2007年广东省中山市初中毕业学业考试题数学试题

2007年广州市数学初中毕业生学业考试一、选择题（每小题3分，共30分）1、下列各数中，最小．．的数是（）A．－2 B．－1 C．0 D22、下列立体图形中，是多面体的是（）3、下列计算中，正确的是（）A．33x x x=B．3x x x-=C．32x x x÷=D．336x x x+=4、下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补5、以11xy=⎧⎨=-⎩为解的二元一次方程组是（）A．1x yx y+=⎧⎨-=⎩B．1x yx y+=⎧⎨-=-⎩C．2x yx y+=⎧⎨-=⎩D．2x yx y+=⎧⎨-=-⎩6、下列各图中，是轴对称图案的是（）7、二次函数221y x x=-+与x轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38、小明由A点出发向正东方向走10米到达B点，再由B点向东南方向走10米到达C点，则正确的是（）A ．∠ABC=22.5°B ．∠ABC=45°C ．∠ABC=67.5°D ．∠ABC=135°9、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且q >0B ．0p >且q <0C ．0p <且q >0D ．0p <且q <010、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，∠C=60°，如果⊙O 的半径为2，则结论错误的是（ ）A ．AD DB = B ． AE EB= C ．1OD = D ．3AB =二、填空题（每小题3分，共18分）11、化简2-=12、方程511x =+的解是13、线段AB=4㎝，在线段AB 上截取BC=1㎝，则AC= ㎝143x -有意义，则实数x 的取值范围是15、已知广州市的土地总面积是74342km ，人均占有的土地面积S （单位： 2/km 人），随全市人口n （单位：人）的变化而变化，则S 与n 的函数关系式 是16、如图，点D 是AC 的中点，将周长为4㎝的菱形ABCD 沿对角线AC 方向平移AD 长度得到菱形OB ’C ’D ’,则四边形OECF 的周长是 ㎝三、解答题17、（9分）请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式。

2007年广州市初中毕业生学业考试数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1、下列各数中，最小．．的数是（）A．－2 B．－1 C．0 D．2、下列立体图形中，是多面体的是（）3、下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．4、下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补5、以为解的二元一次方程组是（）A．B．C．D．6、下列各图中，是轴对称图案的是（）7、二次函数与x轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38、小明由A点出发向正东方向走10米到达B点，再由B点向东南方向走10米到达C点，则正确的是（）A．∠ABC=22.5°B．∠ABC=45°C．∠ABC=67.5°D．∠ABC=135°9、关于x的方程的两根同为负数，则（）A．且B．且C．且D．且10、如图，⊙O是△ABC的内切圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11、化简. 12、方程的解是.13、线段AB=4㎝，在线段AB上截取BC=1㎝，则AC= ㎝.14、若代数式有意义，则实数x的取值范围是15、已知广州市的土地总面积是7434，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化，则S与n的函数关系式是. 16、如图，点D是AC的中点，将周长为4㎝的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AD长度得到菱形OB’C’D’,则四边形OECF的周长是㎝三、解答题17、（9分）请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式。

18、（9分）下图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积。

（结果保留）19、（10分）甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A、B两个书店购书，（1）求甲、乙两名学生在不同书店购书的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率。

2007年广州市初中毕业生学业考试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试用时120分钟．第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列四个数中，最小．．的数是（ * ）． （A ）2－ （B ）1－ （C ）0 （D2．下列立体图形中，是多面体的是（ * ）．3．下列计算正确的是（ *（A ）33x x x ⋅= （B ）32x x x -= （C ）32x x x ÷=（D ）336x x x += 4．下列命题中，正确的是（ * ）．（A ）对顶角相等（B ）同位角相等 （C ）内错角相等（D ）同旁内角互补5．以1,1x y =⎧⎨=-⎩为解的二元一次方程组是（ * ）． （A ）0,1x y x y +=⎧⎨-=⎩ (B) 0,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩ （C ）0,2x y x y +=⎧⎨-=⎩ （D ）0,2x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 6．观察下列四个图案，其中为轴对称图形的是（ * ）．(A)(B)(C)(D)7．抛物线221y x x =-+与x 轴交点的个数是（ * ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．小明由A 点出发向正东方向走10米到达B 点，再由B 点向东南方向走10米到达C 点，则下面结论正确的是（ * ）．（A ）∠ABC ＝22.5°（B ）∠ABC ＝45°（C ）∠ABC ＝67.5°（D ）∠ABC ＝135° 9．若关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ * ）．（A ）0p >且0q > （B ）0p >且0q < （C ）0p <且0q > （D ）0p <且0q <10．如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥AB 于点D 、交⊙O 于点E ， ∠C =60°， 如果⊙O 的半径为2，那么下列结论中错误．．的是（ * ）． （A ） （C ） （D ）（A ）AD DB = (B) AE EB = （C ）1OD = （D）AB第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．化简：2-＝____*____． 12．方程511x =+的解为____*____． 13．线段AB ＝4cm ，在线段AB 上截取BC =1cm ，则AC =____*____cm ． 14有意义，则实数x 的取值范围为____*____．15．已知广州市的土地总面积约为7 434 km 2，人均占有的土地面积S （单位：km 2/人）随全市人口n （单位：人）的变化而变化，则S 与n 的函数关系式为____*____．16．如图2，点O 是AC 的中点，将周长为4cm 的菱形ABCD 沿对角线AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则四边形OECF 的周长．．为____*____cm ．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分9分）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．2a ab b b ab --1， ， +．18．（本小题满分9分）图3是一个立体图形的三视图，请根据视图写出该立体图形的名称并计算该立体图形的体积（结果保留π）． 19．（本小题满分10分）甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A 、B 两个书店购书． （1）求甲、乙两名学生在不同书店购书的概率； （2）求甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率．ABO D CE图1图2'C '正视图左视图俯视图某中学初三（1）班50名学生参加1分钟跳绳的体育考试，1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制下面的频数分布表（60～70的意义为大于等于60并且小于70，其余类似）和扇形统计图（如图4）：（1）求m、n的值；（2）求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比；（3）请根据频数分布表估计该班学生1分钟跳绳的平均分大约是多少，并说明理由．21．（本小题满分12分）如图5，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于点D、E、F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，CE =AC的长．22．（本小题满分14分）如图6，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（1,0），点B的坐标为（4,0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．图5图41分钟跳绳各等级人数分布图C54%DBA某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生． （1）若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少．．共需花费多少元？ （2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜？ 24．（本小题满分14分）一次函数y ＝kx +k 的图象经过点（1，4），且分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ．点P （a ，0）在x 轴正半轴上运动，点Q （0，b ）在y 轴正半轴上运动，且PQ ⊥AB ．（1）求k 的值，并在图7的直角坐标系中画出该一次函数的图象； （2）求a 与b 满足的等量关系式；（3）若△APQ 是等腰三角形，求△APQ 的面积．25．（本小题满分12分）已知：在Rt △ABC 中，AB =BC ；在Rt △ADE 中，AD =DE ；连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图8-①，求证：BM =DM 且BM ⊥DM ；（2）如果将图8-①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图8-②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．MD B ACE图8-①图8-②图7MDBACE.，BABBAA2007年广州市初中毕业生学业考试数学试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分30分.二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分18分.三、解答题：本大题考查基本知识和基本运算，及数学能力，满分102分.17．本小题主要考查代数式的基本运算．满分９分.解：本题共有六种答案，只要给出其中一种答案，均正确.21aab b--()()()111a ab a+-=-1ab+=.()()()211111a aa ab ab b a b+---==++.()()()211111b aab b ba a a a--==-+-+.()()1111b aab b ab ab a b a---==+++.()()()211111b ab ab ba a a a++==-+--.()()1111b ab ab aab b b a a+++==---.18.本小题主要考查三视图的概念、圆柱的体积，考查运算能力．满分９分.解：该立体图形为圆柱.因为圆柱的底面半径5r=，高10h=，所以圆柱的体积22510250V r hπππ==⨯⨯=（立方单位）.答：所求立体图形的体积为250π立方单位.19．本小题主要考查等可能性等基本概念，考查简单事件的概率计算．满分10分．解法1：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有：BABBAABBA.，ABBAA从树状图可以看出，这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB、BA共2种，所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率12142P==.（2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有：从树状图可以看出，这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA、BBB共2种，所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率22184P==.解法2：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有AA、AB、BA、BB共4种，其中两人在不同书店购书的可能有AB、BA共2种，所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率12142P==.（2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有AAA、AAB、ABA、ABB、BAA、BAB、BBA、BBB共8种，其中三人在同一书店购书的可能有AAA、BBB共2种，所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率22184P==.20．本小题主要考查从统计表和统计图中读取有效信息的能力，考查数据分析能力．满分10分.解：（1）由扇形统计图知：初三（1）班1分钟跳绳考试成绩为B等的学生占全班总人数的54％，∴954%50m+=.∴18m=.∵391812250n+++++=，∴6n=.（2）由频数分布表可知：初三（1）班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数为39181242+++=.∴1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比为4284%50=.（3）本题答案和理由不唯一，只要该班学生1分钟跳绳平均分的估计值是85～100分之间的某一个值或某个范围，理由合理，均正确.例如：估计平均分为92分，估计方法为：取每个分数段的中间值分别是115、105、95、85、75、65、30，则该班学生1分钟跳绳的平均分为11531059951885127566523009250x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）.（说明：只要按照在每个分数段中按等距离取值，然后计算加权平均分，均正确.）又如：估计平均分在90～100分之间，理由是：该班有18个人的成绩在90～100分之间，而且30个人的成绩超过90分.21. 本小题主要考查平行线、等腰三角形、特殊直角三角形、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、演绎推理能力和空间观念．满分12分． （1）证明：∵ AE 、AF 是⊙O 的切线， ∴ AE ＝AF ． 又∵ AC ＝AB ， ∴ AC -AE ＝AB -AF ． ∴CE ＝BF ，即BF ＝CE ． （2）解法1：连结AO 、OD ，∵ O 是△ABC 的内心， ∴ OA 平分∠BAC ．∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，D 是切点， ∴ OD ⊥BC ． 又∵ AC ＝AB ， ∴ AO ⊥BC ．∴ A 、O 、D 三点共线，即AD ⊥BC ． ∵ CD 、CE 是⊙O 的切线， ∴ CD ＝CE=在Rt △ACD 中，由∠C =30°，CD=4cos303CD AC ==＝．解法2：先证 AD⊥BC ，CD ＝CE =1）． 设AC ＝x ，在Rt △ACD 中，由∠C =30°，得22AC x AD ==． ∵ 222AC ADDC =+, ∴ 222()2x x =+． 解之，得4x =（负值舍去）． ∴AC 的长为4．22. 本小题主要考查二次函数、二元一次方程组等基础知识，考查数形结合的数学思想，考查计算能力和推理能力．满分14分．图5D图5A解：（1）∵ A (-1，0)、B (4，0)，∴ AO =1， OB =4，即AB = AO +OB =1+4=5. ∴ OC ＝5，即点C 的坐标为（0，5）.（2）解法1：设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为 2y ax bx c =++， 由于这个函数的图象过点（0，5），可以得到c =5点（-1，0）、（4，0），则：50,16450.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解这个方程组，得5,415.4a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 所求的二次函数解析式为2515544y x x =-++.∵504a =-<， ∴当153422()4x =-=⨯-时，y 有最大值225154()5()4125444164()4ac b a ⨯-⨯--==⨯-. 解法2：设图象经过A 、C 、B 三点的二次函数的解析式为(4)(1)y a x x =-+， ∵ 点C （0，5）在图象上，∴ 5(04)(01)a =-+，即54a =-．∴ 所求的二次函数解析式为5(4)(1)4y x x =--+．∵ 点A 、B 的坐标分别为点A (1,0)-、B (4,0)，∴ 线段AB 的中点坐标为3(,0)2，即抛物线的对称轴为直线32x =． ∵ 504a =-<，∴ 当32x =时，y 有最大值533125(4)(1)42216y =--+=. 23．本小题主要考查从文字信息中读取有效信息、数据处理能力，考查分类的数学思想，考查建立不等式（组）模型解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）当两个班分别购买门票时，甲班购买门票的费用为56×10×0.8＝448（元）；乙班购买门票的费用为54×10×0.8＝432（元）； 甲、乙两班分别购买门票共需花费880元． 当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共需花费（56＋54）×10×0.7＝770（元）． 答：甲、乙两班购买门票最少共需花费770元．（2）当多于30人且不足100人时，设有x 人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，30100,0.8101000.710.x x <<⎧⎨⨯>⨯⨯⎩ 解这个不等式组，得87.5100x <<.答：当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.24. 本小题主要考查一次函数、两条直线垂直的性质、三角形相似、等腰三角形、点与坐标等基础知识，考查对数形结合思想的理解，考查分类的数学思想，考查运算和推理能力．满分14分． 解：（1）∵ 一次函数y ＝kx +k 的图象经过点（1，4∴ 4＝k ×1+k ，即k ＝2. ∴ y ＝2x +2.当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－1. 即A （－1，0），B （0，2）.如图，直线AB 是一次函数y ＝2x +2的图象. （2）∵ PQ ⊥AB ， ∴ ∠QPO =90°－∠BAO . 又∵∠ABO =90°－∠BAO ， ∴ ∠ABO =∠QPO . ∴ Rt △ABO ∽Rt △QPO . ∴AO OBQO OP=，即12b a =. ∴ a ＝2b . （3）由（2）知a ＝2b . ∴ AP ＝AO +OP ＝1+a ＝1+2b ，22221AQ OA OQ b =+=+，22222222(2)5PQ OP OQ a b b b b =+=+=+=.若AP ＝AQ ，即AP 2＝AQ 2，则22(12)1b b +=+，即0b =或-43，这与0b >矛盾，故舍去；若AQ ＝PQ ，即AQ 2＝PQ 2，则2215b b +=，即1(2b =或-舍去）12，此时，2AP =，12OQ =，111122222APQ S AP OQ =⨯⨯=⨯⨯=△（平方单位）.若AP ＝PQ，则12b +=，即2b =此时125AP b =+=+，2OQ =11(5(21022APQ S AP OQ =⨯⨯=⨯+⨯+=+△.∴ △APQ 的面积为12平方单位或（10+.25. 本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力．满分12分．（1）证法1：在Rt △EBC 中，M 是斜边EC 的中点， ∴ 12BM EC =． 在Rt △EDC 中，M 是斜边EC 的中点， ∴ 12DM EC =． ∴ BM =DM ，且点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心、BM 为半径的圆上． ∴ ∠BMD =2∠ACB =90°，即BM ⊥DM ． 证法2：证明BM =DM 与证法1相同，下面证明BM ⊥DM ． ∵ DM =MC ， ∴ ∠EMD =2∠ECD ． ∵ BM =MC ， ∴ ∠EMB =2∠ECB ．∴ ∠EMD ＋∠EMB =2（∠ECD ＋ECB ）． ∵ ∠ECD ＋∠ECB =∠ACB =45°， ∴ ∠BMD =2∠ACB =90°，即BM ⊥DM ．（2）当△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立． 证明如下：证法1（利用平行四边形和全等三角形）：连结BD ，延长DM 至点F ，使得DM =MF ，连结BF 、FC ，延长ED 交AC 于点H ．MD BACEAE∵ DM =MF ，EM =MC ， ∴ 四边形CDEF 为平行四边形. ∴ DE ∥CF ，ED =CF . ∵ ED = AD , ∴ AD =CF . ∵ DE ∥CF ， ∴ ∠AHE =∠ACF ．∵ 4545(90)45BAD DAH AHE AHE ∠=-∠=--∠=∠-,45BCF ACF ∠=∠-， ∴ ∠BAD =∠BCF . 又∵AB = BC , ∴ △ABD ≌△CBF . ∴ BD =BF ，∠ABD =∠CBF . ∵ ∠ABD +∠DBC =∠CBF +∠DBC ， ∴∠DBF =∠ABC =90°.在Rt △DBF 中，由BD BF =,DM MF =，得BM =DM 且BM ⊥DM ． 证法2（利用旋转变换）：连结BD ，将△ABD 绕点B 逆时针旋转90°，点A 旋转到点C ，点D 旋转到点D '，得到△CBD '，则,,,BD BD AD CD BAD BCD '''==∠=∠且90DBD '∠=．连结MD '．∵CED ∠CEA DEA =∠-∠(180)45180(90)4545ECA EAC ECA BAD ECA BAD ECB BAD ECB BCD ECD =-∠-∠-=-∠--∠-=-∠+∠=∠+∠'=∠+∠'=∠∴ //DE CD '． 又∵DE AD CD '==，∴ 四边形EDCD '为平行四边形． ∴ D 、M 、D '三点共线，且DM MD '=．在Rt △DBD '中，由BD BD '=,DM MD '=，得BM =DM 且BM ⊥DM ． 证法3（利用旋转变换）：连结BD ，将△ABD 绕点B 逆时针旋转90°，点A 旋转到点C ，点D 旋转到点D '，得到△CBD '，则M DBACEHFA,,,BD BD AD CD BAD BCD '''==∠=∠且90DBD '∠=．连结MD '，延长ED 交AC 于点H ．∵ ∠AHD = 90°－∠DAH = 90°－(45°－∠BAD )= 45°＋∠BAD ，45ACD BCD ''∠=+∠，∵BAD BCD '∠=∠， ∴AHD ACD '∠=∠． ∴ //DE CD '． 又∵DE AD CD '==，∴ 四边形EDCD '为平行四边形． ∴ D 、M 、D '三点共线，且DM MD '=．在Rt △DBD '中，由BD BD '=,DM MD '=，得BM =DM 且BM ⊥DM ．。

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