第六章 定积分的应用
第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16
. (2) 1
(3)
323. (4)32
3
.
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463
π-. (2)
3
ln 22-. (3)1
2e e
+-.
(4)b a -
3. 94
.
4. （1）.1
213
（2）.4
5. (1) πa 2. (2)
238
a π. (3)2
18a π.
6. （1）423π⎛ ⎝ （2）
54
π
（3）2cos2ρθρθ==及
16
2
π
+
7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2
x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。
（2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。
（3）()2
2
x y 516,x +-=绕轴。
（4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。
（5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。
2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556
πππππππ（）
8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积.
128
7x V π=
. y V =645
π 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332
105
a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤
b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰=b
a
dx x xf V )(2π
. 证明略。
（2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转
体的体积. 2
2π
11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定
直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3
R .
12．计算曲线3
223
y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。2123
13．计算曲线2
ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤
的一段弧的弧长。1ln 32
- 14．求星型线33
cos sin x a t
y a t ⎧=⎨=⎩
的全长。6a
15．求曲线()1cos a ρθ=-的周长。8a
第三节 定积分的应用
第四节
1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功. 18 k(牛⋅厘米)
解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 182
16
026
0===⎰s k ksds W
k(牛⋅厘米). 2．直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸
汽体积缩小一半, 问需要作多少功？800ln 2π(J). 解 由玻-马定律知:
ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则
ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P , π
-=80800
)(x P .
功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(40040
2
ππππ
π=-=-⋅⋅=⎰⎰
dx dx W
(J).
3．设地球的质量为M ，半径为R ，现要将一个质量为m 的物体从地球表面升高到h 处，问需要做多少功（设引力系数为G ）？()
mMh
G
R h +
4．半径为R 的圆柱体沿固定水平面做纯滚动，试分别求圆心C 沿其轨迹移动的距离S 时，作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功
解 圆柱体做平面运动，由运动学知，点B 为圆柱体的速度瞬心，由式 （11-16）知圆柱体沿固定面做纯滚动时，静滑动摩擦力的功为零。
滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩M=F
N
δ
来计算所以它的元功为 Md W -=δ=-ds R
F n
δ
如
F
N
及R 均为常量，滚动一段路程S 后滚动摩阻力偶的功为
W=
⎰
0S -ds R F n
δ=-s R
F n δ 可见滚动摩阻力偶的功为负功，且其绝对值W 与圆柱半径成反比
5．设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？ 解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3
210-
=, 功元素为
dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ,
所求功为 ⎰-=1502)3
210(dx x x W
π
⎰+-=15
032)9
440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).
6. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力.205.
8(kN).
解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为
xdx dx x dP 221=⋅⋅=,
闸门上所受的水压力为
2125
225
2
===⎰x xdx P (吨)=205. 8(kN).
