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量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
《结构化学》课程作业题第一部分：《量子力学基础和原子结构》思考题与习题1. 经典物理学在研究微观物体的运动时遇到过哪些困难？举例说明之。
如何正确对待归量子论？2. 电子兼具有波动性的实验基础是什么？宏观物体有没有波动性？“任何微观粒子的运动都是量子化的，都不能在一定程度上满足经典力学的要求”，这样说确切吗？3. 怎样描述微观质点的运动状态？为什么？波函数具有哪些重要性质？为什么？4. 简述薛定谔方程得来的线索。
求解该方程时应注意什么？5. 通过一维和三维势箱的解，可以得出哪些重要結論和物理概念？6. 写出薛定谔方程的算符表达式。
你是怎样理解这个表达式的？ *7. 量子力学中的算符和力學量的关系怎样？8. 求解氢原子和类氢离子基态和激发态波函数的思想方法是怎样的？ 9. 通过氢原子薛定谔方程一般解的讨论明确四个量子数的物理意义。
10. 怎样根据波函数的形式讨论“轨道”和电子云图象？为什么不能说p +1和p -1就是分别代表p x 和p y ? 11. 样来研究多电子原子的结构？作过哪些近似？用过哪些模型？试简单说明之。
12. 电子的自旋是怎样提出的？有何实验依据？在研究原子内电子运动时，我们是怎样考虑电子自旋的？*13. 哈特里-福克SCF 模型考虑了一些什么问题？交换能有何意义？14. 怎样表示原子的整体状态？光谱项、光谱支项各代表什么含义？洪特规则、选择定则又是讲的什么内容？15. 原子核外电子排布的规律是什么？现在哪些问题你比过去理解得更加深入了？通过本部分的学习，你对微观体系的运动规律和特点掌握了多少？在思想方法上有何收获？16. 巴尔末起初分析氢原子光谱是用波长）（422-=n n c λ，其中c 为常数，n 为大于2的正整数，试用里德伯常数H R ~求出c 值。
17. 试计算氢原子中电子处于波尔轨道n = 1和n = 4时的动能（单位：J ）和速度（单位：m·s -1）。
18. 已知电磁波中电场强度ε服从波动方程222221t c x ∂∂⋅=∂∂εε，试说明如下函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x t x y νλπεε2c o s 0），（是这个方程的解。
河北科技师范学院物理专业试用量子力学补充习题集数理系物理教研室二OO五年八月第一章 量子力学的实验基础1-1 求证：﹙1﹚当波长较短(频率较高)。
温度较低时，普朗克公式简化为维恩公式；﹙2﹚当波长较长(频率较低)，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。
1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m -2.s -1，假设太阳平均辐射波长是5500A，问这相当于多少光子？1-3 一个质点弹性系统，质量m=1.0kg ，弹性系数k=20N.m -1。
这系统的振幅为0.01m 。
若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n 为何？若n 变为n+1，则能量改变的百分比有多大？1-4 用波长为2790A和2450A 的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v 与1.26v 。
设电子电荷及光速均已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。
1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev 能量，今有波长为2000A 的光投射到铝表面，试问：（1）由此发射出来的光电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？1-6 康普顿实验得到，当x 光被氢元素中的电子散射后，其波长要发生改变，令λ为x 光原来的波长，λ'为散射后的波长。
试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为2sin42θπλλλmc=-'=∆ 其中m 为电子质量，θ为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角）1-7 根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的；（2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。
1-8 能量为15ev 的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。
问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最大是多少？1-10 试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。
第11章量子跃迁11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率．解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7）可知跃迁选择定则为（b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用可求出而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程初始条件为令初始条件（5）亦即以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得以左乘上式两端，并对全空间积分，即得再对t积分，由即得因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为根据选择定则终态量子数必须是即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0．跃迁到各激发态的概率总和为其中a o为Bohr半径．代入式（9）即得电场作用后电子仍留在基态的概率为10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）．解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成以H0表示自由氢原子的Hamilton量，则电场作用过程中总Hamilton量为电子的波函数满足Schr6dinger方程初始条件为为了便于用初等方法求解式（3），我们采取的下列表示形式：的图形如下图所示．注意图11-1式（5）显然也给出同样的结果．利用式（5）．，可以将式（1）等价地表示成下面将在相互作用表象中求解方程（3），即令代入式（3），并用算符左乘之，得到其中一般来说，H'和H0不对易，但因H'仅在因此一H'，代入式（8）即得再利用式（1'），即得初始条件（4）等价于方程（11）满足初始条件的解显然是代入式（7），即得这是方程（3）的精确解．t＞0时（电场作用以后）发现电子仍处于基态的概率为计算中利用了公式利用基态波函数的具体形式容易算出a o为Bohr半径．将上式代入式（15），即得所求概率为这正是上题用微扰论求得的结果，为跃迁到各激发态的概率总和．11.3 考虑一个二能级体系，Hamilton量H0表示为（能量表象）设t＝0时刻体系处于基态，后受到微扰H'作用（α，β，γ为实数）求t时刻体系跃迁到激发态的概率．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.4题】10.4 有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，。
第一章矩阵1.1矩阵的由来、定义和运算方法1.矩阵的由来2.矩阵的定义3.矩阵的相等4.矩阵的加减法5.矩阵和数的乘法6.矩阵和矩阵的乘法7.转置矩阵8.零矩阵9.矩阵的分块1.2行矩阵和列矩阵1.行矩阵和列矩阵2.行矢和列矢3.Dirac符号4.矢量的标积和矢量的正交5.矢量的长度或模6.右矢与左矢的乘积1.3方阵1.方阵和对角阵2.三对角阵3.单位矩阵和纯量矩阵4.Hermite矩阵5.方阵的行列式，奇异和非奇异方阵6.方阵的迹7.方阵之逆8.酉阵和正交阵9.酉阵的性质10.准对角方阵11.下三角阵和上三角阵12.对称方阵的平方根13.正定方阵14.Jordan块和Jordan标准型1.4行列式求值和矩阵求逆1.行列式的展开place展开定理3.三角阵的行列式4.行列式的初等变换及其性质5.利用三角化求行列式的值6.对称正定方阵的平方根7.平方根法求对称正定方阵的行列之值8.平方根法求方阵之逆9.解方程组法求方阵之逆10.伴随矩阵11.伴随矩阵法求方阵之逆1.5线性代数方程组求解1.线性代数方程组的矩阵表示2.用Cramer法则求解线性代数方程组3.Gauss消元法解线性代数方程组4.平方根法解线性代数方程组1.6本征值和本征矢量的计算1.主阵的本征方程、本征值和本征矢量2.GayleyHamilton定理及其应用3.本征矢量的主定理4.Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换1.线性变换的矩阵表示2.矢量的酉变换3.相似变换4.等价矩阵5.二次型6.标准型7.方阵的对角化参考文献习题第二章量子力学基础2.1波动和微粒的矛盾统一1.从经典力学到量子力学2.光的波粒二象性3.驻波的波动方程4.电子和其它实物的波动性——de Broglie关系式5.de Broglie波的实验根据6.de Broglie波的统计意义7.态叠加原理8.动量的几率——以动量为自变量的波函数2.2量子力学基本方程——Schrdinger方程1.Schrdinger方程第一式2.Schrdinger方程第一式的算符表示3.Schrdinger方程第二式4.波函数的物理意义5.力学量的平均值(由坐标波函数计算)6.力学量的平均值(由动量波函数计算)2.3算符1.算符的加法和乘法2.算符的对易3.算符的平方4.线性算符5.本征函数、本征值和本征方程6.Hermite算符7.Hermite算符本征函数的正交性——非简并态8.简并本征函数的正交化9.Hermite算符本征函数的完全性10.波函数展开为本征函数的叠加11.连续谱的本征函数12.Dirac δ函数13.动量的本征函数的归一化14.Heaviside阶梯函数和δ函数2.4量子力学的基本假设1.公理方法2.基本概念3.假设Ⅰ——状态函数和几率4.假设Ⅱ——力学量与线性Hermite算符5.假设Ⅲ——力学量的本征状态和本征值6.假设Ⅳ——态随时间变化的Schrdinger方程7.假设Ⅴ——Pauli互不相容原理2.5关于定态的一些重要推论1.定态的Schrdinger方程2.力学量具有确定值的条件3.不同力学量同时具有确定值的条件4.动量和坐标算符的对易规律5.Hesienberg测不准关系式2.6运动方程1.Heisenberg运动方程——力学量随时间的变化2.量子Poisson括号3.力学量守恒的条件4.几率流密度和粒子数守恒定律5.质量和电荷守恒定律6.Ehrenfest定理2.7维里定理和HellmannFeynman定理1.超维里定理2.维里定理3.Euler齐次函数定理4.维里定理的某些简化形式5.HellmannFeynman定理2.8表示???论1.态的表示2.算符的表示3.另一套量子力学的基本假设参考文献习题第三章简单体系的精确解3.1自由粒子1.一维自由粒子2.三维自由粒子3.2势阱中的粒子1.一维无限深的势阱2.多烯烃的自由电子模型3.三维长方势阱4.圆柱体自由电子模型3.3隧道效应——方形势垒1.隧道效应2.Schrdinger方程3.波函数中系数的确定(E＞V0)4.贯穿系数与反射系数(E＞V0)5.能量小于势垒的粒子(E＜V0)3.4二阶线性常微分方程的级数解法1.二阶线性常微分方程2.级数解法3.正则奇点邻域的级数解法4.若干二阶线性微分方程3.5线性谐振子和Hermite多项式1.线性谐振子2.幂级数法解U方程3.谐振子能量的量子化4.Hermite微分方程与Hermite多项式5.Hermite多项式的递推公式6.Hermite多项式的微分式定义——Rodrigues公式7.Hermite多项式的母函数展开式定义8.谐振子的波函数——Hermite正交函数9.矩阵元的计算参考文献习题第四章氢原子和类氢离子4.1Schrdinger方程1.氢原子质心的平移运动2.氢原子中电子对核的相对运动3.氢原子作为两个质点的体系4.坐标的变换5.变量分离6.球坐标系7.球坐标系中的变量分离8.Φ方程之解9.θ方程之解10.R方程之解11.能级4.2Legendre多项式1.微分式定义2.幂级数定义3.母函数展开式定义和递推公式4.母函数的展开5.正交性6.归一化4.3连带Legendre函数1.微分式定义2.递推公式3.正交性4.归一化4.4laguerre多项式和连带Laguerre函数1.母函数展开式定义2.微分式定义3.级数定义4.积分性质5.连带Laguerre多项式和连带Laguerre函数6.连带Laguerre多项式的母函数展开式定义7.连带Laguerre多项式的级数定义8.连带Laguerre函数的积分性质4.5类氢原子的波函数1.类氢原子的波函数2.氢原子的基态3.径向分布4.角度分布5.电子云的空间分布6.波函数的等值线图和立体表示图参考文献习题第五章角动量和自旋5.1角动量算符1.经典力学中的角动量2.角动量算符3.对易规则4.Hamilton算符与角动量算符的对易规则5.三??算符具有相同本征函数的条件6.角动量的本征函数5.2阶梯算符法求角动量的本征值1.角动量算符的对易规则2.阶梯算符的性质3.阶梯算符的作用4.角动量的本征值5.3多质点体系的角动量算符1.经典力学中多质点体系的角动量2.总角动量算符及其对易规则3.多电子原子的Hamilton算符的对易规则5.4电子自旋1.电子自旋2.假设Ⅰ——自旋角动量算符的对易规则3.假设Ⅱ——单电子自旋算符的本征态和本征值4.电子自旋的阶梯算符5.自旋算符的矩阵表示6.假设Ⅲ——自由电子的g因子参考文献习题第六章变分法和微扰理论6.1多电子体系的Schrdinger方程1.原子单位2.多电子分子的Schrdinger方程3.BornOppenheimer原理4.多电子体系的Schrdinger方程举例5.多电子体系的Schrdinger方程的近似解法6.2变分法1.最低能量原理2.变分法3.氦原子和类氦离子的变分处理(一)4.氦原子和类氦离子的变分处理(二)5.激发态的变分原理6.线性变分法7.变分法的推广6.3定态微扰理论1.非简并能级的一级微扰理论2.基态氦原子或类氦离子3.简并能级的一级微扰理论4.微扰法在氢原子中的应用5.二级微扰理论6.4含时微扰理论与量子跃迁1.含时微扰理论2.光的吸收与发射3.激发态的平均寿命4.光谱选律5.偶极强度与吸收系数的关系参考文献习题第七章群论基础知识7.1群的定义和实例1.群的定义2.群的几个例子3.乘法表和重排定理4.同构和同态7.2子群、生成元和直积1.子群2.生成元3.直积7.3陪集、共轭元素和类1.陪集grange定理3.共轭元素和类4.置换群的类7.4共轭子群、正规子群和商群1.共轭子群2.正规子群(自轭子群)3.商群和同态定理7.5对称操作群1.对称操作2.操作的乘积3.对称操作群4.共轭对称元素系，同轭对称操作类和两个操作可对易的条件5.生成元、子群和直积7.6分子所属对称群的确定1.单轴群2.双面群3.立方体群4.分子对称群的生成元和生成关系5.晶体学点群6.分子所属对称群的确定参考文献习题第八章群表示理论8.1对称操作的矩阵表示1.基矢变换和坐标变换2.物体绕任意轴的旋转，Euler角3.对称操作的矩阵表示4.函数的变换8.2群的表示1.群表示的定义2.等价表示和特征标3.可约表示和不可约表示，不变子空间4.Schur引理5.正交关系6.正交关系示例7.投影算符和表示空间的约化8.直积群的表示9.实表示和复表示8.3表示的直积及其分解1.表示的直积2.对称积和反对称积3.直积表示的分解4.ClebschGordan系数8.4某些群的不可约表示1.循环群2.互换群3.点群4.回转群5.旋转群6.双值表示8.5群论在量子化学中的应用1.态的分类和谱项2.能级的分裂3.时间反演对称性和Kramers简并4.零矩阵元的鉴别和光谱选律5.矩阵元的计算，不可约张量方法6.久期行列式的劈因子7.不可约表示基的构成8.杂化轨道的构成9.轨道对称性守恒原理这些可是爱考的专业课老师（如果俺考研成功她可就是俺滴学姐啦）珍藏不外漏的当年的笔记啊。
