南通市中等职业学校2011～2012学年度第一学期高一数学

江苏省南通第一中学2011—2012学年度第一学期期中考试卷高三数学（文科）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）1．命题“∃x R ∈，使得2250x x ++=”的否定是 ▲ ．2．i 为虚数单位，复平面内表示复数3iz i=+的点在第 ▲ 象限． 3．已知{}21M y y x ==+，{}222N x x y =+=，则M N = ▲ ．4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若375,11,a a ==则9S = ▲ ．5. 设1.52.42.46.0,7.0,6.0===c b a ，则c b a ,,大小关系是 ▲ ．6．已知向量(2,1)a =- ，(1,)b m =- ，(1,2)c =- ，若()a b c +，则m ＝ ▲ ．7．若关于x 的方程012=---a x x 在[1,1]-上有解，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．观察下图： 第一行：1第二行：2 3 4第三行：3 4 5 6 7第四行：4 5 6 7 8 9 10 … …… 则第 ▲ 行的各数之和等于22011．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．） 15．（本题满分14分） 已知)cos 2,sin (cos ),sin ,sin (cos x x x b x x x a -=+=,设b a x f ⋅=)(. （1）求函数)(x f 的单调增区间；（2）△ABC 的三个角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，且满足()1f B =,3A π=,10=，求边c . 16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥． （1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（2）如果点E 是11B C 的中点，求证：1//A E 平面1ADC ． 17．（本题满分15分）已知圆C 在x 轴上的截距为1-和3，在y 轴上的一个截距为1． （1）求圆C 的标准方程；（2）若过点(21)的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角； （3）求过原点且被圆C 截得的弦长最短时的直线l '的方程．18．(本小题满分15分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB =3米，AD =2米，（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内? （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积；（3）若AN 的长度不少于6米，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积． 19．（本题满分16分）定义：若数列{}n A 满足21n n A A =+，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，21=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数．（1）证明：数列{}12+n a 是“平方递推数列”，且数列{})12lg(+n a 为等比数列．（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即n T )12()12)(12(21+++=n a a a ，求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式．（3）记n a n T b n 12log +=，求数列{}n b 的前n 项之和n S ，并求使n S 2011>的n 的最小值．20．（本小题满分16分）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=． （1）讨论)(x f 的单调性； （2）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （3）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0， 证明：f '（x 0）＜0．__________________________________________________________________________________命题、校对、制卷、审核：江苏省南通第一中学2011—2012学年度第一学期期中考试卷高三数学（文科）答卷纸一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应位置． 1．___2250x x ++≠____________ 2. _________一____________________ 3．______⎡⎣_______________ 4. _______72______________________5．_______c a b >>____________ 6. ________－1_____________________ 7．_______⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,45______________ 8. _______1006____________________ 9．____22(2)(2)10-+-=x y ___ 10. ___①③④⇒② 或 ②③④⇒①__ 11．_______321-=+n n a ________ 12. ______③④_____________________ 13．________ 2 __________________ 14. _______(,3)(2,)-∞-⋃+∞_______ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请将解答填写在答卷规定的区域内，否则答题无效．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (14分)解（1）x f ⋅=)( =x x x x x x cos 2sin )sin (cos )sin (cos ⋅+-⋅+ =x x x x cos sin 2sin cos 22+- =x x 2sin 2cos +=)42sin(2π+x ………………4分∴)(x f 的递增区间是3[,],88k k k Z ππππ-++∈ ………………………6分 （2）由()1sin 242f B B π⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭及0B π<<得4B π=，…………………8分设sin sin sin a b c k A B C ===5sin sin 10104342k k ππ=⇒=⇒=所以sin 4sin()4(sincoscossin )3434c k C A B ππππ==+=+=………14分班级__________ 姓名______________ 考试号_________________…………………………密……………………………封…………………………线……………………16．(14分)证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴1C C ⊥AD ，又1AD C D ⊥，111C C C D C = ，∴AD ⊥平面11BCC B ． …………………6分 （2）由（1）得∴AD BC ⊥， ∵在ABC ∆中，AB AC =， ∴D 为BC 边上的中点， 连结DE ，∵点E 是11B C 的中点，∴在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形1B BDE 为平行四边形，∴1//B B ED ，又11//B B A A ，∴1//ED A A ，∴四边形1AADE 为平行四边形． ∴1//A E AD ，又1A E ⊄平面1ADC ，AD ⊂平面1ADC ， ∴1//A E 平面1ADC ． …………………14分17．(15分)解：（1）设(10)(30)(01)A B D -,,,,,， 则AB 中垂线为1x =，AD 中垂线为y x =-，∴圆心(,)C x y 满足1x y x =⎧⎨=-⎩,,∴(11)C -,，半径r CD = ∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=． …………………5分（2）当斜率不存在时， 2l x =:到圆心的距离为1，亦满足题意，直线l 的倾斜角为90°； 当斜率存在时，设直线l的方程为(2)1y k x =-，由弦长为4， 可得圆心(11), 到直线l1=1=，∴k =l 的倾斜角为30°， 综上所述，直线l 的倾斜角为30°或90°． …………………11分 （3）1OC k =- ∴直线l '：y x =． …………………15分 18．(15分)解：（1）设x AN =米，()2>x ，则2-=x ND∵AM AN DC ND =∴AM x x =-32∴23-=x x AM ∴3223>>-x x x∴0643232>+-x x ∴0)8)(83(>--x x ∴382<<x 或8>x ……………5分（2）212)2(12)2(32322-+-+-=-=x x x x x S AMPN12212)2(3212)2(12)2(32+-+-=-+-+-=x x x x x 2412362=+≥ 此时4=x …………………10分 （3）∵12212)2(3+-+-=x x S AMPN )6(≥x 令t x =-2)4(≥t ，12123)(++=tt t f ∵2123)(tt f -='当4≥t 时，0)(>'t f ∴12123)(++=t t t f 在[)+∞,4上递增 ∴27)4()(min ==f t f 此时6=x答： …………………15分19．(16分)解（1）由条件得：n n n a a a 2221+=+，221)12(14412+=++=+∴+n n n n a a a a ， {}12+∴n a 是“平方递推数列”． ………………………4分 由{})12lg(,2)12lg()12lg()12lg(2)12lg(11+∴=++∴+=+++n n n n n a a a a a 为等比数列． …6分（2）,25lg )12lg(,5lg )12lg(11-⋅=+∴=+n n a a 12512-=+∴n n a班级__________ 姓名______________ 考试号_________________…………………………密……………………………封…………………………线……………………)15(2112-=∴-n n a ． ………………………8分 5lg )12(21)21(5lg )12lg()12lg()12lg(lg 21-=--⋅=++++++=n n n n a a a T ，125-=∴nn T ． …………………………10分（3）111)21(22125lg 25lg )12()12lg(lg ----=-=-=+=n n n n n n n n a T b ， ………………12分 ])21(1[22211)21(12])21()21(211[212n nn n n n n S --=---=++++-=∴- n n )21(222+-=． ……………………………………14分由2011,n S >得111222()2011,()1006222n n n n -+>+>+，当1006n ≤时，11()1006,22n n +<+当1007n ≥时，11()100622n n +>+，因此n 的最小值为1007． ……………………………………16分20．(16分)解：（1）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- ①若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.②若10,()0,a f x x a '>==则由得且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a''∈>><时当时 所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. …………………………6分（2）设函数11()()(),g x f x f x a a =+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- ……………………………11分（3）由（1）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点， 故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且 不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则 由（2）得111211()()()0.f x f x f x a a a -=+->=从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是 由（1）知，0()0.f x '< ……………………………………16分。

江苏省南通市2012-2013学年高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）如果角θ的终边经过点（﹣），则cosθ=﹣．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，求出cosθ即可．解答：解：因为角θ的终边经过点（﹣），所以由任意角的三角函数的定义可知：cosθ=．故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查基本知识的应用．2．（5分）若，则点（tanα，cosα）位于第二象限．考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数值在各个象限的符号即可判断出．解答：解：∵，∴tanα＜0，cosα＞0，故点（tanα，cosα）位于第二象限．故答案为二．点评：熟练掌握三角函数值在各个象限的符号是解题的关键．3．（5分）函数y=sinπxcosπx的最小正周期是1．考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式把函数的解析式化为sin（2πx），从而求得它的最小正周期．解答：解：∵函数y=sinπxcosπx=sin（2πx），故函数的周期为=1，故答案为1．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角公式的应用，属于基础题．4．（5分）化简sin15°cos75°+cos15°sin105°=1．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先利用诱导公式把sin105°转化为sin75°，进而利用两角和的正弦函数求得答案．解答：解：sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin（15°+75°）=sin90°=1故答案为：1点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数和诱导公式的运用．考查了学生对基础知识的综合运用．5．（5分）把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数解析式为y=﹣sin2x．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变）x的系数变为原来的2倍，然后根据平移求出函数的解析式．解答：解：函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到y=cos2x，把图象向左平移个单位，得到y=cos[2（x+）]=cos（2x+）=﹣sin2x故答案为：y=﹣sin2x点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．准确理解变换规则是关键．6．（5分）求值sin（﹣）+cos=0．考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．解答：解：原式=sin（﹣4π+）+cos（2π﹣）tan4π﹣cos（4π+）=sin+0﹣cos=+0﹣=0．故答案为：0点评：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．7．（5分）已知sinα=3cosα，则sinαcosα=．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由已知等式求出tanα的值，所求式子利用同角三角函数间的基本关系化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα=3cosα，即tanα=3，∴sinαcosα====．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．8．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，1），且⊥，则tanθ的值是﹣．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量的数量积的性质可知，•==0，然后结合同角基本关系tanθ=可求解答：解：由向量的数量积的性质可知，==0∴tanθ==．故答案为：﹣点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，属于基础试题9．（5分）设0≤θ＜2π时，已知两个向量，则的最大值为3．考点：向量的减法及其几何意义；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题意，可得向量关于θ的坐标形式，再化简得到||2=10﹣8cosθ，结合cosθ∈[﹣1，1]可得当θ=π时，||2的最大值为18，从而得到的最大值为=3．解答：解：∵∴=（2+sinθ﹣cosθ，2﹣cosθ﹣cosθ）因此，||2=（2+sinθ﹣cosθ）2+（2﹣cosθ﹣cosθ）2=4+4（sinθ﹣cosθ）+（sinθ﹣cosθ）2+4﹣4（sinθ+cosθ）+（sinθ+cosθ）2=10﹣8cosθ∵cosθ∈[﹣1，1]，∴当cosθ=﹣1时，||2的最大值为18，此时θ=π因此，可得当θ=π时，的最大值为=3故答案为：3点评：本题给出向量关于θ的坐标形式，求的最大值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的最值和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．10．（5分）设sinα=（），tan（π﹣β）=，则tan（α﹣2β）的值为．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由sinα的值，以及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα及tanα的值，再利用诱导公式求出tanβ的值，利用二倍角的正切函数公式求出tan2β的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．解答：解：∵sinα=，＜α＜π，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣，又tan（π﹣β）=﹣tanβ=，∴tanβ=﹣，∴tan2β==﹣=﹣，则tan（α﹣2β）===．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．11．（5分）如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m+n=．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：利用CR的中点为P可得，利用BQ的中点为R可得，利用AP的中点为Q可得，故可求．解答：解：由题意，，，∴∴∴故答案为点评：本题的考点是平面向量的综合，主要考查平面向量的加法运算，关键是利用平面向量的加法法则，计算时要小心．12．（5分）（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=﹣16．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由=（﹣）•（﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果．解答：解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又=﹣，=﹣，∴=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+，=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16，故答案为﹣16．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．13．（5分）设，则a，b，c的大小关系为a＜c＜b．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：利用两角和的余弦公式及诱导公式，我们可得a=sin22°，由二倍角的正切公式，可得b=tan26°，由半角公式，可得c=sin26°，再结合正弦函数的单调性和同角三角函数关系，即可得到a，b，c的大小关系．解答：解：∵=cos60°•cos8°﹣sin60°•sin8°=cos68°=sin22°，=tan26°=sin26°∵sin22°＜sin26°＜tan26°∴a＜c＜b故答案为：a＜c＜b点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，其中根据两角和余弦公式、诱导公式、二倍角的正切公式、半角公式，求出a，b，c的值，是解答本题的关键．14．（5分）给出下列命题：（1）函数f（x）=4sin（2x+）的图象关于点（﹣）对称；（2）函数g（x）=﹣3sin（2x﹣）在区间（﹣）内是增函数；（3）函数h（x）=sin（x﹣）是偶函数；（4）存在实数x，使sinx+cosx=．其中正确的命题的序号是（1）（3）（4）．考点：命题的真假判断与应用；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据点（﹣）是函数图象与x轴的交点，故函数图象关于点（﹣）对称，故（1）正确；由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得y=sin（2x﹣）的增区间，可得（2）不正确；对于（3），利用诱导公式化简为y=﹣cosx，该函数是偶函数；（3）正确；（4）根据辅助角公式，我们可将sinx+cosx化为sin（x+），再由正弦型函数的值域，可以判断（4）的真假．解答：解：当x=﹣时，函数f（x）=4sin（2x+）=0，故点（﹣）是函数图象与x轴的交点，故函数图象关于点（﹣）对称，故（1）正确．（2）由于函数g（x）=﹣3sin（2x﹣），由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，取k=﹣1，得≤x≤﹣，故函数的增区间为[，﹣]，故（2）不正确．（3）由于h（x）=sin（﹣）=cos，从而h（﹣x）=h（x），得h（x）是偶函数，∴命题（3）正确；（4）中令y=sinx+cosx=sin（x+）则﹣≤y≤，∵﹣≤≤，∴存在实数x，使得sinx+cosx=；即（4）正确．其中正确的命题的序号是（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）．点评：本题主要考查正弦函数的奇偶性、对称性、单调性，判断命题的真假，以及y=Asin （ωx+∅）图象与性质，掌握y=Asin（ωx+∅）图象和性质是解题的关键．属于中档题．二、解答题：15题14分，16、17、18、19每题15分，20题16分，共90分．15．（10分）已知向量．（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；向量法．分析：（1）根据三点构成三角形的条件，即只要三点不共线，根据共线的条件确定出m的值，从而解出A、B、C能构成三角形时，实数m满足的条件；（2）将几何中的角为直角转化为向量的语言，通过向量的数量积为零列出关于实数m的方程，求解出实数m．解答：解：（1）若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，∵，故知3（1﹣m）≠2﹣m∴实数时，满足条件．（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，∴3（2﹣m）+（1﹣m）=0解得．点评：本题考查向量的坐标形式的运算，考查向量共线与向量垂直的等价条件．关键要将几何问题通过向量工具解决出来，体现了转化与化归的思想．16．（14分）已知：如图，两个长度为1的平面向量，它们的夹角为，点C是以O为圆心的劣弧AB的中点．求：（1）的值；（2）的值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）根据条件先求出的值，再求出||=的值；（2）根据条件求出的值，再由减法运算得=（）•（），再展开进行求解即可．解答：解：（1）∵和的长度为1，夹角为，∴•=||||cos=﹣，∴|+|===1，（2）∵点C是以O为圆心的劣弧AB的中点，∴∠AOC=∠BOC=，∴，∴=（）•（）=﹣﹣+=﹣（﹣）﹣+1=．点评：本题考查了向量的数量积和减法运算，主要利用定义和性质进行求解．17．（15分）（2011•南通模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（α）+f（α﹣）=，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：常规题型；计算题．分析：（1）根据函数的图象，求出A、T，求出ω，函数x=﹣时，y=0，结合﹣＜φ＜求出φ，然后求函数f（x）的表达式；（2）利用f（α）+f（α﹣）=，化简出（sinα+cosα）2，2sinαcosα=＞0且α为△ABC的一个内角，确定sinα＞0，cosα＞0，求sinα+cosα的值．解答：解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A=1．函数f（x）的周期为T=4×（+）=π．而T=，则ω=2．又x=﹣时，y=0，∴sin[2×（﹣）+φ]=0．而﹣＜φ＜，则φ=，∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）．（2）由f（α）+f（α﹣）=，得sin（2α+）+sin（2α﹣）=，即2sin2αcos=，∴2sinαcosα=．∴（sinα+cosα）2=1+=．∵2sinαcosα=＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα=．点评：本题是基础题，考查函数解析式的求法，根据三角函数式，确定函数的取值范围，是解题的难点，考查学生视图能力，计算能力．18．（14分）已知函数f（x）=asinx•cosx﹣a（1）求函数的单调递减区间；（2）设x∈[0，]，f（x）的最小值是﹣2，最大值是，求实数a，b的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式等于asin（2x﹣）+b，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围即得函数的单调递减区间．（2）根据x∈[0，]，可得2x﹣的范围，sin（2x﹣）的范围，根据f（x）的最小值是﹣2，最大值是，求得实数a，b的值．解答：解：（1）f（x）=asinx•cosx﹣ a =﹣+=﹣+b=asin（2x﹣）+b．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，故函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．（2）∵x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1．∴f（x）min ==﹣2，f（x）max =a+b=，解得a=2，b=﹣2+．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和值域，化简f（x）的解析式等于asin（2x﹣）+b，是解题的关键．19．（15分）已知：向量（1）若tanαtanβ=16，求证：；（2）若垂直，求tan（α+β）的值；（3）求的最大值．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得sinαsinβ=16cosαcosβ，即4cosα•4cosβ=sinα•sinβ，进而可得平行；（2）由垂直可得数量积为0，展开后由三角函数的公式可得tan（α+β）的值；（3）可得的坐标，进而可得模长平方的不等式，由三角函数的知识可得最值，开方可得．解答：解：（1）∵tanαtanβ=16，∴sinαsinβ=16cosαcosβ，∵，∴4cosα•4cosβ=sinα•sinβ，∴；（2）∵垂直，∴，即4cosαsinβ+4sinαcosβ﹣2（4cosαcosβ﹣4sinαsinβ）=0，∴4sin（α+β）﹣8cos（α+β）=0，∴tan（α+β）=2；（3）=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），∴=（sinβ+cosβ）2+（4cosβ﹣4sinβ）2=17﹣30sinβcosβ=17﹣15sin2β∴当sin2β=﹣1时，取最大值=点评：本题考查向量的平行和垂直，以及三角函数的综合应用，属基础题．20．（12分）在△ABC中，设向量，且，．（1）求证：A+B=；（2）求sinA+sinB的取值范围；（3）若（sinAsinB）x=sinA+sinB，试确定实数x的取值范围．考点：正弦定理；平行向量与共线向量．专题：解三角形．分析：（1）由题意可得sin2A=sin2B，进而可得A=B，或A+B=，经验证可排除A=B；（2）可得sinA+sinB=sinA+sin（）=sin（A+），由A的范围逐步可得；（3）可得x=，令sinA+cosA=t∈（1，]，换元后可得关于t的函数，由t的范围可得．解答：解：（1）∵向量，且，∴sinAcosA﹣sinBcosB=0，即sin2A=sin2B，解得2A=2B或2A+2B=π，化简可得A=B，或A+B=，但A=B时有，与已知矛盾，故舍去，故有A+B=；（2）由（1）可知A+B=，故sinA+sinB=sinA+sin（）=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴1＜sin（A+）≤故sinA+sinB的取值范围是（1，]；（3）由题意可知x==，设sinA+cosA=t∈（1，]，则t2=1+2sinAcosA，故sinAcosA=，代入可得x===≥=2故实数x的取值范围为：[，+∞）点评：本题考查向量的平行和共线，涉及三角函数的运算，属基础题．。

2012—2013学年第一学期通州区三星级高中期中联考高一数学试题试题总分：160分 考试时间：120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1. 集合{}1,1-=A 的子集的个数为 ▲ ．2. 已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，满足f (1)＝0，f (2)＝0，则f (－1)= ▲ ． 3. 函数)4lg(2x x y -++=的定义域为 ▲ ． 4. 已知0m >，化简21334(2)m m -÷的结果为 ▲ ．5. 对应:f A B →是集合A 到集合B 的映射，若集合{}1,0A =-，{}1,2B =，则这样的映射有 ▲ 个．6. 已知函数⎩⎨⎧<≥=)0(2)0(2)(x x x x f x 则=-))1((f f ▲ ．7. 计算：12839()log 9log 324-+⨯= ▲ ．8. 已知函数()f x 由下表给出，则满足(())2f f x ≤的x 的值是 ▲ ．9. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则 喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ▲ ． 10. 已知5.02.12.05.1,8.0log ,3.0log ===c b a , 则将c b a ,,按从小到大的顺序排列为 ▲ ．11. 若函数2)21()(1+=-x x f 的图像恒过定点 ▲ ．12. 已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，x x f 21)(+=，则=)8(log 21f ▲ ．13．若,,,2121x x R x x ≠∈则下列性质对函数x x f 2)(=成立的序号是 ▲ ． ①);()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ②);()()(2121x f x f x x f +=⋅ ③;0)()]()([2121>-⋅-x x x f x f ④).2(2)()(2121x x f x f x f +>+ 14. 下列说法正确的有 ▲ ．（填序号）①若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =；②函数1()1f x x =-在(,1)(1,)-∞+∞U 上是单调减函数；③若函数(21)y f x =+的定义域为[2,3]，则函数()f x 的定义域为1[,1]2；④要得到(21)y f x =-的图象，只需将(2)y f x =的图象向右平移12个单位.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)设全集为R ，集合{}63≥≤=x x x A 或,{}92<<-=x x B .（1）求B A Y ，(∁U A)I B ；（2）已知{}1+<<=a x a x C ，若B C ⊆,求实数a 的取值范围.16. (本小题满分14分)化简与求值 （143342(0,0)()a b a b a b->>⋅；（2）02221log log 12log 42(1)2---.17. (本小题满分14分)已知某皮鞋厂一天的生产成本C （元）与生产数量n （双）之间的函数关系是400050.C n =+ （1）如果某天的生产成本是36000元，问这一天生产了多少双皮鞋？（2）若每双皮鞋的售价是90元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润P 关于这一天生产数量n 的函数表达式，并求出每天至少生产多少双皮鞋，才能保证每天的利润不低于8500元？18. (本小题满分16分)函数).(1212)(R x x f x x ∈+-=（1）判断并证明函数)(x f 的单调性； （2）判断并证明函数)(x f 的奇偶性； （3）解不等式.0)32()1(<-+-m f m f19. (本小题满分16分)二次函数)(x f 的图像顶点为),16,1(A 且图像在x 轴上截得线段长为8. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）令),()22()(x f x a x g --=若)(x g 在区间]2,0[上的最大值是5，求实数a 的值.20. (本小题满分16分)已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体：在定义域D 内存在0x ，使得 )1()()1(00f x f x f +=+成立.（1）函数xx f 1)(=是否属于集合M ?说明理由； （2）若函数b kx x f +=)(属于集合M ，试求实数k 和b 的取值范围；（3）设函数1lg )(2+=x ax f 属于集合M ，求实数a 的取值范围．2012—2013学年第一学期通州区三星级高中期中联考高一数学参考答案及评分标准一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1.集合{}1,1-=A 的子集的个数为 ▲ . 42. 已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，满足f (1)＝0，f (2)＝0，则f (－1)= ▲ ． 6 3. 函数)4lg(2x x y -++=的定义域为 ▲ . )4,2[- 4. 已知0m >，化简21334(2)m m -÷的结果为 ▲ ．2m5. 对应:f A B →是集合A 到集合B 的映射，若集合{}1,0A =-，{}1,2B =，则这样的映射有 ▲ 个．46. 已知函数⎩⎨⎧<≥=)0(2)0(2)(x x x x f x则=-))1((f f ▲ . 17. 计算：=⨯+-32log 9log )49(3821▲ . 48. 已知函数()f x 由下表给出，则满足(())2f f x ≤的x 的值是 ▲ . 2，39. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ▲ . 1210. 已知5.02.12.05.1,8.0log ,3.0log ===c b a , 则将c b a ,,按从小到大的顺序排列为 ▲ .b <a <c11. 若函数2)21()(1+=-x x f 的图像恒过定点 ▲ . （1,3）12. 已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，x x f 21)(+=，则=)8(log 21f ▲ . -913.若,,,2121x x R x x ≠∈则下列性质对函数x x f 2)(=成立的序号是 ▲ .①③④ ①);()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ②);()()(2121x f x f x x f +=⋅ ③;0)()]()([2121>-⋅-x x x f x f ④).2(2)()(2121x x f x f x f +>+14. 下列说法正确的有 ▲ ．（填序号）④①若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =；②函数1()1f x x =-在(,1)(1,)-∞+∞U 上是单调减函数；③若函数(21)y f x =+的定义域为[2,3]，则函数()f x 的定义域为1[,1]2；④要得到(21)y f x =-的图象，只需将(2)y f x =的图象向右平移12个单位. 二、解答题: 本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本题14分）设全集为R ，集合 {}63≥≤=x x x A 或,{}92<<-=x x B . （1）求B A Y ，(∁U A)I B ；（2）已知{}1+<<=a x a x C ，若B C ⊆,求实数a 的取值范围. 解：（1）A B U =R ………………………3分∁U A =}63{<<x x ，∴ （∁U A ） {}63<<=x x B I …………9分 （2）∵{}|1C x a x a =<<+，且C B ⊆, ∴219a a ≥-⎧⎨+≤⎩…………12分∴所求实数a 的取值范围是82≤≤-a …………14分 16.（本题14分）化简与求值 （143342(0,0)()a b a b a b->>⋅；（2）02221log log 12log 42(1)2---.（1）1ab - …………7分；（2）32-…………7分。

江苏省南通第一中学2011—2012学年度第一学期期中考试卷高一数学说明:1．本试卷满分160分，考试时间120分钟；2．在答题纸的密封线内填写班级、姓名、考号，在右下角填上座位号，密封线内不要答题； 3．请将所有答案按照题号填涂或填写在答题卡相应的答题处，否则不得分。

一、填空题：1. 已知集合{}21M x x =-<<，{}2N x x =≤-，则M N = ▲ .2. lg 2lg50+= ▲ .3. 若(1)23g x x +=-，则(1)g = ▲ .4. 若函数2()1f x x ax =+-是偶函数,则a = ▲ .5.函数y =的定义域为 ▲ .6. 函数2log y x =的单调递减区间是 ▲ .7.已知32,0()log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则1(())3f f = ▲ .8. 函数2()lg(21)f x x x =-+的值域为 ▲ .9.已知0.90.90.90.7 1.1log ,log , 1.1a b c ===，则这三个数从小到大．．．．排列为 ▲ . 10. 定义两种运算：22,a b ab a b a b ⊕=⊗=+，则函数1()(1)2xf x x ⊕=⊗-的奇偶性为 ▲ .11. 设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2x f x x a =++，则(1)f -= ▲ . 12. 已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =∅ 则实数a 的取值范围为 ▲ . 13.若函数24y x x =-的定义域为[4,],a -值域为[4,32],-则实数a 的取值范围为 ▲ . 14.函数[]y x =称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数,[]x x 是不超过x 的最大整数，则 函数[]1(0.5 2.5)y x x =+-<<的值域为 ▲ .二、解答题：15. 设全集为R ，集合{}3<7A x x =≤，集合{}28B x x =<<，求()R A B ð及()R A B ð． 16. (1) 已知(),x x f x a a -=+若(1)3,f =，求(2)f 的值.(2)设函数3()log (),x x f x a b =-且3(1)1,(2)log 12.f f ==求,a b 的值.17. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()1f x x =-， （1）求函数()f x 的解析式； （2）作出函数)(x f 的图象.(3) 若函数)(x f 在区间[,1]a a +上单调，直接写出实数a 的取值范围.(不必写出演算过程)18. 如图,矩形ABCD 中, 4,3AB AD ==,,E F 分别是边,AB BC 上的点,且AE BF x ==,设五边形AEFCD 的面积为,s 周长为,c (1)分别写出,s c 关于x 的函数解析式,并指出它们的定义域.(2)分别求,s c 的最小值及取最小值时x 的值. （第18题图）19．已知函数2()1(,),f x ax bx a b x R =++∈为实数,设函数()()2g x f x kx =-， （1）若(1)0f =，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()f x 的表达式；（2）在（1）的条件下，若()g x 在[1,1]x ∈-上是单调函数，求实数k 的取值范围. （3）在（1）的条件下，求()g x 在[2,2]x ∈-上的最小值()h k .20．已知定义域为R 的函数121()2x x f x a +-=+是奇函数.（1）求a 的值； （2）求证：()f x 在R 上是增函数；（3）若对任意的t R ∈，不等式2(1)(1)0f mt f mt ++->恒成立，求实数m 的取值范围._________________________________________________________________________________________ 命题、校对、审核、制卷：易丽霞BF江苏省南通第一中学2011—2012学年度第一学期期中考试高一数学答案及评分标准一、填空题：1． {}1x x <2. 2 3． 3- 4. 05． [3,)+∞ 6. (0,1] ((0,1)亦正确) 7．128. R 9． ,,b a c 10. 奇函数 11． 2- 12. 2a ≤或3a > 13． 28a ≤≤ 14. }{0,1,2,3 二、解答题：15．(1) {}283A B x x =<<---------- 分 {()2R A B x x =≤ ð或}87x ≥----------分 (2) {3R A x x =<ð或}710x ≥----------分{()23R A B x x =<< ð或}7814x ≤<----------分 16.(1) (1)3f = 132a a -∴+=----------分212(2)()27-------------------6f a a aa --∴=+=+-=分 (2) (1)1f = 3log ()1ab ∴-= 39a b ∴-=----------分3(2)l o g 12f = 2233log ()log 12a b ∴-= 221212a b ∴-=----------分 由 22732141122a ab a b a ⎧=⎪-=⎧⎪⇒----------⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩分 17．(1) 1 0x =时,(0)02f =--------------分 2 设0x <,则0x ->当0x >时，2()1f x x =- 22()1()1f x x x ∴-=--=- ()f x 为定义在R 上的奇函数∴2()()14f x f x x =--=-----------分 综上: 221,0()0,051,0x x f x x x x ⎧->⎪==------------⎨⎪-<⎩分(2)分 (3) 1a <-或0a >15----------分 18．(1) 4,3AE BF x BE x CF x ==∴=-=- 2(4)12212322x x x s x -=-=-+-----分343c x x =+++- 106=----分 它们的定义域都是(0,3)8---------分(2) 22(2)20212(0,3)22x x s x x -+=-+=∈∴ 当2x =时, min 1011s =-------分10(0,3)t x =∈∴ 当2x =时, min 1015c =+-------分班级__________ 姓名______________ 考试号_________________…………………………密……………………………封…………………………线……………………BEF19. (1)显然0a ≠ (1)0101f a b =∴++=----------- 分 ,()x R f x ∈ 且的值域为2[0,)=b 403a +∞∴∆-=---------分 由22101()215240a b a f x x x b b a ++==⎧⎧⇒∴=-+----------⎨⎨=--=⎩⎩分(2) 2()(2)1g x ax b k x =+-+1 当0a =时, ()(2)1g x b k x =-+,()g x 在[1,1]x ∈-上单调,∴2b k ≠2 当0a ≠时,()g x 图象满足:对称轴:22k bx a-= ()g x 在[1,1]x ∈-上单调 ∴212k b a -≤-或212k ba-≥ ①当0a >时, 2b k a ≤-+或2b k a ≥+ ②当0a <时, 2b k a ≤+或2bk a ≥-+ 综上:略----10分(3) 1 当0a =时, ()(2)1g x b k x =-+①当20b k -=,即2bk =时, ()1h k =②当20b k ->,即2bk <时, ()(2)421h k g k b =-=-+ ③当20b k -<,即2bk >时, ()(2)421h k g k b ==-++2 当0a >时, ()g x 图象满足:对称轴:22k bx a-=且开口向上 ①当222k b a -<-,即22bk a ≤-+时, ()(2)4241h k g a b k =-=-++ ②当2222k b a --≤≤,即2222b b a k a -+≤≤+时, 22(2)()()124k b k b h k g a a--==-+ ③当222k b a ->,即22bk a ≤+时, ()(2)4241h k g a b k ==+-+ 3 当0a <时, ()g x 图象满足:对称轴:22k bx a-=且开口向下 ①当202k b a-<,即2bk >时, ()(2)4241h k g a b k ==+-+②当202k b a->,即2bk <时, ()(2)4241h k g a b k =-=-++ 综上:略----16分20．(1) 由(1)(1)0f f +-=得14202311a a a -+=⇒=-----------++分 检验: 2a =时, 121()22x x f x +-=+111212(21)12()222(22)22x x x xx x x x f x ---+-++----===+++()()0f x f x ∴+-=对x R ∈恒成立,即()f x 是奇函数.5-----------分(2)证明:令2,x t =则1111211(1)22212121t t y t t t t --==⋅=-=-++++ 设1212,x R x R x x ∈∈<且 2x t = 在R 上是增函数 120t t ∴<< 设120t t << 则12121111()2121y y t t -=---++ 211111t t =-++ 1212(1)(1)t t t t -=++12121200,10,10t t t t t t <<∴-<+>+> 12y y ∴<()f x ∴在R 上是增函数10---------------分 (3) ()f x 是奇函数∴不等式22(1)(1)0(1)(1)f mt f mt f mt f mt ++->⇔+>- ()f x 在R 上是增函数∴对任意的t R ∈，不等式2(1)(1)0f mt f mt ++->恒成立 即211mt mt +>-对任意的t R ∈恒成立 即220mt mt -+>对任意的t R ∈恒成立 1 0m =时,不等式即为20>恒成立,合题意; 2 0m ≠时,有280m m m >⎧⎨∆=-<⎩即08m << 综上:实数m 的取值范围为08m ≤<16-------------分。