1. 函数的三要素是定义域和对应法则.2. 只有定义域和对应法则都相同的两个函数才是同一函数.3. 求函数的定义域（1）()f x 是整式时，定义域是全体实数.（2）()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．（3）()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． （4）零（负）指数幂的底数不能为零. （5）对数函数的真数大于零.5. 函数的常用表示方法有解析法、列表法和图像法.6. 函数的单调性（1）如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x ，2x ,当12x x <时，都有12()()f x f x ，那么就说f (x )在这个区间上是增函数．（2）如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x ，2x ,当12x x <时，都有12()()f x f x ，那么就说f (x )在这个区间上是减函数．8. 函数的奇偶性（1）如果对于函数()f x 定义域内任意一个x ，都有()()f x f x ，那么函数()f x 叫做奇函数，其图象关于原点对称；若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =.（2）如果对于函数()f x 定义域内任意一个x ，都有()()f x f x ，那么函数()f x 叫做偶函数，其图象关于y 轴对称.【例1】已知函数f(x)=√x+2x．（1）f(1)=，f(4)=．（2）当a>0时，f(a)=，f(a+1)=．【练习1】若函数f(x)=2x−1，则f(√2)=，f(2t)=，f(x)+f(−x)=．【练习2】若f(x)={x，(x≤0)，1−2x，(x>0)，则f(3)=．【变式】已知f(2x+1)=x2−2x，则f(3)=．【练习】若f(x+1)=2x−1，则f(1)=．【例2】（1）函数g(x)=√x+3的定义域为( )A. {x∣x≥−3}B. {x∣x>−3}C. {x∣x≤−3}D. {x∣x<−3}【练习1】函数f(x)=√x−2的定义域是．【练习2】函数y=√3−2x−x2的定义域是．【例2】（2）y=√3x+2+1x−2的定义域为．【练习1】函数y=√x+1x定义域为．【练习2】函数f(x)=√x2−5x+6x−1的定义域为．【例3】（1）函数f(x)=−4x+2的值域是.（2）函数f(x)=−4x+2,x∈[0,3)的值域是.【练习1】函数y=√x+1的值域为( )A. [−1,+∞)B. [0,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,−1]【例3】（3）函数y=x2−x+1的值域是( )A. RB. [1,+∞)C. [34,+∞) D. (−∞,34]【练习2】函数f(x)=x2+4x的值域为．【例3】（4）函数y=x2−2x−1，x∈[0,3]的值域为( )A. [−2,2]B. [−1,2]C. [−2,−1]D. [−1,1]【练习3】函数f(x)=x2+4x，x∈[−3,0]的值域为．【例4】下列函数中与函数 y =x 表示同一函数的是 ( )A. y =x 2xB. y =(√x)2C. y =√x 2D. y =√x 33【练习】下列函数与 y =∣x∣ 表示同一函数的是 ( )A. y =(√x)2B. y =√x 33C. y =√x 2D. y =x 2x【例5】如图是函数 y =f (x ) 的图象，则函数 f (x ) 的单调递减区间是 ( )A. (−1,0)B. (1,+∞)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−1,0)，(1,+∞)【例6】下列函数中，在区间 (0,1) 上是增函数的是 ( )A. y =−x 2+1B. y =√xC. y =1xD. y =3−x【练习】下列函数中：① y =2x +1；② y =x 2；③ y =∣x ∣；④ y =3x.在 (0,+∞) 上是增函数的有 ( ) A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【例7】若函数 y =(2k +1)x +b 在 R 上是减函数，则 ( )A. k >12B. k <12C. k >−12D. k <−12【练习】若一次函数 y =kx +b 在 (−∞,+∞) 上是减函数，则点 (k,b) 在直角坐标平面的 ( )A. 上半平面B. 下半平面C. 左半平面D. 右半平面【例8】函数 f (x )=x 2−2x +3(x ∈R ) 的单调递增区间是 ( )A. (−∞,−1]B. [1,+∞)C. [−1,+∞)D. (−∞,1]【练习1】函数 y =−x 2 的单调区间为 ( )A. (−∞,0) 为减区间B. (0,+∞) 为增区间C. (−∞,+∞)D. (−∞,0) 为增区间，(0,+∞) 为减区间【练习2】函数 y =x 2−6x +10 在区间 (2,4) 上是 ( )A. 递减函数B. 递增函数C. 先递增再递减D. 先递减再递增【变式】函数 f (x )=x 2−2x +3 在闭区间 [0,3] 上的最大值为 ．最小值为 ． 【例9】已知 f (x ) 为 R 上的减函数，则满足 f (x )<f (1) 的实数 x 的取值范围是 . 【练习】设函数 f (x ) 是 R 上的减函数，若 f (m −1)>f (2m −1)，则实数 m 的取值范围是 ．【例10】（1）用定义证明函数f(x)=3x−1在(−∞,+∞)上是增函数．在区间(−∞,0)上是减函数．（2）证明函数f(x)=2x【例11】判断下列函数的奇偶性（1）f(x)=1；x2．（2）f(x)=x+1x【例12】下列函数是偶函数的是( )A. y=2x2−3B. y=x3C. y=x2，x∈[0,1]D. y=x【练习】下列函数中为偶函数的是( )B. y=x3C. y=√xD. y=∣x∣+1A. y=x+1x【变式】已知函数f(x)=x2+mx+1是偶函数，则m=．【练习】设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a=．【例13】已知f(x)为R上的奇函数，x>0时，f(x)=x2+2x，则f(−1)=．【练习】已知函数y=f(x)为奇函数，若f(3)−f(2)=1，则f(−2)−f(−3)=．函数（讲义）答案【例1】3，52，√a +2a ，√a +1+2a+1【练习1】2√2−1，4t −1，−2【练习2】−5 【变式】−1【解析】令 2x +1=3，得 x =1，所以 f (3)=12−2=−1． 【练习】−1 【解析】因为 f (x +1)=2x −1，所以 f (1)=f (0+1)=2×0−1=−1． 【例2】（1）A 【练习1】[2,+∞) 【练习2】[−3,1] 【解析】由 3−2x −x 2≥0，解得 −3≤x ≤1，因此定义域为 [−3,1]． 【例2】（2）{x∣ x ≥−23且x ≠2}【练习1】{x∣ x ≥−1且x ≠0}【解析】函数的定义域，函数有意义，满足 {x +1≥0,x ≠0, 解得 {x∣ x ≥−1且x ≠0}．【练习2】(−∞,1)∪(1,2]∪[3,+∞) 【例3】（1）R ；（2）(−10,2] 【练习1】B 【例3】（3）C【解析】因为 y min =4−14=34，所以 y ≥34．【练习2】[−4,+∞) 【例3】（4）A 【解析】函数 y =x 2−2x −1=(x −1)2−2 在区间 [0,1] 上递减，在区间 [1,3] 上递增，所以当 x =1 时，f (x )min =f (1)=−2，当 x =3 时，f (x )max =f (3)=2， 所以值域 [−2,2]． 【练习3】[−4,0] 【例4】D 【练习】C【例5】D 【解析】若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在 (−1,0)，(1,+∞) 上分别下降，则对应的单调递减区间为 (−1,0)，(1,+∞)． 【例6】B 【练习】C 【例7】D【解析】由已知，令 2k +1<0，解得 k <−12．【练习】C 【例8】B 【练习1】D【练习2】D 【解析】因为 y =x 2−6x +10=(x −3)2+1，所以函数在 (−∞,3] 上为减函数，在 [3,+∞) 上为增函数，所以函数在 (2,4) 上先递减再递增． 【变式】6，2【解析】f (x )=(x −1)2+2，0≤x ≤3，所以 x =1 时，f (x )min =2，x =3 时，f (x )max =6． 【例9】x >1 【解析】由题意得，x >1 . 【练习】m >0【解析】由f(m−1)>f(2m−1)且f(x)是R上的减函数得m−1<2m−1，所以m>0．【例10】（1）证明：任取x1,x2∈(−∞,+∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=3(x1−x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)=3x−1在(−∞,+∞)上是增函数．（2）证明：任取x1,x2∈(−∞,0)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2x1−2x2=2(x2−x1)x1x2，因为x2−x1>0，x1x2>0，所以f(x1)−f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)=2x在区间(−∞,0)上是减函数．【例11】（1）从f(x)=1x2可知，其定义域为{x∣ x≠0}．又因为f(−x)=1(−x)2=1x2=f(x)，所以函数f(x)=1x2是偶函数．（2）函数f(x)=x+1x ，其定义域为{x∣ x≠0}．因为f(−x)=−x+1−x=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数．【例12】A【解析】对选项A：f(−x)=2(−x)2−3=2x2−3=f(x)，所以f(x)是偶函数，选项B、D都为奇函数，选线C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性．【练习】D【解析】根据奇、偶函数的定义，可得A，B是奇函数，C非奇非偶函数，D是偶函数．【变式】0【练习】−1【例13】−3【解析】本题考查奇偶性．f(−1)=−f(1)=−(12+2×1)=−3．【练习】1函数（作业）一、选择题1. 若 f (x )=√x +1，则 f (3)= ( ) A. 2B. 4C. −2D. 102. 已知 f (x )={2x −1(x ≥2),−x 2+3x (x <2), 则 f (−1)+f (4) 的值为 ( )A. −7B. 3C. −8D. 43. 与函数 y =x 表示同一个函数是 ( ) A. y =√x 2B. y =x 2xC. y =(√x)2D. y =√x 334. 下列函数中，在区间 (0,1) 上是增函数的是 ( ) A. y =3−xB. y =1xC. y =−x 2+4D. y =∣x ∣5. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，则 f (0) 的值为 ( ) A. −1B. 0C. 1D. 无法确定6. 下列函数中是奇函数的是 ( ) A. y =x 2B. y =√xC. y =x 2+2x +3D. y =x 37. 已知函数 f (x ) 是 R 上的奇函数，且 f (1)=1，那么 f (−1) 等于 ( ) A. −1B. 0C. 1D. 28. 若函数 y =(x +1)(x −a ) 为偶函数，则 a = ( ) A. −2B. −1C. 1D. 29. 已知一次函数 y =kx −k ，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象经过 ( ) A. 第一、二、四象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、三象限D. 第二、三、四象限10. 函数 f (x )=−2x +1(x ∈[−2,2]) 的最小、最大值分别为 ( ) A. 3，5 B. −3，5 C. 1，5 D. 5，−3二、填空题 11. 函数 y =√x−1x−3的定义域为 ．12. 函数 f (x )=2x 的单调减区间是 ．13. 函数 y =x 2−4x +6 的单调递增区间是 ．14. 设函数 f (x )=x 3+ax 2+4x 为奇函数，则实数 a = ．15.若f(2x+1)=x，则f(3)=．三、解答题16.已知函数f(x)=√x+3+1，x+2（1）求函数的定义域；)的值；（2）求f(−3)，f(23（3）当a>0时，求f(a)，f(a−1)的值．17.画出二次函数f(x)=−x2+2x+3的图形，并根据图象回答下列问题：（1）比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；（2）若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；（3）求函数f(x)的值域．函数（作业）答案一、选择题 1. A 2. B 3. D 4. D5. B 【解析】因为 f (x ) 为 R 上的奇函数，所以 f (0)=0．6. D7. A8. C9. B【解析】由题意知 k >0． 10. B二、填空题11. {x∣ x ≥1且x ≠3} 12. (−∞,0)，(0,+∞)13. (2,+∞) 14. 0 15. 1 【解析】由 2x +1=3 得 x =1，则 f (3)=1． 三、解答题16.（1） 使根式 √x +3 有意义的实数 x 的集合是 {x∣ x ≥−3}． 使分式 1x+2 有意义的实数 x 的集合是 {x∣ x ≠−2}． 所以，这个函数的定义域就是 {x∣ x ≥3且x ≠−2}． （2） f (−3)=√−3+3+1−3+2=−1； f (23)=√23+3+123+2=√113+38=38+√333． （3） 因为 a >0，所以 f (a )，f (a −1) 有意义． f (a )=√a +3+1a+2； f (a −1)=√a −1+3+1(a−1)+2=√a +2+1a+1．17.（1） f (x )=−(x −1)2+4 的图象如图所示：f (0)=3，f (1)=4，f (3)=0，所以 f (1)>f (0)>f (3)．（2） 由图象可以看出，当 x 1<x 2<1 时，函数 f (x ) 的函数值随着 x 的增大而增大， 所以 f (x 1)<f (x 2)．（3） 由图象可知二次函数 f (x ) 的最大值为 f (1)=4，则函数 f (x ) 的值域为 (−∞,4]．。
