概率论与数理统计课件第7章

即 S 2是 2 的无偏估计,故通常取S 2作 2的估计量.
例3 设总体 X 服从参数为 的指数分布, 概率密度
x 1 e , f ( x; ) 0,
x 0, 其他.
其中参数 0, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的 样本, 试证 X 和 nZ n[min( X 1 , X 2 ,, X n )] 都是 的无偏估计.
行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时 间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155,
158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.
试求电池的平均寿命 的最大似然估计值 .
解
n 50, m 15,
s( t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量, 进而若待估参数 g( 1 , 2 ,, n ), 其中g 为连续 ˆ g( 函数, 则 的矩估计量 ˆ1 , ˆ 2 , , ˆ n ) g( A1 , A2 ,
, An ) 是 的相合估计量.
第三节
估计量的评选标准
一、问题的提出
二、无偏性 三、有效性 四、相合性 五、小结
一、问题的提出
从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数 的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准.
如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.
3. 两种常见的截尾寿命试验

5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
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极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，

3.以该区间内任一值作为的近似值，
误差不大于
s
6.2022
n t 2(n 1)=
2.1315 2=6.61 16
9
2 方差 2的置信区间 只讨论均值未知情形
由于
(n 1)S2 2
~
2(n 1)
取 (n 1)S2 作为枢轴量
2
对给定的置信水平1 ,确定分位数
2 1
2(n 1) , 2 2(n 1) ,
§4 正态总体均值与方差的区间估计
一 单个总体N (, 2 )的情形 设已给定置信水平为1－，并设
X1, X 2,L ，X n为总体N (, 2 )的样本，
X 和S 2分别是样本均值和方差.
1
1 均值的置信区间
(1) 2已知，均值的置信水平为1-
的置信区间为
简记为
X
n
z 2 ,
X
n
z
2
X
n
试求总体均值 的置信水平为0.95的
置信区间
6
解：这是单总体方差未知，总体均值 的区间估计问题.
均值 的置信水平为 1的置信区间为
s
s
x
n t 2(n 1), x
n
t
2(n1) 这里 1 0.95, / 2 0.025, n 1 15,
t / 2 (n 1) t0.025 (15) 2.1315
S
11 n1 n2
18
从而可得，在
12
2 2
2，但 2未知，
均值差1 2的置信水平为1-的置信区间
X Y t /2 (n1 n2 2)S
其中
1 n1
1 n2
S2
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2

《概率论与数理统计》第七章假设检验.第七章假设检验学习⽬标知识⽬标：理解假设检验的基本概念⼩概率原理；掌握假设检验的⽅法和步骤。

能⼒⽬标：能够作正态总体均值、⽐例的假设检验和两个正态总体的均值、⽐例之差的假设检验。

参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利⽤样本对总体进⾏某种推断，然⽽推断的⾓度不同。

参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。

⽽在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出⼀个假设，然后利⽤样本数据检验这个假设是否成⽴，如果成⽴，我们就接受这个假设，如果不成⽴就拒绝原假设。

当然由于样本的随机性，这种推断只能具有⼀定的可靠性。

本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的⼀般步骤，然后重点介绍常⽤的参数检验⽅法。

由于篇幅的限制，⾮参数假设检验在这⾥就不作介绍了。

第⼀节假设检验的⼀般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误⼀、假设检验的基本概念（⼀）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有⼀个直观的认识，不妨先看下⾯的例⼦。

例7.1 某⼚⽣产⼀种⽇光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2µN ，从过去的⽣产经验看，灯管的平均寿命为1550=µ⼩时，。

现在采⽤新⼯艺后，在所⽣产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650⼩时。

问采⽤新⼯艺后，灯管的寿命是否有显著提⾼？这是⼀个均值的检验问题。

灯管的寿命有没有显著变化呢？这有两种可能：⼀种是没有什么变化。

即新⼯艺对均值没有影响，采⽤新⼯艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。

另⼀种情况可能是，新⼯艺的确使均值发⽣了显著性变化。

这样，1650=X 和15500=µ之间的差异就只能认为是采⽤新⼯艺的关系。

究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。

假如给定显著性⽔平05.0=α。

在上⾯的例⼦中，我们可以把涉及到的两种情况⽤统计假设的形式表⽰出来。