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第1章 图论预备知识1.1解：(1) p={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}(2) p={,{a},{{b,c}},{a,{b,c}}} (3) p={,{}}(4) p={,{},{{}},{,{}}}(5)p={,{{a,b}},{{a,a,b}},{{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b}},{{a,b},{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b},{a,b,a,b}}} 1.2 解：(1) 真 (2) 假 (3)假 (4)假 1.3 解：(1) 不成立，A={1} B={1,2} C={2} (2) 不成立，A={1} B={1,2} C={1,3}1.4 证明：设(x,y)∈(A ∩B)X(C ∩D) 说明x ∈A ∩B,y ∈C ∩D 由于 x ∈A,y ∈C 所以 (x,y) ∈A X C 由于x ∈B,y ∈D 所以 (x,y) ∈B X D 所以 (x,y) ∈（A X C ）∩（B X D ） 反过来，如果（x,y ）∈(A X C) ∩（B X D ） 由于 (x,y) ∈（A X C ）所以 x ∈A,y ∈C 由于 (x,y) ∈（B X D ）所以x ∈B,y ∈D 所以x ∈(A ∩B) y ∈(C ∩D) 所以 (x,y) ∈(A ∩B)X(C ∩D)所以(A ∩B)X(C ∩D)= (A X C) ∩（B X D ） 1.5 解：Hasse 图φφφφφφφφφ极大元{9,24,10,7} 极小元{3,2,5,7} 最大元{24} 最小元{2}1.6 解(2)关系图为：(3)不存在最大元，最小元为{2}1.7 解：(1)R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>} (2)略(3)I A ⊆R 故R 是自反的。
图论课后习题答案图论是数学中的一个分支，主要研究图的结构和性质。
图论的课后习题通常包括证明题、计算题和应用题。
下面给出一些典型的图论课后习题答案：1. 证明题：证明一个图是连通的当且仅当它的任意两个顶点都存在一条路径相连。
答案：首先定义连通图的概念：一个图是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径将它们连接起来。
接下来，我们证明两个方向：- 如果一个图是连通的，那么对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，根据定义，必然存在一条路径\( P \)将它们连接起来。
- 反之，如果对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，都存在一条路径将它们连接起来，那么我们可以构造一个从任意顶点\( u \)出发，访问图中所有顶点的路径，这表明图是连通的。
2. 计算题：给定一个有\( n \)个顶点的完全图，计算它的边数。
答案：在完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连。
因此，对于一个顶点，它将与\( n-1 \)个其他顶点相连。
但是，每条边被计算了两次（因为它连接了两个顶点），所以边数应该是\( \frac{n(n-1)}{2} \)。
3. 应用题：在一个社交网络中，每个用户可以与其他人建立联系。
如果一个用户与至少一半的用户建立了联系，那么这个社交网络是连通的吗？答案：是的，这个社交网络是连通的。
假设社交网络中有\( n \)个用户，如果一个用户与至少\( \lceil \frac{n}{2} \rceil \)个用户建立了联系，那么我们可以构造一条从任意用户\( u \)到这个中心用户的路径。
由于中心用户与至少一半的用户建立了联系，我们可以继续通过这些联系到达其他用户，从而证明社交网络是连通的。
4. 证明题：证明在任何图中，边数至少是顶点数减一。
答案：考虑一个图的生成树，它是一个最小的连通子图，包含图中的所有顶点，并且没有环。
在生成树中，边数等于顶点数减一。
由于任何图都至少包含一个生成树，因此原图的边数至少与生成树的边数相同，即至少是顶点数减一。
二、应用题题0：（1996年全国数学联赛）有n（n≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n/2]个人，而对任意的[n/2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n-[n/2]个人中有两个人相互认识。
证明这n个人中必有3个人互相认识。
注：[n/2]表示不超过n/2的最大整数。
证明将n个人用n个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G。
由条件可知，G是具有n个顶点的简单图，并且有（1）对每个顶点x，)N G≥[n/2]；(x（2）对V的任一个子集S，只要S＝[n/2]，S中有两个顶点相邻或V-S中有两个顶点相邻。
需要证明G中有三个顶点两两相邻。
反证，若G中不存在三个两两相邻的顶点。
在G中取两个相邻的顶点x1和y1,记N G(x1)＝{y1,y2,……,y t}和N G(y1)={x1,x2,……,x k},则N G(x1)和N G(y1)不相交，并且N G(x1)（N G(y1)）中没有相邻的顶点对。
情况一；n=2r：此时[n/2]＝r，由（1）和上述假设，t=k=r且N G(y1)＝V-N G(x1)，但N G(x1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G(y1)中有相邻的顶点对，矛盾。
情况二；n=2r+1: 此时[n/2]＝r，由于N G(x1)和N G(y1)不相交，t≥r,k≥r,所以r+1≥t,r+1≥k。
若t=r+1,则k=r，即N G(y1)=r，N G(x1)＝V-N G(y1)，由（2），N G(x1)或N G(y1)中有相邻的顶点对，矛盾。
故k≠r+1，同理t≠r+1。
所以t=r,k=r。
记w∈V- N G(x1) ∪N G(y1),由（2），w分别与N G(x1)和N G(y1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E。
若x i0y j0∈E，则w，x i0, y j0两两相邻，矛盾。
若x i0y j0∉E，则与x i0相邻的顶点只能是(N G(x1)-{y j0})∪{w},与y j0相邻的顶点只能是(N G(y1)-{x j0})∪{w}。
二、应用题题0：（1996年全国数学联赛）有n（n≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n/2]个人，而对任意的[n/2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n-[n/2]个人中有两个人相互认识。
证明这n个人中必有3个人互相认识。
注：[n/2]表示不超过n/2的最大整数。
证明将n个人用n个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G。
由条件可知，G是具有n个顶点的简单图，并且有（1）对每个顶点x，)(xN G≥[n/2]；（2）对V的任一个子集S，只要S＝[n/2]，S中有两个顶点相邻或V-S中有两个顶点相邻。
需要证明G中有三个顶点两两相邻。
反证，若G中不存在三个两两相邻的顶点。
在G中取两个相邻的顶点x1和y1,记N G(x1)＝{y1,y2,……,y t}和N G(y1)={x1,x2,……,x k},则N G(x1)和N G(y1)不相交，并且N G(x1)（N G(y1)）中没有相邻的顶点对。
情况一；n=2r：此时[n/2]＝r，由（1）和上述假设，t=k=r且N G(y1)＝V-N G(x1)，但N G(x1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G(y1)中有相邻的顶点对，矛盾。
情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。
若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。
故k ≠r+1，同理t ≠r+1。
所以t=r,k=r 。
记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。
若x i0y j0∈E ，则w ，x i0, y j0两两相邻，矛盾。
图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。
答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。
答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。
答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。
7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。
答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。
在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。
结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。
图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。
答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。
答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。
答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。
答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。
答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。
答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。
2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。
四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。
答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。
1 设图G有12条边，G中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G中至少有多少个结点？2 设有向简单图G的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G得出度序列 .3 设D是n阶有向简单完全图,则图D的边数为 .4设G是n阶无向简单完全图K n，则图G的边数为 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( )(A)零图(B)平凡图(C)补图(D)子图6设n阶图G中有m条边，每个结点的度数不是k的是k+1，若G中有N k个k度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = .7设图G如右图.已知路径(1) P1=(v1e5 v5e7 v2e2 v3 )(2) P2=(v5e6 v2e2 v3e3 v4e8 v2e7 v5)(3) P3=(v2e7 v5e6 v2)(4) P4=(v1e1 v2e2 v3e3 v4e8 v2e6 v5)判断路径类型，并求其长度.81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P1=(v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3)P2=(v3e3v2e2v2e1v1e4v3)P3=(v3e3v2e1v1e4v3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P1=(v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P2=(v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P3=(v1e1v2e6v5e7v3e3v4).v1e1e5v2e65e7e4 e2e8v3 4e3v e v1 设图G 有12条边，G 中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G 中至少有多少个结点？ 至少9个2 设有向简单图G 的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G 得出度序列 （2,2,5,6） .3 设D 是n 阶有向简单完全图,则图D 的边数为 )1(−n n .4 设G 是n 阶无向简单完全图K n ，则图G 的边数为 m =n (n -1)/2 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( B ) (A) 零图 (B)平凡图 (C)补图 (D)子图6设n 阶图G 中有m 条边，每个结点的度数不是k 的是k+1，若G 中有N k 个k 度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = N k =(k+1)n-2m . 7设图G 如右图.已知路径 (1) P 1=(v 1e 5 v 5e 7 v 2e 2 v 3 ) (2) P 2=(v 5e 6 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 7 v 5) (3) P 3=(v 2e 7 v 5e 6 v 2)(4) P 4=(v 1e 1 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 6 v 5)判断路径类型，并求其长度. (1) 初级通路；3 (2) 简单回路；5 (3) 初级回路；2 (4) 简单通路. 5 81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3) P 2=(v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3) P 3=(v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 2=(v 1e 5v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 3=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 3v 4).解：在图G 1中，v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为6的回路，但既不是简单回路，也不是初级回路； v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为4的简单回路，但不是初级回路； v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为3的初级回路。
图论及应用习题答案图论及应用习题答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图论在现实生活中有着广泛的应用，涵盖了许多领域，如计算机科学、通信网络、社交网络等。
本文将为读者提供一些关于图论及应用的习题答案，帮助读者更好地理解和应用图论知识。
1. 图的基本概念题目：下面哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 线段答案：D. 线段。
图的基本概念包括顶点、边和路径。
线段是指两个点之间的连线，而在图论中，我们使用边来表示两个顶点之间的关系。
2. 图的表示方法题目：以下哪个不是图的表示方法？A. 邻接矩阵B. 邻接表C. 边列表D. 二叉树答案：D. 二叉树。
图的表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边列表。
二叉树是一种特殊的树结构，与图的表示方法无关。
3. 图的遍历算法题目：以下哪个不是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 迪杰斯特拉算法D. 克鲁斯卡尔算法答案：D. 克鲁斯卡尔算法。
图的遍历算法包括深度优先搜索和广度优先搜索，用于遍历图中的所有顶点。
迪杰斯特拉算法是用于求解最短路径的算法，与图的遍历算法有所不同。
4. 最小生成树题目：以下哪个算法不是用于求解最小生成树？A. 克鲁斯卡尔算法B. 普里姆算法C. 弗洛伊德算法D. 公交车换乘算法答案：D. 公交车换乘算法。
最小生成树是指包含图中所有顶点的一棵树，使得树的边的权重之和最小。
克鲁斯卡尔算法和普里姆算法是常用的求解最小生成树的算法，而弗洛伊德算法是用于求解最短路径的算法，与最小生成树问题有所不同。
5. 图的应用题目：以下哪个不是图的应用？A. 社交网络分析B. 路径规划C. 图像处理D. 数字逻辑电路设计答案：D. 数字逻辑电路设计。
图的应用广泛存在于社交网络分析、路径规划和图像处理等领域。
数字逻辑电路设计虽然也涉及到图的概念，但与图的应用有所不同。
总结：图论是一门重要的数学分支，具有广泛的应用价值。
通过本文提供的习题答案，读者可以更好地理解和应用图论知识。
二、应用题题0：（1996年全国数学联赛）有n （n ≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n /2]个人，而对任意的[n /2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n -[n /2]个人中有两个人相互认识。
证明这n 个人中必有3个人互相认识。
注：[n /2]表示不超过n /2的最大整数。
证明 将n 个人用n 个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G 。
由条件可知，G 是具有n 个顶点的简单图，并且有（1）对每个顶点x ，)(x N G ≥[n /2]；（2）对V 的任一个子集S ，只要S ＝[n /2]，S 中有两个顶点相邻或V-S 中有两个顶点相邻。
需要证明G 中有三个顶点两两相邻。
反证，若G 中不存在三个两两相邻的顶点。
在G 中取两个相邻的顶点x 1和y 1,记N G (x 1)＝{y 1,y 2,……,y t }和N G (y 1)={x 1,x 2,……,x k },则N G (x 1)和N G (y 1)不相交，并且N G (x 1)（N G (y 1)）中没有相邻的顶点对。
情况一；n=2r ：此时[n /2]＝r ，由（1）和上述假设，t=k=r 且N G (y 1)＝V-N G (x 1)，但N G (x 1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。
情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。
若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。
故k ≠r+1，同理t ≠r+1。
所以t=r,k=r 。
记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。
若x i0y j0∈E ，则w ，x i0, y j0两两相邻，矛盾。
若x i0y j0∉E ，则与x i0相邻的顶点只能是(N G (x 1)-{y j0})∪{w},与y j0相邻的顶点只能是(N G (y 1)-{x j0})∪{w}。
但与w 相邻的点至少是3，故N G (x 1)∪N G (y 1)中存在一个不同于x i0和y j0顶点z 与w 相邻，不妨设z ∈N G (x 1)，则z ，w ，x i0两两相邻，矛盾。
题1：已知图的结点集V ={a ,b ,c ,d }以及图G 和图D 的边集合分别为：E (G )={(a ,a ), (a ,b ), (b ,c ), (a ,c )}E (D)={<a ,b >, <a ,c >, <c ,d >, <c ,a >, <c ,b >}试作图G 和图D ，写出各结点的度数，回答图G 、图D 是简单图还是多重图？解：a d a db c b c图G 图D例2图图G 中：deg(a )=4，deg(b )=2，deg(c )=2，deg(d )=0图D 中：deg(a )=3，deg(b )=2，deg(c )=4，deg(d )=1 图D 是简单图． 其中 deg +(a )=2, deg -(a )=1, deg +(b )=0, deg -(b )=2, deg +(c )=3, deg -(c)=1, deg -(d )=1.题2：设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图G 有x 个结点，有握手定理2⨯1+2⨯2+3⨯4+3⨯（x -2-2-3）＝12⨯2 271821243=-+=xx ＝9 图G 有9个结点． 图见例3图．（图不唯一）题3：设简单连通无向图G 有9条边，G 中有4个3度结点，2个1度结点，其余结点度数为2．求G 中有多少个结点．题4 无向完全图K 3，K 4，及3个结点的有向完全图.题5：两个图同构有下列必要条件：（1） 结点数相同；（2） 边数相同；（3） 度数相同的结点数相同.但它们不是两个图同构的充分条件，下图中(a)和(b)满足上述三个条件，但这两个图并不同构.例3图3个结点的有向完全图到目前为止，判断两个图同构，只能根据定义，还没有其它简单而有效的方法.题6：三名商人各带一随从乘船过河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一案，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中，商人们怎样安排每次乘船方案才能安全渡河？解：用图论模型求解如下：●每个状态有三个因素：此岸构成，彼岸构成，船所在。
●此岸a1 b1，a1为商人个数，b1为随从个数，a1≥b1，a1,b1=0,1,2,3，或a1=0,b1=0,1,2,3。
●彼岸a2 b2，a2为商人个数，b2为随从个数，a2≥b2，a2,b2=0,1,2,3，或a2=0,b2=0,1,2,3。
●注：a1+a2=b1+b2=3；0表示船在此岸，1表示在彼岸。
可行状态有：33|00|0，32|01|0，31|02|0，22|11|0，11|22|0，03|30|0，02|31|0，01|32|0，，00|33|1。
根据上图，求从33|00|0到00|33|1的路径，可得解如下：33|00|0--31|02|1--32|01|0--30|03|1--31|02|0--11|22|1-22|11|0--02|31|1--03|30|0--01|32|1--02|31|0--00|33|1。
或：33|00|0--31|02|1--32|01|0--30|03|1--31|02|0--11|22|1-22|11|0--02|31|1--03|30|0--01|32|1--11|22|0--00|33|1。
或：33|00|0--22|11|1--32|01|0--30|03|1--31|02|0--11|22|1-22|11|0--02|31|1--03|30|0--01|32|1--11|22|0--00|33|1。
题7 在平面上有n 个点S ＝{x 1,x 2,……,x n }，其中任两个点之间的距离至少是1，证明在这n 个点中距离为1的点对数不超过3n 。
证明 首先建立一个图G ＝（V ，E ），其中V 就取S 中的n 个顶点，V 中两个点有边相连当且仅当两点之间的距离恰好是1。
则所得图G 是一个简单图，S 中距离为1的点对数就是G 的边数。
因此我们只需证明m(G)≤3n 。
我们考虑G 中每个顶点的度，可以证明：deg(x i )≤6,i=1,2, ……,n 。
让x i 是G 中的任一个顶点，且与x i 相邻的顶点为y 1,y 2,……,y k ，则y 1,y 2,……,y k 分布在以x i 为圆心的单位圆周上。
所以k= deg(x i )≤6 ,i=1,2, ……,n 。
由握手定理得2m(G)=∑=ni i v d 1)(≤6n 故m(G)≤3n 。
题8 n 个点由若干线段连接着。
已知每一点与另外任何一点都有道路相连通。
而任何两点都没有两种不同的道路。
证明：线段总数为n -1。
证明 构造图G ：将问题中给定的n 个点作为顶点，线段作为边。
根据给定的条件，所得图G 是含有n 个顶点的简单图，每一对顶点之间有且只有一条路连接，因此G 是连通图，并且没有回路（否则，该回路上两个不同的顶点之间有两条不同的路），所以图G 是一棵树。
题9：设无向图G 有12条边，已知G 中度数为3的节点个数为6个，其余结点的度数均小于3，问G 中至少有多少顶点？解：由定理可知，图中所有节点的度数之和应为边数的2倍，即12 x 2 =24，却掉度数为3的6个结点的总度数18，还剩6度，又由于其余结点的度数小于3，故度数只能是0，1，2，若其余结点的度数均为2，则至少需3个结点，故图G 中至少有9个结点。
题10：若图G 是不连通的，则G 的补图G 是连通的。
证明：设G=（V ，E ）不连通，则设其连通分支为G 1，G 2，…G s ，其相应的节点集为V 1，V 2，…V s ，任取G 中的两个节点u ，v ∈V ，1）、若u ，v 分属于G 中不同的连通分支，则(u,v)∈G ，因此u ，v 在G 中连通。
2）、若u ，v 分属于G 中同一个连通分支，则从另一连通分支中任取一结点w ，则(u,w)∈G ，(v,w)∈G ，于是在G 中存在一条道路uwv ，使得u ，v 连通。
综上所述可知，对于G 中任意2个结点，u ，v 总有路相连，故G 是连通的。
题11：当且仅当G 的一条边e 不包含在G 的回路中，e 才是G 的割边（桥）。
证明：必要性：设e 是连通图G 的割边，e 关联的两个结点为u 和v 。
若e 包含在G 的一个回路中，则除边e =（u ，v ）外还有一条以u ，v 为端点的道路，故删去边e 后，G 仍是连通的，这与e 是割边矛盾。
充分性：若e 不包含在G 的任一回路中，那么连接节点u 和v 只有边e ，而不会有其他连接u 和v 的路，因为若连接u 和v 还有不同于边e 的路，此路与边e 就组成一个包含e 的回路，从而导致矛盾，所以，删去边e 后，u 和v 就不连通，故边e 为割边。
题12：n 个城市由k 条公路网络连接（一条公路定义为两个城市间的一条道路，它们之间不能通过任何中间城市），证明：如果有 k>21(n-1)(n-2) 则人们总能通过连接城市的公路在任何城市间旅行。
证明：将城市作为结点，将连接两个城市的公路作为边，则问题等价于证明具有n 个结点k 条边的简单无向图G ，若满足k>21(n-1)(n-2)，则是连通图。
当n=2时，结论显然成立，下面证明n>2时，结论也成立。
假设G 不连通，不妨设G 有2个连通分支，则可将G 中的结点集V 分为两个子集V 1和V 2，满足V 1和V 2分属于不同的连通分支。
设由V 1生成的G 的子图G 1中有n 1个结点k 1条边，设由V 2生成的G 的子图G 2中有n 2个结点k 2条边，则n 1+n 2=n ， k 1+k 2=k ， n 1，n 2≥1由于G 是简单无向图，故G 1和G 2也是简单无向图，从而有：k 121≤n 1(n 1-1)，k 221≤n 2(n 2-1) k=k 1 +k 221≤n 1(n 1-1)+21n 2(n 2-1) (1) 另一方面，由已知k>21(n-1)(n-2)= 21(n 1+n 2-1)(n 1+n 2-2) (2) 由于n>2，因此n 1和n 2至少有一个大于等于2，不妨设n 1≥2，由(2)得k>21(n 1+n 2-1)(n 1+n 2-2)= 21n 1(n 1+n 2-2)+ 21(n 2-1)(n 1+n 2-2) 21≥n 1(n 1-1)+ 21 n 2 (n 2-1) 与式（1）矛盾，故G 是连通图。
