导数及其应用PPT空间3.3.2

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高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数

4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减－16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0，故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增．因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.

导数及其应用PPT课件

解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最小值。求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的（B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。间为______________
x
f(x)
极大值极小值
由此可得，函数在ｘ＝－，处取得极大值２＋２
在ｘ＝，处取得极小值２- ２．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根（其中有一个为二重根）；

高等数学(理工科)课件第3章导数的应用

0
0
极
f (x) ↗ 大
值
极大值 f (1) 10,
极
↘
小
↗
值
极小值 f (3) 22.
高等数学应用教程 3.2.1 函数的极值及其求法
解法2 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) f (x) 6x 6 6(x 1)
令 f ( x) 0，得驻点 x1 1, x2 3. 由于 f (1) 12 0，则 f (1) 10为极大值由于 f (3) 12 0，则 f (3) 22为极小值
1、求出函数 f（x）所有的临界点（驻点和不可导点）；
2、计算各临界点的函数值和区间端点的函数值；
3、比较各函数值的大小，其中最大的就是函数 f(x)在区间[a, b]上的最大值，最小的就是函数 f(x)在区间[a, b] 的最小值.
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值例3
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值
2
arctan
1 n
n
( n 为正整数)?
高等数学应用教程
二、型未定式
定理3.3.2 如果函数 f (x)和g (x)满足：
2)
f
( x)、g ( x)
，在
o
U(x0 )
内可导，且
f (x)
3) lim
A
xx0 g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xx0 g(x) xx0 g(x)
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理

导数及其应用课件PPT

又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值.
解析答案
12345
4.某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增
加 100 元，已知总收益 r 与年产量 x 的关系是 r＝400x－21x2，0≤x≤400， 80 000， x＞400，
则总利润最大时，年产量是( )
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二面积、容积的最值问题例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为
x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，
问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m)
解依题意，有 xy＋12·x·2x＝8，∴y＝8－x x42＝8x－4x(0＜x＜4 2)，
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二面积、容积的最值问题例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
S′(x)＝6x2－24x＋16，
令
S′(x)＝0，得

3.3.2函数的极值与导数

2
(2) f ( x) x 27 x; 3 (4) f ( x) 3x x .
3
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x 2 0,
解得
x1 1, x2 1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
-2 -4/3
o
2
+ x
1 解：f(x)= x, 所以x 0 x 1 x2 1 f '( x) 2 1 2 ， f '( x) 0时，x 1 x x 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表
1 y x x
导函数的正负是交替出现的吗？
不是
x
f '( x)
X<-1
<b + 单调递增 =b 0 极大值 >b -
y
a
o b
x y=f(x)
单调 f(a) 递减
定义
一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有
y
f (a) 0 f (a x) 0
x 0
f (a x) 0 f (b x) 0 f (b x) 0
例1 求函数
解:
因为
令当
当当 x 变化时, f / x , f (x) 的变化状态如下表:
1 3 的极值. f ( x) x 4 x 4 3 1 3 2 f ( x) x 4 x 4,所以 f ( x) x 4. 3 f ( x) 0, 解得 x 2或 x 2. , , ; f ( x) 0, 即 x 2 或 x 2 f ( x) 0, 即 2 x 2.

导数的应用教学课件ppt

乘法法则
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中，某个变量的变化趋势，通常用符号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域的应用前景，例如最优化问题、供应链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01

《导数以及应用》PPT课件

就数学历史来看，两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年，后来极限论就是现在所使用的。 • 光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法。
导数的应用- -！
(1)求 y = f(x) 的定义域D (2)求导数 f ( x). (3)解不等式;f ¢(x) > 0 或解不等式f ¢(x) < 0 . (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
↘
极小值
↗
∴函数 f(x)在 x＝－2a 处取得极大值 f(－2a)，且 f(－2a)＝3ae－2a；f(x)在 x＝a－2 处取
得极小值 f(a－2)，且 f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若 a<23，则－2a＞a－2，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a －2)
▲ 此类优化问题的解题步骤： 1. 选取适当的自变量建立函数模型； (勿忘定义域！) 2. 用导数求函数在定义域内的极值，此极值即所求的最值. 3. 用实际意义作答.
2. 可乐饮料罐的容积一定，如何确定其高与底半径, 才能使它的用料最省？
[注意] 二元函数化为一元函数.
R h
3. 如图的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E. 当外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大的电功率是多少？
所以 f(x)在(0,1)和21a，＋∞上单调递增，在1，21a上单调递减；
► 探究点三利用导数研究函数的极值、最值问题
例 4 已知函数 f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中 a∈R.
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a≠32时，求函数 f(x)的极值．

数学苏教版选修11课件：第3章3.3.2 极大值与极小值

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10 • You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •
(3)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex(x2－7x＋13)＋ex(2x－7)＝ ex(x2－5x＋6)＝ex(x－2)(x－3)．令f′(x)＝0解得x1＝2，x2＝3. 当x在定义域R内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
(－∞，2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)
2．函数的极值与函数的导数之间的关系 (1)极大值与导数之间的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x) f′(x)__>___0 f′(x)＝0 f′(x)__<__0

(新课标)高中数学《3.3.2-函数的极值与导数》课件-新人教A版选修1-1

第17页，共29页。
规律方法已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
第18页，共29页。
第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数根．(12 分)
第8页，共29页。
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
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【题后反思】用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取值范围．解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0，解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0；当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0，所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)；单调递减区间为(－ 2， 2)．

高中数学全程复习方略3.3.2 函数的极值与导数(共65张PPT)

g′(x) g(x)
2 (-≦,- ) 3 2 3 2 (- ,4) 3
4
0 -16-m
(4,+≦)
+Байду номын сангаас
+
0
68 -m 27
-
↗
↘
↗
则函数g(x)的极大值为g( 2 )= 68 -m，极小值为g(4)=-16-m.
≨由y=f(x)的图象与y=
1 f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点， 3
3
27
68 2 g( ) m＞0, 得 3 27 解得-16＜m＜ 68 . 27 g 4 16 m＜0,
↗
+ ↗
0
4 27
-
f(x)
↘
1 )= 4 , f(x)极大值=f( 27 3
f(x)极小值=f(1)=0. 答案： 4
27
0
2.≧f(x)=x4-x3,≨f′(x)=4x3-3x2. 令f′(x)=0,即4x3-3x2=0,得x2(4x-3)=0. ≨x=0或x= 3 .
4
当x变化时，f(x),f′(x)的变化情况如下表：
的交点，求实数m的取值范围.
【解析】1.f(x)=x3+x2-5x+2,
f′(x)=3x2+2x-5.由f′(x)=0得x=- 5 或x=1.
3
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x)
5 (-≦,- ) 3 5 3 5 (- ,1) 3
1 0 -1
(1,+≦) +
+
0
229 27
1.极小值点与极小值的定义

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答案
思考极大值一定大于极小值吗？答案不一定.
答案
知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值 . (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值 .
(2)极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
解析答案
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
解析答案
思想方法等价转化思想的应用例 4 已知函数 f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1 在 x＝x1 处取得极大值，在 x＝x2 处取得极小值，且 0＜x1＜1＜x2＜2. (1)证明：a＞0； (2)求 z＝a＋2b 的取值范围.
知识梳理
自主学习
知识点一极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数
y＝f(x)的极小值.
第三章 § 3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.2 函数的极值与导数
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
栏目索引
知识梳理题型探究当堂检测
自主学习重点突破自查自纠
解析答案
(2)a，b，c的值. 解 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，
3a＋2b＋c＝0，得12a＋4b＝12.
解析答案
题型三函数极值的综合应用例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；解 f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x> 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0；当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2，＋∞)；单调递减区间为(－ 2， 2). 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2；当 x＝ 2时，f(x)有极小值 5－4 2.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求f(x)的极值；解 f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.
x f′(x) f(x)
(0,1) 1 －0 ↘3
(1，＋∞) ＋ ↗
因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.
解析答案
题型二利用函数极值确定参数的值
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
解 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系，得－ 3ca2＝3ba－＝10，，
① ②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
③
由①②③解得 a＝12，b＝0，c＝－32.
解析答案
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
答案
返回
题型探究
题型一求函数的极值例 1 求函数 f(x)＝x22＋x 1－2 的极值.
重点突破
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 求函数 f(x)＝3x＋3ln x 的极值. 解函数 f(x)＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1. 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
解析答案
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围. 解由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示. 所以，当 5－4 2＜a＜5＋4 2时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根.
反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法. 它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.
解 f(x)＝12x3－32x， ∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1<x<1时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
解析答案
返回
当堂检测
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1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( C ) A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点解析 f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x0的值；解由图象可知，在(－∞，1)上f′(x)＞0，在(1,2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.