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上海市崇明区2019届高三一模数学试卷
2018.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 计算：20lim 31
n n n 2. 已知集合{|12}A x x ，{1,0,1,2,3}B ，则A B
3. 若复数z 满足232i z ，其中i 为虚数单位，则z
4. 281()x x 的展开式中含7x 项的系数为 （用数字作答）
5. 角 的终边经过点(4,)P y ，且3sin 5 ，则tan
6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x 上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的 横坐标是
7. 圆22240x y x y 的圆心到直线3450x y 的距离等于
8. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于
9. 若函数2()log 1
x a f x x 的反函数的图像经过点(3,7) ，则a 10. 2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那 么不同的录取方法有 种
11. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足
()1f ，(2)2f ，则不等式组121()2x f x
的解集为 12. 已知数列{}n a 满足：①10a ；②对任意的n *N ，都有1n n a a 成立. 函数1()|sin ()|n n f x x a n
，1[,]n n x a a 满足：对于任意的实数[0,1)m ，()n f x m 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若0a b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11a b
B. a b
C. 22a b
D. 33a b 14. “2p ”是“关于x 的实系数方程210x px 有虚根”的（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
15. 已知向量a 、b 、c 满足0a b c ，且222a b c ，则a b 、b c 、a c 中最小
的值是（ ）
A. a b
B. b c
C. a c
D. 不能确定的
16. 函数()f x x ，2()2g x x x ，若存在129
,,,[0,]2
n x x x ，使得 121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x ，则n 的最大值 是（ ）
A. 11
B. 13
C. 14
D. 18
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，设长方体1111ABCD A B C D 中，2AB BC ，
直线
1A C 与平面ABCD 所成的角为
4 . （1）求三棱锥1A A BD 的体积；
（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.
18. 已知函数2()cos sin 2f x x x x
. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1()2
f A
，3a ，4b ， 求△ABC 的面积.
19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收 益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位： 万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（即：设奖励
方案函数模型为()y f x 时，则公司对函数模型的基本要求是：当[25,1600]x 时，
①()f x 是增函数；②()75f x 恒成立；③()5x f x
恒成立.） （1）判断函数()1030
x f x 是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
（2）已知函数()5g x （1a ）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值 范围.
20. 已知椭圆22
22:1x y a b
（0a b ），1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是 椭圆左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，△112B F B 是边长为4的等边三角形.
（1）写出椭圆的标准方程；
（2）当直线1PB 的一个方向向量是(1,1)时，求以1PB 为直径的圆的标准方程；
（3）设点R 满足：11RB PB ，22RB PB ，求证：△12PB B 与△12RB B 面积之比为定值.
21. 已知数列{}n a 、{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和， 11n n n a b S （n *N ）.
（1）若11a ，2
n n b ，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q （1q ）的等比数列，求证：数列1{}1n b q
为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a 、3a 、 、n a 、 成等差数列的充要条件是12
d
.
参考答案
一. 填空题 1. 13
2. {0,1}
3. 12i
4. 56
5. 34
6. 4
7. 2
8. 3
9. 6 10. 1518 11. [2,82] 12.
(1)2n n
二. 选择题
13. D 14. B 15. B 16. B
三. 解答题
17.（1）3
；（2）2arccos 3.
18.（1）()sin(23f x x
，51[,]1212
k k ，k Z ；（2）4 19.（1）不符合；（2）[1,2].
20.（1）22
1164
x y ；（2）2282128()(5525x y ；（3）4:1. 21.（1）8；（2）公比为1q
；（3）略.
