2017-2018学年北京师大附中高一上学期期中考试数学卷word版含答案

2017-2018学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角2.下列函数中，在R上为奇函数的是（）A. B. C. D.3.函数的一个对称中心是（）A. B. C. D.4.设全集U=R，集合＜＜，B={x|ln x＞0}，则A∩B=（）A. B. C. D.5.已知a=2log32，b=log35，，则（）A. B. C. D.6.已知＜＜，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.把函数的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos3x的图象（）A. 向左平行移动个单位B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位D. 向右平行移动个单位8.设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），则f（-100）的值为（）A. B. C. D. 2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：=______．10.当，时，函数f（x）=tan x的值域为______．11.角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=______．12.已知a＞0，则不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为______．13.若存在x＞0，使得＜，则实数a的取值范围是______．14.已知函数y=f（x）是定义在区间[a，b]上的增函数，其中a，b R，且0＜b＜-a．设函数F（x）=|f（x）|-|f（-x）|，且F（x）不恒等于0，则下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的序号）①F（x）的定义域为[-b，b]；②F（x）是奇函数；③F（x）的最小值为0；④F（x）在定义域内单调递增．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知，且α（0，π）．（Ⅰ）求cosα；（Ⅱ）求的值．16.已知函数．（Ⅰ）求；（Ⅱ）当，时，求函数f（x）的最值及对应x的值．17.已知函数＞，＞，＜的部分图象如图所示，N为f（x）图象的一个最高点，M、Q为f（x）图象与x轴的交点．（Ⅰ）若，，，，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ为直角三角形，求A•ω的值．18.m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下面是该港口的水深表：经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，已知该曲线可近似的看成函数y=A sinωt+B的图象．（Ⅰ）试根据水深表和曲线，求A，ω，B的值；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）请说明理由．19.已知函数．（Ⅰ）若f（a）=1，求a的值；（Ⅱ）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）写岀方程f（x）=sin x+2根的个数（不需证明）．20.给定函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：对任意的x[t-a，t+b]，|f（x）-f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（Ⅰ）是否存在函数f（x），使得H（t）是R上的常值函数？试说明理由；（Ⅱ）若f（x）=x2，当t[l，2]时，①求函数H（t）的解析式；②求函数H（t）的值域．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2.【答案】B【解析】解：对于A，f（x）是偶函数，对于B，f（x）是奇函数，对于C，D，f（x）是非奇非偶函数，故选：B．根据函数的奇偶性的定义判断即可．本题考查了函数的奇偶性，熟练掌握函数的单调性的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：令x-=kπ，k Z，求得x=kπ+，故函数的对称中心为（kπ+，0），令k=0，可得函数的一个对称中心是（，0），故选：B．利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的一个对称中心．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵=（-1，3），B={x|lnx＞0}=（1，+∞），∴A∩B=（1，3）．故选：C．求解指数不等式和对数不等式化简A，B，再由交集运算得答案．本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查交集运算，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵1=log33＜a=2log32=log34＜b=log35＜log39=2，＜（）0=1，∴c＜a＜b．故选：D．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵，∴＜＜，又“”∴α+=，解得α=．∴“”是“”的充要条件．故选：C．由，知＜＜，又可得α+=，解得α．即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：把函数的图象向左平行移动个单位，可得函数y=cos（3x+3•-）=cos3x的图象，故选：C．由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，得出结论．本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．∴对任意实数x，有f（x+7）•f（x+14）=-1．即f（x）=f（x+14），即函数是周期为14的周期函数，故f（-100）=f（-2），∵当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），∴f（5）=2，∵f（-2）•f（5）=-1．，故f（-100）=f（-2）=-，故选：A．先由已知得到函数是周期为14的周期函数，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，对数运算，难度不大，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：=-2+4=2．故答案为：2．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式的化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】（，+∞）【解析】解：当时，函数f（x）=tanx单调递增，故：当时，函数在x=时，函数存在最小值，即：y=．所以f（x）的值域为：．故答案为：直接利用正切函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用．11.【答案】【解析】解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===-．故答案为：．求出角的正切函数值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查任意角的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．12.【答案】，【解析】解：不等式ax2+（1-a）x-1＜0，即（ax+1）（x-1）＜0，∵a＞0，∴，不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为：故答案为：利用因式分解，结合二次函数的性质即可求解．本题考查不等式的解法，主要考查二次不等式，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a＞2【解析】解：存在x＞0，使得，则a＞x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴a＞2，故答案为：．分离参数则a＞x+，求出x+的最小值即可得到a的取值范围．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题14.【答案】①②【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F（x）=f2（x）-f2（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，而又由0＜b＜-a，则F（x）=f2（x）-f2（-x）中，x的取值范围是-b≤x≤b，即其定义域是[-b，b]，则①正确；对于②，F（-x）=f2（-x）-f2（x）=-F（x），且其定义域为[-b，b]，关于原点对称，则F（x）为奇函数，②正确；对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x-2-2x=22x-无最小值，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，则F（x）在[-b，0]上与[0，b]上的单调性相同，故F（x）在其定义域内不一定单调递增，④错误；故答案为：①②对于①，根据F（x）的解析式以及f（x）的定义域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定义域，可得①正确；对于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再结合F（x）的其定义域，可得F（x）为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f（x）＞1时，可得F（x）的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案本题考查函数的性质，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，判断②时，注意要结合函数F（x）的定义域．15.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴可得：sinα=cosα+，∵sin2α+cos2α=1，∴（cosα+）2+cos2α=1，可得：8cos2α+4cosα-3=0，∴cosα=，∵α（0，π）．cosα=sinα-（-，），∴cosα=．（Ⅱ）∵cosα=，sinα=．∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=2cos2α-1=-，∴===．【解析】（Ⅰ）由已知及同角三角函数基本关系式可得8cos2α+4cosα-3=0，结合范围α（0，π）．可求cosα的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα，sin2α，cos2α的值，利用两角和的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）函数．那么=（sin）2+sin cos==；（Ⅱ）由函数=cos2x+sin2x=sin（2x-）+，∵，时，∴2x-[，]，∴当2x-=，即x=0时，有最小值为0，当2x-=，即时，有最大值．【解析】（Ⅰ）将x=带入计算即可；（Ⅱ）利用二倍角和辅助角化简，时，求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得最值及对应x的值．本题考查三角函数的最值的求解，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）若，，，，则A=3，=-==，即周期T=π，又=π，则ω=2，则f（x）=3sin（2x+φ），∵f（）=3sin（2×+φ）=3，∴sin（+φ）=1，即+φ=+kπ，k Z，则φ=-+kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=-，则f（x）=3sin（2x-）．（2）由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k Z，得kπ+≤x≤kπ+，k Z即函数的单调递减区间为，，k Z．（Ⅲ）设M，Q的中点是P，若△MNQ为直角三角形，则AP=MP，即△MNP是等腰三角形，则=，即A2==，则A=T=，则．【解析】（Ⅰ）根据M，N的坐标，找出A，T之间的关系求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）利用三角函数单调性的性质即可求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ为直角三角形，结合勾股定理建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．那么：13=3sin3ω+10，可得：sin3ω=1，∴ω=故得：A=3，，B=10．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，即y=3sin t+10≥11.5，∴sin t≥，∵0≤t≤24，∴1≤t≤5或13≤t≤17．故：该船在凌晨1点-5点，或13点-17点能够安全进港；若该船当天港内停留的时间最长，应从凌晨1点进港，17点前离港，最长停留时间为16小时．【解析】（Ⅰ）由题意提供函数y=Asinωt+B的图象．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，结合三角函数的性质即可求解；本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系19.【答案】解：（Ⅰ）由f（a）=ln=1，即=e，解得a=；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．由＞0，解得x＞2或x＜-2，故函数f（x）的定义域是（-∞，-2）∪（2，+∞），关于原点对称，而f（-x）=ln=ln=-ln=-f（x），故函数是奇函数；（Ⅲ）1个．【解析】（Ⅰ）由f（a）=1，结合对数的定义，解方程可得a的值；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．运用函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质可得；（Ⅲ）结合f（x）的图象和y=sinx+2的图象，可得根的个数．本题考查函数的奇偶性和方程的根的个数，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）存在一次函数f（x）=kx+m（k≠0），使得H（t）是R上的常值函数．事实如下：当f（x）=kx+m时，由|f（x）-f（t）|≤2，得|kx+m-kt-m|≤2，即|k|•|x-t|≤2，解得t≤x≤t+，则a=，b=，∴H（t）=a+b=0为R上的常值函数；（Ⅱ）①由|f（x）-f（t）|≤2，得f（t）-2≤f（x）≤f（t）+2，即t2-2≤x2≤t2+2，（*）当时，解（*）得：，此时；当＜t≤2时，解（*）得：，此时．综上，有H（t）=．＜②由函数单调性可得H（t），∪，．∴函数H（t）的值域为，∪，．【解析】（Ⅰ）根据题意，当f（x）=kx+m（k≠0）时，由不等式|f（x）-f（t）|≤2可得t≤x≤t+，则a=，b=，得出H（t）为常值函数；（Ⅱ）①根据题意，当f（x）=x2且t[1，2]时，不等式|f（x）-f（t）|≤2化为|x2-t2|≤2，利用不等式的性质求出x的取值范围，写出函数H（t）的解析式；②由函数的单调性求解H（t）的值域．本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是中档题．。

北京市师大附中-上学期高一年级期中考试数学试卷（满分150分，考试时间1）第Ⅰ卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3,1=S ，{}6,3=T ，则)(T S C U 等于（ ） A. ∅ B. {}8,7,4,2 C. {}6,5,3,1 D. {}8,6,4,2 2. 给定映射f ：)2,2(),(y x y x y x -+→，在映射f 下（3，1）的原象为（ ）A. （1，3）B. （1，1）C. （3，1）D. （21,21） 3. 下列函数中是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（ ）A. 31x y -= B. 4x y = C. 21x y = D. 2-=x y4. 已知3.0log 2=a ，3.02=b ，2.03.0=c ，则c b a ,,三者的大小关系是（ ）A. c b a >>B. c a b >>C. a c b >>D. a b c >>5. 设函数3x y =与2)21(-=x y 的图象的交点为),(00y x ，则0x 所在的区间是（ ）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）6. 若函数)(x f y =是函数xa y =（0>a ，且1≠a ）的反函数，其图象经过点),(a a ，则=)(x f （ ）A. x 2logB. x 21log C.x 21 D. 2x 7. 函数210552)(xx x x f --+-=（ ）A. 是奇函数但不是偶函数B. 是偶函数但不是奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数8. 已知实数0,0≥≥b a 且1=+b a ，则22)1()1(+++b a 的取值范围为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,29B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,29C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡29,0 D. []5,0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2017-2018学年北京市首都师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知集合M={x∈Z||x|≤3}，则下列结论中正确的个数是（）①2.5∈M②0⊆M③{0}∩M={0}④∅∈M⑤集合M是无限集．A．0 B．1 C．2 D．3．2．（5分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．与y=x+1 B．y=x与（a＞0且a≠1）C．与y=x﹣1 D．y=lgx与3．（5分）给定映射f：（a，b）→（a+2b，2a﹣b），则在映射f下，（3，1）的原象是（）A．（1，3） B．（1，1） C．（3，1） D．4．（5分）设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．（5分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）设偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上是增函数，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A．f（a+1）=f（b+2）B．f（a+1）＞f（b+2） C．f（a+1）＜f（b+2） D．不能确定7．（5分）若指数函数f（x）=a x的图象与射线3x﹣y+5=0（x≥﹣1）相交，则（）A．a∈（0，] B．a∈[，1） C．a∈[，1）∪（1，+∞）D．a∈（0，]∪（1，+∞）8．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（）①y=x2是区间[﹣1，1]上的平均值函数，0是它的均值点；②函数f（x）=﹣x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数，它的均值点是5；③函数f（x）=log2x在区间[a，b]（其中b＞a＞0）上都是平均值函数；④若函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是（0，2）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若点在幂函数y=f（x）的图象上，则f（4）=．10．（5分）已知函数，则=．11．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m 的取值范围是．12．（5分）函数的单调递减区间为．13．（5分）已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是．14．（5分）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是．三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（8分）（Ⅰ）（Ⅱ）．16．（8分）已知集合A={x|x2+4x=0}，集合B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．17．（10分）某车间生产一种仪器的固定成本是10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：H（x）=，其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数（用f（x）表示）；（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）18．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）判断函数的单调性并用定义法证明；（3）解不等式：f（t﹣1）+f（t）＜0．19．（12分）如果函数f（x）满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数f （x）称为H函数，例如：f（x）=x就是H函数．（1）判断下列函数：①y=x2②y=2x﹣1③中，哪些是H函数？（只需写出结果，不用说明理由）（2）判断函数g（x）=[lnx]+1是否为H函数，并证明你的结论；（3）是否存在实数a，b，使得函数f（x）=[b•a x]是H函数？如果存在，求出实数a，b的值，如果不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市首都师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知集合M={x∈Z||x|≤3}，则下列结论中正确的个数是（）①2.5∈M②0⊆M③{0}∩M={0}④∅∈M⑤集合M是无限集．A．0 B．1 C．2 D．3．【解答】解：∵集合M={x∈Z||x|≤3}，∴①2.5∉M，故错误；②0∈M，故错误③{0}∩M={0}，故正确；④∅⊆M，故错误⑤集合M是有限集，故错误．故选：B．2．（5分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．与y=x+1 B．y=x与（a＞0且a≠1）C．与y=x﹣1 D．y=lgx与【解答】解：对于选项A：函数的定义域不包含1，而一次函数y=x+1的定义域是R，显然不是同一个函数．对于选项B：因为=xlog a a=x，且定义域都为R，所以为同一个函数．对于选项C：函数=|x|﹣1与一次函数y=x﹣1的对应法则不同，故不是同一个函数．对于选项D：函数y=lgx的定义域为x＞0，而函数y=lgx2的定义域是x≠0，显然不是同一个函数．故选：B．3．（5分）给定映射f：（a，b）→（a+2b，2a﹣b），则在映射f下，（3，1）的原象是（）A．（1，3） B．（1，1） C．（3，1） D．【解答】解：∵映射f：（a，b）→（a+2b，2a﹣b），设映射f下（3，1）的原象是：（a，b）则（a+2b，2a﹣b）=（3，1）即a+2b=3，且2a﹣b=1解得a=1，b=1即映射f下（3，1）的原象是：（1，1）故选：B．4．（5分）设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故选：A．5．（5分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，，解得0≤a＜，故选：B．6．（5分）设偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上是增函数，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A．f（a+1）=f（b+2）B．f（a+1）＞f（b+2） C．f（a+1）＜f（b+2） D．不能确定【解答】解：∵f（x）=log a|x﹣b|为偶函数，∴b=0∵f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上是增函数，∴0＜a＜1∴f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减，∴0＜a+1＜b+2∴f（a+1）＞f（b+2）．故选：B．7．（5分）若指数函数f（x）=a x的图象与射线3x﹣y+5=0（x≥﹣1）相交，则（）A．a∈（0，] B．a∈[，1） C．a∈[，1）∪（1，+∞）D．a∈（0，]∪（1，+∞）【解答】解：当a＞1时，必会有交点，当a＜1时，过（﹣1，2）是临界点，当f（x）过（﹣1，2）时，a=，若要f（x）与射线有交点，其图象需在（﹣1，2）的上方，比如过（﹣1，3）点此时a=，由此可知a的取值范围为（0，]．综上a的范围是（0，]∪（1，+∞），故选：D．8．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（）①y=x2是区间[﹣1，1]上的平均值函数，0是它的均值点；②函数f（x）=﹣x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数，它的均值点是5；③函数f（x）=log2x在区间[a，b]（其中b＞a＞0）上都是平均值函数；④若函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是（0，2）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意，依次分析题目中的四个结论：对于①，若y=x2是区间[﹣1，1]上的平均值函数，设其均值点为n，则有f（n）=n2=﹣0，解可得n=0，即0是它的均值点，①正确；对于②，若函数f（x）=﹣x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数，设其均值点为n，则有f（n）=﹣n2+4n==﹣5，解可得n=5或﹣1（舍）即5是它的均值点，②正确，对于③，函数f（x）=log2x在区间[a，b]都是平均值函数，则log2x=恒成立，明显错误，③错误；对于④，若函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则关于x的方程﹣x2+mx+1=在（﹣1，1）内有实数根，而﹣x2+mx+1=⇒x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1（舍），必有x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2，即实数m的取值范围是（0，2），④正确；其中①②④正确；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若点在幂函数y=f（x）的图象上，则f（4）=2．【解答】解：∵点（2，）在幂函数y=f（x）=x a的图象上，∴2a=，解得a=，∴f（x）=，f（4）==2．故答案为：2．10．（5分）已知函数，则=．【解答】解：∵函数，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=．故答案为：．11．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m 的取值范围是[，3] ．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：≤m≤3．故答案[，3]12．（5分）函数的单调递减区间为（2，5] ．【解答】解：由﹣x2+4x+5≥0，解得：﹣1≤x≤5，而函数y=﹣x2+4x+5的对称轴是x=2，故y=﹣x2+4x+5在[﹣1，2）递增，在（2，5]递减，故答案为：（2，5]．13．（5分）已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是（﹣3，0）．【解答】解：关于x的方程ax2+x+2=0对应的二次函数f（x）=ax2+x+2若a＞0，即图象开口向上，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＜0，且f（1）＜0，即2＜0且a+3＜0，则a∈∅；若a＜0，即图象开口向下，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＞0，且f（1）＞0，即2＞0且a+3＞0，则﹣3＜a＜0．综上可得a的范围是（﹣3，0）．故答案为：（﹣3，0）．14．（5分）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是[，] ．【解答】解：Rt△PCF中，PF==同理可得，Rt△PAB中，PA=∴PA+PF=+∵当A、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，PA+PF取得最小值=当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值+1∴≤PA+PF≤+1，可得函数f（x）=AP+PF的值域为[，]．故答案为：[，]．三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（8分）（Ⅰ）（Ⅱ）．【解答】解：（I）原式=+=﹣（2+）=﹣．（II）原式=﹣﹣lg5+3lg2+lg100=9+3﹣（1﹣lg2）+3lg2+2=14+4lg2．16．（8分）已知集合A={x|x2+4x=0}，集合B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|x2+4x=0}={﹣4，0}，集合B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．A∪B=B，∴A⊆B，∴0，﹣4为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两根，由根与系数关系得：，解得a=1．（2）∵A∩B=B，∴B⊆A．①当B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2+1）=8a+8＜0，∴a＜﹣1．②当B≠∅时，当△=0时，即a=﹣1，此时B={0}⊆A，∴a=﹣1．当△=0，即a＞﹣1时，B=A，由（1）知a=1．综上所述{a|a≤﹣1，或a=1}．17．（10分）某车间生产一种仪器的固定成本是10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：H（x）=，其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数（用f（x）表示）；（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）【解答】解：（1）设月产量为x台，则总成本为t=10000+100x，总收益满足函数：H（x）=，∵f（x）=H（x）﹣t，∴利润f（x）=．（2）当0≤x≤200时，f（x）=﹣（x﹣150）2+12500，∴f（x）max=f（150）=12500．当x＞200时，f（x）=﹣100x+30000在（200，+∞）上是减函数，∴f（x）max＜f（200）=10000＜12500，∴当月产量为150台时，该车间所获利润最大，最大利润是12500元．18．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）判断函数的单调性并用定义法证明；（3）解不等式：f（t﹣1）+f（t）＜0．【解答】解：（1）∵函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴由f（0）=0，得b=0．又∵，∴，解之得a=1；因此函数f（x）的解析式为：满足f（﹣x）=﹣f（x）为奇函数，（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．转化为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t）∴，解不等式得19．（12分）如果函数f（x）满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数f （x）称为H函数，例如：f（x）=x就是H函数．（1）判断下列函数：①y=x2②y=2x﹣1③中，哪些是H函数？（只需写出结果，不用说明理由）（2）判断函数g（x）=[lnx]+1是否为H函数，并证明你的结论；（3）是否存在实数a，b，使得函数f（x）=[b•a x]是H函数？如果存在，求出实数a，b的值，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数：①y=x2②y=2x﹣1③中，只有③是H函数．（2）函数g（x）=[lnx]+1是H函数．证明如下：任意x∈N*，[lnx]+1∈N*．不妨设[lnx]+1=k，k∈N*，由[lnx]+1=k，可得k﹣1≤lnx＜k，即1≤e k﹣1≤x＜e k．∵任意k∈N*，恒有e k﹣e k﹣1=e k﹣1（e﹣1）＞1成立，∴一定存在x∈N*，满足e k﹣1≤x＜e k，∴设任意k∈N*，总存在x∈N*，满足[lnx]+1=k，∴函数g（x）=[lnx]+1是H函数．（3）当b≤0时，有f（2）=[ba2]≤0，∴函数f（x）=[ba x]都不是H函数；当b＞0时，①若a≤0，有f（1）=[ba]≤0，∴函数f（x）=[ba x]都不是H函数．②若0＜a≤1，由指数函数性质得，ba x≤ba，∴任意x∈N*，都有f（x）=[ba x]≤[ba]．函数f（x）=[ba x]都不是H函数．③若a＞1，令ba m+1﹣ba m＞2，则m＞loga，∴一定存在正整数k，使得ba k+1﹣ba k＞2，，∴任意n1，n2∈N*，使得ba k＜n1＜n2＜ba k+1∴f（k）＜n1＜n2≤f（k+1）．又∵当x＜k时，ba x＜ba k，∴f（x）≤f（k）；当x＞k+1时，ba x＞ba k，∴f（x）≥f（k+1），∴函数f（x）=[ba x]都不是H函数．综上所述，对于任意实数a，b，函数f（x）=[ba x]都不是H函数．。

首都师范大学附属育新学校2017-2018学年度第一学期中考试试题（卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．请把答案填写在后面的相应表格之中）1．设集合{}1,2,3,4U =，{}1,2A =，{}2,4B =，则()U A B = ð（）． A ．{}1,2B ．{}2,3,4C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】B【解析】∵集合{}1,2,3,4U =，{}1,2A =，{}2,4B =， ∴{}3,4U A =ð，{}()2,3,4U A B = ð． 故选B ．2．设0.914y =，0.4828y =， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）．A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >>【答案】D【解析】由题意，0.9 1.8142y ==，0.48 1.44282y ==， 1.51.53122y -⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴132y y y >>． 故选D ．3．122536⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（）． A ．56B ．65C ．56-D ．56±【答案】A【解析】12255366⎛⎫== ⎪⎝⎭． 故选A ．4．若指数函数(1)x y a =+在(,)-∞+∞上是减函数，那么（）． A ．01a << B ．10a -<< C ．1a =- D ．1a <-【答案】B【解析】若指数函数(1)x y a =+在(,)-∞+∞上是减函数，则011a <+<，即10a -<<． 故选B ．5．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）． A ．3y x =-B ．||y x =C ．y x =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】A 项，3y x =-是奇函数，且在R 上是减函数，故A 正确；B 项，||y x =是偶函数，且在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故B 错误；C 项，y x =是奇函数，在R 上是增函数，故C 错误；D 项，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是非奇非偶函数，在R 上是减函数，故D 错误．故选A ．6．在同一坐标系中，函数3xy =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象之间的关系是（）．A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】A【解析】133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数3x y =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称．故选A ．7．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程32220x x x +--= A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【解析】由(1.4065)0f <，(1.4375)0f >，可知，方程32220x x x +--=的一个近似根为1.4． 故选C ．8．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数y ax b =+的图象可知，1a >，1b <-，()x g x a b =+的图象可看成x y a =的图象向下平移b -个单位得到，故()g x 的图象单调递增，且当0x =时，(0)10g b =+<，只有B 项的图象符合要求． 故选B ．9．已知()f x 为R 上的奇函数，且对任意的x ∈R ，都有()(4)f x f x =+，且满足(1)1g >，(3)f a =，则（）．A ．1a >B ．2a >C ．1a <-D ．2a <-【答案】C【解析】∵()f x 为R 上的奇函数，且对任意的x ∈R ，都有()(4)f x f x =+， ∴(3)(1)(1)f f f =-=-，即(1)(3)f f =-， 又(1)1f >，(3)f a =，则1a ->，即1a <-． 故选C ．10．某种放射性物质的质量(kg)M 随时间t （年）的变化规律是0.0010e t M M -=，其中0M 为该物质的初始质量，如果计算中ln 2的近似值取0.693，那么这种放射性物质的半衰期．．．（质量变为初始质量的一半所需要的时间）约为（）． A ．347年 B ．693年C ．1386年D ．2772年【答案】B【解析】由已知可得0.001001e 2t M M -=，即0.0011e 2t -=，可得ln 20.001t =，即ln20.6936930.0010.001t ===． 故选B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案填写在后面的相应表格之中）11．函数y __________． 【答案】[0,)+∞【解析】要使函数y 210x -≥，解得0x ≥，故函数y [0,)+∞．12．已知2,0()10,0x x f x x <⎧=⎨⎩≥，则((2))f f -=__________．【答案】100【解析】∵2,0()10,0xx f x x <⎧=⎨⎩≥， ∴2((2))(2)10100f f f -===．13．已知函数2()f x x mx =++对于任意的实数x ，总有(1)(4)f x f x +=-，则实数m 的值为__________． 【答案】5-【解析】已知2()f x x mx =++对任意的实数x ，总有(1)(4)f x f x +=-，则函数()f x 关于直线52x =对称，即522m -=，故5m =-．14．若函数21,1(),1x x x f x a x ⎧+-⎪=⎨>-⎪⎩≤在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】∵21y x =+在1x -≤时，单调递减，∴若21,1(),1x x x f x a x ⎧+-⎪=⎨>-⎪⎩≤在R 上是单调函数，则2101(1)1a a -<<⎧⎨-+⎩≥，解得112a <≤， 故实数a 的取值范围是：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．15．某商品进货单价为每个8元，按10元一个销售时，每天可售出50个．如果该商品每个提高销售价1元，其每天销售量就要减少5个，为获取最大利润，则该商品的最佳售价应为每个__________元． 【答案】14【解析】设该商品的售价为x 元，利润为y 元，则2(8)[505(10)](8)(1005)5(14)180y x x x x x =---=--=--+，当14x =时，y 取得最大值，故为获取最大利润，则该商品的最佳售价应为每个14元．16．给出下列四种说法：（1）函数()f t t =与函数()log x a g x a =，(0,1)a a >≠是同一个函数； （2）函数3y x =与3x y =的值域相同．（3）函数11221x y =+-与2(12)2x xy x +=⋅均是奇函数；（4）函数2(1)y x =-与21y x =-在(0,)+∞上都是增函数． 其中正确说法的序号是__________．【答案】（1）（3）【解析】对于（1），函数()f t t =定义域为R ，函数()log x a g x a x ==，且定义域为R ，两者对应关系和定义域都相同，表示的是同一个函数，故（1）正确； 对于（2），函数3y x =的值域是R ，函数3x y =的值域是(0,)+∞， 所以函数3y x =与3x y =的值域不相同，故（2）错误；对于（3），令1121()2212(21)x x x f x +=+=--，则2121()2(21)2(12)x x x x f x ---++-==--，所以()()f x f x -=-，所以11221x y =+-为奇函数； 令2(12)1()(222)2x x x x g x x x-+==++⋅，则1()(222)x xg x x --=-++，所以()()g x g x -=-， 所以2(12)2x xy x +=⋅是奇函数，故（3）正确；对于（4），函数2(1)y x =-在(,1)-∞上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，故（4）错误．综上所述，正确说法的序号是：（1）（3）．三、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 设全集是实数集R ，集合{}|42A x x =-<<，{}|11B x m x m =-<<+． （1）当2m =，求A B ，B R ð．（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】（1）由已知可得，当2m =时，集合{}{}|11|13B x m x m x x =-<<+=<<， 又集合{}|42A x x =-<<，∴{}|43A B x x =-<< ，{|1B x x =R ≤ð或}3x ≥． （2）若A B =∅ ，则12m -≥或14m +-≤， 解得：3m ≥或5m -≥，故实数m 的取值范围是(,5][3,)-∞-+∞ ． 18．（本小题满分10分）（1）计算1552log 10log 0.252)-++．（2）已知17xx +=，分别求式子221x x+的值．【答案】见解析．【解析】（1）1552log 10log 0.252)-++55log 100log 0.25=+5log 25=22=．（2）已知17x x +=，两边平方得，2149x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即221249x x ++=， 故22147x x+=，因为212725xx =+-=-=，= 19．（本小题满分10分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =+． （1）求函数()f x 的解析式． （2）画出函数()f x 的图象．（3）若()3f a ≤，求a 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】（1）当0x <时，0x ->，则1()2112xxf x -⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭，∵()f x 是奇函数，∴1()()12xf x f x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，又(0)0f =，∴11,02()0,021,0xxx f x x x ⎧⎛⎫--<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪+>⎪⎪⎩．（2）（3）易知(1)3f =，所以不等式()3f a ≤等价于()(1)f a f ≤， 由（2）图象可知，1a ≤，即a 的取值范围是(,1]-∞． 20．（本小题满分12分）已知函数1()4f x x x a=++，（其中a 为常数），且函数的图象关于原点成中心对称图形． （1）求函数()4y f x =-的零点．（2）证明：函数()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．【答案】见解析．【解析】（1）已知函数1()4f x x x a =++，且函数的图象关于原点成中点对称图形， 故()()0f x f x +-=，即1144()0x x x a x a++-+=+-+， 解得：0a =，∴1()4f x x x=+，令()40y f x =-=即1440x x+-=，即24410x x -+=， 解得：12x =， ∴函数()4y f x =-的零点是12． （2）证明：设1x ，2x 是区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是任意两个实数，且12x x >，则1212122212121114()()444()x x f x f x x x x x x x x x -⎛⎫-=+-+=-⋅ ⎪⎝⎭，由1212x x >>，得1214x x >，120x x ->， ∴121212144()0x x x x x x --⋅>，即1)2()()f x f x >，∴函数()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数．21．（本小满分14分）设a ∈R ，函数2()4f x x ax =++．（1）若()f x 在[2,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围． （2）若方程()0f x =在区间(0,3)上恰有一解，求a 的取值范围． （3）求()f x 的区间[1,2]上是最小值()g a ． 【答案】见解析．【解析】（1）函数2()4f x x ax =++的图象关于直线2a x =-对称，若()f x 在[2,)+∞上是单调函数， 则22a-≤，即4a -≥，∴a 的取值范围是[4,)-+∞．（2）若方程()0f x =在区间(0,3)上恰有一解，则(0)(3)0f f ⋅<， 即4(934)0a ++<，解得133a <-， ∴a 的取值范围是：13,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．（3）分情况讨论：当12a-≤时，即当2a -≥时，函数()f x 在[1,2]上单调递增，∴()(1)145g a f a a ==++=+， 当122a<-<时，即当42a -<<-时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴222()442444a a a a g a f ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 当22a-≥时，即4a -≤时，函数()f x 在[1,2]上单调递减，∴()(2)42428f a f a a ==++=+，综上所述，25,2()4,42428,4a a ag a a a a +-⎧⎪⎪=-+-<<-⎨⎪+-⎪⎩≥≤．。