2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3 课时跟踪检测(十二)事件的相互独立性Word版 含解析

课时跟踪检测（十二） 合情推理一、题组对点训练对点练一 数(式)中的归纳推理1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n等于( )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1解析：选B 由a 1＝1，S 2＝22·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝13，由a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝16，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4得a 4＝110，…，猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B.2．将正整数排列如下图： 12 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …则2 018出现在 A ．第44行第81列 B ．第45行第81列 C ．第44行第82列D ．第45行第82列解析：选D 由题意可知第n 行有2n －1个数，则前n 行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936<2 018<2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2解析：选B 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n －1(n ∈N *)项的和，其首项为n ，右边是项数的平方，故第n 个等式首项为n ，共有2n －1项，右边是(2n －1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.4．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋13＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33.同理f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝33.证明：设x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3(3x1＋3x2)＋3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2)＋2×3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2＋23)＝33.故猜想成立．对点练二归纳推理在几何中的应用5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：选A 由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．6．如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2个图形共有________个顶点．解析：第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；……；第n 个图有(n ＋3)×(n ＋2)个顶点． 第n －2个图有(n ＋1)×n ＝(n 2＋n )个顶点． 答案：n 2＋n7．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮. 现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上面规律，得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .对点练三 类比推理8．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，且b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 9．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中，平面DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故S △AEC S △BEC 类比成V A ­CDEV B ­CDE.平面中的线段长类比到空间为面积，故ACBC 类比成S △ACD S △BDC .故有V A ­CDE V B ­CDE ＝S △ACDS △BDC. 答案：V A ­CDE V B ­CDE ＝S △ACDS △BDC10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．解：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，证明如下：如图②，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.二、综合过关训练1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 018的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：选D 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又2 018＝4×504＋2， 所以72 018的末两位数字与72的末两位数字相同，为49.2．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2) B ．(1)，(3) C ．(2)，(4)D ．(1)，(4)解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)．3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C 记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225.4．将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记a ij 表示第i 行和第j 列的数，若a ij＝2 018，则i ＋j 的值为( )第1 列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行2 4 6 8 第2行 1614 12 10 第3行18 20 22 24 第4行 3230 28 26 第5行34 36 38 40 ………………A ．257B ．256C ．255D ．254解析：选C 由表所反映的信息来看，第n 行的最大偶数为S n ＝8n (n ∈N *)，则8(i －1)<2 018≤8i ，由于i ∈N *，解得i ＝253；另一方面，奇数行的最大数位于第5列，偶数行的最大数位于第1列，第252行最大数为8×252＝2 016，此数位于第252行第1列，因此2 018位于第253行第2列，所以i ＝253，j ＝2，故i ＋j ＝253＋2＝255，故选C.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 答案：T 8T 4T 12T 86．如图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC .若类比该命题，如图(2)，三棱锥A ­BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是不是真命题．解：命题是：三棱锥A ­BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD .此命题是一个真命题．证明如下：在图(2)中，延长DM 交BC 于E ，连接AE ，则有DE ⊥BC . 因为AD ⊥平面ABC ， 所以AD ⊥AE .又AM ⊥DE ，所以AE 2＝EM ·ED .于是S 2△ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .7．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义； (4)已知a n ＝9 900，问a n 是数列第几项？解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *. (3)a 10＝11×12＝132.a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，所以n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列．。

课时作业(十八)1．独立重复试验应满足的条件： ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果之一； ③每次试验发生的机会是均等的； ④各次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③ C ．①②③D ．①②④ 答案 C2．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于( )A.316B.4243C.13243D.80243答案 D解析 P (X ＝2)＝C 26×(13)2×(1－13)6－2＝C 26×(13)2×(23)4＝80243.3．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A.227B.19C.29D.127 答案 B解析 每种颜色的球被抽取的概率为13，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C 13(13)3＝3×127＝19.4．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p kB ．(1－p )k·pn －kC ．(1－p )kD ．C kn (1－p )k·p n －k答案 D5．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)的值为( )A ．C 23(14)2×34B ．C 23(34)2×14C ．(14)2×34D ．(34)2×14答案 C解析 当ξ＝3表示前2次测出的都是次品，第3次为正品，则P (ξ＝3)＝(14)2×34.6．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5答案 B解析 由题意可知质点P 在5次运动中向右移动2次，向上移动3次，且每次移动是相互独立的，即向右移动的次数ξ～B (5，12)，∴P (ξ＝2)＝C 25(12)2(12)3.7．(2015·合肥高二检测)在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A.13B.25C.56D.34 答案 A解析 设事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以1－p＝23，p ＝13. 8．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.答案10243解析 任何一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B (5，13)，即有P (ξ＝k )＝C k 5(13)k×(23)5－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.∴P (ξ＝4)＝C 45(13)4×(23)1＝10243.9．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．答案 0.947 7解析 至少3人被治愈的概率为C 34(0.9)3·0.1＋(0.9)4＝0.947 7.10．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立)，则一天内至少3人同时上网的概率为________．答案2132解析 记A r (r ＝0,1,2，…，6)为“r 个人同时上网”这个事件，则其概率为P (A r )＝C r60.5r(1－0.5)6－r＝C r 60.56＝164C r 6，“一天内至少有3人同时上网”即为事件A 3∪A 4∪A 5∪A 6，因为A 3，A 4，A 5，A 6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“一天内至少有3人同时上网”的概率为P ＝P (A 3∪A 4∪A 5∪A 6)＝P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＋P (A 6)＝164(C 36＋C 46＋C 56＋C 66)＝164×(20＋15＋6＋1)＝2132.11．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.1×0.93； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14. 其中正确结论的序号是________． 答案 ①③解析 由题意可知①③正确，②不正确，因为恰好击中目标3次的概率P ＝C 340.93×0.1. 12．2015年初，一考生参加北京大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解析 (1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A i )＝34，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝34×34×14＝964.(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故P (B )＝C 34×(34)3×14＋C 44×(34)4＝189256. 13．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种的费用，写出ξ的分布列．解析 补种费用ξ的分布列为点评 每个坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝8，所以每个坑不需要补种的概率为p ＝1－18＝78.利用3次独立重复试验的公式求解即可．14．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23.(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率． 解析 (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件发生的概率为C 15·23·(13)4＋(13)5.所以所求的概率为1－[C 15·23·(13)4＋(13)5]＝232243.(2)当ξ＝4时记事件为A ，则P (A )＝C 13×23×(13)2×23＝427.当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B ，则P (B )＝C 14×23×(13)3＋(13)4＝19. 所以所求概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝427＋19＝727.15．如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A 投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是12.记小球遇到第n 行第m 个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P (n ，m )．(1)求P (4,1)，P (4,2)的值，并猜想P (n ，m )的表达式(不必证明)；(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，1≤x ≤3，x －3，3<x ≤6，设小球遇到第6行第m 个障碍物(从左至右)上顶点时，得到的分数为ξ＝f (m )，试求ξ的分布列．解析 (1)P (4,1)＝C 03(12)3＝18，P (4,2)＝C 13(12)3＝38，猜想P (n ，m )＝C m －1n －1(12)n －1.(2)ξ＝3,2,1，P (ξ＝3)＝P (6,1)＋P (6,6)＝116，P (ξ＝2)＝P (6,2)＋P (6,5)＝516，P (ξ＝1)＝P (6,3)＋P (6,4)＝58.故ξ的分布列为►16．一批玉米种子，其发芽率是0.8.问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？(lg2＝0.301 0)解析 记事件A ＝“种一粒种子，发芽”， 则P (A )＝0.8，P (A －)＝1－0.8＝0.2.设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.因为每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则P (B －)＝C 0n ·0.80·0.2n ＝0.2n.所以P (B )＝1－P (B －)＝1－0.2n .由题意有1－0.2n>98%，所以0.2n<0.02，两边取对数得n lg0.2<lg0.02.即n (lg2－1)<lg2－2.所以n >lg2－2lg2－1≈2.43，且n ∈N ，所以n ≥3.故每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.17．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．解析 记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1)∵C ＝A ·B ＋A ·B ，∴P (C )＝P (A ·B ＋A ·B )＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)∵D ＝A ·B ，∴P (D )＝P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝0.5×0.4＝0.2. ∴P (D )＝1－P (D )＝0.8.(3)ξ～B (3,0.8)，ξ的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝0.23＝0.008，P (ξ＝1)＝C 13×0.8×0.22＝0.096， P (ξ＝2)＝C 23×0.82×0.2＝0.384，P (ξ＝3)＝0.83＝0.512.ξ的分布列为1．(2013·江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能 答案 B解析 ∵p 1＝1－(99100)10，p 2＝1－(C 299C 2100)5＝1－(98100)5，∴p 1<p 2.2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57×(13)2×(23)5B ．C 47×(23)2×(13)5C ．C 27×(23)2×(13)5D ．C 37×(13)2×(23)5答案 C3．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是( )A ．(99100)6B ．0.01C.C 16100(1－1100)5D ．C 26(1100)2(1－1100)4答案 C4．抛掷三个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数X ～( )A ．B (54，427) B ．B (52，1927)C ．B (54，1927)D ．B (54，1724)答案 C5．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n答案 D6．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B7．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可以成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A ．(23，1)B ．(13，1)C ．(0，23)D ．(0，13)答案 B8．某处有水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的可能性是110，随机变量X 表示同时被打开的水龙头的个数，则P (X ＝3)＝________.答案8110 0009．一个袋中有5个白球，3个红球，现从袋中每次取出1个球，取出后记下球的颜色然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P (ξ＝12)＝________.(写出表达式不必算出最后结果)答案 C 911(38)9(58)2·3810．某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进了3球的概率为________．(用数字作答)答案1512811．A ，B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，若某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率．解析 P ＝(12)5×2＋2×C 45(12)5(12)2＝116＋2×5×(12)7＝964.。

阶段质量检测（一）计数原理（时间120分钟满分150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( ）A．7 B．64C．12 D．81解析：选C 根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种．2．若（1＋2)4＝a＋b错误!(a，b为有理数），则a＋b＝（) A．33 B．29C．23 D．19解析：选B ∵(1＋错误!）4＝C错误!（错误!）0＋C错误!（错误!)1＋C错误!（错误!）2＋C错误!(错误!)3＋C错误!（错误!)4＝1＋4错误!＋12＋8错误!＋4＝17＋12错误!，由已知,得17＋12错误!＝a＋b错误!，∴a＋b＝17＋12＝29．3．(1－x)10展开式中x3项的系数为( )A．－720 B．720C．120 D．－120解析：选D 由T r＋1＝C错误!（－x)r＝（－1）r C错误!x r，因为r＝3，所以系数为（－1)3C错误!＝－120．4．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有( ）A．8种B．10种C．12种D．32种解析：选B 此人从A到B,路程最短的走法应走两纵3横，将纵用0表示,横用1表示,则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C错误!＝10种．5．已知（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若a0＋a1＋a2＋…＋a n＝16,则自然数n等于（)A．6 B．5C．4 D．3解析：选C 令x＝1,得2n＝16，则n＝4．故选C．6．从0，1,2,3，4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( ）A．300 B．216C．180 D．162解析:选C 由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有C错误!C错误!C错误!A错误!＝108,（2)不选“0”,共有C错误!A错误!＝72，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C．7．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数共有( ) A．12 B．24C．36 D．48解析：选B 第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A错误!种排法，故总的排法有2×2×A错误!＝24种．8．（2－错误!)8展开式中不含x4项的系数的和为（)A．－1 B．0C．1 D．2解析:选B （2－错误!)8展开式的通项为T r＋1＝C错误!·28－r·(－r＝C错误!·28－r·（－1)r·x错误!．由错误!＝4得r＝8．∴展开式中错误!)x4项的系数为C错误!＝1．又(2－错误!）8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1，∴展开式中不含x4项的系数的和为0．9．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2 013是“六合数”）,则“六合数”中首位为2的“六合数"共有（) A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B 依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4．由4、0、0组成3个数分别为400、040、004;由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112．共计：3＋6＋3＋3＝15个．10．已知错误!8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（)A．28B．38C．1或38D．1或28解析：选C T r＋1＝（－a)r C错误!x8－2r,令8－2r＝0⇒r＝4．∴T5＝C错误!（－a）4＝1 120，∴a＝±2．当a＝2时,各项系数的和为（1－2）8＝1;当a＝－2时，各项系数的和为（1＋2）8＝38．11．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0）与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有( ）A．66条B．72条C．74条D．78条解析：选B 先考虑x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有（1,7）(5,5）(7,1），依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C错误!＝66(条），过每一点的切线共有12条,又考虑到直线ax＋by－1＝0不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．12．将二项式错误!8的展开式中所有项重新排成一列,有理式不相邻的排法种数为（)A．A错误!B．A错误!A错误!C．A66A错误!D．A错误!A错误!解析：选C 错误!8展开式的通项公式T r＋1＝C错误!·（错误!)8－r·错误!r＝C r，82r·x错误!，r＝0,1，2，…，8．当错误!为整数时,r＝0，4,8．∴展开式共有9项,其中有有理项3项，先排其余6项有A错误!种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有A错误!种方法．∴共有A错误!A 错误!种排法．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设女生有x人，则C2，8－x·C1x＝30,即错误!·x＝30，解得x＝2或3．答案：2或314．若错误!n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于________．解析：二项式的通项为T r＋1＝C错误!(2x3)n－r·错误!r＝C错误!2n－r·x3n－错误!,令3n－错误!r＝0，即r＝错误!n，而r∈N＊．∴n为7的整数倍，即最小的正数n等于7．答案：715．用数字2，3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个．（用数字作答）解析：因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．答案：1416．将5位志愿者分成3组,其中两组各2人，另一组1人,分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：先分组错误!，再把三组分配乘以A错误!得：错误!·A错误!＝90种．答案：90三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）已知A＝｛x｜1<log2x〈3,x∈N＊｝，B ＝{x｜｜x－6|〈3，x∈N*｝，试问：从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点?解：A＝{3，4,5，6,7｝，B＝{4,5,6，7,8}．从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种,故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．18．（本小题满分12分）已知（1＋2x）n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的5 6 ,试求展开式中二项式系数最大的项．解:二项式的通项为T k＋1＝C错误!（2k）x错误!由题意知展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的错误!，∴错误!解得n＝7．∴展开式中二项式系数最大两项是：T4＝C错误!（2错误!）3＝280x错误!与T5＝C错误!（2错误!）4＝560x2．19．（本小题满分12分）10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上,有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品,除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A错误!＝1 680（或C错误!·A错误!)（种）．(2）分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上,有A2，6种方法,再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A48种方法,共有A错误!·A错误!＝50 400（或C错误!·A错误!）（种)．20．(本小题满分12分）已知错误!n的展开式中，前三项系数成等差数列．(1）求n；(2）求第三项的二项式系数及项的系数;(3)求含x 项的系数．解：（1）∵前三项系数1，错误!C 错误!，错误!C 错误!成等差数列． ∴2·12C 1，n ＝1＋错误!C 错误!，即n 2－9n ＋8＝0． ∴n ＝8或n ＝1(舍）．（2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(错误!)8－r .错误!r ＝错误!r .C 错误!.x 4－错误!r ，r ＝0，1， (8)∴第三项的二项式系数为C 错误!＝28．第三项的系数为错误!2·C 错误!＝7．（3)令4－34r ＝1，得r ＝4， ∴含x 项的系数为错误!4·C 错误!＝错误!．21．(本小题满分12分)如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法?解：分为两类： 第一类：若1,3同色,则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法（与1相同)，4有4种涂法．故N1＝5×4×1×4＝80．第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．故N2＝5×4×3×3＝180种．综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260种．22．（本小题满分12分）7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人,在下列情况下,各有不同站法多少种？（1）两名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；(3）若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：（1)两名女生站在一起有站法A错误!种，视为一种元素与其余5人全排，有A错误!种排法．故有不同站法有A错误!·A错误!＝1 440种．（2）先站老师和女生，有站法A错误!种,再在老师和女生站位的间隔（含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A错误!种．故共有不同站法A错误!·A错误!＝144种．（3）7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A错误!种,而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．故共有不同站法2×错误!学必求其心得，业必贵于专精＝420种．（4)中间和两端是特殊位置，可如下分类求解:①老师站两端之一，另一端由男生站，有A错误!·A错误!·A错误!种站法,②两端全由男生站，老师站除两端和正中间的另外4个位置之一,有A错误!·A 错误!·A错误!种站法．故共有不同站法共有A错误!·A错误!·A错误!＋A 错误!·A错误!·A错误!＝2 112种．。

命题是( )
A．若 a∥b，则 α∥β
B．若 α⊥β，则 a⊥b
C．若 a，b 相交，则 α，β 相交
D．若 α，β 相交，则 a，b 相交
解析：选 D 由已知 a⊥α，b⊥β，若 α，β 相交，a，b 有可能异面．
4．给出命题“方程 x2＋ax＋1＝0 没有实数根”，则使该命题为真命题的 a 的一个值可以是( )
x2＋y2＝12的圆心(0,0)到直线
x＋y＋1＝0
的距离
d＝
1＝ 2
22，等于圆的半径，
所以直线与圆相切，命题正确．
6．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：选 C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．
2．(陕西高考)设 z 是复数， 则下列命题中的假命题是( )
A．若 z2≥0，则 z 是实数
B．若 z2＜0，则 z 是虚数
C．若 z 是虚数，则 z2≥0
D．若 z 是纯虚数，则 z2＜0
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
解析：选 C 对于命题①，设球的半径为 R，则43πR23＝18·43πR3，故体积缩小到原来的18，命题
正确；
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5 和 3,3,3
的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
对于命题③，圆
D．在△ABC 中，若 AB ·BC >0，则 B 为锐角