PDE △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在x 轴上运动，以点B ，C ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，借助图2探究，请直接写出符合条件的点M 的坐标．参考答案： 1．(1)(1,0)F - 13(,)22M - (2)点P 的坐标为：1P （210322---，） 21555(,)22P ---- (3)存在，13(,)22E 或3(1,)2E --2．(1)223y x x =-++(2)2m =(3)存在，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--3．(1)55(2)存在 ()2,3P - ()4,5P -- ()2,5P -(3)754AM =4．(1)213222y x x =-++ (2)四边形ABDC 面积的最大值为9(3)①矩形①能，7,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．(1)2=23y x x --(2)存在(3)(72,0)-或(72,0)--或(1,0)6．(1)239344y x x =-- (2)365 92,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)13693,216M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 727,216M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 333,216M ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)2=23y x x --(2)315(,)24P - (3)17(,)24N -或533(,)24N 或57(,)24N --8．(1)2142y x x =-- (2)11510PF PH +最大值为758，此时点P 的坐标为335,28⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)点Q 的坐标为()2,39或()2,29或()2,10-9．(1)213222y x x =-++ (2)9(3)3132+或3912--10．(1)233642y x x =-++ (2)2t =时，ABPC S 四边形有最大值，最大值为24，点P 的坐标为(2,6)(3)存在，点M 的坐标为(0,0)或()14,0-或(14,0)或(8,0)11．(1)223y x x =-++(2)(1,2)P 1032+(3)2或17+或17-12．(1)(0,5)(2)1258(3)存在，点M 的坐标为：()3,8-或()3,16-或(7,16)--13．(1)212133y x x =--，顶点坐标为413⎛⎫- ⎪⎝⎭， (2)()21-，或543⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()47-，14．(1)22y x x =-++(2)存在，点Q 的坐标为：35,24Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或37,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭15．(1)点B 的坐标为()20，，直线AC 的解析式为4y x =-- (2)()24--，(3)()24--，或()1174--，或()1174-+，；。

平行四边形存在性问题专项训练（一）试卷简介:调用前期讲解平行四边形存在性问题的处理思路，检测学生对于不同背景下平行四边形存在性处理思路是否清晰，要求学生能够结合题目背景信息（坐标系等）灵活处理，设计最优方案来解决问题。

需要学生能够掌握整合信息，读题标注；分析特征，有序思考，设计方案；根据方案作出图形、有序操作；检查验证整个过程。

一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且，直线CD⊥AB于点P，交x轴于点D．若M为坐标系内一点，且以B，P，C，M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为( )A. B.C. D.答案：A1．解题要点①首先研究基本图形，求出各点坐标，点P的坐标可通过两直线表达式联立求出．②分析以B，P，C，M为顶点的四边形，B，P，C为定点，M为动点，符合平行四边形的存在性中三定一动的特征，分类时可以任意两边作邻边来构造平行四边形．③分类画图，借助对边平行且相等，利用平移求出各点坐标．2．解题过程∵，∴．∵，∴．∵AB⊥CD，∴，∴．联立，解得，∴．如图，连接BC，在△PCB中，分别过B，C，P三点，作对边的平行线，三条直线的交点分别为，此时四边形，四边形，四边形均为平行四边形．在平行四边形中，由平移可知，解得，类比可求得．综上，符合题意的点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性2.如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），三点．M为x轴上一点，N为抛物线上一点，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标为( )A.B.C.D.答案：B1．解题要点①整合信息，读题标注．已知抛物线与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（5，0），故设交点式，将代入，解得，即得到抛物线表达式．②分析特征，有序思考，设计方案．分析定点、动点：以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，其中A，C为定点，M，N为动点；确定分类标准：连接AC得到定线段，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，定线段AC可以作为边，也可以作为对角线，分两种情况进行讨论．③根据方案作出图形，有序操作．当AC作边时，根据平行四边形的判定，需满足AC∥MN，AC=MN，要找MN，借助平移，将线段AC拉出来，由于点M在x轴上，容易平移，故让线段沿x轴左右平移，确保M在x轴上，来找抛物线上的点N，注意需要沿x轴在x轴的上方、下方分别平移，找出点之后，设计方案，利用平移性质，求它们的坐标；当AC作对角线时，利用平行四边形的判定，需满足AC，MN互相平分，先找到AC中点，根据中点坐标公式，由点M确定点N，进而求坐标．④检查验证．作图验证；分析数据，估算验证．2．解题过程设抛物线的解析式为，∵在抛物线上，∴，∴．①当AC为边时，AC∥MN，AC=MN，如图所示，②当AC为对角线时，MN与AC相互平分，AC的中点D的坐标为．∵，∴，此时与点重合，如图所示，综上，符合题意的点N的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性3.已知抛物线交y轴于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B(3，-4)，直线与抛物线在第一象限的交点为C，连接OB．（1）如图，点P在射线OC上运动，连接BP，设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，则S与m之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：C1．解题要点①首先研究基本信息，求出抛物线解析式；②确定m的取值范围，；③分析目标△OBP，O，B为定点，P为动点，在坐标系中，对于两动点一定点的斜放置的三角形面积，可以利用铅垂法来表达，通过动点作铅垂的线当作底，两个定点的横坐标之差当作高来求．2．解题过程∵A（0，c）与B(3，-4)关于对称轴对称，∴，∴，∴．如图，过点P作PD∥y轴，交直线OB于点D，由题意得．∵B(3，-4)，∴，∴，∴，∴．即S与m之间的函数关系式为．试题难度：三颗星知识点：面积处理思路4.（上接试题3）（2）如图，点P在直线OC上运动，点Q在抛物线上运动，在点P，Q运动的过程中，当以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：D1．解题要点①分析特征，有序思考，设计方案．分析定点、动点：分析以O，B，P，Q为顶点的四边形，O，B为定点，P，Q为动点．确定分类标准：OB为定线段，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，定线段OB可以作为边，也可以作为对角线，分两种情况进行讨论．②根据方案作出图形，有序操作．当OB作边时，根据平行四边形的判定，需满足OB∥PQ，OB=PQ，要找PQ，借助平移(注意控制点M在OC上，且在OC上方、下方都需要平移)，找出点之后，设计方案，利用平移性质，求它们的坐标；当OB作对角线时，利用平行四边形的判定，需满足OB，PQ互相平分，先找到OB中点，根据中点坐标公式，由点P确定点Q，进而求坐标．③检查验证．作图验证；分析数据，估算验证．2．解题过程设，当OB为边时，OB∥PQ，OB=PQ，如图所示，∴．当OB为对角线时，OB与PQ互相平分，OB的中点D的坐标为，如图所示，∵，∴．当时，解得，∴．综上，符合题意的点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性。

专题21四边形中的存在性问题
1、已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），
以AD为边做正方形ADEF，连接CF．
（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出线段CF、BC、CD之间的数量关系．
（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC两侧，其他条件不变；
若正方形ADEF的边长为4，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，请直接写出OC的长度．
解：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，。

几何证明与推理——四边形存在性1.如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F，G两点，且与AB，AC分别相切于点D，E，DE∥BC，连接DF，EG．（1）求证：AB=AC．（2）填空：①若AB=10，BC=12，则当四边形DFGE是矩形时，⊙O的半径为_____；②若四边形DFGE是正方形，则∠B=_______．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：BE=EC．（2）填空：①若∠B=30°，AC=DE=______；②当∠B=_____°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．3.如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD （AE＜BD）的长是一元二次方程x2-5x+6=0的两个实数根．（1）求证：P A·BD=PB·AE．（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，则⊙O的半径r为____________；（3）判断以A，O，E，F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．（1）求证：MD=ME．（2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE=___________；②连接OD，OE，当∠A的度数为__________时，四边形ODME是菱形．6.如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC．（1）求证：GC是⊙F的切线．（2）填空：①若∠BAD=45°，AB=CDG的面积为_______；②当∠GCD的度数为_______时，四边形EFCD是菱形．7.如图所示，半圆O的直径AB=4，=，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．（1）求证：△CDF≌△BDE．（2）填空：①当AD=_______时，四边形AODC是菱形；②当AD=_______时，四边形AEDF是正方形．8.如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC，交⊙O于另一点D，连接P A，PB．（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则：①当弦AP的长是________时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；②当的长度是___________时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．CB9.如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接EF，当∠D=______°时，四边形FOBE是菱形．CF EADO B10.如图，AB为⊙O的直径，点D，E是位于AB两侧的半圆AB上的动点，射线DC切⊙O于点D，连接DE，AE，DE与AB交于点P，F是射线DC上一动点，连接FP，FB，且∠AED=45°．（1）求证：CD∥AB；（2）填空：①若DF=AP，当∠DAE=__________时，四边形ADFP是菱形；②若BF⊥DF，当∠DAE=__________时，四边形BFDP是正方形．A11.如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．（1）求证：CE=EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：①当∠D的度数为_________时，四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为_________时，四边形ECOG为正方形．B AB。

中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．(1)求B 、D 坐标，并写出该二次函数表达式；(2)动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，有PQ AC ⊥？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？2．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求抛物线的对称轴；(2)在平面直角坐标系内是否存在一点P ，使以P 、A 、O 、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A B 、的坐标； (2)求抛物线的对称轴；(3)平面内是否存在一点P ，使以P A O B 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()10A -，和()50B ，，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒()05t <<．当t 为何值时，BMN 的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q 坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知二次函数213442y x x =--与x 数轴交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ． 发现：点A 的坐标为__________，求出直线BC 的解析式；拓展：如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上一点，连接PB 、PC ，当PBC 面积最大时，求出P 点的坐标； 探究：如图2，抛物线顶点为D ，抛物线对称轴交BC 于点E ，M 是线段BC 上一动点（M 不与B 、C 两点重合），连接PM ，设M 点的横坐标为()08<<m m ，当m 为何值时，四边形PMED 为平行四边形？6．解答题如图，在平面直角坐标系中，二次函数24y ax bx =+-的图像交坐标轴于()1,0A -、()4,0B 两点，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点()30A -,和()4,0B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的函数解析式；(2)如图，点P 在直线BC 上方的抛物线上运动，过点P 作PD AC ∥交BC 于点D ，作PE x ⊥轴交BC 于点E ，求724PD PE +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中724PD PE +取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，点Q 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点G ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点Q 、G 、M 、N 为顶点的叫边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，二次函数234y x bx c =++的图象与x 轴交于点A 和B ，点B 的坐标是（4，0），与y 轴交于点C （0，－3），点D 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)当点E 在x 轴上运动时，探究以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点E 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(30)A -，，()1，0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q ，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，直线122y x =+分别与x 轴、y 轴交于C ，D 两点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点D ，与直线相交于点E ，且:4:3CD DE =．(1)求点E 的坐标和二次函数表达式． (2)过点D 的直线交x 轴于点M ．①当DM 与x 轴的夹角等于2DCO ∠时，请直接写出点M 的坐标；①当DM CD ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点D ，E 重合），作DM 的平行线交直线CD 于点Q ，若以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于()()1,04,0A B C -、、三点，且OB OC =，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知二次函数220y ax x c a =++≠（）的图像与x 轴交于10()A B 、，两点，与y 轴交于点(03)C -，．(1)求二次函数的表达式；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求ACD 的面积最大时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ，使以M N B O 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标．（不写求解过程）13．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．14．如图1，二次函数2y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1．（1）求二次函数的解析式;（2）点P 为二次函数第一象限图象上一点，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图3，一次函数y kx =（k >0）的图象与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线1:l y x b k=-+交线段OC 于点M （不与O 、C 重合），过点T 作直线TN //y 轴交OC 于点N ，若在点T 运动的过程中，2ON OM =常数m ，求m 、k 的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图象与坐标轴交于、、A B C 三点，其中点A的坐标为()0,8，点B 的坐标为()4,0-．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接AC CD 、，以AC CD 、为邻边作平行四边形ACDE ，设平行四边形ACDE 的面积为.S ①求S 的最大值；①当S 取最大值时，Р为该二次函数对称轴上--点，当点D 关于直线CP 的对称点E 落在y 轴上时，求点Р的坐标．参考答案1．【答案】(1)()4,0B - ()8,3D 211384y x x =--(2)当点P 运动到距离点52A 个单位处时，四边形PDCQ 面积最小，最小值为8182．【答案】(1)4x =-(2)()4,16或()4,16--或()4,16-3．【答案】(1)()4,0A - ()0,16B (2)4x =-(3)()4,16或()4,16-或()4,16--． 4．【答案】(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN 的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()712-，或()72-，或()14，或()23， 5．【答案】发现：()2,0-，直线BC 的解析式为1y x 42=-；拓展：()4,6P -；探究：当5m =时，四边形PMED 为平行四边形6．【答案】(1)234y x x =--(2)当P 点坐标为(2,6)-时，16(3)Q 的坐标为(2,6)--或(10,6)7．【答案】(1)211344y x x =-++(2)724PD PE +的最大值为12，此时522⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)1611632N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2471632N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，32147216N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．8．【答案】(1)239344y x x =--(2)(1,0)或(7,0)或41502⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或41502⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 9．【答案】(1)224233y x x =--+(2)存在，点M 的坐标为(2,2)-或---，(172)或(17,2)-+-10．【答案】(1)2722y x x =-++(2)①302⎛⎫- ⎪⎝⎭，或302⎛⎫⎪⎝⎭，；①3192-或3192+ 11．【答案】(1)234y x x =--(2)(2,6)P -，四边形PBOC 的最大面积为16(3)存在，Q 的坐标为(2,6)--或(10,6) 12．【答案】(1)223y x x =+-(2)315(,)24D --(3)存在，点N 的坐标为(2,5)或(0,3)-或(2,3)--13．【答案】（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在 12(1,0),(5,0)Q Q -- 34(27,0),(27,0)+-Q Q ．14．【答案】（1）22y x x =-；（2）点P 的坐标(15,4)+或(13,2)+；（3）554m =12k =．15．【答案】（1）y =-14x 2+x +8，C 点坐标为(8，0)；（2）①32；①P （2，2）或（2，6）。

平行四边形，矩形，菱形的存在性问题一、平行四边形存在性问题1．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣5，﹣3），C（1，﹣3），在平面内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标是．2．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点A（﹣1，3），B（1，2），则点C，D的坐标分别为．3．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M 有个．4．如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD＝5，B（﹣3，0），C（9，0），E是BC的中点，P是线段BC上一动点，当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形．第4题第5题第6题5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．6．如图，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面内求一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为．7．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为．8．（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图），图1，2，3中的顶点C的坐标分别是，，；（2）在图4中，若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为；（3）在图4中，平行四边形ABCD顶点坐标分别为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f），则其横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为．9．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕所在直线与y 轴、x轴分别交于点D、F．（1）请直接写出线段BO的长；（2）求折痕所在直线BD的解析式；（3）若点M在直线y＝﹣x上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；否则，请说明理由．二、矩形存在性问题10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（2，﹣2），C（4，0），D（2，2），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．梯形D．正方形11．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P 从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点B 时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．（1）求CD的长；（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．12．平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图（1）．（1）写出点C的坐标；（2）在图（1）中，连接AB，OC得到图（2），求AB与OC的交点M点的坐标；（3）将图（2）中的线段BC向两方延长得到图（3），若点D，E为直线BC上不与B，C重合的动点，是否存在这样的D，E点，使得四边形OADE为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形OADE的面积和点D，E的坐标，若不存在，请说明理由．三、菱形存在性问题13．在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为（﹣1，0），（x，y），（﹣1，5），（﹣5，z），若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有（）A．1个B．3个C．4个D．5个14．如图1，直线l1：y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y＝x交于点C．（1）求A，B两点的坐标；（2）求∥BOC的面积；（3）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO 方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及x轴于点M，N和Q．设运动时间为t（s），连接CQ．∥当OA＝3MN时，求t的值；∥试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.根据题意得：D点的纵坐标一定是3；又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣5）＝6，故可得点D横坐标为﹣1+6＝5，即顶点D的坐标为（5，3）．2．由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称，∥点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（1，2），∥点C，D的坐标分别是（1，﹣3），（﹣1，﹣2），3．有3个点．4．解：∥B（﹣3，0），C（9，0），∥OB＝3，OC＝9，∥BC＝OB+OC＝12，∥E是BC的中点，∥BE＝CE＝BC＝6，分为两种情况：∥当P在E的左边时，∥AD＝PE＝5，CE＝6，∥BP＝12﹣6﹣5＝1；∥当P在E的右边时，∥AD＝EP＝5，∥BP＝BE+EP＝6+5＝11；即当BP为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；故答案为：1或11．5．如图，∥当BC为对角线时，易求M1（3，2）；∥当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；∥当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．6．根据题意得：OA＝OC＝1，OB＝m，∥AB＝m﹣1，分三种情况：如图所示，∥以BC为对角线时，点P的坐标为（m﹣1，1）；∥以AC为对角线时，点P的坐标为（1﹣m，1）；∥以AB为对角线时，点P的坐标为（m+1，1）；综上所述：点P的坐标为（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）；故答案为：（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）．7．如图，由题意得：点C在直线y＝x上，∥如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC∥直线y＝x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣2，∥AF＝FB，∥点F坐标为（2，﹣1），∥CF∥直线y＝x，设直线CF为y＝﹣x+b′，F（2，﹣1）代入得b′＝1，∥直线CF为y＝﹣x+1，由，解得：，∥点C坐标（，）．∥CD＝2CF＝2×＝3．∥如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＝2＞3，∥CD的最小值为3．故答案为：3．8.（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图1，2，3中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．故答案为：（5，2）（e+c，d），（c+e﹣a，d）．（2）若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为（5，7）；故答案为：（5，7）；（3）如图4中，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE∥BB1于E，DF∥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD＝BA，又∥BB1∥CC1，∥∥EBA+∥ABC+∥BCF＝∥ABC+∥BCF+∥FCD＝180°．∥∥EBA＝∥FCD．在∥BEA∥∥CFD中，，∥∥BEA∥∥CFD（AAS），∥AE＝DF＝a﹣c，BE＝CF＝d﹣b．设C（x，y）．由e﹣x＝a﹣c，得x＝e+c﹣a．由y﹣f＝d﹣b，得y＝f+d﹣b．∥C（e+c﹣a，f+d﹣b），∥m＝e+c﹣a，n＝f+d﹣b，∥m+a＝e+c，n+b＝d+f．故答案为：m+a＝e+c，n+b＝d+f．9.解：（1）∥矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），∥OA＝6，AB＝8，∥OAB＝90°，∥OB＝＝10，即线段BO的长是10；（2）设点D的坐标为（0，d），则OD＝d，CD＝8﹣d，∥BC＝6，CD＝DE，OB＝10，，∥，得d＝5，即点D的坐标为（0，5），设折痕所在直线BD的解析式为y＝kx+b，∥点D（0，5），点B（6，8）在直线BD上，∥，得，即折痕所在直线BD的解析式是y＝0.5x+5；（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣8，1）；理由：∥点C（0，8），点D（0，5），∥OC＝8，OD＝5，∥CD＝3，∥以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点M在直线y＝﹣x上，点P在直线BD上，∥CD＝MP，CD∥MP，或CD为平行四边形的对角线，当CD＝MP，CD∥MP时，设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则P的坐标为（m，0.5m+5），则|（0.5m+5）﹣（﹣0.5m）|＝3，解得，m1＝﹣2，m2＝﹣8，当m＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，4），当m＝﹣8时，点P的坐标为（﹣8，1），当CD为平行四边形的对角线时，则点C和点D中点的坐标为（0，6.5），设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则点P的坐标为（﹣m，13+0.5m），∥点P在直线BD上，直线BD的解析式是y＝0.5x+5，∥13+0.5m＝﹣0.5m+5，得m＝﹣8，∥点P的坐标为（8，9），由上可得，点P的坐标为（﹣2，4）、（﹣8，1）或（8，9）．10．D11．解：（1）过点A作AM∥CD于M，根据勾股定理，AD＝10，AM＝BC＝8，∥DM＝＝6，∥CD＝16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图1，由题知：BP＝10﹣3t，DQ＝2t ∥10﹣3t＝2t，解得t＝2；（3）在运动过程中，不存在四边形BCQP是矩形，理由如下：∥AB∥CD，∥BCD＝90°，∥∥C＝90°，若要四边形BCQP是矩形，则当PB＝CQ时即10﹣3t＝16﹣2t，解得：t＝﹣6＜0，∥不存在．12.解：（1）∥四边形OACB是平行四边形，∥AC＝OB，∥A（1，3）、B（4，0），∥C（5，3）；（2）如图（2），设AB所在的直线的解析式为y＝kx+b，∥直线AB经过点A（1，3）、B（4，0），∥，∥AB所在直线的解析式为y＝﹣4x+4，由于OC所在直线的表达式为y＝x，联立方程解得：即M的坐标是（2.5，1.5）；（3）存在这样的D、E，使得四边形AOED是矩形．分别过点A、O作AD∥BC于点D，OE∥BC于点E，过E、D分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，∥四边形AOBC是平行四边形，∥AO∥BC，∥AD∥AO，∥四边形AOED是矩形，且与平行四边形AOBC面积相等，∥平行四边形AOBC的面积为12，∥矩形AOED的面积为12，由勾股定理知AO＝，∥OE＝，EB＝，∥EF＝＝＝1.2，OF＝＝＝3.6，∥点E的坐标为（3.6，﹣1.2），∥点D的坐标为（4.6，1.8）．13．如图，∥A（﹣1，0），C（﹣1，5），∥AC∥x轴，且AC＝5﹣0＝5，过点D（﹣5，z）作作x轴的垂线，则z的数值就在直线x＝﹣5上，；∥A、B、C、D四个点构成的四边形是菱形，∥当DC＝DA，z有1个值，当DC＝AC，则42+（5﹣z）2＝52，z有两个值，当AD＝AC，则42+z2＝52，则z有两个值，综上所知，符合条件的z的值有5个．故选：D．14.解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令x＝0得到y＝3，令y＝0，得到x＝6，A（6，0）B（0，3）．（2）由，解得，∥C（2，2），∥S∥OBC＝×3×2＝3（3）∥∥M（6﹣t，﹣（6﹣t）+3），N（6﹣t，6﹣t），∥MN＝|﹣（6﹣t）+3﹣（6﹣t）|＝|t﹣6|，∥OA＝3MN，∥6＝3|t﹣6|，解得t＝或∥如图3中，由题意OC＝2，当OC为菱形的边时，可得Q1（﹣2，0），Q2（2，0），Q4（4，0）；当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0），∥t＝（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形．。

专题10平行四边形的存在性问题_、知识导航考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：(1) 对应边平行且相等；(2) 对角线互相平分.这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:(1)对边平行且相等可转化为:x A -x B =x D - x cy A -y B = yD-y c可以理解为点B 移动到点A,点。

移动到点O,移动路径完全相同.(2)对角线互相平分转化为：\ z 乙，、2 一 2可以理解为AC 的中点也是BQ 的中点.D【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一:X A~X B =X D~ X C -y B = yD-y c + x c = + X by A + % = % + 为x A +x c ^x B +x D2 _ 2 \X A +X C=X B +X D总 + % 二 % + 北 U a + %=% + %、2 — 2当AC 和BQ 为对角线时，结果可简记为：A+C = B + D (各个点对应的横纵坐标相加)以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系 中的4个点A 、B 、。

、D 满足"A+O8+ZT,则四边形ABCQ 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCQ 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化, 故存在反例.虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：(1) 四边形A8CQ 是平行四边形：AC. BQ 一定是对角线.(2) 以A 、B 、。

、。

四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论.平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.1.三定一动已知A (1, 2) B (5, 3) C (3, 5),在坐标系内确定点。

使得以A 、B 、。

、。

四个点为顶点的四边形是 平行四边形.思路1:利用对角线互相平分，分类讨论：设。

专题一：二次函数存在性之四边形存在性—平行四边形1.如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y= 32x+ 32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．2.如图，抛物线y=2mx2−2x与x轴的负半轴交于点A，对称轴经过顶点B与x轴交于点M.（1）求抛物线的顶点B的坐标(用含m的代数式表示)；（2）连结BO，若BO的中点C的坐标为( −32，32)，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，当E在直线BM上时，在抛物线上是否存在点D，使以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标.3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想△EDB的形状并加以证明；（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．存在性—菱形1.如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x的另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y＝x+与抛物线相交于点A和点B（点A在第二象限），设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断△AA′B的形状，并说明理由；（3）在问题（2）的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3.已知抛物线F：y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（−√3，0）．3（1）求抛物线F的解析式；x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，（2）如图1，直线l：y =√33y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；，设点A′是点A关于原点O的对称点，（3）在（2）中，若m =43如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系x Oy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣8），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线3于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．存在性—矩形1．如图1，抛物线y＝a2x+2ax+c与x轴交于A（﹣3，0）、B 两点，与y轴交于C点，△ABC的面积为6，抛物线顶点为M．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，直线y＝k x+k﹣3与抛物线交于P、Q两点（P点在Q 点左侧），问在y轴上是否存在点N，使四边形PMQN为矩形？若存在，求N点坐标，若不存在，请说明理由；2.如图，已知在平面直角坐标系x Oy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作AC，连CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC= 12接OA，OB，BD和AD．（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y=1x2+bx+c经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交4于C，D两点.（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.4.如图，在平面直角坐标系x Oy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=k x+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值，求a的值；为54（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．存在性—正方形1.如图，已知抛物线y = x2 + bx + c的图象经过点A（l ，0），B （﹣3 ，0），与y轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式（2）若点P在直线BD上，当PE = PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F ，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．2. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．3.如图1，在平面直角坐标系x Oy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x 轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4 √2，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．4．如图1，抛物线y＝﹣﹣x+2与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）如图1，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值；（2）如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以点A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N的坐标．参考答案（1）1.（1）解：设抛物线的解析式是y=﹣（x ﹣1）2+k ． 把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k ，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x ﹣1）2+4，即y=﹣x 2+2x+3； （2）解：在y=﹣x 2+2x+3中令x=0，则y=3，即C 的坐标是（0，3），OC=3． ∵B 的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB ，则△OBC 是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°， 过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H ．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH ， ∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH ，设点N 纵坐标是（a ，﹣a 2+2a+3）． ∴a+3=﹣a 2+2a+3， 解得a=0（舍去）或a=1， ∴N 的坐标是（1，4）；（3）解：∵四边形OAPQ 是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ ∥OA ， 设P （t ，﹣t 2+2t+3），代入y= 32 x+ 32 ，则﹣t 2+2t+3= 32 （t+1）+ 32 ， 整理，得2t 2﹣t=0，解得t=0或 12 ．∴﹣t 2+2t+3的值为3或 154 ． ∴P 、Q 的坐标是（0，3），（1，3）或（ 12 ， 154 ）、（ 32 ， 154 ）． 2.【答案】（1）解：∵y= 2m x 2 -2x= 2m ( x 2 -mx+ 14m 2 )- 2m ⋅14m 2 =2m (x −12m)2- 12m ，∴抛物线的顶点坐标为（ 12m ，- 12m ） （2）解：∵B （ 12m ，- 12m ），BO 的中点C 的坐标为( −32 ， 32 )， ∴ 14 m= −32 ，解得m=-6，∴抛物线的解析式为：y= −13 x 2-2x（3）解：令y=0，得x1 =-6，x2 =0，∴A(-6，0)．由点D在抛物线y=- 13x2 -2x上，设D(t，- 13t2 -2t).(i)当AC为所求平行四边形的一边时，a. 如图，过C作CF ⊥ x轴于F，过D1作D1 H ⊥ BE于H，则x F = x C =- 32, x H = x B =-3.由四边形ACD1E1为平行四边形，可证△ACF≌△D1E1H.可得D1H=AF=4.5，∴t-(-3)=4.5，∴ t= 32，∴D1 ( 32，- 154)；b.如图，同a方法可得D1 H=AF=4.5，∴ -3-t=4.5，∴ t=-7.5，∴D2 (- 152，- 154)；(ii)当AC为所求平行四边形的对角线时，如图，过C作CF ⊥ BM于F，过D3作D3 H ⊥ x轴于H，则x F = x B =-3，x H = x D3=t.由四边形A E3 C D3为平行四边形，可证△A D3 H≌△C E3 F.可得AH=CF= 32.∴ t-(-6)= 32，∴ t=- 92.∴D3 (- 92，94)．综上，点D的坐标为D1 ( 32，- 154)，D2 (- 152，- 154)，D3 (- 92，94)3.【答案】（1）解：在矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴A（4，0），C（0，3），∵抛物线经过O、A两点，∴抛物线顶点坐标为（2，3），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，把A点坐标代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣34，∴抛物线解析式为y=﹣34（x﹣2）2+3，即y=﹣34x2+3x（2）解：△EDB为等腰直角三角形．证明：由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，∴△EDB为等腰直角三角形（3）解：存在．理由如下：设直线BE解析式为y=kx+b，把B、E坐标代入可得{3=4k+b1=b，解得{k=1 2b=1，∴直线BE解析式为y= 12x+1，当x=2时，y=2，∴F（2，2），①当AF 为平行四边形的一边时，则M 到x 轴的距离与F 到x 轴的距离相等，即M 到x 轴的距离为2，∴点M 的纵坐标为2或﹣2， 在y=﹣ 34 x 2+3x 中，令y=2可得2=﹣ 34 x 2+3x ，解得x= 6±2√33， ∵点M 在抛物线对称轴右侧，∴x ＞2，∴x= 6+2√33，∴M 点坐标为（6+2√33，2）；在y=﹣ 34 x 2+3x 中，令y=﹣2可得﹣2=﹣ 34 x 2+3x ，解得x= 6±2√153， ∵点M 在抛物线对称轴右侧，∴x ＞2，∴x= 6+2√153，∴M 点坐标（6+2√153，﹣2）；②当AF 为平行四边形的对角线时，∵A （4，0），F （2，2）， ∴线段AF 的中点为（3，1），即平行四边形的对称中心为（3，1）， 设M （t ，﹣ 34 t 2+3t ），N （x ，0），则﹣ 34 t 2+3t=2，解得t= 6±2√33， ∵点M 在抛物线对称轴右侧，∴x ＞2，∵t ＞2，∴t= 6+2√33，∴M 点坐标为（6+2√33，2）；综上满足条件的点M ，其坐标为（6+2√33 ，2）或（ 6+2√153，﹣2）5. 【答案】（1）解：由y=ax 2+bx ﹣3得C （0．﹣3），∴OC=3，∵OC=3OB ，∴OB=1，∴B （﹣1，0），把A （2，﹣3），B （﹣1，0）代入y=ax 2+bx ﹣3得 {4a +2b −3=−3a −b −3=0，∴ {a =1b =−2 ，∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3（2）解：设连接AC ，作BF ⊥AC 交AC 的延长线于F ，∵A （2，﹣3），C （0，﹣3），∴AF ∥x 轴，∴F （﹣1，﹣3），∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D （0，m ），则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC ，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D 1（0，1），D 2（0，﹣1）（3）解：设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a﹣1|=3，∴a=3或a=﹣2，∴M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M（0，﹣3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．参考答案（2）1.解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣，0），∴，解得：，∴抛物线F的解析式为y＝2x+x．（2）△AA′B是等边三角形．由题意，得解得：，．∴A（﹣，），B（，2）．如图1，过点A分别作AC⊥x轴，AD⊥A′B，垂足分别为C，D．∴AC＝，OC＝在Rt△AOC中，OA＝＝．∵点A′与点A关于原点对称∴A′（，﹣），AA′＝．∵B（，2）∴A′B＝2﹣（﹣）＝又∵A（﹣，），B（，2），∴AD＝，BD＝．在Rt△ABD中; AB＝＝．∴AA′＝A′B＝AB ∴△AA′B是等边三角形；（3）存在，理由如下：（i）如图2，当A′B为对角线时，有x﹣，y＝，解得：x ＝2y ＝，此时，点P 的坐标为（2，）；（ii ）如图2，当AB 为对角线时，有x ＝﹣，y ﹣＝×2．则x ＝﹣，y ＝．此时点P 的坐标是（﹣，）；（iii ）如图2，当AA ′为对角线时，有x ＝﹣，y+2＝﹣．则x ＝﹣，y ＝﹣2．此时点P 的坐标是（﹣，﹣2）；综上所述，符合条件的点P 的坐标是（2，）或（﹣，）或（﹣，﹣2）．2.（1）解：∵抛物线y=ax 2+bx ﹣2的对称轴是直线x=1，A （﹣2，0）在抛物线上，∴ {−b2a =1(−2)2a −2b −2=0，解得： {a =14b =−12 ，抛物线解析式为y= 14 x 2﹣ 12x ﹣2；（2）解：令y= 14 x 2﹣ 12 x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B （4，0），C （0，﹣2），设BC 的解析式为y=kx+b ，则 {4k +b =0b =−2，解得：{k =12b =−2 ，∴y= 12 x ﹣2，设D （m ，0）， ∵DP ∥y 轴，∴E （m ， 12 m ﹣2），P （m ， 14 m 2﹣ 12 m ﹣2）， ∵OD=4PE ，∴m=4（ 14 m 2﹣ 12 m ﹣2﹣ 12 m+2），∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，74），E（5，12），∴四边形POBE的面积=S△OPD ﹣S△EBD= 12×5×74﹣12× 1×12= 338；（3）解：存在，设M（n，12n﹣2），①以BD为对角线，如图1，∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，∴n=4+ 12，∴M（92，14），∵M，N关于x轴对称，∴N（92，﹣14）；②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+DH2=DM2，即（12n﹣2）2+（n﹣5）2=12，∴n1=4（不合题意），n2=5.6，∴N（4.6，310），同理（12n﹣2）2+（4﹣n）2=1，∴n1=4+ 2√55（不合题意，舍去），n2=4﹣2√54，∴N（5﹣2√55，√55），③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2，即（12n﹣2）2+（n﹣4）2=12，∴n1=4+ 2√55，n2=4﹣2√54（不合题意，舍去），∴N（5+ 2√55，√55），综上所述，当N（92，﹣14）或（4.6，310）或（5﹣2√55，√55）或（5+ 2√55，√55），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．3.【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点(0，0)和( −√33，0)，∴{c=013−√33b+c=0，解得：{b=√33c=0，∴抛物线F的解析式为y＝x2+√33x；（2）解：将y =√33 x+m代入y＝x2+√33x，得：x2＝m，解得：x1=−√m，x2=√m，∴y1=−13√3m+ m，y2=13√3m+ m，∴y2﹣y1＝( 13√3m+ m)﹣( −13√3m+ m) =23√3m (m＞0)（3）解：∵m =43，∴点A的坐标为( −2√33，23)，点B的坐标为( 2√33，2)，∵点A′是点A关于原点O的对称点，∴点A′的坐标为( 2√33，−23)；①△AA′B为等边三角形，理由如下：∵A( −2√33，23)，B( 2√33，2)，A′( 2√33，−23)，∴AA′= √(−2√33−2√33)2+[23−(−23)]2=83，AB= √(−2√33−2√33)2+(23−2)2=83，A′B= √(2√33−2√33)2+[2−(−23)]2=83，∴AA′＝AB＝A′B，∴△AA′B为等边三角形；②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为(x，y)．(i)当A′B为对角线时，有{x−2√33=2√33×2y=23，解得：{x=2√3y=23，∴点P 的坐标为(2 √3，23 )； (ii)当AB 为对角线时，有 {x =−2√33y −23=23+2 ，解得： {x =−2√33y =103， ∴点P 的坐标为( −2√33，103)； (iii)当AA ′为对角线时，有 {x =−2√33y +2=23−23，解得： {x =−2√33y =−2，∴点P 的坐标为( −2√33，﹣2)． 综上所述：平面内存在点P ，使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，点P 的坐标为(2 √3，23 )、( −2√33，103 )和( −2√33，﹣2)． 4.【答案】（1）解：∵抛物线与y 轴交于点C （0，﹣ 83 ）． ∴a ﹣3=﹣ 83 ，解得：a= 13 ， ∴y= 13 （x+1）2﹣3当y=0时，有 13 （x+1）2﹣3=0， ∴x 1=2，x 2=﹣4，∴A （﹣4，0），B （2，0）（2）解：∵A （﹣4，0），B （2，0），C （0，﹣ 83 ），D （﹣1，﹣3） ∴S 四边形ABCD =S △ADH +S 梯形OCDH +S △BOC = 12 ×3×3+ 12 （ 83 +3）×1+ 12 ×2× 83 =10． 从面积分析知，直线l 只能与边AD 或BC 相交，所以有两种情况： ①当直线l 边AD 相交与点M 1时，则 S ΔAHM 1 = 310 ×10=3， ∴ 12 ×3×（﹣ y M 1 ）=3∴ y M 1 =﹣2，点M 1（﹣2，﹣2），过点H （﹣1，0）和M 1（﹣2，﹣2）的直线l 的解析式为y=2x+2．②当直线l 边BC 相交与点M 2时，同理可得点M 2（ 12 ，﹣2），过点H （﹣1，0）和M2（ 12 ，﹣2）的直线l 的解析式为y=﹣ 43 x ﹣ 43 ． 综上所述：直线l 的函数表达式为y=2x+2或y=﹣ 43 x ﹣ 43（3）解：设P （x 1 ， y 1）、Q （x 2 ， y 2）且过点H （﹣1，0）的直线PQ 的解析式为y=kx+b ， ∴﹣k+b=0， ∴b=k ， ∴y=kx+k ． 由 {y =kx +ky =13x 2+23x −83， ∴ 13x 2 +（ 23 ﹣k ）x ﹣ 83 ﹣k=0， ∴x 1+x 2=﹣2+3k ，y 1+y 2=kx 1+k+kx 2+k=3k 2 ，∵点M 是线段PQ 的中点，∴由中点坐标公式的点M （ 32 k ﹣1， 32 k 2）． 假设存在这样的N 点如图，直线DN ∥PQ ，设直线DN 的解析式为y=kx+k ﹣3 由 {y =kx +k −3y =13x 2+23x −83，解得：x 1=﹣1，x 2=3k ﹣1，∴N （3k ﹣1，3k2﹣3）∵四边形DMPN 是菱形，∴DN=DM ，∴（3k ）2+（3k 2）2=（ 3k2 ）2+（ 32k 2+3 ）2 ， 整理得：3k 4﹣k 2﹣4=0，∵k 2+1＞0，∴3k 2﹣4=0， 解得k=±2√33 ，∵k ＜0，∴k=﹣ 2√33， ∴P （﹣3 √3 ﹣1，6），M （﹣ √3 ﹣1，2），N （﹣2 √3 ﹣1，1） ∴PM=DN=2 √7 ，∵PM ∥DN ，∴四边形DMPN 是平行四边形， ∵DM=DN ，∴四边形DMPN 为菱形，∴以DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形，此时点N 坐标（﹣2 √3 ﹣1，1）．参考答案（3）1.（1）抛物线对称轴为直线x ＝＝﹣1，A （﹣3，0）∴B （1，0），∴AB ＝4∵S △ABC ＝AB •OC ＝6∴OC ＝3∴C （0，﹣3），c ＝﹣3 将B （1，0）代入y ＝ax2+2ax ﹣3得a+2a ﹣3＝0解得：a ＝1∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3（2）y轴上存在点N，使四边形PMQN为矩形．连接PN，MN，MN交PQ于点S，设N（0，n）∵四边形PMQN为矩形∴MN＝PQ，SP＝SQ＝SM＝SN∵点M（﹣1，﹣4），点N在y轴上∴S（，）由整理得x2+（2﹣k）x﹣k＝0设方程两根为x P，x Q，则x P+x Q＝k﹣2，∵S（，）也为PQ中点∴（x P+x Q）＝，∴x P+x Q＝﹣1，即k﹣2＝﹣1，解得：k＝1∴直线PQ的解析式为：y＝x﹣2解方程组得：，；∴P（，），Q（，）∴n﹣4＝（）+（）＝﹣5 ∴n＝﹣1∴点N坐标为（0，﹣1）时，四边形PMQN为矩形．2.（1）解：①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．∴点C的坐标是（0，4）把A、C两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c得，{4=−16−4b+c4=c，解得{b=−4c=4；②四边形AOBD是平行四边形；理由如下：由①得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+4，∴顶点D的坐标为（﹣2，8），过D 点作DE ⊥AB 于点E ，则DE=OC=4，AE=2，∵AC=4，∴BC= 12 AC=2，∴AE=BC ． ∵AC ∥x 轴，∴∠AED=∠BCO=90°，∴△AED ≌△BCO ，∴AD=BO ．∠DAE=∠OBC ，∴AD ∥BO ，∴四边形AOBD 是平行四边形．（2）解：存在，点A 的坐标可以是（﹣2 √2 ，2）要使四边形AOBD 是矩形；则需∠AOB=∠BCO=90°，∵∠ABO=∠OBC ， ∴△ABO ∽△OBC ，∴ BCOB =BOAB ，又∵AB=AC+BC=3BC ，∴OB= √3 BC ， ∴在Rt △OBC 中，根据勾股定理可得：OC= √2 BC ，AC= √2 OC ， ∵C 点是抛物线与y 轴交点，∴OC=c ，∴A 点坐标为（﹣ √2 c ，c ）， ∴顶点横坐标 b2 =﹣ √22c ，b=﹣ √2 c ，顶点D 纵坐标是点A 纵坐标的2倍，为2c ，顶点D 的坐标为（﹣ √22c ，2c ）∵将D 点代入可得2c=﹣（﹣ √22c ）2+ √2 c • √22c+c ，解得：c=2或者0，当c 为0时四边形AOBD 不是矩形，舍去，故c=2；∴A 点坐标为（﹣2 √2 ，2）． 3.【答案】 （1）解：直线y=x-3与坐标轴交于A 、B 两点， 则A （3，0）B （0，-3），把B 、E 点坐标代入二次函数方程，解得： 抛物线的解析式y= 14 x 2-x-3…①，则：C （6，0）； （2）解：符合条件的有M 和M ′，如下图所示，当∠MBE=75°时，∵OA=OB ，∴∠MBO=30°，此时符合条件的M 只有如图所示的一个点，MB 直线的k 为- √3 ，所在的直线方程为：y=- √3 x-3…②， 联立方程①、②可求得：x=4-4 √3 ，即：点M 的横坐标4-4 √3 ；当∠M ′BE=75°时，∠OBM ′=120°，直线MB 的k 值为- √33，其方程为y=- √33x-3，将MB 所在的方程与抛物线表达式联立，解得：x= 12−4√33， 故：即：点M 的横坐标4-4 √3 或 12−4√33． （3）解：存在．①当BC 为矩形对角线时，矩形BP ′CQ ′所在的位置如图所示， 设：P ′（m ，n ），n=- 14 m 2-m-3…③，P ′C 所在直线的k 1= nm−6 ， P ′B 所在的直线k 2=n+3m ，则：k 1•k 2=-1…④，③、④联立解得：m=2 √6 ，则P ′（2 √6 ，3-2 √6 ）， 则Q ′（6-2 √6 ，2 √6 -3）；②当BC 为矩形一边时，情况一：矩形BCQP 所在的位置如图所示，直线BC 所在的方程为：y= 12 x-3， 则：直线BP 的k 为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，联立①⑤解得点P （-4，5），则Q （2，8），情况二：矩形BCP ″Q ″所在的位置如图所示， 此时，P ″在抛物线上，其指标为：（-10，32）．．故：存在矩形，点Q 的坐标为：（6-2 √6 ，2 √6 -3）或（2，8）或（-10，32）． 4.（1）解：令y=0，则ax 2﹣2ax ﹣3a=0，解得x 1=﹣1，x 2=3 ∵点A 在点B 的左侧，∴A （﹣1，0），如图1，作DF ⊥x 轴于F ，∴DF ∥OC ，∴OF OA =CD AC ，∵CD=4AC ，∴OF OA =CDAC =4，∵OA=1，∴OF=4， ∴D 点的横坐标为4，代入y=ax 2﹣2ax ﹣3a 得，y=5a ，∴D （4，5a ）， 把A 、D 坐标代入y=kx+b 得{−k +b =04k +b =5a ，解得{k =a b =a ，∴直线l 的函数表达式为y=ax+a ．（2）解：设点E （m ，a （m+1）（m ﹣3）），y AE =k 1x+b 1 ， 则{a(m +1)(m −3)=mk 1+b 10=−k 1+b，解得：{k 1=a(m −3)b 1=a(m −3)， ∴y AE =a （m ﹣3）x+a （m ﹣3），∴S △ACE =12（m+1）[a （m ﹣3）﹣a]=a2（m ﹣32）2﹣258a ，∴有最大值﹣258a=54，∴a=﹣25；（3）解：令ax 2﹣2ax ﹣3a=ax+a ，即ax 2﹣3ax ﹣4a=0，解得x 1=﹣1，x 2=4，∴D （4，5a ），∵y=ax 2﹣2ax ﹣3a ，∴抛物线的对称轴为x=1， 设P 1（1，m ），①若AD 是矩形的一条边，由AQ ∥DP 知x D ﹣x P =x A ﹣x Q ， 可知Q 点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q （﹣4，21a ），m=y D +y Q =21a+5a=26a ，则P （1，26a ），∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD 2+PD 2=AP 2 ， ∵AD 2=[4﹣（﹣1）]2+（5a ）2=52+（5a ）2 ， PD 2=[4﹣（﹣1）]2+（5a ）2=52+（5a ）2 ，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a ）2+（1﹣4）2+（26a ﹣5a ）2=（﹣1﹣1）2+（26a ）2 ， 即a 2=17，∵a ＜0，∴a=﹣√77，∴P 1（1，﹣26√77）．②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为（32，5a2），Q （2，﹣3a ）， m=5a ﹣（﹣3a ）=8a ，则P （1，8a ），∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠APD=90°， ∴AP 2+PD 2=AD 2 ， ∵AP 2=[1﹣（﹣1）]2+（8a ）2=22+（8a ）2 ， PD 2=（4﹣1）2+（8a ﹣5a ）2=32+（3a ）2 ， AD 2=[4﹣（﹣1）]2+（5a ）2=52+（5a ）2 ，∴22+（8a ）2+32+（3a ）2=52+（5a ）2 ， 解得a 2=14，∵a ＜0，∴a=﹣12， ∴P 2（1，﹣4）．综上可得，P 点的坐标为P 1（1，﹣4），P 2（1，﹣26√77）． 参考答案（4）1.【答案】 （1）解：∵抛物线 y =x 2+bx +c 的图象经过点A （1，0），B （﹣3，0），∴ {1+b +c =09−3b +c =0 ，∴ {b =2c =−3，∴抛物线的解析式为 y =x 2+2x −3（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为 y =x 2+2x −3 ，∴C （0，﹣3），抛物线的顶点D （﹣1，﹣4），∴E （﹣1，0），设直线BD 的解析式为y=mx+n ，∴ {−3m +n =0−m +n =−4 ，∴ {m =−2n =−6，∴直线BD 的解析式为y=﹣2x ﹣6，设点P（a ，﹣2a ﹣6），∵C （0，﹣3），E （﹣1，0），根据勾股定理得，PE 2=（a+1）2+（﹣2a ﹣6）2 ， PC 2=a 2+（﹣2a ﹣6+3）2 ， ∵PC=PE ，∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a 2+（﹣2a ﹣6+3）2 ， ∴a=﹣2，∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，∴P （﹣2，﹣2）（3）解：如图，作PF ⊥x 轴于F ，∴F （﹣2，0），设M （d ，0），∴G （d ，d 2+2d ﹣3），N （﹣2，d 2+2d ﹣3），∵以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有FM=MG ，∴|d+2|=|d 2+2d ﹣3|，∴d= −1±√212或d=−3±√132 ，∴点M 的坐标为（−1+√212，0），（−1−√212，0），（−3+√132，0），（ −3−√132，0）．2.【答案】（1）解：将A 、B 点坐标代入函数解析式，得{1−b +c =09+3b +c =0，解得{b =−2c =−3， 抛物线的解析式为：y =x 2−2x −3 （2）解：将抛物线的解析式化为顶点式，得 y=（x ﹣1）2﹣4，M 点的坐标为（1，﹣4），M ′点的坐标为（1，4），设AM ′的解析式为y=kx+b ，将A 、M ′点的坐标代入，得{−k +b =0k +b =4，解得{k =2b =2，AM ′的解析式为y=2x+2，联立AM ′与抛物线，得{y =x +2y =x 2−2x −3，解得{x 1=−1y 1=0，{x 2=5y 2=12 C 点坐标为（5，12）．S △ABC=12×4×12=24（3）解：存在过A ，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形，由ABPQ 是正方形，A （﹣1，0）B （3，0），得： P （1，﹣2），Q （1，2），或P （1，2），Q （1，﹣2），①当顶点P （1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y =a(x −1)2−2，将A 点坐标代入函数解析式，得：a(−1−1)2−2=0，解得a=12，抛物线的解析式为y =12(x −1)2−2，②当P （1，2）时，设抛物线的解析式为：y =a(x −1)2+2，将A 点坐标代入函数解析式，得：a(−1−1)2+2=0，解得a=﹣12，抛物线的解析式为：y=−12(x−1)2+2，综上所述：y=12(x−1)2−2或y=−12(x−1)2+2，使得四边形APBQ为正方形。

坐标系中四边形存在性问题5题解析版一、解答题1．如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．（1）求点E和点D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）D（-6,4），E（-3,2）；（2）点N的坐标为(3,2)或(-9,2)或(-3,6)【分析】（1）根据平行四边形的性质即可得到点D的坐标，过点E作EF⊥OC于F，EH⊥C D与H，则四边形EFCH是矩形，利用矩形的性质求出点E的坐标；（2）根据平行四边形对角顶点的横、纵坐标的和分别为零求解即可．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），∴OA=OB=3，OC=4，CD⊥OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=6，CD∥AB，∴点D的坐标为（-6,4）；过点E作EF⊥OC于F，EH⊥C D与H，则四边形EFCH是矩形，∵点E是线段OD的中点，∴CE=OE=DE，∴CH=DH=3，CF=OF=2，∴点E的坐标为（-3,2）；（2）存在点N ，使以C 、D 、E 、N 为顶点的四边形是平行四边形∵C （0，4），D （-6,4），E （-3,2），∴当点N 与点D 为对角顶点时，N (3,2)；当点N 与点C 为对角顶点时，N (-9,2)；当点N 与点E 为对角顶点时，N (-3,6)；∴点N 的坐标为(3,2)或(-9,2)或(-3,6)．【点睛】此题考查了平行四边形的性质及判定，矩形的判定定理及性质定理，熟记各定理是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系xOy ，四边形OBCD 是正方形，()0,4D ，点E 是OB 延长线上的一点，M 是线段OB 上一动点（不包括O 、B ），作MN DM ⊥，交CBE ∠的平分线于点N ．(1)直接写出C 点的坐标；(2)求证：MD MN =；(3)如图2，若()3,0M ，在OD 上找一点P ，使四边形MNCP 是平行四边形，求点N 的坐标．【答案】(1)()4,4C (2)见解析(3)点N 的坐标为()7,3【分析】（1）由正方形的性质结合点D 的坐标可得出CD y ⊥轴，CB x ⊥轴，4CD CB OD ===，进而可得出点C 的坐标；（2）在OD 上截取OH OM =，连接HM ，则DH MB =，由OH OM =可得出45OHM ∠=︒，进而可得出135DHM ∠=︒，由角平分线的定义及邻补角互补可求出135MBN ∠=︒，进而可得出DHM MBN ∠=∠，利用同角的余角相等可得出MDH NMB ∠=∠，可证出()ASA DHM MBN ≌，再利用全等三角形的性质可证MD MN =；（3）作NF x ⊥轴，垂足为点F ，易证()AAS DMO MNF ≌，利用全等三角形的性质可得出MF ，NF 的长度，进而可得出点N 的坐标．【详解】（1）解： 四边形OBCD 是正方形，()0,4D ，∴CD y ⊥轴，CB x ⊥轴，4CD CB OD ===，∴()4,4C ．（2）证明：如图，在OD 上截取OH OM =，连接HM ，OBCD 是正方形，∴OD OB =，OH OM =，90HOM ∠=︒，∴OD OH OB OM -=-即DH MB =，45OHM ∠=︒，∴180135DHM OHM ∠=︒-∠=︒，BN 平分CBE ∠，18090CBE OBC ∠=︒-∠=︒，45NBE ∴∠=︒，180135MBN NBE DHM ∴∠=︒-∠=︒=∠，MN DM ⊥ ，90DMO NMB ∴∠+∠=︒，又90DMO MDH ∠+∠=︒ ，MDH NMB ∴∠=∠，在DHM △和MBN △中，MDH NMB DH MBDHM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA DHM MBN ≌，∴MD MN =．（3）解：作NF x ⊥轴，垂足为点F ，90MFN =∴∠︒，90FMN MNF ∴∠+∠=︒，MN DM ⊥，90DMO FMN ∴∠+∠=︒，DMO MNF ∴∠=∠，由（2）可知DM MN =，在DMO 和MNF 中，90DOM MFN DMO MNFDM MN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS DMO MNF ∴ ≌，()0,4D ，()3,0M ，∴4MF OD ==，3NF OM ==，437OF ∴=+=，∴点N 的坐标为()7,3．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线、余角及补角，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．3．综合与探究如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，点B 在x 轴负半轴上，点D 在第一象限，A ，C 两点的坐标分别为（0，4），（3，0），边AD 的长为6．。