粘性流体力学基本方程组

①连续性方程推导依据：质量守恒，密度变化导致减少的质量=净流出的质量x 方向：单位时间由ABCD 流入质量：dydz dx x u u dx x )2)(2(∂∂-∂∂-ρρ 单位时间由EFGH 流出质量：dydz dx x u u dx x )2)(2(∂∂+∂∂+ρρ 净流出质量：dxdydz x u dxdydz x u x u ∂∂=∂∂+∂∂)()(ρρρ 同理y 、z 方向dxdydz y v ∂∂)(ρ，dxdydz zw ∂∂)(ρ 单位时间密度变化导致减少的质量dxdxdz t ∂∂-ρ所以连续性方程0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u t ρρρρ（微分形式）矢量形式0)(·=∇+∂∂v tρρ连续性方程是流体流动最基本的方程，任何流体连续运动均必须满足。

②理想流体运动方程（欧拉运动方程）理想流体是一种设想的没有黏性的流体,在流动时各层之间没有相互作用的切应力。

推导依据：牛顿第二定律（动量定理）合外力等于动量对时间的变化率x 方向 面力：dydz dx x p p dydz dx x p p )2()2(∂∂--∂∂+ 质量力：dxdydz f x ρ 合外力dydz dx x p p dydz dx x p p dxdydz f x )2()2(∂∂--∂∂++ρ 动量对时间的变化率dxdydz dt du ρ 整理得xp f dt du x ∂∂+=ρ1 同理y 、z 方向y p f dt dv y ∂∂+=ρ1，zp f dt dw z ∂∂+=ρ1 理想流体运动方程z p f dt dw y p f dt dv xp f dt du z y x ∂∂+=∂∂+=∂∂+=ρρρ111，矢量形式p f dt v d ·1∇+=ρ可写成zp f z w w y w v x w u t w dt dw yp f z v w y v v x v u t v dt dv xp f z u w y u v x u u t u dt du z y x ∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρ111 根据亥姆霍兹速度分解定理v v t v v v rot v t v v v t v dt v d ⨯+∇+∂∂=⨯+∇+∂∂=∇+∂∂=ω222·22所以欧拉运动方程可以写成兰姆-葛罗米柯方程p f v v t v ∇+=⨯+∇+∂∂ρω1222，把有旋部分凸显出来。

连续性方程：单位时间内从x, y, z 方向流入体积元的质量流量为:dydx v dxdz v dydz v z y x ρρρ,, 单位时间内从x, y, z 方向流出体积元的质量流量为:dydx v dxdz v dydz v dz z dy y dx x +++ρρρ,, 有:dydx v v dxdz v v dydz v v dxdydz tdz z z dy y yx dx x x )()()(+++-+-+-=∂∂ρρρρρρρ其中: dx x v v v x x dxx ∂∂+=+ρρρ；dy yv v v y y dy y ∂∂+=+ρρρ；dz z v v v zz dz z ∂∂+=+ρρρ； 可得连续性方程:v div v zv y v x v t i z y x ρρρρρρ-=∙-∇=∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂)()( 全微分形式推导：密度ρ是时间t 和空间x, y, z 的函数，即ρ= ρ(t, x, y , z )，则根据全微分定义可得：dz zdy y dx x dt t d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρρρ 对t 求导可得：z v y v x v t dt dz z dt dy y dt dx x t dt d zy x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=ρρρρρρρρρ zv y v x v t t dt d zy x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=ρρρρρρρ…………全微分形式 ρρρρρ)(∇∙+∂∂=∇∙+∂∂=v v tt dt d , 由ρρρρ∇∙-∙∇-=∙-∇=∂∂v v v t )(可得：)( zvy v x v d i v dt d z y x v v v v v ∂∂+∂∂+∂∂-=-=∙∇-=∇∙+∇∙-∙∇-=ρρρρρρρ随体导数：dt d ；定义为：zv y v x v t t Dt D z y x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=)( 任一物理量随体导数形式为：zFv y F v x F v t F F t F Dt DF zy x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=运动方程：物理意义：∑=ii F dt d mv ；其中dt d dxdydz dt d V dt d m v v v ⋅=⋅=ρρzv y v x v t t dt d v v v v v v v v z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=：x 方向：zvv y v v x v v t v dt dv x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= y 方向：zv v y v v x v v t v dt dv y z y y y x y y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= z 方向：zv v y v v x v v t v dt dv z z z y z x z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 质量力：zz g y y g xx g g dxdydz mg F g dxdydz mg F g dxdydz mg F z y x )()()(ρρρ======表面力：定义：SFS n δδσδlim)(→= 流出流体表面力的泰勒级数展开（x 向为例）：dxdydz zdxdy dxdz dy y dxdz dydz dx x dydz zx zx x dz z xyyx x dy y xxxx x dx x )()()()()()(∂∂+=∂∂+=∂∂+=+++σσσσσσσσσ净面力计算（x 向为例）：dxdydz z y x dxdydz z dxdy dxdy dxdydz y dxdz dxdz dxdydz x dydz dydz F zxyx xx xzzx x dz z xy yxx dy y xx xx x dx x )()()()(∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=-∂∂=-∂∂=-=+++∑σσσσσσσσσσσσdxdydzz y x F dxdydz zy x F dxdydz z y x F zz yz xz z zyyy xy y zxyx xx x )()()(∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=σσσσσσσσσ各轴向动量变化率： 各轴向∑F ：dt d dxdydz dt d m dt d dxdydz dt d m dtd dxdydz dt d m zz y y x x νρννρννρν=== dxdydz zy x dxdydz g F F F dxdydz z y x dxdydz g F F F dxdydz z y x dxdydz g F F F zz yz xz z z gz z zyyy xy y y gy y zx yx xx x x g xx )()()(∂∂+∂∂+∂∂+=+=∂∂+∂∂+∂∂+=+=∂∂+∂∂+∂∂+=+=∑∑∑σσσρσσσρσσσρ各轴线方向分量的运动方程：zy x g dt d zy x g dt d z y x g dt d zz yz xz z zzy yy xy y y zx yx xx x x ∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=σσσρνρσσσρνρσσσρνρ 运动方程的张量形式：ij i i j ji i i g DtDvx g Dt Dv σρρσρρ∙∇+=∂∂+=或 ij ij ij p τδσ+-=实用的粘性流体剪切流动的运动方程： ij i ip g DtDv τρρ∙∇+∇-= )(zy x i p g Dt Dv ziyi xi i i ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=τττρρ运动方程在直角坐标系中各方向分量的全微分展开形式：x 方向：)()(zy x x p g z v v y v v x v v t v zx yx xx x x z x y x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρy 方向：)()(z y x y p g z v v y v v x v v t v zyyy xy y y z y y y x y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ z 方向：)()(zy x z p g z v v y v v x v v t v zzyz xz z z z z y z x z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ 运动方程物理意义：表面粘性力压力重力体积动量局部动量)()(z y x i p g z v v y v v x v v t v ziyi xi i i z i y i x i ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ能量方程：物理意义：总能量变化率＝单位体积流动能量E 1＋热能净流量E 2＋应力做功E 3＋重力做功E 4 总能量变化率：tE ∂∂)(ρ 单位体积流动能量E 1：)(1i E E ρν∙-∇=x 方向：dV x E dxdydz x E dxdydz x E dydz E dydz E x x x x x ∂∂-=∂∂-=∂∂+-)()())((ρνρνρννρνρ y 方向：dV yE dydxdz y E dydxdz y E dxdz E dxdz E y y y y y ∂∂-=∂∂-=∂∂+-)()())((ρνρνρννρνρz 方向：dV z E dzdxdy z E dzdxdy z E dxdy E dxdy E z z z z z ∂∂-=∂∂-=∂∂+-)()())((ρνρνρννρνρ热能净流量E 2：)(2i q E ∇-=设沿着x 轴，y 轴，z 轴方向在单位时间、单位面积流入的热流密度（即热通量）分别为q x ， q y ，q z ： x 方向：dV x qdydz dx x q q dydz q x x x x ∂∂-=∂∂+-)( y 方向：dV yqdxdz dy y q q dxdz q y y y y ∂∂-=∂∂+-)( z 方向：dV zqdxdy dz z q q dxdy q z z z z ∂∂-=∂∂+-)( 应力做功E 3： )(3i ij j i ijv x v E ∙∙∇=∂∂=σσ 推导原理：dv dF dtdsdF dt dE F ⋅=⋅= x 方向： dV xz xz y xy x xx )(νσνσνσ++∂∂y 方向：dV yz yz y yy x yx )(νσνσνσ++∂∂z 方向：dV zz zz y zy x zx )(νσνσνσ++∂∂ji ij j i jix x ∂∂=∂∂νσνσσ有，作为 对称张量 重力做功E 4：i i v g E ⋅=ρ4 能量方程张量形式：i i ij i i v g v q E tE ∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∂∂i )()()(ρσρνρ 能量方程全微分形式推导（实用能量方程）：总能量E = 内能U + 动能K 单位体积能量变化率：dtdKdt dU dt dE ρρρ+= 1. 求解dtdE做随体导数展开：E tE dt dE v ∇∙+∂∂= 同乘以ρ得：E t Edt dE v ∇∙+∂∂=ρρρ有能量方程张量形式：v v v g q E tE t E t E ∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∂∂+∂∂=∂∂ρσρρρρ)()()(有运动方程偏微分形式：)(v tρρ∙-∇=∂∂ )(v E tEρρ∙∇-=∂∂ 带入随体导数形式可得： E E g q E E tE t E dt dE v v v v v v ∇∙+∙∇∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∇∙+∂∂-∂∂=+ρρρσρρρρρ)()()()(对第一项做∇运算展开：E E E vv v ∇∙+∙∇=∙∇ρρρ)()( 代入可得：v v g q dtdE∙+∙∙∇+-∇=ρσρ)( 2. 求解dt dU有：v v g q dtdK dt dU dt dE ∙+∙∙∇+-∇=+=ρσρρρ)(其中：dtdv v dt v d dt m mvd dt dK ⋅===222121，所以dt d dt dK v v ⋅=ρρ 代入可得：dtd g q dt dK dt dE dt dU v v v v ⋅-∙+∙∙∇+-∇=-=ρρσρρρ)( 有运动方程全微分形式：σρρ∙∇+=g dtd v ， 代入可得： )()()()(σσσρρσρ∙∇∙-∙∙∇+-∇=∙∇∙-∙-∙+∙∙∇+-∇=v v v v v v q g g q dtdU 有张量恒等式置换： v v v ∇=∙∇∙-∙∙∇:)()(σσσ(其中v ∇为并矢运算)，代入可得：i ij i v q dtdU∇+-∇=:σρ又ij ij ij p τδσ+-=，代入可得：i ij i i v v p q dtdU∇+∇--∇=:τρ3. 求解dtdT内能U 是温度T 和体积V 的函数，其全微分形式为：dV V U dT C dV V U dT T U dU T V T V )()()(∂∂+=∂∂+∂∂=，其中V V TU C )(∂∂=………定容比热容； 由热力学第二定律，将dU 写为熵变与体积关系：pdV TdS dW dQ dU -=-=将其在恒温下对体积求导可得： p V ST V U T T -∂∂=∂∂)()(由麦克斯韦热力学函数关系：T V V S T p )()(∂∂=∂∂，代入可得：p Tp T V U V T -∂∂=∂∂)()( 将其代入dU 全微分形式：dV p TpT dT C dU V V ])([-∂∂+= 写为dt dU形式：dtdV p T p T dt dT C dt dU V V ρρρ])([-∂∂+=其中，iv dt d dt d dt d dt dV v ∙∇=∙∇-⋅-=⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)(11112ρρρρρρρρρρ代入可得：i V V v p T pT dt dT C dt dU ∙∇-∂∂+=])([ρρ联立dtdU ρ两个表达式：i ij i i i V V v v p q v p T p T dt dT C ∇+∇--∇=∙∇-∂∂+:])([τρ至此，可求得以dtdT描述的能量方程全微分形式：i ij i i V v v Tp T q dt dT C ∇+∙∇∂∂--∇=:)()(τρρ，其中V T p T p )()(∂∂≡∂∂ρ能量方程全微分展开形式：∑+∂∂+∂∂+∂∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ij z y x V z y x z y x V A zv y v x v T p T z q y q x q z Tv y T v x T v t T C )()()()(或ρρ 其中:)()()()(yv z v x vz v x v y v z v y v x v A z y yz z x xz y x xy z zz y yy x xxij ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∑ττττττ 注：i ij v ∇:τ的并矢运算和双点积)()()(::332211zvy v x v z v y v x v z v y v x v A A A z v z v z v y v y v y v x v x v xv v A z zz z zy z zx y yz y yy y yx x xz x xy x xx z y x z y x z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx i ij ij ∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∇=∑τττττττττττττττττττ 又ji ij ττ=，移项整理可得：)()()()(yv z v x vz v x v y v z v y v x v A z y yz z x xz y x xy z zz y yy x xxij ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∑ττττττ 傅立叶热传导方程推导：设流体不可压缩，且流体粘度很低，则可忽略膨胀功与摩擦生热作用；能量方程可简化为：i Vq dtdTC -∇=ρ 将导热通量i q 在x, y, z 三个方向展开：zTq y T q x T q z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=λλλ, , 则单位时间通过流体微元的导热量为：T zT yT xT q ∇-=∂∂+∂∂+∂∂-=λλλλ)(代入简化能量方程，有：T C T q dt dT C Vi V∆=∇--∇=-∇=ρλλρ)(定义扩散系数（导温系数）a ：VC a ρλ=单位：s m /2 其中：λ为导热系数，单位：K m W ⋅/；ρ为密度； V C 为定容比热容，单位：K kg J ⋅/ 引入扩散系数a ，则写为傅立叶热传导方程：T a DtDT∆=。

纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)名称由来Navier-Stokes equations描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。

简称N-S方程。

因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。

该方程是可压缩流体的N-S方程。

其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；pN-S方程意义后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。

N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。

它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。

例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=－Ñp+ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。

在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。

基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。

第一个是流体是连续的。

这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。

另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。

该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。

对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。

该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。

该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。

纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·盖伯利尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。

第五章
粘性流体动力学
5.2 粘性流体中的运动方程式
P P P
5.2.2奈维-斯托克斯运动方程
流体力学第五章
一、应力与变形的关系
关于四个假设的说明：
（1）虽然这些假设本身以及由其所得到的结果曾经
为实践所近似地或很好地证实，但在逻辑的程度上，
不像欧拉对理想流体所建立的数学理论那样严密。

（2）有些假设是可以立刻接受的，有些则具有相当
大的近似性。

第一假设偏差较小：没有粘性时，主应力的值等于压强，即
123P P P P
1,2,3
1
2
3
,,p p P P P P P P p 考虑粘性时，主应力有了附加项，因此有可能把粘性
主应力写成压强和附加应力之和：
注：大P 代表应力张量，小p 代表压强。

第二假设偏差较大：应力主轴与变形主轴重合，而且附加应力和主变形之间有线性关系，即
111121322122233
313233'''P a b c P a b c P a b c
第三假设：流体为力学上各向同性的物质
11231
1112132
212223221333132333312p a b p a b c p a b c p a b p a b c p a b
123231312a b c a a a b b c c b
2,a b 令则
1123112
123223
12333222222p b b V p b b V p b b V
112233
222P b V P b V p p p P b V。

第八章 粘性流体动力学基础一、内容小结本章为粘性流体动力学的理论基础部分，主要建立了粘性流体运动的基本微分方程式即 N-S 方程，所采用的方法同欧拉运动微分方程的推导类似，即仍然从牛顿第二定理出发采用微分体积法进行推导。

最后给出了两个特殊情况下N-S 方程的求解。

1．作用于粘性流体上的力：粘性流体的表面力：对于理想流体：表面力垂直作用面，沿内法线方向：P np =−J K Kp=p(x,y,z,t) 是标量，对于粘性流体：表面力即不垂直作用面，且与n K 有关，()n P p n =⋅J K JJ K K是张量。

一点的应力表示xx xy xz ij yxyy yz zxzyzz p p p p ττττττ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦应力： 第一个下标，表示应力作用面的法线；ij p 第二个下标，表示应力所投影的坐标轴。

应力的方向：法应力xxyy p p p zz ：拉为正，压为负。

切应力,,,,,xy yx yz zy zx xz ττττττ：作用面的外法线与坐标轴指向一致时为正。

其中切应力,,xy yx yz zy zx xz ττττττ===(13)xx yy zz p p p p =−++称粘性流体的压力， 与作用面的方位无关。

粘性流体的质量力：与理想流体类似如重力，惯性力等 2．粘性流体应力形式的运动微分方程1()yx x xx zx dV pX dt p x y z ττ∂∂∂=+++∂∂∂1()yxy yy dV p Y dt x y zzyττρ∂∂∂=+++∂∂∂1()yz xz z z p dV Z dt x y zτz τρ∂∂∂=+++∂∂∂矢量形式为：1(yx z p p p dV F dt x y zρ∂∂∂=+++∂∂∂J K J K J K J KJ K方程中未知量为：,,,,,,,,,x y z xx yy zz xy yz zx V V V p p p ρτττ共十个，粘性流体运动微分方程在直角坐标系下有三个方程，加上连续性方程，共四个方程，而未知数十个，因而方程不封闭，求解须补充方程。

CAE的基本原理1）粘性流体力学的基本方程(1) 广义牛顿定律，反映了一般工程问题范围内粘性流体的应力张量与应变速率张量之间的关系，数学表达式为本构方程。

(2) 质量守恒定律，其含义是流体的质量在运动过程中保持不变，数学表达式为连续性方程。

(3) 动量守恒定律，其含义是流体动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和，数学表达式为运动方程。

(4) 热力学第一定律，其含义是系统内能的增加等于对该系统所作的功与加给该系统的能量之和，数学表达式为能量方程。

2）塑料熔体充模流动的简化和假设(1) 由于型腔壁厚(z向)尺寸远小于其他两个方向(x和y方向)的尺寸且塑料熔体粘性较大，所以熔体的充模流动可视为扩展层流，z向的速度分量可忽略不计，且认为压力不沿z向变化。

(2) 充模过程中熔体压力不是很高，因此可视熔体为未压缩流体。

(3) 由于熔体粘性较大，相对于粘性剪切应力而言，惯性力和质量力都很小，可忽略不计。

(4) 在熔体流动方向(x和y方向)上，相对于热对流项而言，热传导项很小，可忽略不计。

(5) 熔体不含内热源。

(6) 在充模过程中，熔体温度变化不大，可认为比热容和导热系数是常数。

(7) 熔体前沿采用平面流前模型。

3）塑料熔体充模流动的控制方程5）数值计算实施过程与策略CAE软件的应用过程。

首先根据制品的几何模型剖分具有一定厚度的三角形单元，对各三角形单元在厚度方向上进行有限差分网格剖分，在此基础上，根据熔体流动控制方程在中性层三角形网格上建立节点压力与流量之间的关系，得到一组以各节点压力为变量的有限元方程，解方程组求得节点压力分布，同时将能量方程离散到有限元网格和有限差分网格上，建立以各节点在各差分层对应位置的温度为未知量的方程组，求解方程组得到节点温度在中性层上的分布及其在厚度方向上的变化，由于压力与温度通过熔体粘度互相影响，因此必须将压力场与温度场进行迭代耦注射温度熔体流入冷却的型腔，因热传导而散失热量。