第二篇 图论习题
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图论课后习题答案
图论课后习题答案图论是数学中的一个分支，主要研究图的结构和性质。
图论的课后习题通常包括证明题、计算题和应用题。
下面给出一些典型的图论课后习题答案：1. 证明题：证明一个图是连通的当且仅当它的任意两个顶点都存在一条路径相连。
答案：首先定义连通图的概念：一个图是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径将它们连接起来。
接下来，我们证明两个方向：- 如果一个图是连通的，那么对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，根据定义，必然存在一条路径\( P \)将它们连接起来。
- 反之，如果对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，都存在一条路径将它们连接起来，那么我们可以构造一个从任意顶点\( u \)出发，访问图中所有顶点的路径，这表明图是连通的。
2. 计算题：给定一个有\( n \)个顶点的完全图，计算它的边数。
答案：在完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连。
因此，对于一个顶点，它将与\( n-1 \)个其他顶点相连。
但是，每条边被计算了两次（因为它连接了两个顶点），所以边数应该是\( \frac{n(n-1)}{2} \)。
3. 应用题：在一个社交网络中，每个用户可以与其他人建立联系。
如果一个用户与至少一半的用户建立了联系，那么这个社交网络是连通的吗？答案：是的，这个社交网络是连通的。
假设社交网络中有\( n \)个用户，如果一个用户与至少\( \lceil \frac{n}{2} \rceil \)个用户建立了联系，那么我们可以构造一条从任意用户\( u \)到这个中心用户的路径。
由于中心用户与至少一半的用户建立了联系，我们可以继续通过这些联系到达其他用户，从而证明社交网络是连通的。
4. 证明题：证明在任何图中，边数至少是顶点数减一。
答案：考虑一个图的生成树，它是一个最小的连通子图，包含图中的所有顶点，并且没有环。
在生成树中，边数等于顶点数减一。
由于任何图都至少包含一个生成树，因此原图的边数至少与生成树的边数相同，即至少是顶点数减一。
图论习题
《图论及其应用》习题课教材目录第一章图的基本概念1.1 图和简单图1.2 子图与图的运算1.3 路与图的连通性1.4 最短路及其算法1.5 图的代数表示及其特征1.6 极图1.7 交图与团图习题1第二章树2.1 树的概念与性质2.2 树的中心与形心2.3 生成树2.4 最小生成树习题2第三章图的连通度3.1 割边、割点和块3.2 连通度3.3 应用3.4 图的宽距离和宽直径习题3第四章欧拉图与哈密尔顿图4.1 欧拉图4.2 高效率计算机鼓轮的设计4.3 中国邮路问题4.4 哈密尔顿图4.5 度极大非哈密尔顿图4.6 旅行售货员问题4.7 超哈密尔顿图4.8 E图和H图的联系4.9 无限图中的欧拉,哈密尔顿问题习题4第五章匹配与因子分解5.1 匹配5.2 偶图的匹配与覆盖5.3 Tutte定理与完美匹配5.4 因子分解5.5 最优匹配与匈牙利算法5.6 匹配在矩阵理论中的应用习题5第六章平面图6.1 平面图6.2 一些特殊平面图及平面图的对偶图6.3 平面图的判定及涉及平面性的不变量6.4 平面性算法习题6第七章图的着色7.1 图的边着色7.2 顶点着色7.3 与色数有关的几类图7.4 完美图7.5 着色的计数，色多项式习题27.6 List着色7.7 全着色7.8 着色的应用习题7第八章Ramsey定理8.1 独立集和覆盖8.2 Ramsey定理8.3 广义Ramsey数8.4 应用习题8习题 11. 证明在n阶连通图中（1）至少有n-1条边。
（2）如果边数大于n-1，则至少有一条闭通道。
（3）如恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。
证明(1) 若对∀v∈V(G),有d(v)≥2,则：2m=∑d(v)≥2n ⇒ m≥n>n-1,矛盾！若G中有1度顶点，对顶点数n作数学归纳。
当n=2时，G显然至少有一条边，结论成立。
设当n=k时，结论成立，当n=k+1时，设d(v)=1，则G-v是k阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G 至少有k条边。
习题参考解答(图论部分)
习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
图论习题
习题八8.1 设V={u,v,w,x,y}, 画出图G: (V ,E).(1) E={(u,v),(u,x),(v,w),(v,y),(x,y)} (2) E={(u,v),(v,w),(w,x),(w,y),(x,y)} 再求每个结点的次数。
8.2 设G 是具有4个结点的完全图：(1) 写出G 的所有子图； (2) 写出G 的所有生成子图。
8.3 画出一个多重图，使它们的邻接矩阵为1300301101220120⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 8.4 对于图1，试求(1) 从a 到h 的所有基本通路； (2) 从a 到h 的所有简单通路； (3) 从a 到h 的距离。
he d图18.5 图2中哪个有欧拉通路、有欧拉回路、有汉密尔顿通路、有汉密尔顿回路？b ce图28.6 图G 1，G 2的邻接矩阵分别为A 1，A 2，试求：(1) 23231122,,,A A A A ;(2) 在G 1内列出每两个结点间的距离； (3) 列出G 1，G 2中的所有基本回路。
10011000001100101010001001A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，20001100000001100010001010100100100001000000100000A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭8.7 设有向图D 如下，试求：(1) 每个结点的入次与出次； (2) 它的邻接矩阵M D ； (3) D 是强连通、弱连通还是单向连通？ (4) 求从a 到c 长度小于或等于3的通路数。
8.8 D 是具有结点v 1、v 2、v 3、v 4的有向图，它的邻接矩阵表示如下：0111011011011000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1) 画出这个图； (2) D 是强连通还是单向连通？(3) 求从v 1到v 1长度是3的回路，从v 1到v 2、v 1到v 3、v 1到v 4长度是3的通路数。
习题九9.4 设有代数表示式如下：42(35)(2)x y a b c -+，试画出这个表示式的树. 第四篇1. 在图G=(V,E)中，结点次数与边数的关系是下面4个中的哪一个？ (1) deg()2||i v E = (2) deg()||i v E = (3)deg()2||v Vv E ∈=∑ (4) deg()||v Vv E ∈=∑2. 设G 是n 个结点的无向完全图，则图G 的边数是多少？设D 是n 个结点的有向完全图，则图D 的边数又是多少？3. 仅有一个结点是图称为什么图？4. 设G=(V ,E)为无向简单图，|V|=n ，∆(G)为G 中结点的最大次数，请指出下面4个中哪个不等式是正确的。
图论习题答案2
第四次作业
四(13).设M是二分图G的最大匹配，则 | M || X | max| S | | N ( S )| ，
SX
证明： | X | max| S | | N ( S )| min(| X | | S |) | N ( S )| ，而（X - S ) N ( S )是G的一个覆盖，则 min(| X | | S |) | N ( S )|是G的最小覆盖，
第七次作业
• 五(28).设sn是满足下列条件的最小整数，把 {1,2,...,sn}任划分成n个子集后，总有一个子集 中含有x+y=z的根，求s1,s2,s3是多少？ • 解：n=1,枚举得s1=2; • s2=5 • s3=14
第七次作业
五(34).求证r(k, l) = r(l, k) 证明：若G含有K k 子图，则G c 含有k个顶点的独立集；若G含有 l个顶点的独立集，则G c 含有K l 子图。则命题成立。
五 (13).若 是单图 G 顶的最小次数，证明； 若 1则存在 1边着色， 使与每顶关联的边种有 1种颜色。 反证法：假设在 v1处无 i 0色 设 C (E 1 , E 2 ,..., E 1 )为 G 的( 1) 最佳边着色 第一步：构造点列： v1 , v 2 ,..., v h , v h 1 ,....., vl ,.... v1处无 i 0色， v j v j 1着 i j色，且在 v j点处 i j 色重复出现，可知在 v j1处仅一 个 i j色；证明如下： 用反证法证明，假设在 v j1处 i j色重复出现，将 v j v j 1改成 v j 所关联的边 没有的颜色 im，则可以对图 G 的找色进行改善。与 C 是最佳边着色矛盾， 假设不成立。 又 是单图 G 顶的最小次数，则必存 在最小整数 h使得 i h i l 第二步：着色调整： v j v j 1着 i j-1色 ( j 1,2,..., h )，所得新着色为 C ' 在 C '中， v1处多了个 i 0色， v h 1处少了个 i h 色，其他点的边着色数 不变， 所以 C ' 还是 1最佳边着色
哈工大图论习题
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
图论习题二答案
图论习题二答案图论习题二答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，有很多经典的习题可以帮助我们更好地理解和应用图的概念。
本文将探讨一些图论习题二的答案，帮助读者更好地理解和掌握图论的知识。
1. 习题：给定一个无向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5,6}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)}，求图G的邻接矩阵和关联矩阵。
答案：邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是图的顶点数。
对于无向图G，邻接矩阵的元素a[i][j]表示顶点i和顶点j之间是否存在边。
如果存在边，则a[i][j]=1，否则a[i][j]=0。
对于给定的图G，邻接矩阵为：0 1 1 0 0 01 0 1 1 0 01 1 0 1 0 00 1 1 0 1 10 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中n是图的顶点数，m是图的边数。
对于无向图G，关联矩阵的元素b[i][j]表示顶点i和边j之间的关系。
如果顶点i是边j 的起点，则b[i][j]=-1；如果顶点i是边j的终点，则b[i][j]=1；否则b[i][j]=0。
对于给定的图G，关联矩阵为：-1 -1 0 0 0 01 0 -1 -1 0 00 1 1 0 0 00 0 0 1 -1 -10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 12. 习题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1),(5,4)}，求图G的邻接表和深度优先搜索遍历结果。
答案：邻接表是一种图的表示方法，用于存储图中每个顶点的邻接顶点。
对于有向图G，邻接表中的每个元素表示该顶点的出边。
对于给定的图G，邻接表为：1: 2, 32: 3, 43: 44: 15: 4深度优先搜索（DFS）是一种图的遍历算法，用于遍历图中的所有顶点。
第二篇 图论习题
习题课 2
例10 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 （1）顶点u与v连通；（2）G连通G+uv连通。 例1 设G为p阶简单无向图，p＞2且p为奇数，G和G的 补图GC 中度数为奇数的顶点的个数是否一定相等？ 试证明你的结论。 例2 设V={v1,v2,…,vp}，计算以V为顶点集的无向图 的个数是多少？(KP有多少个生成子图) 例3 设V={v1,v2,…,vp},q≤p(p-1)/2，计算以V为顶 点集具有q条边的无向图的个数是多少？ 例4 设G是（p,q）图，r≤q，则具有r条边的G的生成 子图有多少？ 答案： 2p(p-1)/2 ，Cqp(p-1)/2 ，Crq。
习题课 2
1. 说明图中所示图(1)(2)是否是非平面图？ 2．证明:彼得森图不是平面图。 (1) 收缩法；(2) 欧拉公式法；(3)收缩到K3,3。 3.设G是无向图,p<8,则G与Gc中至少有一个是平面图。 4.设平面图G的顶点数p=7,边数q=15，证明G是连通的。
习 题 课 3
1．判断下面命题是否正确，并说明理由。 任意平面图G的对偶图G*的对偶图G**与G同构。 2. 设G*是平面图G的对偶图，证明：p*=f，q*=q， f*=p-k+1。其中k(k≥1)为G的连通分支数。 3. 证明：若G是自对偶的平面图，则q=2p-2。其中p 和q是G的边与顶点数。 4．把平面分成p个区域，每两个区域都相邻，问p最 大为多少？ 5.证明：不存在具有5个面，每两个面都共享一条公 共边的平面图G。
例7 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。 例8 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数 均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同 构的G。 例9 9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送 一张贺年卡。确定能否使每个学生收到的卡均来自 其送过卡的相同人？为什么？ 解:否，不存在9（奇数）个顶点的3－正则图。
图论及其应用 第二章答案
)3( 题属中国邮路问题除第欧拉图与哈密尔顿图<1.>给定一个由16条线段构成的图形（见下图）.证明：不能引一条折线与每一线段恰好相交一次（折线可以是不封闭的和自由相交的，但他的顶点不在给定的线段上）证明：建立一个图G ：顶点i v 代表图形的区域(1,2,3,4,5,6)i X i ，顶点i v 与j v 之间连接的边数等于区域i X 与j X 公共线段的数目.于是，将上图的区域和边可转化成下图：由顶点度数知不存在欧拉路，从1X 到6X 只能相交于外面的两条线段.<2.>下列图形中哪些能一笔画成.解：只需考虑该图是否有欧拉路（即有两个奇点或者无奇点），故第一个和第三个可以一笔画成，第二个不能一笔画成.<4.>下图是某个展览馆的平面图，其中每个相邻的展览室有门相通.证明：不存在一条从A 进入，经过每个展览室恰好一次再从A 处出来的参观路线.证：用顶点代表展览室，两顶点相邻当且仅当这两点所对应的展览室有门相通，则可得一个连通简单图G （见下图）.因此，只要证明G 中不存在H —回路即可.具体理由如下：令}{1216,,,S y y y = ，则显然S 是G 的真子集，而()1816G S S ω-=>=（x 共18个，y 共16个），故由讲义中定理2.3知不存在H —回路.<5.>某次会议有20人参加，其中每个人都至少有10个朋友.这20人围一桌入座，要想使与每个人相邻的两位都是朋友是否可能？解:用顶点代表人，两人是朋友时相应顶点间连一边，得到一个无向图(,)G V E =.只要证明G 中存在H —回路即可. G 是10阶连通图，对于20n =，且()10,()10G G d u d v ≥≥，可得：()()20G G d u d v n +≥=，故由讲义中定理2.4知G 中存在H —回路.<6.>已知,,,,,,a b c d e f g 七个人中，a 会讲英语，b 会讲英语和汉语，c 会讲英语、意大利语和俄语，d 会讲汉语和日语，e 会讲意大利语和德语，f 会讲俄语、日语和法语，g 会讲德语和法语.能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈.解：用七个顶点表示这七个人.若两人能交谈（会讲同一种语言），就在这两顶点之间连一条边，得到图G .只要证明图G 中存在H -回路即可. 具体结果如下：c e g f d b a c 意大利语德语法语日语汉语英语英语 .<7.>设G 是分划为,X Y 的二部图，且X Y ≠，则G 一定不是H —图。
图论作业2
习题四：3.（1）画一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图；（2）画一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图；（3）画一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图；（4）画一个即没有Hamilton 圈也没有Euler 闭迹的图；解：找到的图如下：(1) 一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图；(2) 一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图；(3) 一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图;(4)一个即没有Hamilton 圈也没有Euler 闭迹的图.4.设n 阶无向简单图G 有m 条边，证明:若m ≥(n−12)+2,则G 是Hamilton 图。
证明: G 是H 图。
若不然，因为G 是无向简单图，则n ≥3,由定理1：若G 是n ≥3的非单图，则G 度弱于某个C m,n .于是有：2,1()()(2)(1)(1)2111(1)(2)(1)(21)221 1.2m n E G E C m n m n m m m n m m m n m n ⎡⎤≤=+---+-⎣⎦-⎛⎫=+------- ⎪⎝⎭-⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭这与条件矛盾！所以G 是H 图。
8.证明：若G 有2k ≥0个奇点，则存在k 条边不重的迹Q 1,Q 2…Q k ,使得E (G )=E (Q 1)∪E (Q 2)∪E (Q 3)∪⋯∪E(Q k ).证明：不失一般性，只就G 是连通图进行证明。
设G=(n, m)是连通图。
令v l ，v 2，…,v k ,v k+1,…,v 2k 是G 的所有奇度点。
在v i 与v i+k 间连新边e i 得图G*（1≦i ≦k).则G*是欧拉图，因此，由Fleury 算法得欧拉环游C.在C 中删去e i （1≦i ≦k).得k 条边不重的迹Q i （1≦i ≦k):12()()()()k E G E Q E Q E Q =10.证明：若：（1）G 不是二连通图，或者（2）G 是具有二分类(X,Y )的偶图，这里|X |≠|Y |,则G 是非Hamilton 图。
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习题课 2
1. 说明图中所示图(1)(2)是否是非平面图？ 2．证明:彼得森图不是平面图。 (1) 收缩法；(2) 欧拉公式法；(3)收缩到K3,3。 3.设G是无向图,p<8,则G与Gc中至少有一个是平面图。 4.设平面图G的顶点数p=7,边数q=15，证明G是连通的。
习 题 课 3
1．判断下面命题是否正确，并说明理由。 任意平面图G的对偶图G*的对偶图G**与G同构。 2. 设G*是平面图G的对偶图，证明：p*=f，q*=q， f*=p-k+1。其中k(k≥1)为G的连通分支数。 3. 证明：若G是自对偶的平面图，则q=2p-2。其中p 和q是G的边与顶点数。 4．把平面分成p个区域，每两个区域都相邻，问p最 大为多少？ 5.证明：不存在具有5个面，每两个面都共享一条公 共边的平面图G。
例15 设G为p个顶点的简单无向图。 (1) 若G的边数q= (p-1)· (p-2)/2+2，证明G为 哈密顿图。 (2) 若G的边数q= (p-1)· (p-2)/2+1，则G是否 一定为哈密顿图？ 例16 如图所示的图G是哈密顿图。试证明：若图中 的哈密顿回路中含边e1，则它一定同时也含e2。 例17 已知9个人v1,v2,…,v9，其中v1和两个人握过手， v2,v3,v4,v5各和3个人握过手，v6和4个人握过手， v7,v8各和5个人握过手，v9和6个人握过手。证明:这 9个人中一定可以找出3个人互相握过手。
例8 有17位学者，每2位讨论3篇论文中的一篇且仅一 篇，证明：至少有3位学者，他们相互讨论的是同一篇 论文。
习题3
例1 设p，q为正整数，则 （1）p为何值时，无向完全图Kp是欧拉图？p为何值 时Kp为半欧拉图？ （2）p,q为何值时Kp,q为欧拉图？ （3）p,q为何值时Kp,q为哈密顿图？ （4）p为何值时，轮图Wp为欧拉图？ 例2 判断如图所示的图是否为哈密顿图，若是写出哈 密顿圈，否则证明其不是哈密顿图。
例2 画出具有 6、8、10、…、2n个顶点的三次图； 是否有7个顶点的三次图？ 例3 无向图有21条边，12个3度数顶点，其余顶点的 度数均为2，求的顶点数。 (p=15) 例4 下列各无向图中有几个顶点？ (1) 16条边，每个顶点的度为2； (2) 21条边，3 个4度顶点，其余的都为3度数顶点； (3) 24条边，各顶点的度数相同。 (1. p=16; 2. p=13; 3. pk=48 讨论) 例5 设图G中有9个顶点，每个顶点的度不是5就是6。 证明:G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。 例6 有n个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药， 而每种药恰好放在两个药箱中，问药箱里共有多 少种药？
例13 某公司来了9名新雇员，工作时间不能互相交谈。 为了尽快互相了解，他们决定利用每天吃午饭时间相 互交谈。于是，每天在吃午饭时他们围在一张圆桌旁 坐下，他们是这样安排的，每一次每人的左、右邻均 与以前的人不同。问这样的安排法能坚持多久？ 例14 已知a,b,c,d,e,f,g7个人中，a会讲英语；b会 讲英语和汉语；c会讲英语、意大利语和俄语；d会讲 汉语和日语；e会讲意大利语和德语；f会讲俄语、日 语和法语；g会讲德语和法语。能否将他们的座位安 排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈？
7．证明：若每个顶点的度数大于等于3时，则不存在 有7条边的平面连通图。
(等价命题：证明：不存在7条棱的凸多面体)
8. 设G是顶点p≥11的平面图，证明：G的补图Gc是非平 面图。
(设G是顶点p≥11的图，证明：G与G的补图Gc至少有一个是非平 面图。)
9.设G是平面连通图，顶点为p面数f，证明: (1)若p≥3，则f≤2p-4。(2)若δ(G)=4,则G中至少有6 个顶点的度数≤5。 10．设G是边数q<30的平面图,证明:G中存在顶点v， 使得degv≤4。
例10 某工厂生产由6种不同颜色的纱织成的双色布。 双色布中，每一种颜色至少和其他3种颜色搭配。证 明:可以挑出3种不同的双色布,它们含有所有6种颜色。 与例8等价的例题： 例11 今要将6个人分成3组（每组2个人）去完成3项 任务，已知每个人至少与其余5个人中的3个人能相互 合作，问： ⅰ (1)能否使得每组2个人都能相互合作？ (2)你能给出集中方案？（两种） 例12 设G=(V,E)是p(p>3)个顶点的简单无向图,设G中 最长路L的长度为l(l≥2)，起点与终点分别为u,v， 而且degu+degv≥p。证明：G中必有与L不完全相同但 长度也为L的路。
例7 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。 例8 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数 均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同 构的G。 例9 9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送 一张贺年卡。确定能否使每个学生收到的卡均来自 其送过卡的相同人？为什么？ 解:否，不存在9（奇数）个顶点的3－正则图。
例6设T是一棵树且△(T)≥k ，证明:T中至少有k个度 为1的顶点。 例7证明:恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路。 例8(1)一棵无向树有ni个度数为i的顶点,i=1,2,…,k。 n2,n3,….nk均为已知数，问n1应为多少？ (2)在(1)中，若nr(3≤r≤k)未知，nj(j≠r)均为已知 数，问nr应为多少？ 例9 设无向图G中有p个顶点，q-1条边，则G为连通图 当且仅当G中无回路。 例10设G是一个(p,q)图,证明:若q≥p,则G中必有圈。 p 例11设d1,d2,…,dp是p个正整数,p≥2,且 di 2 p 2。
例18某次会议有20人参加，其中每个人都至少有10 个朋友，这20人围一圆桌入席，要想使与每个人相 邻的两位都是朋友是否可能？根据什么？ 例19 设G是一个有p(p≥3)个顶点的连通图。u和v是 G的两个不邻接的顶点,并且degu+degv≥p 。证明： G是哈密顿图G+uv是哈密顿图。
第六章 树和割集(习题课1)
定理2 设G=(V1∪V2，E)是一个偶图，|V1|≤|V2|。G 中存在从V1到V2的完全匹配的充分条件是存在正整数 t，使得V1中每个顶点的度大于等于t，V2中每个顶点 的度小于等于t。该条件称为t条件。 例２某年级共开设7门课程，由7位教师承担。已知每 位教师都能担任其中的3门课程。他们将自己能担任 的课程报到教务处后，教务处人员发现每门课都恰好 有3位教师能担任。问教务处人员能否安排这7位教师 每人担任1门课，并且每门课都有人承担。 定理3 从t条件可以推出相异性条件。 注意：定理3中反过来不能推出t条件。 推论1 任何r-正则偶图G＝(V1∪V2,E)必有一个完美 匹配，其中r≥1。
e
c b a
f a g j d
d j i
h
i
e h
b
c
f
g
例3 给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每 一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥9。 例4 证明：完全图K9中至少存在彼此无公共边的两条 哈密顿回路和一条哈密顿路？ 例5 试求Kp中不同的哈密顿圈的个数。 例6(1) 证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图；用 此结论证明如图所示的图不是哈密顿图。 (2) 完全偶图Km,n为哈密顿图的充要条件是什么？ 例7 菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？ 例8设G=(V,E)是连通图且顶点数为p,最小度数为δ， 若p>2δ,则G中有一长至少为2δ的路。 例9 证明：彼德森图不是哈密顿图。
第七章
平面图和图的着色习题课１源自1.设G是有k个分支、f个面的(p,q)平面图，则 p-q+f=k+1。 2.证明：下列4个图均是可平面图。 3．如图所示的图G是否为平面图？是否为极大平面图？ 为什么？ 4.证明：极大平面图G一定是连通图。 5. 设G是有p(p≥3)个顶点的简单平面连通图，且G的 每个面均是由3条边围成，证明：G是极大平面图。 （若G是极大平面图，则G的每个面都是三角形） 6. 由6个顶点，12条边构成的平面连通图G中，每个 面由几条边围成？为什么？
第七章
习题课１
定理1 设G=(V1∪V2，E)是一个偶图，|V1|≤|V2|。 G中存在从V1到V2的完全匹配⇔是V1中任意k个顶点 (k=1,2,…, |V1|)至少与V2中的k个顶点相连接。 例１现有4名教师：张、王、李、赵，要求他们去教 4门课程：数学、物理、电工和计算机科学。已知张 能教数学和计算机科学；王能教物理和电工；李能 教数学、物理和电工；赵只能教电工。如何安排才 能使4位教师都能教课，并且每门课都有人教？共有 几种方案？ 用相异性条件判断一个偶图是否存在完全匹配 常常很不方便，下面的充分条件比较便于实际应用。
i 1
证明:存在一棵顶点度数为d1,d2,…,dp的树。 例12证明:任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。
例1 设图G中有9个顶点，每个顶点的度不是5就是6。 证明:G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。 例2 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。 例3 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数 均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同 构的G。
习题课２
例１设G是连通图，满足下面条件之一的边应具有什 么性质 ？ （1）在G的任何生成树中； （2）不在G的任何生成树中。 例2 非平凡无向连通图G是树当且仅当G的的每条边都 是桥。 例3 设T是一棵树，p≥2 ，则 （1）p个顶点的树至多有多少个割点； （2）p个顶点的树有多少个桥？ 例4 证明或否定断言：连通图G的任意边是G的某一棵 生成树的弦。 例5 设T是连通图G中的一棵生成树，证明：T的补中 不含中任何割集。[T的补T G T 就是T的弦]