材料力学第七章知识点总结

材料力学（土）笔记第七章 应力状态和强度理论1．概 述在轴向拉压、圆杆扭转和对称弯曲各章中，构件的强度条件为max []σσ≤或max []ττ≤工作应力由相关的应力计算公式计算材料的许用应力是通过直接试验，测得材料相应的极限应力在受力构件的同一截面上，各点处的应力一般是不同的通过受力受力构件同一点处，不同方位截面上的应力一般也是不同的在一般情况下，受力构件截面内的一点处既有正应力、又有切应力若需对这类点的应力进行强度计算则不能分别按正应力和切应力来建立强度条件，而需综合考虑正应力和切应力的影响 一方面要研究通过该点各不同方位截面上应力的变化规律从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合即通过一点所有不同方位截面上应力的全部状况，称为一点处的应力状态关于材料破坏规律的假设，称为强度理论2．平面应力状态的应力分析·主应力为研究受力构件内任一点处的应力状态，可围绕该点截取一单元体 由于单元体各边长均为无穷小量故单元体各表面上的应力可视为均匀分布，且任意的一对平行的平面上的应力相等平面应力状态：若单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内当其他两对平面上的正应力和切应力均不等于零时，为平面应力状态的普遍形式研究在普遍形式的平面应力状态下的应力分析即由单元体各面上的已知应力分量来确定其任一斜截面上的未知应力分量并从而确定该点处的最大正应力及其所在截面的方位2.1 斜截面上的应力设一平面应力状态单元体上的应力为x σ、x τ和y σ、y τ前、后两平面上的应力为零，可将该单元体用平面图形表示为求该单元体与前、后两平面垂直的任一斜截面上的应力，应用截面法设斜截面ef 的外法线n 与x 轴间的夹角（方位角）为αα截面上的应力分量用ασ和ατ表示正应力以拉应力为正，压应力为负切应力以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负假想地沿斜截面ef 将单元体截分为二，取左边部分edf 为研究对象 设斜截面ef 的面积为dA ，斜截面上的应力ασ和ατ均为正值考虑体元平衡，以斜截面的法线n 和切线t 作为参考轴由平衡方程，得0n F =∑，(cos )sin (cos )cos (sin )cos (sin )sin 0x x y y dA dA dA dA dA ασταασααταασαα+-+-= 0tF =∑， (cos )cos (cos )sin (sin )sin (sin )cos 0x x y y dA dA dA dA dA ατταασααταασαα--++=由切应力互等定理可知，x τ和y τ的数值相等据此，可得平面应力状态下任斜截面（α截面）上的应力分量为cos 2sin 222x yx y x ασσσσσατα+-=+- sin 2cos 22x y x ασστατα-=+上面两个式子就是平面应力状态下，任一α截面上应力ασ和ατ的计算公式反映了在平面应力状态下，一点不同方位斜截面上的应力（ασ和ατ）随α角而变化的规律 即一点处的应力状态2.2 应力圆由上述两式可见，当已知一平面应力状态单元体上的应力x σ、x τ和y σ、()y x ττ=时 任一α截面上的应力ασ和ατ均以2α为参变量，从上两式小区参变量2α后，即得2222()()22x yx yx αασσσσσττ+--+=+ 由上式可见，当斜截面随方位角α变化时其上的应力ασ和ατ在στ-直角坐标系内的轨迹是一个圆其圆心位于横坐标轴（σ轴）上，其横坐标为2x yσσ+该圆习惯上称为应力圆，或称为莫尔应力圆下面根据所研究单元体上的已知应力x σ、x τ和y σ、()y x ττ=作出相应的应力圆，并确定α截面上应力ασ和ατ连接1和2两点的直线与轴交于点 以C 点为圆心，1CD 或2CD 为半径作圆该圆圆心的横坐标为2x yσσ+，半径1CD 或2CD 因而该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆由于D 的点坐标为(,)στ，因而，D 代表单元体x 平面上的应力CE就代表α截面上应力ασ和ατ证明如下（略）——教材P215应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标单元体上任意A ，B 两个面的外法向之间的夹角若为β，则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为2β，且两者转向一致应力圆直观地反映了一点处平面应力状态下任意斜截面上应力随截面方位角而变化的规律 以及一点处应力状态的特征实际应用中，可利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征，或分析一点处应力状态2.3 主应力与主平面由应力圆所示，1A 和2A 两点的横坐标分别为该单元体垂直于xy 平面的各截面上正应力中的最大值和最小值，在该两截面上的切应力均等于零 一点处切应力等于零的截面称为主平面主平面上的正应力称为主应力主应力是过一点处不同方位截面上正应力的极值可以证明，必存在这样一个单元体，其三个相互垂直的面均为主平面三个相互垂直的主应力分别记为1σ、2σ和3σ且规定按代数值大小的顺序排列，即123σσσ≥≥研究如何确定该单元体的主平面位置和主应力数值1A 和2A 两点的纵坐标均等于零，而横坐标分别为主应力1σ和2σ 由图可见，1A 和2A 两点的横坐标分别为 11OA OC CA =+，21OA OC CA =-式中，OC 为应力圆圆心横坐标，1CA 为应力圆半径则可得两主应力值为11()2x y σσσ=+11()2x y σσσ=+圆上的1D 点对应x 平面，圆上的1A 点对应1σ主平面 1102D CA α∠=为上述两平面夹角0α的两倍 所示单元体上从x 平面转到1σ主平面的转角为顺时针方向按规定应为负值，由应力圆可得1101tan(2)1()2x x y B D CB τασσ-==- 从而解得表示主应力1σ所在主平面位置的方位角 022arctan x xy τασσ⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭ 由于12A A 为应力圆直径，因而，2σ主平面与1σ主平面相互垂直3．空间应力状态的概念对于受力物体内一点处的应力状态最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力和切应力切应力可分解为沿坐标轴方向的两个分量 如x 平面上，有正应力x σ、切应力xy τ和xz τ切应力的两个下标中，第一个下标表示切应力所在平面，第二个下标表示切应力方向 在y 平面上有正应力y σ、切应力yx τ和yz τ；在z 平面上有正应力z σ、切应力zx τ和zy τ 这种应力状态称为一般的空间应力状态在一般的空间应力状态的9个应力分量中，根据切应力互等定理在数值上有xy yx ττ=、yz zy ττ=和zx xz ττ=因而独立的应力分量是6个，即x σ、y σ、z σ、xy τ、yz τ、zx τ可以证明，在受力物体内的任一点处一定可以找到一个主应力单元体其三对相互垂直的平面均为主平面，三对主平面上的主应力分别为1σ、2σ、3σ 空间应力状态时一点处应力状态中最为一般的情况仅一个主应力不等于零的应力状态，称为单轴应力状态对于危险点处于空间应力状态下的构件进行强度计算，通常需确定最大正应力和切应力 当受力物体内某一点处的三个主应力1σ、2σ和3σ均为已知时利用应力圆，可以确定该点处的最大正应力和最大切应力首先，研究与其中一个主平面（例如3σ平面）垂直的斜截面上的应力 应用截面法，沿该斜截面将单元体截分为二，研究其左边部分的平衡由于主应力3σ所在的两平面上是一对自相平衡的力，则该斜截面上的应力σ、τ与3σ无关 于是，这类斜截面上的应力可由1σ和2σ作出的应力圆上的点来表示而该应力圆上的最大和最小正应力分别为1σ和2σ同理，在与2σ（或1σ）主平面垂直的斜截面上的应力σ和τ可用由1σ和3σ（或2σ和3σ）作出的应力圆上的点来表示表示与三个主平面斜交的任意斜截面上应力σ和τ的D 点，必位于上述三个应力圆所围成的阴影范围内在空间应力状态下，该点处的最大正应力（代数值）等于最大的应力圆上A 点的横坐标max 1σσ=最大切应力等于最大的应力圆上B 点的纵坐标，为max 131()2τσσ=- 由B 点的位置可知，最大切应力所在截面与2σ主平面相垂直，并与1σ和3σ主平面互成45°角上述两公式同样适用于平面应力状态（其中有一个主应力等于零）或单轴应力状态（其中有两个主应力等于零），只需将具体问题中的主应力求出，并按代数值123σσσ≥≥排列4．应力与应变间的关系在一般的空间应力状态下有6个独立的应力分量与之相应的有6个独立的应变分量x ε、y ε、z ε、xy γ、yz γ、zx γ讨论在线弹性、小变形条件下，空间应力状态下应力分量与应变分量的物理关系通常称为广义胡克定律4.1 各向同性材料的广义胡克定律一般空间应力状态下单元体的6个独立应力分量中，3个正应力分量的正负号规定同前 而3个切应力分量的正负号规定如下：若正面（外法线与坐标轴正向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴正向一致或负面（外法线与坐标轴负向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴负向一致则该切应力为正，反之为负线应变以伸长为正，缩短为负切应变均以使直角减小者为正，增大者为负对于各项同性材料，沿各方向的弹性常数E 、G 、ν均分别相同由于各向同性材料沿任一方向对于其弹性常数都具有对称性因而，在线弹性、小变形条件下，沿坐标轴（或应力矢）方向正应力只引起线应变，而切应力只引起同一平面内的切应变线应变与正应力之间的关系可用叠加原理求得在x σ、y σ、z σ分别单独存在时，x 方向的线应变x ε依次分别为'x x E σε=，''y x E σευ=-，'''zx E σευ=-则在x σ、y σ、z σ同时存在时，可得x 方向的线应变同理可得，y 和z 方向线应变，分别为1[()]x x y z Eεσυσσ=-+ 1[()]y y z x Eεσυσσ=-+ 1[()]z z x y E εσυσσ=-+ 切应变与切应力之间的关系分别为xy xy G τγ=yzyz Gτγ= zx zx Gτγ= 上式即为一般空间应力状态下，在弹性、小变形下各向同性材料的广义胡克定律若已知空间应力状态下单元体的三个主应力，则沿主应力方向只有个线应变，无切应变 与主应力1σ、2σ、3σ相应的线应变1ε、2ε、3ε，称为主应变主应变为一点处各方位线应变中的最大与最小值 广义胡克定律可用主应力与主应变表示为11231[()]Eεσυσσ=-+ 22311[()]Eεσυσσ=-+ 33121[()]E εσυσσ=-+ 材料的三个弹性常数存在着如下关系2(1)E G υ=+4.2 各向异性材料的广义胡克定律木材、玻璃钢纤维增强复合材料的力学性能是与受力方向有关即是各向异性材料每一个应力分量将引起所有的6个应变分量4.3 各向同性材料的体应变构件在受力变形后，通常引起体积变化每单位体积的体积变化，称为体应变，用θ表示12312()Eυθσσσ-=++ 任一点处的体应变与该点处的三个主应力之和成正比5．空间应力状态下的应变能密度物体受外力作用而产生弹性变形时在物体内部将积蓄有应变能，每单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度在单轴应力状态下，物体内所积蓄的应变能密度为221222E v E εσσεε=== 对于在在线弹性、小变形条件下受力的物体所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值，而与加力的顺序无关设一单元体处于空间应力状态，三个主应力按比例加载方式同时由零增至最终值1σ、2σ、3σ对应于每一个主应力，其应变能密度可以视作该主应力在与之相应的主应变上所作的功 而其他两个主应力在该主应变上并不做功 因此，单元体的应变能密度为1122331()2v εσεσεσε=++ 经整理化简后， 2221231223311(2())2v Eεσσσυσσσσσσ=++-++ 一般情况下，单元体将同时发生体积改变和形状改变1231()3m σσσσ=++其中，m σ称为平均应力将主应力单元体分解为两种单元体的叠加在平均应力的作用下，单元体形状不变，仅发生体积改变 且三个主应力之和与原三个主应力之和相等故其应变能密度就等于原单元体的体积改变能密度，即 2222221(2())2V m m m m m m v Eσσσυσσσ=++-++ 21233(12)12()26m E E υυσσσσ--==++ 分解剩下的单元体的三个主应力和为零，故体积不变，仅发生形状改变其应变能密度就等于原单元体的形状改变能密度化简后可得2221223311[()()()]6d v Eυσσσσσσ+=-+-+- 可以证明，应变能密度=体积改变能密度+形状改变能密度V d v v v ε=+对于一般空间应力状态下的单元体，其应变能密度可用6个应力分量来表达在小变形条件下，对应每个应力分量的应变能均等于该应力分量与相应的应变分量乘积之半1(+)2x x y y z z xy xy yz yz zx zx v εσεσεσετγτγτγ=++++6．强度理论及其相当应力关于材料破坏或失效的假设，称为强度理论材料破坏或失效的基本形式有两种类型：一类是在没有明显的塑性变形情况下发生突然断裂，称为脆性破坏一类是材料产生显著的塑性变形而使构件丧失正常的工作能力，称为塑性屈服第一类强度理论是以脆性断裂作为破坏标志的其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论①最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论假设：最大拉应力t σ是引起材料脆性断裂的因素认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大拉应力t σ（即1σ）达到材料的极限应力u σ材料就会发生脆性断裂至于材料的极限应力u σ，则可通过单轴拉伸试样发生脆性断裂的试验来确定按照这一强度理论，脆性断裂的判据是1u σσ=将式右边的极限应力除以安全系数，就得到材料的许用拉应力[]σ按照第一强度理论所建立的强度条件为1[]σσ≤上式中的1σ为拉应力在没有拉应力的三轴压缩应力状态下，不能采用第一强度理论来建立强度条件式中的[]σ为试样发生脆性断裂的许用拉应力不可能通过拉伸试验测得材料发生脆性断裂的极限应力u σ不能单纯地理解为材料在单轴拉伸时的许用应力②最大伸长线应变理论（第二强度理论）这一理论假设：最大伸长线应变t ε是引起材料脆性断裂的因素认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大伸长线应变t ε（即1ε）达到材料的极限值u ε材料就发生脆性断裂同理，材料的极限值同样可通过单轴拉伸试验发生的脆性断裂试验来确定若材料直到发生脆性断裂都可近似地看作线弹性，即服从胡克定律u u E σε=式中u σ及时单轴拉伸试样在拉断时其横截面上的正应力脆性断裂的判据为 1uu E σεε==由广义胡克定律可知，在线弹性范围内工作的构件处于空间应力状态下一点处的最大伸长线应变为11231[()]Eεσυσσ=-+ 上式可改写为 1231[()]u E Eσσυσσ-+= 或 123[()]u συσσσ-+= 将上式右边的u σ除以安全因数记得材料的许用拉应力u σ按第二强度理论所建立的强度条件为123[()][]συσσσ-+≤以上分析中引用了广义胡克定律，所以按照这一强度理论所建立的强度条件只适用于构件直到脆断前都服从胡克定律的情况第二类强度理论是以出现塑性屈服或发生显著的塑性变形作为失效标志的其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论③最大切应力理论（第三强度理论）这一理论假设：最大切应力max τ是引起材料塑性屈服的因素即认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大切应力max τ达到了材料屈服时的极限值u τ该点处的材料就发生屈服材料屈服时切应力的极限值u τ，同样可以通过单轴拉伸试样发生屈服的试验来确定 对于像低碳钢这一类的塑性材料，在单轴拉伸试验时材料就是沿最大切应力所在的45°斜截面发生滑移而出现明显的屈服现象的这时试样在横截面上的正应力就是材料的屈服极限s σ对于这一类材料，可得材料屈服时切应力的极限值u τ为2s u στ=按照这一强度理论，屈服判据为 max 2s u σττ==在复杂应力状态下一点处的最大切应力为 max 131()2τσσ=-式中，1σ和3σ分别为该应力状态中的最大和最小主应力屈服判据可改写为 1311()22s σσσ-= 或 13()s σσσ-= 将上式右边的s σ除以安全因数即得材料的许用拉应力[]σ故按第三强度理论所建立的强度条件为 13()[]σσσ-≤在上式右边采用了材料在单轴拉伸时的许用拉应力这只对于在单轴拉伸时发生屈服的材料才适用脆性材料，不可能通过单轴拉伸试验的到材料屈服时的极限值u τ对于这类材料在三轴不等值压缩的应力状态下发生塑性变形时式子右边的[]σ就不能选用材料在单轴拉伸时的许用拉力④形状改变能密度理论（第四强度理论）这一理论假设：形状改变能密度d v 是引起材料屈服的因素认为不论处于什么样的应力状态只要构件内一点处的形状改变能密度d v 达到了材料的极限值du v该点处的材料就发生塑性屈服对于像低碳钢一类的塑性材料因为在拉伸试验时当正应力达到s σ就会出现明显的屈服现象故可通过拉伸试验来确定材料的du v 值，可用2221223311[()()()]6d v Eυσσσσσσ+=-+-+- 将1s σσ=，230σσ==代入上式，从而求得材料的极限值du v 为2126du s v Eυσ+=⨯ 按照这一强度理论，屈服判据d du v v =可改写为222212233111[()()()]266s E Eυυσσσσσσσ++-+-+-=⨯ 可化简为s σ= 再将上式右边得s σ除以安全因数得到材料的许用拉应力[]σ于是按第四强度理论所建立的强度条件为[]σ 式中，1σ、2σ和3σ是构件危险点的三个主应力式子右边采用材料在单轴拉伸时的许用拉应力因而，只对在单轴拉伸时发生屈服的材料适用试验表明，在平面应力状态下一般地说，形状改变能密度理论较最大切应力理论更符合实验结果由于最大切应力理论是偏于安全的，且较为简单，实践中应用较为广泛四个强度理论所建立的强度条件可统一写作[]r σσ≤式中，r σ是根据不同强度理论所得到的构件危险点处三个主应力的某些组合按某一强度理论的相当应力对于危险点处于复杂应力状态的构件进行强度校核时一方面要保证所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应另一方面要求以确定许用应力[]σ的极限应力，也必须与该破坏形式相对应7．莫尔强度理论及其相当应力8．各种强度理论的应用根据试验资料，各种强度理论的适用范围归纳如下①强度理论均仅适用于常温，静荷载条件下的匀质、连续、各向同性的材料对于高温、冲击荷载下或材料带有初始裂纹时的材料强度不适用②不论是脆性或塑性材料，在三轴拉伸应力状态下，都会发生脆性断裂宜采用最大拉应力理论，但对于塑性材料，由于单轴拉伸试验不可能发生脆性断裂所以在按最大拉应力理论进行强度校核时，右边的[]σ不能取用单轴拉伸时的许用拉应力值 而应用发生脆断时的最大主应力1σ除以安全因数 ③对于脆性材料，在二轴拉伸应力状态下应采用最大拉应力理论在复杂应力状态的最大和最小主应力分别为拉应力和压应力的情况下由于材料的许用拉、压应力不等，宜采用莫尔强度理论④对于低碳钢一类的塑性材料，除三轴拉伸应力状态外各种复杂应力状态下都会发生屈服现象，一般以采用形状改变能密度理论为宜但最大切应力理论的物理概念比较直观，计算简捷，计算结果偏于安全因而常用最大切应力理论⑤在三轴应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材料通常都发生屈曲失效，故一般采用形状改变能密度理论但脆性材料的单轴拉伸试验不可能发生塑性屈服所以，许用应力[]σ也不能用脆性材料在单轴拉伸时的许用拉应力值根据强度理论可从材料在单轴拉伸时的许用拉应力[]σ来推知材料在纯剪切应力状态下的许用应力 在纯剪切应力状态下，一点处的三个主应力分别为123,0,στσστ===-对于低碳钢一类的塑性材料在纯剪切和单轴拉伸两种应力状态下，材料均发生屈服失效。

材料力学各章重点内容总结第一章 绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。

二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。

三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。

第二章 轴向拉压一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。

二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。

注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。

三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F Aσ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。

四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα=注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。

五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],maxmax N F A σσ=≤六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],maxmax N F A σσ=≤一定要有结论 2.设计截面[],maxN F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤七、线应变l l ε∆=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F l l EA∆= 注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。

八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。

会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。

九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l l lδ-︒=⨯︒及断面收缩率1100A A Aϕ-︒=⨯︒，工程上把5δ︒≥︒的材料称为塑性材料。

十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。

本章小结
1．本章是在小变形和材料为线弹性的条件下研究梁的变形，并且忽略剪力的影响，平面假设仍然成立。

变形后梁横截面的形心沿垂直梁轴线方向的位移称为挠度v ；横截面变形前后的夹角称为转角 θ。

梁的轴线在变形后成为一条连续光滑的曲线，称为挠度曲线)(x v 。

挠度曲线)(x v 的一阶导数即为转角dx
x dv x )()(=θ。

2．根据小挠度微分方程EI x M dx
x v d )()(22=，对 )(x M 积分一次，求得 ⎰+==
C dx EI
x M dx x dv x )()()(θ 积分二次，求得 ⎰⎰++=D Cx dxdx EI
x M x v )()( 若)(x M 分为 n 段，则应分 n 段进行积分，出现 n 2个积分常数。

积分常数根据边界条件和连续条件确定。

由以上运算可以看出，梁的挠度曲线取决于两个因素：受力（弯矩）和边界条件。

3．在小变形和弹性范围内，梁的位移与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的位移：将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各简单载荷的位移，将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。

4．若梁的未知约束反力的数目多于了静力平衡方程的数目，则称为静不定梁。

两者数目的差值n为静不定次数。

n次静不定必须列出n个补充方程。

根据相当系统的挠曲线和原静不定梁的挠曲线完全相同，可以在解除约束处找到相应的变形条件，利用变形条件建立补充方程式，求出多余约束反力，进而利用静力平衡方程求出其他约束反力和内力。

5．根据求梁挠曲线的积分计算可以看出，提高梁刚度主要措施为：减小梁的跨度和弯矩；提高梁的抗弯刚度EI。