数论讲义 整除性问题 1 证明算术基本定理
证明：Z b a ∈,,0>b ，则r bq a +=，b r <≤0，r q ,是唯一确定的。
证明：若a|c,b|c,(a,b)=1,则ab|c
若a|bc,(a,b)=1,则a|c (a,b)=1 代表两数互质
2 整数的性质
整数n 与1+n 之间不再有其它整数，从而2
n 与2)1(+n 之间也不再有其它平方数，任一整数有限集必有最大数与最小数，整数b a >等价于1+≥b a 等，都体现了整数的离散性。 例1 求证：不存在正整数b a ,，使b a +2
及2b a +都是完全平方数
例2 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.
例3 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式. 求证： a=b=c.
例4求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根
4 数的整除特征
求证： 任何n 个连续整数之积一定能被n 整除.
求证：任何n 个连续整数之积一定能被n !整除. n n 321!⋅⋅=
0111101010a a a a x n n n n +++=-- *∈N x
n n
n n n n n n n n n n b ab b a b a a b a C C C C ++++=+----11
222
11
)(
n b a )(+被a 除的余数等于n b 被a 除的余数 n b a )(+被b 除的余数等于n a 被b 除的余数
))((1221----+++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a M b a )(-= n 为自然数
n
n
b a b a --|)(
))((1221----++-+=+n n n n n n b ab b a a b a b a =N b a )(+ n 为正奇数
n n b a b a ++|)( 例5 判断3546725能否被13整除？
例6 设72679a b |，试求,a b 的值.
例7 求证：n 为正奇数时，1236---n
n n 能被60整除
例8 设c b a ,,是三个互不相等的正整数，求证：33ab b a -，33bc c b -，3
3ca a c -三数中至少有一个能被10整除
例9 设n 为自然数，求证n
n
n
n
A 2358556323237+--=，能被1985整除
例10 设p 是大于5的素数，求证：)1(|2404-p
例11求一对正整数b a ,，满足
（1）)(b a ab +不能被7整除
（2）777)(b a b a --+能被被77整除。
例12 5≥p 是素数，且12+p 也是素数，证明14+p 必是合数
例13 当代最高产的数学家厄尔多斯听说一个叫波萨（匈牙利，1948）的小男孩很聪明，就问了他一个问题加以考察（1959）：如果你手头上有1n +个正整数，这些正整数小于或等于2n ，那么你一定有一对整数是互素的，你知道这是什么原因吗？5 余数问题
5 余数问题 一个正整数被n 除，余数可能为1,2,1,0-n ，共1-n 种情况
例14 },12|{Z k k x x A ∈-==,},12|{Z k k x x B ∈+==,则A,B 的关系
},13|{Z k k x x A ∈-==，},23|{Z k k x x B ∈+==,则A,B 的关系
例15 ．设集合},2
1
4{},,412{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+=
=，则（ ） N M A = B M N C M N φ=⋂N M D
例16.集合A={x Z k k x ∈=,2} B={Z k k x x ∈+=,12} C={Z k k x x ∈+=,14}, 又,,B b A a ∈∈则有（ ）
A （a+b ）∈ A
B (a+b) ∈B
C (a+b) ∈ C
D (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 例17．已知全集*
=N I ，集合},2|{*∈==N n n x x A ,},4|{*∈==N n n x x B 则 A .B A I ⋃= B ．B A C I I ⋃=)( C ．)(B C A I I ⋃= D ．)()(B C A C I I I ⋃= 例18 从0到9的10个数中，任取三个数组成集合A,并且使A 中的三个元素和能被3整除，求集
合A 的个数。
例19 设S 为集合}50,4,3,2,1{ 的具有下列性质的子集： S 中任意两个不同元素之和不被7整除，那么S 中元素最多可能有多少个？（第四十三届美国中学数学竞赛题）
例20 设自然数n 有下述性质，从n ,2,1中任取50个不同的数，这50个数中必有两个数之差等于7，问这样的n 最大的一个是多少
