图论习题

图论课后习题答案图论是数学中的一个分支，主要研究图的结构和性质。

图论的课后习题通常包括证明题、计算题和应用题。

下面给出一些典型的图论课后习题答案：1. 证明题：证明一个图是连通的当且仅当它的任意两个顶点都存在一条路径相连。

答案：首先定义连通图的概念：一个图是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径将它们连接起来。

接下来，我们证明两个方向：- 如果一个图是连通的，那么对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，根据定义，必然存在一条路径\( P \)将它们连接起来。

- 反之，如果对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，都存在一条路径将它们连接起来，那么我们可以构造一个从任意顶点\( u \)出发，访问图中所有顶点的路径，这表明图是连通的。

2. 计算题：给定一个有\( n \)个顶点的完全图，计算它的边数。

答案：在完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连。

因此，对于一个顶点，它将与\( n-1 \)个其他顶点相连。

但是，每条边被计算了两次（因为它连接了两个顶点），所以边数应该是\( \frac{n(n-1)}{2} \)。

3. 应用题：在一个社交网络中，每个用户可以与其他人建立联系。

如果一个用户与至少一半的用户建立了联系，那么这个社交网络是连通的吗？答案：是的，这个社交网络是连通的。

假设社交网络中有\( n \)个用户，如果一个用户与至少\( \lceil \frac{n}{2} \rceil \)个用户建立了联系，那么我们可以构造一条从任意用户\( u \)到这个中心用户的路径。

由于中心用户与至少一半的用户建立了联系，我们可以继续通过这些联系到达其他用户，从而证明社交网络是连通的。

4. 证明题：证明在任何图中，边数至少是顶点数减一。

答案：考虑一个图的生成树，它是一个最小的连通子图，包含图中的所有顶点，并且没有环。

在生成树中，边数等于顶点数减一。

由于任何图都至少包含一个生成树，因此原图的边数至少与生成树的边数相同，即至少是顶点数减一。

《图论及其应用》习题课教材目录第一章图的基本概念1.1 图和简单图1.2 子图与图的运算1.3 路与图的连通性1.4 最短路及其算法1.5 图的代数表示及其特征1.6 极图1.7 交图与团图习题1第二章树2.1 树的概念与性质2.2 树的中心与形心2.3 生成树2.4 最小生成树习题2第三章图的连通度3.1 割边、割点和块3.2 连通度3.3 应用3.4 图的宽距离和宽直径习题3第四章欧拉图与哈密尔顿图4.1 欧拉图4.2 高效率计算机鼓轮的设计4.3 中国邮路问题4.4 哈密尔顿图4.5 度极大非哈密尔顿图4.6 旅行售货员问题4.7 超哈密尔顿图4.8 E图和H图的联系4.9 无限图中的欧拉,哈密尔顿问题习题4第五章匹配与因子分解5.1 匹配5.2 偶图的匹配与覆盖5.3 Tutte定理与完美匹配5.4 因子分解5.5 最优匹配与匈牙利算法5.6 匹配在矩阵理论中的应用习题5第六章平面图6.1 平面图6.2 一些特殊平面图及平面图的对偶图6.3 平面图的判定及涉及平面性的不变量6.4 平面性算法习题6第七章图的着色7.1 图的边着色7.2 顶点着色7.3 与色数有关的几类图7.4 完美图7.5 着色的计数，色多项式习题27.6 List着色7.7 全着色7.8 着色的应用习题7第八章Ramsey定理8.1 独立集和覆盖8.2 Ramsey定理8.3 广义Ramsey数8.4 应用习题8习题 11. 证明在n阶连通图中（1）至少有n-1条边。

（2）如果边数大于n-1，则至少有一条闭通道。

（3）如恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。

证明(1) 若对∀v∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ⇒ m≥n>n-1,矛盾！若G中有1度顶点，对顶点数n作数学归纳。

当n=2时，G显然至少有一条边，结论成立。

设当n=k时，结论成立，当n=k+1时，设d(v)=1，则G-v是k阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G 至少有k条边。

习题八8.1 设V={u,v,w,x,y}, 画出图G: (V ,E).(1) E={(u,v),(u,x),(v,w),(v,y),(x,y)} (2) E={(u,v),(v,w),(w,x),(w,y),(x,y)} 再求每个结点的次数。

8.2 设G 是具有4个结点的完全图：(1) 写出G 的所有子图； (2) 写出G 的所有生成子图。

8.3 画出一个多重图，使它们的邻接矩阵为1300301101220120⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 8.4 对于图1，试求(1) 从a 到h 的所有基本通路； (2) 从a 到h 的所有简单通路； (3) 从a 到h 的距离。

he d图18.5 图2中哪个有欧拉通路、有欧拉回路、有汉密尔顿通路、有汉密尔顿回路？b ce图28.6 图G 1，G 2的邻接矩阵分别为A 1，A 2，试求：(1) 23231122,,,A A A A ;(2) 在G 1内列出每两个结点间的距离； (3) 列出G 1，G 2中的所有基本回路。

10011000001100101010001001A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，20001100000001100010001010100100100001000000100000A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭8.7 设有向图D 如下，试求：(1) 每个结点的入次与出次； (2) 它的邻接矩阵M D ； (3) D 是强连通、弱连通还是单向连通？ (4) 求从a 到c 长度小于或等于3的通路数。

8.8 D 是具有结点v 1、v 2、v 3、v 4的有向图，它的邻接矩阵表示如下：0111011011011000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1) 画出这个图； (2) D 是强连通还是单向连通？(3) 求从v 1到v 1长度是3的回路，从v 1到v 2、v 1到v 3、v 1到v 4长度是3的通路数。

习题九9.4 设有代数表示式如下：42(35)(2)x y a b c -+，试画出这个表示式的树. 第四篇1. 在图G=(V,E)中，结点次数与边数的关系是下面4个中的哪一个？ (1) deg()2||i v E = (2) deg()||i v E = (3)deg()2||v Vv E ∈=∑ (4) deg()||v Vv E ∈=∑2. 设G 是n 个结点的无向完全图，则图G 的边数是多少？设D 是n 个结点的有向完全图，则图D 的边数又是多少？3. 仅有一个结点是图称为什么图？4. 设G=(V ,E)为无向简单图，|V|=n ，∆(G)为G 中结点的最大次数，请指出下面4个中哪个不等式是正确的。

习题一1.一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。

若每点的度数为3,则总度数为27,与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，度数总是偶数的性质矛盾。

2. 若存在孤立点，则m不超过K n-i的边数,故m <= (n-1)( n-2)/2,与题设矛盾。

3.记a i为结点v i的正度数，a；为结点v i的负度数，则n na i 2「［(n-1)-a「］2二n(n-1)2i 4 i』n因为Z a；=c2 = n(n—1)/2,所以i =14.用向量(a i,a2,a3)表示三个量杯中水的量，其中a i为第i杯中水的量,i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 (a1,a2,a3为非负整数)的所有向量作为各结点，如果⑻砂厲)中某杯的水倒满另一杯得到(a' a' a'),则由结点到结点画一条有向边。

这样可得一个有向图。

本题即为在此图中找一条由(8, 0, 0 )到(4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条：5.可以。

7.同构。

同构的双射如下:V V1V2V3V4V5V6f (V)b a c e d f8.记e1=(V1,V2), e2= ( V1,V4), e3=(V3,V1), e4=(V2,V5), e5=(V6,V3), e6=(V6,V4), e7=(V5,V3), e8=(V3,V4), e9 =(V6,V1),贝y-0 1 0 1 0 01-'1 1 -1 0 0 0 0 0 -110 0 0 0 1 0 _ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 邻接矩阵为： 1 0 0 1 0 0 关联矩阵为：0 0 1 0 _ 1 0 _ 1 1 00 0 0 0 0 0 ,0 _ 1 0 0 0 _ 1 0 -1 00 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 01 0 1 1 0 0一[0 0 0 0 1 1 0 0 1一从而总度数为奇数，仍与图的总n n-2(n-1)二a j a j ,i A i =n n亠2 人•一2' a j a j 。

二、应用题题0：（1996年全国数学联赛）有n（n≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n/2]个人，而对任意的[n/2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n-[n/2]个人中有两个人相互认识。

证明这n个人中必有3个人互相认识。

注：[n/2]表示不超过n/2的最大整数。

证明将n个人用n个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G。

由条件可知，G是具有n个顶点的简单图，并且有（1）对每个顶点x，)N G≥[n/2]；(x（2）对V的任一个子集S，只要S＝[n/2]，S中有两个顶点相邻或V-S中有两个顶点相邻。

需要证明G中有三个顶点两两相邻。

反证，若G中不存在三个两两相邻的顶点。

在G中取两个相邻的顶点x1和y1,记N G(x1)＝{y1,y2,……,y t}和N G(y1)={x1,x2,……,x k},则N G(x1)和N G(y1)不相交，并且N G(x1)（N G(y1)）中没有相邻的顶点对。

情况一；n=2r：此时[n/2]＝r，由（1）和上述假设，t=k=r且N G(y1)＝V-N G(x1)，但N G(x1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G(y1)中有相邻的顶点对，矛盾。

情况二；n=2r+1: 此时[n/2]＝r，由于N G(x1)和N G(y1)不相交，t≥r,k≥r,所以r+1≥t,r+1≥k。

若t=r+1,则k=r，即N G(y1)=r，N G(x1)＝V-N G(y1)，由（2），N G(x1)或N G(y1)中有相邻的顶点对，矛盾。

故k≠r+1，同理t≠r+1。

所以t=r,k=r。

记w∈V- N G(x1) ∪N G(y1),由（2），w分别与N G(x1)和N G(y1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E。

若x i0y j0∈E，则w，x i0, y j0两两相邻，矛盾。

若x i0y j0∉E，则与x i0相邻的顶点只能是(N G(x1)-{y j0})∪{w},与y j0相邻的顶点只能是(N G(y1)-{x j0})∪{w}。

课前练习一、填空题1、图G 是简单图当且仅当 。

2、简单图G 是二部图当且仅当 。

3、若简单图G 满足(G)δ≥3，则G 中存在长度至少为 的圈。

4、连通图G 具有欧拉通路，而无欧拉回路的充要条件为 。

5、一颗树有两个2度分支点，一个3度分支点，三个4度分支点，则该树有 片树叶。

6、设T 为高为k 的二叉树，则T 最多有 个顶点。

7、设图G 是具有6条边、4个顶点的平面图,则图G 的面数为 。

8、一个图为非平面图当且仅当 。

9、S V ⊂，S 是图G 的极大独立集，则()V G S -是图G 的 。

10、带权为1，3，5，7，8，11，13的最优二叉树T 的权W(T)= 。

二、解答题1、求下图G 1的色多项式，并指出其色数、点连通度和边连通度。

图G 12、（1）证明自补图的阶数n 4k =或者n 4k 1=+，k 为某个自然数。

（2）找出所有4阶的自补图。

3、（1）证明：设G 是有v 个顶点ε条边，且G 是自对偶平面图，则2v 2ε=-。

（2）已知一颗无向树T 有三个3度结点，一个二度结点，其余都是1度结点。

①T 有几个1度结点？②试画出两棵满足上述度数要求的非同构的无向树。

4、通过布尔变量的运算，求下图3的全部极小支配集。

V 16 图3图G 25、用破圈法求下图G 3中的一颗最小生成树,写出具体过程，并计算生成树的权。

图G 36、设简单图,, |V|=n, |E|=m,G V E =<> 若有212n m C -≥+，则G 是哈密尔顿图。

7、证明：5K 不是平面图.8、证明：若,(,1)m n K m n ≥是哈密顿图，则必有.m n = 9、若,m n K 是树，求,m n 应满足的条件.132411253e 6e 1e 2e 3e 4e 5e 7e 8e 9。

图论练习题一、基本题1、设G 是由5个顶点构成的完全图，则从G 中删去（A ）边可以得到树。

A ．6 B ．5 C ．8 D ．4 2、下面哪几种图不一定是树（A ）。

A ．无回路的连通图B ．有n 个结点，n-1条边的连通图C ．对每对结点间都有通路的图D ．连通但删去任意一条边则不连通的图3、5阶无向完全图的边数为（B ）。

A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 4、设图G 有n 个结点，m 条边，且G 中每个结点的度数不是k ，就是k+1，则G 中度数为k 的节点数是（）A ．n/2 B ．n(n+1) C ．nk-2m D ．n(k+1)-2m 5、设G=<V ，E>为有向图，V={a,b,c,d,e,f}，E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}是（B ）。

A ．强连通图B ．单向连通图C ．弱连通图D ．不连通图6、在有n 个结点的连通图中，其边数（B ）A ．最多有n-1条B ．至少有n-1条C ．最多有n 条D ．至少有n 条7、设无向简单图的顶点个数为n ，则该图最多有（，则该图最多有（C C ）条边。

A ．n-1 B n-1 B．．n(n-1)/2 C n(n-1)/2 C．． n(n+1)/2 D n(n+1)/2 D．．n28、要连通具有n 个顶点的有向图，至少需要（个顶点的有向图，至少需要（A A ）条边。

A ．n-lB n-l B．．nC n C．．n+lD n+l D．．2n9、n 个结点的完全有向图含有边的数目（个结点的完全有向图含有边的数目（B B ）。

A ．n*n n*n Ｂ．Ｂ．Ｂ．n n （n ＋１）＋１） C C C．．n ／2 D 2 D．．n*n*（（n －l ）1010、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（B B ）倍。

图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。

答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。

答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。

答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。

解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。

7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。

答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。

在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。

结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。

图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。

答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。

答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。

答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。

答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。

答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。

答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。

2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。

四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。

答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。

习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。

证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。

证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。

根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。

（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。

所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。

G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。

■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。

证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。

与题设m = n+1，矛盾。

因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。

■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。

因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。

可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。

最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。

下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。

1 设图G有12条边，G中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G中至少有多少个结点？2 设有向简单图G的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G得出度序列 .3 设D是n阶有向简单完全图,则图D的边数为 .4设G是n阶无向简单完全图K n，则图G的边数为 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( )(A)零图(B)平凡图(C)补图(D)子图6设n阶图G中有m条边，每个结点的度数不是k的是k+1，若G中有N k个k度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = .7设图G如右图.已知路径(1) P1=(v1e5 v5e7 v2e2 v3 )(2) P2=(v5e6 v2e2 v3e3 v4e8 v2e7 v5)(3) P3=(v2e7 v5e6 v2)(4) P4=(v1e1 v2e2 v3e3 v4e8 v2e6 v5)判断路径类型，并求其长度.81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P1=(v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3)P2=(v3e3v2e2v2e1v1e4v3)P3=(v3e3v2e1v1e4v3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P1=(v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P2=(v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P3=(v1e1v2e6v5e7v3e3v4).v1e1e5v2e65e7e4 e2e8v3 4e3v e v1 设图G 有12条边，G 中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G 中至少有多少个结点？ 至少9个2 设有向简单图G 的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G 得出度序列 （2,2,5,6） .3 设D 是n 阶有向简单完全图,则图D 的边数为 )1(−n n .4 设G 是n 阶无向简单完全图K n ，则图G 的边数为 m =n (n -1)/2 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( B ) (A) 零图 (B)平凡图 (C)补图 (D)子图6设n 阶图G 中有m 条边，每个结点的度数不是k 的是k+1，若G 中有N k 个k 度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = N k =(k+1)n-2m . 7设图G 如右图.已知路径 (1) P 1=(v 1e 5 v 5e 7 v 2e 2 v 3 ) (2) P 2=(v 5e 6 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 7 v 5) (3) P 3=(v 2e 7 v 5e 6 v 2)(4) P 4=(v 1e 1 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 6 v 5)判断路径类型，并求其长度. (1) 初级通路；3 (2) 简单回路；5 (3) 初级回路；2 (4) 简单通路. 5 81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3) P 2=(v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3) P 3=(v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 2=(v 1e 5v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 3=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 3v 4).解：在图G 1中，v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为6的回路，但既不是简单回路，也不是初级回路； v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为4的简单回路，但不是初级回路； v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为3的初级回路。

图论及应用习题答案图论及应用习题答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图论在现实生活中有着广泛的应用，涵盖了许多领域，如计算机科学、通信网络、社交网络等。

本文将为读者提供一些关于图论及应用的习题答案，帮助读者更好地理解和应用图论知识。

1. 图的基本概念题目：下面哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 线段答案：D. 线段。

图的基本概念包括顶点、边和路径。

线段是指两个点之间的连线，而在图论中，我们使用边来表示两个顶点之间的关系。

2. 图的表示方法题目：以下哪个不是图的表示方法？A. 邻接矩阵B. 邻接表C. 边列表D. 二叉树答案：D. 二叉树。

图的表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边列表。

二叉树是一种特殊的树结构，与图的表示方法无关。

3. 图的遍历算法题目：以下哪个不是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 迪杰斯特拉算法D. 克鲁斯卡尔算法答案：D. 克鲁斯卡尔算法。

图的遍历算法包括深度优先搜索和广度优先搜索，用于遍历图中的所有顶点。

迪杰斯特拉算法是用于求解最短路径的算法，与图的遍历算法有所不同。

4. 最小生成树题目：以下哪个算法不是用于求解最小生成树？A. 克鲁斯卡尔算法B. 普里姆算法C. 弗洛伊德算法D. 公交车换乘算法答案：D. 公交车换乘算法。

最小生成树是指包含图中所有顶点的一棵树，使得树的边的权重之和最小。

克鲁斯卡尔算法和普里姆算法是常用的求解最小生成树的算法，而弗洛伊德算法是用于求解最短路径的算法，与最小生成树问题有所不同。

5. 图的应用题目：以下哪个不是图的应用？A. 社交网络分析B. 路径规划C. 图像处理D. 数字逻辑电路设计答案：D. 数字逻辑电路设计。

图的应用广泛存在于社交网络分析、路径规划和图像处理等领域。

数字逻辑电路设计虽然也涉及到图的概念，但与图的应用有所不同。

总结：图论是一门重要的数学分支，具有广泛的应用价值。

通过本文提供的习题答案，读者可以更好地理解和应用图论知识。

图论习题及答案(总24页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--作业解答练习题2 利用matlab编程FFD算法完成下题：设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。

解答一：function [num,s] = BinPackingFFD(w,capacity)%一维装箱问题的FFD（降序首次适应）算法求解:先将物体按长度从大到小排序, %然后按FF算法对物体装箱%输入参数w为物品体积，capacity为箱子容量%输出参数num为所用箱子个数，s为元胞数组，表示装箱方案，s{i}为第i个箱子所装%物品体积数组%例w = [60,45,35,20,20,20]; capacity = 100;% num=3,s={[1,3],[2,4,5],6};w = sort(w,'descend');n = length(w);s = cell(1,n);bin = capacity * ones(1,n);num = 1;for i = 1:nfor j = 1:num + 1if w(i) < bin(j)bin(j) = bin(j) - w(i);s{j} = [s{j},i];if j == num + 1num = num + 1;endbreak;endendends = s(1:num);解答二：clear;clc;V=100;v=[60 45 35 20 20 20];n=length(v);v=fliplr(sort(v));box_count=1;x=zeros(n,n);V_Left=100;for i=1:nif v(i)>=max(V_Left)box_count=box_count+1;x(i,box_count)=1;V_Left=[V_Left V-v(i)];elsej=1;while(v(i)>V_Left(j))j=j+1;endx(i,j)=1;V_Left(j)=V_Left(j)-v(i);endtemp=find(x(i,:)==1);fprintf('第%d个物品放在第%d个容器\n',i,temp) endoutput:第1个物品放在第1个容器第2个物品放在第2个容器第3个物品放在第1个容器第4个物品放在第2个容器第5个物品放在第2个容器第6个物品放在第3个容器解答三：function box_count=FFD(x)%降序首次适应算法v=100;x=fliplr(sort(x));%v=input('请输入箱子的容积:');n=length(x);I=ones(n);E=zeros(1,n);box=v*I;box_count=0;for i=1:nj=1;while(j<=box_count)if x(i)>box(j)j=j+1;continue;elsebox(j)=box(j)-x(i);E(i)=j;break;endendif j>box_countbox_count=box_count+1;box(box_count)=box(box_count)-x(i);E(i)=j;endenddisp(E);在命令窗口输入：>> x=[60,45,35,20,20,20];>> FFD(x)1 2 1 2 2 3ans =3练习题5 “超市大赢家”提供了50种商品作为奖品供中奖顾客选择,车的容量为1000dm3, 奖品i占用的空间为w i dm3,价值为v i元, 具体的数据如下:v= { 220, 208, 198, 192, 180, 180, 165, 162, 160, 158,155, 130, 125, i122, 120, 118, 115, 110, 105, 101, 100, 100, 98,96, 95, 90, 88, 82, 80, 77, 75, 73, 72, 70, 69, 66, 65, 63, 60, 58,56, 50, 30, 20, 15, 10, 8, 5, 3, 1}w= {80, 82, 85, 70, 72, 70, 66, 50, 55, 25, 50, 55, 40, 48,50, 32,i22, 60, 30, 32, 40, 38, 35, 32, 25, 28, 30, 22, 50, 30, 45,30, 60, 50, 20, 65, 20, 25, 30, 10, 20, 25, 15, 10, 10, 10, 4, 4, 2,1}。

图论期末考试题库及答案一、单项选择题1. 图论的创始人是（）。

A. 欧拉B. 莱布尼茨C. 牛顿D. 高斯答案：A2. 在图论中，一个图的顶点集合为空，但边集合不为空的图称为（）。

A. 空图B. 完全图C. 树D. 多重图答案：A3. 如果一个图的任意两个顶点之间都存在一条路径，则称该图为（）。

A. 连通图B. 强连通图C. 弱连通图D. 无环图答案：A4. 在图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的路径，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条路径，这样的图称为（）。

A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 树答案：C5. 图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的回路，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条回路，这样的图称为（）。

A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 树D. 环答案：A二、多项选择题1. 下列哪些是图论中的基本术语（）。

A. 顶点B. 边D. 权重答案：ABCD2. 在图论中，以下哪些图是无向图（）。

A. 完全图B. 树C. 多重图D. 有向图答案：ABC3. 图论中，以下哪些图是连通图（）。

A. 完全图B. 树C. 多重图D. 空图答案：ABC三、填空题1. 图论中，一个图的顶点集合为V，边集合为E，那么图可以表示为G=（）。

答案：(V, E)2. 如果一个图的任意两个顶点之间都存在一条路径，则称该图为（）。

答案：连通图3. 在图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的路径，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条路径，这样的图称为（）。

答案：树四、简答题1. 请解释什么是图论中的“完全图”？答案：完全图是指图中每一对不同的顶点之间都恰好有一条边相连的图。

在完全图Kn中，n个顶点两两相连，共有n(n-1)/2条边。

2. 请解释什么是图论中的“欧拉路径”和“欧拉回路”？答案：欧拉路径是指图中存在一条路径，该路径恰好经过每条边一次。

欧拉回路是指图中存在一条回路，该回路恰好经过每条边一次。

五、计算题1. 给定一个图G=(V, E)，其中V={A, B, C, D, E}，E={(A, B), (B, C), (C, D), (D, E), (E, A), (A, C)}，请判断该图是否为连通图，并说明理由。

图论作业 1⼀、填空题1. ⾮同构的阶和阶树的个数分别为和⽅法：按照树中存在的最⻓路进⾏枚举 (从开始)注意：对于的树来说，路的最短⻓度为234 阶树2345 阶树2. 阶正则图的补图的边数为考点⼀：完全图每个点的度数是✨考点⼆：⼀个图和其补图的并是完全图⼀个点在原图和补图中的度数和为图是正则，那么图的补图为正则。

故补图的度数之和为根据握⼿定理：3. 设图中各顶点度数均为，且，则 n = ，m =考点：握⼿定理根据握⼿定理：4. 设简单图的邻接矩阵为，且则图的边数为考点：邻接矩阵的性质定理 10：令是⼀个有推⼴邻接矩阵的阶标定图，则的⾏列元素等于由到的⻓度为的途径的数⽬推论：设为简单图的邻接矩阵，则：的元素是的度数。

的元素是含的三⻆形的数⽬的两倍 （考过填空）5. 设是⼀个完全部图，是第部分的顶点数，则它的边数为考点：完全多部图的概念与结构完全部图的点数：；边数：（考过填空）6. 设是阶简单图，且不含完全⼦图，则其边数⼀定不会超过考点：Turán 定理定理 18 (T urán)：若是阶简单图，并且不包含，则边数。

此外，仅当时，✨计算公式：，则例：阶简单图，，则最多有条边例： 9 阶简单图，，则最多有 27 条边7. 设阶图是具有个分⽀的森林，则其边数为树的边数 = 顶点数 - 1森林的边数 = 顶点数 - 连通分⽀数8. ⼀棵树有个度为的结点，，则它有个度数为的顶点考点：握⼿定理 + 树的性质（边数 = 顶点数 - 1），其中由握⼿定理：故：整理得：9. 完全图的⽣成树的个数为定理 27：⼆、不定项选择题1. 关于图的度序列，下列命题正确的是（ABCD）A. 同构的两个图的度序列相同B. ⾮负整数序列是图的度序列当且仅当是偶数C. 如果正整数序列是⼀棵树的度序列且，那么序列中⾄少有两个D. 正整数序列是⾮平凡树的度序列当且仅当E. 若图的顶点度数之和⼤于等于图的顶点度数之和，则图度优于图❌F. 如果⾮负整数序列是简单图的度序列，那么在同构意义下只能确定⼀个图❌考点：度序列 && 图序列关系：简单图的度序列简称图序列注意：判断⾮负整数序列是否为简单图的度序列暂⽆好的⽅法，只有等价转换的⽅法A 显然正确（已经默认递增或递减排列）B 正确：定理 3：⾮负整数组是图的度序列的充分必要条件是：为偶数C 正确：定理 20：每棵⾮平凡树⾄少有两⽚树叶D 正确：存在⼀棵⾮平凡树，以该序列为度序列的充要条件握⼿定理E 错误：先有度弱或度优，才有度数之和⼩于或⼤于；反过来不成⽴F 错误：不⽌确定⼀个图2. 对于序列，下列说法正确的是（BD）A. 可能是简单图的度序列❌B. ⼀定不是简单图的度序列C. 只能是简单图的度序列❌D. 只能是⾮简单图的度序列E. 不是任意图的度序列❌考点：度序列 && 图序列对于简单图，顶点的最⼤度顶点数 - 1A 错B 对C 错：对于该题，⻓度为 6，说明有 6 个点，同时最⼤度为 7，显然不是简单图！！D 对E 错：定理 3：⾮负整数组是图的度序列的充分必要条件是：为偶数3. 下列说法错误的是（ACE）A. 若⼀个图中存在闭途径，则⼀定存在圈❌B. 偶图中不存在奇圈C. 若图不含三⻆形，则为偶图❌D. 图的顶点之间的连通关系⼀定是等价关系E. 存在每个顶点的度数互不相同的⾮平凡简单图❌A 错误：闭途径（），但不存在圈B 正确：定理 9：⼀个图是偶图当且仅当它不包含奇圈C 错误：可能存在⻓度不为 3 的奇圈，如 5，7 等等D 正确：即便在有向图中，也存在弱连通E 错误：定理 5：⼀个简单图的个点的度不能互不相同4. 关于简单图的邻接矩阵，下列说法错误的是（C）A. 矩阵的⾏和等于该⾏对应顶点的度数B. 矩阵的所有元素之和等于该图边数的倍C. 矩阵的所有特征值之和等于该图边数的倍❌D. 矩阵的所有特征值的平⽅和等于该图边数的倍E. 矩阵的主对⻆线的元素之和等于该图边数的倍F. 若是⾮连通图，则相似于某个准对⻆矩阵考点：简单图邻接矩阵的性质A 正确：矩阵的「⾏和」或「列和」等于该「⾏」或「列」对应顶点的度数B 正确：所有元素之和等于度数之和，根据握⼿定理判断正确C 错误：矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹；矩阵的迹⼜是矩阵主对⻆线上的元素之和；对于简单图，邻接矩阵主对⻆线元素均为D 正确：所有特征值的平⽅和等于的所有特征值之和；的迹就是主对⻆线之和，也就是图的所有度数之和，就等于边数的两倍E 显然正确F 正确：⽆法解释，因为不懂5. 图⼀定是树的是（BDE）A. 连通图❌B. ⽆回路但任意添加⼀条边后有回路的图C. 每对顶点间都有路的图❌D. 连通且E. ⽆圈且考点：树的基本性质A 错误：树是连通的⽆圈图B 正确：回路是边不重圈的并；⽆回路肯定⽆圈，加⼀条边有回路，肯定就有圈C 错误：每对顶点间存在唯⼀的⼀条路DE 显然正确三、解答题1. 设⽆向图 有条边， 度与 度顶点各 个，其余顶点度数均⼩于 ，问 中⾄少有⼏个顶点？在顶点数最少的情况下，写出 的度序列，该度序列是⼀个图序列吗？考点：握⼿定理 + 图序列解：由于求顶点数量最少，故假设 0 度顶点为 0 个，1 度顶点为 0 个，同时设 2 度顶点有 个根据握⼿定理得：；解得：所以 中⾄少有 7 个顶点；图 的度序列为 根据 Havel-Hakimi 定理，可得下⾯推导过程：显然 是可图的，所以 是可图的2. 证明整数序列是简单图的度序列，并构造⼀个对应的简单图。

图论试题及答案解析图片一、选择题1. 在图论中，一个图的顶点数为n，那么这个图最多有多少条边？A. nB. n(n-1)/2C. n^2D. 2n答案：B解析：在一个无向图中，每个顶点最多与其他n-1个顶点相连，因此最多有n(n-1)/2条边。

2. 什么是连通图？A. 至少有一个环的图B. 任意两个顶点都可以通过路径相连的图C. 没有孤立顶点的图D. 所有顶点度数都大于0的图答案：B解析：连通图是指图中任意两个顶点都可以通过路径相连的图。

3. 在图论中，什么是哈密顿路径？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有边的路径C. 经过图中所有顶点的回路D. 经过图中所有边的回路答案：A解析：哈密顿路径是指经过图中所有顶点的路径。

4. 什么是二分图？A. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻B. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点相邻C. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边不相邻D. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边相邻答案：A解析：二分图是指图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻。

5. 在图论中，什么是最小生成树？A. 包含图中所有顶点的最小边数的生成树B. 包含图中所有顶点的最小权重的生成树C. 包含图中所有边的最小权重的生成树D. 包含图中所有边的最小边数的生成树答案：B解析：最小生成树是指包含图中所有顶点的最小权重的生成树。

二、填空题1. 在无向图中，如果一个顶点的度数为n，则该顶点至少有______条边。

答案：n解析：一个顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。

2. 如果一个图是连通的，那么该图至少有______个连通分量。

答案：1解析：连通图的定义是图中任意两个顶点都可以通过路径相连，因此至少有一个连通分量。

3. 在图论中，一个图的色数是指给图的顶点着色，使得相邻顶点颜色不同，所需的最小颜色数。

二、应用题题0：（1996年全国数学联赛）有n （n ≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n /2]个人，而对任意的[n /2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n -[n /2]个人中有两个人相互认识。

证明这n 个人中必有3个人互相认识。

注：[n /2]表示不超过n /2的最大整数。

证明 将n 个人用n 个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G 。

由条件可知，G 是具有n 个顶点的简单图，并且有（1）对每个顶点x ，)(x N G ≥[n /2]；（2）对V 的任一个子集S ，只要S ＝[n /2]，S 中有两个顶点相邻或V-S 中有两个顶点相邻。

需要证明G 中有三个顶点两两相邻。

反证，若G 中不存在三个两两相邻的顶点。

在G 中取两个相邻的顶点x 1和y 1,记N G (x 1)＝{y 1,y 2,……,y t }和N G (y 1)={x 1,x 2,……,x k },则N G (x 1)和N G (y 1)不相交，并且N G (x 1)（N G (y 1)）中没有相邻的顶点对。

情况一；n=2r ：此时[n /2]＝r ，由（1）和上述假设，t=k=r 且N G (y 1)＝V-N G (x 1)，但N G (x 1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。

情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。

若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。

故k ≠r+1，同理t ≠r+1。

所以t=r,k=r 。

记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。

数学竞赛图论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在一个无向图中，如果有5个顶点，每个顶点至少与另外两个顶点相连，那么这个图至少有多少条边？A. 5B. 6C. 7D. 82. 一个图是二分图当且仅当它没有奇环。

这个说法是正确的吗？A. 是B. 否3. 给定一个有n个顶点的完全图，求出该图的边数。

A. n(n-1)/2B. n(n+1)/2C. n^2D. 2n4. 在一个图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的简单路径，则称u 可达v。

如果图中任意两个顶点都是相互可达的，那么这个图是：A. 连通图B. 强连通图C. 有向无环图D. 欧拉图二、填空题（每空5分，共30分）5. 一个图的度序列是指图中所有顶点的度按照______排列的序列。

6. 如果一个图的边数等于顶点数的两倍，那么这个图一定是______。

7. 在图论中，一个图的最小生成树是指连接所有顶点的______的树。

8. 一个图的着色数是指对图中的顶点进行着色，使得任何两个相邻的顶点颜色都不同，使用的最小颜色数。

三、简答题（每题25分，共50分）9. 描述什么是图的平面性，并给出判断一个图是否为平面图的方法。

10. 解释什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。

答案一、选择题1. C（根据边数的最小值公式，边数至少为顶点数减一的两倍）2. B（二分图没有奇环，但不是所有没有奇环的图都是二分图）3. A（完全图的边数公式）4. A（连通图的定义）二、填空题5. 非增6. 完全二部图7. 边数最少8. 最小三、简答题9. 图的平面性指的是图可以画在平面上，使得图中的边除了端点外不相交。

判断一个图是否为平面图的方法有库拉托夫斯基定理，即如果一个图包含一个子图同构于K5（完全五顶点图）或K3,3（完全二部图），则该图是非平面的。

10. 哈密顿回路是一条通过图中每个顶点恰好一次的闭合回路。

例如，一个正方形的四个顶点可以形成一个哈密顿回路，因为可以按照顺时针或逆时针方向依次访问每个顶点一次。