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Floyd算法求最短路径问题一、背景介绍在图论中，最短路径是一个重要的研究领域。
最短路径问题可以归结为在一个有向带权图中寻找从一个顶点到另一个顶点的路径，使得路径上的所有边的权值之和最小。
解决最短路径问题的经典算法之一就是Floyd算法。
二、Floyd算法概述Floyd算法是一种动态规划算法，用于求解图中任意两个顶点之间的最短路径。
Floyd算法的基本思想是逐步地考虑图中所有的顶点作为中间节点，更新任意两个顶点之间的最短路径。
三、算法实现步骤Floyd算法的实现步骤如下：1.初始化距离矩阵：创建一个二维数组dist，用于存储任意两个顶点之间的最短路径距离。
如果存在一条直接的边连接两个顶点，则将对应位置的元素设为边的权值；否则，将对应位置的元素设为无穷大。
2.动态规划更新距离矩阵：利用三重循环遍历所有的顶点，每次循环都尝试通过当前顶点作为中间节点，更新任意两个顶点之间的最短路径距离。
具体地，对于任意的两个顶点i和j，如果存在另一个顶点k，使得经过顶点k的路径比直接连接的路径更短，则更新dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]。
3.输出最短路径：根据更新后的距离矩阵dist，可以轻松地得到任意两个顶点之间的最短路径。
四、算法复杂度分析Floyd算法的时间复杂度为O(N3)，其中N表示图中顶点的个数。
Floyd算法的空间复杂度为O(N2)，由于需要创建一个二维数组用于存储任意两个顶点之间的最短路径距离。
五、算法应用举例下面通过一个具体的例子来说明Floyd算法的应用。
假设有一个有向带权图，包含5个顶点和7条边，如下所示：2 30 ——► 1 ——► 2▲ / ▲ / ▲| / | /| / | /| / |/3 ——► 45图中顶点0到顶点2的最短路径为0→1→2，路径长度为5；顶点0到顶点3的最短路径为0→1→2→4→3，路径长度为11。
通过应用Floyd算法，我们可以得到所有顶点之间的最短路径。
matlab floyd最短路算法例题摘要：一、Floyd 算法介绍二、MATLAB 实现Floyd 最短路算法的例题三、Floyd 算法的应用案例四、总结正文：一、Floyd 算法介绍Floyd 算法是一种经典的动态规划算法，用于求解加权连通图（有向图、无向图）中所有顶点之间最短路的长度。
该算法可以处理带有负权边的图，并且时间复杂度为O(n3)。
Floyd 算法的基本思想是：从任意节点i 到任意节点j 的最短路径不外乎2 种可能，1 是直接从i 到j，2 是从i 经过若干个节点k 到j。
所以，我们假设Dis(i,j) 为节点u 到节点v 的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) Dis(k,j) < Dis(i,j) 是否成立，如果成立，证明从i 到k 再到j 的路径比i 直接到j 的路径短，我们便设置Dis(i,j) Dis(i,k) Dis(k,j)。
二、MATLAB 实现Floyd 最短路算法的例题以下是一个使用MATLAB 实现Floyd 算法的例题：```MATLABfunction [T,pred] = floyd(adj_matrix)% 输入：邻接矩阵% 输出：最短路径矩阵，预测矩阵= size(adj_matrix, 1);T = zeros(n, n);pred = zeros(n, n);for i = 1:nfor j = 1:nfor k = 1:nif i ~= k && i ~= j && k ~= jT(i, j) = min(T(i, j), T(i, k) + T(k, j));pred(i, j) = T(i, k) + T(k, j);endendendendend```三、Floyd 算法的应用案例Floyd 算法在网络分析、社交网络、生物信息学等领域具有广泛的应用。
例如，在网络分析中，Floyd 算法可以用于寻找网络中的最短路径，以便快速传递信息或货物。
Floyd算法Floyd算法是一种经典的图论算法，用于求解带权有向图中任意两个顶点之间的最短路径问题。
该算法由美国数学家罗伯特·弗洛伊德（Robert Floyd）于1962年提出，因此得名为Floyd算法。
Floyd算法是一种动态规划算法，它采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决子问题，最终得到解决整个问题的结果。
本文将从算法的背景、基本思想、实现方法及优缺点等方面对Floyd 算法进行详细阐述和分析。
一、算法的背景在讲Floyd算法之前，我们先来了解一下最短路径问题。
顾名思义，最短路径问题就是在给定图中找到两个给定节点之间的一条最短路径，也就是路径上各边权值之和最小的路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，比如网络路由、地图路径规划、航线安排等等。
在数学和计算机科学领域中，我们可以通过图论的方法来描述和解决这个问题。
一般来说，给定一张带权有向图G=(V, E)，其中V表示节点的集合，E表示边的集合。
每条边E(i,j)的权重为w(i,j)，表示从节点i到节点j的距离或成本。
那么最短路径问题就是在图中找到从节点s到节点t的一条最短路径P，并且P上的边权之和最小。
最初求解的思路是按照类似深度优先搜索的方式，逐个遍历所有路径，然后依次比较它们的距离，找到最短路径。
但这种方式显然是不可行的，因为它的时间复杂度非常高。
所以，我们需要设计一种更高效的算法，以求得最短路径问题的最优解。
二、算法的基本思想Floyd算法就是一种高效地解决最短路径问题的方法。
它采用了“动态规划”的思想，通过逐步求解子问题，最终得到完整的最短路径。
而解决子问题的方式则是采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决。
具体地说，Floyd算法采用了“中转节点”的概念，我们可以将问题转化为这样一个子问题：对于每个节点i和节点j，假设我们已经知道了它们之间的最短路径长度为d[i][j]，那么考虑一下节点k作为中转节点，它可以为i和j之间的路径P提供一个“中转服务”，将P拆分为两条路径：i-->k和k-->j。
简介Floyd 算法⽬录1. 定义Floyd 算法是⼀种⽤于寻找给定的加权图中顶点间最短路径，是经典的多源最短路径算法，可以有效地处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被⽤于计算有向图的传递闭包。
Floyd 算法的时间复杂度为 O (N 3)，空间复杂度为 O (N 2)。
2. 优缺点优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。
缺点：时间复杂度⽐较⾼，不是和计算⼤量数据。
3. 基本思想Floyd 算法属于动态规划算法，即寻找节点 i 到节点 j 的最短路径。
Step 1: 初始距离定义 n 节点⽹络的邻接矩阵 A n ×n ，矩阵中的元素为 a i ,j 为节点 i 到节点 j 的⼀步的直线距离。
令 A (0)=A ，其初始元素为 a (0)i ,j 则该距离有如下三种情况：a (0)i ,j =c i ,j , i ,j 相连0, i =j∞, i ,j 不相连其中，节点 i , j 之间有直线连接时，则 a (0)i ,j 为其距离值 c i ,j ；节点 i 到⾃⾝的距离为 0；节点 i , j 之间没有直线连接时，则 a (0)i ,j 则为 ∞，如下图：则该初始邻接矩阵 A 为：即节点0与节点0⾃⾝距离值为0，即 A [0][0]=0；节点0与节点1之间有直线连接，距离值为5，即 A [0][1]=5；节点0与节点2之间没有直线连接，则距离值为 ∞，即 A [0][2]=∞；节点0与节点3之间有直线连接，距离值为7，即 A [0][3]=7 ……其他节点间的初始距离可依次写出，即为该邻接矩阵 A 。
Step 2: 借中转节点迭代找最短路径节点 i , j 间⼀步达不到时，则需要在两节点之间通过其他节点（如节点 k ）作连接：在 A 矩阵上做 n 次迭代，k =1,⋯,n ，第 k 次迭代a k i ,j =min (a k −1i ,j ,a k −1i ,k +a k −1k ,j )即在节点 i 和节点 j 之间找到⼀条最短距离的路径，如下图：图中的节点 i 到节点 j 之间的直线距离 (i →j ) 为 6，但经过节点 k 作中转后，节点 i 到节点 j 之间的直线距离 (i →k →j ) 为 2+3=5，因此 a k i ,j =min (6,5)=5。
求最短路径算法总结分类：数据结构标签：floyd算法it部分内容参考All-Pairs 的最短路径问题:所有点对之间的最短路径Dijkstra算法是求单源最短路径的，那如果求图中所有点对的最短路径的话则有以下两种解法：解法一：以图中的每个顶点作为源点，调用Dijkstra算法，时间复杂度为O(n3)；解法二：Floyd（弗洛伊德算法）更简洁，算法复杂度仍为O(n3)。
n正如大多数教材中所讲到的，求单源点无负边最短路径用Dijkstra，而求所有点最短路径用Floyd。
确实，我们将用到Floyd算法，但是，并不是说所有情况下Floyd都是最佳选择。
对于没有学过Floyd的人来说，在掌握了Dijkstra之后遇到All-Pairs最短路径问题的第一反应可能会是：计算所有点的单源点最短路径，不就可以得到所有点的最短路径了吗。
简单得描述一下算法就是执行n次Dijkstra算法。
Floyd可以说是Warshall算法的扩展了，三个for循环便可以解决一个复杂的问题，应该说是十分经典的。
从它的三层循环可以看出，它的复杂度是n3，除了在第二层for中加点判断可以略微提高效率，几乎没有其他办法再减少它的复杂度。
比较两种算法，不难得出以下的结论：对于稀疏的图，采用n次Dijkstra比较出色，对于茂密的图，可以使用Floyd算法。
另外，Floyd可以处理带负边的图。
下面对Floyd算法进行介绍：Floyd算法的基本思想：可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。
如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k 与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。
每对顶点间的最短路径——弗洛伊德（Floyd）算法解决此问题有两种方法：其一是分别以图中每个顶点为源点共调用n次Dijkstra算法；其二是采用Floyd算法。
两种算法的时间复杂度均为O(n3)，但后者形式上比较简单。
Floyd算法的基本思想：（1）利用二维数组A[1..n-1][1..n-1], A[i][j]记录当前vi到vj的最短路径长度，数组A的初值等于图的代权临街矩阵;（2）集合S记录当前允许的中间顶点，初值S=Φ;（3）依次向S中加入v0 ,v1…vn-1，每加入一个顶点，对A[i][j]进行一次修正：设S={v0 ,v1…vk-1}，加入vk，则A(k)[i][j] = min{ A(k-1)[i][j]，A(k-1)[i][k]+A(k-1)[k][j]}。
A(k)[i][j]的含义：允许中间顶点的序号最大为k时从vi到vj的最短路径长度。
A(n-1)[i][j]就是Dijkstra算法的基本思路是：假设每个点都有一对标号(dj, pj)，其中dj是从起源点s到点j的最短路径的长度(从顶点到其本身的最短路径是零路(没有弧的路)，其长度等于零)；pj则是从s到j的最短路径中j点的前一点。
求解从起源点s到点j的最短路径算法的基本过程如下：1) 初始化。
起源点设置为：①ds=0, ps为空;②所有其他点: di=∞, pi= ;③标记起源点s，记k=s,其他所有点设为未标记的。
2) 检验从所有已标记的点k到其直接连接的未标记的点j的距离，并设置：dj=min〔dj, dk+lkj〕式中，lkj是从点k到j的直接连接距离。
3) 选取下一个点。
从所有未标记的结点中，选取dj 中最小的一个i：di=min〔dj, 所有未标记的点j〕点i就被选为最短路径中的一点，并设为已标记的。
4) 找到点i的前一点。
从已标记的点中找到直接连接到点i的点j*，作为前一点,设置：i=j*5) 标记点i。
如果所有点已标记，则算法完全推出，否则，记k=i，转到2) 再继续。
floyd判圈法（原创版）目录1.Floyd 判圈法的概念和原理2.Floyd 判圈法的应用场景3.Floyd 判圈法的具体算法步骤4.Floyd 判圈法的优点和局限性正文Floyd 判圈法是一种用于检测一个整数是否在一个给定的循环中出现的算法，也被称为 Floyd 循环检测算法。
该算法由计算机科学家Robert C.Floyd 在 1973 年提出，是解决循环问题的一种有效方法。
Floyd 判圈法的原理是基于“鸽巢原理”，即如果一个集合中的元素数量大于集合的容量，那么至少有一个元素会出现两次或以上。
在 Floyd 判圈法中，我们通过检测给定的整数序列中是否存在循环来判断整数是否在一个循环中。
Floyd 判圈法的应用场景包括：检测一个整数序列是否存在循环、检测一个整数序列中的循环次数以及找到循环的周期等。
这些应用在计算机科学、信息理论和密码学等领域都有重要的意义。
Floyd 判圈法的具体算法步骤如下：1.初始化一个计数器，用于记录每个整数出现的次数。
2.遍历给定的整数序列，对于每个整数，将其对应的计数器加一。
3.如果在遍历过程中发现某个整数的计数器值为零，则说明该整数不在循环中。
4.如果所有整数的计数器值都为零，则说明给定的整数序列不存在循环。
5.如果存在一个整数的计数器值大于零，则说明给定的整数序列存在循环，且循环的长度为该整数的计数器值。
Floyd 判圈法的优点在于其简单易懂，算法效率较高，时间复杂度为O(n)，其中 n 为给定整数序列的长度。
然而，Floyd 判圈法也存在局限性，它只能检测出循环的存在，而不能检测出循环的具体形式，也不能检测出多个循环。
总之，Floyd 判圈法是一种有效的循环检测算法，适用于检测整数序列中是否存在循环以及循环次数的计算。
Floyd算法简介⼀.Floyd算法的介绍1.算法的特点：弗洛伊德算法是解决任意两点间的最短路径的⼀种算法，可以正确处理⽆向图或有向图或负权（仅适合权值⾮负的图)的最短路径问题，同时也被⽤于计算有向图的传递闭包。
2.算法的思路： 通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引⼊两个矩阵，矩阵S中的元素a[i][j]表⽰顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
矩阵P（记录最短路的路径需要，若题⽬不需要求路径则不需要P数组）中的元素b[i][j]，表⽰顶点i到顶点j经过了顶点b[i][j]。
假设图G中顶点个数为N，则需要对矩阵D和矩阵P进⾏N次更新。
初始时，矩阵D中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞，矩阵P的值为顶点b[i][j]的j的值。
接下来开始，对矩阵D进⾏N次更新。
第1次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][0]+a[0] [j]”(a[i][0]+a[0][j]表⽰”i与j之间经过第1个顶点的距离”)，则更新a[i][j]为”a[i][0]+a[0][j]”,更新b[i][j]=b[i][0]。
同理，第k次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][k-1]+a[k-1][j]”，则更新a[i][j]为”a[i][k-1]+a[k-1][j]”,b[i][j]=b[i][k-1]。
实质上是背包DP问题，最外层循环是k，表⽰利⽤前k个作为中间计算a[i][j]的最⼩值，本来需要三位数组a[k][i][j]，因为第k次循环只会⽤到a[k-1][i][j]，所以利⽤滚动数组，使⽤⼆维数组即可。
更新N次之后，操作完成！时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。
核⼼代码：1for(k=0;k<n;k++)2for(i=0;i<n;i++)3for(j=0;j<n;j++)4if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])5 a[i][j]=a[i][k]+a[k][j],b[i][j]=b[i][k]; 只有5⾏！现在你会发现这个看起来很⾼⼤上的算法很简单了，算是最短路的4个算法⾥最暴⼒的了！ 3.实例： 题意：有n种动物，m种直接转换的咒语，且转换具有传递性，求从哪⼀种动物到另⼀种的动物的最长咒语的最⼩值，若不能转换到所有动物，则输出0. 思路：Floyd算法的裸应⽤，将动物抽象为点，咒语长度抽象为边的权值，代码如下：#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int inf=0x3f3f3f3f;int n,m,a,b,c;int mp[105][105];int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(i!=j) mp[i][j]=inf;while(m--){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);mp[a][b]=c;mp[b][a]=c;}for(int k=1;k<=n;++k)for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(mp[i][j]>mp[i][k]+mp[k][j])mp[i][j]=mp[i][k]+mp[k][j];int maxi,minv=0,res=inf;for(int i=1;i<=n;++i){maxi=0;for(int j=1;j<=n;++j)if(mp[i][j]>maxi)maxi=mp[i][j];if(maxi<res)res=maxi,minv=i;}if(minv)printf("%d %d\n",minv,res);elseprintf("0\n");return0;}。
弗洛伊德（Floyd）算法最短路径问题：从某个顶点出发到达另外⼀个顶点的所经过的边的权重和最⼩的⼀条路径弗洛伊德算法解决最短路径问题1.基本思想（1）计算图中各个顶点之间的最短路径，每⼀个顶点都是出发访问点，所以需要将每⼀个顶点看做被访问顶点，求出从每⼀个顶点到其他顶点的最短路径（2）所有顶点都作为中间节点遍历⼀次，每次遍历将各个顶点经过中间节点到另⼀个节点的距离，与不经过该节点的距离相⽐较，若经过中间节点的距离更⼩，就更新距离表与前驱关系（3）时间复杂度O(n3)，所有顶点作为出发点、中间节点、终点，每个顶点都要遍历3次2.步骤（1）设置顶点 a 到顶点 b 的最短路径已知为 L ab，顶点 b 到 c 的最短路径已知为 L bc，顶点 a 到 c 的路径为 L ac，则 a 到 c 的最短路径为：min ( ( L ab + L bc ), L ac )，b 的取值为图中所有顶点，则可获得 a 到 b 的最短路径（2）⾄于 a 到 b 的最短路径 L ab或者 b 到 c 的最短路径 L bc，是以同样的⽅式获得（3）三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点代码实现import java.util.Arrays;public class Floyd {//弗洛伊德算法解决最短路径问题public static final int BLOCK = 65535;//表⽰顶点之间不直接连通public static void main(String[] args) {char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//顶点到⾃⾝距离为0int[][] matrix = {{0, 5, 7, BLOCK, BLOCK, BLOCK, 2},{5, 0, BLOCK, 9, BLOCK, BLOCK, 3},{7, BLOCK, 0, BLOCK, 8, BLOCK, BLOCK},{BLOCK, 9, BLOCK, 0, BLOCK, 4, BLOCK},{BLOCK, BLOCK, 8, BLOCK, 0, 5, 4},{BLOCK, BLOCK, BLOCK, 4, 5, 0, 6},{2, 3, BLOCK, BLOCK, 4, 6, 0}};Graph graph = new Graph(matrix, vertex);graph.floyd();graph.result();}}//带权⽆向图class Graph {public char[] vertex;//存放顶点public int[][] matrix;//保存各个顶点到其它顶点的距离，初始为直接连接的距离，算法计算后为最短距离public int[][] relay;//保存中间结点//构造器public Graph(int[][] matrix, char[] vertex) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;this.relay = new int[vertex.length][vertex.length];//三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {Arrays.fill(relay[i], i);//初始中间顶点为⾃⾝}}//显⽰算法结果public void result() {for (int k = 0; k < vertex.length; k++) {for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {System.out.println(vertex[k] + " 到 " + vertex[i] +" 最短路径 " + matrix[k][i] +" 中间结点 " + vertex[relay[k][i]]);}System.out.println();}}//弗洛伊德算法public void floyd() {int temp;//保存i到j的距离for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {//出发点ifor (int j = 0; j < matrix.length; j++) {//中间顶点jfor (int k = 0; k < matrix.length; k++) {//终点ktemp = matrix[i][j] + matrix[j][k];//求从i出发，经过k，到达j的距离 if (temp < matrix[i][k]) {matrix[i][k] = temp;//更新距离relay[i][k] = relay[j][k];//更新中间顶点}}}}}}。
