量子力学1

( x,t) =Φn(x)e
−iEn t h
−iEn t h
于是当粒子处于任意态时的波函数可以写成
Ψ( x,t ) = ∑ nΦn (x)e C
n
——含时薛定谔方程的一般解 含时薛定谔方程的一般解
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∂Ψ=− h ∇ψ +U 2 ih ψ ∂t 2m
2
Ψ( x,t ) = ∑ nΦn (x)e C
n
∗ n ∗ n
−iEn t h
据归一化条件， 据归一化条件，
∫ Ψ ΨdV = ∑ C C ∫ Φ Φ dV = 1 因为： 因为： Φ Φ dV = 1 ∫ 所以有： 所以有： Ψ ΨdV = ∑ C C = ∑ C = 1 ∫
∗ n n
∗ n
n
n
∗
∗ n
2
n
n
n
n
粒子处在各本征态上的概率为： 粒子处在各本征态上的概率为：
(0 < x < a )
4 π 2 π （2）Ψ ( x ,0 ) = ） sin x cos x a a a
(0 < x < a )
求在t时刻粒子的波函数 能量可能值及 时刻粒子的波函数和 求在 时刻粒子的波函数和能量可能值及相应的概率
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解：无限深势阱中的粒子
o
a
2
1）当E>U0时，经典粒子可以完全越过势垒到达 x > 0 ） 的区域，而量子力学结果，粒子在边界处， 的区域，而量子力学结果，粒子在边界处，不光有越 过边界的正传波， 过边界的正传波，亦有反射波 2）当E<U0时，量子力学结论：粒子可进入高于自身 ） 量子力学结论： 能量的区域
2
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ˆΦ E = ∫Φ∗H dV 或
ρn
ρ1 ρ 2 ρ 3 ⋅ ⋅ ⋅ ρ n ⋅ ⋅ ⋅ ρn = Cn
2
ˆ 任意力学量B的平均值为 任意力学量 的平均值为 B = ∫ Φ ∗ BΦ dV
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题1、一粒子在一维无限深势阱中运动，求x2的平均值 、一粒子在一维无限深势阱中运动， 解：本征波函数为
2
32 π 2 h 2 E3 = 2ma 2
1 = 2
W3 = c3
2
1 = 2
因为不是本征态，所以能量无定值。 因为不是本征态，所以能量无定值。 所观察到的能量可能值是它们的平均值： 所观察到的能量可能值是它们的平均值：
5π h 1 1 E = E1 + E3 = 2ma 2 2 2
2
2
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题3、线性谐振子在时间 时刻处在下列波函数所描述 、线性谐振子在时间t=0时刻处在下列波函数所描述 的状态
1 ψ x, 0) = C0ϕ0 ( x) + （ ⋅ ϕ2 ( x) 5 是振子的第n个与时间无关的本征函数 个与时间无关的本征函数。 式中ϕ n (x) 是振子的第 个与时间无关的本征函数。求：
Φ 0(x) Φ 1(x)
1
Φ 2(x)
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Φ 0(x) 2
Φ 1(x) 2
Φ 2(x) 2
四、与经典谐振子的比较 1、基态位置概率分布 •量子： =0处概率最大 •经典：x =0处概率最小 量子： =0处概率最大 经典 经典： =0处概率最小 量子 x=0 1 1 2、n → ∞ En = (n+ )hω = (n+ )hν 2 2 ∆E = hω <<En •能量量子化 → 能量取连续值 能量量子化
t时刻粒子的波函数 t时刻粒子的波函数
Ψ ( x, t ) =
1 2
Ψ 1 ( x, 0) e
i − E1 t h
+
1 2
Ψ 3 ( x, 0) e
2 2 2
i − E3 t h
能量可能取的值为： 能量可能取的值为： E1 =
π h
2
2
2ma 2
3π h E3 = 2ma 2
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纵向 分辨率 达 0.005 n m 电
真 空 或 介 质
子 测 控 及 数 电子云 据 处 理 系 统
系 统
Atomic Resolution STM on Si (111)
横向
分辨率达 0.1 n m
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利用针尖对样品原子或分子 的吸引力来操作或移动原子
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补充： 补充：力学量的平均值 2 ∂Ψ=− h ∇ψ +U 2 含时薛定谔方程： 含时薛定谔方程：h i ψ ∂t 2m ˆ ( 一维定态薛定谔方程 HΦ x) = EΦ x) (
求解定态薛定谔方程， 求解定态薛定谔方程，得到能量算符的本征函数 Φn(x) 体系的第n个定态波函数为 ψn 体系的第 个定态波函数为
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U0
I 0
II III d x
√
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§3 一维谐振子
模型： 模型：固体中的原子在其位置附近的热运动 一、势函数 m—振子质量 振子质量 1 2 1 ω—固有频率 固有频率 U( x) = kx = mω 2 x 2 2 2 x—位移 位移 二、哈密顿量 h2 d 2 1 ˆ + mω 2 x2 H= − 2m dx2 2 三、定态薛定谔方程
h2 d 2 1 2 2 + mω x Φ ( x) = EΦ ( x) − 2 2m dx 2
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1、能量本征值 1 1 En = (n + )hω = ( n + )hν (n = 0,1,2,L) 2 2 • 能量量子化 • 能量间隔 h ν (等间距） 等间距） 1 • 最低能量(零点能) E0 = hω > 0 测不准原理） 最低能量(零点能) （测不准原理） 2 2、本征函数和概率密度（用图形简易描述） 本征函数和概率密度（用图形简易描述）
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入射波
反射波
透射波
量子力学结论：粒子可进入高于自身能量的区域； 量子力学结论：粒子可进入高于自身能量的区域； 如果这一高能区域是有限的， 如果这一高能区域是有限的，则粒子就有可能穿过 势垒而到势垒的另一侧，这一量子现象叫势垒贯穿 势垒而到势垒的另一侧，这一量子现象叫势垒贯穿 或隧道效应 隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、 隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、 超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重 超导器件、 要的应用
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例、一质量为m=1g的小球悬挂在一个小轻弹簧下面做 一质量为 的小球悬挂在一个小轻弹簧下面做 振幅为A=1mm的谐振动。弹簧的倔强系数为 的谐振动。 振幅为 的谐振动 弹簧的倔强系数为k=0.1N/m。 。 按量子理论计算，此弹簧振子的能级间隔多大？ 按量子理论计算，此弹簧振子的能级间隔多大？和它 现有的振动能量对应的量子数n为多少 为多少？ 现有的振动能量对应的量子数 为多少？ 解：振子的圆频率
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题2、 一维无限深势阱的势能函数： 、 一维无限深势阱的势能函数：
处于其中的质量为m的粒子， 处于其中的质量为 的粒子，在t=0时的波函数分别为 的粒子 时的波函数分别为
U = {∞
0
(0 < x < a )
(x ≤ 0, x ≥ a )
2 π π （1） ( x ,0 ) = 2 ） Ψ sin x cos x a a a
上节课主要内容
一维无限深势阱中的粒子 一维无限深势阱中的粒子 势阱
Φ( x )= Φ( x )= nπ 2 sin k x k = a a nπ 2 cos k x k = a a n = 2,4L n =1,3L
n=3 n=4
En =
π 2h2
2m a
2
n , n = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅
ρn = Cn
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Ψ( x,t ) = ∑ nΦn (x)e C
量子数 能量本征值 本征函数 概率
−iEn t h
n
En
Φn
1
n
2
3
⋅⋅⋅ n ⋅⋅⋅
E1 E2 E3 ⋅ ⋅ ⋅ En ⋅ ⋅ ⋅
Φ1 Φ 2 Φ 3 ⋅ ⋅ ⋅ Φ n ⋅ ⋅ ⋅
E1ρ1 + E2ρ2 + E3ρ3 +⋅⋅⋅ + Enρn +⋅⋅⋅= E ρ 能量平均值 E = ∑nn n ρ1 + ρ2 + ρ3 +⋅⋅⋅ + ρn +⋅⋅⋅
2
驻波 a = n ⋅
λ
2
-a/2 a/2
n=2
n=1
1
x
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梯形势： 梯形势：
a x<− 2
∞
U U0
Φ2 ( x ) = Ae−ikx + Beikx
Ce E >U0 Φ3 = −k′ x Ce E <U0 ′ x
′ ikx
Φ1(x) = 0
−a 2
En =
π h
2